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1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图（1）【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
CBA【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是 ．789fedcba 789【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．BA【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A 与B 的和是________。
BA【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22 的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？111098765432【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?861102912311457【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．246824688642【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【例11】一个3 3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。
66666小学奥数专题之数阵图练习题例(总20页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。
确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。
即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。
1.了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2010年，学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
小学数学《数阵图》练习题（含答案）数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.（一）封闭型数阵问题【例1】（★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？【例2】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？24273028262218 1720x【例3】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?【例4】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等?【例5】（★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.3（二）辐射型数阵【例6】（★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．【例7】 （★★★）把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．【例8】 （★★★）左图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等.【例9】 （★★★）在下图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x 是多少？（三）其它类型的数阵图【例10】 （★★★）在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得按顺时针循环式成立：【例11】 （★★★★）将1～8这八个自然数填入左下图的空格内，使四边形组成的四个等式都成立：【例12】 （★★★★）下图包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?+=====----===×÷+=-+=+=1.请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．2.把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.3.把1至6分别填入下图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．4.将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等.5.将1～8八个数分别填入右上图的八个○内，使得图中的六个等式都成立.△代表几？37 5=== =+++++（一）封闭型数阵问题【例13】 （★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？75623841或84362571分析：因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13×4=52，而1+2+…+7+8=36，所以四个角上的四个数之和等于52-36=16．在1～8中选四个数，四数之和等于16，且其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6．经试验，只有右上图的两种填法．亮点设计：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的.（2）设计问题：正方形每条边之和是13，13×4=52，但是所有数的和是：1+2+…+7+8=36，为什么会出现结果不同的问题呢？仔细观察这个数阵，四条边上所有数相加的过程中四个角上的数都被重复加了一次，也就是四个角上的数是重复数，52-36=16即为这四个重复数的和. （3）强调分组法与试验法：知道了四个数的和之后，下一步就要先确定这四个数，采用分组法和试验法.分组法是将这个和根据要求拆成四个数，例如本题中要求其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13，根据要求将16分成4个数的和：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6，但是未必每一组都是合适的，这就需要采用试验法，将它们一一进行试验.（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现.[前铺]将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11．614532分析：因为每边上的和为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+…+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在1～6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，填法见右上图.[拓展]将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围.654321654321654321654321k=9 k=10 k=11 k=12分析：设三角形三个顶点的数字之和为s.因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍.于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为s+21=3k.由于s是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9≤k≤12.s和k有四组取值：通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见右上图）.【例14】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？242730282622181720x分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.[拓展]找规律求xx24123082616186452分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍.比如：（26-18）×2=16.（30-26）×2=8.（30-24）×2=12.因为52÷2=26>24，所以x=26+24=50.经检验，（50--18）×2=64.【例15】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和．因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次．于是，45×2-(a+b+c)=3 s．要使s尽可能大，只要a+b+c尽可能小．所以a+b+c=1+2+3=6，于是90-6=3 s，s=28．剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；5 +9=14．经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一．[拓展一]如图是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少?ihgfedcba分析：计算五个圈内各数之和的和，其中b，d，f，h被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8，所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当b，d，f，h取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.[拓展二]有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?分析：9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形中的和的和，这个和能被3整除，其中a和b被重复计算了两次，所以2+3+……11+a+b=65+a+b=3s，当a+b=1，4，7……时，65+a+b可以被3整除，因为要取最小值，所以a+b的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，a+b=7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和也取得最小值（65+7）÷3=24.【例16】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形5619372481528763049分析：0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图.[拓展一]将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值.分析：先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复数只能是1，2，3，4，6的组合.又因为有1个和为20，相应三角形上的三个数只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图.[拓展二]图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由．344341222311分析：（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8的倍数，但是这个总和有三组1、2、3、4组成，其中一组数被重复计算三次，一组数被重复计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6×（1+2+3+4）=60，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等. （2）能，见右上图.【例17】 （★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析：3组数都包括左右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.现在还有1、5、7、11、13、17、19七个数供选择，两两之和相等的有1＋19＝7＋13，只有两组，淘汰这一组；还有1+17=5+13+7+11，于是得到右上图的填法.（二）辐射型数阵【例18】 （★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．635412762534175243716（1） （2） （3）分析：设中心○内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a 一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a 一定是3的倍数．而28÷3—9余1，那么2a ÷3的余数应该是2，因此，a=1，4或7．(1)当a=1时，28+2=30，30÷3=10，10-1=9，除中心外，其他两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7六个数按“和”是9分成三组填入相应的○内就可以了．填法如图（1） (2)当a=4时，28+8=36，36÷3=12．填法如图（2）(3)当a=7时，28+14=42，42÷3=14．填法如图(3)．亮点设计：（1）建议教师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。
小学奥数练习卷（知识点：数阵图中找规律）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）A．79B．87C．94D．101第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共42小题）2．如图，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数，“1”所处的位置为第1行，“2、3、4”所处的位置为第2行，那么第8行中间数是．3．如图，按照表中规律把自然数填入表格，那么2016所在的行号和列号的和是．4．观察下面数表中的规律，可知x=．5．沿着虚线将如图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）．图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积．每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字．每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方．在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内．最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为．6．在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填．7．将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了次．8．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字都不重复，并且两个灰色正方形中相同位置的数字完全相同，那么，五位数是．9．如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来，如图46在这个数表的第a 行，第b列，那么a×b=．10．所有自然数如图排列，数300位于字母的下面．11．在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是．12．图中三角形数表中第4行第5列是．13．将1～9这9个数分别填入图中的圆圈内，使得每个三角（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的3个，则标有“☆”的圆圈内应填．14．观察下面的三角形数表，第10行的所有数字之和是．15．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字不重复．盘面外的数字表示斜线方向所有格的和．那么，第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是．16．如图，6×6的正方形表格被粗线分成了9个粗线框，每个粗线框有N个格子就在这N个格子中分别填入1～N的数字，要求每个数字和其周围相邻（包括对角相邻）的数字都不相同．那么，四位数=．17．（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是．18．我们可以将全体正整数和正分数按照下图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来：是第一层：第二层是，；第三层是，，，，…按照这个规律，在层．19．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是．20．如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是．21．从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是1，2，3，1，2，3，…每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个格子不填），那么，第四行的5个数字从左至右组成的五位数是（没有数字的格子看作0）22．从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是1，2，3，1，2，3，…每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个空不填），那么，第三行的5个位置从左到右组成的五位数是．（如果是没有数字的位置则写0）23．我们可以将全体正整数和正分数按照如图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来；是第一层；第二层是，，第三层是，，，，…按照这个规律，在第层．24．在空格内填入数字1﹣6，使得每行每列数字不重复，黑点两边的数是两倍的关系，白点两边的数差为1．那么第四行所填数字从左往右前5位组成的五位数是．25．如图，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第25个图形需要小正方形个．26．若如图中方框里填上不同的正偶数后，每个正方形顶点方框内的四个数之和都相等，这个和的最小值是．27．请在下面的“木”字形数阵图中填入0～9各1个，满足4条直线的和都等于15，那么“☆”位置上的数是．28．古希腊的数学家们将自然数按以下方式与多边形联系起来，定义了多边形数：三边形数：1，3，6，10，15，…四边形数：1，4，9，16，25，…五边形数：1，5，12，22，35，…六边形数：1，6，15，28，45，……则按照上面的顺序，第6个七边形数为．29．在下面的数表中，上、下两行都是等差数列，上、下对应的两数中，大数减去小数的差，最小是．5 10 15 20…1430 1435 14402013 2006 1999 1992…18 11 4．30．如图数阵的数字是按一定的规律排列的，其中第201行左起第3个数字是31．观察上边数阵中各行数字的和的规律，根据这个规律，则第10行中各数的和等于．32．将1至5分别填入图中的圆圈内，使得两条线段上3个数的和相等．那么，共有种不同的填法．33．对自然数按如下操作：是3的倍数则除以3，不是3 的倍数则加1，直至出现1才停止．如果这样的操作进行了5次恰停止．开始的数有个．34．将1﹣16填入4×4的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面的大．其中4和13已经填好，其余14个整数有种不同的填法．35．有16名学生，他们做成一个4×4的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分公布后，每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右，如坐在角上的同学只有2人与他相邻）进行比较，如果最多只有1名同学的成绩高于他，那么他会认为自己是“幸福的”．则最多有名同学会认为自己是“幸福的”．36．将1﹣9填入3×3的表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面的数比上面的数大，其中1，4，9已经填好，那么其余6个整数有种不同的填法．37．图1的3×3表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格子恰好进过一次．（例如图2中，从7经过8可以走到5，并且图2中箭头走向是一种正确走法）请在图1中找出正确的走法．若图1中正确走法的前3个格子所填数依次为A，B，C，那么三位数=．38．分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、王的七位同学站成一排，按下列方式依次报数：报“l998”的是姓的同学．39．有一串数如图排列，第50行的最后一个数是．40．如图，圆点组成了一系列图形，每个图形的圆点个数依次为：1，3，6，10，15…．按这样排列，圆点个数为105的是第个图形．41．如图是一个由数字组成的三角形，它的组成有着一定的规律，第九行从左往右第7个数是．42．观察下列九个数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的排列方式．第一行：1 2 3 4 5 6 7 8 9第二行：2 3 4 1 6 7 5 9 8第三行：3 4 1 2 7 5 6 8 9…按以上规律排列，第一行的排列方式，从第一行起到100行，一共能出现次．43．观察下图，？代表的数是．三．解答题（共7小题）44．自然数如图的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？45．如图，把从1开始的自然数按照一定的顺序排列成数表，如果这个数表有31行31列，那么这个数表中的第1行第1列的数是．46．古希腊数学家们将一些自然数按照以下方式与正方形联系起来：并将这些数称为正方形数．1770年，法国数学家拉格朗日证明：任何一个自然数都可以表示为最多4个正方形数的和．比如2=1+1，7=1+1+1+4等．请将80表示为最多4个正方形数的和的所有可能情形．47．如图，将1、2、3…按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2016排在哪一行的从左向右数的第多少个？48．把从1开始的自然数按照如图方式排列（如图只给出了这个数表的一部分）．如果我们认为1在第0行第0列，6在第上2行第0列，12在第0行第左2列，19在第下2行第右1列．请问：（1）在第上2行第右3列的数是多少？（2）自然数2014在第几行第几列？（要求写出方向）（3）从1开始向上数100个数（1算作第1个，向后依次是2，6，14…），那么，这100个数的和是多少？49．如图，将1、2、3…按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2013排在哪一行的从左向右数的第多少个？50．观察下列图形的规律，然后填空：参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）A．79B．87C．94D．101【分析】从表中可知排列的规律是以左上角为顶点的一个等腰三角形，斜着的每组数的个数是1，2，3，4，5…，那么第10行的第一列就应在斜行的第14行上，求出斜行第14行的最后一个数，再减4即可．据此解答．【解答】解：根据以上分析知第14斜行的最后一个数是：1+2+3+ (14)=（14+1）+（13+2）+…+（8+7），=15×7，=105，105﹣4=101．故选：D．【点评】本题的关键是求出第10行第5列的数，在斜行的第几行上，然后再进行计算．二．填空题（共42小题）2．如图，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数，“1”所处的位置为第1行，“2、3、4”所处的位置为第2行，那么第8行中间数是57．【分析】根据图形知第n行的最后一个数为n×n，可得第8行第1个数为7×7+1，第8行最后一个数为8×8，从而得出第8行中间数为．【解答】解：由图可知，第1行的数为1，第2行最后一个数为2×2=4，第3行最后一个数为3×3=9，…所以第7行最后一个数为7×7=49，第8行第1个数为49+1=50，第8行最后一个数为8×8=64，则第8行中间数是=57，故答案为：57．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据图形得出第n行的最后一个数为n ×n是解题的关键．3．如图，按照表中规律把自然数填入表格，那么2016所在的行号和列号的和是54．【分析】观察数阵图中对角线上的数字2、6、12、20…，其特点是每个数字恰好是两个相邻自然数的乘积，并且，从对角线上的这个数往左边数，依次增加1，往上边数，依次减少1．另外，最顶层一排数字：1、4、9、16…全是完全平方数．因此，只要确定2016这个数对应的对角线上的数字就可以解决问题了．【解答】解：注意到对角线上的数字：2=1×2、6=2×3、12=3×4、20=4×5…，这些数字的最上方的数字1、4、9、16…为完全平方数，比2016小的完全平方数为1936=44×44，因此，从1936这个数字竖着往下数到底得到对角线上的数字为44×45=1980，1980在第45行第45列，从1980往左数36次得到2016，45﹣36=9，因此2016在第45行第9列．所以45+9=54．故答案为54．【点评】本题为数阵图中找规律的题目，主要考查同学们对数阵图中数字排列规律的观察能力以及对特殊位置上的数字结构的识别能力．解答本题的关键是观察并识别出对角线上的数字和最顶部数字的特征．4．观察下面数表中的规律，可知x=45．【分析】每一行最后一个数为完全平方数，当完全平方数为a2时，前面的数字分别为a，3a，5a，7a，据此规律解答即可．【解答】解：根据分析可得，81=92，所以，x=9×5=45；故答案为：45．【点评】一般地说，数表中的规律，应抓住以下几点来考虑问题：（1）数表中前后数的变化和特征；（3）数表中上下数的变化和特征；然后再利用这个规律，解决问题．5．沿着虚线将如图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）．图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积．每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字．每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方．在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内．最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为4251257．【分析】由题意得，图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积，并且表格内每个小正方形的面积均为1，所以中环块内的一旦一个小正方形中被标为n的话就表示这个中环块由n个小正方形构成，并且，每个小正方形上面都是标示着n．（n=0，1，2…），因此，题目的要求就是通过题目中所给的一系列的数字将题目中所空出来的部分补全，从最大的数字7开始入手．【解答】解：由题意得，图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积，并且表格内每个小正方形的面积均为1，所以中环块内的一旦一个小正方形中被标为n的话就表示这个中环块由n个小正方形构成，并且，每个小正方形上面都是标示着n．（n=0，1，2…）因此，题目的要求就是通过题目中所给的一系列的数字将题目中所空出来的部分补全．先从最大的数字7开始入手．考虑右下角填数字5，结合任意两个相邻“中环块”的面积均不同，填右边数字4，填下方数字3，填数字5，左上角填入4，中间填2，接着填入3，填入3，2剩下的部分填1，2，所以这个七位数为4251257，故答案为4251257．【点评】本题考查数阵图中找规律，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意是关键．6．在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填7．【分析】因为每条直线上的数字之和都相等，所以左下角的圆圈内应填2+0+1+6﹣2=7；【解答】解：因为每条直线上的数字之和都相等，所以左下角的圆圈内应填2+0+1+6﹣2=7，故答案为7．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是理解题意，根据每条直线上的数字之和都相等，即可解决问题．7．将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了三次．【分析】2016年的“日”只有29，30，31三种，由于一行有十个数，所以当1个月有30“日”时，12所在的列不变，一个月有29“日”时，12所在的列往前移动一列，一个月有31“日”时，12所在的列往后移动一列，由下表可知，2月份12第一次出现在第五行第三列，2016年2月份有29日，所以3月份12在第二列；2106年3月份有31日，所以4月份12在第三列，2016年4月份30日，所以5月份12在第三列，2016年5月份有31日，所以6月份12在第四列，由此即可解决问题．【解答】解：2016年的“日”只有29，30，31三种，由于一行有十个数，所以当1个月有30“日”时，12所在的列不变，一个月有29“日”时，12所在的列往前移动一列，一个月有31“日”时，12所在的列往后移动一列，由下表可知，2月份12第一次出现在第五行第三列，2016年2月份有29日，所以3月份12在第二列；2106年3月份有31日，所以4月份12在第三列，2016年4月份30日，所以5月份12在第三列，2016年5月份有31日，所以6月份12在第四列，…再往后最多往后移动四列，所以第三列不会出现12了，一共出现三次．故答案为三．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是理解题意，熟悉年历的变化规律．8．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字都不重复，并且两个灰色正方形中相同位置的数字完全相同，那么，五位数是12346．【分析】由题意每宫数字都不重复，A、B只能是1和2或2和1，F、G只能是4和1或1和4，由此作出假设，即可解决问题．【解答】解：由题意每宫数字都不重复，A、B只能是1和2或2和1，F、G只能是4和1或1和4，再根据每行、每列和每宫数字都不重复，可知A为1，B为2，F为4，G为1，由此可以得出如图的结论，所以五位数是12346，故答案为12346．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．9．如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来，如图46在这个数表的第a 行，第b列，那么a×b=156．【分析】由表得出每行4个数且第n行的第1个数位于第n列，由46÷4=11 (2)知46位于第12行第2个数，即第13列，据此可得答案．【解答】解：由表可知，每行4个数，且第n行的第1个数位于第n列，46÷4=11…2，则46位于第12行，第2个数，即第13列，a×b=12×13=156，故答案为：156．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据表格得出每行4个数且第n行的第1个数位于第n列是解题的关键．10．所有自然数如图排列，数300位于字母D的下面．【分析】观察数阵可知每7个数一个循环周期，用300除以7求出商和余数，然后根据余数即可确定数300位于哪个字母的下面．【解答】解：每一循环周期中的相对应的数除以7的余数都相同．因为300÷7=42…6，所以300与6位于同一列，所以，数300应在D字母下面．故答案为：D．【点评】本题考查了数阵图中找规律的问题，关键是明确每一循环周期中的相对应的数除以7的余数都相同．11．在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是46123．【分析】首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．根据题意即可求解．【解答】解：依题意可知：首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．继续推理可知答案如图所示：故答案为：46123．【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，突破口就是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．问题解决．12．图中三角形数表中第4行第5列是63．【分析】首先分析衡行是二次等差数列．数列也是二次等差数列．继续分析求解即可．【解答】解：依题意可知：第四行的首个数字是19，这是一个二次等差的等差数列．19+8=27．27+10=37．37+12=49．49+14=63．故答案为：63【点评】本题考查对数阵图规律的理解和运用，关键是找到二次等差数列的关系．问题解决．13．将1～9这9个数分别填入图中的圆圈内，使得每个三角（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的3个，则标有“☆”的圆圈内应填7．【分析】根据每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15，求出E，C，B，即可求出标有“☆”的圆圈内应填的数字．【解答】解：图中共有7 个三角形，每个三角形的 3 个顶点数的和都是15．E=15﹣9﹣4=2，C=15﹣1﹣9=5，B=15﹣4﹣C=6，★=15﹣B﹣E=7．故答案为7．【点评】本题考查数阵图，考查学生的计算能力，正确运用每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15是关键．14．观察下面的三角形数表，第10行的所有数字之和是256．【分析】观察规律，推出第十行的数字为10个13，9个14，由此即可解决问题．【解答】解：因为第10行的前面有1+3+5+…+17=81个数，又因为1+2+…+12=78，所以第十行的19个数为，10个13，9个14，所以第10行的所有数字之和是130+9×14=256．故答案为256．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．15．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字不重复．盘面外的数字表示斜线方向所有格的和．那么，第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是35126．【分析】首先确定四个角上的数字，盘面外的数字7和5，可以确定相应的数字，再用类似的方法，即可解决问题．【解答】解：首先确定四个角上的数字，盘面外的数字7和5，可以确定相应的数字，再用类似的方法，即可得出图中的结论．所以第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是35126．故答案为35126．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．16．如图，6×6的正方形表格被粗线分成了9个粗线框，每个粗线框有N个格子就在这N个格子中分别填入1～N的数字，要求每个数字和其周围相邻（包括对角相邻）的数字都不相同．那么，四位数=3521．【分析】由题意一个格只能填1，2个格只能填1，2，三个格只能填1，2，3．且和周围8个数均不相同，用此方法，先确定1格，2格，3格的数字，由此即可解决问题．【解答】解：由题意一个格只能填1，2个格只能填1，2，三个格只能填1，2，3．且和周围8个数均不相同，用此方法，先确定1格，2格，3格的数字，可得如图所示的答案．∴四位数=3521，故答案为3521．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．17．（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是18．【分析】观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），由此即可解决问题．【解答】解：观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），再结合题意，认真思考，即可得出图中结论．因为5+5+5+1+2=18，故答案为18．【点评】本题考查数阵图中找规律，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．18．我们可以将全体正整数和正分数按照下图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来：是第一层：第二层是，；第三层是，，，，…按照这个规律，在8层．【分析】找到数阵图规律数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分母．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：根据数阵图规律可知；；；；数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分母．那么对应相乘的数字就是，他们之前的是数字积是．那么与相乘的就是前一个数字就是．所以×=，×=.×=；在第三层，后面的数字为，，，，．故答案为：8【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，关键问题是找到数阵图规律，问题解决．19．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是54．【分析】由图形中数字的排列得出第n行的最后一个数为n×n，从而知第7行最后一个数为7×7、第8行中，从左向右第5个数为7×7+5．【解答】解：由图可知，第1行的数为1，第2行的最后一个数为2×2=4，第3行的最后一个数为3×3=9，…所以第7行最后一个数为7×7=49，则第8行第1个数为49+1=50，第5个数为50+4=54，故答案为：54．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据数字排列规律得出第n行的最后一个数为n×n是解题的关键．20．如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是504．。
在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧！如图，在空格中填入2、3、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于8。
【解答】如图，在空格中填入1、2、4、5，使横行和竖行三个数的和都等于9。
【解答】知识分类一：基础数阵图113325341245如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和等于15。
【解答】将2，4，6，7，8，10分别填入图中空格，使每一个横行、竖行、斜行的三个数的和等于18。
【解答】81 8 7935 7 26 104把1、3、5、7、9、11、13七个数填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21。
【解答】这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14；1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。
把1、2、3、7、8、9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。
【答案】把1、2、3、4、5、6这六个数填入下图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13。
【答案】58219753知识分类二：数阵图进阶213645把10、20、30、40、50、60、70、80这八个数填入下图的圆圈里，使每个大圆上的五个数的和都是200.【答案】在圆圈内填上1～8这八个数字，使长方形每条边上三个数的和为12.【答案】703080401020605024675381将1、2、3、4、5、6这六个数填在下面的圆圈里，使每条线上三个数的和等于9.【答案】由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1～7七个自然数，在一些部分中，自然数3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15.【答案】34256137521 3754 6将10、14、6填入下图，使每个圆圈中四个数的和都是30.【答案】412288126210144。
小学数学《数阵图》练习题（含答案）数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.（一）封闭型数阵问题【例1】（★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？【例2】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？24273028262218 1720x【例3】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?【例4】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等?【例5】（★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.3（二）辐射型数阵【例6】（★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．【例7】 （★★★）把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．【例8】 （★★★）左图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等.【例9】 （★★★）在下图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x 是多少？（三）其它类型的数阵图【例10】 （★★★）在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得按顺时针循环式成立：【例11】 （★★★★）将1～8这八个自然数填入左下图的空格内，使四边形组成的四个等式都成立：【例12】 （★★★★）下图包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?+=====----===×÷+=-+=+=1.请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．2.把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.3.把1至6分别填入下图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．4.将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等.5.将1～8八个数分别填入右上图的八个○内，使得图中的六个等式都成立.△代表几？37 5=== =+++++（一）封闭型数阵问题【例13】 （★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？75623841或84362571分析：因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13×4=52，而1+2+…+7+8=36，所以四个角上的四个数之和等于52-36=16．在1～8中选四个数，四数之和等于16，且其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6．经试验，只有右上图的两种填法．亮点设计：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的.（2）设计问题：正方形每条边之和是13，13×4=52，但是所有数的和是：1+2+…+7+8=36，为什么会出现结果不同的问题呢？仔细观察这个数阵，四条边上所有数相加的过程中四个角上的数都被重复加了一次，也就是四个角上的数是重复数，52-36=16即为这四个重复数的和. （3）强调分组法与试验法：知道了四个数的和之后，下一步就要先确定这四个数，采用分组法和试验法.分组法是将这个和根据要求拆成四个数，例如本题中要求其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13，根据要求将16分成4个数的和：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6，但是未必每一组都是合适的，这就需要采用试验法，将它们一一进行试验.（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现.[前铺]将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11．614532分析：因为每边上的和为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+…+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在1～6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，填法见右上图.[拓展]将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围.654321654321654321654321k=9 k=10 k=11 k=12分析：设三角形三个顶点的数字之和为s.因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍.于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为s+21=3k.由于s是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9≤k≤12.s和k有四组取值：通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见右上图）.【例14】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？242730282622181720x分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.[拓展]找规律求xx24123082616186452分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍.比如：（26-18）×2=16.（30-26）×2=8.（30-24）×2=12.因为52÷2=26>24，所以x=26+24=50.经检验，（50--18）×2=64.【例15】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和．因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次．于是，45×2-(a+b+c)=3 s．要使s尽可能大，只要a+b+c尽可能小．所以a+b+c=1+2+3=6，于是90-6=3 s，s=28．剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；5 +9=14．经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一．[拓展一]如图是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少?ihgfedcba分析：计算五个圈内各数之和的和，其中b，d，f，h被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8，所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当b，d，f，h取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.[拓展二]有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?分析：9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形中的和的和，这个和能被3整除，其中a和b被重复计算了两次，所以2+3+……11+a+b=65+a+b=3s，当a+b=1，4，7……时，65+a+b可以被3整除，因为要取最小值，所以a+b的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，a+b=7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和也取得最小值（65+7）÷3=24.【例16】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形5619372481528763049分析：0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图.[拓展一]将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值.分析：先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复数只能是1，2，3，4，6的组合.又因为有1个和为20，相应三角形上的三个数只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图.[拓展二]图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由．344341222311分析：（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8的倍数，但是这个总和有三组1、2、3、4组成，其中一组数被重复计算三次，一组数被重复计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6×（1+2+3+4）=60，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等. （2）能，见右上图.【例17】 （★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析：3组数都包括左右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.现在还有1、5、7、11、13、17、19七个数供选择，两两之和相等的有1＋19＝7＋13，只有两组，淘汰这一组；还有1+17=5+13+7+11，于是得到右上图的填法.（二）辐射型数阵【例18】 （★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．635412762534175243716（1） （2） （3）分析：设中心○内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a 一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a 一定是3的倍数．而28÷3—9余1，那么2a ÷3的余数应该是2，因此，a=1，4或7．(1)当a=1时，28+2=30，30÷3=10，10-1=9，除中心外，其他两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7六个数按“和”是9分成三组填入相应的○内就可以了．填法如图（1） (2)当a=4时，28+8=36，36÷3=12．填法如图（2）(3)当a=7时，28+14=42，42÷3=14．填法如图(3)．亮点设计：（1）建议教师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。
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第1题在下面的岡囱里境上适当的数「便讯条找上的：伞数之和郁是戊，你能做到鬥？H.不能IX 』伽逍D,无法礁宜把陀〜R 这F 个敌嵐入岡周中•便两篆昭上的三个槪Z 柯都等于1右诂可屮说门川岡埔UL?La= _y把2, 3. 1, 5, 7, 8直了車数份别填入网圈中，便再毎条巨践匕的3牛数的和答T 13* 请问屮创的囲圏填儿*【罔"哪试舉】< **★*)把3,仏5, 7, 9, 1E 13这七个款分别塡入凰圏里，使輛漲豆找上的二，敷相朗I 的艸 >J^D.请问屮间的圜謂填几2乩13it g\\ 7队4f锢台测诫却】:JI J ■ 乱i•乙牛甦分制填.人下罔W・使网仁丄風打『,散的和郁等于MB, ,5[\ 3氐6第6题【例◎捌试趙】＜W****J在副圈魁填t ”仁哉订条我匕怡和人1?.请问三牛苗的圆圏内稠什么数丫A, 5. 0. 7H、 :*. 1・月l \ N ；时：iIK 2， 3・ 4试题答案题：第1:A 正确答案答案解析□I稠答枭I A【知识点】简单的数阵图[Mr]2第题：：C正确答案.答案解析【托确答案1C【期识Z】19单的姑阳【解析I题：第3:A 正确答案答案解析[也确答峯]A【知识恵】陆单的敌阵图题：4第:D 正确答案答案解 析.【止确答秦］D【如识立】草的数薛图 ［强析J第5题：正确答案:C答案解析［旺确答案】C【知识点】廊草的叛阵图【仲』第6题：正确答案：D答案解析.(IE确答案】D【知识点］简单的数阵图伽】。
小学数学《数阵图》练习题（含答案）课前复习1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16.【答案】【答案】2.在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18.【答案】3. 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是64.【答案】在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵.到底什么是数阵呢?我们先观察下面2个图：在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两条对角线上三个数的和都是15.认真观察，你发现每个图中的数字有什么特点？左上图有两条直线，每条直线上都有3个数字，它们的和都分别等于15；而右上图，将l～9九个数字排成三行、三列，每一行、每一列、每一斜行上的3个数字的和都等于15.数阵就是用数(一般指自然数)按一定的要求和规律，组成特定的形状或布成特定的阵势.它一般分为辐射型(左上图)和封闭型(右上图).要把一些数字按一定的规则填入图形中，有没有巧妙的方法来填呢?今天这节课我们就一起来学习.辐射型数阵图【例1】把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10.【分析】横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数a被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于10，所以(1+2+3+4+5)+a=10×2，a=5.剩下4个数中每两个数之和应该等于5，，1+4=2+3。
【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等.【分析】方法一：把6除外，还剩4，5，7，8，这四个数，在这四个数中4+8=5+7，这样可以填出答案。
方法二：与例1不同之处是已知“重叠数”为6，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.可以先求出这个“和k”.(4+5+6+7+8)+6=k×2.K=18。
数阵图 ( 二)上一讲我们讲了仅有一个“重叠数” 的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的关闭型数阵图。
例 1 将 1～8 这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
剖析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是21× 2-(1+2++8)=6 。
1 次，因此两个重叠数之和为在已知的八个数中，两个数之和为 6 的只有外三个数之和为21-6=15。
假如两个重叠数为 1 与 5，那么剩下的六个数组，每组三数之和为15 的只有2+6+7=15和 3+4+8=15，1 与 5， 2 与 4。
每个大圆上另2，3，4，6，7，8 均分为两故有左下列图的填法。
假如两个重叠数为 2 与 4，那么同理可得上页右下列图的填法。
例 2 将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11。
剖析与解：此题有三个重叠数，即三角形三个极点○内的数都是重叠数，而且各重叠一次。
因此三个重叠数之和等于11× 3-(1+2+ +6)=12。
1～6 中三个数之和等于12 的有 1，5，6；2，4，6；3，4，5。
假如三个重叠数是 1，5，6，那么依据每条边上的三个数之和等于 11，可得左下列图的填法。
简单发现，所填数不是 1～6，不合题意。
同理，三个重叠数也不可以是3，4，5。
经试验，当重叠数是2，4，6 时，能够获得切合题意的填法( 见右上图 ) 。
例 3 将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
剖析与解：与例2 不一样的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重叠了一次，由 (1+2+ +6)+重叠数之和 =每边三数之和× 3，获得每边的三数之和等于[(1+2++6)+ 重叠数之和 ] ÷3=(21+重叠数之和 ) ÷ 3=7+重叠数之和÷ 3。
因为每边的三数之和是整数，因此重叠数之和应是3 的倍数。
第1讲 --数阵找规律基础班1.按一定的规律在括号中填上适当的数：（1）1，2，3，4，5，（），7 解：等差数列，括号处填6。
（2）100，95，90，85，80，（），70 解：等差数列，括号处填75。
（3）1，2，4，8，16，（），64 解：等比数列，括号处填32。
（4）2，1，3，4，7，（），18，29，47 解：相邻两项的和等于下一项，括号处填11。
（5）1，2，5，10，17，（），37，50 解：后项-前项=前项的项数×2-1，括号处填 26。
（6）1，8，27，64，125，（），343 解：立方数列，括号处填216。
（7）1，9，2，8，3，（），4，6，5，5 解：双重数列，括号处填7.2.观察下面已给出的数表，并按规律填空：解：第5行的括号中填25；第6行的括号中填37。
3. 先观察下面各算式，再按规律填数。
（1） 9×9+7=8898×9+6=888987×9+5=888898765×9+___=888888__________×9+1=_____________（2） 21×9=189321×9=288954321×9=___________7654321×9=_______________解：（1）3，9876543，；（2）488889，。
4．寻找规律填数：(1)考察上、下两数的差。
32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？”=35-16=19，下面那个“？”解：18+16=34。
(2)从左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，…知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，…知，9下面的“？”解：14。
提高班1.按一定的规律在括号中填上适当的数：（1）1，2，3，4，5，（），7 解：等差数列，括号处填6。
（2）100，95，90，85，80，（），70 解：等差数列，括号处填75。
小学奥数练习卷（知识点：数阵图中找规律）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）A．79B．87C．94D．101第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共42小题）2．如图，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数，“1”所处的位置为第1行，“2、3、4”所处的位置为第2行，那么第8行中间数是．3．如图，按照表中规律把自然数填入表格，那么2016所在的行号和列号的和是．4．观察下面数表中的规律，可知x=．5．沿着虚线将如图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）．图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积．每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字．每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方．在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内．最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为．6．在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填．7．将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了次．8．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字都不重复，并且两个灰色正方形中相同位置的数字完全相同，那么，五位数是．9．如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来，如图46在这个数表的第a 行，第b列，那么a×b=．10．所有自然数如图排列，数300位于字母的下面．11．在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是．12．图中三角形数表中第4行第5列是．13．将1～9这9个数分别填入图中的圆圈内，使得每个三角（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的3个，则标有“☆”的圆圈内应填．14．观察下面的三角形数表，第10行的所有数字之和是．15．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字不重复．盘面外的数字表示斜线方向所有格的和．那么，第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是．16．如图，6×6的正方形表格被粗线分成了9个粗线框，每个粗线框有N个格子就在这N个格子中分别填入1～N的数字，要求每个数字和其周围相邻（包括对角相邻）的数字都不相同．那么，四位数=．17．（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是．18．我们可以将全体正整数和正分数按照下图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来：是第一层：第二层是，；第三层是，，，，…按照这个规律，在层．19．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是．20．如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是．21．从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是1，2，3，1，2，3，…每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个格子不填），那么，第四行的5个数字从左至右组成的五位数是（没有数字的格子看作0）22．从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是1，2，3，1，2，3，…每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个空不填），那么，第三行的5个位置从左到右组成的五位数是．（如果是没有数字的位置则写0）23．我们可以将全体正整数和正分数按照如图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来；是第一层；第二层是，，第三层是，，，，…按照这个规律，在第层．24．在空格内填入数字1﹣6，使得每行每列数字不重复，黑点两边的数是两倍的关系，白点两边的数差为1．那么第四行所填数字从左往右前5位组成的五位数是．25．如图，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第25个图形需要小正方形个．26．若如图中方框里填上不同的正偶数后，每个正方形顶点方框内的四个数之和都相等，这个和的最小值是．27．请在下面的“木”字形数阵图中填入0～9各1个，满足4条直线的和都等于15，那么“☆”位置上的数是．28．古希腊的数学家们将自然数按以下方式与多边形联系起来，定义了多边形数：三边形数：1，3，6，10，15，…四边形数：1，4，9，16，25，…五边形数：1，5，12，22，35，…六边形数：1，6，15，28，45，……则按照上面的顺序，第6个七边形数为．29．在下面的数表中，上、下两行都是等差数列，上、下对应的两数中，大数减去小数的差，最小是．5 10 15 20…1430 1435 14402013 2006 1999 1992…18 11 4．30．如图数阵的数字是按一定的规律排列的，其中第201行左起第3个数字是31．观察上边数阵中各行数字的和的规律，根据这个规律，则第10行中各数的和等于．32．将1至5分别填入图中的圆圈内，使得两条线段上3个数的和相等．那么，共有种不同的填法．33．对自然数按如下操作：是3的倍数则除以3，不是3 的倍数则加1，直至出现1才停止．如果这样的操作进行了5次恰停止．开始的数有个．34．将1﹣16填入4×4的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面的大．其中4和13已经填好，其余14个整数有种不同的填法．35．有16名学生，他们做成一个4×4的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分公布后，每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右，如坐在角上的同学只有2人与他相邻）进行比较，如果最多只有1名同学的成绩高于他，那么他会认为自己是“幸福的”．则最多有名同学会认为自己是“幸福的”．36．将1﹣9填入3×3的表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面的数比上面的数大，其中1，4，9已经填好，那么其余6个整数有种不同的填法．37．图1的3×3表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格子恰好进过一次．（例如图2中，从7经过8可以走到5，并且图2中箭头走向是一种正确走法）请在图1中找出正确的走法．若图1中正确走法的前3个格子所填数依次为A，B，C，那么三位数=．38．分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、王的七位同学站成一排，按下列方式依次报数：报“l998”的是姓的同学．39．有一串数如图排列，第50行的最后一个数是．40．如图，圆点组成了一系列图形，每个图形的圆点个数依次为：1，3，6，10，15…．按这样排列，圆点个数为105的是第个图形．41．如图是一个由数字组成的三角形，它的组成有着一定的规律，第九行从左往右第7个数是．42．观察下列九个数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的排列方式．第一行：1 2 3 4 5 6 7 8 9第二行：2 3 4 1 6 7 5 9 8第三行：3 4 1 2 7 5 6 8 9…按以上规律排列，第一行的排列方式，从第一行起到100行，一共能出现次．43．观察下图，？代表的数是．三．解答题（共7小题）44．自然数如图的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？45．如图，把从1开始的自然数按照一定的顺序排列成数表，如果这个数表有31行31列，那么这个数表中的第1行第1列的数是．46．古希腊数学家们将一些自然数按照以下方式与正方形联系起来：并将这些数称为正方形数．1770年，法国数学家拉格朗日证明：任何一个自然数都可以表示为最多4个正方形数的和．比如2=1+1，7=1+1+1+4等．请将80表示为最多4个正方形数的和的所有可能情形．47．如图，将1、2、3…按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2016排在哪一行的从左向右数的第多少个？48．把从1开始的自然数按照如图方式排列（如图只给出了这个数表的一部分）．如果我们认为1在第0行第0列，6在第上2行第0列，12在第0行第左2列，19在第下2行第右1列．请问：（1）在第上2行第右3列的数是多少？（2）自然数2014在第几行第几列？（要求写出方向）（3）从1开始向上数100个数（1算作第1个，向后依次是2，6，14…），那么，这100个数的和是多少？49．如图，将1、2、3…按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2013排在哪一行的从左向右数的第多少个？50．观察下列图形的规律，然后填空：参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）A．79B．87C．94D．101【分析】从表中可知排列的规律是以左上角为顶点的一个等腰三角形，斜着的每组数的个数是1，2，3，4，5…，那么第10行的第一列就应在斜行的第14行上，求出斜行第14行的最后一个数，再减4即可．据此解答．【解答】解：根据以上分析知第14斜行的最后一个数是：1+2+3+ (14)=（14+1）+（13+2）+…+（8+7），=15×7，=105，105﹣4=101．故选：D．【点评】本题的关键是求出第10行第5列的数，在斜行的第几行上，然后再进行计算．二．填空题（共42小题）2．如图，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数，“1”所处的位置为第1行，“2、3、4”所处的位置为第2行，那么第8行中间数是57．【分析】根据图形知第n行的最后一个数为n×n，可得第8行第1个数为7×7+1，第8行最后一个数为8×8，从而得出第8行中间数为．【解答】解：由图可知，第1行的数为1，第2行最后一个数为2×2=4，第3行最后一个数为3×3=9，…所以第7行最后一个数为7×7=49，第8行第1个数为49+1=50，第8行最后一个数为8×8=64，则第8行中间数是=57，故答案为：57．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据图形得出第n行的最后一个数为n ×n是解题的关键．3．如图，按照表中规律把自然数填入表格，那么2016所在的行号和列号的和是54．【分析】观察数阵图中对角线上的数字2、6、12、20…，其特点是每个数字恰好是两个相邻自然数的乘积，并且，从对角线上的这个数往左边数，依次增加1，往上边数，依次减少1．另外，最顶层一排数字：1、4、9、16…全是完全平方数．因此，只要确定2016这个数对应的对角线上的数字就可以解决问题了．【解答】解：注意到对角线上的数字：2=1×2、6=2×3、12=3×4、20=4×5…，这些数字的最上方的数字1、4、9、16…为完全平方数，比2016小的完全平方数为1936=44×44，因此，从1936这个数字竖着往下数到底得到对角线上的数字为44×45=1980，1980在第45行第45列，从1980往左数36次得到2016，45﹣36=9，因此2016在第45行第9列．所以45+9=54．故答案为54．【点评】本题为数阵图中找规律的题目，主要考查同学们对数阵图中数字排列规律的观察能力以及对特殊位置上的数字结构的识别能力．解答本题的关键是观察并识别出对角线上的数字和最顶部数字的特征．4．观察下面数表中的规律，可知x=45．【分析】每一行最后一个数为完全平方数，当完全平方数为a2时，前面的数字分别为a，3a，5a，7a，据此规律解答即可．【解答】解：根据分析可得，81=92，所以，x=9×5=45；故答案为：45．【点评】一般地说，数表中的规律，应抓住以下几点来考虑问题：（1）数表中前后数的变化和特征；（3）数表中上下数的变化和特征；然后再利用这个规律，解决问题．5．沿着虚线将如图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）．图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积．每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字．每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方．在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内．最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为4251257．【分析】由题意得，图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积，并且表格内每个小正方形的面积均为1，所以中环块内的一旦一个小正方形中被标为n的话就表示这个中环块由n个小正方形构成，并且，每个小正方形上面都是标示着n．（n=0，1，2…），因此，题目的要求就是通过题目中所给的一系列的数字将题目中所空出来的部分补全，从最大的数字7开始入手．【解答】解：由题意得，图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积，并且表格内每个小正方形的面积均为1，所以中环块内的一旦一个小正方形中被标为n的话就表示这个中环块由n个小正方形构成，并且，每个小正方形上面都是标示着n．（n=0，1，2…）因此，题目的要求就是通过题目中所给的一系列的数字将题目中所空出来的部分补全．先从最大的数字7开始入手．考虑右下角填数字5，结合任意两个相邻“中环块”的面积均不同，填右边数字4，填下方数字3，填数字5，左上角填入4，中间填2，接着填入3，填入3，2剩下的部分填1，2，所以这个七位数为4251257，故答案为4251257．【点评】本题考查数阵图中找规律，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意是关键．6．在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填7．【分析】因为每条直线上的数字之和都相等，所以左下角的圆圈内应填2+0+1+6﹣2=7；【解答】解：因为每条直线上的数字之和都相等，所以左下角的圆圈内应填2+0+1+6﹣2=7，故答案为7．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是理解题意，根据每条直线上的数字之和都相等，即可解决问题．7．将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了三次．【分析】2016年的“日”只有29，30，31三种，由于一行有十个数，所以当1个月有30“日”时，12所在的列不变，一个月有29“日”时，12所在的列往前移动一列，一个月有31“日”时，12所在的列往后移动一列，由下表可知，2月份12第一次出现在第五行第三列，2016年2月份有29日，所以3月份12在第二列；2106年3月份有31日，所以4月份12在第三列，2016年4月份30日，所以5月份12在第三列，2016年5月份有31日，所以6月份12在第四列，由此即可解决问题．【解答】解：2016年的“日”只有29，30，31三种，由于一行有十个数，所以当1个月有30“日”时，12所在的列不变，一个月有29“日”时，12所在的列往前移动一列，一个月有31“日”时，12所在的列往后移动一列，由下表可知，2月份12第一次出现在第五行第三列，2016年2月份有29日，所以3月份12在第二列；2106年3月份有31日，所以4月份12在第三列，2016年4月份30日，所以5月份12在第三列，2016年5月份有31日，所以6月份12在第四列，…再往后最多往后移动四列，所以第三列不会出现12了，一共出现三次．故答案为三．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是理解题意，熟悉年历的变化规律．8．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字都不重复，并且两个灰色正方形中相同位置的数字完全相同，那么，五位数是12346．【分析】由题意每宫数字都不重复，A、B只能是1和2或2和1，F、G只能是4和1或1和4，由此作出假设，即可解决问题．【解答】解：由题意每宫数字都不重复，A、B只能是1和2或2和1，F、G只能是4和1或1和4，再根据每行、每列和每宫数字都不重复，可知A为1，B为2，F为4，G为1，由此可以得出如图的结论，所以五位数是12346，故答案为12346．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．9．如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来，如图46在这个数表的第a 行，第b列，那么a×b=156．【分析】由表得出每行4个数且第n行的第1个数位于第n列，由46÷4=11 (2)知46位于第12行第2个数，即第13列，据此可得答案．【解答】解：由表可知，每行4个数，且第n行的第1个数位于第n列，46÷4=11…2，则46位于第12行，第2个数，即第13列，a×b=12×13=156，故答案为：156．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据表格得出每行4个数且第n行的第1个数位于第n列是解题的关键．10．所有自然数如图排列，数300位于字母D的下面．【分析】观察数阵可知每7个数一个循环周期，用300除以7求出商和余数，然后根据余数即可确定数300位于哪个字母的下面．【解答】解：每一循环周期中的相对应的数除以7的余数都相同．因为300÷7=42…6，所以300与6位于同一列，所以，数300应在D字母下面．故答案为：D．【点评】本题考查了数阵图中找规律的问题，关键是明确每一循环周期中的相对应的数除以7的余数都相同．11．在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是46123．【分析】首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．根据题意即可求解．【解答】解：依题意可知：首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．继续推理可知答案如图所示：故答案为：46123．【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，突破口就是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．问题解决．12．图中三角形数表中第4行第5列是63．【分析】首先分析衡行是二次等差数列．数列也是二次等差数列．继续分析求解即可．【解答】解：依题意可知：第四行的首个数字是19，这是一个二次等差的等差数列．19+8=27．27+10=37．37+12=49．49+14=63．故答案为：63【点评】本题考查对数阵图规律的理解和运用，关键是找到二次等差数列的关系．问题解决．13．将1～9这9个数分别填入图中的圆圈内，使得每个三角（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的3个，则标有“☆”的圆圈内应填7．【分析】根据每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15，求出E，C，B，即可求出标有“☆”的圆圈内应填的数字．【解答】解：图中共有7 个三角形，每个三角形的 3 个顶点数的和都是15．E=15﹣9﹣4=2，C=15﹣1﹣9=5，B=15﹣4﹣C=6，★=15﹣B﹣E=7．故答案为7．【点评】本题考查数阵图，考查学生的计算能力，正确运用每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15是关键．14．观察下面的三角形数表，第10行的所有数字之和是256．【分析】观察规律，推出第十行的数字为10个13，9个14，由此即可解决问题．【解答】解：因为第10行的前面有1+3+5+…+17=81个数，又因为1+2+…+12=78，所以第十行的19个数为，10个13，9个14，所以第10行的所有数字之和是130+9×14=256．故答案为256．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．15．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字不重复．盘面外的数字表示斜线方向所有格的和．那么，第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是35126．【分析】首先确定四个角上的数字，盘面外的数字7和5，可以确定相应的数字，再用类似的方法，即可解决问题．【解答】解：首先确定四个角上的数字，盘面外的数字7和5，可以确定相应的数字，再用类似的方法，即可得出图中的结论．所以第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是35126．故答案为35126．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．16．如图，6×6的正方形表格被粗线分成了9个粗线框，每个粗线框有N个格子就在这N个格子中分别填入1～N的数字，要求每个数字和其周围相邻（包括对角相邻）的数字都不相同．那么，四位数=3521．【分析】由题意一个格只能填1，2个格只能填1，2，三个格只能填1，2，3．且和周围8个数均不相同，用此方法，先确定1格，2格，3格的数字，由此即可解决问题．【解答】解：由题意一个格只能填1，2个格只能填1，2，三个格只能填1，2，3．且和周围8个数均不相同，用此方法，先确定1格，2格，3格的数字，可得如图所示的答案．∴四位数=3521，故答案为3521．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．17．（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是18．【分析】观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），由此即可解决问题．【解答】解：观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），再结合题意，认真思考，即可得出图中结论．因为5+5+5+1+2=18，故答案为18．【点评】本题考查数阵图中找规律，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．18．我们可以将全体正整数和正分数按照下图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来：是第一层：第二层是，；第三层是，，，，…按照这个规律，在8层．【分析】找到数阵图规律数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分母．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：根据数阵图规律可知；；；；数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分母．那么对应相乘的数字就是，他们之前的是数字积是．那么与相乘的就是前一个数字就是．所以×=，×=.×=；在第三层，后面的数字为，，，，．故答案为：8【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，关键问题是找到数阵图规律，问题解决．19．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是54．【分析】由图形中数字的排列得出第n行的最后一个数为n×n，从而知第7行最后一个数为7×7、第8行中，从左向右第5个数为7×7+5．【解答】解：由图可知，第1行的数为1，第2行的最后一个数为2×2=4，第3行的最后一个数为3×3=9，…所以第7行最后一个数为7×7=49，则第8行第1个数为49+1=50，第5个数为50+4=54，故答案为：54．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据数字排列规律得出第n行的最后一个数为n×n是解题的关键．20．如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是504．。
