解直角三角形应用举例说课稿20页PPT

（结果保留一位小数）．
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，
tan63°≈2.0， ≈1.73）
26.4 解直角三角形的应用
解：（1）∵MC=AB=10 cm，∠ACM=63°，
重 ∴AM=MC·tan∠ACM=MC·tan63°≈10×2.0=20（cm）.
难
题 答：AM 的长为 20 cm；
直接测量的物体高度或长度
26.4 解直角三角形的应用
归纳总结
考
点
（1）仰角和俯角是视线相对于水平视线而言的，可巧记
清
单 为“上仰下俯”；（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要
解
读 放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平
视线；（3）在解有关俯角、仰角的问题中，常作水平线或
铅垂线来构造直角三角形.
，
∴tan30°=


=
−
+
=

，解得

x=60 +90，经检验
x=60 +90 是原方程的解且符合题意，∴AB=（60 +90） m
，
26.4 解直角三角形的应用
变式衍生 3 某中学依山而建，校门 A 处有一坡角
重
难
题 α=30°的斜坡 AB，长度为 30 m，在坡顶 B 处测得教学
26.4 解直角三角形的应用
（2）如答案图，过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H，则
重
难
题 DG=BH=30 m，DH=BG.设 BC=x m，
型
在 Rt△ABC 中，∠ACB=45°，
突
破
∴AB=BC·tan45°=x m，
∴AH=AB-BH=（x-30） m，

2 2
cm
2
（根号保留）．
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当堂反馈
5.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基
间的水平距离BD为100m，塔高CD为 (100 3 50)m，
则下面结论中正确的是（ C ）
3
A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
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新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（3）
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在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
A
C
D
B
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2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
A
D xF
30°
C
Ex B
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3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。
y/km A
O
北
东
C x/km
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B 图12
解：（1） B(100 3，100 3) C(100 3，200 100 3)
（2）过点C作 CD OA于点D，如图2，则 CD 100 3

选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。

10 3
2
10 3 10
∴渔船不会进入危险区.
例题分析
思考：用三角函数求边长，什么情况下需要设未知数、列方程？什么情况下不需要设未知
数，可以直接求？
C
F
北 E
60°
A
F
北 E
30°

60°
是直角三角形的边长
D
不
A
C
2
30°
0
1
B
2
0 已知边
2
2
0
角三角形的边长
B
D
是直
总结分析
用三角函数求边长时的注意事项
随堂练习
2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并
测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____
100 米.
解析：由题意知，从A处观测B，其俯角为450，
∴∠BAC=900-450=450，
又AC⊥BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC=100米.

在Rt△AOC中，tan ∠AOC=
∴AC=OC ×tan500 ≈4.5 ×1.9 ≈5.36
∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8
O
C
D
B
4.5
认识方位角
北
D
E
H
45°
(1)正东，正南，正西，正北
45°
射线OA OB OC OD
东
西
C
射线OE
A (2)西北方向:_________

3
CD
∴ =
=
tan∠
3
BD

解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
在Rt△OCB中，∠O

AC OC

180

4.5 ，
OB

OC cos∠O

6370 cos 4.5
6389km，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在 的.
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号
目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的
组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组
合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的
地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少
（地球半径约为6 400km，取3.142，结果取整数）？
个角）， 其中∠C=90°.
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
c a
(2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=__9_0_°_；
A
a
bC
b
(3) 边角之间的关系：sinA=__c___，cosA=__c___，
a
tanA=___b__.
讲授新课
一 已知两边解直角三角形
合作探究
在图中的Rt△ABC中，
三 已知一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 1，
3
BC = 5， 试求AB的长.
解： C 90，cos A 1， AC 1 . 3 AB 3
设 AB x, AC 1 x，
B

化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
∠ADE
=
AE ,得 DE
AE=DE·tan ∠ADE =200·tan60°48 ′
∠BAC=60°
B C A
1. 从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的 锐角叫做仰角；
从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的 锐角叫做俯角．
2.会根据题意把实际问题转化为数学问题，然后利 用解直角三角形的知识，明确已知量和未知量， 选择合适的三角比，从而求得未知量.
必做题:课本P83 选做题:课本P83
C
拉线固定电线杆，拉线和地面之间的夹角 为60° , 求拉线AC 的长和拉线下端点A 与
6米
线杆底部D 的距离（精确到0 . 1 米）.
AC≈5.2米 AD＝3.0米
AD
B
2．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端到 地面的距离BC = 3.2 米，底端到墙根的距离 AC = 2.4 米． (1)求梯子的长度和梯子与地面所成角的大小 (精确到1 ' ) ; AB＝4.0米, ∠BAC≈53°8′ (2) 如果把梯子的底端到墙角的距离减少0 . 4 米， 那么梯子与地面所成的角是多少？
温故知新
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元 素？有几种情况？

感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯 角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参 考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下 表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果 精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
感悟新知
课堂新授
例2
课堂新授
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的 直角三角形.
课堂新授
课堂新授
计算结果必须根据 题目要求进行保留.
课堂新授
方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中 各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关 系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅 助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.

AE＝ 352－252 ≈24.5,
O
∴cos∠AOE＝
25 35
∴∠AOE≈44.4°,
E
10 A
C
∴∠AOC≈88.8°
单位: 厘米
D
S扇形OAC≈
88.8×352π 360
≈948.8(㎝),
∴S＝S扇形OAC－S△AOC ≈948.8－612.5＝336(㎝2)
S△AOC≈ 12×2×24.5×25 ＝612.5(㎝2)
＝250(1+ 3 ) (m). 答:船的航速约为14km/h.
做一做
1.某船自西向东航行，在A处测得某岛在北偏东60°的
方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向
上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？
B
（2）轮船要继续前进多少千米？
30°
45°
A
8千米
D
C
例4、如图，两建筑物的水平距离BC为24m,从点A测得点D 的 俯角α＝30°,测得点C 的俯角β＝60°,求AB 和CD 两座建
例3、海防哨所0发现,在它的北偏西30°,距离哨所500 m的A 处有一艘船向正东方向行驶,经过3分时间后到达哨所东北方 向的B处.问船从A处到B处的航速是多少km/h(精确到1km/h)?
北
A
B
30°
东
O
北
【解析】 在Rt△AOC中,
C
OA＝500 m, ∠AOC＝ A
B
∴3A0°C, ＝OAsin∠AOC
练一练
1.某人沿着坡角为45°的斜坡走了310 2 m，则此人的
垂直高度增加了__3_1_0__m .
2.已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCD，上

B
28°
50°
A
370 D
C
探究3：如图，为了测量红旗顶端离海平面的高度，
一位将军在离海平面高20米的A处航母上，测得红旗顶
端的仰角30°，航行410米后在D处测得红旗顶端仰角
为60°，将军快速测算出了更精确的高度？你知道将
军的秘密又在哪里呢？
B
A
D
C
解直角三角形的应用公开课课 件
填空：
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
B
(1)、若b=6，c=8，
c a
则a=_2___7__
α
A
b
C
(2)、若∠A=α，b=5 ， 5
则a=5_·t_an_α__,
c osα
c=_____
阅读理解：书P80读一读
a b
1 2 c
1 2
3
4
d
图（1）
图（2）
探究1：如图，利用直角三角形，小杰发现了另外一个
测量操场上旗杆高度的方法，他在离旗杆底部A处测得 AC长24米，从A处测得旗杆顶部的仰角为30°，他很快 就算出了红旗的高度，你知道小杰的秘密在哪里呢？
B
30°A▪24 NhomakorabeaC
探究2：如图，为了测量红旗顶端离海平面的高度，
一位舰长在A处测得旗杆顶端的仰角28°，航行370米 后在D处测得旗杆顶端仰角为50°，就测算出了旗杆顶 端离海平面的高度，你知道舰长的秘密又在哪里呢？ (精确到1米)