(详解版)福州市2020届高三理科数学5月调研卷(理数)参考答案

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．53．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（）A．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．46．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（ ）A ．(45+9√2)πB ．36πC ．63πD ．216+9π7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO 为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ）A ．f(x)=sin5x2−x −2x B ．f(x)=cosx2x−2−x C ．f(x)=cos5x |2x −2−x |D ．f(x)=sin5x |2x −2−x |8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π49．若(ax x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．73210．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为√3的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为抛物线C 上的动点，且点P 在l 的左侧，则△PMN 面积的最大值为（ ） A ．√3B ．2√3C ．2√33D ．16√3911．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2√7，b =4，A =120°，则△ABC 的面积为 ．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin 2α2= ．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 ．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．19．已知0＜m ＜2，动点M 到两定点F 1（﹣m ，0），F 2（m ，0）的距离之和为4，设点M 的轨迹为曲线C ，若曲线C 过点N(√2，√22)．（1）求m 的值以及曲线C 的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．证明：以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =−1+√14cosφy =1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=3√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2x﹣1﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜3的解集；（2）若方程f（x）＝x2+ax有两个不等实数根，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则∁B A＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，0]C．（﹣1，2）D．（﹣1，0）【分析】先求出集合A，B，再利用补集的定义即可算出结果．解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁B A＝{x|﹣1＜x≤0}，故选：B．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2．已知z=5a2+i(a＞0)，若z⋅z=5，则a＝（）A．1B．√5C．√3D．5【分析】z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，利用互为共轭复数的性质可得z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a．解：z=5a(2−i)(2+i)(2−i)=2a﹣ai，∴5＝z•z=√(2a)2+(−a)2，a＞0，解得a＝1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、互为共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知a=30.3，b=(12)π，c=log5√6，则（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵30.3＞30＝1，∴a ＞1， ∵0＜(12)π＜(12)1=12，∴0＜b ＜12，∵log 5√6＞log 5√5=12，且log 5√6＜log 55=1，∴12＜c ＜1，∴a ＞c ＞b ， 故选：C ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4．某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图．下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是（ ）A ．甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B ．根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C ．根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D ．乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【分析】据折线图分别判断ABCD 的正误即可．解：对于A ，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，最高营业额远低于32万元，A 错误．对于B ，甲门店的营业额的平均值为12+18+21+28+32+25+24+18+169=1949≈21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20，25]内，B 正确．对于C ，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C 正确． 对于D ，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D 正确． 故选：A ．【点评】本题考查了频率分布折线图，考查数形结合，是一道基础题． 5．若x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．4【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在y 轴上的截距最小时z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函数可求z 的最大值．解：由x ，y 满足约束条件{3x −y +3≥0x +y −3≤03x −5y −9≤0，作出可行域如图，由z ＝x ﹣2y ，得y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过可行域内点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最大．联立{3x −y +3=03x −5y −9=0，解得A （﹣2，﹣3）．∴目标函数z＝x﹣2y的最大值为﹣2+2×3＝4．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A．(45+9√2)πB．36πC．63πD．216+9π【分析】由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解：由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝V柱+V锥＝π•32•6+13π•32•3＝63π．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积问题，是基础题．7．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）A．f(x)=sin5x2−x−2xB．f(x)=cosx2x−2−xC．f(x)=cos5x|2x−2−x|D．f(x)=sin5x|2x−2−x|【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值，利用排除法得解．解：观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；对选项A而言，当x∈(0，π5)时，f（x）＜0，不合题意；故选：C ．【点评】本题考查函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，若∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，则正数φ的最小值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．π3D ．π4【分析】根据函数f （x ）的性质可知，相邻的与x 轴的两个交点距离是半个周期，由此可求得ω，然后π6是最值点，求出φ的值．解：因为函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π4，所以12⋅2πω=π4，解得ω＝4，故f （x ）＝sin （4x +φ），又因为∀x ∈R ，f(x)≤|f(π6)|，∴x =π6是f （x ）的一条对称轴，所以4×π6+φ=π2+kπ，k ∈Z ，∴φ=kπ−π6，k ∈Z ． 令k ＝1，得φ=5π6为最小值． 故选：B ．【点评】本题考查据图求式问题的基本思路，注意抓住特殊点、特殊线去求周期、ω、φ的值等，属于中档题．9．若(ax √x )8的展开式中x 2的项的系数为358，则x 5的项的系数为（ ） A ．74B ．78C ．716D ．732【分析】先写出展开式的通项并化简，然后根据x 2的系数为358求出a 的值，然后再求x 5的系数．解：由已知得Tk+1=C8k a8−k x8−32k，k＝0，1，..，8，令8−3k2=2，解得k＝4，∴C84a4=358，解得a=±12．令8−3k2=5，得k＝2，故x5的系数为C82a6=716．故选：C．【点评】本题考查二项式展开式的通项以及系数的求法，还考查了学生的运算能力，属于基础题．10．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为√3的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则△PMN面积的最大值为（）A．√3B．2√3C．2√33D．16√39【分析】由题意可得直线l的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长MN的值，设与直线l平行的直线与抛物线相切时，平行线间的距离最大，即△PMN 的面积最大，求出面积的最大值．解：由题意可知直线l的方程为：y=√3（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线的方程可得3x2﹣10x+3＝0，x1+x2=10 3，由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p=103+2=163；设与直线l平行的直线为：y=√3x+m，代入抛物线的方程可得3x2+（2√3m﹣4）x+m2＝0，当直线：y=√3x+m与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，所以△＝（2√3m−4）2﹣4×3×m2＝0，解得m=√33，直线l与直线y=√3x+√33的距离d=2√33，所以△PMN 面积的最大值为12×163×2√33=16√39， 故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题． 11．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD ，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC ； ②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为π3； ④四面体ABCD 的外接球的体积为定值． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④B ．①②C ．①②④D ．②③④【分析】①由线面垂直的判定定理可证明BC ⊥平面DAC ，再由线面垂直的性质定理可知BC ⊥AC ；②当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，再利用棱锥的体积公式进行运算即可得解；③当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，求出sin ∠CBD ，并与sin π3比较大小即可得解；④在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，外接球的直径为BD ，于是四面体ABCD 的体积不变．解：如图，当DA ⊥BC 时，∵BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面DAC ， ∵AC ⊂平面DAC ，∴BC ⊥AC ，即①正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，四面体ABCD 的体积最大，最大值为13×12×3×4×125=245，即②正确；当平面BCD ⊥平面ABD 时，BC 与平面ABD 所成的角最大，为∠CBD ，而sin ∠CBD =CD BD =45＜√32=sin π3，∴BC 与平面ABD 所成角一定小于π3，即③错误；在翻折的过程中，△ABD 和△BCD 始终是直角三角形，斜边都是BD ，其外接球的球心永远是BD 的中点，外接球的直径为BD ， ∴四面体ABCD 的外接球的体积不变，即④正确． ∴正确的有①②④， 故选：C ．【点评】本题考查立体几何中的综合，涉及线面垂直的判定定理与性质定理、线面夹角、棱锥和球的体积公式等，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于中档题．12．若对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立，则a 的最小值为（ ） A ．−3e 2B ．−2e 2C ．−1e 2D ．−1e【分析】不等式恒成立转化为函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数，则f ′（x ）=e x (x−1)−ax2≤0，即a ≥e x （x ﹣1），构造函数g （x ）＝e x （x ﹣1），利用导数和函数最值的关系即可求出．解：对任意的x 1，x 2∈[﹣2，0），x 1＜x 2，可知x 1＜x 2＜0，则x 2e x 1−x 1e x 2x 1−x 2＜a 恒成立等价于x 2e x 1−x 1ex 2＞a （x 1﹣x 2），即e x 1+a x 1＞e x 2+a x 2，∴函数f （x ）=e x +ax在[﹣2，0）为减函数， ∴f ′（x ）=e x (x−1)−ax 2≤0，∴a ≥e x （x ﹣1），设g （x ）＝e x （x ﹣1），x ∈[﹣2，0）， ∴g ′（x ）＝xe x ＜0，∴g （x ）在[﹣2，0）为减函数，∴g （x ）max ＝g （﹣2）=−3e 2， ∴a ≥−3e 2， 故选：A ．【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知向量a →=（m ，1），b →=（4，m ），向量a →在b →方向上的投影为√5，则m ＝ 2 ．【分析】本题根据向量a →在b →方向上的投影公式为a →⋅b →|b →|，然后代入进行计算可解出m 的值，注意将m 的值代入进行检验得到正确的m 的值． 解：由题意，可知向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√42+m 2=√16+m 2=√5，两边平方，可得25m216+m=5，整理，得m2＝4，解得m＝﹣2，或m＝2，当m＝﹣2时，√16+m2=−√5，不符合题意，∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，方程思想，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√7，b=4，A=120°，则△ABC的面积为2√3．【分析】由已知利用余弦定理可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：∵a=2√7，b=4，A=120°，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得28＝16+c2﹣2×4×c×(−12)，可得c2+4c﹣12＝0，解得c＝2，∴S△ABC=12bc sin A=12×4×2×√32=2√3．故答案为：2√3．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．15．若sinα1−cosα=13，则2cosα+3sinα−2sin2α2=﹣2．【分析】由已知可得3sinα＝1﹣cosα，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．解：∵sinα1−cosα=13，∴3sin α＝1﹣cos α，∴2cosα+3sinα−2sin 2α2=2(2cosα+1−cosα−2)1−cosα=−2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．16．双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），则该双曲线的标准方程为y 216−x 248=1 ．已知点A （﹣6，0），若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△PAF 的周长的最小值为 28 ．【分析】由双曲线的渐近线方程及焦点坐标得关于a ，b 的方程组，求解可得双曲线的标准方程；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8，利用双曲线的定义转化，再由A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，从而求得△PAF 的周长的最小值解：∵双曲线C 的渐近线方程为y =±√33x ，一个焦点为F （0，﹣8），∴{a 2b 2=13√a 2+b 2=8，解得a ＝4，b ＝4√3．∴双曲线的标准方程为y 216−x 248=1；设双曲线的上焦点为F ′（0，8），则|PF |＝|PF ′|+8， △PAF 的周长为|PF |+|PA |+|AF |＝|PF ′|+|PA |+|AF |+8．当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|+|PA |最小，最小值为|AF ′|＝10． 而|AF |＝10，故，△PAF 的周长的最小值为10+10+8＝28．故答案为：y 216−x 248=1；28．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的几何性质，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．设{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的定义和通项公式可得S n ，再由数列的递推式可得a n ，则a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，结合数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．解：（1）{a n }是一个首项为2，公比为q （q ≠1）的等比数列，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，可得4a 2＝3a 1+a 3，即4×2q ＝3×2+2q 2，解得q ＝3（1舍去），则a n ＝2•3n ﹣1，n ∈N*；（2）由√S 1=√b 1=1，且√S n −√S n−1=1（n ≥2），可得{√S n }是首项和公差均为1的等差数列，可得√S n =1+n ﹣1＝n ，即S n ＝n 2，可得n ＝1时，b 1＝S 1＝1；n ≥2时，b n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣（n ﹣1）2＝2n ﹣1，对n ＝1时，该式也成立，则b n ＝2n ﹣1，n ∈N*，可得a n •b n ＝2（2n ﹣1）•3n ﹣1，则T n ＝2[1•1+3•3+5•9+…+（2n ﹣1）•3n ﹣1]，3T n ＝2[1•3+3•9+5•27+…+（2n ﹣1）•3n ]，上面两式相减可得﹣2T n ＝2[1+2（3+9+…+3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•3n ] ＝2[1+2•3(1−3n−1)1−3−（2n ﹣1）•3n]，化简可得T n ＝2+2（n ﹣1）•3n ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式和数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题．18．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，AB ＝1，AA 1＝3，BE →=2EB 1→，A 1M →=2MA →，N 是棱C 1D 1的中点，平面AEC 1与直线DD 1相交于点F ． （1）证明：直线MN ∥平面AEC 1F ． （2）求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值．【分析】（1）推导出C 1E ∥AF ，D 1F ＝2FD ，设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ，推导出GN ∥平面AEC 1F ，GM ∥平面AEC 1F ，从而平面MNG ∥平面AEC 1F ，由此能证明MN ∥平面AEC 1F ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值． 解：（1）证明：∵平面BB 1C 1C ∥平面AA 1D 1D ，平面AEC 1F ∩平面BB 1C 1C ＝EC 1，平面AEC 1F ∩平面AA 1D 1D ＝AF ， ∴C 1E ∥AF ，由题意得D 1F ＝2FD ， 设点G 为D 1F 的中点，连结GM ，GN ， ∵N 是棱C 1D 1的中点，∴GN ∥FC 1，∵GN ⊄平面AEC 1F ，FC 1⊂平面AEC 1F ，∴GN ∥平面AEC 1F ， ∵D 1F ＝2FD ，A 1M →=2MA →，∴GM ∥AF ，∵GM ⊄平面AEC 1F ，AF ⊂平面AEC 1F ，∴GM ∥平面AEC 1F ， ∵GN ∩GM ＝G ，∴平面MNG ∥平面AEC 1F ， ∵MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面AEC 1F ．（2）解：∵AB ＝1，DD 1＝3，如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A （1，0，0），C （0，1，0），F （0，0，1），E （1 1，2）， ∴AC →=（﹣1，1，0），AE →=（0，1，2），AF →=（﹣1，0，1）， 设平面ACE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−x +y =0m →⋅AE →=y +2z =0，取z ＝1，得m →=（﹣2，﹣2，1）， 设平面ACF 的法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅AC →=−a +b =0n →⋅AF →=−a +c =0，取a ＝1，得n →=（1，1，1），设二面角E﹣AC﹣F的平面角为θ，由|cosθ|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=3×3=√33，∴sinθ=1−(33)2=√63，∴二面角E﹣AC﹣F的正弦值为√6 3．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19．已知0＜m＜2，动点M到两定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之和为4，设点M的轨迹为曲线C，若曲线C过点N(√2，√22)．（1）求m的值以及曲线C的方程；（2）过定点(65，0）且斜率不为零的直线l与曲线C交于A，B两点．证明：以AB为直径的圆过曲线C的右顶点．【分析】（1）先利用定义法判断出点M的轨迹为椭圆，再利用题设条件求出方程即可；（2）设直线l：x＝ty+65，曲线C的右顶点为P，由直线l与曲线C的方程联立得到y1+y2与y1y2，再证PA→⊥PB→即可．解：（1）解：设M（x，y），因为|MF1|+|MF2|＝4＞2m，所以曲线C是以两定点F1，F2为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2．设椭圆C 的方程为x 24+y 2b =1（b ＞0），代入点N(√2，√22)得b 2＝1，由c 2＝a 2﹣b 2，得c 2＝3，所以m ＝c =√3，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）证明：设直线l ：x ＝ty +65，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 椭圆的右顶点为P （2，0），联立方程组{x =ty +65x24+y 2=1消去x 得（t 2+4）y 2+125ty −6425=0．△＞0，y 1+y 2=−12t 5(t 2+4)，y 1y 2=−6425(t 2+4)， 所以PA →⋅PB →=（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2−45t （y 1+y 2）+1625=−64t 2−64+48t 2+16t 2+6425(t 2+4)=0，∴PA →⊥PB →，故点P 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆过曲线C 的右顶点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法及动圆过定点的问题，属于中档题． 20．已知函数f （x ）＝lnx ﹣tx +t ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当t ＝2时，方程f （x ）＝m ﹣ax 恰有两个不相等的实数根x 1，x 2，证明：x 1+x 22x 1x 2＞2−a ．【分析】（1）由已知求得f ′（x ）=1x−t ，可得当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；（2）由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0．令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ．得到a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，把证x 1+x 22x 1x 2＞2−a 转化为证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），则g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，利用导数证明g （c ）＜0，即可得到x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【解答】（1）解：f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=1x−t ， 当t ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t ＞0时，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜1t，令f ′（x ）＜0，得x ＞1t．∴f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．综上所述，当t ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当t ＞0时，f （x ）在（0，1t）上单调递增，在（1t，+∞）上单调递减．（2）证明：由f （x ）＝m ﹣ax ，得lnx +（a ﹣2）x +2﹣m ＝0． 令g （x ）＝lnx +（a ﹣2）x +2，则g （x 1）＝g （x 2）＝m ． 即lnx 1+（a ﹣2）x 1＝lnx 2+（a ﹣2）x 2，∴a ﹣2=ln x2x 1x 1−x 2．不妨设0＜x 1＜x 2，要证x 1+x 22x 1x 2＞2−a ，只需证x 1+x 2x 1x 2＞2（2﹣a ）=−2ln x2x 1x 1−x 2，即证x 1x 2−x 2x 1＜−2lnx 2x 1．令x 2x 1=c （c ＞1），g （c ）＝2lnc ﹣c +1c，∵g ′（c ）=2c −1−1c2=−(1c −1)2＜0．∴g （c ）在（1，+∞）上单调递减，则g （c ）＜g （1）＝0．故x 1+x 22x 1x 2＞2−a 成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式，考查数学转化思想方法，属难题．21．2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了．在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始．为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A ，B 两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下： ①单独投给A 方案，则A 方案得1分，B 方案得﹣1分； ②单独投给B 方案，则B 方案得1分，A 方案得﹣1分； ③弃权或同时投票给A ，B 方案，则两种方案均得0分．前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为小区的最终管理方案．假设A ，B 两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12．（1）在第1名物业人员投票结束后，A 方案的得分记为ξ，求ξ的分布列； （2）求最终选取A 方案为小区管理方案的概率．【分析】（1）ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列；（2）记M 1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，M 3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A 方案为小区管理方案”，然后根据独立重复事件的概率逐一求出每种事件对应的概率，最后将三种事件的概率相加即可得解．解：（1）由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，P（ξ＝﹣1）＝（1−23）×12=16，P（ξ＝0）=23×12+13×12=12，P（ξ＝1）=23×(1−12)=13，∴ξ的分布列为ξ﹣101P161213（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，P(M1)=[p(ξ=1)]2=(13)2=19，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，P(M2)=C21[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)=2×(13)2×12=19，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，①若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为C31⋅[P(ξ= 1)]2⋅[P(ξ=0)]2=112；第二类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为C21⋅P(ξ=−1)⋅[P(ξ=1)]3=181，②若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为C41⋅[P(ξ=0)]3⋅P(ξ= 1)=16；第二类，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率为A33⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=118；第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为C21⋅[P(ξ=1)]2⋅P(ξ=0)⋅P(ξ=−1)=154．故P(M3)=112+181+16+118+154=109324，∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=19+19+109 324=181 324．【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查学生对数据的分析能力和处理能力，属于中档题．选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C3的极坐标方程为ρ=√1+8sinθ，曲线C1与曲线C2的交线为直线l．（1）求直线l和曲线C3的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线C3相交于A，B两点，求|1|MA|−1|MB||的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1的参数方程为{x=−1+√14cosφy=1+√14sinφ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝14①．曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．整理得ρ2＝4ρcos θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4②． 所以①②两个方程相减得：3x ﹣y ﹣6＝0．曲线C 3的极坐标方程为ρ=√1+8sin θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程为x 29+y 2=1．（2）直线l 与x 轴交于M （2，0）所以直线l 的参数方程为{x =2+√1010ty =3√1010t （t 为参数），代入x 29+y 2=1，得到：41t 2−2√10t −25=0．所以t 1+t 2=2√1041，t 1t 2=−2541故|1|MA|−1|MB||=|t 1−t 2t 1t 2|=√(t1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|═(2√1041)+41004122541=√45004122541=30√525=6√55． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根，求a 的取值范围．【分析】（1）将f （x ）写为分段函数的形式，然后由f （x ）＜3，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据方程f （x ）＝x 2+ax ，可得a =−x 2+2x−|x−1|−1x，然后构造函数g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x，利用数形结合法求出a 的取值范围．解：（1）f （x ）＝2x ﹣1﹣|x ﹣1|={3x −2，x ≤1x ，x ＞1，∵f （x ）＜3，∴{3x −2＜3x ≤1或{x ＜3x ＞1，∴x ≤1或1＜x ＜3，∴x ＜3， ∴不等式的解集为（﹣∞，3）；（2）方程f （x ）＝x 2+ax ，即2x ﹣1﹣|x ﹣1|＝x 2+ax ，显然x ＝0不是方程的根，故a =−x 2+2x−|x−1|−1x，令g （x ）=−x 2+2x−|x−1|−1x ={1−x ，x ∈[1，+∞)−x −2x +3，x ∈(−∞，0)∪(0，1)， 当x ＜0时，−x −2x+3=(−x +2−x)+3＞2√2+3， 作出g （x ）的图象，如图所示：∵方程f （x ）＝x 2+ax 有两个不等实数根， ∴由图象可知a ∈(−∞，0)∪(2√2+3，+∞)．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。

福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R I ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为 （A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 200300X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2-（B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 （A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．正视图 侧视图俯视图212215、抛物线2:4C yx =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分 非优分总计 男生 女生总计 50()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程； （Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是¼BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯， 因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分 因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--u u u r ，(1,2,3)PC =--u u u r ，33(,0,)22EC =--u u u r ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n u u u r ， ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'E CODBA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分 解得2x >． 依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=， ························································································ 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}，B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ）A ．[23，2)B ．∅C ．(−∞，−23]∪[23，2)D ．(−23，23) 2．复数z 满足（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A ．√55B ．√5C ．2√5D ．4√53．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 2﹣a 1＝2，S 5﹣S 4＝9，则a 50＝（ ）A ．99B ．101C ．2500D ．9×2454．一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（ ）A ．1：√2B ．1：4C ．1：（√2+1）D ．1：（√2−1）5．（2x ﹣1）5＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 5（x ﹣1）5，则a 3＝（ ）A ．﹣40B ．40C ．80D ．﹣806．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图．则下面结论中正确的是（ ）①2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m ＝10，则输出的S ＝（ ）A ．100B ．140C ．190D ．250 8．若a =414，b ＝log 512，c =log 1319，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b9．将函数f(x)=2sin(3x +2π3)的图象向右平移12个周期后得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴可以是（ ）A ．x =π18B ．x =π6C ．x =7π18D ．x =11π18 10．设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，直线4x ﹣3y +20＝0过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为（ ）A ．5B ．√5C ．53D ．54 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n =S n n +2(n −1)（n ∈N *），则nS n −2n 2的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．23D ．312．若关于x 的不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为（ ）A ．[43e 2，12e ) B ．[94e 3，12e ) C ．[94e 3，12e ] D ．[94e 3，43e 2) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13．已知向量a →与b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝3，则|3a →−2b →|＝ ．14．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2√3，点E 在C 上，EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c （c 为半焦距），则C 的方程为 ．15．已知点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2＝14相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ．16．已知三棱锥A ﹣BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A ﹣BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O n ﹣1都相切（n ≥2，且n ∈N *），则球O 1的体积等于 ，球O n 的表面积等于 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A +（c ﹣a ）sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE =√62．（1）求B ；（2）求△ABC 的面积．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥BC ，CD ＝2CE ＝2EF ＝8，∠BCE＝120°，DF=4√2．（1）证明：EF⊥平面BCE；（2）若BC＝8，AB＝EF，求二面角E﹣AD﹣F的余弦值．19．（12分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y＝x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．21．（12分）某医药开发公司实验室有n（n∈N*）瓶溶液，其中m（m∈N）瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1．（1）假设n＝5，m＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；（2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为P （0≤p ≤1）．若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η⋅（i ）若ξ与η的期望相等．试求P 关于n 的函数解析式P ＝f （n ）；（ii ）若P =1−e −14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n 的最大值．参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7＝1.95．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t ，y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）a +b +c ≤12+1b 2+12； （2）12+a +12+b +12+c ≤1．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}，B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（ ）A ．[23，2)B ．∅C ．(−∞，−23]∪[23，2)D ．(−23，23) 【分析】根据题意，求出集合A ，进而可得∁R A ，由交集的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，集合A ＝{x |9x 2﹣3＜1}＝（−23，23），则∁R A ＝（﹣∞，−23]∪[23，+∞），又由B ＝{y |y ＜2}，则（∁R A ）∩B ＝（﹣∞，−23]∪[23，2）， 故选：C ．【点评】本题考查集合的运算，涉及集合交并补的定义，属于基础题．2．复数z 满足（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A ．√55B ．√5C ．2√5D ．4√5 【分析】由复数的模的性质可得：|z |=|4+3i||1−2i|，进而得出结论． 【解答】解：∵（1﹣2i ）z ＝4+3i （i 为虚数单位），则|z |=|4+3i||1−2i|=√22√1+(−2)=√5． 故选：B ．【点评】本本题考查了复数运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 2﹣a 1＝2，S 5﹣S 4＝9，则a 50＝（ ）A ．99B ．101C ．2500D ．9×245【分析】依题意得，公差d ＝a 2﹣a 1，a 5＝S 5﹣S 4，可得a 50＝a 5+45d ，即可得出．【解答】解：依题意得，公差d ＝a 2﹣a 1＝2，a 5＝S 5﹣S 4＝9，∴a 50＝a 5+45d ＝99，故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（）A．1：√2B．1：4C．1：（√2+1）D．1：（√2−1）【分析】设出截前后的棱锥的高，由于截面与底面相似，所以截面面积与底面面积的比，是相似比的平方，求出正棱锥的高被分成的两段之比．【解答】解：设截后棱锥的高为h，原棱锥的高为H，由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1：2，ℎH=√12=√22，则此正棱锥的高被分成的两段之比：ℎH−ℎ=√2−1故选：D．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查计算能力，是基础题．5．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a3＝（）A．﹣40B．40C．80D．﹣80【分析】由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a3的值．【解答】解：∵（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，令x﹣1＝t，则x＝t+1，∴（2t+1）5＝a0+a1t+a2t2+…+a5t5．（2t+1）5展开式的通项为：T r+1＝C5r（2t）5﹣r1r，令5﹣r＝3，求得r＝2，所以，T3＝C52（2t）3＝80x3，即a3＝80，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图．则下面结论中正确的是（）①2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；②2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；④2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．③④【分析】根据折现统计图，结合数据即可判断．【解答】解：根据同比增长情况统计图可知，2012﹣2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，2013﹣2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高是错误的，2016﹣2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约1970−15101510≈30.5%，故结论中正确的是①②故选：C ．【点评】本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．7．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m ＝10，则输出的S ＝（ ）A．100B．140C．190D．250【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，S＝0，m＝10满足条件n是奇数，a＝0，S＝0不满足条件n≥m，n＝2，不满足条件n是奇数，a＝2，S＝2不满足条件n≥m，n＝3，满足条件n是奇数，a＝4，S＝6不满足条件n≥m，n＝4，不满足条件n是奇数，a＝8，S＝14不满足条件n≥m，n＝5，满足条件n是奇数，a＝12，S＝26不满足条件n≥m，n＝6，满足条件n是奇数，a＝18，S＝44不满足条件n≥m，n＝7，满足条件n是奇数，a＝24，S＝68不满足条件n≥m，n＝8，不满足条件n是奇数，a＝32，S＝100不满足条件n≥m，n＝9，满足条件n是奇数，a＝40，S＝140不满足条件n≥m，n＝10，不满足条件n是奇数，a＝50，S＝190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．若a =414，b ＝log 512，c =log 1319，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵414=212=√2＜32，∴0＜a ＜32， ∵log 512＞log 5√125=32，而log 512＜log 525＝2，∴32＜b ＜2，∵c ＝log 1319=log 39＝2，∴a ＜b ＜c ，故选：B ．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9．将函数f(x)=2sin(3x +2π3)的图象向右平移12个周期后得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴可以是（ ）A ．x =π18B ．x =π6C ．x =7π18D ．x =11π18【分析】求出函数f （x ）的最小正周期，根据图象平移得出函数g （x ）的解析式，再求g （x ）图象的一条对称轴．【解答】解：函数f(x)=2sin(3x +2π3)的最小正周期为T =2π3，f （x ）的图象向右平移12个周期后，得y ＝f （x −π3）＝2sin[3（x −π3）+2π3]＝2sin （3x −π3）的图象，所以函数g （x ）＝2sin （3x −π3）；令3x −π3=π2+k π，k ∈Z ，解得x =5π18+kπ3，k ∈Z ；令k ＝1，得x =11π18，所以g （x ）图象的一条对称轴是x =11π18．故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．10．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，直线4x ﹣3y +20＝0过点F 且在第二象限与C 的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．√5C ．53D ．54【分析】由题设知△PFN 是以FN 为斜边的直角三角形，c ＝5，在Rt △PFN 中，tan ∠PFN =43，FN ＝10．可得2a ＝2，a ＝1，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：如图，设双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为N ．∵|OP |＝|OF |＝|ON |＝c ，则△PFN 是以FN 为斜边的直角三角形， ∵直线4x ﹣3y +20＝0过点F ，∴c ＝5，在Rt △PFN 中，PF ⊥PN ，∵k PF =43，∴tan ∠PFN =43，FN ＝10． ∴PN ＝8，PF ＝6，则2a ＝2，a ＝1， 则C 的离心率为e =ca =5，故选：A ．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n =Sn n +2(n −1)（n ∈N *），则nS n −2n 2的最小值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．23D ．3【分析】由 a n =S nn +2(n −1)=S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2）⇒{S n n }是以S 11=a 11=1为首项，公差为2的等差数列，求得S n n，再求nS n −2n 2的最小值．【解答】解：∵S n 为数列{a n }的前n 项和，a n =Snn +2(n −1)=S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2），∴n（S n ﹣S n ﹣1）＝S n +2（n ﹣1）n ，即：（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝2（n ﹣1）n ，n ∈N *且n ≥2，∴S n n−S n−1n−1=2，n ≥2．所以数列{S n n}是以S 11=a 11=1为首项，公差为2的等差数列，所以S n n=1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴S n ＝n （2n ﹣1），nS n −2n 2=n 2（2n ﹣1）﹣2n 2＝2n 3﹣3n 2，令nS n −2n 2=b n ，即b n ＝2n 3﹣3n 2．∵b n +1﹣b n ＝2（n +1）3﹣3（n +1）2﹣2n 3+3n 2＝6n 2﹣1＞0， 所以b n 在n ∈N *时单调递增，故（b n ）min ＝b 1＝﹣1， 即nS n −2n 2的最小值为﹣1． 故选：B ．【点评】本题主要考查数列的综合应用，属于中档题．12．若关于x 的不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0解集中恰有两个正整数解，a 的取值范围为（ ）A ．[43e 2，12e) B ．[94e 3，12e ) C ．[94e3，12e ] D ．[94e 3，43e2) 【分析】原不等式变形可得a(x +1)＜x 2e x ，设直线y ＝a （x +1），函数f(x)=x 2e x，则有且仅有两个正整数使得直线y ＝a （x +1）的图象在函数f(x)=x 2ex 图象的下方，作出函数f（x ）及直线的图象，由图象观察，可得到关于a 的不等式组，解出即可得到答案． 【解答】解：由不等式ae x （x +1）﹣x 2＜0可得a(x +1)＜x 2e x，设直线y ＝a （x +1），函数f(x)=x 2e x， 依题意，有且仅有两个正整数使得直线y ＝a （x +1）的图象在函数f(x)=x 2e x 图象的下方，而f ′(x)=2xe x −x 2e x e 2x=x(2−x)e x ，易知函数f （x ）在（﹣∞，0），（2，+∞）单调递减，在（0，2）单调递增，且y ＝a （x +1）恒过定点（﹣1，0），作出函数f （x ）的图象及直线y ＝a （x +1）的图象如下，由图可知，{a(2+1)＜4e 2a(3+1)≥9e 3，解得94e 3≤a ＜43e 2． 故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的整数解个数问题，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 13．已知向量a →与b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝3，则|3a →−2b →|＝ 6 ．【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得a →•b →=2×3×cos60°＝3，又由|3a →−2b →|2＝9a →2﹣12a →•b →+4b →2，代入数据计算变形即可得答案．【解答】解：根据题意，向量a →与b →的夹角为60°，且|a →|=2，|b →|=3， 则a →•b →=2×3×cos60°＝3，则|3a →−2b →|2＝9a →2﹣12a →•b →+4b →2＝36， 则|3a →−2b →|＝6； 故答案为：6【点评】本题考查向量的数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式． 14．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2√3，点E 在C 上，EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c（c 为半焦距），则C 的方程为 x 26+y 23=1 ．【分析】由题意可得可得c 的值，再由EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为b c可得E 为椭圆的短轴的顶点，可得b ＝c ，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值，进而求出椭圆的方程．【解答】解：由题意可得2c ＝2√3，所以c =√3，因为EF 1⊥EF 2，直线EF 1的斜率为bc（c 为半焦距），所以bc=1，所以b ＝c =√3，a 2＝b 2+c 2＝6， 所以椭圆的方程为：x 26+y 23=1，故答案为：x 26+y 23=1．【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题．15．已知点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2＝14相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 4 ．【分析】通过约束条件画出可行域，确定P 的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值．【解答】解：点P （x ，y ）满足{x +y ≤4y ≥x x ≥1，P 表示的可行域如图阴影部分：原点到直线x +y ＝4的距离为OD ，所以当P 在可行域的Q 点时，Q 到圆心O 的距离最大，当AB ⊥OQ 时，AB 最小．Q 的坐标由{x +y =4x =1确定，Q （1，3），OQ =2+32=√10，所以AB ＝2√(√14)2−(√10)2=4． 故答案为：4．【点评】本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P 的位置，是解题的关键． 16．已知三棱锥A ﹣BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A ﹣BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A ﹣BCD 的三个面和球O n ﹣1都相切（n ≥2，且n ∈N *），则球O 1的体积等于 √6π ，球O n 的表面积等于6π4n−1．【分析】利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，代入计算即可【解答】解：如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ， 作截面ABE ，设正四面体A ﹣BCD 的棱长为 由平面几何知识可得1√36a =√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ， 同时√63a−2r 1−r 2√63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a ，把a ＝6代入的r 1=√62，r 2=√64，由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π（√62）3=√6π；球O n 的表面积＝4πr n 2＝4π×[√62(12)n−1]2=6π4n−1， 故答案为√6π；6π4【点评】本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A+（c﹣a）sin C＝b sin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE=√62．（1）求B；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B．（2）根据已知条件可以确定AE＝CE，并求出它们的表达式，在△BCE中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出A，BE的大小，最后求出面积．【解答】解：（1）∵a sin A+（c﹣a）sin C＝b sin B，由asinA =bsinB=csinC，得：a2+c2﹣ab＝b2，由余弦定理得：cos B=a2+c2−b22ac=12，∵0＜B＜π，∴B＝60°：（2）连接CE，如下图：D是AC的中点，DE⊥AC，∴AE＝CE，∴CE＝AE=DEsinA=√62sinA，在△BCE中，由正弦定理得CEsinB=BCsin∠BEC=BCsin2A，∴√62sinAsin60°=22sinAcosA，∴cos A =√22， ∵0＜A ＜180°， ∴A ＝45°， ∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB ﹣∠ACE ＝30°，∠BEC ＝90°， ∴CE ＝AE =√3，AB ＝AE +BE =√3+1， ∴S △ABC =12AB ⋅CE =3+√32， 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥BC ，CD ＝2CE ＝2EF ＝8，∠BCE ＝120°，DF =4√2． （1）证明：EF ⊥平面BCE ；（2）若BC ＝8，AB ＝EF ，求二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值．【分析】（1）推导出EF ⊥BC ．取CD 中点为G ，连接FG ，推导出四边形CEFG 为平行四边形，从而CE ∥GF ，且CE ＝GF ＝4．DG ⊥GF ，CD ⊥CE ，EF ⊥CE ．由此能证明EF ⊥平面BCE ．（2）推导出CD ⊥平面BCE ．以点C 为坐标原点，分别以CB →、CD →的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值．【解答】解：（1）证明：因为AB ∥EF ，AB ⊥BC ，所以EF ⊥BC ． 取CD 中点为G ，连接FG ，所以CG =DG =12CD =4， 因为CD ∥EF ，EF ＝4，所以CG ∥EF 且CG ＝EF ，所以四边形CEFG 为平行四边形，所以CE ∥GF ，且CE ＝GF ＝4． 因为DF =4√2，DG 2+GF 2＝DF 2，所以DG ⊥GF ，所以CD ⊥CE ， 因为CD ∥EF ，所以EF ⊥CE ．因为BC ∩CE ＝C ，所以EF ⊥平面BCE ． （2）解：由（1）知，EF ⊥平面BCE ， 因为CD ∥EF ，所以CD ⊥平面BCE ．故以点C 为坐标原点，分别以CB →、CD →的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ．所以A(8，0，4)，B(8，0，0)，E(−2，2√3，0)，F(−2，2√3，4)，D(0，0，8)， 所以AD →=(−8，0，4)，AE →=(−10，2√3，−4)， 设平面ADE 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{AD →⋅n →=0AE →⋅n →=0，所以{−8x 1+4z 1=0−10x 1+2√3y 1−4z 1=0，取x 1＝1，则n →=(1，3√3，2)，设平面ADF 的法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，因为AF →=(−10，2√3，0)，所以{AD →⋅n →=0AF →⋅n →=0，所以{−8x 2+4z 2=0−10x 2+2√3y 2=0，取x 2＝1，则m →=(1，5√33，2)，所以cos ＜n →，m →＞=1+3√3×5√33+4√1+(3√3)2+4×√1+(5√33)+4=√154，所以二面角E ﹣AD ﹣F 的余弦值为√154．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题． 19．（12分）已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y ＝x ﹣2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．【分析】（I ）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F （0，1）可直接求得p ，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II ）由题意，可A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +1，将直线方程与（I ）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN |，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I ）由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py （p ＞0）则p2=1，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y（II ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +1， 由{y =kx +1x 2=4y消去y ，整理得x 2﹣4kx ﹣4＝0， 所以x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，从而有|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√k 2+1， 由{y =y 1x 1xy =x −2解得点M 的横坐标为x M =2x 1x 1−y 1=2x 1x 1−124=84−x 1， 同理可得点N 的横坐标为x N =84−x 2，所以|MN |=√2|x M ﹣x N |=√2|84−x 1−84−x 2|＝8√2|x 1−x 2x 1x 2−4(x 1+x 2)+16|=8√2√k 2+1|4k−3|，令4k ﹣3＝t ，t ≠0，则k =t+34， 当t ＞0时，|MN |＝2√2√25t 2+6t+1＞2√2， 当t ＜0时，|MN |＝2√2√25t 2+6t+1=2√2√(5t +35)2+1625≥8√25．综上所述，当t=−253，即k=−43时，|MN|的最小值是8√25．【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．20．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x（x＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可．（2）要证当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证当x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，构造函数g'（x）＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解即可．【解答】解：（1）f'（x）＝1﹣2cos x，由f'（x）＞0得cosx＜12，解得π3+2kπ＜x＜5π3+2kπ（k∈N），由f'（x）＜0得cosx＞12，解得0＜x＜π3或5π3+2kπ＜x＜7π3+2kπ（k∈N），所以f（x）的单调递增区间为(π3+2kπ，5π3+2kπ)（k∈N）；f（x）的单调递减区间为(0，π3)和(5π3+2kπ，7π3+2kπ)（k∈N）．（2）要证当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证当x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，g'（x）＝2（1+x﹣2sin x）e2x+（1﹣2cos x）e2x＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，则h'（x）＝1﹣cos x≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x，所以3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2（sin x+cos x）=3−2√2sin(x+π4 )＞0，所以g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）＝1，故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断与求解，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．（12分）某医药开发公司实验室有n （n ∈N *）瓶溶液，其中m （m ∈N ）瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n +1．（1）假设n ＝5，m ＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为P （0≤p ≤1）．若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η⋅（i ）若ξ与η的期望相等．试求P 关于n 的函数解析式P ＝f （n ）；（ii ）若P =1−e −14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n 的最大值．参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7＝1.95．【分析】（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”事件为A ，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前3次均不含有细菌R ”为事件B ，且A ＝B ∪C ，且B ，C 互斥，利用互斥事件概率计算公式能求出结果．（2）（i ）E （ξ）＝n ，η的可能取值为1，n +1，P （η＝1）＝（1﹣p ）n ，P （η＝n +1）＝1﹣（1﹣p ）n ，E （η）＝（1﹣p ）n +（n +1）[（1﹣p ）n ]＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，由E （ξ）＝E （η），能求出结果．（ii ）P ＝1−e −14，从而E （η）＝n +1﹣n •e −14，进而（n +1）﹣n ⋅e −14＜n ，lnn −n 4＞0，设f （x ）＝lnx −x 4，x ＞0，f ′(x)=1x −14=4−x 4x ，利用导数性质能求出n 的最大值．【解答】解：（1）记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”事件为A ， “第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前3次均不含有细菌R ”为事件B ，且A ＝B ∪C ，且B ，C 互斥，∴P （A ）＝P （B ）+P （C ）=A 21A 21A 31A 53+A 33A 53=310． （2）（i ）E （ξ）＝n ，η的可能取值为1，n +1，P （η＝1）＝（1﹣p ）n ，P （η＝n +1）＝1﹣（1﹣p ）n ，∴E （η）＝（1﹣p ）n +（n +1）[（1﹣p ）n ]＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，由E （ξ）＝E （η），得n ＝n +1﹣n （1﹣p ）n ，∴P ＝1﹣（1n）1n ，n ∈N *． （ii ）P ＝1−e −14，∴E （η）＝n +1﹣n •e −14，∴（n +1）﹣n ⋅e −14＜n ，∴lnn −n 4＞0， 设f （x ）＝lnx −x 4，x ＞0，f ′(x)=1x −14=4−x 4x ，当x ∈（0，4）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，4）上单调递增，当x ∈（4，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（4，+∞）上单调递减，又f （8）＝ln 8﹣2＞0，f （9）＝ln 9−94＜0，∴n 的最大值为8．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +2t ，y =√2t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若|PQ |的最小值为2，求m 的值．【分析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，（Ⅱ）利用曲线C 的参数方程设点P ，根据点到直线距离公式求出|PQ |，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m ．【解答】解（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ，即ρ2+ρ2sin 2θ＝4， 将ρ2＝x 2+y 2，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24+y 22=1， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 22=1，直线l 的普通方程为x −√2y −m ＝0．（Ⅱ）设P （2cos θ，√2sin θ），由点到直线的距离公式得|PQ |=|2cosθ−2sinθ−m|√3=|2√2cos(θ+π4)−m|√3， 由题意知m ≠0，当m ＞0时，|PQ |min =√2−m|3=2，得m ＝2√3+2√2， 当m ＜0时，||PQ |min =√2−m|3，得m ＝﹣2√3−2√2； 所以m ＝2√3+2√2或m ＝﹣2√3−2√2．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）a +b +c ≤1a 2+1b 2+1c 2； （2）12+a +12+b +12+c ≤1．【分析】（1）作差后通分，应用二元基本不等式的性质证明；（2）作差后通分，应用三元基本不等式的性质证明．【解答】证明：（1）由条件abc ＝1，得1a +1b +1c −(a +b +c)=1a +1b +1c −(1bc +1ca +1ab ) =a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2−a 2bc−b 2ca−c 2ab a 2b 2c 2，由二元基本不等式可得a 2b 2+c 2a 2≥2a 2bc ，a 2b 2+b 2c 2≥2b 2ac ，b 2c 2+c 2a 2≥2c 2ab ， （等号成立当且仅当a ＝b ＝c ＝1），将上述三个不等式相加，得a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2−a 2bc−b 2ca−c 2ab a 2b 2c 2≥0， ∴a +b +c ≤1a 2+1b2+1c 2； （2）由条件abc ＝1，得1−(12+a +12+b +12+c )=ab+bc+ca+abc−4(2+a)(2+b)(2+c)=ab+bc+ca−3(2+a)(2+b)(2+c)，由三元基本不等式得ab +bc +ca ≥3√ab ⋅bc ⋅ca 3=3（等号成立当且仅当a ＝b ＝c ＝1），从而得证12+a +12+b+12+c≤1．【点评】本题考查不等式的证明，训练了作差法及基本不等式性质的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。