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[学习目标] 1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用．知识点一 三角形常用面积公式及其证明 1．公式(1)三角形面积公式S ＝12ah .(2)三角形面积公式的推广 S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．2．证明(1)三角形的高的计算公式在△ABC 中，边BC ，CA ，AB 对应的边长分别为a ，b ，c ，边上的高分别记为h a ，h b ，h c ，则h a ＝b sin C ＝c sin B ，h b ＝c sin A ＝a sin C ，h c ＝a sin B ＝b sin A .借助上述结论，如图，若已知△ABC 中的边AC ，AB ，角A ，那么AB 边上的高CD ＝b sin_A ，△ABC 的面积S ＝12bc sin A .(2)三角形的面积与内切圆已知△ABC 内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则△ABC 的面积为S ＝12r (a ＋b ＋c )．如图，设△ABC 内切圆圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △BOC ＝12cr ＋12br ＋12ar ＝12(a ＋b ＋c )r .思考 (1)已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A ＝________.(2)在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积等于________． 答案 (1)60°或120° (2)32解析 (1)S ＝12bc sin A ＝32，∴12·2·3·sin A ＝32，∴sin A ＝32， 又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝60°或120°. (2)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝2·sin 30°1＝1，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝90°， ∴b ＝c 2－a 2＝22－12＝ 3. ∴S △ABC ＝12×1×3＝32.知识点二 多边形的面积对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决．题型一 三角形的面积公式及其应用例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝35.于是sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.又因为B ＝π3，b ＝3，所以在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝65.于是△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.反思与感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根．跟踪训练1 如图所示，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解 连接BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝S △ABD ＋S △CDB＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C . ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△CDB 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C .∵cos C ＝－cos A ，∴64cos A ＝－32，∴cos A ＝－12，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°， ∴S ＝16sin 120°＝8 3.题型二 三角形面积的最值问题例2 已知△ABC 的外接圆半径为R ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·sin B ，求△ABC 面积的最大值． 解 由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ， 即a 2＋b 2－c 2＝2ab .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab 2ab ＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴S ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·22＝2R 2sin A sin B ＝2R 2sin A sin(34π－A )＝2R 2sin A (22cos A ＋22sin A ) ＝R 2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝R 2(12sin 2A ＋1－cos 2A 2)＝R 2[22sin(2A －π4)＋12] ∵A ∈(0，34π)．∴2A －π4∈(－π4，54π)∴sin(2A －π4)∈(－22，1]，∴S ∈(0，2＋12R 2]，∴面积S 的最大值为2＋12R 2. 反思与感悟 求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系或(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值．跟踪训练2 若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且S ＝c 2－(a －b )2，a ＋b ＝2，求面积S 的最大值．解 S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －(a 2＋b 2－c 2)， 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴c 2－(a －b )2＝2ab (1－cos C )，即S ＝2ab (1－cos C )，∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝4(1－cos C )．又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，∴17cos 2C －32cos C ＋15＝0， 解得cos C ＝1517或cos C ＝1(舍去)．∴sin C ＝817，∴S ＝12ab sin C ＝417a (2－a )＝－417(a －1)2＋417.∵a ＋b ＝2，∴0<a <2，∴当a ＝1，b ＝1时，S max ＝417. 题型三 三角形中的综合问题例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解 (1)由题意可知12ab sin C ＝34×2ab cos C .所以tan C ＝3，因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3(0<A <2π3)， 当A ＝π3，即△ABC 为等边三角形时取等号．所以sin A ＋sin B 的最大值为 3.反思与感悟 (1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．(2)此类问题常以三角形为载体，以正弦、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，当然有时会以向量的知识作为切入点进行破题．跟踪训练3 已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，∠C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B . ∴a ·a 2R ＝b ·b2R (2R 为△ABC 外接圆直径)，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．(2)解 由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理得4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4或－1(舍)， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12·4·sin π3＝ 3.故△ABC 的面积为 3.1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )2－c 2＝4，C ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A.33 B.232C. 3 D ．2 3 答案 C解析 将c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 与(a ＋b )2－c 2＝4联立， 解得ab ＝4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆直径为( ) A ．4 3 B ．60 C ．5 2 D ．6 2答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12c ·sin 45°＝24c ＝2，∴c ＝42，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 45°＝25， ∴b ＝5.∴△ABC 的外接圆直径为bsin B＝5 2. 3．设A 是△ABC 中最小的内角，则sin A ＋cos A 的取值范围是( )C ．(1，2)D ．(1， 2 ]答案 D解析 sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)．∵A 为△ABC 中最小内角，∴A ∈(0，π3)，∴A ＋π4∈(π4，712π)，∴sin(A ＋π4)∈(22，1]，∴sin A ＋cos A ∈(1， 2 ]．4．在△ABC 中，已知B ＝π4，D 是BC 边上一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为________． 答案 5 6解析 在△ADC 中，∵AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6， ∴cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝102＋62－1422×10×6＝－12.又∵∠ADC ∈(0，π)，∴∠ADC ＝2π3，∴∠ADB ＝π3.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADBsin B ＝10×3222＝5 6.1.三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般要用公式S ＝12ab sin C＝12bc sin A ＝12ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．2．与面积有关的三角形综合问题的解决思路．选取适当的面积公式，结合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决．一、选择题1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．60°或120° B ．120° C ．60° D ．30°答案 C解析 S △ABC ＝12·BC ·CA ·sin C ＝33，∴sin C ＝32，∵C ∈(0°，90°)，∴C ＝60°. 2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 4S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， ∴4·12bc sin A ＝2bc cos A ，∴tan A ＝1，又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝45°.3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2 答案 A解析 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2＝12，解得x ＝2.两边长是16与10，三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.4．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 3答案 A解析 面积S ＝3＝12bc sin A ＝12·1·c ·32，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2·1·4·(12)＝13，∴a sin A ＝1332＝2393. 5．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积是( )A ．8B ．16C ．18D ．32 答案 B解析 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝65， 即AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos B ＝65，①在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝17，② 又cos A ＋cos B ＝0. ①＋②得AB 2＋AD 2＝41， 又AB ＋AD ＝9，∴AB ＝5，AD ＝4或AB ＝4，AD ＝5.∴cos A ＝35，A ∈(0，π2)，∴sin A ＝45，∴这个平行四边形的面积S ＝5·4·45＝16.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－2答案 C解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，∴c ＝4，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴b ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，∴sin C ＝1213， ∴tan C ＝sin Ccos C＝－12＝－2 3.7．在△ABC 中，A ＝120°，a ＝21，S △ABC ＝3，则b 等于( )A ．1B ．4C ．1或4D ．5 答案 C解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，∴bc ＝4，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝21， ∴b ＝1或4. 二、填空题8．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为________． 答案 49解析 ∵12bc sin A ＝2203，∴c ＝55，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401.∴a ＝49.9．在△ABC 中，A ＝30°，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长是________． 答案 4或2 2 解析 设∠BCD ＝θ， ∵S △BCD ＝4＝12·CD ·CB ·sin θ，∴sin θ＝255，θ∈(0，π)，∴cos θ＝±55.在△BCD 中，由余弦定理得 BD 2＝CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos θ， 从而BD ＝42或4. 当BD ＝42时，由BD sin θ＝CD sin B 得sin B ＝CD ·sin θBD ＝1010， 又由AC sin B ＝BC sin A 得AC ＝BC sin Bsin A ＝22，当BD ＝4时，同理可得AC ＝4. 综上，AC ＝4或2 2.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b ，则角C 的值为______． 答案 π4解析 由正弦定理得1＋sin A cos A ·cos B sin B ＝2sin Csin B ，即sin (A ＋B )sin B cos A ＝2sin Csin B，由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝22， 又c <a ，C <A ，∴C ＝π4. 三、解答题11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45>0，B ∈(0°，90°)， 所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53. (2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40.因为a ＋c >0，所以a ＋c ＝210.12．在△ABC 中，c ＝22，a >b ，tan A ＋tan B ＝5，tan A ·tan B ＝6，试求a ，b 及△ABC 的面积．解 ∵tan A ＋tan B ＝5，tan A ·tan B ＝6，且a >b ，∴A >B ，tan A >tan B ，∴tan A ＝3，tan B ＝2，A ，B 都是锐角．∴sin A ＝31010，cos A ＝1010，cos B ＝55，sin B ＝255， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得，a ＝6105，b ＝855，13．某城市有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，如图所示，测得AD ＝BD ＝14，BC ＝10，AC ＝16，C ＝D .(1)求AB 的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用较低，请说明理由．解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝162＋102－2×16×10cos C ，①在△ABD 中，由余弦定理及C ＝D 易得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D＝142＋142－2×142cos C ，②由①②得142＋142－2×142cos C＝162＋102－2×16×10cos C,解得cos C ＝12. 因为C 为三角形的内角，又cos C >0，所以0<C <π2，所以C ＝π3， 又C ＝D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形，故AB ＝14.(2)小李的设计建造费用较低．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ， 因为AD ·BD >AC ·BC ，C ＝D ，所以S △ABD >S △ABC ，因为建造环境标志的费用与用地面积成正比，所以小李的设计建造费用较低．。
