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最新华师大版七年级数学下册第七章各小结练习题(附答案)

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第7章 一次方程组 7.1 二元一次方程组和它的解1．下列哪个是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ＝1，x ＝y ＋1的解( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝32．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中，不是该方程的解的是( )A ．⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－12B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－13．关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋y ＝n ，x －ny ＝2m 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，则m＋n 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．04．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道得＋5分，每答错一道得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则( )A ．x －y ＝20B ．x ＋y ＝20C ．5x －2y ＝60D ．5x ＋2y ＝605．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋11＝y ，6x ＋16＝yB ．⎩⎪⎨⎪⎧9x －11＝y ，6x －16＝yC ．⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋11＝y ，6x －16＝yD ．⎩⎪⎨⎪⎧9x －11＝y ，6x ＋16＝y6．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程ax ＋y ＝3的解，则a＝__ __．7已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝－3的解，则a ＋b 的值是( )A ．－1B ．1C ．－5D ．58．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋2y ＝－3的解，则a ＋b 的值为__ __．9．写出二元一次方程4x ＋y ＝20的正整数解．10．(逻辑推理)为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1 200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元．在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有( )A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种参考答案【分层作业】1．B 2．B3．D 【解析】把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，－2n ＝2m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2，则m ＋n ＝0.故选D ．4．C 【解析】 答对得分为5x 分，答错得分为－2y 分，不答得分为0分，共得分60分，则5x －2y ＝60.5．D6．1 【解析】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2代入二元一次方程ax ＋y ＝3中，得a＋2＝3，解得a ＝1.7．A 【解析】将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝2，bx ＋ay ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＝2，3b －2a ＝－3.两式相加；得a ＋b ＝－1.故选A ．8．1 【解析】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋2y ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝6，①a ＋2b ＝－3.②，由①＋②，得3a ＋3b ＝3， 即a ＋b ＝1.9．解：将原方程变形，得y ＝20－4x . 因为x ，y 均为正整数， 所以x 只能取小于5的正整数． 当x ＝1时，y ＝16；当x ＝2时，y ＝12； 当x ＝3时，y ＝8；当x ＝4时，y ＝4.所以4x ＋y ＝20的正整数解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4. 10．B 【解析】 设购买篮球x 个，排球y 个．依题意，得120x＋90y ＝1 200，化简得4x ＋3y ＝40.∵x ，y 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，∴共有3种购买方案．第7章 一次方程组7.2 二元一次方程组的解法第1课时 用代入法解二元一次方程组(1)1．用代入法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5 ②时，化简比较容易的变形是( )A ．由①，得x ＝2－4y3 B ．由①，得y ＝2－3x4 C ．由②，得x ＝y ＋52 D ．由②，得y ＝2x －52．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋m ＝－4，y －3＝m 可得出x 与y 之间的关系是( )A ．x ＋y ＝1B ．x ＋y ＝－1C ．x ＋y ＝7D ．x ＋y ＝－73．已知|x －2y |＋(3x －4y －2)2＝0，则x ＝ __ __，y ＝__ __． 4．解方程组：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝6，y ＝x －2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x ＋y ＝10.5．已知x ，y 是有理数，则满足(x ＋2y －7)2＋|3x －y |＝0的x 的值为__ __，y 的值为__ __．6．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的方程y ＝kx ＋b 的两个解，则k ＝____，b ＝__ __．7．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为，则篮球的单价为__ __元，足球单价为__ __元．8．小张把两个大小不同的苹果放到天平上称量，当天平保持平衡时的砝码质量如图．问：这两个苹果的质量分别为多少克？9．(数学运算)对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：a b＝2a＋b.例如34＝2×3＋4＝10.(1)求2(－5)的值；(2)若x(－y)＝2，且2y x＝－1，求x＋y的值．参考答案【分层作业】1．D 2．B3．2 1 【解析】∵|x －2y |＋(3x －4y －2)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①3x －4y ＝2.②由①，得x ＝2y ③把③代入②，得6y －4y ＝2，解得y ＝1 把y ＝1代入①，得x ＝2.4．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝6，①y ＝x －2.②把②代入①，得3x ＋x －2＝6. 解得x ＝2.把x ＝2代入②，得y ＝0.则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，①4x ＋y ＝10.② 由①，得y ＝1－x .③把③代入②，得4x ＋1－x ＝10， 解得x ＝3.把x ＝3代入③，得y ＝－2.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．1 3 【解析】∵(x ＋2y －7)2＋|3x －y |＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7，3x －y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.6．4 -57．⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝435，x －y ＝3 50 47 8．解：设大苹果的质量为x g ，小苹果的质量为y g.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50，x ＋y ＝300＋50，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝150.答：大苹果的质量为200 g ，小苹果的质量为150 g. 9． 解：(1)2(－5)＝2×2－5＝－1.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，4y ＋x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79，y ＝－49，故x ＋y ＝13.第7章 一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法第2课时 用代入法解二元一次方程组(2)1．解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋6y ＝3，6x －4y ＝5，得y ＝( )A ．－112B ．－217C ．－234D ．－11342．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中的信息可知一枝鲜花的价格是__ __元．3．已知a ，b 互为相反数，并且3a －2b ＝5，则a 2＋b 2＝__ __． 4．解二元一次方程组：(1)⎩⎨⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11；②(2)⎩⎪⎨⎪⎧2（x －150）＝5（3y ＋50），10%·x ＋6%·y ＝8.5%×800.5．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，bx －ay ＝5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，求4a －3b的值．6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意如下：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马和小马各有多少匹？7．(数学运算)对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法．如解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2（x ＋y ）＝3，①x ＋y ＝1.②解：把②代入①，得x ＋2×1＝3，解得x ＝1. 把x ＝1代入②，得y ＝0.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.请用同样的方法解方程组：⎩⎨⎧2x －y －2＝0，①2x －y ＋57＋2y ＝9.②参考答案【分层作业】1．D 2．15 3．24．解：(1)由①，得x ＋1＝6y .③把③整体代入②，得12y －y ＝11，解得y ＝1. 把y ＝1代入③，得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.(2)原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －15y ＝550，①5x ＋3y ＝3 400.②由②，得3y ＝3 400－5x .③把③代入①，得2x －5(3 400－5x )＝550， 解得x ＝650.把x ＝650代入③，得y ＝50.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝650，y ＝50.5．解：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，bx －ay ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝7，b ＋2a ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝175，b ＝－95，则4a －3b ＝4×175＋3×95＝19. 6．解：设大马x 匹，小马y 匹．依题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝100，3x ＋y3＝100，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝75. 答：大马有25匹，小马有75匹． 7．解：由①，得2x －y ＝2.③ 把③代入②，得1＋2y ＝9， 解得y ＝4.把y ＝4代入③，得x ＝3.则原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.第7章 一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法第3课时 用加减法解二元一次方程组(1)1．用加减法解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝5，①3x ＋4y ＝－1.②下列四种解法中，正确的是( )A ．①＋②，得6x －2y ＋(－4y )＝5－1B ．②－①，得4y －2y ＝－1＋5，所以y ＝2C ．②－①，得4y ＋2y ＝－1－5，所以y ＝－1D ．②－①，得4y ＋2y ＝1－5，所以y ＝－232．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，3x －8y ＝14的解为 ( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－13．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，x －2y ＝5，则2x ＋6y 的值是( )A ．－2B ．2C ．－4D ．44．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝4，①3x ＋2y ＝1.②用加减消去x 的方法是__ __，用加减消去y 的方法是__ __．5．用消元法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝5，①4x －3y ＝2 ②时，两位同学的解法如下：解法一：由①－②，得3x ＝3.解法二：由②，得3x ＋(x －3y )＝2.③ 把①代入③，得3x ＋5＝2.(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“”；(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．6．解方程组：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9；(2) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝7，x －3y ＝1.7．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的一组解，则a ＋b ＝__ __．8．校田园科技社团计划购进A ，B 两种花卉，两次购买每种花卉的数量以及每次的总费用如下表所示：花卉数量/株总费用/元AB 第一次购买 10 25 225 第二次购买2015275(1)你从表格中获取了什么信息？(请用自己的语言描述，写出一条即可)(2)A，B两种花卉每株的价格各是多少元？9．(数学运算)对于有理数x，y，定义新运算：x⊗y＝ax＋by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3⊗4＝3a ＋4b，则若3⊗4＝8，即可知3a＋4b＝8.已知1⊗2＝1，(－3)⊗3＝6，求2⊗(－5)的值．参考答案【分层作业】1．C2．D 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，①3x －8y ＝14.②②－①×3，得－5y ＝5，解得y ＝－1. 把y ＝－1代入①，得x ＋1＝3，解得x ＝2.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.3．C 【解析】两式相减，得x ＋3y ＝－2， 则2(x ＋3y )＝－4，即2x ＋6y ＝－4.故选C ． 4．②×2－①×3 ①×2＋②×3 5． 解：(1)解法一中的解题过程有错误． 由①－②，得3x ＝3“×”， 应为由①－②，得－3x ＝3.(2)由①－②，得－3x ＝3，解得x ＝－1. 把x ＝－1代入①，得－1－3y ＝5，解得y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.6．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，①x ＋3y ＝9.②②－①，得4y ＝8，解得y ＝2.把y ＝2代入①，得x －2＝1，解得x ＝3.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝7，①x －3y ＝1.② ①＋②，得2x ＝8，解得x ＝4.将x ＝4代入②，得4－3y ＝1，解得y ＝1.故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.7．5 【解析】 根据二元一次方程组的定义，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以a ＋b ＝5.8． 解：(1)略．答案不唯一，信息合理即可． (2)设A ，B 两种花卉每株的价格分别是x 元、y 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋25y ＝225，20x ＋15y ＝275，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝5.答：A ，B 两种花卉每株的价格分别是10元、5元．9．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝1，①－3a ＋3b ＝6.②①×3＋②，得9b ＝9，即b ＝1. 将b ＝1代入①，得a ＝－1. 故2⊗(－5)＝2a －5b ＝－2－5＝－7.第7章 一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法第4课时 用加减法解二元一次方程组(2)1．用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，x ＋2y ＝5时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是( )①⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝7，x ＋2y ＝5 ②⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，3x ＋6y ＝15 ③⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝14，x ＋2y ＝5 ④⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，3x ＋6y ＝5A ．①②B ．②③C ．①③D ．④2．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x ＋4y ＝9，则x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2的值是( )A ．－5B ．5C ．－6D ．63．已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2018，x ＋2y ＝2019，则x －y 的值为__ __．4．用加减法解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝19，3x －5y ＝－1； (2)⎩⎨⎧3x －5y ＝24，x 2＋y 3＝1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝4，x －y ＝－3； (4)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝0，3x －y ＝11.5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4－3m ，x －3y ＝3m －5(m 为常数)，则x －y ＝__ __．6．用适当的方法解方程组：(1)⎩⎨⎧3x －12－x －y3＝1，x －y 4＋x ＋2y3＝1；(2)⎩⎨⎧0.4x ＋0.3y ＝2.4，x －33－y ＋65＝0.7．《九章算术》中有记载：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？大意是：今有甲、乙两人持钱不知有多少．若甲得到乙所有钱的12，则有50钱；若乙得到甲所有钱的23，则也有50钱，问甲、乙各持钱多少？8．(数学运算)已知关于x，y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．参考答案【分层作业】1．B2．C 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，①2x ＋4y ＝9.②②－①×2，得2y ＝7，解得y＝72.把y ＝72代入①，得72＋x ＝1，解得x ＝－52.故x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －y x ＋y＝－52－72－52＋72＝－6.故选C ．3．-1 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2018，①x ＋2y ＝2019.②由①－②，得x －y ＝－1.4．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝－187.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 5．－12 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4－3m ，①x －3y ＝3m －5.②①－②，得4y ＝9－6m ，解得y ＝9－6m4. 把y ＝9－6m 4代入①，解得x ＝7－6m 4. 故原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝7－6m 4，y ＝9－6m 4，则x －y ＝7－6m 4－9－6m 4＝－12.6．解：(1)由原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋2y ＝9，①7x ＋5y ＝12.②②－①，得3y ＝3，即y ＝1. 把y ＝1代入①，得x ＝1.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.(2)由原方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝24，①5x －3y ＝33.②由①＋②，得9x ＝57，即x ＝193.把x ＝193代入①，得4×193＋3y ＝24，即y ＝－49. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝193，y ＝－49.7．解：设甲、乙的持钱数分别为x 钱、y 钱． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝50，y ＋23x ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝37.5，y ＝25.答：甲、乙的持钱数分别为37.5钱和25钱． 8．解：将方程化为(x ＋y －2)a ＝x －2y －5. 由于x ，y 的值与a 的取值无关，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.第7章 一次方程组7.2 二元一次方程组的解法第5课时 二元一次方程组的应用1．现有A ，B 两种商品，买3件A 商品和2件B 商品用了160元，买2件A 商品和3件B 商品用了190元．如果准备购买A ，B 两种商品共10件，下列方案中费用最低的为( )A ．A 商品7件和B 商品3件 B ．A 商品6件和B 商品4件C ．A 商品5件和B 商品5件D ．A 商品4件和B 商品6件2． 5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为．3．甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰．四人购买的数量及总价如下表所示．但其中有一人把总价算错了，则此人是()甲乙丙丁红豆棒冰/支369 4奶油棒冰/支42117总价/元18205129A．甲B．乙C．丙D．丁4．在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观．以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．5．(数学建模) (1)问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？(2)反思归纳：现有a根竹签，b个山楂．若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是____．(填写序号)．①bc＋d＝a；②ac＋d＝b；③ac－d＝b.参考答案【分层作业】1．A 【解析】 设A 种商品每件x 元，B 种商品每件y 元．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝160，2x ＋3y ＝190，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝50.∵A 商品的单价较低，∴选项中A 商品7件和B 商品3件的方案费用最低．故选A ．2．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝200，（1－15%）x ＋（1－10%）y ＝1743．B4．解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x 人，女生人数为y 人．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，x ＝1.5y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝20.答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．5．(2)② 解：(1)设竹签有x 根，山楂有y 个．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4＝y ，8（x －7）＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝104.答：竹签有20根，山楂有104个．(2)∵每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，∴ac ＋d ＝b .故答案为②第7章 一次方程组*7.3 三元一次方程组及其解法第1课时 三元一次方程组的解法1．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解．那么在解三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋z ＝9，x ＋2y ＋z ＝8，x ＋y ＋2z ＝7时，下列没能实现这一转化的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，y －z ＝1B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，3x ＋y ＝11C ．⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝2，3x ＋z ＝10D ．⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝1，3y ＋z ＝72．三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ＝6z ，①x ＋2y ＋z ＝16②的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝5B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5，z ＝6C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，z ＝2D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，z ＝23．已知实数a ，b ，c 满足2a ＋13b ＋3c ＝90，3a ＋9b ＋c ＝72，则3b ＋ca ＋2b＝__ __． 4．解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12，①x ＋2y ＋5z ＝22，②x ＝4y .③5．解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3z ＝0，3x ＋2y ＋5z ＝12，2x －4y －z ＝－7.6．(直观想象)利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是( C )图1 图2A ．73 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm参考答案【分层作业】1．A 【解析】 因为解三元一次方程组的步骤是先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，所以没能实现这一转化的是A 选项，转化后仍旧是三个未知数．2．D3．1【解析】⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋13b ＋3c ＝90，①3a ＋9b ＋c ＝72.②，②×3－①，得9a ＋27b ＋3c －2a －13b －3c ＝216－90，即a ＋2b ＝18.①×3－②×2，得6a ＋39b ＋9c －6a －18b －2c ＝270－144，即3b ＋c ＝18.故3b ＋c a ＋2b ＝1818＝1.4．解：把③代入①，得5y ＋z ＝12.④ 把③代入②，得6y ＋5z ＝22.⑤ ④×5－⑤，得19y ＝38， 解得y ＝2.把y ＝2代入④，得z ＝2.把y ＝2，z ＝2代入①，得x ＋2＋2＝12， 解得x ＝8.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，z ＝2.5．解：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3z ＝0，①3x ＋2y ＋5z ＝12，②2x －4y －z ＝－7.③①＋②，得4x ＋8z ＝12.④ ②×2＋③，得8x ＋9z ＝17.⑤ ④×2－⑤，得7z ＝7， 解得z ＝1.将z ＝1代入④，得x ＝1. 将x ＝1，z ＝1代入①，得y ＝2. 故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝1.6．C 【解析】 设长方体木块的长和宽分别为x cm ，y cm ，桌子的高度是h cm.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h －y ＝80，①y ＋h －x ＝70.②①＋②，得2h ＝150，解得h ＝75.即桌子的高度是75 cm.第7章 一次方程组*7.3 三元一次方程组及其解法第2课时 三元一次方程组的应用1．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1－3k ，①x ＋2y ＝2②的解满足x ＋y ＝0，则k 的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．不能确定2．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)；接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a ，b ，c 对应密文a ＋2b ，2b ＋c ，3c .例如：明文1，2，3对应的密文5，7，9.当接收方收到密文14，9，15时，则解密得到的明文为() A．10，5，2 B．10，2，5C．2，5，10 D．5，10，23．在代数式at2＋bt＋c中，当t＝1，2，3时，代数式的值分别是0，3，28.求当t＝－1时，这个代数式的值．4．对于有理数x、y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1*2＝9，(－3)*3＝6，0*1＝2，求(－2)*5的值．5．有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和等于8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位数大99.求原来的三位数．6．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)车型甲乙丙汽车运载量(吨/辆)5810汽车运费(元/辆)400500600(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(2)为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．7．(数学运算)大约1 500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？参考答案【分层作业】1．B2．B 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝14，2b ＋c ＝9，3c ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝2，c ＝5.故选B ．3．解：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝－30，c ＝19，所以原式＝11t 2－30t ＋19.当t ＝－1时，原式＝11×(－1)2－30×(－1)＋19＝60. 4．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c ＝9，－3a ＋3b ＋c ＝6，b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5，c ＝－3，则此新运算为x *y ＝2x ＋5y －3， 故(－2)*5＝2×(－2)＋5×5－3＝18.5．解：设原来的三位数的百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为100a ＋10b ＋c ，则将百位上的数字与个位上的数字对调后的三位数为100c ＋10b ＋a .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ＋c ，b ＋c ＝8，（100c ＋10b ＋a ）－（100a ＋10b ＋c ）＝99， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以原来的三位数为253.6．解：(1)设需甲车型a 辆，乙车型b 辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋8b ＝120，400a ＋500b ＝8 200，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝10，答：需甲车型8辆，乙车型10辆．(2)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，丙车型z 辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝16，5x ＋8y ＋10z ＝120.消去z ，得5x ＋2y ＝40，即x ＝8－25y .由x ，y 是非负整数，且不大于16，得y ＝0，5，10，15. 由z 是非负整数，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝0z ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5z ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝10z ＝2.，故有三种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； ③甲车型8辆，乙车型0辆，丙车型8辆． (3)三种方案的运费分别是：①400×6＋500×5＋600×5＝7 900(元)； ②400×4＋500×10＋600×2＝7 800(元)． ③400×8＋600×8＝8 000(元)．答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7 800元．7．解：设公鸡有x 只，母鸡有y 只，小鸡有z 只．根据题意，得⎩⎨⎧5x ＋3y ＋13z ＝100，x ＋y ＋z ＝100.整理，得7x ＋4y ＝100， 即x ＝100－4y 7＝4（25－y ）7. ∵x ≥0，y ≥0，且都是自然数，∴25－y7≥0， ∴y ≤25，25－y 是7的倍数，∴25－y ＝0，7，14，21，∴y ＝25，18，11，4 ∴共有4种情况：①公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只； ②公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ③公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ④公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．第7章 一次方程组7.4 实践与探索1．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x 人，物品价格为y 钱，可列方程组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧8x －3＝y 7x ＋4＝yB ．⎩⎪⎨⎪⎧y －8x ＝3y －7x ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧8x －y ＝37x －y ＝4D ．⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋3＝y 7x －4＝y2．用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问：两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？3．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7 公里以内(含7公里)不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；(2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算两人各自的实际乘车时间．4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图．根据图中的数据(单位：m)解答下列问题：(1)用含x，y的代数式表示地面总面积；(2)已知客厅面积比卫生间面积多21 m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1 m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？5．(数学运算)下表为某主题公园的几种门票价格，李三同学用1 600元作为购买门票的资金.(1)李三若用全部资金购买“指定日普通票”和“夜票”共10张，则“指定日普通票”和“夜票”各买多少张？(2)李三若想用全部资金购买“指定日普通票”“平日普通票”和“夜票”共10张(每种至少一张)，请你帮他设计应如何购买？参考答案【分层作业】1．A2． 解：设做第一种x 个，第二种y 个．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝400.答：第一种做200个，第二种做400个．3． 解：(1)设小王的实际行车时间为x 分钟，小张的实际行车时间为y 分钟．由题意，得1.8×6＋0.3x ＝1.8×8.5＋0.3y ＋0.8×(8.5－7)， ∴x －y ＝19，∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．(2)由(1)及题意，得⎩⎨⎧x －y ＝19，1.5y ＝12x ＋8.5.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝19，①3y －x ＝17.②①＋②，得2y ＝36， ∴y ＝18. ③将③代入①，得x ＝37.∴小王的实际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟．4． 解：(1)地面总面积为(6x ＋2y ＋18)m 2.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6x －2y ＝21，6x ＋2y ＋18＝15×2y ，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝32.地面总面积为 6×4＋2×32＋18＝45(m 2)． 铺地砖的总费用为 45×80＝3 600(元)． 答：铺地砖的总费用为3 600元．5． 解：(1)设购买“指定日普通票”x 张，“夜票”y 张．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，200x ＋100y ＝1 600.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.答：购买“指定日普通票”6张，“夜票”4张．(2)设李三购买“指定日普通票”a 张，“平日普通票”b 张，则购买“夜票”(10－a －b )张．依题意，得200a ＋160b ＋100(10－a －b )＝1 600，∴b ＝30－5a3.∵a ，b ，(10－a －b )均为正整数，且每种至少一张， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5，10－a －b ＝2.答：李三购买“指定日普通票”3张，“平日普通票”5张，“夜票”2张．。

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华东师大版七年级数学下册-第7章《一次方程组》培优习题4：三元一次方程组-(无答案)

华东师大版七年级数学下册-第7章《一次方程组》培优习题4：三元一次方程组-(无答案)

第7章《一次方程组》培优习题4：三元一次方程组考点1：解三元一次方程组 例1、解下列方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+302342z y x z x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+1313y z x z y x x z y （3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+402010x z z y y x【同步练习】1、已知16=+b a ，12=+c b ，10=+a c ，则c b a ++等于（ ）—A 、19B 、38C 、14D 、222、三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+453z x z y y x 的解为（ ）A 、⎪⎩⎪⎨⎧===231z y xB 、⎪⎩⎪⎨⎧===312z y xC 、⎪⎩⎪⎨⎧===123z y xD 、⎪⎩⎪⎨⎧===321z y x3、解下列三元一次方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-=++182126y z x y x z y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+8795932743z y x z y x z x （3）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++1232721323z y x z y x z y x 4、解下列三元一次方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++==564:5:2:3:z y x z y y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=--==3423:7:3:5:z y x z x y x例2、关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ky x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k的值是（ ）（A 、43-B 、43 C 、34 D 、34-【同步练习】1、已知方程组⎩⎨⎧=+-=+0345k y x y x 的解也是方程023=-y x 的解，则k 的值是（ ）A 、5-=kB 、5=kC 、10-=kD 、10=k考点汇编2、方程组⎩⎨⎧=++=+k y x k y x 32253的解x 、y 的值互为相反数，则k 的值为（ ）A 、0B 、2C 、4D 、6例3、已知方程组⎩⎨⎧=++=-+05430432z y x z y x ，求z y x zy x +--+2的值。

华师大版七年级数学下册第7章一次方程组质量评估试卷(包含答案)

华师大版七年级数学下册第7章一次方程组质量评估试卷(包含答案)

第7章质量评估试卷[时间：90分钟 分值：120分]一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程中，是二元一次方程的是( ) A ．8x 2＋1＝y B ．y ＝8x ＋1 C ．y ＝8x D ．xy ＝12．已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＝4，3x ＋by ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，则a ＋b 的值是( )A ．1B ．2C ．－1D ．03．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝4的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝14．若方程组⎩⎨⎧3x －y ＝4k －5，2x ＋6y ＝k的解中x ＋y ＝2 019，则k 等于()A ．2 018B ．2 019C ．2 020D ．2 0215．某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有( )A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种6．设y ＝kx ＋b ，且当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝－4，则k ，b 的值依次为( )A ． 3，－2B ． －3，4C ． 6，－5D ． －5，67．如果单项式2x m ＋2n y 与－3x 4y 4m －2n 是同类项，则m ，n 的值为( )A ．m ＝－1，n ＝2.5B ．m ＝1，n ＝1.5C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝－2，n ＝－18．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值是( )A ．－34B ．34 C ．43 D ．－439．某出租车起步价所包含的路程为0～2 km ，超过2 km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7 km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13 km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2 km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝16，x ＋13y ＝28B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋（7－2）y ＝16，x ＋13y ＝28C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝16，x ×（13－2）y ＝28D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋（7－2）y ＝16，x ＋（13－2）y ＝2810．[2019·台州]一道来自课本的习题：小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x ，y ，已经列出一个方程x 3＋y 4＝5460，则另一个方程正确的是( )A ．x 4＋y 3＝4260B ．x 5＋y 4＝4260C ．x 4＋y 5＝4260D ．x 3＋y 4＝4260 二、填空题(每题4分，共24分)11．若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝17，x －y ＝3，则x ＋y ＝____．12．若a －3b ＝2，3a －b ＝6，则b －a 的值为________． 13．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛_______斛米．(注：斛是古代一种容量单位)14．六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为____、____个．15．若|x ＋y ＋1|＋(2x ＋y ＋1)2＝0，则x ＝________，y ＝________．16．对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a ◆b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2，a ≥b ，ab ，a ＜b .例如：4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，则x ◆y ＝________． 三、解答题(共66分) 17．(12分)解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，①7x ＋6y ＝3；② (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝8，①7x －4y ＝10；② (3)⎩⎨⎧x 2＋y 3＝2，①0.2x －0.3y ＝0.8.②18．(8分)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3都满足等式y ＝kx ＋b .(1)求k 与b 的值； (2)求当x ＝5时，y 的值．19．(8分)[2019·淮安]某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？20．(8分)在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？(2)该店在“五·四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1 800元，该店的商品按原价的几折销售？21．(10分)小明在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋5y ＝－17，4x －ny ＝1时，由于粗心看错了方程组中的n 而得到的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.小红同样粗心，看错了方程组中的m ，她得到的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.求原方程组的解．22．(10分)某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？23．(10分)小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．(1)求x，y的值；(2)若营业员小丽某月的总收入不低于1 800元，那么小丽当月至少要卖服装多少件？(3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需____元．参考答案一、选择题(每题3分，共30分) 1．B 2．B 3．B【解析】 ⎩⎨⎧x ＋y ＝2，①2x －y ＝4.②①＋②，得3x ＝6，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝0，所以方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0.4．C【解析】 ⎩⎨⎧3x －y ＝4k －5，①2x ＋6y ＝k .②①＋②，得5x ＋5y ＝5k －5，即x＋y ＝k －1.∵x ＋y ＝2 019，∴k －1＝2 019，∴k ＝2 020.故选C ．5．B【解析】 设一等奖个数x 个，二等奖个数y 个，根据题意，得6x ＋4y ＝34，使方程成立的解有⎩⎨⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝1，∴方案一共有3种．故选B ．6．D 7．B【解析】 根据题意，得⎩⎨⎧m ＋2n ＝4，4m －2n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1.5.8．B【解析】 ⎩⎨⎧x ＋y ＝5k ，①x －y ＝9k .②①＋②，得2x ＝14k ，∴x ＝7k . ①－②，得2y ＝－4k ，∴y ＝－2k .∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝7k ，y ＝－2k .把⎩⎨⎧x ＝7k ，y ＝－2k代入2x ＋3y ＝6，得14k －6k ＝6， 合并同类项，得8k ＝6，解得k ＝34.9．D10．B【解析】 设未知数x ，y ，已经列出一个方程x 3＋y 4＝5460，则另一个方程正确的是x 5＋y 4＝4260.故选B ．二、填空题(每题4分，共24分)11．7【解析】 ⎩⎨⎧3x ＋y ＝17，①x －y ＝3.②，①＋②，得4x ＝20，解得x ＝5.把x ＝5代入②，得y ＝2，则x ＋y ＝5＋2＝7.12．－2【解析】 解二元一次方程组⎩⎨⎧a －3b ＝2，3a －b ＝6，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝0，∴b －a ＝－2.13． 56【解析】 设1个大桶可以盛米x 斛，1个小桶可以盛米y 斛，则⎩⎨⎧5x ＋y ＝3，x ＋5y ＝2，故5x ＋x ＋y ＋5y ＝5，则x ＋y ＝56.所以1大桶加1小桶共盛56斛米．14． 10 20【解析】 设该幼儿园购买了甲种玩具x 个，乙种玩具y 个．根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝30，2x ＋4y ＝100，解得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝20，即该幼儿园购买了甲种玩具10个，乙种玩具20个．15．0 －1【解析】 ∵|x ＋y ＋1|＋(2x ＋y ＋1)2＝0，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝－1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.16．60【解析】 由题意可知⎩⎨⎧4x －y ＝8，x ＋2y ＝29，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝12.因为x ＜y ，所以x ◆y ＝xy ＝60.三、解答题(共66分)17．解：(1)把①代入②，得7x ＋6(4－x )＝3，解得x ＝－21.把x ＝－21代入①，得y ＝4＋21＝25.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－21，y ＝25.(2)①×2，得6x ＋4y ＝16.③②＋③，得13x ＝26，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得6＋2y ＝8，解得y ＝1.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.(3)①×6，②×10，得⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12，③2x －3y ＝8.④③×3，得9x ＋6y ＝36.⑤④×2，得4x －6y ＝16.⑥⑤＋⑥，得13x ＝52，解得x ＝4.把x ＝4代入③，得y ＝0.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝0.18．解：(1)将⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2和⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－3分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧2＝4k ＋b ， ①－3＝－k ＋b .②①－②，得5k ＝5，解得k ＝1.将k ＝1代入②，得－3＝－1＋b ，解得b ＝－2.所以k ＝1，b ＝－2.(2)由(1)知y ＝x －2.将x ＝5代入y ＝x －2，得y ＝3.19．解：设每节火车车皮装物资x 吨，每辆汽车装物资y 吨．根据题意，得⎩⎨⎧2x ＋5y ＝130，4x ＋3y ＝218，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝6.答：每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨．20．解：(1)设跳绳的单价为x 元/根，毽子的单价为y 元/个．由题意，得⎩⎨⎧30x ＋60y ＝720，10x ＋50y ＝360，解得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝4.答：跳绳的单价为16元/根，毽子的单价为5元/个．(2)设该店的商品按原价的a 折销售．由题意，得(100×16＋100×4)×a 10＝1 800，解得a ＝9.答：该店的商品按原价的9折销售．21．解：∵看错方程组中的n 得到的解为⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，∴4m ＋15＝－17，解得m ＝－8.∵看错方程组中的m 得到的解为⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1，∴－12＋n ＝1，解得n ＝13.因此，方程组为⎩⎨⎧－8x ＋5y ＝－17，4x －13y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝187，y ＝57.22．解：(1)设这批游客的人数是x 人，原计划租用45座客车y 辆．根据题意，得⎩⎨⎧45y ＋15＝x ，60（y －1）＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝240，y ＝5.答：这批游客共有240人，原计划租用5辆45座客车．(2)租45座客车：240÷45≈5.3(辆)，故需租6辆，租金为220×6＝1 320(元)．租60座客车：240÷60＝4(辆)，故需租4辆，租金为300×4＝1200(元)．∵1 200＜1 320，∴租4辆60座客车更合算．23．(3)150(1)解：由题意，得⎩⎨⎧x ＋200y ＝1 400，x ＋150y ＝1 250，解得⎩⎨⎧x ＝800，y ＝3，即x 的值为800，y 的值为3.(2)解：设小丽当月要卖服装z 件．由题意，知800＋3z ＝1 800.解得z ＝33313.由题意，得z 为正整数，故在z ＞33313中的最小正整数是334.答：小丽当月至少要卖服装334件．(3)【解析】 设一件甲为a 元，一件乙为b 元，一件丙为c 元．由题意，得⎩⎨⎧3a ＋2b ＋c ＝315，a ＋2b ＋3c ＝285，将两式相加，得4a＋4b＋4c＝600，则a＋b＋c＝150.答：购买甲、乙、丙各一件共需150元．。

华东师大版数学七年级下册 等式的性质与方程的简单变形同步练习(Word版含答案)

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6.2.1.1等式的性质与方程的简单变形★等式的基本性质(1）等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式 如果 a = b ,那么 a 十 c ＝b 十 c,a 一C = b 一 C .(2）等式两边都乘（或都除以）同一个数（除数不能为0),所得结果仍是等式． 如果 a =b 、那么 ac = bc ,“ cbc a ( c ≠0). ★方程变形规则(1）方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式,方程的解不变； (2）方程两边都乘（或都除以）同一个不等于0的数,方程的解不变． ★移项：把等式一边的某项改变符号后移到另一边,叫做移项． 注：(1）方程中的项是包括它前面的符号的；(2）移项要变号．★将方程的两边都除以未知数的系数,这样的变形就是“将未知数的系数化为1”一．选择题（共5小题） 1．下列变形不正确的是（ ） A ．若a ＝b ,则a +c ＝b +c B ．若a +c ＝b +c ,则a ＝b C ．若ac ＝bc ,则a ＝bD ．若a ＝b ,则ac ＝bc2．下列等式变形正确的是（ ） A ．若2x ＝1,则x ＝2B ．若4x ﹣1＝2﹣3x ,则4x +3x ＝2﹣1C ．若﹣2x ＝3,则D ．若,则3（3x +1）﹣2（1﹣2x ）＝13．已知x ＝y ,则下列各式①x ﹣3＝y ﹣3,②4x ＝6y ,③﹣2x ＝﹣2y ,④,⑤,⑥,其中正确的有（ ） A ．①②③B ．④⑤⑥C ．①③⑤D ．②④⑥4．已知关于x 的方程2x +a ﹣5＝0的解是x ＝2,则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．9D ．﹣95．下列说法正确的是（ ）A ．在等式2x ＝a ﹣2b 两边除以2,可得x ＝a ﹣bB．在等式ab＝ac两边除以a,可得b＝cC．在等式a＝b两边除以（c2+2）,可得D．在等式两边除以a,可得b＝c二．填空题（共5小题）6．若2m+5＝1,则m＝．7．已知关于x的方程2x+a+5＝0的解是x＝﹣2,则a的值为．8．已知5a+2b＝3b+10,利用等式性质可求得10a﹣2b的值是．9．由﹣x＝6得x＝﹣24,下列方法：①方程两边同乘﹣1；②方程两边同乘﹣4；③方程两边同除以﹣；④方程两边同除以﹣4．其中正确的有．（填序号）10．已知关于x的方程3x+1＝4与2x+a＝1有相同的解,则a的值等于．三．解答题（共4小题）11．在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．（1）如果x一2＝3,那么x＝,理由：根据等式性质,在等式两边．（2）如果﹣2x＝2y．那么x＝．理由：根据等式性质．在等式两边（3）如果3x＝4+2x,那么x＝,理由：根据等式性质,在等式两边．（4）如果﹣＝,那么m＝．理由：根据等式性质,在等式两边．12．用等式性质求下列方程的解．（1）﹣5x＝5﹣6x（2）0＝3x﹣9（3）x+＝（4）﹣2y+1＝1．13．已知3a m﹣1b3与4ab n﹣1是同类项,试判断x＝是否为方程2x﹣4＝的解．14．阅读下列材料：问题：怎样将0.表示成分数？小明的探究过程如下：设x＝0.①10x＝10×②10x＝8.③10x＝8④10x＝8+x⑤9x＝8⑥⑦．根据以上信息,回答下列问题：（1）从步骤①到步骤②,变形的依据是；从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是；（2）仿照上述探求过程,请你将0.表示成分数的形式．6.2.1.1等式的性质与方程的简单变形参考答案与试题解析★等式的基本性质(3）等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式 如果 a = b ,那么 a 十 c ＝b 十 c,a 一C = b 一 C .(4）等式两边都乘（或都除以）同一个数（除数不能为0),所得结果仍是等式． 如果 a =b 、那么 ac = bc ,“ cbc a ( c ≠0). ★方程变形规则(3）方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式,方程的解不变； (4）方程两边都乘（或都除以）同一个不等于0的数,方程的解不变． ★移项：把等式一边的某项改变符号后移到另一边,叫做移项． 注：(1）方程中的项是包括它前面的符号的；(2）移项要变号．★将方程的两边都除以未知数的系数,这样的变形就是“将未知数的系数化为1”一．选择题（共5小题） 1．下列变形不正确的是（ ） A ．若a ＝b ,则a +c ＝b +c B ．若a +c ＝b +c ,则a ＝b C ．若ac ＝bc ,则a ＝bD ．若a ＝b ,则ac ＝bc【解答】解：A 、若a ＝b ,则a +c ＝b +c ,原变形正确,故本选项不符合题意； B 、若a +c ＝b +c ,则a ＝b ,原变形正确,故本选项不符合题意； C 、若ac ＝bc ,c ≠0,则a ＝b ,原变形不正确,故本选项符合题意； D 、若a ＝b ,则ac ＝bc ,原变形正确,故本选项不符合题意． 故选：C ．2．下列等式变形正确的是（ ） A ．若2x ＝1,则x ＝2B ．若4x ﹣1＝2﹣3x ,则4x +3x ＝2﹣1C ．若﹣2x ＝3,则D ．若,则3（3x +1）﹣2（1﹣2x ）＝1【解答】解：A 、若2x ＝1,则x ＝,原变形错误,故这个选项不符合题意；B、若4x﹣1＝2﹣3x,则4x+3x＝2+1,原变形错误,故这个选项不符合题意；C、若﹣2x＝3,则x＝﹣,原变形正确,故这个选项符合题意；D、若﹣＝1,则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6,原变形错误,故这个选项不符合题意；故选：C．3．已知x＝y,则下列各式①x﹣3＝y﹣3,②4x＝6y,③﹣2x＝﹣2y,④,⑤,⑥,其中正确的有（）A．①②③B．④⑤⑥C．①③⑤D．②④⑥【解答】解：①x﹣3＝y﹣3,③﹣2x＝﹣2y,⑤正确,故选：C．4．已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝2,则a的值为（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【解答】解：把x＝2代入方程得：4+a﹣5＝0,解得：a＝1,故选：A．5．下列说法正确的是（）A．在等式2x＝a﹣2b两边除以2,可得x＝a﹣bB．在等式ab＝ac两边除以a,可得b＝cC．在等式a＝b两边除以（c2+2）,可得D．在等式两边除以a,可得b＝c【解答】解：A、在等式2x＝a﹣2b两边除以2,可得x＝﹣b,故不合题意；B、当a＝0时,该结论不成立,故不合题意；C、由于c2+1≥1,在等式a＝b两边除以（c2+1）,可得,故符合题意；D、存在等式两边乘以a,可得b＝c,故不合题意；故选：C．二．填空题（共5小题）6．若2m+5＝1,则m＝﹣2．【解答】解：∵2m+5＝1,∴2m＝1﹣5,∴2m＝﹣4,∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．7．已知关于x的方程2x+a+5＝0的解是x＝﹣2,则a的值为﹣1．【解答】解：把x＝﹣2代入方程得：﹣4+a+5＝0,解得：a＝﹣1,故答案为：﹣1．8．已知5a+2b＝3b+10,利用等式性质可求得10a﹣2b的值是20．【解答】解：∵5a+2b＝3b+10,∴5a﹣b＝10,∴10a﹣2b＝20,故答案为：20．9．由﹣x＝6得x＝﹣24,下列方法：①方程两边同乘﹣1；②方程两边同乘﹣4；③方程两边同除以﹣；④方程两边同除以﹣4．其中正确的有②③．（填序号）【解答】解：根据等式的性质,由﹣x＝6得x＝﹣24,是利用了等式的性质2,等式两边都乘以﹣4,或都除以﹣的结果,故答案为：②③．10．已知关于x的方程3x+1＝4与2x+a＝1有相同的解,则a的值等于﹣1．【解答】解：3x+1＝4,3x＝4﹣1,3x＝3,x＝1．将x＝1代入2x+a＝1得：2×1+a＝1,2+a＝1,a＝1﹣2,a＝﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题（共4小题）11．在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．（1）如果x一2＝3,那么x＝5,理由：根据等式性质等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都加2．（2）如果﹣2x＝2y．那么x＝﹣y．理由：根据等式性质等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立．在等式两边都除以﹣2（3）如果3x＝4+2x,那么x＝4,理由：根据等式性质等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都减2x．（4）如果﹣＝,那么m＝﹣2n．理由：根据等式性质等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都乘以﹣10．【解答】解：（1）如果x﹣2＝3,那么x＝5,理由：根据等式性质等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都加2．（2）如果﹣2x＝2y．那么x＝﹣y．理由：根据等式性质等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立．在等式两边都除以﹣2．（3）如果3x＝4+2x,那么x＝4,理由：根据等式性质等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都减2x．（4）如果﹣＝,那么m＝﹣2n．理由：根据等式性质等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都乘以﹣10,故答案为：5,等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,都加2；﹣y,等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立,都除以﹣2；4,等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,都减2x；﹣2n,等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立,都乘以﹣10．12．用等式性质求下列方程的解．（1）﹣5x＝5﹣6x（2）0＝3x﹣9（3）x+＝（4）﹣2y+1＝1．【解答】解：（1）﹣5x＝5﹣6x﹣5x+6x＝5﹣6x+6x,则x＝5；（2）0＝3x﹣99＝3x﹣9+9,则3x＝9,解得：x＝3；（3）x+＝x+﹣＝﹣,则x＝,解得：x＝；（4）﹣2y+1＝1﹣2y+1﹣1＝1﹣1,解得：y＝0．13．已知3a m﹣1b3与4ab n﹣1是同类项,试判断x＝是否为方程2x﹣4＝的解．【解答】解：根据题意得：,解得：,则x＝＝3,把x＝3代入2x﹣4＝2,＝,左边＝右边,则x＝3是方程2x﹣4＝的解．14．阅读下列材料：问题：怎样将0.表示成分数？小明的探究过程如下：设x＝0.①10x＝10×②10x＝8.③10x＝8④10x＝8+x⑤9x＝8⑥⑦．根据以上信息,回答下列问题：（1）从步骤①到步骤②,变形的依据是等式的基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等；从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等；（2）仿照上述探求过程,请你将0.表示成分数的形式．【解答】解：（1）从步骤①到步骤②,变形的依据是：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等…（1分）从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是：等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等．…（2分）故答案为：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等；等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等．（2）设0.＝x,…（3分）100x＝100×0.,…（4分）100x＝36.,100x＝36+x,…（5分）99x＝36,．…（6分）。

华师大版数学七年级下册_《旋转》拓展练习

华师大版数学七年级下册_《旋转》拓展练习

《旋转》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（）A．10°B．20°C．60°D．130°2．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．（5分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°4．（5分）如图，五角星绕着它的旋转中心旋转，使得△ABC与△DEF重合，那么旋转角的度数至少为（）A．60°B．120°C．72°D．144°5．（5分）如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，则α＝．7．（5分）如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠B＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F 的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）．（1）∠MBF′＝．（用含t的代数式表示）（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为．8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为．9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB 的面积的最大值是．10．（5分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOC（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOC角度所有可能的值是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．12．（10分）如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．13．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，将△CDB 绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上．（1）△CDB旋转的度数；（2）连结DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由．14．（10分）将一副直角三角板如图（1）放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边完全重合．（1）直接写出∠ADC的度数为；（2）含30°角的三角板位置保持不变，将含45°角的三角板绕点O顺时针方向旋转．①如图2，射线BA与射线DC交于点E，∠BED的平分线与∠BOD的平分线交于点F，求∠EFO的度数；②若将含45°角的三角板绕点O顺时针方向旋转一周至图2位置，在这一过程中，存在△COD的其中一边与AB平行，请你直接写出所有满足条件的平行关系及相应的旋转角度．15．（10分）（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B＝60°，∠D＝15°，则∠BPD＝；（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交，直线CD于点M，如图（3），若∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．《旋转》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（）A．10°B．20°C．60°D．130°【分析】根据平行线的判定可得，当c与a的夹角为60°时，存在b∥a，由此得到直线a绕点A顺时针旋转60°﹣50°＝10°．【解答】解：∵∠2＝60°，∴若要使直线a∥b，则∠3应该为60°，又∵∠1＝130°，∴∠3＝50°，∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°﹣50°＝10°，故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行．2．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．3．（5分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．4．（5分）如图，五角星绕着它的旋转中心旋转，使得△ABC与△DEF重合，那么旋转角的度数至少为（）A．60°B．120°C．72°D．144°【分析】由于五角星的五个角可组成正五边形，根据正五边形的性质得到正五边形的中心角为72°，然后可判断要使△ABC与△DEF重合，旋转角的度数至少为2个72°．【解答】解：五角星的五个角可组成正五边形，而正五边形的中心角为＝72°，所以五角星绕着它的旋转中心至少顺时针旋转2个72°，使得△ABC与△DEF重合．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正五边形的性质．5．（5分）如图，将Rt△ABC（∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，可得旋转角的度数等于∠BAB1的度数，据此解答即可．【解答】解：∵∠B＝35°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∵点C，A，B1在同一条直线上，∴∠BAB1＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°，即旋转角等于125°．故选：C．【点评】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，则α＝150°．【分析】根据旋转的性质得出∠BAC＝∠B′AC′＝30°，求出∠BAB′即可．【解答】解：∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，∴∠BAC＝∠B′AC′＝30°，∴∠BAB′＝180°﹣∠B′AC′＝180°﹣30°＝150°，即α＝150°，故答案为：150°．【点评】本题考查了旋转的性质和邻补角的定义，能根据旋转的性质求出∠B′AC′的度数是解此题的关键．7．（5分）如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠B＝90°，∠BEF＝30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F 的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）．（1）∠MBF′＝（90﹣t）°．（用含t的代数式表示）（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为6°或42°．【分析】（1）直接根据速度和时间可得：∠FBF'＝t°，所以根据余角的定义可得结论；（2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠FBF'＝t°，∠FBM＝90°，∴∠MBF'＝90°﹣t°＝（90﹣t）°，故答案为：（90﹣t）°；（2）①如图2，AQ'∥E'F'，延长BE'交AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACB＝30°，由题意得：∠EBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°，∴t+4t＝30，t＝6°；②如图3，AQ'∥E'F'，延长BE'，交PQ于D，交直线AQ'于C，则∠F'E'B＝∠ACD＝30°，由题意得：∠NBE'＝t°，∠QAQ'＝4t°，∴∠ADB＝∠NBE'＝t°，∵∠ADB＝∠ACD+∠DAC，∴30+180﹣4t＝t，t＝42°，综上，在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为6°或42°；故答案为：6°或42°．【点评】本题考查的是旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是关键，在解答（2）时，要采用分类讨论的思想，作延长线构建出平行线的截线，从而可得同位角相等解决问题．8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为9．【分析】根据旋转的性质得到BC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∴S△A1BA＝×6×3＝9，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．9．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB 的面积的最大值是44．【分析】作CH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB＝10，再利用面积法计算出CH＝，再根据旋转的性质得CE＝4，然后利用点E点在HC的延长线上，点E到AB 的距离最大，从而可计算出△AEB的面积的最大值．【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC，∴CH＝＝，∵点D是AC的中点，∴CD＝4，∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，∴CE＝4，即点E在以C为圆心，4为半径的圆上，∵点E点在HC的延长线上，点E到AB的距离最大，∴△AEB的面积的最大值为×（4+）×10＝44．故答案为44．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理．10．（5分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOC（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOC角度所有可能的值是120°、135°、165°、45°、30°．【分析】分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【解答】解：当OD⊥AB时，∠AOC＝30°+90°＝120°，当CD⊥OB时，∠AOC＝90°+45°＝135°，当CD⊥AB时，∠AOC＝90°+75°＝165°，当OC⊥AB时，∠AOC＝30°，当OA⊥CD时，∠AOC＝45°或135°，即∠AOC角度所有可能的值为：120°、135°、165°、45°、30°．故答案为120°、135°、165°、45°、30°．【点评】本题考查了旋转的性质，互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠以及分类讨论思想．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【分析】（1）根据旋转的性质解答；（2）运用全等三角形和相似三角形的性质，求出＝（）2＝（）2＝，进而解决问题；（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；然后进行讨论，求得线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，所以∠CC1B＝∠C1CB＝45°，所以∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°．（2）因为△ABC≌△A1BC1，所以BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，所以∠ABA1＝∠CBC1，所以△ABA1∽△CBC1．所以，＝（）2＝（）2＝，因为S△ABA1＝4，所以S△CBC1＝；（3）如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；①当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7．【点评】分析图形，根据图形特点运用旋转的性质，以及三角函数等知识，解决问题．12．（10分）如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠F AC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得AC2＝AE•AF，求出AC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC＝，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴＝，∴AC2＝AE•AF，∴AE•AF＝2．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，将△CDB 绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上．（1）△CDB旋转的度数；（2）连结DE，判断DE与BC的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质确定旋转角的度数；（2）先利用旋转的性质得∠DCE＝∠BCF＝90°，CD＝CE，则可判断△CDE为等腰直角三角形，所以∠CDE＝45°，再利用角平分线定义得到∠BCD＝45°，则∠CDE＝∠BCD，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥BC．【解答】解：（1）∵将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上，∴旋转角为∠BCF，即旋转角为90°；（2）DE∥BC．理由如下：∵将△CDB绕点C顺时针旋转到△CEF的位置，点F在AC上，∴∠DCE＝∠BCF＝90°，CD＝CE，∴△CDE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠BCD＝45°，∴∠CDE＝∠BCD，∴DE∥BC．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．14．（10分）将一副直角三角板如图（1）放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边完全重合．（1）直接写出∠ADC的度数为135°；（2）含30°角的三角板位置保持不变，将含45°角的三角板绕点O顺时针方向旋转．①如图2，射线BA与射线DC交于点E，∠BED的平分线与∠BOD的平分线交于点F，求∠EFO的度数；②若将含45°角的三角板绕点O顺时针方向旋转一周至图2位置，在这一过程中，存在△COD的其中一边与AB平行，请你直接写出所有满足条件的平行关系及相应的旋转角度．【分析】（1）依据∠CDO＝45°，即可得到∠ADC的度数；（2）①设AO、EF相交于G，然后根据三角形的内角和定理以及四边形内角和，列式整理即可得解．②将三角板△COD继续绕O顺时针旋转，根据平行线的性质即可求出相应的旋转角度．【解答】解：（1）由题可得，∠CDO＝45°，∴∠ADC＝180°﹣45°135°，故答案为：135°；（2）①如图2，∵EF平分∠BED，OF平分∠BOD，∴∠AEF＝∠BED，∠BOF＝∠BOD，∵∠AGE＝∠FGO，∴∠GAE+∠AEG＝∠F+∠FOG，即150°+∠BED＝∠F+90°+∠BOD，∴∠F＝60°﹣（∠BOD﹣∠BED），∵四边形AOCE中，∠AEC＝360°﹣∠EAO﹣∠ECO﹣∠AOC＝360°﹣150°﹣135°﹣（360°﹣90°×2﹣∠BOD）＝∠BOD﹣105°，∴∠BOD﹣∠AEC＝105°，∴∠F＝60°﹣（∠BOD﹣∠BED）＝60°﹣×105°＝7.5°；②分5种情况进行讨论：如图，当OC∥AB时，旋转角度＝∠BOC＝120°；如图，当CD∥AB时，旋转角度＝∠BOC＝165°；如图，当OD∥AB时，旋转角度＝360°﹣90°﹣60°＝210°；如图，当OC∥AB时，旋转角度＝360°﹣60°＝300°；如图，当CD∥AB时，旋转角度＝360°﹣15°＝345°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，解题的关键是分情况画出图形，根据三角形外角性质以及平行线的性质进行求解．15．（10分）（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B＝60°，∠D＝15°，则∠BPD＝45°；（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交，直线CD于点M，如图（3），若∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，求∠B+∠D的度数．【分析】（1）由AB∥CD，∠B＝60°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD 的度数，又由三角形外角的性质，可求得∠BPD的度数；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（3）首先延长BP交CD于点E，利用三角形外角的性质，即可求得∠B+∠D的度数．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠B＝60°，∴∠BOD＝∠B＝60°，∴∠P＝∠BOD﹣∠D＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°；（2）∠BPD＝∠B+∠D．证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；（3）延长BP交CD于点E，∵∠1＝∠BMD+∠B，∠BPD＝∠1+∠D，∴∠BPD＝∠BMD+∠B+∠D，∵∠BPD＝90°，∠BMD＝40°，∴∠B+∠D＝∠BPD﹣∠BMD＝90°﹣40°＝50°．【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．。