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初中数学数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n 位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律?（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?例2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）例3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差下面是常用的一些求和公式：。
05讲找规律（⼆）第5讲找规律（⼆）会点：应⽤四则运算表⽰数之间的关系解决⼀步运算规律问题；重点：掌握数列中的找规律、以及数组的找规律，解决数列、数组变化规律问题；难点：找出数表的规律，根据数表之间的数解决数组规律问题。
⼀、数列规律我们经常会碰到许多个按⼀定顺序排列的数，这样的⼀列数叫作数列。
例如：（1）1，3，5，7，9，……（2）2，5，8，11，14，……（3）3，4，6，9，13，18，24……在⼀个数列中，从左向右数到第⼏个数，这个数就叫作这个数列的第⼏项，如数列（1）中的第2项是3，数列（3）中的第5项是13。
数列中的项的个数可以是有限个的，如数列（3），也可以是⽆限个，如数列（1）和数列（2）。
数列中的数是按照⼀定规律排列的。
对于⽐较简单的数列，⼀般从相邻两个数的和、差、积、商中找规律。
对于⽐较复杂的数列则要考虑先将数列合理地拆分成若⼲个部分，再分别考虑它们的排列规律。
数列中的规律有很多种类型：有的是所给的每个数之间有规律，有的是隔⼀个数之间有规律。
这些规律可能是同加、同减、同乘⼀个数、⼀个数列或⼀个数的平⽅。
⼆、数组规律找数组中的规律时，⼀般我们可以考虑从每个数组的对应位置上的数进⾏规律性分析。
我们还可以以每个数组的第⼀个数为基准，分析已知数组中所有数的⼀个共性规律。
三、数表规律除了可以将数排成⼀⾏形成数列之外，还可以将数按照⼀定的形状排成图表，这样就得到了数表。
数表往往是由⼀个或多个数列组成的。
第 1 关数列找规律1、观察下列数列，找到规律并填空。
（1）1，4，7，10，（），16，……（2）2，3，6，11，（），（），……（3）1，2，4，8，（），32，（），……（4）1，1，2，3，5，8，13，（），（），……2、观察下列数列，找到规律并填空。
（1）18，2，15，2，12，2，9，2，（），（），……（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，（），（），……（3）1，4，9，16，25，（），（），64，……【过关检测】1、观察下列数列，找到规律并填空。
第1章数字迷01找规律1.根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（（1）13；（2）21；（3）32；（4）30．）（1）1，4，7，10，（），16，⋅⋅⋅⋅⋅（2）2，3，5，8，13，（），34，⋅⋅⋅⋅⋅⋅（3）1，2，4，8，16，（），⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4）2，6，12，20，（），42，⋅⋅⋅⋅⋅⋅2.观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（（1）17；（2）256；（3）95；（4）4．）（1）2，3，5，7，11，13，（），19，⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2）1，2，2，4，8，32，（），⋅⋅⋅⋅⋅⋅（3）2，5，11，23，47，（），⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），⋅⋅⋅⋅⋅⋅3.观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数：（（1）5，36；（2）9，28．（）（1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2）15，16，13，19，11，22，（），25，7，（），⋅⋅⋅⋅⋅⋅4.按规律填上第五个数组中的数：（{5，25，50}）{1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ }5.下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式：（1）1 + 1，2 + 3，3 + 5，1 + 7，2 + 9，3 + 11，1 + 13，2 + 15，⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2）1 ⨯ 3，2 ⨯ 2，1 ⨯ 1，2 ⨯ 3，1 ⨯ 2，2 ⨯ 1，1 ⨯ 3，⋅⋅⋅⋅⋅⋅（（1）1+79；（2）2×3．）6.下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？（（1）3；（2）7．）（1）2 6 7 11 （2）2 3 14 4 （）1 35 23 5 5 64 （）37.下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：（（1）15不是质数；（2）10不是3的倍数；（3）5不是偶数；（4）16应为17．）（1）3，5，7，11，15，19，23，⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2）6，12，3，27，21，10，15，30，⋅⋅⋅⋅⋅⋅（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4）2，3，5，8，12，16，23，30，⋅⋅⋅⋅⋅⋅8.下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：（（1）36；（2）40．）（1）（2）9.观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？（18．）10.根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数．（64．）11.观察右上图的规律，然后在括号内填上合适的数．（答案）12.按数字规律填出下图中空缺的数：（各圆内下面两数的乘积等于上面两数之和，所以第三图填7，第四图填9．）13.下图中有一个圆内四个数字间的关系与另外三个圆不同，请找出这个圆，并修改其中的两个数，使圆内四个数字间的关系与另外三个圆相同．（解：最容易看出来的是每个圆内左边两数中上面数是下面数的4倍，右边两数中下面数是上面数的4倍．但四个圆都符合这一关系，故这不是要找的数字关系．再看对角线上两数之差，（1）（3）（4）都是8和2，而（2）是12和3，所以（2）是那个特殊的圆．有下图所示的两种改法：）14.在下面各数阵中，第10行的第3个数分别是几？（（1）48；（2）53．）15.下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：（提示：（1）除1以外的数字都是等于它左上方和右上方的两个数字之和，故上、下空缺的数分别为5和20；（2）每行第k 个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14．）（1）（2）16.下图中已经画出了三个图，请将第四个图补全．（16题答案：左图）17.根据下面的图和字母的关系，将ad的图补上．（见16题答案右图）18.下面的每一个图形都是由△， ，○中的两个构成的．观察各图形与它下面的数之间的关系，“？”应当是几？（32）19.左下图中大圆圈内的数字是由它周围的小圆圈里的数字确定的，那么小圆圈里的“？”代表几？（2）20.右上图的数字之间存在着某种关系，请按照这一关系求出数字a和b．（a=24，b=28）21.左下图中共有12个小图形，每一个不同的小图形表示1～9中的一个数码，每行的三个图形表示一个三位数，四行表示四个三位数：146，521，658和692．问第二行表示哪个三位数？（658）22.右上图中，每个圆代表一个数码，每横行的三个圆从左到右看做一个三位数，四行表示的四个三位数是890，784，361，256．那么，代表的五位数是几？（52867）。
我们以前学习过找规律以及等差数列，在这里我们先来复习一下等差数列的有关知识．通项公式：项数公式：求和公式：本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表．有些数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：对于1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…，奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．分析 大数与小数间隔排列，奇数项是相对小的数，偶数项是大数．如果把奇数项和偶数项分开来写，能找到什么规律？你知道最后一个数0是在奇数项还是在偶数项吗？练习1.10，2，10，4，10，6，10，8，10，10，10，12，…，100．请观察数列的规律并回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列所有项的总和是多少？分析 数列中几个数构成一个周期？整个数列有多少个周期？86，例题2练习2.请观察由数组组成的数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（9，10，11）．请回答以下问题：（1）这个数列中一共有多少个数？（2）数字8出现了几次？分析 与数列有关的问题，找到数列的规律是非常重要的．你能看出本题中数列的规律吗？多写几项试试看．练习3.有一列数，第一个数是6，从第二个数开始，每个数都是它前面一个数的2倍的个位数．从这列数中取出连续的40个数，请求出它们的和是多少？前面的例题是关于数列计算的问题，下面我们来分析数表，也就是把数列中的数按某种规律排列成表格的形式．一般地，在长方形数表中，我们记：从上向下横行依次为第一行、第二行……从左到右竖行依次为第一列、第二列……请大家仔细观察下面两个表中的数是按照什么规律排列的．始，它们的和最大是多少？123456121110987131415161718242322212019n n n n n n123456789101112131415161718192021222324n n n n n n我们在观察一个数表时，首先要关注的是数表中有哪些数，这些数在数表中按照什么规律排列，能不能找到它们的周期．实际上，数表中的数也构成一个数列．但数列与数表是不同的，在数列问题中我们只需要关注所求的是第几个数，而在数表问题中我们则要考虑所求的数在第几行，第几列．我们一般通过以下三个步骤判断一个数在数表中的位置：1.找到数表中的数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；2.数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；3.找到这个数所在的行或列．如果我们知道了某个数在数表中的具体位置，要反求这个数是多少，我们也可以通过三个步骤来考虑：1.数表中的数在排列时有什么周期规律，所求的数是第几个周期中的第几个数；2.找到这些数组成的数列规律，判断这个数在对应的数列中是第几个；3.求出这个数具体是多少．分析 数阵中每列有5个数，可以把5个数作为一个周期．你知道123是整个数列中的第几个数吗？它又是第几个周期中的第几个数呢？练习4.如图所示，将从2开始的偶数有规律地填入方格表中，请问：（1）88在第几行、第几列？（2）第88行的五个数之和是多少？阵中，请问：24681012141618202224262830nnnnn分析表中的数是按行排列，第1行有6个数，第2行有3个数，第3行有6个数，第4行有3个数……这个数表的周期该怎么找呢？练习5.如图所示，将从1~200的自然数按照某种规律填入方格表中，请问：（1）行、第列的所有数之和是多少？且和为本一、寻找数列、数表中的数排列的规律，利用周期性计算．二、在数列中需要关注所求的是第几个数，在数表中则要考虑所求的数在第几行、第几列．作业1. 1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，100．观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？（2）数列中所有数的总和是多少？2.观察数列：（1，2，3，4，5），（4，5，6，7，8），（7，8，9，10，11）……五个数为一组，其中31第一次出现在第几组？该组的五个数之和是多少？3. 80名学生排成一列，从第一名同学开始按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，后一名同学就要报出这个数与8的和；如果某名同学报的数是两位数，后一名同学就要报出这个数的个位与7的和．如果第一名同学报的是1，那么最后一名同学报的数是多少？4.将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）66在第几行、第几列？（2）第33行、第4列的数是多少？5.将从1~120的自然数按某种规律填入方格表中，请问：（1）第4行第9个数是多少？（2）第33列的三个数之和是多少？1234510987611121314152019181716n n n n n17n n 115410n n 11828n n 116511n n 11939n n 117612n n 120。
2019高思数学计算模块七大模块：计算、几何、应用题、数论、计数、组合、数字谜一、计算模块（一）四则运算1、交换律2、结合律3、分配律注意：打开括号是否变号，变除为乘，拆某数构造公因数巧算。
（二）数列找规律1、找规律，周期性问题等2、一项一项地看，两项两项地看，奇数项和偶数项分开看，双重/多重数列3、通过归纳递推，注意一般和特殊情况4、等差数列，等比数列，兔子数列/斐波那契数列（三）整数数列计算1、等差数列项数＝（末项－首项）÷公差＋1和＝（首项＋末项）×项数÷2项数为奇数：和＝中间项×项数。
连续奇数：1，3，5，…天下无双，项数平方2、多重等差数列，注意拆分3、平方差公式：4、平方和公式：＝（）5、立方和公式：＝（四）多位数巧算1、凑整法：999…9=1000…000-12、叠数：245245=245×1001，321321321=321×10010013、提取公因数：33333=11111×3（五）数表规律计算1、数表就是一个行、列问题：行位置、列位置、对应数据2、具有周期性和规律性，根据位置找数据，根据数据找位置3、注意对应序号，奇偶性（六）小数巧算1、凑整法2、充分使用四则运算定律3、提取公因数，变形提取公因数4、拆数、构造因数（七）整数裂项1、最后一项往后添加一项，最前一项往前添加一项＋＋＝1×2+2×3＋3×4＋…+99×100＝（99×100×101－0×1×2）÷32、不是从1开始的，前面项补足，再相减11×12+12×13＋13×14＋…+99×100＝（99×100×101－10×11×12）÷33、公差为d（公差不为1）的整数相乘1×3＋3×5＋5×7＋…+27×29＝（27×29×31－1×3×5）÷(3×2)＋1×34×7＋7×10＋10×13＋…+40×43＝（40×43×46－1×4×7）÷(3×3)4、三项相乘，裂项为四项相乘，要除以4d1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…+18×19×20＝(18×19×20×21－0×1×2×3)÷4 2×4×6＋4×6×8＋…+26×28×30=(26×28×30×32－0×2×4×6)÷（4×2）(或者提公因数)＝2×2×2×(13×14×15×16－0×1×2×3)÷4（八）分数基本计算1、分数表示份数比例，三类分数：真分数、假分数、带分数2、分数基本性质：分数的分子和分母同乘或除以相同的非零数，大小不变。
小学数列找规律总结【优秀版】(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）数列找规律总结1、顺等差数列，前一个数减去后一个数的差相等。
例如：1,3,5,7,9,…逆等差数列，后一个数减去前一个数的差相等。
例如：10,8,6,4, 2…;2、顺等比数列，即前一个数除以后一个数的商相等。
例如：2,4,8,16,32…;逆等比数列，即后一个数除以前一个数的商相等。
例如：1024,512,256,128,…;3、兔子数列，即单数序号的数字与双数序号的数分别形成规律。
例如8，15，10，13，12，11,(14),(9)这里8,10,12,14成规律，15,13,12,11,9成规律；4、质数数列规律例如：2,3,5,7,11,(13),(17)....这些数学都为质数；5、“平方数列”、“立方数列”等，例如：平方数列：1、4、9、16、27、64、125、…立方数列：例如：1、8、27、64、81、256、625、…6、相邻数字差呈现规律。
数字之间差呈现等差数列，例如：1、3、7、13、21、31、43、…数字之间差呈现等比数列，例如：1、3、7、15、31、63、…7、多个数字间呈现规律，（本题考查较少）裴波那契数列，即任意连续两个数字之和等于第三个数字，例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…任意连续三个数字之和等于第四个数字，例如：1、1、1、3、5、9、17、31、57、105、…龙里县谷脚小学2021—2021学年度第一学期四（2）班中队工作总结辅导员：xxxx随着期末考试的结束，紧张的一个学期转眼结束了。
在学校各级领导的正确领导下，我们中队开展了各项有意义的队活动，努力做到减轻学生负担，落实素质教育，并以形式多样，内容丰富，寓教素质育于活动中，使我班形成一个团结向上、生动活泼的集体。
下面谈谈具体的工作和做法。
一、抓好学生的思想教育工作，为成为新世纪人才奠定基础。
1.坚持从爱入手启发教育学生。
第一讲：从数表中找规律解题方法：1、分析数字之间得关系2、分析数字与行或者列之间得关系解题技巧：逆推法，尝试法【例1】下面就是一些数组成得三角形，先观察数表得排列规律，然后填出所缺得数。
11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 □ 5 11 □ 15 20 15 6 1l □ 21 35 □ □ □ l练习1：先观察数表得排列规律，然后填出所缺得数【例2】有一个宝塔算，从上向下数，第一层为1，第二层为2＋3，第三层为4＋5＋6，…，第10层第一个数就是多少？，第10层最后一个数就是多少？第10层得与就是多少？12＋34＋5＋67＋8＋9＋1032 11 534 8 913 78 11 34 8 413 7知识点11＋12＋……………………1、然数1，2，3，4，…按照下图得顺序排列在正方形格子里, “？”处应填什么数？2、下表，试写出它得第七行。
3、开始得自然数如下排列，第三行中得第6个数就是多少？4、1到100得数排成下面得数表，在这个数表里，把横得方向得三个数，纵得方向得三个数(中间一个数为公共数)，一共五个数围起来(如表中所示)．若使围起来得五个数得与为370时，线框里应该就是哪五个数？作 业1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64………9 17 89 16 74 121 2 3 45 6 7 812 20 242、就是由自然数排成得数表，分为A，B，C三列，按这个规律，1999在第几。
A B C1 2 36 5 47 8 912 11 1013 14 15 18 17 1619……3、角形数表中第10行左起第4个数就是多少？12 34 5 67 8 9 10…………4、表，把自然数按表中所示得规律排列，则第45行第26列上所排得数就是多少？。
找规律数列与数表数学中的规律数列与数表起着非常重要的作用，能够帮助我们发现数学问题中的隐含规律。
本文将围绕着找规律数列与数表展开讨论，探究其应用及解决问题的方法。
一、规律数列的概念与分类规律数列是指数学中一组有规律的数字按照一定的顺序排列而成的序列。
根据数列的规律不同，可以将数列分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等多种类型。
1. 等差数列等差数列是指数列中每个数与它的前一个数之差都相等的数列。
如果一个数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么这个数列就是等差数列。
2. 等比数列等比数列是指数列中每个数与它的前一个数之比都相等的数列。
如果一个数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，那么这个数列就是等比数列。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种非常特殊的数列，它的前两项都为1，从第三项开始，每一项都为其前两项之和。
二、如何找规律数列找规律数列是数学中的一项基础技能，它能够帮助我们解决一些数字之间的关系问题。
以下是几种常见的找规律数列的方法：1. 观察法观察法是最常用的找规律数列的方法，通过观察一组数字之间的关系，找到其中的规律。
可以通过计算它们之间的差值或比值来找到规律，从而得出数列的通项公式。
2. 推理法推理法是通过已知的数列前几项和数列之间的关系来推导出数列的通项公式。
通过观察数列前几项的特点，尝试找到一个合适的公式，然后用这个公式推算出余下的项。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的方法，也可以用来找规律数列。
首先证明数列的第一项符合要求，然后假设前n项都符合要求，再证明第n+1项也符合要求。
通过数学归纳法可以得到数列的通项公式。
三、规律数列的应用规律数列在数学及其它学科中有着广泛的应用，能够帮助我们解决各种实际问题。
以下是几个常见的应用场景：1. 数学题解答在一些数学题目中，给出一组已知的数字，要求推导出它们之间的关系，然后计算或预测后续的数值。
数列、数表规律知识框架一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题．二、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．三、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！例题精讲【例 1】 从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。
一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
二、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式知识框架数列规律(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．注：找规律问题，只要言之成理即可！例题精讲一、简单数列规律【例1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.①2，5，8，11，（），17，20②19，17，15，13，（），9，7③1，3，9，27，（），243④64，32，16，8，（），2【巩固】按照数列的变化规律，在括号里填上合适的数（1）0，3，6，9，12，（），（），21（2）0，3，8，15，（），35，（），（）【例2】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.（1）1，1，2，3，5，8，（），21，34…（2）1，3，4，7，11，18，（），47…（3）1，3，6，10，（），21，28，36，（）.（4）1，2，6，24，120，（），5040。
数列的找规律集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+n2-1=n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（三）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3,4,5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8...答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律?（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×15^2-3^2=8×27^2-5^2=8×3……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差。
找规律一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。
如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。
寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。
善于发现数列的规律是填数的关键。
二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）练习1：在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）练习2：按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（）（3）1，2，5，13，34，（）（4）1，4，9，16，25，36，（）练习3：按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（），（）（2）2，4，10，28，82，（），（）（3）94，46，22，10，（），（）（4）2，3，7，18，47，（），（）课堂巩固练习1 找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数。
（1）3，6，9，12，（），18，21（2）28，26，24，22，（），18，16（3）60，63，68，75，（），（）（4）180，155，131，108，（），（）（5）196，148，108，76，52，（）（6）6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）（7）0，1，1，2，3，5，8，（），（）（8）10，98，15，94，20，90，（），（）2 在下面数列中填出合适的数。
