高中数学人教A版必修5课件：第二章2.2.2等差数列(2)

an1 an d (是与n无关的数或式子）
练习
1、判断下列数列是否为等差数列？如果是请说出公差d
a2=a1 + d， 常数列 （1）1，2，4，6，8，10，12，… 不是 a （ a +d ） a 3= 2 + d = 1 + d= a1 + 2 d， （2）0， 1，2，3，4，5，6，… 是 d=1 a 3 + d = （a1+2 + d= a + a = 3 d， 4 1 （3）3，3，3，3， 3，3，3，… 是 d=0 d ） a （ a1+3 + d= a + 4 d， 4 + d = a = 5 2，4，7，11，16，… 1 （ 4） 不是 d ） …… （5）－8，－6，－4，0，2，4，… 不是 （n-1） a3n，－ = 6，－ a1 9 + d． （6）3，0，－ ，… 是 d=-3
练习
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后, 三个数就会成为一个等差数列： （1）2 ， 3 ， 4 （2）-1， 2 ，5 （3）-12， -6 ，0 （4）0，
0
，0
例题
例4
已知一个等差数列的第3项是5，第8项 是20，求它的第25项． an=a1+(n-1)d 解 因为a3=5，a8=20，根据通项公式得
2、已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何 求出它的任意项an呢？
等差数列通项公式：
an=a1+（n-1）d
例题
例1
求等差数列8，5，2，…的通项公式 和第20项． an=a1+(n-1)d 解：∵a1 =8 d=5-8=-3

3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
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4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
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[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
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(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
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令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
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2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.

(2) 若 m 、n 、p 、q N* 且 m n p q
则 am an ap aq (反之不成立)
证明：由通项公式得：
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
ap aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
2a1 ( p q 2)d
2.2.2 等差数列 （2）
1、定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项 的差都等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常 用 d 表示.
即 an an1 d （n 2）
2、通项公式：
an a1 (n 1)d.
推广：an am (n m)d
故a，A，b 成等差数列 A a b 2
3、等差中项：
如果a ，A ，b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项，且 A a b .
2
由此得,在等差数列a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , … an , …中,
an
an1 an1 2
（n 2）
即 2an an1 an1 （n 2）
(2) 若 m n p q，则 am an ap aq . (3) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是 等差数列，且公差为 md .
(4) Sk ，S2k Sk ，S3k S2k ， 组成的数列仍然是 等差数列 .
(5) 若数列{an}与{bn}均为等差数列 ， 则数列{man kbn}(m，k 为常数)仍为等差数列 .
∴ a3+ a6+a9=3a6 = 27.
练习： 在等差数列{an } 中 . (1) 已知 a2 a3 a11 a12 76，求 a7 ； (2) 已知 a2 a3 a4 a5 34，a2a5 52， 且 d 0，求 d ，an .

a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?