【数学】2016-2017年湖北省黄冈中学高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

黄梅二中2017年秋季高三年级期中考试理科数学试题一、选择题1．已知全集U=R ，集合A={x|x ≥﹣1}，集合B={x|y=lg （x ﹣2）}，则A ∩（∁U B ）=（ ） A ．[﹣1，2） B ．[﹣1，2] C ．[2，+∞）D ．[﹣1，+∞）2 .已知31sin()23πα+=，则cos 2α= ( ) A ．79- B ．79 C ． 13-D ．133．设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是 ( ) A ． 若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B ．若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C ．若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ 4等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为 ( )A.1B.12-C.1或12-D.1-或12-5、下列四个命题中真命题的个数是（ ） ①2lg y x =与2lg y x =是同一函数②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >” ③函数211y x =+的值域是(],1-∞ ④命题:p [)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∨为真命题A.0 B ．1 C ．2 D ．3 6.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线斜率为3，数列})(1{n f 的前n 项和为n S ，则2014S 的值为 ( )A.20132012B.20142013 C. 20152014D.201620157、将函数()cos2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B ．C ．24﹣πD ．24+π9.已知数列{}n a 的通项公式是221sin()2n n a n π+=, 1232014a a a a ++++=则( )A ．201320132⨯ B ．20131007⨯C ．20141007⨯D ．20151007⨯10.已知函数()21sin 21x xf x x x -=+++，若正实数a 、b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（ ） A.1 B.4．5 C.9 D.18 11.对二次函数()2f x ax bx c =++ （ a 为非零整数）四位同学分别给出下列结论其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A.—1是f （x ）的零点 B.1是f （x ）的极值点C.3是f （x ）的极值D.点（2，8）在曲线 y=f （x ）上 12.定义在R 上的函数)(x f 满足：x e x x f x f ∙=-')()(，且21)0(=f ，则)()(x f x f '的最大值为（ ）A ．3B ．21C ．1 D.2 二、填空题13.设复数z 的共轭复数为z ，若i z -=1（i 为虚数单位），则2z zz+的虚部为__________ 14.设实数x,y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为10，则22a b + 的最小值为15.设{}n a {}n b 都是正项等比数列，n S 、n T 分别为数列{}lg n a 与{}lg n b 的前n 项和,且21n n S n T n =+，则55log ab = 16定义域为R 的函数()()()11111x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()()221528h x f x bf x b =++-⎡⎤⎣⎦有五个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，设12345x x x x x <<<<且1x ，2x ，3x ，4x ，5x 构成一个等差数列的前五项，则该数列的前10项和为 三、解答题17.（本小题满分12(1)当x f(x)的最小值和最大值. (2)设△ABC 的内角A,B,C 的对应边分别为a,b,c ，且，若向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sin B)共线，求a,b 的值．18．（本小题满分12分）如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，AB AF BC ==（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E BF A --的正弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由19. （本小题满分12分）设数列{}n a 满足*132(2,)n n a a n n N -=+≥∈，且12a =，3log (1)n n b a =+.（1）证明：数列{1}n a +为等比数列； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）设13nn n n c a a +=，证明：114ni i c =<∑.20.（本小题满分12分）如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的点A 处建一仓库，设AB=y 千米,并在公路旁边建造边长为x 千米的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在公路GH 上）若从点A 向公路和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1且60ABC ∠=︒（1）求y 关于x 的函数解析式（2）如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问取x 何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？ 21.（本小题满分12分）） 已知函数f （x ）=lnx （x ＞0）． （Ⅰ）求证：f （x ）≥1﹣；（Ⅱ）设g （x ）=x 2f （x ），且关于x 的方程x 2f （x ）=m 有两个不等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）．（i ）求实数m 的取值范围； （ii ）求证：x 1x 22＜．（参考数据：e=2.718，≈0.960，≈1.124，≈0.769，ln2≈0.693，ln2.6≈0.956，ln2.639≈0.970．注：不同的方法可能会选取不同的数据） 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，当α变化时，求AB 的最小值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x m x x =---+． （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集； （2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．黄梅二中2017年秋季高三年级期中考试理科数学答案1B 2A 3D 4C 5C 6C 7B 8A 9D 10A 11A 12D 13 -1 141516 3517.（1）f(x)=sin(2x-)-1.则f(x)的最小值是最大值是0．（2）f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1,∵0<C<π,∴0<2C<2π, ∴-<2C-<, ∴2C- =,C=,∵向量m =(1,sin A)与向量n =(2,sin B)共线,由正弦定理得 ① 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcos ，即a2+b2-ab=3 ②由①②,解得a=1,b=2．18.解：（Ⅰ）取中点，连接，…………… 1分又，所以. 因为，所以,四边形是平行四边形，…………… 2分所以因为平面，平面所以平面. ……………4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面=，且，所以平面，所以，……………5分因为，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 则，……………6分是平面的一个法向量.设平面的法向量，则，即令，则，所以, 所以，…8分故二面角的正弦值为。

黄冈中学2017届高三(上)理科数学测试(6)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 1．D2． 3k >是方程22131x y k k +=--表示双曲线的（ ）条件． A ．充分但不必要 B ．充要 C ．必要但不充分 D ．既不充分也不必要2．A 【解析】330,10k k k >⇒-<->，即方程22131x y k k +=--表示双曲线，但方程22131x y k k +=--表示双曲线(3)(1)031k k k k ⇒--<⇒><或． 3．等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A ．{}1B ．112⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭3．B 【解析】等差数列{}n a 中，dn a dn a a a n n )12()1(112-+-+=与n 无关的常数，所以d n m ma d n a )12()1(11-+=-+对n 恒成立，所以;21,0;1,0=≠==m d m d4．若,a b 是异面直线，P 是,a b 外的一点，有以下四个命题：①过P 点一定存在直线l 与,a b 都相交； ②过P 点一定存在平面与,a b 都平行； ③过P 点可作直线与,a b 都垂直；④过P 点可作直线与,a b 所成角都等于50o ．这四个命题中正确命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③、④D ．①②③4．C 【解析】当直线a 与P 点确定的平面α与b 平行时，过P 点所作的与a 相交的直线都在α内，不可能与b 相交，因此命题①不正确；同样，在这种情况下，过P 点作与b 平行的平面恰是α，α通过a 与a 并不平行，因此命题②也不正确．③④可以考虑与两直线平行在同一平面考虑.5．在函数()y f x =的图象上有点列(,)n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可以为 ( )A ．()21f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()log f x x =D ． 3()()4xf x =5． D 【解析】对于函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列(x n ，y n )，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等差数列，所以x n +1－x n ＝d ，因此1n ny y +＝113()334()()344()4n n n n x x x d x ++-==，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D. 6．为得到函数sin()3y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则||m n -的最小值是（ ）A ．43π B ．23π C ．3πD ．2π 6．B 【解析】由条件可得121252,2(,)33m k n k k k N ππππ=+=+∈，则124|||2()|3m n k k ππ-=--，易知时min 2||3m n π-= 7.方程01sin 2=+-x x π所有根的和为( )A ．4B ．5C ．6D ．77．B 【解析】作图可知1,sin 2-==x y x y π的图象都关于点(1,0)对称,且共有五个交点,故所有根的和为5.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ） A. 1 B.5C. 5D. 23 8．【答案】D【解析】由题意，如下图，该几何体为三棱锥ABCD ，最大面的表面为边长为22的等边三角形，故其面积为23(22)23⋅=. 9．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．C ． (1,3)D ． 9．【答案】A【解析】由于ABE ∆为等腰三角形，可知只需045AEF ∠<即可，即2||||b AF EF a c a<⇒<+，化简得23012e e e --<⇒<<．10．已知函数()xf x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是（ ） A. a e > B.122x x +> C.121x x > D.有极小值点0x ，且1202x x x +< 10．【答案】C【解析】函数()f x 导函数：'()xf x e a =-有极值点ln x a =，而极值(ln )ln 0f a a a a =-<，a e ∴>，A 正确.()f x 有两个零点：110x e ax -=，220x e ax -=，即：11ln ln x a x =+① 22ln ln x a x =+②①-②得：1212ln ln x x x x -=-根据对数平均值不等式：12121212ln ln x x x x x x +->=>-122x x ∴+>，而1>121x x ∴< B 正确，C 错误而①+②得：12122ln ln 2ln x x a x x a +=+<，即D 成立. 11．(2013浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析 设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2 同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2,∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立．即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.12．(2013四川)设函数f (x )＝e x＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．[e －1－1,1] C ．[1，e ＋1] D ．[e －1－1，e ＋1] 答案 A解析 可知0[0,1]y ∈,易知f (x )在定义域内为增函数;由于存在f (f (y 0))＝y 0，若f (y 0)>y 0，则有f (f (y 0))>f (y 0)，即y 0>f (y 0)，矛盾；若f (y 0)<y 0，则有f (f (y 0))<f (y 0)，即y 0<f (y 0)，矛盾．故只有f (y 0)＝y 0．即f (x )＝e x＋x －a ＝x 在[0,1]内有解．整理可得2x a e x x =+- 在[0,1]内有解，'()120xg x e x =+->，()g x 在[0,1]x ∈单调递增，故[0,]a e ∈． 二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan α，tan β分别是2lg(652)0x x -+=的两个实数根，则tan()αβ+= .13．1【解析】试题分析：由题意可得，2lg(652)0x x -+=26x 5x 21⇒-+=，∴5tan tan =6αβ+，1tan tan 6αβ⋅=，∴tan()αβ+5tan tan 6111tan tan 16αβαβ+===--．14．已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则2(1)(2)(1)f f f ++ 222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)f f f f f f f f f +++++= 。

黄冈中学2017届高三（上）周末测试数学试题（1）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．请将正确答案的代号填在答题卡上)： 1．已知集合{}{}2013,,11xM y y x R N x x ==∈=-≤，则=（ ）A ． (0,)+∞B ．(]0,2C ． [)0,+∞D ．{}(2,4),(4,16) 【答案】B【解析】{}{}{}{}2013,0,1102xM y y x R y y N x x x x ==∈=>=-≤=≤≤，故=(]0,2．2．下列对应法则f 中，构成了从集合A 到集合B 的映射是（ ） A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>= B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21:},0|{,xy x f y y B R A =→>== D ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== 【答案】D【解析】根据映射的定义知，构成从集合A 到集合B 的映射是D 3． 25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C ．4．函数f (x )＝ax ＋b （x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 【答案】C【解析】由里面图可知－c >0，∴c <0，又当x <－c 时，由图象形状可知，a <0且b >0，故选C ．5．函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 14a <<B ． 14a ≤≤C ． 16a <<D ． 46a ≤≤ 【答案】A6．设集合A=12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5},i x x x x x x i ∈-=那么集合A 中满足条件12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤的元素个数为（ ）A ．130B ．120C ．90D ．60 【答案】A【解析】当12345||||||||||1x x x x x ++++=时，有115210C C =种情况； 当12345||||||||||2x x x x x ++++=时，有221552240C C C +=种情况； 当12345||||||||||3x x x x x ++++=时，有3313255353280C C C C C ++=种情况；综上知，满足条件的元素个数共有104080130++=种．7．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A ．p ＋q 2B ．（p ＋1）（q ＋1）－12 C ．pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1【答案】D【解析】设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1．[ 8． 在R 上定义的函数()x f 是奇函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ ）A ．在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B ．在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C ．在区间[]2,3--上是减函数，区间[]1,0上是增函数D ．在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数 8．【答案】C【解析】由()()x f x f -=2知()x f 的图象关于直线1=x 对称，由()x f 在区间[]2,1是减函数知()x f 在区间[]1,0是增函数，又由()()x f x f -=2及()x f 是奇函数，得到())()()]2(2[2x f x f x f x f -=-=+-=+，进而得())(4x f x f =+，所以()x f 是以4为周期的函数，故()x f 在[]2,3--上是减函数．9．已知方程21|log (1)|()08x x --=的根为1212,()x x x x <，且函数3211()32f x x ax bx c =-++的极大值点和极小值点分别为1x 和2x ，其中,,a b c R ∈，则有（ ）A ．3b ≤B ．b a <C ．b a =D ．b a >【答案】B【解析】结合图象知1212x x <<<，又21212'(),,f x x ax b x x a x x b =-+∴+==，2122212212|log (1)||log (1)|log (1)log (1)(1)(1)1x x x x x x ∴->-⇒-->-⇒--<，即1212()0x x x x -+<，所以b a <．10．用6个字母A ，B ，C ，a ，b ，c 编拟某种信号程序(大小写有区别)．把这6个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母(同一个字母的大小写)排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为( )A ．432B ．288C ．96D ．48【答案】B【解析】根据题意，分3步进行：①先确定排到同一列的上下格位置的一对字母，有C 13＝3种情况，将其放进表格中，有C 13＝3种情况，考虑这一对字母的顺序，有A 22＝2种不同顺序；② 再分析第二对字母，其不能排到同一列的上下格位置，假设① 选定的一对大小写字母为A 和a ，则分析B 与b ：B 有4种情况，b 的可选位置有2个；③ 最后一对字母放入最后两个位置，有A 22＝2种放法．则共有3×3×2×4×2×2＝288个“微错号”．故选B ． 11．设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y =的图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A ．9617B ．325C ．61D ．487【答案】C 【解析】由题意知332114()5241604()165k C k k k k k =⇒-+=∴==或舍， 联立2x y =与4y x =可得交点为(0,0)和(4,16)，故所求概率为42342001(2)|(4)134164166x x x x dx P --===⨯⨯⎰．12．已知函数sin()1,0()2log (0,1),0a x x f x x a a x π⎧- <⎪=⎨⎪ >≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】原函数在y 轴左侧是一段正弦函数的图象，在y 轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于y 轴对称的点至少有3对，可将左侧的图象对称到y 轴右侧，得到函数sin()1,02y x x π=-->的图象，则此函数与对数函数的图象至少有3个公共点，由图象可知01a <<，且log 520a a >-⇒< 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．请将结果填在答题卡的横线上)： 13．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________． 【答案】10【解析】令x ＋1＝y ，(y －1)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，故a 3＝C 25(－1)2＝10． 14．集合222{|(1),0}A x x a x a =-<>，若中有且仅有两个元素（Z 为整数集），则a的取值范围是________． 【答案】12,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】[][]222(1),0(1)1(1)10x a x a a a x -<>⇒+--+> 由题意可知：1001a a -<⇒<<，15．若函数213ln()1x y x x +=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m = ．15．【答案】6【解析】由)]1ln()1[ln()11ln()(22x x x x x x x f --+=-+=知)(x f 在]21,0[上是增函数,又因为函数)11ln()(2x x x x f -+=是奇函数，所以函数213ln()1x y x x +=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 是增函数，故M+m=6)]211211ln()21(3[)]211211ln()21(3[22=+--++-++ 16． 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈r ，记a r的象为()f a r ．若映射:f V V →满足：对所有,a b V ∈r r及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+r r r r，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，,a b V ∈r r ，则()()()f a b f a f b +=+r r r r；②若e r 是平面M 上的单位向量，对a V ∈r，设()f a a e =+r r r ，则f 是平面M 上的线性变换； ③对a V ∈r，设()f a a =-r r ，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈r，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =r r ．其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④【解析】对①：令1==μλ，则()()()f a b f a f b +=+r r r r故①是真命题 同理，④：令0,==μλk ，则()()f ka kf a =r r故④是真命题 ②：由()f a a e =+r r r ，则有()f b b e =+r r r()()()(1)f a b a b e a e b e e λμλμλμλμ+=++=+++-+-r r r r r r r r r r ∵e r 是单位向量，0e ≠r r，故②是假命题③：∵()f a a =-r r ，则有()f b b =-r r()()()()()()f a b a b a b f a f b λμλμλμλμ+=-+=-+-=+r r r r r r r r是线性变换，故③是真命题三、解答题(本大题共6小题,满分70分)： 17．（本小题满分10分）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－x ＋1． (1)求f (－1)的值；(2)设f (x )的值域为A ，函数g (x )＝－x 2＋（a －1）x ＋a 的定义域为B ．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解： (1)∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－1)＝f (1)．又x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－x ＋1，所以f (1)＝12－1＋1＝12， 故f (－1)＝12．(2)由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，可得函数f (x )的值域A 即为x ≥0时f (x )的取值范围． 当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x ＋1为单调递减函数， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－x ＋1≤f (0)＝2， 故函数f (x )的值域A ＝(－∞，2]．又函数g (x )的定义域为B ＝{x |－x 2＋(a －1)x ＋a ≥0}＝{x |(x －a )(x ＋1)≤0}， 讨论：①若a <－1，则B ＝[a ，－1]，显然满足B ⊆A ；②若a >－1，则B ＝[－1，a ]，要使B ⊆A ，则需a ≤2，此时－1<a ≤2； ③当a ＝－1，则B ＝{－1}，满足B ⊆A ． 综上，a 的范围为(－∞，2]． 18．（本小题满分12分）已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (－1)＝f (2)，且不等式x ≤f (x )≤2|x －1|＋1对x ∈[0，2]恒成立，求函数f (x )的解析式； (2)若c <0，且函数f (x )在[－1，1]上有两个零点，求2b ＋c 的取值范围． 解：(1)因为f (－1)＝f (2)，所以b ＝－1，因为当x ∈[0，2]，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以有f (1)＝1， 即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1；(2)法一 因为f (x )在[－1，1]上有两个零点，且c <0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （1）≥0，c <0，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划可得－2<2b ＋c <2． 法二 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 所以f (x )＝(x －x 1)(x －x 2)， 不妨设x 1∈[－1，0)，x 2∈(0，1]．因为f (2)＝(2－x 1)(2－x 2)，且2－x 1∈(2，3]，2－x 2∈[1，2)， 所以f (2)∈(2，6)，所以－2<2b ＋c <2． 19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为23，34，12，他们海选合格与不合格是相互独立的．(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；(2)记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量 ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解： (1)记“甲海选合格”为事件A ，“乙海选合格”为事件B ，“丙海选合格”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E ，则P (E )＝1－P (A B C )＝1－13×14×12＝2324．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3．P (ξ＝0)＝P (A B C )＝124； P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝624；P (ξ＝2)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝1124；P (ξ＝3)＝P (ABC )＝624．所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312．20．（本小题满分12分）已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992．(1)求⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2n 的二项式系数最大的项； (2)求⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 2n的展开式系数最大的项． 解：由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0， ∴2n ＝32(负值舍去)，解得n ＝5．(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252．∴T 6＝C 510(2x )51x 5＝C 51025＝8064．(2)设第r ＋1项的系数最大，∵T r ＋1＝C r 10(2x )10－r1xr ＝C r 10210－r x 10－2r， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 10210－r ≥C r －110210－r ＋1，C r 10210－r ≥C r ＋110210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ， 解得83≤r ≤113，∵r ∈N ，∴r ＝3．故系数最大的项是第4项，第4项为T 4＝C 31027x 4＝15360x 4．21．（本小题满分12分）（2016年上海高考） 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 解:（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 ． （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时， y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 22．（本小题满分12分）已知常数0,a >函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+ （Ⅰ）讨论()f x 在区间0+∞（，）上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*） 当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aax --=122舍去）， 当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ， 故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增． 综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa上单调递增．（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点． 因而要使)(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是aax -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，ax 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--a a ，解得21≠a ． 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点． 而22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a ．令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x ． 并记22ln )(2-+=xx x g ，（i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=xx x x x g ， 因此)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f ．(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=xx x x x g ， 因此)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f ．综上所述，满足条件的a 的取值范围是．。

2015-2016学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知a∈R，则“a＞3”是“a2＞3a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．244．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则f（﹣2）=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A ．B ．C ．0D ．7．求曲线y=x 2与y=x 所围成图形的面积，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设l ，m ，n 为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）①若l ⊥α，则l 与α相交②若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α ③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α ④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．||=1，||=， •=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设=m+n（m 、n ∈R ），则等于（ ）A． B ．3C ．D ．10．已知曲线C ：y=2x 2，点A （0，﹣2）及点B （3，a ），从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（4，+∞）B ．（﹣∞，4）C ．（10，+∞）D ．（﹣∞，10）11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．2B ．4C ．2D ．212．设函数f （x ）在R 上存在导数f′（x ），∀x ∈R ，有f （﹣x ）+f （x ）=2x 2，在（0，+∞）上f′（x ）＞2x ，若f （2﹣m ）+4m ﹣4≥f （m ），则实数m 的取值范围为（ ）A．﹣1≤m≤1 B．m≤1 C．﹣2≤m≤2 D．m≥2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为．14．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为．15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为．16．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．三、解答题（17-21为必做题）17．已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，且数列{a n}的前n 项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2（n≥3）（1）求证：{a n}为等差数列；（2）记数列b n=，试归纳数列{b n}的前n项和T n．18．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．19．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+3a2x﹣a3（a∈R）的图象关于点（1，0）成中心对称．（1）确定f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x）﹣2x2在[﹣1，1]上的最大值和最小值．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q垂直于AP，并证明你的结论．21．已知函数f（x）=xln（ax）（a＞0）（1）若f′（x）≤+对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，设函数f（x）的极值点为x0，若实数m，n满足x0＜m＜1，x0＜n＜1，且m+n＜1．求证：＜（m+n）．[选修题]22．如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N 点的切线交C A 的延长线于P（1）求证：PM2=PA．PC（2）若MN=2，OA=OM，求劣弧的长．[选修题]23．将单位圆经过伸缩变换：φ：（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：=1（1）求实数λ，μ的值；（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？[选修题]24．设a、b、c∈R+，求证： ++≥．2015-2016学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】根据题意，由复数的计算公式可得==﹣﹣i ，进而由复数的几何意义可得该复数对应的点的坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意， ==﹣﹣i ，则该复数对应的点为（﹣，﹣），对应点在第三象限； 故选：C ．2．已知a ∈R ，则“a ＞3”是“a 2＞3a”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a 2＞3a ，解得a ＜0或a ＞3．利用充分必要条件即可判断出． 【解答】解：由a 2＞3a ，解得a ＜0或a ＞3． ∴“a ＞3”是“a 2＞3a”的充分不必要条件． 故选：A ．3．设{a n }为等差数列，公差d=﹣2，s n 为其前n 项和，若S 10=S 11，则a 1=（ ）A．18 B．20 C．22 D．24【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．【解答】解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1﹣2（11﹣1）=0，解得a1=20．故选B4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则f（﹣2）=（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】由奇函数将f（﹣2）转化为f（2）求解．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1故选B5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A6．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A． B．C．0 D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B ．7．求曲线y=x 2与y=x 所围成图形的面积，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】定积分的简单应用．【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．【解答】解：如图所示S=S △ABO ﹣S 曲边梯形ABO，故选：B ．8．设l ，m ，n 为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）①若l ⊥α，则l 与α相交②若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α ③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α ④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n ． A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的有关定理对四个命题逐个进行判断即可找出命题中正确的个数．【解答】解：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m ，n 的相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性．l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α．即③正确；由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n．即④正确．故正确的有①③④共3个．故选C9．||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．【考点】向量的共线定理；向量的模．【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．【解答】解：法一：如图所示：=+，设=x，则=．=∴==3．法二：如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m，n），∴tan30°==，∴=3．故选B10．已知曲线C：y=2x2，点A（0，﹣2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，4）C．（10，+∞）D．（﹣∞，10）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先看视线最高时为抛物线切线，而且为右上方向，设出切线的方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式等于0求得k的值，进而求得切线的方程，把x=3代入即可求得y的值，B点只要在此切线下面都满足题意，进而求得a的范围．【解答】解：视线最高时为抛物线切线，而且为右上方向设切线y=kx﹣2（k＞0）与抛物线方程联立得2x2﹣kx+2=0△=k2﹣16=0k=4（负的舍去）∴切线为y=4x﹣2取x=3得y=10B点只要在此切线下面都满足题意∴a＜10故选D．11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2 D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，即可求出四面体的四个面中面积最大的面积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2x2，在（0，+∞）上f′（x）＞2x，若f（2﹣m）+4m﹣4≥f（m），则实数m的取值范围为（）A．﹣1≤m≤1 B．m≤1 C．﹣2≤m≤2 D．m≥2【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用构造法g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=2x2，∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）=0，令g（x）=f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣2x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，∴g（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣m）+4m﹣4≥f（m）等价于f（2﹣m）﹣（2﹣m）2≥f（m）﹣m2，即g（2﹣m）≥g（m），∴2﹣m≥m，解得m≤1，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式系数的和，求出n，通过二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，即可求出a的值．【解答】解：二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，∴2n=32，∴n=5；∴=，令，可得r=3，∵展开式的常数项是80，∴，解得a=2．故答案为：2．14．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为5．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，利用（x﹣2）2+y2的几何意义，即可行域内的动点与定点M（2，0）距离的平方求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，（x﹣2）2+y2的几何意义为可行域内的动点与定点M（2，0）距离的平方，由图可知，（x﹣2）2+y2的最小值为．故答案为：5．15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为3．【考点】余弦定理．【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案为：3．16．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．三、解答题（17-21为必做题）17．已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，且数列{a n}的前n 项和S n满足S n+S n﹣2=2S n﹣1+2（n≥3）（1）求证：{a n}为等差数列；（2）记数列b n=，试归纳数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的定义即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）由S n+S n﹣2=2S n﹣1+2（n≥3）知：S n﹣S n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2+2，∴a n=a n﹣1+2，∴a n﹣a n﹣1=2（n≥3）．又∵a2﹣a1=2，故a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴{a n}为等差数列．（2）由（1）知，，∴①②①﹣②得：，∴，∴．18．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．【考点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．（2）由题意可得当x∈[0，3π]时，函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，数形结合可得m的范围．【解答】解：（1）将y=sinx的图象向左平移个单位长度得到y=sin（x+）的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=f（x）=sin（x+）的图象．（2）∵x∈[0，3π]，∴x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣1，1]，∵当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，∴函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，如图所示：故方程f（x）=m有唯一实数根的m的取值范围为（﹣，）∪{1，﹣1}．19．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+3a2x﹣a3（a∈R）的图象关于点（1，0）成中心对称．（1）确定f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x）﹣2x2在[﹣1，1]上的最大值和最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象与图象变化．【分析】（1）由f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（1+x）=﹣f（1﹣x）⇒6（1﹣a）x2+12（a﹣1）x+（2﹣a）3﹣a3=0对x∈R恒成立，即可求a．（2）利用导数求函数单调区间，再求最值即可．【解答】解：（1）法1：化简f（x）得f（x）=（x﹣a）3由f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（1+x）=﹣f（1﹣x）…即f（x）=﹣f（2﹣x）…，代入f（x）得（x﹣a）3+（2﹣x﹣a）3=0，整理得：6（1﹣a）x2+12（a﹣1）x+（2﹣a）3﹣a3=0对x∈R恒成立，则法2：f（x）=x3是奇函数，f（x）=（x﹣a）3是将f（x）的图象向左（a＜0）或向右（a＞0）平移|a|个单位，由题意平移后的图象关于点（1，0）成中心对称，故a=1．（2）g（x）=f（x）﹣2x2=（x﹣1）3﹣2x2，∵g′（x）=3x2﹣10x+3=0，∴，又x∈[﹣1，1]，则x∈[﹣1，]时g（x）递增，x∈[]时g（x）递减，故g（x）max=g（）=﹣，g（﹣1）=﹣10，g（1）=﹣2，∴g（x）min=﹣10．综上，g（x）max=，g（x）min=﹣10．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q垂直于AP，并证明你的结论．【考点】直线与平面所成的角；空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，．利用线面平行的性质可得：OG∥PC．利用三角形中位线定理及其线面垂直的判定可得：AO⊥平面BDD1B1，可得线面角，利用直角三角形的边角关系即可得出．（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需D1Q⊥平面ACC1A1，设A1C1∩B1D1=O1，可推测A1C1的中点即为所求的Q点再利用线面垂直的判定与性质定理即可．解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的性质、线面垂直的判定与性质定理、向量夹角公式即可得出．（2）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，依题意，对任意的m要使D1Q⊥AP，利用=0，解出x即可得出．【解答】解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，．…，故OG∥PC．所以．又…故．…在Rt△AOG中，tan∠AGO===3，即．故当时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3．…（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需D1Q⊥平面ACC1A1，…设A1C1∩B1D1=O1，可推测A1C1的中点即为所求的Q点．…因为．，所以D1O1⊥平面ACC1A1，即D1Q⊥平面ACC1A1，…又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．即D1Q⊥AP．…解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，…则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）．所以=（﹣1，﹣1，0），=（0，0，1），═（﹣1，1，m），=（﹣1，1，0），…又由的一个法向量．…设AP与所成的角为θ，则…依题意有：，解得．…故当时，直线．…（2）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，…则．…依题意，对任意的m要使D1Q⊥AP，=﹣x+（1﹣x）+0=0，解得x=．…即C为D的中点时，满足题设的要求．…21．已知函数f（x）=xln（ax）（a＞0）（1）若f′（x）≤+对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，设函数f（x）的极值点为x0，若实数m，n满足x0＜m＜1，x0＜n＜1，且m+n＜1．求证：＜（m+n）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求解得出f′（x）═ln（ax）+1，即2ln（ax）+1﹣x≤0在x ＞0恒成立，构造函数令h（x）=2ln（ax）+1﹣x，再次求解导数判断．（2）综合求解导数判断单调性得出x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）递减，m，n∈（，1），＜m+n＜1，由x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，利用单调性得出lnm ln（m+n）同理f（m+n）=（m+n）ln（m+n）＞nlnn，lnn ln（m+n），利用对数，指数的运用求解证明ln（mn）＜2ln（m+n）ln（m+n），即可证明．＜（m+n）．【解答】（1）解：f′（x）═ln（ax）+1，即2ln（ax）+1﹣x≤0在x＞0恒成立，令h（x）=2ln（ax）+1﹣x，∴h′（x）=﹣1，故x∈（0，2）时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，2）递增，x＞2时，h′（x）＜0，则h（x）在（2，+∞）递减，则h（x）max=h（2），依题意h（2）≤0，∴0．（2）a=1，f （x ）=xlnx ，令f′（x ）=0得x=，且x ∈（0，），f′（x ）＜0，f （x ）递减，x ∈（，+∞），f′（x ）＞0，f （x ）递增，故x 0=．则m ，n ∈（，1），＜m +n ＜1，由x ∈（，+∞），f′（x ）＞0，f （x ）递增，则有：f （m +n ）=（m +n ）ln （m +n ）＞mlnm ，∴lnm ln （m +n ），同理f （m +n ）=（m +n ）ln （m +n ）＞nlnn ∴lnn ln （m +n ），lm +lnn ＜（）ln （m +n ）=（2）ln （m +n ）=2ln （m +n ）+（）ln （m +n ），又ln （m +n ）＜0，＞0，＞0，∴ln （mn ）＜2ln （m +n ）ln （m +n ），即可证明．＜（m +n ）．[选修题]22．如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，过N 点的切线交C A 的延长线于P（1）求证：PM 2=PA ．PC（2）若MN=2，OA=OM ，求劣弧的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接ON ，则ON ⊥PN ，由半径相等可得OB=ON ，可得∠OBM=∠ONB ，利用切线的性质和已知可得∠BOM=∠ONP=90°，进而可得∠PMN=∠PNM ，再利用切割线定理即可证明；（2）由相交弦定理得⊙O 的半径，再求劣弧的长．【解答】（1）证明：连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=90°﹣∠OBN，∠PNM=90°﹣∠ONB，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．根据切割线定理，有PN2=PA•PC，∴PM2=PA•PC．…（2）解：设，则在直角△OBM中，BM=2x又，由相交弦定理得故⊙O的半径，∴BN弧长…[选修题]23．将单位圆经过伸缩变换：φ：（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：=1（1）求实数λ，μ的值；（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？【考点】参数方程化成普通方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】（1）由题意可知实数λ，μ的值，（2）求出极坐标方程，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：（1）由：φ：（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：=1，即为（）2+（）2=1∴，（2），故当时，ρmin=．[选修题]24．设a、b、c∈R+，求证： ++≥．【考点】不等式的证明．【分析】利用基本不等式，可得+（b+c）≥a， +（c+a）≥b， +（a+b）≥c，相加，即可得出结论．，【解答】证明：∵a、b、c∈R+∴+（b+c）≥a， +（c+a）≥b， +（a+b）≥c，∴+（b+c）++（c+a）++（a+b）≥a+b+c，∴++≥．2017年1月15日。