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高数(下)期中试卷参考答案

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高等数学（下）期中试题 第 1 页（共 4 页）
南京陆军指挥学院09信管、会计专业
2009—2010学年度第二学期
高等数学5（下）期中考试试题参考答案
一、填空题（每小题3分，本题共21分）
1.微分方程 y" -10 y' + 25y = 0 的通解为 . y = e 5x (C 1 + C 2 x )
2.通解为)sin cos (212x C x C e y x
+=的微分方程是 .
054=+'-''y y y
3.直线312x y z =+=+与平面y z =的夹角为 . π/ 2 ，(1/3,1,1),(0,1,1)s n ==-
，0s n ⋅=
，/2απ= 4.空间两直线202(1)2310x y x y z y z -=⎧-=-=-⎨
-+=⎩
和的位置关系是互相______ __ _.
重合（平行）, 1s = (1,2,2 )， 2s
= (1/2,1,1 )， 点（1,2,3）在第一条直线上
5. 曲线⎩
⎨⎧==-01
22z y x 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为____________________________，
曲面的名称为 .
2221x y z --=，为旋转双叶双曲面。

6.方程22
549z x y
=+
所表示的曲面是 ， 而方程
2
2
149
x
y
-=所表示的曲面是 . 椭圆抛物面，双曲柱面
7.设二元函数z = x 3 y 2 - x 2 - e y
，则d z = .
(3x 2 y 2 - 2x )dx +(2x 3 y - e y )d y
高等数学（下）期中试题 第 2 页（共 4 页）
二、解下列微分方程（每小题8分，本题共16分） 1.()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= 解：移项：(1)(1)y x x y e e dy e e dx +=--
分离变量并积分：1
1
y
x
y x
e
e
dy dx e e =--+⎰
⎰
1)(+1)1
1
y x y
x
d e d e e e -=--+⎰
⎰
(
ln(1)ln(+1)ln y
x
e e C -=-+
通解为：(1)(+1)y x e e C -= 2. 0
tan sec 0,0x y y x x y
='--==
解：P()tan ,()sec x x Q x x =-=
P()tan ln
cos x dx xdx x =-=⎰⎰
P ()cos x dx
e x ⎰
=， P ()1sec cos x dx
e x x
-⎰
==
P ()()sec cos x dx
Q x e dx x xdx dx x ⎰=
==⎰
⎰⎰
故所求通解为：sec ()y x x C =+
当x =0时，y =0，代入通解得：C=0，故所求特解为：sec y x x =
三、求直线或平面方程（每小题8分，本题共24分）
1．平面Π过点M 1（2，3，—5）与点M 2（—1，0，—2），且与直线L ：
15 (x +2）=3 ( y —3）= —5 z 平行， 求平面Π的方程。

解：1211211
(3,3,3),(1,5,3),(6,6,12)6(1,1,2),15
M M n n M M n =--=-∴=⨯=---=-
故，所求平面Π的方程为：(1)2(2)0x y z ++++=，即：250x y z +++=
2.求直线240
321x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩
在平面41x y z -+=上的投影直线的方程。

解：设过直线的平面束方程为：24(321)0x y z x y z λ-++---=
即：(23)(4)(12)0x y z λλλλ+-++--=
其法向量1(23,4,12)n λλλ=+---
，
而已知平面的法向量2(411n =-
，，）
于是：由220n n ⋅=
，得：8124120λλλ++++-=，故13/11λ=-.
所以，投影平面为1731371301111
11
11
x y z -
-
+
+
=，即：173137130x y z +--=，
高等数学（下）期中试题 第 3 页（共 4 页）
所求投影直线为：173137130
41
x y z x y z +--=⎧⎨
-+=⎩
3．一直线过点（2，—1，3）且与直线1
21
2
1+=
-=
-z y x 相交，又平行于平面0523=++-z y x ，
求此直线方程。

解：过点（2，—1，3）且平行于平面0523=++-z y x 的方程为：
3(x – 2) – 2 (y +1) + (z – 3)=0
将已知直线的参数方程 x = 2 t + 1, y = - t , z = -2 + t 代入上述方程可解得：t = 10/9
于是得交点（29/9，-10/9，-8/9），此即为所求直线与已知直线的交点。

从而，所求直线的方向向量为 )9/35,9/1,9/11(--=s
故所求直线方程为：
35
31
111
2--=-+=-z y x
四、计算全微分、导数或偏导数（第一题7分，其余每小题8分，本题共3
9分）
1.已知0ln 22
2=-+z y
x ，求函数z 的全微分dz .
解：22ln()z x y =+，
2
2
2
2
122z x x x x y
x y ∂=
⋅=
∂++，
2
2
2
2
122z y y y
x y
x y
∂=
⋅=
∂++
故：22
2
2
22z z x y dz dx dy dx dy x y
x y
x y
∂∂=+
=
+∂∂++
2.设2arcsin()z x y =-，而33,4,x t y t == 求d z d t
.
解：
dz z dx z dy dt x dt
y dt
∂∂=+∂∂ 2
2
2
2
2
20013121()
1()
x t x y x y --=
⋅+
⋅----
4
2
6(32)1(94)
t t t t -=
--
3.设3
ln z u v =，而/,35u x y v x y ==-，求z x
∂∂、
z y
∂∂.
解：
z z u z v x
u x
v x
∂∂∂∂∂=+
∂∂∂∂∂
2
3
23
3
3
11333ln 3ln(35)(35)
x x
u v u
x y y
v
y
y x y =⋅
+⋅=
-+
-
高等数学（下）期中试题 第 4 页（共 4 页）
z z u z v y
u y
v y ∂∂∂∂∂=
+
∂∂∂∂∂
3
3
2
3
2
4
3
1353ln (5)ln(35)(35)x x x
u v u
x y y
v
y
y x y -=⋅+⋅-=-
--
-
4. x
y z y
z f x
y xy f x z ∂∂∂∂∂=2
2
)
2(;)1(,),,(求具有连续二阶偏导数设
解：（1）23
12121()z
x f x f x f xf y x ∂''''=⋅+⋅=+∂ （2）
2
23
111
12212
222
2
3)()z y y x f x f y f f x f y f y x
x
x
∂--''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂（
23
1211
22
3y x f f x yf f x
''''''=++-
5.并计算求
所确定由方程其中设x
z xyz z y x y x z z z xy z y x f ∂∂=-++==,03),(,),,(2
2
2
3
2
(1,1,1)x f .
解：1）令：222(,,)3F x y z x y z xyz =++-
则：23,23,23,x y z F x yz F y xz F z xy =-=-=- 故：
2332x z
F z x yz x
F xy z
∂-=-
=
∂-
而：2322
3
2
2
23(3)332x z x yz f y z x z y z xy z x
xy z
∂-=+⋅⋅
=+⋅
∂-
故：(1,1,1)1312x f =+⨯
--（）=。

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高数下册期中试卷语文答案

高数下册期中试卷语文答案

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，可导函数是：A. y = |x|B. y = x^2C. y = x^(1/3)D. y = x^(-1)答案：B解析：可导函数的定义是，对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意一点x，都存在一个唯一的切线，那么这个函数就是可导的。

在选项中，只有B项y = x^2是可导的，因为它的导数存在。

2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(a) = f'(b)，则：A. f(x)在[a, b]上单调递增B. f(x)在[a, b]上单调递减C. f(x)在[a, b]上至少有一个极值点D. f(x)在[a, b]上没有极值点答案：C解析：根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在区间端点处的导数相等，那么至少存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。

因此，f(x)在[a, b]上至少有一个极值点。

3. 下列极限中，正确的是：A. lim(x→0) (sinx/x) = 1B. lim(x→0) (1/x^2) = ∞C. lim(x→∞) (lnx/x) = 0D. lim(x→∞) (e^x/x) = ∞答案：D解析：选项A中的极限是洛必达法则的应用，但这里直接用洛必达法则是不恰当的，因为洛必达法则适用于“0/0”或“∞/∞”型的极限。

选项B和C中的极限都是无穷大或无穷小，不符合常规极限的定义。

选项D中的极限可以通过直接代入或洛必达法则求解，得到结果为∞。

4. 设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = _______。

答案：3x^2 - 3解析：根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。

5. 设f(x) = e^x - 2x，则f'(x) = _______。

答案：e^x - 2解析：同样根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = e^x - 2。

高等数学(下)期中考试题及答案

高等数学(下)期中考试题及答案

2010 年4月高数A （下）期中考试试题答案班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。

2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z zyx x y∂∂+=∂∂2xy 。

3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则zy∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。

6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。

7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u =P 点处沿方向n的方向导数 117 。

8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y f x y x -=⎰()()()21133201d ,d d ,d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰。

9．设L 为封闭曲线22143x y +=，其周长为a ，则()22234d L x y s ++=⎰ 14a 。

10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z xf y f f yf x y yf z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。

《高等数学下》期中试题参考答案

《高等数学下》期中试题参考答案

《高等数学下》期中试题参考答案一．填空题 (每小题3分，共21分)1．lim x →0⎰ 0x 2sin 2tdt x 4 = lim x →02xsin 2x 4x 3 = lim x →0sin 2x 2x 2 = 12. 2．⎰-11 x 2+sinx 1+x 2dx = ⎰-11x 21+x 2dx +⎰-11sinx 1+x 2dx = 2⎰01x 21+x 2dx +0=2⎰01(1-11+x 2)dx=2-2arctanx|01=2-π/2 3．⎰-∞+∞dx x 2+2x+2 = ⎰-∞+∞d(x+1)(x+1)2+1= arctan(x+1)|-∞+∞ =π/2 – (-π/2) = π 4．空间曲线 ⎩⎨⎧ z=2-x 2-y 2 z=x 2+y 2在XOY 平面上的投影为 ⎩⎨⎧x 2+y 2=1z=0 5．设z = ln(x+lny) , 则 1y ∂z ∂x - ∂z ∂y = 1y •1x+lny - 1/y x+lny= 0 6．交换 ⎰ 04 dy ⎰y 2 f (x,y)dx 积分次序得 ⎰02 dx ⎰0x 2f (x,y)dx7．设f(x)是连续函数，且⎰ 0x 3-1f (t)dt =x ，则 f (7) = 。

两边求导得到 f(x 3-1)3x 2=1， 将x=2代入得到 f(7)=1/12二。

单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。

每小题3分，共18分。

）8. 下列等式正确的是 （C ） Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=f(x) Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=f(x) Ｃ、d dx ⎰ax f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x) 正确的关系式为：Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=0 Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=0 Ｃ、d dx⎰a x f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x)+C 9. 设⎰0x f(t)dt = 12f(x)- 12，且f(0)=1，则 f(x)= （ A ） A 、e 2x B 、12e x C 、e x 2 D 、12e 2x 两边求导得到f(x)= 12f '(x) , 只有 f(x)= e 2x 10. 已知函数 f (x+y, xy) = x 2+y 2 ，则 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y= （ B ） A 、2x+2y B 、2x – 2 C 、2x – 2yD 、2x + 2f (x+y, xy) = (x+y)2-2xy , f(u,v)=u 2-2v, 所以 f(x,y)=x 2-2y=x 2+y 2 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y=2x-2 11. 二元函数 z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 ( D )A 、8B 、-12C 、16D 、-8∂z ∂x =2x+4, ∂z ∂y=2y-4, z 的极小值点为(-2,2)，z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 –8 12. 下列广义积分收敛的是 （ C ）Ａ、⎰1+∞—— dx 4x 3 Ｂ、⎰e +∞lnx x dx Ｃ、⎰ 01—— dx 3xＤ、⎰e +∞dx x lnx 利用常用广义积分的指数判别法 ⎰ 01—— dx3x 收敛13. f(x,y)=ln x 2 -y 2 则 ∂2f(x,y)∂x ∂y =（C ） A 、x 2-y 2(x 2-y 2)2 B 、y 2-x 2(x 2-y 2)2 C 、2xy (x 2-y 2)2D 、- 2xy (x 2-y 2)2 因为 ∂f(x,y)∂x =1x 2 -y 2 •2x 2x 2 -y 2 =x x 2-y 2 ， 所以 ∂2f(x,y)∂x ∂y =2xy(x 2-y 2)2三。

高等数学(下)期中考试题及答案

高等数学(下)期中考试题及答案


f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．