2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数()1i 1i 2z ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则z =( )A.B.2C.52D.【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z ，再利用复数模的求法,即可得到z 的值. 【详解】()312i i 2211i z ⎛⎫=+- ⎪=+⎝⎭，||z ==故选：B.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，复数模的求法，主要考查的是学生的计算能力，是基础题.2.已知集合{|0A x x =≤或}2x ≥，{}|12B x x =-≤≤，则( ) A. A B Ü B. B A Ü C. A B =∅I D. A B R =U【答案】D 【解析】 【分析】根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】集合,A B 并无包含关系,故A,B 均错误.又{|10A B x x =-≤≤I ,或}2x =故C 错误.A B R =U 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3.执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2,则输出的n =( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,,a b n 的值，当272a =，16b =时，满足条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4 . 【详解】第一次循环， 3462a =⨯=，4b =，2n =，此时a b >. 第二次循环3692a =⨯=，8b =，3n =，此时a b >. 第三次循环327922a =⨯=，2816b =⨯=，4n =，此时a b <，因此4n =. 故选：C .【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的,,a b n 的值是解题的关键，属于基本知识的考查，是基础题.4.已知向量(2,),(,2)r r λλ==a b ,则“2λ=”是“//(2)r r r-a a b ”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先算出2a b -r r ，再利用向量平行的坐标运算得出λ的值，即可判断.【详解】2(22,4)a b λλ-=--rr，(2)a a b -rr r‖，28(22)0λλλ∴---=， 228λ∴=，2λ∴=±.因此“2λ=”是“//(2)-r r ra ab ”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断，涉及向量平行的坐标运算，属基础题. 5.若5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-,则0a =( ) A. 32- B. 2-C. 1D. 32【答案】D【解析】 【分析】取2x =，即可得到0a .【详解】5250125(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-Q∴取2x =，032a ∴=.故选：D .【点睛】本题考查二项式定理及通项公式的运用，“赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，是基础题.6.若实数,a b 满足201,a b a <<<<且()22log ,log ,log ,a a a m b n b p b ===则,,m n p 的大小关系为( )A. m p n >>B. p n m >>C. n p m >>D. p m n >>【答案】B 【解析】 【分析】已知201a b a <<<<，所以根据对数函数的性质可知()0,∞+上为单调递减函数，得出1log 2a b << 接下来利用作差法比较,,m n p 大小，由此可以判断答案. 【详解】201a b a <<<<Q ，22log log log 1a a a a b a =>>=Q ，()()2log log log log 10a a a a n m b b b b -=-=->， n m ∴>， 2log a p b =，()2log 2log a a n p b b -=-log (log 2)0a a b b =-<，p n ∴>，因此p n m >>. 故选：B.【点睛】本题主要考查的是对数的大小比较，掌握对数函数的性质是解题的关键，是基础题.7.若2cos21sin2x x =+，则tan x =( ) A. 1- B.13C. 1-或13D. 1-或13或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21sin2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =. 故选：C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型.8.若,x y 满足约束条件31,933,x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩则z x y =+的最小值为( )A. 1B. 3-C. 5-D. 6-【答案】C 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值，z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】画出不等式组所表示的可行域如上图(阴影部分)， 由z x y =+，得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图像可知当直线y x z =-+经过B 时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小，由139x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ，解得23x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,3B --，将()2,3B --代入目标函数z x y =+得5z =-， 因此z x y =+的最小值为5-. 故选：C .【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题. 9.把函数()sin cos f x x x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则( )A. ()2g x x =B. ()32g x x π⎛⎫+ ⎪8⎝⎭C. ()1521g x x π⎛⎫=+ ⎪6⎝⎭D. ()1328g x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由已知中函数()sin cos f x x x =+，根据辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法则，即可得到函数()g x .【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，函数()f x 图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到：24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，再把得到的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数为()222g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：A .【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像的平移和伸缩变换，考查学生对函数的理解，同时考查辅助角公式、诱导公式的应用，是基础题.10.已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论：①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒； ③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒． 其中所有正确结论的编号是( ) A. ①② B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论.【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ， (0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ， ①(2,0,2)DE =u u u r ，(2,0,2)BF =-u u u r，4040DE BF ∴⋅=-++=u u u r u u u r， DE BF ∴⊥u u u r u u u r，DE BF ∴⊥，①是正确的. ②(2,2,0)EF =-u u u r ，(1,0,1)CH =u u u r，设EF u u u r 与CH u u ur 所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ， [0,]θπ∈60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--u u u r Q ，(2,2,0)DB u u u r =，(0,2,2)DF =u u u r，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩u u u v u u u v ，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v u u u v 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-u u u r Q ，//EC n u u u r，EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-u u u r Q ，由图像易得：(1,1,0)m =r是平面 ACEFF 的一个法量，设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin cos ,BF m θ∴=u u u v r12||||BF m BF m ⋅==⋅u u u r r u u u r r， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确. 故选：B .【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．11.已知双曲线2222:1x y E a b-=(0,0a b >>)的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且向量12,AF AF u u u r u u u u r 夹角的取值范围为2π,π3轾犏犏臌，则E 的离心率取值范围是( )A.B. ⎤⎦C. []3,5D. []7,9【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及122AF AF =，可得出12,AF AF ，在12AF F △中由余弦定理以及向量12,AF AF u u u r u u u u r夹角的取值范围可得到关于离心率的不等式，即可得到E 的离心率取值范围. 【详解】由双曲线定义得：122AF AF a -=，2||2AF AF =Q ，22AF a ∴=， 14AF a ∴=，在12AF F △中由余弦定理得：22212121212cos 2AF AF F F F AF AF AF +-∠=⨯⨯2224164224a a c a a +-=⨯⨯ 22254a c a-=， 由题意得：122,3F AF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦， 121cos 1,2F AF ⎡⎤∴∠∈--⎢⎥⎣⎦，22251142a c a -∴-≤-…， 2511442e ∴---剟，279e≤≤，e∴∈.故选：B.【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像，将函数化简是关键，考查学生对图像变换的理解和应用，是基础题.12.已知函数21()2,()f x x axg xx=+=-，若存在点()()()()1122,,,A x f xB x g x，使得直线AB与两曲线()y f x=和()y g x=都相切，当实数a取最小值时，12x x+=()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分别求出函数()(),f xg x在,A B点的切线方程，再根据题意可得出4118xa x=-，构造函数4()8xh x x=-，求出()h x的最小值即可求出1x，从而得到12x x+.【详解】2()2,f x x ax=+Q∴()22f x x a'=+，∴()1122f x x a'=+，又()21112f x x ax=+，过A点切线方程为：()21122y x a x x=+-，①又1()g xx=-Q，∴21()g xx'=，即()2221g xx'=，又()221g xx=-，因此过B点的切线方程为：22212y xx x=-，②由题意知①②都为直线AB,1222121222x a x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 4118x a x =-，令4()8x h x x =-，332()122x x h x '-=-=， 令()0h x '=，x =(,0)x ∈-∞和时，()h x 单调递减，且(,0)x ∈-∞时()()00h x h >=，恒成立，)x ∈+∞时，()h x 单调递增，x ∴=()min h x ，1x ∴=，则2212x x==12x x ∴+=故选：A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.函数,0,()1,0,xx x f x e x <⎧=⎨-≥⎩则()(2)1f f +-=____． 【答案】22e - 【解析】 【分析】将2,1-分别代入分段函数，即可求得.【详解】20>Q ,()221f e ∴=-,由10-<Q ，()11f -=-， ()2(2)12f f e ∴+-=-.故答案为：22e -.【点睛】本题考查的是分段函数求值的应用，采用直接代入法求函数值，是基础题.14.设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 中的最大值为3，则p 的值为____．【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，可判断3d 最大，即可求出p 的值. 【详解】根据抛物线的几何性质可得12323,1,23222p p p d d d =+=+=+，由题意可得0p >， 因此可判断3d 最大，故33322p d =+=，解得3p =. 故答案为：3.【点睛】本题考查抛物线的知识，掌握抛物线的定义和性质是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力.15.已知n S 为数列{}n a 前n 项和，若152a =，且()122n n a a +-=，则21S =____． 【答案】83【解析】 【分析】由数列的递推公式及152a =，依次计算出数列的前5项，可得数列{}n a 是周期为4的数列，则()21123415S a a a a a =++++,即可求得.【详解】由()122n n a a +-=，得122n na a +=-，又152a =， 得21242a a ==--，322123a a ==-，432625a a ==-，5142522a a a ===-，数列{}n a 是周期为4的数列，()21123415165855423523S a a a a a ⎛⎫=++++=-+++= ⎪⎝⎭.故答案为：83.【点睛】本题主要考查的是利用递推关系求数列的和，考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力，是中档题.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】 (1). 26(2). 86π【解析】 【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S ⎛=⨯⨯= ⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 23613⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为13623= 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是26； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，163R R ⎛⎫=⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭所以球的体积3344339729V R ππ⎛=== ⎝⎭.故答案为：6【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17.在ABC ∆中，1,AC BC == (1)若150A =︒，求cos B ；(2)D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC ∆的面积．【答案】(1 (2【解析】 【分析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sin B ，再利用同角三角函数基本关系式可求出cos B ； (2)根据题意知ACD ∆为等腰三角形，再利用余弦定理得出ACD ∆为等边三角形可得60A =︒，从而求出ABC ∆的面积．【详解】(1)在ABC ∆中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =， 解得sinB =又030B ︒<<︒，所以cos 14B ==. (2)设AD CD x ==，则2BD x =． 在ABC ∆中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，①在等腰ACD ∆中，有112cos 2ACA AD x ==，② 联立①②，解得1x =或1x =-(舍去)． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．解法二：(1)同解法一．(2)设AD x =，则,2,CD x BD x == 因为ADC BDC ∠=π-∠， 所以cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-，所以21x =，解得1x =或1x =-(舍去)． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算,是中档题.18.等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列{}n c 满足12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 【答案】(1)2n a n =，2nn b =； (2)2022201928⨯+.【解析】 【分析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和. 【详解】(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++ 解得1 2.a = 2.n a n ∴=设等比数列{}n b 的公比为q ，所以342282,4b a q b a ==== 又2224,422.n n n b a b -==∴=⨯= (2)由(1)知，2,2.n n n a n b == 因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++⋅⋅⋅⋅++= ① 当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --++⋅⋅⋅+= ② 由①-②得，2n nnc a =，即12n n c n +=⋅， 又当1n =时，31122c a b ==不满足上式，18,12,2n n n c n n +=⎧∴=⎨⋅≥⎩. 数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2342021412223220202=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯设2342020202120201222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ③， 则34520212022202021222322019220202T =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ④， 由③-④得：234202120222020222220202T -=+++⋅⋅⋅+-⨯2202020222(12)2020212-=-⨯-2022420192=--⨯ ，所以20222020201924T =⨯+， 所以2020S =202220204201928T +=⨯+.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)求证：平面AEF ⊥平面PBC ．(2)试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°． 【答案】(1)见解析； (2)点F 为BC 中点. 【解析】 【分析】(1)利用直线与平面垂直的性质、判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明即可.(2)找建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面PCD 的法向量，利用数量积求出法向量间夹角，进而得到二面角的余弦值。
