高数C期中试卷答案

2021-2022学年山东省泰安市新泰二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在空间直角坐标系中，点关于Oxy平面的对称点为B，则( )A. B. C. 4 D. 102.若圆：和：相交，则m的取值范围是( )A. B.C. 或D. 或3.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于( )A. B.C. D.4.已知，，，则点A到直线BC的距离为( )A. B. 1 C. D.5.若圆与圆有三条公切线，则m的值为( )A. 2B.C. 4D. 66.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )A. B. 或C. D.以上都不对7.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足轴，且与圆相切，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则( )A. C的焦距为B. C的离心率为C. 圆D在C的内部D. 的最小值为10.已知实数x，y满足方程，则下列说法错误的是( )A. 的最大值为B. 的最大值为C. 的最大值为D. 的最大值为11.设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )A.B. 离心率C. 面积的最大值为D. 以线段为直径的圆与直线相切12.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是( )A. 线段上存在点F，使得B. 平面ABCDC. 的面积与的面积相等D. 三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.四棱锥的底面是一个正方形，平面ABCD，，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是__________.14.在长方体中，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为__________.15.已知、是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B 两点，且，，则椭圆C的离心率为__________；若，则椭圆方程为__________.16.给出下列命题：直线与线段AB相交，其中，，则k的取值范围是；点关于直线的对称点为，则的坐标为；圆C：上恰有3个点到直线的距离为1；直线与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线相切．其中正确的命题有__________把所有正确的命题的序号都填上四、解答题：本题共6小题，共70分。

一、单选题1．已知，则（ ） 35C =C n n 2A =n A ．28B ．30C ．56D ．72【答案】C【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值. n 【详解】因为，35C =C n n 所以由组合数性质得，，358n =+=所以.2286A A 875n ===⨯故选：C.2．如图所示的一圆形花圃，拟在A ，B ，C ，D 区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】B【分析】先对A 区域种植，再对B 区域种植，最后分两类：D 块与块相同、D 块与块不相同，B B 对C 、D 区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析：(1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； A 3(2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； B 2(3)对于C 、D 块，分2种情况：若D 块与块相同，则C 块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， B 2若D 块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D 有1种情况， B C D 则C 、D 共有种情况；213+=综合可得：一共有种不同的种法. 32318⨯⨯=故选：B3．某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装､杯装､瓶装.现有甲､乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，两人选的包装不同的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．16122334【答案】C【分析】利用条件概率进行求解即可.【详解】记事件C 为“甲同学选杯装酸奶”，则，记事件D 为“两人选的包装不同”，则事()13P C =件CD 为“甲同学选杯装酸奶，乙同学选袋装酸奶或瓶装酸奶”，所以，所以. ()122339P CD =⨯=()P D C =()()23P CD P C =故选：C.4．已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，ABCD P ABCD PA ⊥ABCD M N ，12PM PC =．若，则（ ）23PN PD = MN x AB y AD z AP =++x y z ++=A ．B ．C ．D ．－112-1256-【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解.MN【详解】在矩形中，,所以.ABCD AC AB AD =+ PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++因为，所以. 12PM PC = ()12PM AP AB AD =-++因为,，所以.PD AD AP =- 23PN PD =()23PN AD AP =- 所以.()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+所以，所以.111,,266x y z =-=-=11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．北郊高中合唱节中，甲、乙、丙、丁名志愿者被安排到，，三个岗位，每个岗位至少4A B C 安排名志愿者，甲不能安排在岗位，则不同的分配方案种数为（ ） 1A A ．B ．C ．D ．12142428【答案】C【分析】分为甲独自一人安排一个岗位和甲与另一人安排同一岗位两类进行计算即可.【详解】名志愿者被安排到三个岗位，每个岗位至少安排名志愿者，则有名志愿者被安排到412同一岗位，另外名志愿者分别被安排到其他岗位，2则甲不能安排在岗位，分为甲独自一人安排一个岗位和甲与另一人安排同一岗位两类， A 第一类，甲独自一人安排一个岗位，第步，为甲安排一个除之外的岗位，有种方法，1A 12C 第步，乙、丙、丁人中，选出人，在剩余的个岗位中，安排到同一岗位，有种方法， 23222132C C 第步，乙、丙、丁中未被选出的人安排到剩余的个岗位，有种方法，3111则甲独自一人安排一个岗位有种方法；121232C C C 23212=⨯⨯=第二类，甲与另一人安排到同一岗位，第步，乙、丙、丁人中，选出人，与甲共同安排到除之外的同一岗位，有种方法， 131A 1132C C 第步，乙、丙、丁中未被选出的人，安排到剩余的个岗位，有种方法，22222A 则甲与另一人安排到同一岗位有种方法，112322C C A 32212=⨯⨯=∴甲不能安排在岗位，则不同的分配方案有种. A 121224+=故选：C.6．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性（都没有被感染）则只要检验1次，如果检验结果为阳性（至少有1人被感染），就要再全部进行单管检验．设10名人员都未被感染的概率为p ，若对这10名人员采用10合一混管检验，总检验次数为，则的充要条件是（ ） ξ()10E ξ<A ． B ．C ．D ．0.011p <≤0.021p <≤0.11p <≤0.21p <≤【答案】C【分析】由题意求出分布列，得到，解不等式即可得到答案. ()E ξ【详解】由题意可得：的可能取值为：1，11. ξ所以，. ()1P p ξ==()111P p ξ==-所以.()()11111110E p p p ξ=⨯+⨯-=-.()101110100.1E p p ξ<⇔-<⇔>而所以. 1p ≤0.11p <≤故选：C7．已知定义在上的偶函数的导函数为，若，且当时，()(),00,∞-+∞U ()f x ()'f x ()10f -=0x >有，则使得成立的x 的取值范围是（ ） ()()20f x x xf '+>()0xf x <A ． B ． C ． D ．()(),11,-∞-⋃+∞()()1,01,-⋃+∞()()1,00,1-U ()(),10,1-∞-⋃【答案】D【分析】由题意构造函数，利用导数判断出的单调性和零点，把不等式()()2g x x f x =()g x 化为，即可求解. ()0xf x <()0g x x<【详解】因为当时，有，所以，所以.0x >()()20f x x xf '+>()()220xf x x f x '+>()()20x f x '>令，则在上单调递增.()()2g x x f x =()g x ()0,∞+因为为定义在上的偶函数，所以.()f x ()(),00,∞-+∞U ()f x ()()f x f x -=所以，所以为上的偶函数，图像关于y()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==()g x ()(),00,∞-+∞U 轴对称.因为，所以，所以()10f -=()()()21110g f -=--=()()110g g =-=所以在上单调递减，经过点；在上单调递增，经过点. ()g x (),0∞-()1,0-()g x ()0,∞+()1,0作出符合题意的的一个图像如图所示：()g x不等式可化为， ()0xf x <()0g x x<所以或 ()00x g x <⎧⎨>⎩()0x g x >⎧⎨<⎩解得：或. 1x <-01x <<故选：D8．如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的正方形格状道路网（其中虚线部分因施工暂时不通）．今有甲、乙两人，其中甲在M 处，乙在N 处，他们分别随机选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，同时到达N ，M 处，则在此过程中，甲、乙两人在A 处相遇的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6412253612256462536625【答案】D【分析】先分析出甲从M 到N 处的路径种数，和点M 沿M →A →N 的路径种数，同理求出乙的路径种数，套公式即可求出概率. 【详解】如图所示.甲从点M 沿M →D →B →N ,共有种;从点M 沿M →C →N ,共有种,综上可得,甲从26C 115⨯=47C 135⨯=点M 出发到点N ,共有种走法. 153550+=同理可得：乙从点N 出发到点M ,共有50种走法.甲从点M 沿M →A →D →B →N ,共有种,从点M 沿M →A →C →N ,共有种,综上可14C 218⨯⨯=14C 14⨯=得,共有种走法.4812+=同理：乙从点N 经过A 处到M 有12种走法. 所以甲、乙两人在A 处相遇的概率为.1212365050625p ⨯==⨯故选：D二、多选题9．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且ξ()28,N σ()70.2P ξ=≤．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个，其中成绩在内的个数记为X ，则()7,9下列说法正确的有（ ） A ． B ．()790.8P ξ<<=1780.152P ξ⎛⎫<<> ⎪⎝⎭C ． D ．()3E X =()10.9P X >≥【答案】BCD【分析】由正态分布的对称性和图象特征判断AB ；由，利用二项分布概率，期望公()5,0.6X B :式，判断CD.【详解】A.因为，，正态分布密度曲线的对称轴为，()28,N ξσ:8μ=8x =根据对称性可知，，故A 错误；()()790.2P P ξξ=≥=≤()()7912710.40.6P P ξξ<<=-≤=-=B.，，()890.50.20.3P ξ<<=-=17178922P P ξξ⎛⎫⎛⎫<<><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故B 正确；1780.152P ξ⎛⎫<<> ⎪⎝⎭C.，，故C 正确； ()5,0.6X B :()50.63E X np ==⨯=D. ，,()5,0.6X B :()()()050500.60.40.01024P X C ==⨯⨯=，故D 正确. ()()1100.989760.9P X P X =-==>≥故选：BCD 10．已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） ()1sin 2f x x x =+[]0,2πx ∈A ．的极大值为B ．的极小值为()f x π3()f x 2π3C ．的单调减区间为D ．的值域为()f x 2π,2π3⎛⎫⎪⎝⎭()f x []0,π【答案】ABD【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数的值域.【详解】，，令，得或，()1cos 2f x x '=+[]0,2πx ∈()0f x '=2π3x =4π3x =当，，函数单调递增，当，，函数单调递2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x ¢>()f x 2π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x减，当，，函数单调递增，4π,2π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0f x ¢>()f x所以是函数的极大值点，极大值是函数的极小值点，极小值2π32ππ33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π3，故AB 正确；C 错误； 4π2π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0，函数的最大值是()00f =()2ππf =π，所以函数的值域是，故D 正确. []0,π故选：ABD三、解答题11．一个质点从数轴上的原点出发，每一秒等可能地向前或向后移动1个单位，设第n 秒末质点所在位置对应的数为随机变量，则（ ） n ξA ． B ． ()()4402P P ξξ=<=()()5513P P ξξ=>=-C ． D ．()()46E E ξξ=()()53E E ξξ>【答案】BC【分析】利用小虫等概率地向前或向后爬，可知随机变量，且小虫向前或向后爬行1个[,]n n n ξ∈-单位的概率均为，结合取值的正负对称性，以及其对应的概率相等，即可求，即可12n ξ()0n E ξ=判断各项正误.【详解】由题意知，随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， [,]n n n ξ∈-12A.若，则爬行4次后小虫一共向前爬行2次，向后爬行2次，，若40ξ=()424410C 2P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭42ξ=，则爬行4次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行1次，，所以()414412C 2P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 错误；()()4402P P ξξ=>=B.若，则爬行5次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行2次，，51ξ=()555311C 2516P ξ⎛⎫==⎪= ⎝⎭若，则爬行5次后小虫一共向前爬行1次，向后爬行4次，53ξ=-，则，B 正确； ()515513C 2253P ξ⎛⎫=-=⎪=⎝⎭()()5513P P ξξ=>=-爬行n 次后小虫一共向前爬行r 次，向后爬行次，有，故n r -[()]2n r n r r n ξ=+--=-，，{}12C 2nr n nP r n ξ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0r n ≤≤则．故C 正确，D 错误． 0C (2)()02r nn n nr r n E ξ=-==∑故选：BC ．四、多选题12．如图所示的几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，设G 是圆弧的中点，H:CE是圆弧上的动点（含端点），则（ ） :DFA ．存在点H ，使得 EH BG ⊥B ．存在点H ，使得 EH BD ∥C ．存在点H ，使得EH ∥平面BDGD ．存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30° 【答案】ACD【分析】先将图形补全为一个正方体，对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；ADMF BCNE -对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示：ADMF BCNE -对于A ：因为正方体中，面， ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.所以当重合时，有.故A 正确；EF BG ⊥,F H EH BG ⊥对于B ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故B 错误； //BD EFMN H :DF//EH BD 对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G ，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-= (),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅-=⎪⎩ 不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H :DF对于D ：当点与点重合时,直线EH 与平面BDG 所成角最大，HF 因为，所以, (0,0,2)EF BA ==- cos ||||e EF e EF e EF ⋅⋅===此时直线EH 与平面BDG,得直线EH 与平面BDG 的所成角的最大角大于30°， 12>所以存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°，选项D 正确. 故选：ACD五、填空题13．的展开式中含项的系数为______________．()5122x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3x 【答案】60-【分析】首先将原式变形为，再写成展开式的通项，从而求出含项，即()()551222x x x +--()52x -3x 可得解；【详解】因为，()()()5552212122x x x x x ⎛⎫+--+ ⎭=-⎪⎝又展开式的通项为， ()52x -()()55155C 2C 2rrr r rr r T x x --+=-=-所以含的项有，， 3x ()33235C 280x x x -=-()223351C 2202x x -=故含项的系数为. 3x 802060-+=-故答案为： 60-14．若函数在区间内有极值，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范()ln x a f x x +=21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭围是______________． 【答案】 ()1,2-【分析】求导，从而得到在区间内有解，求得函数在()21ln x a f x x --'=1ln a x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭1ln y x =-区间上的值域就是a 的取值范围.21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为，所以，()ln x af x x +=()21ln x a f x x --'=因为函数在区间内有极值， ()ln x a f x x +=21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭所以在区间内有解， ()21ln 0x a f x x --'==21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在区间内有解，1ln a x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭而函数在区间上单调递减，1ln y x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭所以. ()1,2a ∈-故答案为：()1,2-15．某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题，考官随机抽取3道让应聘者回答，规定至少要正确回答其中2道题才能进入后续环节．若应聘者甲因自身业务能力原因，在这8道题中有3道不能正确回答，其他均可正确回答，则他能进入后续环节的概率是______________．（用既约分数作答） 【答案】57【分析】根据题意应聘者能进入后续环节要正确回答其中2道题或3道题，根据古典概型计算公式及计数原理即可求得概率.【详解】设随机抽出的3道题目中应聘者能答对的道数为X ， 则他能进入后续环节的概率为(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=. 2133388355C C C 3010405C C 5656567=+=+==故答案为：5716．设随机变量取值为弧度制角，在正三棱柱的9条棱任取两条，当两条棱平行时，，当两ξ0ξ=条棱相交时，为这两条棱的夹角，当两条棱异面时，为这两条棱所在的异面直线所成的角，则ξξ______________．()E ξ=【答案】13π36【分析】根据位置关系，求出，，，即可求出.()0P ξ=π3P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭π2P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭()E ξ【详解】如图示：从正三棱柱的9条棱任取两条，有种. 2998C 3621⨯==⨯所取的两条棱平行如或，有6种，此时；11//AA BB 11//AB A B 0ξ=所取的两条棱相交，同在上底面（或下底面）,如和，有种，此时； AB BC 232C 236⨯=⨯=3πξ=所取的两条棱相交，同在侧面，如和， 有，此时； AB 1AA 3412⨯=2πξ=所取的两条棱为异面直线，一条在底面上，另一条为相对的侧棱，如和，有6种，此时AB 1CC ； 2πξ=所取的两条棱为异面直线，一条在上底面，另一条在上底面，如和，有6种，此时. AB 11B C 3πξ=所以；；. ()610366P ξ===π6613363P ξ+⎛⎫=== ⎪⎝⎭π61212362P ξ+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以. ()1π1π113π06332236E ξ=⨯+⨯+⨯=故答案为：. 13π36六、解答题17．已知在的展开式中，所有的二项式系数之和为256．n(1)求展开式中所有项的系数之和；(2)求展开式中的所有的有理项． 【答案】(1)； 1256(2).423518256x x x ，，【分析】（1）先根据题意求得，再令即可求解；8n =1x =（2）先求得通项公式，在时，使为整数的对应的项为有理()34841C 12r rrr r T x -+=-⋅[0,8]r ∈344r -r 项．【详解】（1）依题意得：，.2256n =8n ∴=令，则，1x =886112125⎛⎫- ⎪⎝==⎭所以展开式中所有项的系数之和为. 1256（2）， ()3848418C C 12rr rrr rr r T x--+⎛==-⋅ ⎝当时，为有理项. 048r =，，1r T +展开式中所有有理项为：..∴423518256x x x ，，18．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球．(1)记随机变量X 表示从甲盒取出的红球个数，求X 的分布列； (2)求从乙盒取出的1个球为红球的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2). 1935【分析】（1）由题意分析出X 的可能取值，分别求概率，写出分布列；（2）对从甲盒所取出的2个小球颜色分类讨论，利用古典概型的概率公式计算概率，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：X 的可能取值为：0，1，2.所以；；. ()2325C 30C 10P X ===()112325C C 31C 5P X ⨯===()2225C 12C 10P X ===分布列为：X 0 1 2P310 35 110（2）i.若，则甲盒任取2白球放入乙盒，所以乙盒的小球4白3红，再从乙盒任取1球为红X 0=球的概率为； 137P =ii. 若，则甲盒所取放入乙盒的两个小球为1白1红，所以乙盒的小球3白4红，再从乙盒任1X =取1球为红球的概率为； 247P =iii. 若，则甲盒任取2红球放入乙盒，，所以乙盒的小球2白5红，再从乙盒任取1球为红2X =球的概率为. 357P =所以从乙盒取出的1个球为红球的概率为. 3364151910710710735⨯+⨯+⨯=19．已知函数，其中为自然对数的底数()()2e 61xf x x x =-+e (1)求曲线在处的切线方程； ()y f x =1x =(2)求函数在区间上的最值． ()f x []2,6-【答案】(1)8e 4e 0x y +-=(2)，()5min 4e f x =-()6max e f x =【分析】（1）求导，求出和，通过点斜式可得切线方程； ()1f '()1f （2）求导，确定函数单调性，通过确定极值和端点值的大小来确定最值.【详解】（1），()()()()22e 61e 26e 45x x xf x x x x x x '=-++-=--故，，()()1e 1458e f '=--=-()()1e 1614e f =-+=-曲线在处的切线方程为，即；()y f x =1x =()()4e 8e 1y x --=--8e 4e 0x y +-=（2），，()()2e 45xf x x x '=--[]2,6-令，得或，令，得， ()0f x ¢>2<<1x --56x <<()0f x '<15x -<<故函数在区间和上单调递增，在上单调递减，()f x ()2,1--()5,6()1,5-，，()()222e 412117e f ---=++=()()()5255e 53014e 2f f =-+=-<-，()()5min 54e f x f ==-，， ()()111e 1618e f ---=++=()()()666e 36361e 1f f =-+=>-.()()6max 6e f x f ==20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面P ABCD -ABCD PAD :平面，．棱上点满足直线与平面PAD ⊥ABCD PB AD ⊥PC E AE ABCD ．(1)求二面角大小的余弦值； E AD C --(2)求点到平面的距离． P ADE【答案】【分析】（1）取的中点,连接.先证明出两两垂直，以O 为原点,AD O ,OB OP ,,OA OB OP 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求出二面角大小的余,,OA OB OPE AD C --弦值；（2）向量法求点到平面的距离． P ADE 【详解】（1）取的中点,连接.AD O ,OB OP因为为等边三角形，所以.PAD :OP AD ⊥又平面平面，平面平面，平面, PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =OP ⊂PAD 所以平面，又平面，所以.OP ⊥ABCD AD ⊂ABCD OP AD ⊥因为，且平面，平面，， PB AD ⊥OP ⊂POB OB ⊂POB OP OB O = 所以平面,所以.AD ⊥POB AD OB ⊥以O 为原点, 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.,,OA OB OP因为底面是边长为2的菱形，为等边三角形， ABCD PAD :所以1,2,OA OD AB DC OP OB ======所以,,,,,.()0,0,0O ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D-(P 因为点是棱上一点，可设，则.E PC PE tPC =()2E t -所以.()2AE t =--因为平面，OP ⊥ABCD 所以平面的一个法向量为.ABCD (OP = 所以cos ,AE OP AE OP AE OP⋅===⨯ 解得：. 13t =设平面的一个法向量为.ADE (),,n x y z = 则. 20503n AD x n AE x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取,则,所以平面的法向量为. =2y -0,1x z ==ADE ()0,2,1n =- 所以平面与平面夹角的余弦值为ADEABCD cos ,n OP n OP n OP ⋅===⨯故平面与平面ADE ABCD（2）设点到平面的距离为d ，则P ADEd 所以点到平面P ADE 21．甲、乙两人参加两个项目的对抗赛，每一个项目的对抗赛均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），且每个项目每一局都没有平局．按以往两人比赛结果的统计估计，甲在项目A 中每一局获胜的概率为，在项目B 中每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响． 2312(1)分别求甲在项目A 、项目B 中获胜的概率；(2)设甲获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析.【分析】（1）分析比赛过程，二项分布的概率公式和概率的乘法即可分别求出概率；（2）由题意分析X 的可能取值，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】（1）记“甲在项目A 中获胜”为事件A ，包含甲三局获胜，其概率为；甲四局获222333⨯⨯胜（前三局甲胜任意两局，第四局甲胜），其概率为；甲五局获胜（前四局甲胜任223212C 333⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭意两局，第五局甲胜），其概率为.2224212C 333⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则. ()222223422*********C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记“甲在项目B 中获胜”为事件B ，同理可求.()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为：0，1，2. 所以； ()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=； ()()()()641642812162P X P AB P A P B ====⨯=所以. ()()()17641110211621622P X P X P X ==-=-==--=所以分布列为： X 012P17162 6416212所以. ()171642090121622162162E X =⨯+⨯+⨯=22．已知函数，其中，e 为自然对数的底数． ()()21e 1x f x x m x -=-+R m ∈(1)讨论的单调性；()f x (2)若不等式对恒成立，求实数m 的取值范围．()()23e 0f x m x x +++≥[)2,x ∈-+∞【答案】(1)见解析(2)34e 233e e m --≤≤【分析】（1）求导，讨论、、、，得出的单调性； 0m ≤2102e m <<212e m =212e m >()f x （2）将变形为，构造函数，由导数得()()23e 0f x m x x +++≥(1)e e tmt t ≥-+-(1)e e()t t g t t++=-出其单调性，进而根据恒成立问题的解题方法得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）， 111()e e 2(1)(1)(e 2)x x x f x x m x x m ---'=+-+=+-当时，，0m ≤1e 20x m -->若，则；若，则.()0f x '>1x >-()0f x '<1x <-则函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x (,1)-∞-(1,)-+∞当时， 2102e m <<若，则或；若，则. ()0f x '>ln 21x m <+1x >-()0f x '<ln 211m x +<<-则函数在，上单调递增，在上单调递减.()f x (),ln 21m -∞+(1,)-+∞(ln 21,1)m +-当时，，函数在上单调递增. 212e m =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞当时，若，则或；212em >()0f x '>1x <-ln 21x m >+若，则；()0f x '<1ln 21x m -<<+即函数在，上单调递增，在上单调递减. ()f x (,1)-∞-()ln 21,m ++∞(1,ln 21)m -+综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 0m ≤()f x (,1)-∞-(1,)-+∞当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 2102e m <<()f x (),ln 21m -∞+(1,)-+∞(ln 21,1)m +-当时，函数在上单调递增. 212e m =()f x (,)-∞+∞当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.212em >()f x (,1)-∞-()ln 21,m ++∞(1,ln 21)m -+（2）不等式可化为，()()23e 0f x m x x +++≥1(1)e e x m x x --≥--令，则，即在恒成立. [)13,t x =-∈-+∞1x t =+(1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+当时，在恒成立.0=t (1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+构造函数，且，. (1)e e ()t t g t t++=-[)3,t ∈-+∞0t ≠22e (1)()e t t t g t t -+-'=令，.()2e (1)e t h x t t =-+-()2()e (1)e (21)3e t t th t t t t t t '=-+--+=-+若，则；若，则. ()0h t '>(3,0)t ∈-()0h t '<(0,)t ∈+∞则函数在上单调递增，在上单调递减， ()h x (3,0)-(0,)+∞因为，，， ()353e 0eh -=->()02(0)=e e 001e 1h -+-=+(1)0h =所以当时，；当时，. ()0g t '>()(3,0)0,1t ∈-⋃()0g t '<()1,t ∈+∞即函数在上单调递增，在上单调递减，()g t ()(3,0),0,1-()1,+∞且，， 34e 3)e 32(g --=(1)3e g =-函数的图象如下图所示:()g t要使得在恒成立，则，解得. (1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+43e 2(3)3e (1)3em g m g ⎧-≤-=⎪⎨⎪≥=-⎩34e 233e e m --≤≤即. 34e 233e em --≤≤【点睛】关键点睛：在得出的单调性时，关键在于令，进(1)e e ()t t g t t++=-()2e (1)e t h x t t =-+-行二次求导，从而得出函数的单调性.()g t。

一、单选题1．已知，则m 等于（ ）2188C C m m -=A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C2．函数在上的图像大致为（ ） ()3sin xf x x x=-[]π,π-A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答. 【详解】函数定义域为， 3sin ()xf x x x=-(,0)(0,)-∞+∞ 而，且， 33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x--=--=--≠-()()f x f x -≠-即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ； ()f x 而当时，，排除选项A ，选项B 符合要求. πx =()(π)πf x f ==故选：B3．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有（ ）种.A ．48B ．72C ．96D ．120【答案】B【分析】结合分步、分类计数原理求得正确答案.【详解】先进行编号：新疆、甘肃、青海、西藏、四川， A B C D E 按的顺序进行涂色，其中颜色可以相同或不相同， A B C D E →→→→,B D 所以不同的涂色方法数有种. ()432121172⨯⨯⨯⨯+⨯=故选：B4．已知函数在上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） ()212ln 22g x x a x x =--()0,∞+A ．B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，参变分离，可将原问题转化为在上恒成立，再2(2)a x x -…(0,)+∞由配方法，即可得解． 【详解】解：因为在上单调递增， 21()2ln 22g x x a x x =--(0,)+∞所以在上恒成立，即在上恒成立， 2()20ag x x x'=--…(0,)+∞2(2)a x x -…(0,)+∞而，当且仅当时，等号成立， 2(2)(1)11y x x x =-=---…1x =所以，即，21a - (1)2-a …所以实数的取值范围为．a 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦故选：D ．5．3个0和2个1随机排成一行，则2个1相邻的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15253545【答案】B【分析】先求出将3个0和2个1随机排成一行的排法，再求出2个1相邻的排法，由古典概型求解即可.【详解】将3个0和2个1随机排成一行，只需要在5个位子中选2个放1即可，有种排25C 10=法；其中2个1相邻，只需要将2个1捆绑，在4个位子中选1个放1即可，有种排法；14C 4=则2个1相邻的概率为. 42105=故选：B.6．已知椭圆：（）的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，C 22221x y a b+=0a b >>1F 2F P，若坐标原点到，则椭圆离心率为（ ） 1260F PF ∠=︒O 1PFA B C D 【答案】D【分析】设，，通过椭圆的定义，以及三角形的解法求出直角三角形的1PF m =2PF n =2m n a +=边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值． 【详解】设，， 1PF m =2PF n =作，，1ON PF ⊥21F M PF ⊥，，， 2F 1260F PF ∠=︒即有，，由，13PM a =223PF a =2m n a +=可得，1MF a =因为，在直角三角形中，由勾股定理得， 122FF c =12F MF 2224a c ⎫+=⎪⎪⎭可得 c e a ==故选：D ．7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂,,A B C 至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A A ．12 B ．14 C ．36 D ．72【答案】B【分析】根据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方A A ,B C 案，利用分类、分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种情况：①若厂只接受1个女生，有种分派方案，A 12C 2=则厂分派人数可以为或，则有种分派方案，,B C 1,22,11233C C 6+=由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案； 2612⨯=②若厂接受2个女生，只有1种分派方案，A 则厂分派人数为，则有种分派方案，,B C 1,112C 2=此时共有种不同的分派方案，122⨯=综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案. 12214+=故选：B.8．已知函数，关于的方程恰有两个不等实根，则()232,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩x ()f x a =()1212,x x x x <的最大值为（ ）212x x ⋅A ． B ．C ．D ．e 2e 22e 2e 【答案】B【分析】作出函数的图像，数形结合可得出实数a 的取值范围，将用a 表示，可得()y f x =12,x x 表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求函数的单调性，进而求出最大值.212x x ⋅【详解】解：作出函数的图像如下图所示：()y f x =由图像可知，当时，直线与函数的图像有两个交点，，3a ≤y a =()y f x =()1,x a ()2,x a ，则，可得， 12x x < 21232ln x a x a ⎧-=⎨=⎩21232e a ax x -⎧=⎪⎨⎪=⎩， ()21213e 2a a x x =⋅⋅-∴构造函数，， ()()13e 2x g x x =⋅-3x ≤则，()()111e 3e 1e 222x xx g x x x ⎛⎫'-+⋅-=- ⎪⎝⎭=当，，此时函数单调递增， 2x <()0g x '>()y f x =当，，此时函数单调递减，23x <≤()0g x '<()y f x =，()()()22max1e 32e 222g g x =-==⋅故选：B.二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ） A ．B ． 211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()2ln 2'x x=⎡⎤⎣⎦C ．D ．()22'2xxee=()()'1x xxe x e =+【答案】CD【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，，故错误；211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于B 选项，，故错误；()1ln 2'x x =⎡⎤⎣⎦对于C 选项，，故正确；()22'2xxee=对于D 选项，，故正确.()()'1x x x xxe e xe x e =+=+故选：CD10．已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ） {}n a n S n 78S S =A ． B ．0d ＞80a =C ． D ．、均为的最大值150S >7S 8S n S 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 n 【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A 错误； {}n a 10n n a a +-<0d <因为，所以，故B 正确； 78S S =8870a S S =-=因为，故C 错误； ()115158151502a a S a +===因为由题意得，，所以，，故D 正确；789000a a a >⎛ = <⎝*78()n S S S n N =≥∈故选：BD11．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A ．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法54B ．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法34C C ．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 4154C C D ．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 2454C A 【答案】ACD【分析】对A ：根据分步乘法计数原理运算求解；对B ：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C ：根据分步乘法计数原理运算求解；对D ：利用捆绑法运算求解.【详解】对于A ：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A 正确； 5444444⨯⨯⨯⨯=对于B ：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B 错误；2454C A 240=对于C ：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C 正确；45C 14C 4154C C对于D ：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D 正确；2454C A 240=故选：ACD.12．已知函数的定义域为，则下列说法正确是（ ） ()cos f x ax x =+[]0,πA ．若函数无极值，则()f x 1a ≥B ．若，为函数的两个不同极值点，则 1x 2x ()f x ()()12πf x f x a +=C ．存在，使得函数有两个零点 R a ∈()f x D ．当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+【答案】BCD【分析】函数无极值，则或，求解即可判断A ；若，为函数的()f x ()0f x '≥()0f x '≤1x 2x ()f x 两个不同极值点可得，即，代入可求出的值，可判断()()120f x f x ''==12πx x +=()()12f x f x +B ；要使得函数有两个零点，即与有两个交点，画出图象即可判断C ；当()f x cos y x =y ax =-时，对任意，不等式恒成立即证明在1a =[]0,πx ∈()21e 2x f x x ≤+()21cos e 02x g x x x x =+--≤上恒成立即可判断D.[]0,πx ∈【详解】对于A ，若函数无极值，，， ()f x ()sin f x a x =-'[]0,πx ∈则或恒成立，则或， ()0f x '≥()0f x '≤()max sin a x ≥()min sin a x ≤当，则，解得：或，故A 不正确；[]0,πx ∈[]sin 0,1∈x 1a ≥0a ≤对于B ，若，为函数的两个不同极值点，，所以1x 2x ()f x ()()1212sin sin 0'==--'==f x f x a x a x ，12sin sin x x =因为，则，∴，故B 正确； []0,πx ∈12πx x +=()()121122cos cos πf x f x ax x ax x a +=+++=对于C ，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，R a ∈()f x cos cos =-⇒=x ax y x y ax =-在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，cos y x =()π,1-x ()π,1-故C 正确；对于D ，当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+， ()2211cos e cos e 022x x x x x g x x x x +≤+⇒=+--≤，()20100cos00e 02g =+-⨯-=，，()1sin e x g x x x =--'-()001sin00e 0g =---='令，()1sin e xh x x x =---对任意恒成立，()cos 1e 0x h x x --'=-≤[]0,πx ∈在上单减，， ()1sin e x h x x x =---[]0,π()001sin00e 0h =---=对任意恒成立，所以，()1sin e 0x h x x x =---≤[]0,πx ∈()0g x '≤在上单减，()21cos e 2x g x x x x =+--[]0,π()20100cos00e 02g =+-⨯-=对任意恒成立，故D 正确. ()21cos e 02xg x x x x =+--≤[]0,πx ∈故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.三、填空题13．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字） 【答案】144【分析】根据相邻问题捆绑，不相邻问题插空，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有种方法，33A 6=第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有种方法，24A 12=第三步：甲乙两个人之间全排列，22A 2=由分步乘法计数原理可得总的排法有， 6122144⨯⨯=故答案为：14414．已知的展开式中含项的系数为，则______. ()()52x a x +-3x 60-=a 【答案】/ 120.5【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解. ()52x -3x 60-【详解】，()()()()555222x a x x x a x +-=-+-又的展开式通项为， ()52x x -()()56155C 22C r rr r r r r xT x x x --+=-=-的展开式通项为， ()52a x -()()55155C 22C r rr r r r r aT a x a x --+=-=-，解得. ()()3232552C 2C 60a ∴-+-=-12a =故答案为：. 1215．如图，直三棱柱中，，为线段上的一个动111ABC A B C -122BC AA ==AB AC ==P 1A B 点，则的最小值是_______.PA PC +【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解. 【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，11AA B A 1A BC A 2则.PA PC AC +≥因为直三棱柱中，，，111ABC A B C -122BC AA ==AB AC =所以中，.1Rt A AB △1130,2ABA A B ∠==同理，在中，, 1A AC △12AC =所以160,A BC ∠=所以在图中，, 21190ABC ABA A BC ∠=∠+∠=所以,即2227AC AB BC =+=AC =所以. PA PC +.16．已知函数有三个零点，且有，则()()2e 820e x x x xf x x m m -=-+≠123,,x x x 123x x x <<的值为________. 11e 2x x ⎛- ⎝【答案】12【分析】由得出，令，得出()0f x =2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e 2x t x =-2(4)120t m t ++-=，利用导数得出的图象，由零点的个数，结合图象求解即可.e ()2xg x x=-【详解】若，则，即()0f x =2e 820e x x x x x m --+=22e 8e e 20x x x mx mx -⋅-+=当时，可得，不成立，故0x =0e 0=0x ≠等式两边同除以，得∴2x 22e 8e e 20x x xm m x x x--+=即 2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则e 2xt x=-2(4)120t m t ++-= 22Δ(4)41(12)(4)480m m ⎡=+-⨯⨯-=++>⎣方程有两个不等的实根，，∴12,t t 12120t t ⋅=-<令，则，令， 10t >20t >e ()2x g x x =-()21()x e x g x x '-=当时，，当或时，(1,)x ∈+∞()0g x '<(0,1)x ∈(,0)x ∈-∞()0g x '>即函数在上单调递减，在，上单调递增， ()g x (1,)+∞(0,1)(,0)-∞(1)2e 0g =-<如下图所示函数有三个零点，()f x 123,,x x x 123x x x <<31212123e e e 2,22x x x t t x x x ∴=-=-=-由图可知，121e 212x t t x ⎛-=-⋅ =⎝故答案为：12【点睛】方法点睛：已知零点的个数求参数的范围一般思路：利用导数得出函数的简图，由交点的个数结合图象得出参数的范围.四、解答题17．已知()*(31),n f x x n N =-∈(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；()f x 2x (2)苦，且，求. 2023n =()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =-=++++ 012023a a a +++ 【答案】(1)594 (2) 20234【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，然后可求的系数；n 2x （2）根据展开式系数特点判定系数正负去掉绝对值，然后给赋值就可求出和.x 【详解】（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则()f x 6C n 12n =，所以当时，故展开式中的系数为594； 12112C (3)(1)r r r r T x -+=-10r =1021021112C (3)(1)594T x x =-=2x （2）若，由可知当为奇数时，即的奇次项2023n =20232023120232023C (3)(1)(1)3C r r r r r r rr T x x --+=-=-⋅r x系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以r x ，又01202301232023a a a a a a a a +++=-+-++⋅⋅⋅+ ，故. ()202301232022033241(31)f a a a a a -=--=-+=--- 20230120234a a a +++= 18．已知函数是的极大值点. ()()()235ln 23,R ,2f x x x a x a a =+-+∈()f x (1)求的值； a (2)求函数的极值. ()f x 【答案】(1)1 (2)极大值，极小值 132-5555ln 36-【分析】（1）由极值点的定义可得，解方程求，验证所得结果是否满足要求； ()0f a ¢=a （2）由（1）可得，结合极值的定义可求函数的极值. 1a =【详解】（1）函数的定义域为， ()()235ln 232f x x x a x =+-+()0,∞+导函数为 ()()()232355323x a x f x x a x x-++'=+-+=∵是函数的极大值点，a ()f x ，即，()()232350f a a a a ∴=++'-=2650a a -+=解得或，1a =5a =当时，，1a =()2385x x f x x-+='当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增， 53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数取得极大值，符合题意；∴1x =()f x 当时，，5a =()23165x x f x x-+'=当时，，函数在上单调递增， 103x <<()0f x ¢>()f x 10,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递減， 153x <<()0f x '<()f x 1,53⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，5x >()0f x ¢>()f x ()5,+∞当时，函数取得极小值，不符合题意；∴5x =()f x 综上，，1a =（2）当a =1时，， ()235ln 82f x x x x =+-由（1）可得当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以当时，函数取得极大值， 1x =()f x 132-当时，函数取得极小值.53x =()f x 5555ln 36-19．已知数列的前n 项和为Sn ，满足． {}n a 2n n a S n +=(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}2n a -{}n a (2)若不等式2对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2(23)(2)n n a λλ->--【答案】(1)证明见详解； *1122n n a n N -=-∈，(2) 1322λ<<【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等1n n n a S S -=-122n n a a -=+11222n n a a -=--比数列的通项公式可得答案；（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转()()()232n f n n a =--()()1f n f n +-()f n 化为，解不等式即可.()2max 2f n λλ->【详解】（1）①2n n a S n += ②1122,2n n a S n n --∴+=-≥①-②得，即， 12n n n a a a -+=-122n n a a -=+变形可得，11222n n a a -=--又，得112a S +=11a =故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，{}2n a -12由等比数列的通项公式可得， 1122n n a --=-. *1122n n a n N -∴=-∈，（2）令，则 ()()()232n f n n a =--()1232n n f n --=()()12123521222n n nn n nf n f n ----∴+-=-=当或时，， 1n =2n =()()10f n f n +->当时， 3,n n N ≥∈()()10f n f n +-<又，， ()334f =()max 34f n ∴=因为不等式对任意的正整数恒成立，()()22232n n a λλ->--n ，解得. 2324λλ∴->1322λ<<20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ，AB ＝2AD ，且PD ⊥底面⊥ABCD ．(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ； (2)若二面角P －BC －D 为，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值． π6【答案】(1)见解析【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.【详解】（1）在平行四边形中，，，，ABCD //AD BC AD BD ⊥ BC BD ∴⊥平面，平面，，PD ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PD BC ∴⊥，平面，平面，PD BD D ⋂= ,PD BD ⊂PDB BC ∴⊥PDB 平面，平面平面. BC ⊂ PBC ∴PBD ⊥PBC （2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则，在中，，1AD =2AB =Rt △ABD BD ==平面，平面，，CB ⊥ PDB PB ⊂PDB CB PB ∴⊥，平面，平面，BD CB ⊥ PB ⊂PBC BD ⊂ABCD 在二面角的平面角，即， PBD ∴∠P BC D --π6PBD ∠=在中，， Rt PDB A sin 1PD BD PBD =÷∠=在平行四边形中，，ABCD 1AD BC ==则，，，，()1,0,0A()B ()C -()0,0,1P ，，，()1,0,1AP =-()0,BP = ()1,CP = 设平面的法向量为，PBC (),,n x y z =则，即，化简可得，00n BP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩0x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令，的一个法向量，1y=z =PBC (n =设与平面的夹角为，AP PBC θsin θ21．已知点,,动点,满足直线与直线的斜率之积为,记动点的轨迹()2,0A -()2,0B (),S x y AS BS 14-S 为曲线.C (1)求曲线的方程.C (2)设经过点且不经过点的直线与曲线相交于M ,N 两点,求证:为定值.()1,1--()0,1P l C PM PN k k +【答案】(1)()221,24x y x +=≠±(2)证明见解析【分析】(1)根据题意,由各个点的坐标,根据斜率公式代入上式,进行化简即可得曲线方14AS BS k k ⋅=-程;(2)先考虑直线斜率不存在的情况,写出直线方程,求出M ,N 两点坐标,求出,计算,在l ,PM PN k k PM PN k k +考虑斜率存在的情况,设出直线方程及M ,N 两点坐标,联立方程组,判别式大于零,韦达定理,写出,化简并计算即可得出结果,证明结论.,PM PN k k PM PN k k +【详解】（1）解:因为,直线与直线的斜率之积为,(),S x y AS BS 14-所以,即,, 14AS BS k k ⋅=-1224y y x x ⋅=-+-2x ≠±化简可得:,()221,24x y x +=≠±故曲线的方程为:;C ()221,24x y x +=≠±（2）证明:①当直线的斜率不存在时,直线,l :1l x =-与曲线联立可得:, C ,1,M N ⎛⎛--⎝⎝此时11PM PN k k ==+所以;2PM PN k k +=②当直线的斜率存在时,设直线, l :l y kx m =+因为直线经过点且不经过点, l ()1,1--()0,1P 所以,设,1,1k m m =+≠()()1122,,,M x y N x y 联立可得:, 2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x kmx m +++-=所以,解得:,()()222264441440k m k m ∆=-+->2241k m +>由韦达定理可得:, 2121222844,4141km m x x x x k k --+=⋅=++因为, 121211,PM PN y y k k x x --==所以 ()12212121211211PM PN x y x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=()()()12212112x kx m x kx m x x x x +++-+=()()12211221kx x m x x x x +-+=()222224482141414441m km k m k k m k --⋅+-⋅++=-+()()222448144k m km m m ⋅---=- 222888844km k km kmm --+=-,()()()21222111k m k km m m k-====-++综上:为定值2.PM PN k k +【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,关于定值问题的思路有: (1)根据题意分情况讨论直线斜率是否存在; (2) 设直线方程,联立方程组; (3) 判别式大于零,韦达定理;(4) 根据题意建立关于的等式,化简即可. 1212,x x x x +⋅22．已知函数． ()()1ln 1f x ax x=-+(1)若函数的最小值为0，求实数的值； ()f x a (2)证明：对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11e ln x nxx n--≥【答案】(1) 1a =(2)证明见解析【分析】（1）由题，，按和分类讨论，求函数的最小值，解得a 的值；0a ≠0a >a<0（2）由（1）得，即，对命题进行放缩，证明，构1ln 1x x ≥-ln 1≤-x x ()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭造函数，求导数，证明最小值大于或等于零，即原不等式成立.()()e 1ln mg m x m =--【详解】（1）当时，函数的定义域为，， 0a >()0,∞+()22111x f x x x x-'=-=当，，单调递减， ()0,1x ∈()0f x '<()f x 当，，单调递增， ()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以，可得； ()()min 1ln 0f x f a ===1a =当时，函数的定义域为，， a<0(),0∞-()221110x f x x x x-'=-=<在上单调递减，无最小值，不合题意． ()f x (),0∞-综上，.1a =（2）证明：由（1）可得不等式恒成立，用替代可得， 1ln 1x x≥-1xx ln 1≤-x x ，由，()()1111e ln 1e ln ln x x nn x x x x n n---≥⇔--≥1ln x x -≥即证，即证，()111e ln 1x n x x n ---≥-()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭令，构造函数，，(]10,1m n =∈()()e 1ln mg m x m =--()1e 1ln m g m m x m ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭由，，1ln 1m m≥-11ln 0m m --≤所以，在上单调递减，，()0g m '≤()g m (]0,1()()()1e 1g m g x ≥=-所以，()()()()()111e e 1ln 1e e 11e e xx xnx x x x x n ⎛⎫-+--≥-+-=-- ⎪⎝⎭由于，在，上同号，在时两式相等，1x -e e x -()0,1()1,+∞1x =所以，()()1e e 0xx --≥所以对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11eln x nxx n--≥【点睛】要证对任意恒成立，变换主元，构造函数()111e e 1ln 0xnx x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭()0,x ∈+∞，求出m 取不同值时函数的变化规律，得函数的最小值，可得只要证()()e 1ln m g m x m =--()g m 对任意恒成立.()()1e e 0x x --≥()0,x ∈+∞。

第 1 页/共 3 页中国农业大学2023年年～2023年年 学年秋季学期高等数学C 课程期中考试试题A 卷答案一、1、2()=1+32x f x x +;2、4;34、12;5、2I =2cos sin 2x x x ''-;6、x c +;7、420x y π-+-=;8、12ln 2-;9、ln 2;10、52二、11、B ；12、C ；13、C ；14、A ；15、C三、计算题，共30 分16、解：两边对x 求导，222212221y xy x yy y x y x y y xy x yy y xy y x''-+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭''-=+-'=+ 17、3224123612243612(3)(1)10,130,30,---y x x xy x x x x x y x y x y '=--''=--=-+''<->''-<<<''>>时，曲线凹时，曲线凸时，曲线凹（1，13），（3，81)是拐点拐点是:（-1，-13），（3，-189） 18、2332,,212211ln ln ln 1t x t dx tdttdt dt dx t t t t c c c t =====----=-+=-=++⎰⎰⎰19、()()1113200012022232001()()2()0()=1()3212()(321)100f x dx x x f x dx f x dx f x dx f x x x f x dx x x dx x x x =+-=-=+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰对等式两端在[0,1]求定积分所以，， 2022222221arctan 1arctan 111arctan arctan 1arctan arctan arctan 111arctan ln(1)arctan 22x xdx xdx x x xdx xdx x x x x dx xd x x x x x x c ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=-+=--+=-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 四、5分21、证实：()()()()()222221()ln ,112112()0111()11()(1)0,ln 01x f x x x x x x f x x x x x x x f x x x f x f x x -=-++--'=-==>+++->>=-+令单调递增时，即> 五、20分22、)22322111(1)(1)A=1232(1)153311y ax y x x ya a x ax x dx x a a =+===-⎡-+-=+⎢⎣-=+--与交点为。

2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，若11z -=，则（）A.()2211x y -+= B.()2211x y ++= C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=2.已知1e ，2e 都为单位向量，若1e 在2e 上的投影向量为212e，则12e e += （）A.B.C.2D.33.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是（）A.11AD AC ⊥ B.1AD 与BD 所成角为π3C.1//AD 平面1BDCD.1AD 与平面1ACC 所成角为π34.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm ），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）A.样本花卉高度的极差不超过20cmB.样本花卉高度的中位数不小于众数C.样本花的高度的平均数不小于中位数D.样本花升高度小于60cm 的占比不超过70%5.设等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件6.已知圆台的母线长为4，体积为，则圆台的侧面积为（）A.48πB.24πC.20πD.10π7.已知A 、B 为直线l 上的两个定点，2AB =，P 为l 上的动点．在平面直角坐标系中，()13,0F -、()23,0F ，以1F 为圆心，PA 为半径作圆1F ；以2F 为圆心，PB 为半径作圆2F ，则两圆公共点的轨迹方程为（）A.2218y x -= B.2218x y -= C.22198x y += D.22110x y +=8.已知函数()ln f x x =和两点(1,0)A ，()e ,mB m ，设曲线()y f x =过原点的切线为l ，且l AB ∥，则m 所在的大致区间为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>）A.1ω=B.函数π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则13π17π44m ≤<D.当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()cos f x y x=的值域为(-10.已知函数3()2()f x x ax a =-+∈R ，则（）A.(2)(2)4f f -+= B.若0a >，则()f x 的极大值点为x =C.若()f x 至少有两个零点，则3a ≥ D.()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增11.抛物线C ：24y x =的准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A '，B '，记AA F ' ，A B F ''△，BB F ' 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A.A B F '' 为锐角三角形B.2S 的最小值为4C.1S ，212S ，3S 成等差数列 D.1S ，212S ，3S 成等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1sin 23cos 25αα+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．13.在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，且613e a a =，则n a =______．14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A c b -=-．（1）求角A ；（2）已知A 的角平分线交BC 于点D ，若2c =，4AB AC ⋅=，求AD ．16.如图，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求二面角11A B C C --的正弦值．17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为()01p p <<，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为827．（1）求p ；（2）求甲参赛总分X 的分布列和数学期望．18.设椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知11OF OA AF e +=，下中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求C 的方程；（2）设点P 为C 上一动点，过P 作不与坐标轴垂直的直线l ．①若l 与C 交于另一点T ，E 为PT 中点，记l 斜率为k ，OE 斜率为0k ，证明：0k k ⋅为定值；②若l 与C 相切，且与直线2x =相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知a b c d 表示二阶行列式，规定a b ad bc c d=-；123123123a a ab b bc c c 表示三分行列式，规定123232323123111232323123a a ab b a a a a b b b a bc c c c c b b c c c =-+．设03()3011xxf x xx=---．（1）求()f x ；（2）以()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的另一点()()111,n n n A x f x +++，其中n ∈N ．若00x =，当1n ≥时，设点n A 的横坐标n x 构成数列．①求的通项公式；②证明：12111ln 1ln 1ln 11111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，若11z -=，则（）A.()2211x y -+= B.()2211x y ++=C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出i z x y =+，再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结果.【详解】由复数的几何意义可得i z x y =+，所以，()11i 1z x y -=-+=，化简可得()2211x y -+=.故选：A.2.已知1e ，2e 都为单位向量，若1e 在2e 上的投影向量为212e，则12e e += （）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合投影向量可得1212e e ⋅= ，平方结合数量积的运算律分析求解.【详解】由题意可知：121==e e ，因为1e 在2e 上的投影向量为()12212222212e e e e e e e e ⎛⎫⋅ ⎪=⋅= ⎪⎝⎭u r u ru r u r u r u r u r u r ，可得1212e e ⋅= ，又因为()2112212221122132e e e e e e +=⋅+=+⨯++=u r u r u r u u r u r r，所以12e e += .故选：B.3.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是（）A.11AD AC ⊥ B.1AD 与BD 所成角为π3C.1//AD 平面1BDCD.1AD 与平面1ACC 所成角为π3【答案】D 【解析】【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、()10,0,1D ，对于A 选项，()11,0,1AD =- ，()11,1,1AC =--，则111010AD AC ⋅=+-=，所以，11AD AC ⊥，A 对；对于B 选项，()1,1,0DB =，则1111cos ,2AD DB AD DB AD DB⋅==-⋅，所以，1AD 与BD 所成角的大小为π3，B 对；对于C 选项，设平面1BDC 的法向量为()111,,m x y z = ，()10,1,1DC =，则1111100m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =-，则()1,1,1m =- ，则11010AD m ⋅=-++= ，所以，1AD m ⊥ ，又因为1AD ⊄平面1BDC ，所以，1//AD 平面1BDC ，C 对；对于D 选项，设平面1ACC 的法向量为()222,,x n y z = ，()10,0,1CC = ，()1,1,0CA =-，则12220n CC z n CA x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取21x =，则()1,1,0n =r ，所以，1111cos ,2AD n AD n AD n⋅==-⋅，所以，1AD 与平面1ACC 所成角为为π6，D 错.故选：D.4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm ），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）A.样本花卉高度的极差不超过20cmB.样本花卉高度的中位数不小于众数C.样本花的高度的平均数不小于中位数D.样本花升高度小于60cm 的占比不超过70%【答案】D 【解析】【分析】利用极差的定义可判断A 选项；利用中位数和众数的定义可判断B 选项；利用平均数公式求出样本花卉高度的平均数，可判断C 选项；计算出样本花升高度小于60cm 的占比，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的极差为()704030cm -=，A 错；对于B 选项，样本花卉高度的众数为()556057.5cm 2+=，设样本花卉高度的中位数为cm a ，前三个矩形的面积和为()0.0120.0280.03650.38++⨯=，前四个矩形的面积和为0.380.05650.66+⨯=，故()55,60a ∈，由中位数的定义可得()0.38550.0560.5a +-⨯=，解得()57.14cm a ≈，则57.5a <，所以，样本花卉高度的中位数小于众数，B 错；对于C 选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的平均数为()42.50.0647.50.1452.50.1857.50.2862.50.2467.50.156.5cm x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，且x a <，所以，样本花的高度的平均数小于中位数，C 错；对于D 选项，由B 选项可知，样本花升高度小于60cm 的占比为66%，D 对.故选：D.5.设等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】要判断“1q >”与“等比数列{}n a 为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“1q >”能否推出“等比数列{}n a 为递增数列”，以及“等比数列{}n a 为递增数列”能否推出“1q >”.【详解】假设1q >.对于等比数列{}n a ，其通项公式为11n n a a q -=.当2q =，12a =-时，根据通项公式可得21224a a q ==-⨯=-.此时21a a <，等比数列{}n a 不是递增数列.这说明仅仅1q >不能保证等比数列{}n a 一定是递增数列，所以“1q >”不是“等比数列{}n a 为递增数列”的充分条件.假设等比数列{}n a 为递增数列，那么1n n a a +>.由通项公式可得11n n a a q-=，11n n a a q +=，所以111n n a q a q->.当10a <时，不等式两边同时除以11n a q -（因为10a <，10n q ->，不等号方向改变），得到1n n q q -<.例如当2n =时，2q q <，解得01q <<.这说明等比数列{}n a 为递增数列时，不一定有1q >，所以“1q >”不是“等比数列{}n a 为递增数列”的必要条件.则“1q >”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件.故选：D.6.已知圆台的母线长为4，体积为，则圆台的侧面积为（）A.48πB.24πC.20πD.10π【答案】C 【解析】【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.【详解】如下图所示，设圆台上底面半径为r ，下底面半径为R ，则R r >，设AC 为圆台的一条母线，连接OA 、1O C ，则四边形1OO CA 为直角梯形，过点C 在平面1OO CA 内作CB OA ⊥，垂足为点B ，根据题意，4AC =，1OO =，1O C r =，OA R =，因为1//O C OA ，1OO OA ⊥，BC OA ⊥，则四边形1OO CB 为矩形，所以，1BC OO ==1OB O C r ==，则AB OA OB R r =-=-，由勾股定理可得222AB BC AC +=，即()2716R r -+=，可得3R r -=，①又因为圆台的体积为()2213V R Rr r =⨯++=2221R Rr r ++=，②所以，22321R r R Rr r R r-=⎧⎪++=⎨⎪>⎩，解得41R r =⎧⎨=⎩，所以，圆台的侧面积为()12π44π520π2S R r =⨯⨯+⨯=⨯=.故选：C.7.已知A 、B 为直线l 上的两个定点，2AB =，P 为l 上的动点．在平面直角坐标系中，()13,0F -、()23,0F ，以1F 为圆心，PA 为半径作圆1F ；以2F 为圆心，PB 为半径作圆2F ，则两圆公共点的轨迹方程为（）A.2218y x -= B.2218x y -= C.22198x y += D.22110x y +=【答案】A 【解析】【分析】作出图形，分析可知，点P 不在线段AB （不包括端点）上，对点P 的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程.【详解】如下图所示：设圆1F 、圆2F 的半径分别为r 、R ，则r PA =，R PB =，设两圆的一个公共点为M ，由题意可知，点P 不能与点A 或点B 重合，若点P 在线段AB （不包括端点）上运动时，则122MF MF r R PA PB AB +=+=+==，事实上，12126MF MF F F +≥=，此时点M 不存在；当点P 在以点A 为端点以BA的方向为方向的射线上时，此时，212MF MF R r PB PA AB -=-=-==；当点P 在以点B 为端点且以AB的方向为方向的射线上时，此时，122MF MF r R PA PB AB -=-=-==.综上，121226MF MF F F -=<=，所以，动点M 的轨迹是以点1F 、2F 为焦点的双曲线，设该双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，焦距为2c ，则2226a c c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，可得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩因此，两圆公共点的轨迹方程为2218y x -=.故选：A.8.已知函数()ln f x x =和两点(1,0)A ，()e ,mB m ，设曲线()y f x =过原点的切线为l ，且l AB ∥，则m 所在的大致区间为（）A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】求导，利用导数求得切线l 的斜率1ek =，根据直线平行可得e e 10m m --=，构建()e e 1m g m m =--，可知m 为()g m 的非零零点，求导，利用导数判断其单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】由题意可知：()y f x =的定义域为()0,∞+，且1()f x x'=，设切点坐标为()00,ln x x ，则切线l 的斜率001()k f x x '==，则切线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，若切线过原点，则()0001ln 1x x x -=-=-，解得0e x =，可在切线l 的1ek =，若l AB ∥，且直线AB 的斜率()0e 1AB mmk m =≠-，则AB k k =，即1e 1emm =-，整理可得e e 10m m --=，构建()e e 1mg m m =--，则()e e mg m '=-，可知m 为()g m 的非零零点，令()0g m '>，解得1m >；令()0g m '<，解得1m <；可知()g m 在(),1-∞内单调递减，在()1,+∞内单调递增，则()g m 分别在(),1-∞、()1,+∞内至多一个零点且()()()200,110,2e 2e 10g g g ==-<=-->，又因为0m ≠，所以m 所在的大致区间为()1,2.故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>）A.1ω=B.函数π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则13π17π44m ≤<D.当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()cos f x y x=的值域为(-【答案】ABC【解析】【分析】对于A ：根据函数周期分析判断；对于B ：根据函数最值分析判断；对于C ：令()0f x =，可得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，以π4x -为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D ：整理可得()tan 1cos f x x x =-，结合正切函数分析求解.【详解】对于选项A ：因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，由图象可知：函数()y f x =的最小正周期5ππ22π44T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且0ω>，则2π2πω=，解得1ω=，可得()sin cos f x x a x =+，故A 正确；对于选项B ：由图可知：当π5π3π4424x +==时，函数()y f x =取到最大值，则()3π3π3πsin cos 104442f a a ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭，整理可得()3π3π3πsin cos 104442f a a ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭，解得1a =-，则π()sin cos sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所有ππ42y f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，故B 正确；对于选项C ：令π()04f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为[0,]x m ∈，则πππ,444x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则π3π4π4m ≤-<，解得13π17π44m ≤<，故C 正确；对于选项D ：因为()sin cos tan 1cos cos f x x xy x x x-===-，又因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(tan x ∈，可得()tan 11,1x -∈-，所以函数()cos f x y x=的值域为()1-，故D 错误；故选：ABC.10.已知函数3()2()f x x ax a =-+∈R ，则（）A.(2)(2)4f f -+= B.若0a >，则()f x 的极大值点为x =C.若()f x 至少有两个零点，则3a ≥ D.()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据函数解析式运算求解即可；对于B ：求导，利用导数分析函数单调性和极值；对于CD ：分0a ≤和0a >两种情况，结合导数分析单调性和零点.【详解】对于选项A ：因为3()2f x x ax =-+，则()()()()33()224f x f x x ax x a x ⎡⎤+-=-++---+=⎣⎦，所以(2)(2)4f f -+=，故A 正确；对于选项B ：因为2()3f x x a '=-，且0a >，令()0f x '>，解得x <x >()0f x '<，解得x <<可知()f x 在,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增，在⎛ ⎝内单调递减，所以()f x 的极大值点为x =B 错误；对于选项C ：若()f x 至少有两个零点，当0a ≤时，则2()30f x x a '=-≥，可知()f x 在R 内单调递增，至多有一个零点，不合题意；当0a >时，结合选项B 可知：0f f ⎛≤≤ ⎝，即202≤≤，解得3a ≥；综上所述：3a ≥，故C 正确；对于选项D ：因为2()3f x x a '=-，当0a ≤，可知()f x 在R 内单调递增，符合题意；当0a >，则10a --<，对于(,1)x a ∞∈---，可得()()22()131353f x f a a a a a ''>--=---=++，此时2536110∆=-=-<，则2()3530f x a a '>++>，所以()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增；综上所述：()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增，故D 正确；故选：ACD.11.抛物线C ：24y x =的准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A '，B '，记AA F ' ，A B F ''△，BB F ' 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A.A B F '' 为锐角三角形B.2S 的最小值为4C.1S ，212S ，3S 成等差数列 D.1S ，212S ，3S 成等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】设:1AB x my =+，1,1,2,2，联立方程可得韦达定理.对于A ：根据直线垂直的斜率关系分析判断；对于B ：根据面积关系结合韦达定理分析判断；对于CD ：根据面积结合等差、等比数列性质分析判断.【详解】由题意可知：焦点1,0，准线:1l x =-，直线AB 的斜率不为0，且与抛物线必相交，设:1AB x my =+，1,1,2,2，则()()121,,1,A y B y --''，可得112212,12A F x my B F x my =+=+=+='+'，联立方程=B +12=4，消去x 可得2440y my --=，则12124,4y y m y y +=⋅=-，对于选项A ：因为12,22A F B F y y k k ''=-=-，可得1214A FB F y yk k ''⋅==-，可知A F B F ''⊥，所以A B F '' 为直角三角形，故A 错误；对于选项B ：因为12y y -===，可得2121242S y y =-⨯=≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以2S 的最小值为4，故B 正确；对于选项CD ：因为()()111322112,222S y my S y my =+=+，则()()()21311221212121112224224S S y my y my y y m y y m y y ⎡⎤=+⨯+=+++⎣⎦()()222221144844142m m m S ⎛⎫=⨯-++=+= ⎪⎝⎭，即213212S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然1231,,2S S S 不恒相等，且不为0，所以1S ，212S ，3S 成等比数列，不成等差数列，故C 错误，D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1sin 23cos 25αα+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用二倍角公式、弦化切以及两角和的正切公式化简可得结果.【详解】因为()()()22222cos sin 1sin 2cos 2sin cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin αααααααααααααα++++==-+-πtan tancos sin tan 1π34tan πcos sin 1tan 451tan tan 4ααααααααα+++⎛⎫====+= ⎪--⎝⎭-.故答案为：35.13.在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，且613e a a =，则n a =______．【答案】21e n -【解析】【分析】推导出数列{}n a 是等比数列，利用等比中项的性质求出2a 的值，再利用等比数列的通项公式可求得n a 的表达式.【详解】在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，则11ln ln ln 2n n n na a a a ++-==，可得21e n n a a +=，所以，数列{}n a 是公比为2e 的等比数列，因为26132e a a a ==，且20a >，则32e a =，因为()22324212e e e e n n n n a a ---=⋅=⋅=.故答案为：21e n -.14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种（用数字作答）【答案】26【解析】【分析】计算出从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片的抽法种数，以及抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数，利用间接法可得结果.【详解】从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片，不同的抽法种数为12213434C C C C 181230+=+=，其中，抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数为34C 4=，因此，抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法种数为30426-=.故答案为：26.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A c b -=-．（1）求角A ；（2）已知A 的角平分线交BC 于点D ，若2c =，4AB AC ⋅=，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）433AD =【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）利用平面向量数量积的定义可求出b 的值，再利用ABC ABD ACD S S S =+ 结合三角形的面积公式可求得AD 的长.【小问1详解】解：因为cos cos a B b A c b -=-，由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin A B B A C B -=-，即()sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin A B B A A B B A B A B B -=+-=+-，所以，2cos sin sin 0A B B -=，因为A 、()0,πB ∈，则sin 0B >，可得2cos 10A -=，则1cos 2A =，故π3A =.【小问2详解】解：因为π1cos 432AB AC AB AC bc b ⋅=⋅=== ，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，即1π1π1πsin sin sin 232626bc c AD b AD =⋅+⋅，整理可得63AD b c ===+.16.如图，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求二面角11A B C C --的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）4【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，找到点的坐标，得出直线方向向量和平面内任意向量，得到向量垂直，从而得到线线垂直，即可证明线面垂直；（2）由空间直角坐标系求出面的法向量，由面的法向量求出二面角的余弦值的绝对值，由三角恒等变换得到角的正弦值.【小问1详解】过点B 在平面ABC 内作一条直线与BC 垂直，则以B 为原点，BC 为x 轴，BC 的垂直为y 轴，1BB 为z 轴如图建立空间直角坐标系，∴()0,0,0B ，()2,0,0C ∵120ABC ∠=︒∴()A -∴()14A -，()10,0,2B ，()12,0,1C ，∴()11,2AB = ，()112,0,1B C =-，()112B A =- ∵1111112201340AB B C AB B A ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，∴111AB B C ⊥，111AB B A ⊥又∵11111B C B A B = ，11B C ⊂平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ∴1AB ⊥平面111A B C 【小问2详解】由（1）可知：()11,2AB =，()13,AC = ，()12,0,2B C =- ，()10,0,1C C =，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，设平面11CB C 的一个法向量为()2222,,n x y z =，∴111100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，121200B C n C C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111112030x z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2222200x z z -=⎧⎨=⎩则可取1115x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，222010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即1n = ，()20,1,0n =设二面角11A B C C --为θ，则1212cos n n n n θ⋅==⋅∴sin 4θ==17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为()01p p <<，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为827．（1）求p ；（2）求甲参赛总分X 的分布列和数学期望．【答案】（1）12p =（2）分布列见解析，数学期望为74.【解析】【分析】（1）利用独立事件概率的乘法公式来求解，要根据甲参赛总分为2分的情况进行分析，求p 的值，（2）需要考虑X 所有可能的取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据分布列求数学期望.【小问1详解】甲参赛总分为2分有两种情况：第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负（概率为12C (1)p p -），然后在第二阶段三场比赛一胜两负（概率为12311C (1)33⨯⨯-）.第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜（概率为2p ），然后在第二阶段三场比赛全负（概率为31(13-）.根据甲参赛总分为2分的概率为827，可列出方程：11223231118C (1)C (1)(1)33327p p p -⨯⨯⨯-+⨯-=先计算组合数122!C 21!(21)!==-，133!C 31!(31)!==-.方程变为214882(1)3392727p p p -⨯⨯⨯+⨯=.化简得2888(1)92727p p p -+=.即2321p p -=.因式分解得(21)(1)0p p --=.解得12p =或1p =，因为01p <<，所以12p =.【小问2详解】甲参赛总分X 的可能取值为0，1，2，3，4，5.X 0=包括：在第一阶段两场全输，概率为2211(1)(1)24p -=-=.1X =包括：在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段三场全输（概率为318(1327-=），所以184(1)22727P X ==⨯=.2X =：前面已求出为827.3X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），然后在第二阶段一胜两负（概率为123114C (1)339⨯⨯-=），此时1141499P =⨯=.也包括在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段两胜一负（概率为223112C ((1339⨯⨯-=）.此时2121299P =⨯=.则112(3)999P X ==+=.4X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），在第二阶段两胜一负（概率为223112C ()(1)339⨯⨯-=），此时31214918P =⨯=.也包括在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段三场全胜（概率为311()327=），此时411122754P =⨯=.则112(4)185427P X ==+=.5X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），然后在第二阶段三场全胜（概率为311()327=），所以111(5)427108P X ==⨯=.所以X 的分布列为：X12345P14427827292271108根据数学期望公式，1482211897()012345427279271081084E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==18.设椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知11OF OA AF e +=，下中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求C 的方程；（2）设点P 为C 上一动点，过P 作不与坐标轴垂直的直线l ．①若l 与C 交于另一点T ，E 为PT 中点，记l 斜率为k ，OE 斜率为0k ，证明：0k k ⋅为定值；②若l 与C 相切，且与直线2x =相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）①证明见解析；②是，且定点坐标为1,0【解析】【分析】（1）根据11OF OA AF e +=可得出221e =，可得出关于a 的方程，解出a 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①设点()11,P x y 、()22,T x y ，则点1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，利用点差法可证得结论成立；②设()00,P x y ，证明出椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，将切线方程与直线2x =的方程联立，求出点Q 的坐标，由对称性知，以PQ 为直径的圆过定点(),0M m ，由0PM QM ⋅=求出m 的值，即可得出结论.【小问1详解】解：因为椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，则OF c =，OA a =，AF a c =-，因为11OF OA AF e +=，即11e c a a c+=-，即a c a c e c a --+=，整理可得1e e e -=，可得221e =，即()22222121a c a a-==，解得a =所以，椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】解：①设点()11,P x y 、()22,T x y ，则点1212,22x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线1l 不与坐标轴垂直，则2212x x ≠，2212y y ≠，所以，1212y y k x x -=-，1212012120202y y y y k x x x x +-+==++-，因为221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，这两个等式作差可得2222121202x x y y -+-=，所以，2212121202212121212y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-；②设()00,P x y ，先证明出椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，联立00221212x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2222000122y x x x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理可得22001102x x x y -+-=，即220011022x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，所以，椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，因为直线0012x xy y +=与直线2x =交于点Q ，则00y ≠，联立00122x xy y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得001x y y -=，即点0012,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性可知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0M m ，则PM QM ⊥，且()00,PM m x y =-- ，0012,x QM m y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，则()()()()()200021110PM QM m x m x m x m ⋅=----=-+-= ，所以，()21010m m -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1m =，因此，以PQ 为直径的圆过定点()1,0M .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知a b c d 表示二阶行列式，规定a b ad bc c d=-；123123123a a ab b bc c c 表示三分行列式，规定123232323123111232323123a a ab b a a a a b b b a bc c c c c b b c c c =-+．设03()3011xxf x xx=---．（1）求()f x ；（2）以()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的另一点()()111,n n n A x f x +++，其中n ∈N ．若00x =，当1n ≥时，设点n A 的横坐标n x 构成数列．①求的通项公式；②证明：12111ln 1ln 1ln 11111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）32()39f x x x x =+-（2）①()21nn a =--；②证明见详解【解析】【分析】（1）根据行列式的定义运算求解即可；（2）①根据所给的规则求出切点为()32,39n n n n n A x x x x +-的切线方程，再进一步求得1n x +，结合等比数列的定义得出结果；②当0x >时，先证明()ln 1x x +<成立，得出()1111ln 11122n n n n a a ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭，再结合等比数列求和得出结果.【小问1详解】由题意可得：()()232030303()30033339111111x xx x f x x x x x x x x xx x x x x--=-=-+=+-+=+-------.【小问2详解】①由（1）可知：()3239f x x x x =+-，()2369f x x x '=+-，则切点()32,39n n n n n A x x x x +-，切线斜率：()2369n n n k f x x x =+'=-，故切线方程为：()()23236939n n nn n n y x x x x xx x =+--++-，联立()3239f x x x x =+-得：()()232323693939n n nnn n x x x x xx x x x x +--++-=+-，化简得：()32232336230n n n n x x x x x x x +-+++=，因式分解得：()()2230n n x x x x -++=，故123n n x x +=--，上式亦满足由0A 作切线而得到的1A 的横坐标1x ，故13x =-，()1121n n x x ++=-+，则{}1n x +是以2-为首项，以2-为公比的等比数列,故()12nn x +=-，故()21nn x =--，即()21nn a =--；②构造()()ln 1g x x x =+-，()0x >则()11011x g x x x-=-=+'<+，故()g x 在()0,∞+上单调递减，故()()00g x g <=，可得当0x >时，()ln 1x x +<，则()1111ln 11122n n n n a a ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭，即1111ln 112a ⎛⎫+< ⎪⎪+⎝⎭，2211ln 112a ⎛⎫+< ⎪ ⎪+⎝⎭，……，将上式累加可得12121111111ln 11111112222n n n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，故12111ln 1111111n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】方法点睛：利用导数证明数列不等式问题:常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的.。

高三期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3M =，{}2N x x =<，则()M N ⋂=R ð（ ）A. (),2∞-B. (2,3)C. {}2,3 D. {}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】利用补集和交集的概念求出答案.【详解】{}2N x x =≥R ð，故(){}{}{}0,1,2,322,3M N x x ⋂=⋂≥=R ð.故选：C2. 已知命题:R,11p x x ∀∈-<，命题2:R,10q x x x ∃∈-+<，则（ ）A. 命题p 和命题q 都是真命题B. 命题p 的否定和命题q 都是真命题C. 命题q 的否定和命题p 都是真命题D. 命题p 的否定和命题q 的否定都是真命题【答案】D 【解析】【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.【详解】对于命题:R,11p x x ∀∈-<，当0x ≤或2x ≥时，11x -≥，故命题p 是假命题，命题p 的否定为真命题；对于命题2:R,10q x x x ∃∈-+<，因为22131(024x x x -+=-+>，所以命题q 为假命题，命题q 的否定为真命题；综上可得：命题p 的否定和命题q 的否定都是真命题，故选：D3. 函数()2e sin2e 1x x xf x =-图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性与有无零点，借助排除法即可得.【详解】定义域为{|0}x x ≠，()()()22e sin2e sin2e 11ex x x xx x f x f x -----===--，故该函数为偶函数，故可排除B 、D ，当πx =时，有()π2πe sin2π0e 1f π==-，故可排除A.故选：C.4. 已知m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若//,//m n n α，则//m α B. 若//,//m m αβ，则//αβC. 若,ααβ⊥⊥m ，则//m β D. 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可.【详解】由//,//m n n α，得//m α或m α⊂，则A 错误．由//,//m m αβ，得//αβ或,αβ相交，则B 错误．由,ααβ⊥⊥m ，得//m β或m β⊂，则C 错误．由,//m m αβ⊥，得αβ⊥，则D 正确．故选：D5. 已知向量()1,a t = ，()3,1b =- ，且()2a b b +⊥ ，则向量a与b 的夹角等于（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D 【解析】【分析】利用向量垂直则数量积为零，可求出t ，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可.【详解】由(1,)a t =，(3,1)b =-，得2(1,21)a b t +=-+，由(2)a b b +⊥，得1(3)(2110)t -⨯-++⨯=，解得2t =-，则(1,2)a =- ，则||a ==，||b == ，1(3)(2)15a b ⋅=⨯-+-⨯=- ，因此cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=== ，而,[0,π]a b 〈〉∈，所以3π,4a b 〈〉= .故选：D6. 中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为（ ）A. 253B.503 C.507D.1007【答案】D 【解析】【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】5斗＝50升.设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以马主人应偿还粟的量为a 2＝2a 1＝1007，故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，考查了考生的基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正数a b c ，，满足e ln e ln 1a c a b b c ===，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. c a b << B. c b a << C. a b c << D. a c b<<【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，借助函数的单调性及零点存在性定理比较大小.【详解】由e ln e ln 1a c a b b c ===，得111e ln ln 0eac b c a b -=-=-=，令函数1()e ,0xf x x x=->，显然函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而121()e 20,(1)e 102f f =-<=->，()0f a =，则112a <<；令函数1()ln g x x x =-，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，1(2)ln 202g =->，而332212()ln 0223323g =-<=-<， ()0g b =，则322b <<；令1()ln e x h x x =-，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，而1(1)0eh =-<，3233131127111()ln ln ln ln e 022*******e h =->-=->-=，()0h c =，则312c <<，所以a b c ，，的大小关系为a c b <<.故选：D8. 已知函数(1)y f x =+为偶函数，且()y f x =的图象关于点(2,0)对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则(2024)f =（ ）A. 2024B. 2C. 1D. 0【答案】D 【解析】【分析】首先利用函数的奇偶性及其对称性推导得到()f x 的周期为4，进而利用函数的周期性求解()2024f 即可.【详解】因为函数(1)y f x =+为偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以(1)(1)f x f x +=-，即()(2)f x f x =-，又因为函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以(2)(2)0f x f x ++-=，进而可得：()()20f x f x ++=又(2)(4)0f x f x +++=，所以()(4)0f x f x -+=，即(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4，所以(2024)(45060)(0)0f f f =⨯+==.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若:10p mx +=是2:60q x x +-=的充分不必要条件，则实数m 的值可以为（ ）A. 2 B. 12-C.13D. 0【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件:2q x =或3x =-，则{}10x mx +=可以是∅，{3}-或{2}，分情况即可求得m 的值.【详解】依题意{}10x mx +=是{3,2}-的真子集，则{}10x mx +=可以是∅，{3}-或{2}.当{}10x mx +==∅时，易得0m =；当{}{}103x mx +==-时，可得13m =；当{}{}102x mx +==时，可得12m =-.故选：BCD.10. 已知函数()cos2cos f x x x =+，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）A. ()f x 的图像关于y 轴对称B. π不是()f x 的一个周期C. ()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为2⎤⎥⎦【答案】ABD 【解析】【分析】利用奇偶性判断A ，利用周期性定义判断B ，利用单调性定义判断C ，分类讨论去绝对值符号后求得值域后判断D ．【详解】()cos(2)cos cos 2cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，f (x )定义域是全体实数关于原点对称，()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，A 正确；π2ππ()cos()cos 1333f -=-+-=，π4π2π11π(π)cos cos 0()333223f f -+=+=-=≠-，所以π不是()f x 的一个周期，B 正确；()cos2cos cos 2cos f x x x x x =+=+，3π3π3π()cos cos 424f =+=3π(π)cos 2πcos π0()4f f =+=>，C 错；π[0,4x ∈时，2219()cos2cos 2cos cos 12(cos 48f x x x x x x =+=+-=+-，cos 1x ≤≤，则()f x ∈，ππ(,42x ∈时，2219()cos2cos 2cos cos 12(cos 48f x x x x x x =-+=-++=--+，又0cos x ≤<，所以9()]8f x ∈，综上，π[0,]2x ∈时，()f x ∈，D 正确．故选：ABD ．11. 已知函数()2e xf x x a =--，则（）A. ()f x 在()1,2上单调递增B. 1x =是函数()f x 的极大值点C. ()f x 既无最大值，也无最小值D. 当()1,2a ∈时，()f x 有三个零点【答案】BD 【解析】【分析】先将()f x 用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值点、最值及零点即可.【详解】由题意得()()()2e ,22e 2e ,2xxxx a x f x x a x a x ⎧--≥⎪=--=⎨--<⎪⎩，所以()()()1e ,21e ,2xxx x f x x x ⎧->⎪=⎨-<'⎪⎩，对于A ，当()1,2x ∈时，()()1e 0xf x x =-<'，所以()f x 在()1,2上单调递减，故A 错误;对于B ，当(),1x ∞∈-时，()0f x '>，当()1,2x ∈时，()0f x '<，当()2,x ∞∈+时，()0f x '>,所以()f x 在(),1∞-单调递增，在()1,2单调递减，在[)2,+∞单调递增，所以x =1是函数()f x 的极大值点，故B 正确;对于C ，当x ∞→-时，()2e xf x x a a =-->-，当x ∞→+时，()f x ∞→+又()()1e 2f a f a =->=-,()f x 的大致图象如图所示，()f x 的值域为[),a -+∞,所以()f x 有最小值，无最大值，故C 错误;,对于D ，当2x ≥时，()f x 在[)2,∞+上单调递增,因为()1,2a ∈,所以()()320,3e 0f a f a =-=-,所以()f x 在[)2,∞+上有一个零点;当x <2时，()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,2上单调递减,又()1e 0f a =->，当x ∞→-时，()()()2e 2.120xf x x a a f a =-->-∈--=-<，.结合()f x 的大致图象（如上图），()f x 在(),1∞-有一个零点，在()1,2上有一个零点，综上，当()1,2a ∈时，()f x 有三个零点，故D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列1,,,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数其前n 项和为n S ，则100S =______.【答案】5000【解析】【分析】按奇偶项分类求和．【详解】由题意10013992410050(098)50(2100)()()500022S a a a a a a ⨯+⨯+=+++++++=+= .故答案：5000.13. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1B F //平面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值的最大值是_________.【答案】2为【解析】【分析】设,,G H I 分别为111,,CD CC C D 边上的中点,根据面面平行的判定定理，可得平面1//A BGE 平面1B HI ，结合已知中1//B F 面1A BE ，可得F 落在线段HI 上，11B FC ∠即为1B F 与平面11CDD C 所成角,求出该角正切的最大值即可得到结论.【详解】设,,G H I 分别为111,,CD CC C D 边上的中点,则1A BEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，11B FC ∠是1B F 与平面11CDD C 所成的角，11111B C tan B FC FC ∠=，设HI 的中点为J ,则当F 与J 重合时1FC 最小，此时1B F 与平面11CDD C=，故答案为.【点睛】本题主要考查面面平行、线面平行的判断与性质以及线面角的求解方法，属于难题. 根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程.14. 已知曲线()2f x x =与()lng x a x =+有公共切线，则实数a 的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到2221ln 104a x x ++-=,构造函数()21ln 4h x x x =+，转化为存在性问题，最终求最值即可.【详解】设曲线()2f x x =与()lng x a x =+的切点分别为()211,x x ，()22,ln x a x +，因为()2f x x '=，()1g x x '=，则两切线斜率112k x =，221k x =，所以()21112y x x x x -=-，()()2221ln y a x x x x -+=-，所以1221212ln 10x x x a x ⎧=⎪⎨⎪++-=⎩，所以2221ln 104a x x ++-=，即22211ln 4a x x -=+，令()21ln 4h x x x =+，则()23212x h x x-'=，当0x <<()0h x '<，()h x 单调递减；当x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()12h x h ≥=+，即11ln 2a -≥+，即1ln ln 2a ≤-=故答案为：ln .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos sin C c B =．（1）求角C 的大小（2）若c =ABC V 的面积为ABC V 的周长．【答案】（1）3C π=（2）10+【解析】【分析】(1)将已知关系式化边为角，可得C 的正切，进而可求角C ；(2)由三角形面积公式及角C 可得ab ，进而由余弦定理整体得a b +的值解决问题.【小问1详解】cos sin sin B C C B =,()0,B π∈ , sin 0B ∴≠, sin tan cos C C C ∴==,()0,C π∈ , 3C π∴=.【小问2详解】由三角形面积可知：11sin sin 223S ab C ab π====24ab ∴=，由余弦定理可知：()()222222248281cos 22482a b ab c a b a b c C ab ab +--+--+-====,解得：10a b +=，所以三角形ABC 的周长为：10a b c ++=+.16. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n 年(*)n ∈N 花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元.（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】（1）3年 （2）方案①较为合算【解析】【分析】（1）由22549(5)0n n n --+≥，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，22549(5)4920(6n n n n n n--+=-+≤.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n =时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.【小问1详解】由题意可得22549(5)0n n n --+≥，即220490n n -+≤，解得1010n -≤≤，3n ∴≥，∴该车运输3年开始盈利.；【小问2详解】该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤，当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25749(4935)1759⨯--++=（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，∴方案①较为合算.17. 已知向量(cos ,1)=- a x ，3(sin ,4b x = ，函数()2()f x a b a =+⋅ .（1）若//a b r r ，求5πtan(4x +；（2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求函数()f x 的值域.（3）若将()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π4个单位长度，可得到()g x 的图象，求1()2g x >的解集.【答案】（1）17（2）1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （3）3π3π(2π,2π44k k -+，k ∈Z 【解析】【分析】（1）根据两向量平行的坐标表示可求得3tan 4x =-，再根据诱导公式化简即可；（2）根据题意先求出()f x 的解析式，再根据定义域求出值域即可；（3）先进行图形变换，再根据不等式求解集.【小问1详解】因为(cos ,1)=- a x ，3(sin ,)4b x = ，//a b r r ，则3cos sin 4x x =-，显然cos 0x ≠，所以3tan 4x =-，则π3tan tan 15ππ144tan(tan()π34471tan tan 1()44x x x x +-++=+===---；【小问2详解】1(cos sin ,4a b x x +=+- ，211()2()2(cos sin ,)(cos ,1)2cos 2sin cos 42f x a b a x x x x x x =+⋅=+-⋅-=++3π3sin 2cos 2242x x x =++=++，当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ3π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦π3134222x ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1322⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；【小问3详解】由（2）知π3())42f x x =++，结合题意，得π33()222g x x x =++=+，1()2g x >3122x +>，即cos x >，所以3π3π2π2π44k x k -<<+，k ∈Z ，即1()2g x >的解集为3π3π(2π,2π)44k k -+，k ∈Z .18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C ⊥底面ABC ，且AB AC =，11A B A C =．（1）证明：1AA ⊥平面ABC ；（2）若12AA BC ==，90BAC ∠=︒，求平面1A BC 与平面11A BC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得⊥BC 平面1A MA ，进而由11A A B B 得1B B BC ^，再证明1B B ⊥平面ABC 即可得证.（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于1A B 的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可.【小问1详解】取BC 的中点M ，连结MA 、1MA ．因为AB AC =，11A B A C =，所以BC AM ⊥，1BC A M ⊥，由于AM ，1A M ⊂平面1A MA ，且1AM A M M ⋂=，因此⊥BC 平面1A MA ，因为1A A ⊂平面1A MA ，所以1BC A A ⊥，又因为11A A B B ，所以1B B BC ^，因为平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，且1B B ⊂平面11BB C C ，所以1B B ⊥平面ABC ，因为11A A B B ，所以1AA ⊥平面ABC.【小问2详解】法一：因为90BAC ∠=︒，且2BC =，所以AB AC ==以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()10,0,2A ，)B ，()C ，()12C ．所以)12A B =- ，()12A C =- ，()11A C = ．设平面1A BC 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，则11·0·0m A B m A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得11112020z z -=-=，令11z =，则)m = ，设平面11A BC 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2)，则11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得222200z -==，令21z =，则)n = ，设平面1A BC 与平面11A BC 夹角为θ，则cos m n m n θ⋅=== ，所以平面1A BC 与平面11A BC 夹角法二：将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ABDC A B D C -．连接1C D ，过点C 作1CP C D ⊥，垂足为P ，再过P 作1PQ A B ⊥，垂足为Q ，连接CQ ，因为BD ⊥平面11CDD C ，且CP ⊂平面11CDD C ，所以BD CP ⊥，又因为1CP C D ⊥，由于BD ，1C D ⊂平面11A BDC ，且1BD C D D = ，所以⊥CP 平面11A BDC ，则CPQ 为直角三角形，由于1A B ⊂平面11A BDC ，所以1A B CP ⊥，因为CP ，PQ ⊂平面CPQ ，且CP PQ P = ，所以1A B ⊥平面CPQ ，因为CQ ⊂平面CPQ ，所以1CQ A B ⊥，则∠CQP 为平面1A BC 与平面11A BC 的夹角或补角，在1A BC中，由等面积法可得CQ =,的因为11PQ A C ==，所以cos PQ CQP CQ ∠==，因此平面1A BC 与平面11A BC19. 已知函数()()()2ln 2,ln 1,f x x a x a x g x x x x a a =+-+=--+∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()g x 有两个零点，求a 的取值范围；（3）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()0,1（3）,0]∞-（【解析】【分析】（1）函数求导，根据参数a 进行分类，讨论函数的单调性即得；（2）将函数()g x 有两个零点，转化为()ln h x x x x =-与1y a =-有两个交点问题，利用导数研究并作出函数()h x 的图象，即得a 的取值范围；（3）由原不等式恒成立转化为1ln 0a x x a x ---+≥恒成立，设()1ln a x x x a xϕ=---+，就参数a 分类讨论，找到使()0x ϕ≥恒成立时情况，即得a 的取值范围.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()()2221222x a x a x x a a f x x a x x x-++--=+-+='=．当0a ≤时，()0,1x ∈时，()()01,f x x ∞'<∈+；时，()0f x '>；当2a =时，()0,x ∞∈+时，()0f x '≥；当02a <<时，,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时()0f x '>；的当2a >时，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<；()0,1,2a x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时()0f x '>；综上，0a ≤时，()f x 的递减区间是()0,1，递增区间是()1,∞+；2a =时，()f x 的递增区间是()0,∞+，无递减区间；02a <<时，()f x 的递增区间是0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,∞+，递减区间是,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；2a >时，()f x 的递增区间是()0,1和,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，递减区间是1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】令()0g x =得ln 1x x x a -=-，设()ln h x x x x =-，则()ln h x x '=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<在()0,1上递减；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '>在()1,∞+上递增，则()()min 11,h x h ==-.又因0x +→时，()0,h x x ∞-→→+时，(),h x ∞→+作出函数()ln h x x x x =-的图象，由图可得，要使直线1y a =-与函数()h x 的图象有两个交点，须使110a -<-<，即01a <<，故a 的取值范围是()0,1.【小问3详解】由()()1ln f x g x a x +≥+得2ln 0x x x x ax a ---+≥，因1x ≥，即得，1ln 0a x x a x ---+≥（*），易得1x =时，不等式成立，设()1ln a x x x a xϕ=---+，1x >，则22221(1)()1a x x a x x a x x x x xϕ----'=--==，当0a ≤时，()0x ϕ'>，函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0x ϕϕ>=，（*）恒成立；当0a >时，设2()p x x x a =--，则方程20x x a --=有两根12,x x ，12121,0x x x x a +==-<，可得120,1,x x <>当21x x <<时，()0p x <，则()0x ϕ'<，()ϕx 在2(1,)x 上单调递减；又()10ϕ=，所以当21x x <<时，()0x ϕ<，不满足条件，综上，a 的取值范围是,0]∞-（.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立.。

一、单选题1．函数在点处的切线方程是（ ）()xf x e =()()0,0f A ． B ． C ． D ．y x =1y x =-1y x =+2y x =【答案】C【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出的值，利用直线方程的斜0x =(0)f 截式得答案．【详解】解：由，得， ()x f x e =()x f x e '=则， 0(0)1f e '==又，(0)1f =函数在点，处的切线方程是．∴()x f x e =(0(0))f 1y x =+故选：．C2．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为（ ）12nx ⎫⎪⎭n A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【分析】根据题中条件得出二项展开式的总项数，再求解n 的值即可.【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13， 即，解得， 113n +=12n =故答案为：12.3．从4名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名男生和1名女生的选法共有（ ） A ．16种 B ．20种 C ．24种 D ．36种【答案】A【分析】分为1名男生，2名女生和2名男生，1名女生两种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.【详解】3名志愿者为1名男生，2名女生时，选法的种数为；2142C C 4=3名志愿者为2名男生，1名女生时，选法的种数为.2142C C 12=所以，根据分类加法计数原理可知，至少有1名男生和1名女生的选法共有种. 41216+=故选：A.4．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是M N3”，则等于（ ） ()P N M A ． B ．C ．D ．23591213【答案】B【分析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事()()()n NM P N M n M =M MN 件的个数，代入求解.【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，M ()1,1()1,3()1,5()3,1()3,3()3,5，，，，故；为“至少有一次点数是3”，则事件为，，()5,1()5,3()5,5()9n M =N MN ()1,3()3,1，， ，故，所以. ()3,3()3,5()5,3()5n MN =()59P NM =故选：B.5．若，则（ ）1021001210(2)(3)(3)(3)x a a x a x a x +=+++++++ 7a =A ．45 B ．120 C ． D ．10-120-【答案】D【分析】将展开，即可得出展开式中含有的系数，计算即可得出答()()1010213x x +=-++⎡⎤⎣⎦7(3)x +案.【详解】，()()1010213x x +=-++⎡⎤⎣⎦()()()()()10091100110101010C 13C 13C 3x x x =⋅-⋅++⋅-⋅+++⋅+L 展开式中含有的系数为7(3)x +.()373710101098C 1C 120321a ⨯⨯=⋅-=-=-=-⨯⨯故选：D.6．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ） A ．4种 B ．6种C ．10种D ．16种【答案】C【分析】分两类：甲第一次踢给乙时，和甲第一次踢给丙时，分别求得传递方式的种数再由分类加法计数原理计算可得选项. 【详解】甲_ _ _ _甲（1）中间无甲，则有：甲乙丙乙丙甲，甲丙乙丙乙甲，共2种；（2）甲在第三个，则有：甲乙甲乙丙甲，甲乙甲丙乙甲，甲丙甲乙丙甲，甲丙甲丙乙甲，共4种；（3）甲在第四个，则有：甲乙丙甲乙甲，甲丙乙甲乙甲，甲乙丙甲丙甲，甲丙乙甲丙甲，共4种. 综上，共10种. 故选：C.7．若在x=1处取得极大值10，则的值为（ ） 322()7f x x ax bx a a =++--baA ．或B ．或C ．D ．32-12-32-1232-12-【答案】C【分析】由于，依题意知，，，2'()32f x x ax b =++'(1)320f a b =++=2(1)1710f a b a a =++--=于是有，代入f （1）=10即可求得，从而可得答案． 32b a =--,a b 【详解】∵，∴， 322()7f x x ax bx a a =++--2'()32f x x ax b =++又在x=1处取得极大值10， 322()7f x x ax bx a a =++--∴，， '(1)320f a b =++=2(1)1710f a b a a =++--=∴，28120a a ++=∴或．2,1a b =-=6,9a b =-=当时，， 2,1a b =-=3'()341(31)(1)f x x x x x =-+=--当＜x ＜1时，，当x ＞1时，， 13'()0f x <'()0f x >∴f （x ）在x=1处取得极小值，与题意不符；当时，， 6,9a b =-=2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--当x ＜1时，，当＜x ＜3时，， '()0f x >'()0f x <∴f （x ）在x=1处取得极大值，符合题意；则， 9362b a =-=--故选C ．【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得，利用，f （1）2'()32f x x ax b =++'(1)0f ==10求得是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．,a b 8．设函数，的导数为，且，，则不等式成立的是()y f x =x ∈R ()f x '()()=f x f x -()()f x f x '>（ ）A ．B ． 12(0)e (1)e (2)f f f -<<12e (1)(0)e (2)f f f -<<C ．D ．21e (2)(0)e (1)f f f -<<21e (2)e (1)(0)f f f -<<【答案】C【分析】构造函数，求出，根据已知得出为R 上的()()e xg x f x -⋅=()()()e x g x f x f x -''=-⎡⎤⎣⎦()g x 增函数，则.代入结合，即可得出答案.()()()201g g g -<<()()=f x f x -【详解】构造辅助函数，令，()()e xg x f x -⋅=则.()()()()()e e e x x xg x f x f x f x f x ---'''=-⋅+⋅=-⎡⎤⎣⎦因为，所以，所以，()()f x f x '>()()0f x f x '->()0g x '>所以函数为R 上的增函数，()()e xg x f x -⋅=则.()()()201g g g -<<又，，.()()()00e 00g f f ==()()11e 1g f -=()()22e 2g f -=-又，所以，所以，()()f x f x -=()()22f f -=()()22e 2g f -=所以.()()()21e 20e 1f f f -<<故选：C.二、多选题 9．直线可作为函数的图像的切线，则的解析式可以是（ ） 1ey x b =+()y f x =()f x A ． B ．()1f x x=()ln f x x =C ． D ．()sin f x x =()e xf x =【答案】BCD【分析】求出的导函数，根据已知只需有解即可. ()f x ()1ef x '=【详解】对于A 项，的定义域为，且，()1f x x={}|0x x ≠()210f x x '=-<此时无解，故A 错误； ()1ef x '=对于B 项，定义域为，则， ()ln f x x =()0,∞+()10f x x'=>显然在上有解，故B 正确； ()11ef x x '==()0,∞+对于C 项，定义域为R ，且，()sin f x x =()cos f x x '=因为，所以在R 上有解，故C 正确；1cos 1x -≤≤()1cos ef x x '==对于D 项，定义域为R ，，()e xf x =()e >0x f x '=显然在R 上有解，故D 正确.()1e exf x '==故选：BCD.10．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．展开式共有6项B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中的常数项是240-D ．展开式中的奇数项的二项式系数之和为32 【答案】BD【分析】根据二项式展开式的项数判断A ；根据二项式系数和性质可判断B ，D ；根据二项式通项公式求得常数项判断C.【详解】因为二项式的次数为6，所以展开式共有7项，故A 错误； 令，则展开式中各项系数之和为1，故B 正确；1x =的通项为， 6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭66636621C 6(2)(1)2C ,0,1,2,,rr r r r r rr x x x ---⎛⎫⋅-=-⋅ ⎪=⎝⎭令，得，故展开式中的常数项为，故C 错误； 630r -=2r =()242612C 240-=展开式中奇数项的的二项式系数之和为，故D 正确.612322⨯=故选：BD11．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌甲乙其他市场占有率 50% 30% 20% 优质率80% 90% 70%在该市场中任意买一部智能手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌､其他1A 2A 3A 品牌，B 表示买到的是优质品，则（ ）A ．B ．C ．D ．()230%P A =()370%P BA =()180%P B A =()81%P B =【答案】ACD【分析】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断即可. 【详解】因为乙品牌市场占有率为30%，所以，因此选项A 正确； ()230%P A =因为，所以选项B 不正确； ()333()()20%70%14%P BA P A P B A ==⨯=因为，所以选项C 正确；因为()180%P B A =()112233()()()()()()50%80%30%90%20%70%81%,P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=所以选项D 正确， 故选：ACD12．已知函数，下列说法正确的有（ ） ()ln 2cos f x x x =+A ．函数是周期函数 ()f x B ．函数有三个零点 ()f x C ．函数有无数个极值点()f x D ．函数在上不是单调函数()f x ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】根据周期函数的定义判断A ，构造新函数，由函数图象交点判断B ，求出导函数，()f x '利用的零点个数判断C ，由零点存在定理判断在上有无零点，从而判断D ．()f x '()f x 'π(,π)2【详解】因为不是周期函数，则不是周期函数，A 错误；ln y x =()f x 作出与的图象，由图可知，与的图象有三个交点，B 正确；ln y x =-2cos y x =ln y x =-2cos y x=，作出与的图象，由图可知，有无数个交点，即有无数个极()12sin f x x x'=-1y x =2sin y x =()f x 值点，C 正确；因为，，所以在有零点，不是单调函数，D 正()1sin f x x x '=-()ππ02f f ⎛⎫''< ⎪⎝⎭()f x 'π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 确；故选：BCD ．三、填空题13．一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为s t ()21s t at =+2t =8，则实数的值为________. a 【答案】2【分析】根据导数的定义可推得，根据导数的意义，即可得出答案.()24s a '=【详解】根据导数的定义可得，()()()0222lim t s t s s t ∆→+∆-'=∆()202141lim t a t a t∆→+∆+--=∆， ()204lim t a t a t t ∆→∆+∆=∆()0lim 44t a a t a∆→=+∆=根据导数的意义，可知，所以. 48a =2a =故答案为：2.14．设，且，若能被13整除，则的值可以为________. a ∈N 026a ≤<202351a +a 【答案】1或14【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除第2024项外，其他项均能被13()2023202351521=-1-整除，即可得出能被13整除.进而只需满足能被13整除，即可根据的取值范围得出2023511+1a -a 答案.【详解】()2023202351521=-该二项式展开式通项为，， ()202312023C 521rrr r T -+=⋅⨯-0,1,2,,2023r =L 显然，当时，能被13整除， 02022r ≤≤()202312023C 521rr rr T -+=⋅⨯-但是时，不能被13整除， 2023r =20241T =-所以能被13整除.2023511+要使能被13整除，则应满足能被13整除. 202351a +1a -因为，所以， 026a ≤<1125a -≤-<所以或，所以或. 10a -=113a -=1a =14a =故答案为：1或14.15．甲罐中有4个红球，4个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则B 的值为________.()P B 【答案】/ 250.4【分析】根据全概率公式以及条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件, 1A 2A 3A 则()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++ 454424101110111011=⨯+⨯+⨯， 25=故答案为：2516．已知对，不等式恒成立，则的最大值是________.()0,x ∀∈+∞ln 1n x m x+≥-mn 【答案】e 【分析】由不等式恒成立，求得，故，只需求ln 1nx m x +≥-2ln m n ≤+2ln m n n n+≤()2ln n G n n +=的最大值即可.【详解】下面证明当时不成立：当时，原不等式变形为，，0n <0n <ln 1nx m x ≥--0x >若，则，而当时，原不等式不成立； 10m -≥10nm x-->()0,1x ∈ln 0x <若，当时，，取，则，，10m -<0,1n x m -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭10n m x -->01min ,21n x m -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭0ln 0x <010n m x --≥原不等式不成立，故当时不成立，所以. 0n <0n >不等式可化为， ln 1nx m x +≥-ln 10n x m x+-+≥令，则，()ln 1n F x x m x=+-+()221n x nF x x x x -'=-=当时，单调递减，()0,x n ∈()0F x '<()F x 当时，单调递增， ()x n ∈+∞，()0F x '>()F x 所以当时，，即， x n =()min ln 2F x n m =+-()ln 202ln 0n m m n n +-≥⇒≤+>所以， 2ln m nn n+≤令，则令可得，()2ln n G n n +=()21ln 0n G n n -'-==1e n =当时，单调递增，10,e n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0G n '>()G n 当时，单调递减， 1e n ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，()0G n '<()G n 故，即， ()max 21e1eG n -==2ln e m n n n+≤≤故答案为：e 【点睛】关键点点睛：解答本题的思路是将不等式可化为，然后再ln 1nx m x +≥-ln 10n x m x+-+≥，构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为()ln 1n F x x m x =+-+()ln 1nF x x m x=+-+，即，然后求出目标函数的最大值为，即，ln 2n m +-ln 20n m +-≥()2ln nG n n +=e 2ln e m n n n+≤≤所以求出的最大值是． mne四、解答题17．盒子内有3个不同的黑球，4个不同的白球.(1)全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？ (2)从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？(3)若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】(1)1440 (2)7(3)21【分析】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空即可得出结果；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球.【详解】（1）首先4个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则共有种；4345A A 1440=（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有2类：2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有种；24333434C C C C 7+=（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有种.142332343434C C C C C C 21++=18．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.()*3,nn n ≥∈N (1)求的值；n (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1)7 (2)； 23214T x =17764T x -=【分析】（1）根据条件求接建立等式，再利用组合数公式即可求出结果；132C C 2C n n n +=（2）利用二项展开式的通项公式，通过的取值即可得到结果.r 【详解】（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，所以，得到，整理得，即132C C 2C n n n +=(1)(2)(1)23221n n n n n n ---+=⨯⨯⨯29140n n -+=，()()270n n --=又因为，，所以的值为7.3n ≥*n ∈N n（2）当时，展开式的第项为，7n =71r +141737741C (1)C 2rrr rr r r r T x -+-⎛==-⋅⋅ ⎝其中，，07r ≤≤r ∈N 当，即，时，得到展开式中的有理项， 1434r -∈Z 2r =6当时，，当时，，所以展开式中所有的有理项为，2r =23214T x =6r =17764T x -=23214T x =. 17764T x -=19．甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至A B C 少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率.A A 【答案】(1)36(2) 16(3)12【分析】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，再进行全排列即可；（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校共有办法，再除以安排方法的总数可得概率； 1232C A （3）先求出甲志愿者被安排到学校支教的方法数，在其中找到学校有两位志愿者的方法数，A A 求其概率即可.【详解】（1）先把甲、乙、丙、丁 4人被分成2,1,1三组，先选2人为一组，其余2人各自一组，则有种办法，再进行3个的全排列即可， 根据分步乘法计数原理24C 则共有种方法. 2343C A 36=（2）甲乙志愿者被同时安排到同一个学校，共有种方法，其余两人有种方法，13C 22A 则以上共有种办法， 1232C A 6=由（1）知甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到，，三所山区学校参加支教总共有36种方A B C 法.则所求概率为. 1232C A 1366=（3）甲志愿者被安排到学校支教，若学校只有一个人，则需要把剩余3人分成两组，两组人A A 员再分配到两所学校，则有种安排方法；2232C A 6=若学校有两个人，则需要从剩余3人选出1人去学校，另外2人去剩余的两所学校，共有A A 种安排方法.1232C A 6=甲志愿者被安排到学校支教的方法数，A 6612+=在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两位志愿者的概率为. A A 61=12220．已知函数， ()1ln x f x x +=(1)设，若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； 0a >1,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1x ≥()21k k f x x +≥+k 【答案】(1) 213a <<(2)21k -≤≤【分析】（1）利用导数求得函数的极值点，根据题意列出不等式，即得答案；（2）将，变为，由此构造函数，利用导数求出其最值，结合()21k k f x x +≥+()()211ln x x k k x ++≥+解不等式，即可求得答案.【详解】（1）∵，则，， ()1ln x f x x+=()2ln x f x x '=-0x >当时，，当时，.01x <<()0f x ¢>1x >()0f x '<∴在上单调递增，在上递减,()f x ()0,1()1,+∞∴函数在处取得极大值,()f x 1x =因为函数在区间上不单调， ()f x 1,3a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以函数在存在极值， ()f x ()1,03a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭∴，解得. 113a a <<+213a <<（2）时，不等式，即为， 1x ≥()21k k f x x +≥+()()211ln x x k k x ++≥+记，∴， ()()()11ln x g x x x++=()2ln x x g x x -'=令，则， ()ln h x x x =-()11h x x'=-∵，∴.∴在上单调递增，1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞∴，，∴在上递增，()()110h x h ≥=>()0g x '>()g x [)1,+∞所以在上的最小值为,()g x [)1,+∞()12g =∴，解得.22k k +≤21k -≤≤【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 21．某生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中长为，，两点在半圆弧上，满足，设为圆心，.若在和AB 2km C D BC CD =O COB θ∠=AOD △内种满向日葵，在扇形内种满薰衣草，已知向日葵利润是每平方千米元，薰衣草的BOC A COD 2a 利润是每平方千米元. a(1)试用表示总利润；θW (2)试确定的值，使得总利润最大？θ【答案】(1)， 1(2sin 2sin 2)2W a θθθ=++π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2) π3θ=【分析】（1）由已知可求得，.进而根据三角形以及扇形的面积COD COB θ∠=∠=π2DOA θ∠=-公式，即可得出答案；（2）令，根据导函数得出函数的单调性，进而求出函数的极值以及最()2sin 2sin 2f θθθθ=++值，即可得出答案.【详解】（1）由已知，所以，所以，所以. BC CD =COD COB θ∠=∠=π2DOA θ∠=-π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又扇形的半径， 112r AB ==所以，，，， 211sin sin 22BOC S r θθ==A 211sin(π2)sin 222AOD S r θθ=-=△21122COD S r θθ==扇形所以总利润，. 11112sin sin 2(2sin 2sin 2)2222W a a a θθθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）令，()2sin 2sin 2f θθθθ=++所以()2cos 4cos 21f θθθ'=++()242cos 12cos 1θθ=⨯-++，28cos 2cos 3(4cos 3)(2cos 1)θθθθ=+-=+-因为，所以， π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0θ>所以由得，，所以. ()0f θ'=1cos 2θ=π3θ=当时，，所以在上单调递增； π03θ<<()(4cos 3)(2cos 1)0f θθθ'=+->()f θπ0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，所以在上单调递减. ππ32θ<<()(4cos 3)(2cos 1)0f θθθ'=+-<()f θππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，在处取得极大值，也是最大值. ()f θπ3θ=ππ2πππ2sin 2sin 33333f ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭所以，当时，总利润最大，最大值为. π3θ=1ππ236W af a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭22．已知函数. ()21ln 22f x m x x x =+-(1)若函数在定义域内单调递增，求实数的范围；()f x m (2)若实数，求的单调递增区间；1m <()f x (3)若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.()f x ()1212,x x x x <()120f x ax -≥a 【答案】(1)m 1≥(2)答案见解析(3) 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据函数在定义域内单调递增，则其导数在恒成立，解不()f x ()0f x '≥()0,x ∈+∞等式可得答案.（2）求出的根，讨论m 的取值范围，结合不等式的解集，即可求得答案.()0f x '=（3）由题意可得，进而参变分离，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数的单()112m x x =-调性或最值问题，利用导数即可求解.【详解】（1）的定义域为，求导得， ()f x ()0,∞+22()2m x x m f x x x x '-+=+-=函数在定义域内单调递增，故在恒成立，()f x ()0f x '≥()0,x ∈+∞所以恒成立，则，即.220x x m -+≥440m -≤m 1≥（2）令，得，，()0f x '=220x x m -+=()4441m m ∆=-=-若时，，方程的两根为1m <0∆>220x x m -+=11x =21x =当时，，，则时，，故在单调递增； 0m ≤10x <20x >()2,x x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,x +∞当时，，则或时，，01m <<120x x <<()10,x x ∈()2,x x ∈+∞()0f x ¢>故在和上单调递增，()f x ()10,x ()2,x +∞综上，当时，的单调递增区间为；0m ≤()f x ()1++∞当时，的单调递增区间为，.01m <<()f x (0,1()1+∞（3）由上可知有两个极值点时，等价于方程有两个不等正根， ()f x ()1212,x x x x <220x x m -+=∴，∴，，， ()1212Δ41020m x x x x m ⎧=->⎪+=⎨⎪=>⎩()112m x x =-101x <<212x <<此时不等式恒成立，()120f x ax -≥等价于对恒成立， ()()211111112l 2202n x x x x x x a -+---≥()10,1x ∈可化为恒成立， ()2111111111112ln 2122ln 1222x x x x x a x x x x x -+-≤=+----令，， 12()ln 122g x x x x x=+---(0,1)x ∈则， 2221212(4)()1ln ln ln 2(2)2(2)2(2)x x g x x x x x x x '-=+--=+-=+---∵，∴，，∴在恒成立，()0,1x ∈ln 0x <()40x x -<()0g x '<()0,1∴在上单调递减，()g x ()0,1∴， 123()(1)0112212g x g >=+-⨯-=--∴，故实数的取值范围是. 32a ≤-a 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，一般方法是分离参数，然后构造函数，转化为函数的最值问题解决，另外有时当参变量不好分离时也可以尝试变形进而构造恰当的函数，利用导数求解函数单调性或最值加以解决.。

2022-2023学年广西师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知、、，若，则的坐标是（ ）()3,4,5A ()0,2,1B ()0,0,0O 25OC AB =C A ． B ．648,,555⎛⎫--- ⎪⎝⎭648,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．D ．648,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭648,,555⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设点的坐标为，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可C (),,x y z x y z 得出点的坐标.C 【详解】设点坐标为，则， C (),,x y z (),,OC x y z =又，，()3,2,4AB =---2648,,5555OC AB ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以，，，，则点的坐标为.65x =-45y =-85z =-C 648,,555⎛⎫--- ⎪⎝⎭故选：A.2．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ） A ．16 B ．15C ．12D ．8【答案】D【分析】根据分类加法计数原理即得.【详解】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法． 故选：D.3．若点P 到点的距离比它到直线的距离大1，则点P 的轨迹方程为（ ） (0,2)1y =-A ． B ．C ．D ．24y x =24x y =28y x =28x y =【答案】D【分析】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到P (0,2)1y =-P (0,2)直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方=2y -P P 程．【详解】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，P (0,2)1y =-∴点到点的距离等于它到直线的距离，P (0,2)=2y -∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是. P ()0,2=2y -P 28x y =故选：D.4．直线与圆的位置关系是（ ） 0()ax y a a +-=∈R 22(2)4x y -+=A ．相离 B ．相交C ．相切D ．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】由， 0(1)ax y a y a x +-=⇒=--所以直线恒过定点，0ax y a +-=()1,0因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆22(12)04-+<()1,022(2)4x y -+=0ax y a +-=相交. 22(2)4x y -+=故选：B5．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的A BCD -DA DB DC 3DB DC ==4=ADE BC 中点，则等于（ ）AE BC ⋅A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向{},,DA DB DC ,AE BC量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．【详解】以为基底向量，则， {},,DA DB DC 0DA DB DA DC DB DC ⋅=⋅=⋅= ∵，()()()1112,222AE AB AC DB DA DC DA DB DA DC BC DC DB =+=-+-=-+=-则()()122AE BC DB DA DC DC DB⋅=-+⋅- ， 2222111111222222DB DC DB DA DC DA DB DC DC DB DC DB =⋅--⋅+⋅+-⋅=-又∵，即，DB DC =22DC DB =∴．0AE BC ⋅=故选：D ．6．已知则“”是“”的（ ）条件. ()12:120,:240,l x m y l mx y ++-=++=1m =12l l //A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据两直线平行，得到关于的方程，求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判m m 断可得；【详解】解：因为若，则，解得()12:120,:240,l x m y l mx y ++-=++=12l l //11224m m +-=≠2m =-或，当时，直线与直线重合，所以，若时1m =2m =-11224m m +-==1l 2l 1m =1m =11224m m +-=≠，所以“”是“”的充要条件； 1m =12l l //故选：C7．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，直线与双曲线的一条渐近线22221(0,0)x y a b a b-=>>F A x a =的交点为．若，则双曲线的离心率为 B 30BFA ∠=︒A B C ．2D ．3【答案】C【解析】先求解B 的坐标，再由. ||tan ||AB BFA FA ∠==【详解】由题意可得A （a ，0），双曲线的渐近线方程为：ay ±bx ＝0，不妨设B 点为直线x ＝a 与的交点，则B 点的坐标（a ，b ）， by x a=因为AB ⊥FA ，∠BFA ＝30°，所以e ＝2． ||tan ||AB b BFA FA a c ∠====+故选C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：()00,P x y ()222210x y a b a b+=>>P .已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的00221x x y y a b +=22:132x y C +=M 260x y --=M C 两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）MA MB A B ABA ．B ．C ．D ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到()26,M t t +()11,A x y ()22,B x y MA M MA ，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点； ()1126132x t y t++=AB AB 【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的M 260x y --=()26,M t t +()11,A x y ()22,B x y MA 方程为，又在上，所以①，同理可得②； 11132x x y y+=M MA ()1126132x t y t ++=()2226132x t y t ++=由①②可得的方程为，即，即，所AB ()26132x t yt++=()22636x t yt ++=()()431260x y t x ++-=以，解得，故直线恒过定点4301260x y x +=⎧⎨-=⎩1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．在四棱维中，已知⊥底面，底面为正方形，则下列命题中正确的P ABCD -PA ABCD ABCD （ ）A ．平面B ．平面BD ⊥PAC BC ⊥PAD C ．为直线的方向向量 D ．直线的方向向量一定是平面的法向量CDAB BC PAB 【答案】ACD【分析】由条件，根据线面垂直判定定理判断A ，B ，根据方向向量和法向量的定义判断C ，D. 【详解】因为⊥平面，平面，所以，PA ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平ABCD AC BD ⊥AC PA A ⋂=,AC PA ⊂PAC BD ⊥面，A 正确；PAC 因为，平面，平面，所以平面，B 错误；//BC AD AD ⊂PAD BC ⊄PAD //BC PAD 因为，所以为直线的方向向量，C 正确； //CD AB CDAB 因为⊥平面，平面，所以，PA ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平ABCD AB BC ⊥AB PA A = ,AB PA ⊂PAB BC ⊥面，所以直线的方向向量一定是平面的法向量，D 正确； PAB BC PAB 故选：ACD.10．下列命题正确的是（ ）A ．已知，则向量在方向上的投影向量的长度为4 ()()3,4,0,1a b == a bB ．若向量的夹角为钝角，则 ,a b 0a b ⋅<C ．若向量满足，则或,a b 0a b ⋅= 0a = 0b =D ．设是同一平面内两个不共线的向量，若，则可作为该平面的一个21,e e 12122,a e e b e e =+=- ,a b基底【答案】ABD【分析】由投影向量的长度公式计算向量在方向上的投影向量的长度，判断A ，根据数量积的a b性质判断B ，C ，根据基底的定义判断D.【详解】对于选项A ，因为，所以向量在方向上的投影向量的长度为()()3,4,0,1a b == a b ，A 正确；4cos ,41a b a a b b⋅===对于选项B ，因为向量的夹角为钝角，所以，所以 ,a bcos ,0a b < ，B 正确；cos ,0a b a b a b ⋅=⋅<对于选项C ，当时，，但且，C 错误；()()3,0,0,1a b == 0a b ⋅=0a ≠ 0b ≠r r 对于选项D ，假设共线，则，又，所以，因为,a b a b λ=12122,a e e b e e =+=- 12122e e e e λλ+=- 不共线，所以，方程组无解，故假设错误，即不共线，所以可作为该平面的一21,e e 21λλ=⎧⎨=-⎩,a b ,a b 个基底，D 正确； 故选：ABD.11．已知抛物线C ：，过焦点F 的直线交抛物线C 于两点，直线214y x =()()1122,,,A x y B x y AO ，分别于直线m ：相交于两点则下列说法正确的是（ ）BO =2y -,M N .A ．焦点F 的坐标为 ()0,2B ．121y y =C ．的最小值为4FA FB ⋅ D ．与的面积之比为定值 AOB MON △【答案】BCD【分析】A 选项，根据抛物线方程直接求出焦点坐标即可；B 选项设出直线，联立抛物线，根据韦达定理得到；C 选项，根据抛物线的性质得到，进而求出的121y y =121,1FA y FB y =+=+ FA FB ⋅最小值；D 选项，利用三角形面积公式及线段比值求出面积比为定值. 【详解】由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A 错误； 24x y =()0,1显然直线AB 的斜率存在，设斜率为k ，则直线AB 的方程为，1y kx =+联立，消去x 得到，214y kx x y=+⎧⎨=⎩()222410y k y -++=，，，故B 正确；4216160k k ∆=+ (2)1224y y k +=+121y y =由抛物线性质知， 121,1FA y FB y =+=+ 则， ()()()2121212111444FA FB y y y y y y k ⋅=++=+++=+ …当且仅当时，取得最小值为4，故 C 正确；0k =FA FB ⋅显然，（定AOB MON ∠=∠12121||||sin ||||121||||2244||||sin 2AOB MONOA OB AOBS y y y y OA OB S OM ON OM ON MON ∆∆⋅⋅⋅∠⋅===⋅==⋅⋅⋅⋅∠值），故D 正确． 故选：BCD ．12的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右()22122210x y C a b A A a b +=>>：，，12,B B 12,F F 焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）P CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴 D ．四边形的内切圆过左右两个焦点1PF x ⊥1221A B A B 【答案】BD【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，求出相应的离心率，结合“黄金椭圆”的定义判断.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a a b +=++化简得，即有， 220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，因为轴， 由，解得， 1PF x ⊥()22221Pc y a b-+=2P b y a =±无法确定椭圆的离心率，不符合题意，故C 错误；对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ，1221A B A B 1F 2F 1221A B A B则，可得 1122ab =222b a c =-()()2222222a a c c a c -=-即，又，所以 即D 正确. 42310e e -+=01e <<2e =e =故选：BD.三、填空题13．学校食堂在某天中午备有种素菜，种荤菜，种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可532以配制出不同的套餐______种． 【答案】30【分析】利用分步计数原理求解即可【详解】要配成一荤一素一汤的套餐，需要分三个步骤完成： 第一步：从5种素菜中任选1种有5种选法， 第二步：从3种荤菜中任选1种有3种选法， 第三步：从2种汤中任选1种有2种选法， 根据分步计数原理，一共可以配制出 种不同的套餐，53230⨯⨯=故答案为：3014．已知F 为双曲线的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于22:149x y C -=虚轴长的2倍，点在线段PQ 上，则的周长为________． A PQF △【答案】32【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解2a 决．求出周长即可．【详解】解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右22:149x y C -=(F A 焦点，虚轴长为：6； 双曲线图象如图：① ||||24PF AP a -== ②||||24QF QA a -==而， ||12PQ =①＋②得：，||||||8PF QF PQ +-=∴周长为． ||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=故答案为32．【点睛】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐13-l 2222:1x y C a b+=0a b >>A B AB 标为，则椭圆的离心率等于______. ()1,1C【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．()1,1AB 13-C 【详解】解：设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则①，②， 2211221x y a b +=2222221x y a b+=是线段的中点，()1,1 AB ，， ∴121()12x x +=121()12y y +=直线的方程是，AB 1(1)13y x =--+，12121()3y y x x ∴-=--①②两式相减可得：， 222212122211()()0x x y y a b-+-=， ∴121212122211()()()()0x x x x y y y y a b -++-+=， 121222112()2()0x x y y a b∴⨯-+⨯-=， ∴2213b a =， 222213b e a ∴=-=e ∴=. 16．正方体棱长为2，E 是棱的中点，F 是四边形内一点（包含边1111ABCD A B C D -AB 11AA D D 界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为1FE FD ⋅=EF ABCD 1F AEB -__________．【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设，利用数量积的坐标运算表示出(0,,)F m n ,m n 的关系，进而表示出直线与平面所成的角的正切值，求得其取最大值时m 的值，即可求EF ABCD 得三棱锥的体积.1F AEB -【详解】如图，以A 为坐标原点，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，1,,AB AD AA则，设，(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)A E D (0,,),[0,2],[0,2]F m n m n ∈∈则，22(1,,)(0,2,)21FD m n m n m m n FE ⋅=--⋅--=-+=设与平面所成的角为，在平面内作,垂足为P, EF ABCD θ11AA D D FP AD ⊥由于正方体中，平面平面， 1111ABCD A B C D -11AA D D ⊥ABCD 平面平面，平面,11AA D D ⋂ABCD AD =FP ⊂11AA D D 则平面 ，连接,则 ,，FP ⊥ABCD EP π,[0,2FEP θθ∠=∈,FP n EP==所以tanθ====令1,tan t mθ=+∴==由于，当且仅当 222t t-+≥t =即时，最大，此时与平面所成的角最大， 1m =ta nθ=EF ABCD 此时三棱锥的体积为1F AEB -11111)12332AEB m S ⋅=⨯⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识.四、解答题17．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为，过点； ()12,0F 5322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)经过两点． ()2,1A B ⎛- ⎝，【答案】(1)221106x y +=(2)22182x y +=【分析】(1)由条件求出左焦点坐标，结合椭圆的定义求，再由关系求即可；a ,,abc b (2)设椭圆方程为，由条件求即可.()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠,m n 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，a b因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，1F ()2,0()22,0F -224a b -=又椭圆过点，所以， 5322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，122a PF PF =+所以2a =所以，故，所以椭圆的标准方程为；a =b 221106x y +=（2）设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，()2210,0,mx ny mn m n +=>>≠()2,1A B ⎛- ⎝，所以，解得， 413212m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1812m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的标准方程为.22182x y +=18．如图，在四棱锥中，，，底面为矩形.P ABCD -PA BC ⊥PA BD ⊥ABCD(1)证明：平面平面；PAB ⊥PAD (2)若，与所成角的大小. 1==PA AB AD =AB PC 【答案】(1)证明见解析 (2)60°.【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质的得到平面，根据面面垂直的判定证出平面AB ⊥PAD 平面；PAB ⊥PAD （2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角），利用已知条件//AB CD AB PC PCD ∠，则，求出各边长度即可求解. CD PD ⊥tan PDPCD CD∠=【详解】（1）证明：因为，， PA BC ⊥PA BD ⊥且，平面， BC BD B = ,BC BD ⊂ABCD 所以平面，PA ⊥ABCD因为平面，所以， AB ⊂ABCD PA AB ⊥又底面为矩形，所以， ABCD AD AB ⊥因为，平面， PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 所以平面， AB ⊥PAD 又平面， AB ⊂PAB 所以平面平面.PAB ⊥PAD （2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）. //AB CD AB PC PCD ∠由（1）知，平面，因为，所以平面， AB ⊥PAD //AB CD CD ⊥PAD 因为平面，所以，从而， PD ⊂PAD CD PD ⊥tan PDPCD CD∠=因为平面，所以，所以. PA ⊥ABCD PA AD ⊥PD ==故与所成的角为60°.tan PCD ∠=AB PC 19．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知P 射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游AB AC 120︒AB AC客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得M N P M N PM PN AM =.AN =（1）求线段的长度；MN （2）若，求两条观光线路与之和的最大值. 60MPN ∠=︒PM PN 【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．【分析】（1）用余弦定理，即可求出；AM AN =0120MAN ∠=MN（2）设，，用正弦定理求出，PMN α∠=120PNM α∠=︒-()120PM α=︒-PN α=，展开，结合辅助角公式可化为，由的取()120PM PN αα+=︒-+()6sin 30α+︒α值范围，即可求解．【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，AMN ∆，，22212cos12033292MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅︒=+--= ⎪⎝⎭3MN =所以线段的长度为3千米；MN （2）设，因为，所以， PMN α∠=60MPN ∠=︒120PNM α∠=︒-在中，由正弦定理得，PMN ∆()3sin sin 120sin sin 60MN PM PN MPN αα====∠︒-︒所以，， ()120PM α=︒-PN α=因此()120PM PN αα+=︒-+1sin 2ααα⎫=++⎪⎪⎭，()3cos 6sin 30ααα=+=+︒因为，所以.0120α︒<<︒3030150α︒<+︒<︒所以当，即时，取到最大值6. 3090α+︒=︒60α=︒PM PN +所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． PM PN 【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 20．已知直线，点 22l x y +=：()()2,00,1A B --，(1)求线段的中垂线与直线的交点坐标； AB l (2)若点在直线上运动求的最小值．P l PA PB +【答案】(1)111,510⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)先由点斜式求线段的中垂线方程，联立方程组求其与直线的交点坐标； AB l (2)求点关于直线的对称点的坐标，再求的长度即可.A l A 'AB '【详解】（1）因为，所以的中点坐标为，()()2,00,1A B --，AB 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线的方程为，所以线段的中垂线的斜率为2，AB 112y x =--AB 则线段的中垂线方程为，化简得，AB ()1212y x +=+322y x =+联立，解得，32222y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩151110x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以线段的中垂线与直线的交点坐标为；AB l 111,510⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设A 点关于直线对称的点为，22l x y +=：(),A x y '则的中点坐标为，因为点在直线上，故： AA '2,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭22l x y +=：①，又直线的斜率为2，故：②， 222x y -+=AA '22yx =+联立①②解得：，因为，216,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭'PA PBPA PB A B ''+=+≥所以的最小值为PA PB +A B '=21．图是直角梯形，，，，，，，以1ABCD //AB CD 90D ∠= 2AB =3DC=AD =2CE ED =为折痕将折起，使点到达的位置，且.BE BCE C 1C 1AC =2(1)求证：平面平面；1BC E ⊥ABED (2)在棱上是否存在点，使得到平面的1DC P 1C PBE P BE A --大小；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线1,C BE ABE BE G 合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；1C G BE ⊥1C G AG ⊥（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向G (),,P x y z ()101DP DC λλ=≤≤量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果. P λ【详解】（1）在图中取中点，连接，，1CE F BF AE，，，，，2CE ED =3CD =2AB =1CF ∴=1EF =，，，四边形为矩形，，2DF AB == //DF AB 90D ∠= ∴ABFD BF CD ∴⊥，又，为等边三角形；2BE BC ∴===2CE =BCE ∴△又，为等边三角形； 2AE ==ABE ∴ 在图中，取中点，连接，2BE G 1,AG C G为等边三角形，，，1,C BE ABE 1C G BE ∴⊥AG BE ⊥，， 1C G AG ∴==1AC =22211AG C G AC ∴+=1C G AG ∴⊥又，平面，平面，AG BE G = ,AG BE ⊂ABED 1C G ∴⊥ABED 平面，平面平面.1C G ⊂ 1BC E ∴1BC E ⊥ABED （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， G 1,,GA GB GC,,x y z则，，，，，()0,1,0B ()0,1,0E-)A(1C 3,02D ⎫-⎪⎪⎭，，，132DC ⎛∴= ⎝ ()0,2,0EB =(1EC = 设棱上存在点且满足题意，1DC (),,P x y z ()101DP DC λλ=≤≤即，解得：，即，3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩33,22P λ⎫-⎪⎪⎭则，31,22EP λ⎫=+⎪⎪⎭设平面的法向量，PBE (),,n a b c =则，令，则， 3102220EP n a b c EB n b λ⎧⎫⎛⎫⋅=++=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎭⎪⋅==⎩ 2a =01b c λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩，12,0,n λλ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭到平面的距离为，解得：， 1C ∴PBE d 13λ=，()2,0,2n ∴=又平面的一个法向量， ABE ()0,0,1m =cos ,m n m n m n ⋅∴<>===⋅又二面角为锐二面角，二面角的大小为.P BE A --∴P BE A --4π22．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，且经过点xOy C 22221(0,0)x y a b ab -=>>()3,0．()(1)求双曲线的标准方程；C (2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线有且仅有一个公A B C AB l C 共点．当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方P P PAB x 3:2AB 程．【答案】(1)；22163x y -=(2). y =【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩（2）分别将直线以及直线的方程与双曲线联立，表示出点与点的坐标，然后根据题意得AB l B P 到关于的方程组，解方程组即可求出结果.,k m 【详解】（1）因为的右焦点为，且经过点，22221(0,0)x y a ba b-=>>()3,0()所以，解得．22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2263a b ⎧=⎨=⎩故双曲线的标准方程为．C 22163x y -=（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为．AB AB y kx =联立消去，得．22163x x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩y ()221260k x --=由得且， 21200k k ⎧->⎨≠⎩k -<<0k ≠解得．22612x k =-因为与垂直，所以设的方程为． l AB l 1y x m k=-+联立消去，化简得．221631x y y x m k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩y ()()222224230k x kmx k m -+-+=由且，得．k -<<0k ≠220k -≠因为与双曲线有且仅有一个公共点，l 所以，即，Δ0=()()22222168320k m k m k ++-=化简得，且点． ()22232k m k =-2222,22km mk P k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭因为点位于第一象限，所以，． P 0m<0k <<不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为． A B BP x M 因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等， PAB x 3:2PAO PBO 所以与的面积比为，由此可得．POM BOM 1:44PB y y =-因此，即． 2242mk k ⨯=--()22222616122m k kk ⨯=--又因为，所以，解得． ()22232k m k =-223616212k k ⨯=--225k =因为，所以0k <<k =故直线的方程为． AB y =【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.。

山东高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数为虚数单位，则（）A．B．C．D．3.已知都是第一象限角，那么是的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.函数的图像大致是（）A．B．C．D．7.在中，若，则（）A．B．C．D．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．①②③B．①②③C．①②③D．①②③9.已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．10.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知单位向量满足，则与的夹角是__________．2.已知，，则__________．3.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．三、解答题1.的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.2.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.3.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.4.已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.6.已知函数.（1）令函数.若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：.山东高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为集合或，集合，所以，或，所以可得，，故选D.2.已知复数为虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】复数，，故选B.3.已知都是第一象限角，那么是的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当,,所以不是的充分条件,同理,当时,所以不是的必要条件,即是的既不充分又不必要条件,选D.4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】是奇函数又在定义域上单调递增;在定义域上单调递增但是非奇非偶函数;是奇函数但在和上单调递增, 在定义域上不具单调性;是奇函数又在定义域上有增有减,所以选A.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，幂函数在上递增，指数函数在上递增递减，，，即，故选C.6.函数的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是非奇非偶的，故可排除选项，对于选项当趋向于时，趋向于，故可排除选项，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.在中，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，，所以,故选Ｃ．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．①②③B．①②③C．①②③D．①②③【答案】B【解析】程序运行过程中，各变量值如图所示，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，依次类推，第七次循环：，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：？执行框②应填入，③应填入：，故选B.9.已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，又点在函数的图象上，则，由定积分几何意义，围成图形的面积为，故选B.10.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数为奇函数，若，则，又函数在单调递减，，，解得满足的的取值范围是，故选C.11.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为的零点，为图象的对称轴，即，即为正奇数，在，则，即，解得，当时，，，此时在不单调，不满足题意，当时，，，此时在单调，满足题意，故的最大值为，故选D.12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，且，，又，当时，上述两个函数都是关于对称，画出两函数图象，如图，由图象可得两函数图象在区间上有三个交点，所以方程在区间上的实根有个，满足满足，方程在区间上的所有实根之和为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及函数与方程思想，属于难题. 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题1.已知单位向量满足，则与的夹角是__________．【答案】【解析】非零单位向量满足，则，，设与的夹角是的夹角是，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.2.已知，，则__________．【答案】【解析】，解得故答案为：3.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．【答案】【解析】由于函数的周期为，故个周期即，故把函数的图象向右平移个周期，故把函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数的解析式为，故答案为.4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，，当且仅当时，取得最小值；当时，若，则，显然不满足题意，若，要使存在最小值，必有，解得，即，，由，可得，可得，故答案为.三、解答题1.的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，从而可得结果；（2）由为，可得，所以，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知，所以，，所以，解得，又因为，所以.（2）因为，所以，则，所以，因为，则，解得.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.2.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量频数假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据卖出一枝可得利润元,卖不出一枝可得赔本元，以花店一天购进枝玫瑰花为分点即可建立分段函数；（2）根据表格中的数据，讨论需求量得到这天的日利润的平均数，利用天的销售量除以即可得到结论.试题解析：（1）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以.（2）当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以日利润的平均数（元）.3.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得，结合范围，解得，可得的值；（2）由三角形的面积公式可求，利用余弦定理解得的值，即可得解的周长.试题解析：（1）由已知，化简得，因为，解得，因为，所以.（2）由已知，所以，又因为，解得，所以，解得，所以的周长为.4.已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围.【答案】（1）最大值为，最小值为，；（2）.【解析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可将函数解析式化为，利用三角函数的有界性求解函数的最值，令，可得对称轴方程；（2）由，得,所以，则.试题解析：（1）由已知，，因为，所以，则的最大值为，最小值为.令，解得，，（2）因为，所以所以，则.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.【答案】（1）极大值是；（2）无零点.【解析】（1）求出，求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间,根据单调性可得函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性，可证明函数恒成立，即证明在定义域内无零点.试题解析：（1）当时，，当时，，所以，则单调增，当时，，所以，则单调减，所以是的极大值点，极大值是.（2）由已知，当时，，所以，令，令，在上递减，又，在上有唯一的零点，，当时，则，所以在内单调递增；当时，则，所以在内单调递减则.故当时，，故，所以当时，在定义域内无零点.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.6.已知函数.（1）令函数.若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数在上单调递增，等价于恒成立，得，则；（2）函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，可求得，结合韦达定理可得，利用导数研究函数的单调性，证明函数的最小值大于零即可.试题解析：（1）由已知，所以所以当时，恒成立，即…（*）因为，则由（*）得，则.（2）由已知因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令，对称轴为则，解得且则，同理可得.令则因为，所以，又有，所以，则在上单调递增，所以，即，所以.。

山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线的离心率为( )A. B.C.D.2.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.3.已知直线与平行，则( ) A. 1 B.C. 0D. 1或4.已知，，，则点A 到直线BC 的距离为( )A. B.C.D.5.若圆与圆恰有2条公切线，则m 的取值范围为( )A.B. C.D.6.如图，平面平面ABCD ，是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，且，E 是CD的中点，F 是AD 上一点，当时，( )A. 3B.C.D. 27.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为( )A.B.C.D.8.如图，把椭圆的长轴AB 分成6等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点，，，，，F 是椭圆C 的右焦点，则( )A. 20B.C. 36D. 30二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知曲线C的方程为，则( )A. 曲线C可以表示圆B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线10.直线与圆的交点个数可能为( )A. 0B. 1C. 2D. 311.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O 为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则PB平分D. 若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，l交正方体的表面于M，N两点，下列说法不正确的是( )A. 平面B. 四边形面积的最大值为C.若四边形的面积为，则D. 若，则四棱锥的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.42.设1i z =-，则2i z +=（）A.1B.iC.i -D.1-3.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54-C.108D.108-4.已知a =，3log b =2log c =）A .b a c<< B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<< 5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10C.2D.106.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A.512 B.12C.712D.567.已知数列{}n a 是正项数列，()2*3n n n +=+∈N ，则9122310a a a++⋅⋅⋅+=（）A.216B.260C.290D.3168.已知函数222,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.(0,)+∞ C.1,24⎛⎤-⎥⎝⎦D.(]0,2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =，且4ABC S =△，则（）A.ABC V 外接圆的半径为3B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为334C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为4D.若O 为ABC V 的外心，则()5AO AB AC ⋅+=10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A .//EF 平面11AA B BB.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为255C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是5D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为211.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）A.直线AB 与抛物线C 相切B.6OP OQ ⋅= C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF = D.存在直线l ，使得||||2||PF QF BF +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=___________.13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____14.已知函数()2sin e exxf x x -=-+，则关于x 的不等式()()2430f x f x -+<的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为14，击中内环的概率为14，击中外环的概率为12，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.18.如图，曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a ．（1）求12,a a 的值；（2）求出的通项公式；（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为62，右顶点为)E .,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E.（1）求C 的方程；（2）证明：直线AB 恒过定点；（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBEMBES S 的值.2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得13a =或0a =或3a =，当13a =时，11,9,9A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}9,1B =符合题意；当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。

2022-2023学年河北省承德市双滦区高二下学期期中数学试题一、单选题1．二项式()1032x -的展开式中第5项的系数为（）A ．410C B ．510C C ．()446103C 2⋅-D ．()55510C 32-【答案】C【分析】根据题意写出二项式()1032x -的展开式的通项，令4k =即可求出第5项的系数.【详解】根据题意，二项式()1032x -的展开式的通项为：()()10110C 32kkkk T x -+=-，当4k =时，二项式()1032x -的展开式中第5项的系数为：()446103C 2⋅-，故选：C.2．盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）A ．35B ．110C ．49D ．25【答案】C【分析】根据条件概率求解公式即可得解.【详解】设第一次摸出新球为事件A ，第二次取到新球为事件B.则()51102P A ==，()5141019P B -==-，则()()()14429192P A B P B A P A ⨯⋅===，故选：C.【点睛】本题考查了条件概率公式的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于46781015C C C 的是（）A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)【答案】C【解析】根据超几何分布列式求解即可．【详解】X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝10781015k k C C C -，故k ＝4，故选：C.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若3()3(2)ln 2f x xf x x '=++，则(2)f '=（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】A【分析】求出函数的导函数，再令2x =计算可得.【详解】因为3()3(2)ln 2f x xf x x '=++，所以13()3(2)2f x f x ''=++，所以()()1323222f f ''=++，解得()21f '=-.故选：A 5．已知ln 22a =，1e b =，2ln 39c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.【详解】因为ln 2ln 424a ==，1ln e e e b ==，ln 99c =，所以构造函数ln ()xf x x =，因为21ln ()xf x x -'=，由21ln ()0x f x x -'=>有：0e x <<，由21ln ()0x f x x -'=<有：e x >，所以ln ()xf x x=在()e,+∞上单调递减，因为()ln 2ln 4424a f ===，()1ln e e e e b f ===，()ln 999c f ==,因为94e >>，所以b a c >>，故A ，B ，D 错误.故选：C.6．若多项式()()()910210019101...11x x a a x a x a x +=+++++++，则9a =（）A ．9B ．10C ．-9D ．-10【答案】D【解析】利用二项式定理的系数，先求10x 的系数，再由99991010a C a C ⋅+⋅，可求9x 的系数，即可得答案．【详解】多项式()()()910210019101...11x x a a x a x a x +=+++++++，等号右侧只有最后一项()10101a x +的展开式中含有10x ，并且10x 的系数为10a ，等号左侧10x 的系数是1，∴101a =;又9x 的系数在右侧后两项中，9x 的系数为99991010a C a C ⋅+⋅，左侧9x 的系数是0，∴9100a +=，∴910a =-.故选：D ．【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，搞清各项系数是解决本题关键，属于中档题．7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根极值与导函数的关系确定()f x '在2x =-附近的正负，得()xf x '的正负，从而确定正确选项．【详解】由题意可得()20f '-=，而且当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，此时()0xf x '>，排除B 、D ；当()2,0x ∈-时，()0f x ¢>，此时，()0xf x '<，若()0,x ∈+∞，()0xf x '>，所以函数()y xf x '=的图象可能是C ．故选：C8．已知函数122,2()66,2x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩且()()g x f x a =-，若函数()g x 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为A ．(1,2)B ．(1,3)C ．[1,2]D ．[1,3]【答案】B【分析】函数()()g x f x a =-有3个不同的零点，即函数()f x 的图象与直线y a =有三个交点，画出函数()f x 的图象，根据数形结合可得出答案.【详解】函数122,2()66,2x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩当2x ≤时，()12x f x -=其图象可以看成是由2x y =的图象向右平移1个单位得到的.画出函数()f x 的图象如图所示.函数()()g x f x a =-有3个不同的零点，即函数()f x 的图象与直线y a =有三个交点.当1x =时函数()f x 有极小值(1)1f =，当3x =时函数()f x 有极大值(3)3f =，所以实数a 的取值范围为(1,3)，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据零点个数求参数的范围，关键是数形结合思想的应用，属于中档题.二、多选题9．下列求导不正确的是（）A ．1(ln7)7'=B ．221x xx '⎛⎫= ⎪+⎝⎭C ．()2sin 32cos x x '-=D ．()cos cos sin x x x x x'=-【答案】AB【分析】根据基本初等函数的导数，以及导数的运算法则求导，即可得出答案.【详解】对于A 项，(ln7)0'=，故A 项错误；对于B 项，()()()22222221222212121x x x x x xx x x x '+-⎛⎫+==≠ ⎪+++⎝⎭，故B 项错误；对于C 项，()()2sin 32sin 2cos x x x ''-==，故C 项正确；对于D 项，()()cos cos cos =cos sin x x x x x x x x x '''=+-，故D 项正确.故选：AB.10．对任意实数x ，有923901239(23)(1)(1)(1)(1).-=+-+-+-++-x a a x a x a x a x 则下列结论成立的是（）A ．01a =B ．2144a =-C ．20911a a a a ++++=L D ．9012393a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-【答案】BCD【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD ，转化法求指定项的系数判断选项B.【详解】由923901239(23)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，当1x =时，90(23)a -=，01a =-，A 选项错误；当2x =时，90129(43)a a a a -=++++ ，即20911a a a a ++++=L ，C 选项正确；当0x =时，901239(3)a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即9012393a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-，D 选项正确；()99(23)121x x -=-+-⎡⎤⎣⎦，由二项式定理，2922292144C (1)a ---==，B 选项正确.故选：BCD11．某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为（）A ．42210210412C C C 1C +-B ．0413210210412C C C C C +C ．12412C 1C -D ．13210412C C C 【答案】AD【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可.【详解】从12个产品中任意抽取4个，基本事件总数为412C 个；其中恰好有1个二等品的基本事件有13210C C 个，∴恰好有1个二等品的概率13210412C C C p =；也可由对立事件计算可得42210210412C C C 1C p +=-.故选：AD.12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '的图象如图所示，则对于任意12,x x ∈R （12x x ≠），下列结论正确的是（）A ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭D ．()()121222f x f x x xf ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】AD【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据原函数图象判断AB 选项，根据图象的凹凸性判断CD 选项.【详解】由导函数图象可知，()0f x '<，且其绝对值越来越小，因此函数()f x 的图象在其上任一点处的切线的斜率为负，并且从左到右，切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得()f x的图象大致如图所示．选项A 、B 中，由()f x 的图象可知其割线斜率()()1212f x f x x x --恒为负数，即12x x -与()()12f x f x -异号，故A 正确，B 不正确；选项C 、D 中，122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭表示122x x x +=对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，()()122f x f x +表示1x x =和2x x =所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，显然有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 不正确，D 正确．故选：AD ．三、填空题13．设()()22lim 2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是_______．【答案】34π【分析】利用导数的定义，化简整理，可得(2)1f '=-，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为00(2)(2)(2)(2)(2)(2)lim lim x x f x f x f x f f f x x x∆→∆→+∆--∆+∆-+--∆=∆∆=00(2)(2)(2)(2)limlim 2(2)2x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆--∆-'+==-∆-∆，所以(2)1f '=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为1-，即tan 1α=-，又[0,)απ∈所以所求切线的倾斜角α为34π．故答案为：34π14．5555除以8，所得余数为_______.【答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+- 因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为：187-+=.故答案为：7.15．已知随机变量X 的分布列如下表：若随机变量Y 满足31Y X =-，则Y 的数学期望为_____.X013P1312a【答案】2【分析】利用分布列的性质，求得16a =，结合公式求得随机变量X 的期望，进而求得随机变量Y 的期望.【详解】由分布列的性质，可得11132a ++=，解得16a =，则()1110131326E X =⨯+⨯+⨯=，又因为31Y X =-，所以()3()12E E Y X =-=.故答案为：216．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有_________种．【答案】72【分析】按先后顺序分别涂区域③④①②⑤，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】先涂区域③，有4种选择，接下来涂区域④，有3种选择，接下来涂区域①②，涂区域①有2种选择，涂区域②有1种选择，最后涂区域⑤，有3种选择，由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为4321372⨯⨯⨯⨯=种.故答案为：72.四、解答题17．甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，求它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.【答案】(1)0.0525(2)37【分析】（1）利用全概率公式即可求得任取一个零件是次品的概率；（2）利用条件概率公式即可求得如果取到的零件是次品则它是丙车床加工的概率.【详解】（1）设B =“任取一个零件是次品”，A 甲=“零件为甲车床加工”，A 乙=“零件为乙车床加工”，A 丙=“零件为丙车床加工”，则A A A Ω=甲乙丙U U ，且A 甲，A 乙，A 丙，两两互斥，根据题意得()0.25,()0.3,()0.45,P A P A P A ===甲乙丙()|0.06,(|)(|)0.05P B A P B A P B A ===甲乙丙.由全概率公式得()()()|()(|)()((|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++甲甲乙乙丙丙0.250.060.30.050.450.050.0525.=⨯+⨯+⨯=（2）由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”就是计算在B 发生的条件下事件A 丙发生的概率.()()(|)0.450.053(|).()()0.05257P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====丙丙丙丙18．已知()(12)n f x x =+展开式的二项式系数和为64，且2012(12)n nn x a a x a x a x +=++++ ．(1)求2a 的值；(2)求(12)n x +展开式中二项式系数最大的项；(3)求12323n a a a na ++++L 的值．【答案】(1)260a =；(2)3160x ；(3)2916.【分析】（1）由题可得6n =，然后根据二项展开式的通项即得；（2）由题可知第四项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项即得；（3）由题可得()212553612()36221x a a x a x f x a x +=+++⋅=⋅⋅+'，然后利用赋值法即得.【详解】（1）∵()12nx +的展开式的所有项的二项式系数和为264n =，∴6n =，故6(12)x +展开式中第三项为：2622236C 1(2)60T x x -=⋅⋅=，所以260a =；（2）∵6621260(12)(12)n x x a a x a x a x +=+=+++⋅⋅⋅+，∴第四项的二项式系数最大，所以(12)n x +展开式中二项式系数最大的项3633346C 1(2)160T x x -=⋅⋅=；（3）因为()()066621212f x x a a x a x a x =+=+++⋅⋅⋅+，∴()212553612()36221x a a x a x f x a x +=+++⋅=⋅⋅+'，令1x =，可得531261232362916a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=.19．假定某射手每次射击命中目标的概率为23.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X .（1）求X 的概率分布；（2）分别求均值()E X 和方差()V X .【答案】（1）见解析；（2）13()9E X =，()3881V X =.【分析】（1）由题意X 的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，进而可得分布列；（2）由题意结合均值公式、方差公式直接运算即可得解.【详解】（1）由题意得X 的所有可能取值为1，2，3，2(1)3P X ==，222(2)(1)339P X ==-⨯=，221(3)11339P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的概率分布为：X123P 232919（2）由题意均值22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=；方差()2222132131133812339999981V X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列、均值及方差的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.20．给定函数()(1).x f x x e =+（1）判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值；（2）画出函数()f x 的大致图象；（3）求出方程()()f x a a R =∈的解的个数【答案】（1）单调递增区间为()2,-+∞；单调递减区间为(),2-∞-，极小值,()212f e -=-；（2）答案见详解；（3）当21a e <-时，解为0个；当21a e=-或0a ≥时，解为1个；当210a e -<<时，解为2个【分析】（1）求出导函数()f x '，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.（3）利用数形结合法即可求解.【详解】（1）由()(1)x f x x e =+，定义域为R ()()(1)2x x x f x e x e e x '=++=+，令()0f x ¢>，即2x >-，令()0f x '=，即2x =-，令()0f x '<，即<2x -，所以函数的单调递增区间为()2,-+∞；单调递减区间为(),2-∞-，2x =-为极小值点，所以函数的极小值为()212f e -=-.（2）函数()f x 的大致图象，如图所示：（3）方程解的个数等价于()y f x =于y a =的交点个数.作出()f x 与y a =的图象，由图可知当21a e <-时，方程()()f x a a R =∈的解为0个；当21a e =-或0a ≥时，方程()()f x a a R =∈的解为1个；当210a e -<<时，方程()()f x a a R =∈的解为2个；21．已知函数()ln f x x a x =-，()1a g x x +=-，()a R ∈()1若1a =，求函数()f x 的极值；()2设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =时，()1x f x x-'=，利用导数研究函数的极值可知()f x 在1x =处取得极小值1．函数没有极大值．（2）由函数的解析式可知()1a h x x alnx x +=+-，()()()211x x a h x x ⎡⎤+-+⎣⎦='，分类讨论可得：①当1a >-时，()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当1a ≤-时，函数()h x 在()0,∞+上单调递增．【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =时，()f x x lnx =-，()111x f x x x -'=-=，x （0,1）1()1+¥，()f x '-0+()f x 单调递减极小值单调递增所以()f x 在1x =处取得极小值1,函数没有极大值．（2）()1a h x x alnx x+=+-，()()()()222211111x x a x ax a a a h x x x x x⎡⎤+-+--++⎣-=='⎦=-，①当10a +>时，即1a >-时，在()0,1a +上()0h x '<，在()1,a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤-时，在()0,∞+上()0h x '>，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递增．【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．22．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时.（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ【答案】（Ⅰ）5 16（Ⅱ）见解析【详解】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为5 16．（2）的可能取值为0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：02468数学期望Eξ=516×2+516×4+316×6+116×8=72【解析】离散型随机变量的分布列及概率．。

一、单选题1．已知，则n 等于（ ）2A 156n =A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C【分析】利用排列数的计算公式即可得出．【详解】∵，2A 156n =∴，()1156n n -=解得或（舍）． 13n =12n =-故选：C ．2．设是可导函数，且，则（ ）()f x ()()131lim 2x f x f x∆→-∆-=∆()1f '=A ． B ．C ．－6D ．22323-【答案】B【分析】根据导数的定义，结合极限的运算法则，即可求解. 【详解】因为，()()131lim 2x f x f x∆→-∆-=∆则．()()()()()001311311121lim lim 23333x x f x f f x f f xx ∆→∆→-∆--∆-'==-=-⨯=--∆∆故选：B ．3．已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则 {}n a 51927a a a =6a 7a 10a =A ．B ．332181C ．96D ．729【答案】C【分析】由等比数列的性质可得可得，又 ，即得和．31595a a a a =5a ()2675a a a q q +=+q 10a 【详解】由等比数列的性质可得，所以．又因为与的等差中项为9，所3159527a a a a ==53a =6a 7a 以，设等比数列的公比为，则，所以，解得6718a a +={}n a q ()267518a a a q q +=+=26q q +=或．又因为，所以，故．故．故选C ．2q =3q =-0n a >0q >2q =551053296a a q ==⨯=【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的中项，等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知函数 f (x ) 的图象如图所示，则导函数 f '(x )的图象可能是（ ）A ．B ．C． D ．【答案】D【分析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在[]3,3-处与轴相切，故()0,0x ()'0=0f 可知，导函数图象为D 故选：D5．已知等差数列的前n 项和为，，，则使取得最大值时n 的值为{}n a n S 3573a a a ++=1111S =-n S （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次n 1a d n 函数性质得结论．【详解】等差数列中，， {}n a 3573a a a ++=1111S =则，， 55552233a d a a d a -+++==51a =∴， 5111141111011112a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得，．19a =-2d =∴，()1922n n n S n -=-+⨯()2210525n n n =-=--∴当时，取得最小值． 5n =n S 故选：B ．6．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不()f x '()()R f x x ∈()11f =0x ≥()()0f x xf x '+>等式成立的x 的取值范围是（ ） ()()202320231x f x -⋅->A ． B ． ()2023,+∞()(),20232023,-∞-+∞ C ． D ．()2024,+∞()(),20242024,-∞-+∞ 【答案】C【分析】设，求导得，进而可得时，单调递增，由于()()F x xf x =()()()F x f x x xf '=+'0x ≥()F x 为偶函数，推出为奇函数，进而可得在上单调递增，由于，则()f x ()F x ()F x (),-∞+∞()11f =，由于，则，推出，即可得出答()11F =()()202320231x f x -->()()20231F x F ->20231x ->案．【详解】设，， ()()F x xf x =()()()F x f x x xf '=+'由题意得时，，单调递增， 0x ≥()0F x '>()F x 因为为偶函数，所以， ()f x ()()=f x f x -所以，()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=-所以为奇函数，所以在上单调递增， ()F x ()F x (),-∞+∞因为，所以，()11f =()()()11111F f f =⋅==因为，所以， ()()202320231x f x -->()()20231F x F ->所以，所以， 20231x ->2024x >故选：C ．7．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为{}n a 11a >（ ） A ．1011B ．1012C ．2022D ．2023【答案】A【分析】利用等比数列的性质判断出等比数列的单调性即可求解. 【详解】∵各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且， {}n a 11a >∴ 12310081009101020202021202220232023a a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ 即， 1231008100910102020202120221a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 根据等比数列的性质得到：， 120222202132020101110121a a a a a a a a ===== ∵，，∴,∴，∴该数列为递减的等比数列， 11a >120221a a =20221a <01q <<∵，∴，， 101110121a a =10111a >101201a <<∴当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为1011． 故选：A ．8．已知函数，若方程有五个不等实根，则实数m 的221,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩22()()0f x f x m ++=取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭22,0e e +⎛⎫- ⎪⎝⎭2,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦22,0e e +⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】探讨函数性质并作出其图象，利用数形结合思想探求出给定方程有5个根的值的()f x ()f x 取值区间，再借助一元二次方程即可求解作答.【详解】时，在上单调递增，在上单调递减， 0x ≤2()21f x x x =---(,1)-∞-[]1,0-时，，，时时，在上单0x >ln ()xf x x=21ln ()x f x x -'=0<<x e ()0,f x x e '>>()0f x '<()f x ()0,e 调递增，上单调递减，(),e +∞函数大致图象如图所示：221,0()ln ,0x x x f x x x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩令，则方程有两个不等实数根，而方程有五个()f x t =220t t m ++=1212,()t t t t <22()()0f x f x m ++=不等实根，，观察图象可得，而，，11808m m ∆=-≥⇒≤12110,0t t e ≤<-≤<1212t t +=-122mt t ⋅=于是有，，在上单调递增，2112t t =--1111(,]22t e ∈---2121122m t t t t =⋅=--111(,]22e ---时，，时，，10t =max 0m =1112t e =--2min 2e m e+-=所以实数的取值范围为. m 22(,0]ee +-故选：D二、多选题9．学校食堂某窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两同学每人均在该窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法中正确的是（ ） A ．若甲选一荤一素，则有6种选法 B ．若乙选两份素菜，则有3种选法 C ．若两人分别打菜，则总的方法数为18D ．若两人打的菜均为一荤一素且刚好有一份菜相同，则方法数为30 【答案】AB【分析】应用两个计数原理和排列组合的应用，对每个选项逐一分析即可． 【详解】对于A ，甲选一份荤菜，则有2×3＝6（种）选法，故A 正确；对于B ，若乙从三份素菜中选两份素菜，相当于去掉一份素菜，则有3（种）方法，故B 正确； 对于C ，由A B 选项结合分类加法计数原理可知，甲乙两人分别打菜，每人都有（种）选639+=菜方法，由分步乘法计数原理知两人选菜的总方法数为9×9＝81（种），故C 错误； 对于D ，若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，分为以下两类：若荤菜相同，素菜不同，则有（种），若素菜相同，荤菜不同，则有（种），23212A ⨯=2236A ⨯=总计有12＋6＝18（种），故D 错误． 故选：AB ．10．已知数列满足，，设．则下列结论正确的是（ ） {}n a 11a =()121n n na n a +=+nn a b n=A ． B ．是等差数列34b ={}n b C ． D ．416b =12n n a n -=⋅【答案】AD 【分析】由条件可得，判定为等比数列，从而得出其通项公式.一一可判定各选项. 121n n a an n+=+{}n b【详解】解：由条件可得，即，又， 121n na a n n+=+12n n b b +=11b =所以是首项为1，公比为2的等比数列，故B 错误； {}n b 可得，所以，故D 正确； 12n nn a b n-==12n n a n -=⋅则，，可知A 正确，C 错误； 34b =48b =故选：AD ．11．已知函数，则下列选项正确的有（ ）()()2e 1xf x x x =--A ．函数极小值为，极大值为. ()f x e -25e B ．函数存在3个不同的零点.()f x C ．当时，函数的最大值为. []2,2x ∈-()f x 2e D ．当时，方程恰有3个不等实根. 25e ek -<<()f x k =【答案】AC【分析】求导得，分析的单调性，进而可得极大值、极小值，函数的零()e (2)(1)x f x x x '=+-()f x 点个数，即可判断A BC 是否正确；作出的图象，方程恰有3个不等实根，可转化为()f x ()f x k =与的交点有3个，结合图象即可判断D 是否正确.()y f x =y k =【详解】，2()e (1)e (21)x x f x x x x '=--+- 2e (2)e (2)(1)x x x x x x =+-=+-在上，，单调递增，在上，，单调递减， ∴(,2),(1+)-∞-∞，()0f x '>()f x (2,1)-()0f x '<()f x ，，故A 正确；222()(2)e (2)(2)15e f x f --⎡⎤∴=-=----=⎣⎦极大值()(1)e(111)e f x f ==--=-极小值当时，，时，，且，，所以x →-∞()0f x →x →+∞()f x →+∞20()5e f x -=>极大值()e 0f x =-<极小值函数有两个零点，故B 错误；由函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增，()f x [2,1]-[1,2]且，故函数的最大值为，故C 正确；222(2)5e ,(2)e (421)e f f --==--=()f x 2e 方程恰有3个不等实根，可转化为与的交点有3个，由上述分析可知，()f x k =()y f x =y k =的图象为：()f x由图象可得当时，有2个实数根，当时，有3个实数根，当e 0k -<≤()f x k =205e k -<<()f x k =时，有2个实数根，当时，有1个实数根，故D 错误. 25e k -=()f x k =25e k ->()f x k =故选：AC12．如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的，就可以近似地得到等14角螺线，第一个和第二个正方形的边长为，第三个正方形边长为，…，其边长依次记为，121a 2a ，，…，得到数列，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为，得到数列，则下3a {}n a n b {}n b 列说法正确的有（ ）A ．B ． 821a =1214161a a a a +++=-C ．D ．222121414152a a a a a +++= ()201919204πb b a a -=【答案】AB【分析】由题意可得，，，由题意可得，依据121a a ==342,3a a ==()123n n n a a a n --=+≥2π4n n b a =各项条件计算即可判断各项的正确性．【详解】由图中数据可得，，， 121a a ==342,3a a ==()123n n n a a a n --=+≥由题意可得，221ππ224n n n b a a =⨯⨯=对于A ：，，，则543325a a a =+=+=654538a a a =+=+=7658513a a a =+=+=，故A 正确； 87613821a a a =+=+=对于B ：，可得，12n n n a a a --=+21n n n a a a --=-则，故B 正确；()()()121432431615162161a a a a a a a a a a a a +++=-+-++-=-=-对于C ：，()123n n n a a a n --=-≥ ∴，()()2111121123n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n --------==-=-≥，()()()2222121412321343214151413a a a a a a a a a a a a a a a a ∴+++=+-+-++- 212114151415a a a a a a a =-+=故C 错误；对于D ：，故D 错误()()()()2222201920192019201920191821ππ44πππ44b b a a a a a a a a a a ⎛⎫-=-=-=-+= ⎪⎝⎭故选：AB三、填空题13．已知有一个极值点为4，则m 的值为_______．()32113f x x mx =-++【答案】2【分析】利用极值点处导数为0求解，并用极值的定义检验.【详解】由题，，令，则，，()22f x x mx '=-+()0f x '=10x =22x m =因为有一个极值点4，所以只需，即．()f x 24m =2m =此时，()24(4)f x x x x x '=-+=--当时，，单调递减； 0x <()0f x '<()f x 当时，，单调递增； 04x <<()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减， >4x ()0f x '<()f x 当时，取极大值， 4x =()f x 所以符合题意． 2m =故答案为：2．14．为了迎接期中考试，某同学要在周日上午安排五个学科的复习工作，为提高复习效率，数学学科的复习时间不安排在早晨第一科，并且数学和物理两科的复习时间不连在一起，那么五个学科复习时间的顺序安排总共有______种（用数字作答）． 【答案】54【分析】考虑物理科的安排，物理安排在第一科复习或物理不安排在第一科复习，分类讨论，分别求出每一类里的安排方法，根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】根据物理复习时间的安排分为以下两类第一类，物理安排在第一科复习，第二科不能为数学,数学安排在后面三科有3种安排方法，其余三科有种安排，共有种；33A 333A 18⨯=第二类，物理不安排在第一科复习，因为第一科也不能安排数学，故第一科可安排其余三科中的一科，有3种安排方法，剩下四科中数学和物理采用插空法，有种安排，共有种，2223A A ⨯22233A A 36⨯⨯=两类相加，共有18＋36＝54种安排方法， 故答案为：5415．设函数的导函数为，若函数，则曲线在点()f x ()f x '()πcos 223f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()y f x =处的切线方程为____________．()()0,0f【答案】1y =+【分析】求得，得到，进而求得，结()π2sin 223f x x f ⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭π3f ⎛⎫' ⎪⎝⎭()0f '=()01f =合直线的点斜式方程，即可求得切线的方程.【详解】由函数，可得，()πcos 223f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()π2sin 223f x x f ⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭则，解得， π2ππ2sin 2333f f ⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭即且()cos 2f x x =+()2sin 2f x x '=-+可得且，即切点坐标为，切线的斜率为 ()0f '=()01f =(0,1)k =则曲线在点处的切线方程为，即. ()y f x =()()0,0f )10y x -=-1y =+故答案为：.1y =+四、双空题16．已知数列满足，，则数列的通项公式______，前n 项{}n a 11a =()*132n n a a n +=+∈N {}n a n a =和____________． n S =【答案】1231n -⋅-31n n --【分析】由已知递推关系得出新数列是等比数列，由此可求得，再利用分类求和法可求得{1}n a +n a 和．n S【详解】∵数列满足，，{}n a 11a =()*132n n a a n N +=+∈∴，()1131n n a a ++=+∴数列是以为首项，公比为3的等比数列， {}1n a +112a +=∴，1123n n a -+=⨯∴，1231n n a -=⨯-∴数列的前n 项和为：{}n a ，()01113233323113nn n n S n n n --=⨯++⋯+-=⨯-=---故答案为：；．1231n -⨯-31n n --五、解答题17．“烂漫的山花中，我们发现你．自然击你以风雪，你报之以歌唱．命运置你于危崖，你馈人间以芬芳．不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强．你是岸畔的桂，雪中的梅．”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山．受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现将甲、乙2名志愿者和A 、B 、C 、D 4名学生排成一排合影留念．求下列不同的排法种数： (1)甲、乙两人必须站在两端； (2)A 与B 两人相邻且与C 不相邻． 【答案】(1)48 (2)144【分析】（1）由分步计数原理，结合排列数公式，即可求解； （2）先排剩下的3人，再将A 与B 看成一个元素与插空，即可求解. C 【详解】（1）由题意得，先把甲、乙排在两端，其他4人排中间，由分步乘法原理得，共有种方法．2424A A 48=（2）由题意得，除A ，B ，C 外，剩余的3人先排列，有种方法，33A 6=然后把A ，B 捆在一起看成整体与C 去插空，有种方法，2224A A 24=由分步乘法原理可得，共有种方法．624144⨯=18．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．{}n a 1a 2a 5a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和． 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【答案】(1)21n a n =-(2)=21n n T n +【分析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；125,,a a a （2）利用裂项相消求和可得答案.【详解】（1）设数列的公差为，{}n a d ∵成等比数列，∴， 125,,a a a 1225a a a =即，2111()(4)a d a a d +=+∴，由题意222111124a a d d a a d ++=+2d =故，得， 221111448a a a a ++=+11a =12121n a n n ∴=+-=-（）即.21n a n =-（2）， 111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴ 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n ． 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭19．如图所示，某风景区在一个直径AB 为400m 的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A 与圆弧上一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿圆弧BC 的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注:小路及绿化带的宽度忽略不计）(1)设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；BAC θ∠=()S θθ(2)试确定的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．θ【答案】(1)，； ()(800cos 400)m S θθθ=+02πθ<<(2)；. 6πθ=200)m 3π【分析】（1）连接OC ，BC ，利用直角三角形边角关系及弧长公式列式计算作答.（2）由（1）的结论，借助导数求解函数的最大值作答.()S θ【详解】（1）连接OC ，BC ，如图，由AB 是半圆直径得，而，，则，90ACB ∠= 400m AB =BAC θ∠=400cos AC θ=，则圆弧BC 长为，22COB BAC θ∠=∠=400θ所以(m)，.()800cos 400S θθθ=+02πθ<<（2）由（1）知，，，求导得：， ()800cos 400S θθθ=+02πθ<<()400(12sin )S θθ'=-当时，，当时，，即在上单调递增，在上06πθ<<()0S θ'>62ππθ<<()0S θ'<()S θ(0,6π(,62ππ单调递减，则当时，(m)， 6πθ=max 200()(63S S ππθ==所以时，绿化带总长度最大，最大值为. 6πθ=200)m 3π20．已知数列的前n 项和为，，．{}n a n S 12a =12n n S a +=-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)令，，求数列的前n 项和．2log n n b a =n n n c b a =⋅{}n c n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⨯+【分析】（1）利用即可求出通项公式；()12n n n a S S n -=-≥（2）利用错位相减法求和.【详解】（1）∵，∴，12n n S a +=-()122n n S a n -=-≥两式相减得，()122n n a a n +=≥又∵，，∴，12a =2124a a =+=212a a =∴当时也满足，1n =12n n a a +=∵，∴， 120a =≠()*12N n n a n a +=∈∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，{}n a ∴；2n n a =（2）由（1）可知，22log log 2n n n b a n ===，2n n n n c b a n =⋅=⋅∴1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得：， 123112222222212n n n n n T n n +++--=++++-⨯=-⨯- 化简得． ()1122n n T n +=-⨯+21．已知函数. 21()ln 12a f x a x x +=++（1）当时，求函数在区间上的最值； 12a =-()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）讨论的单调性.()f x 【答案】（1），；（2）当时，在上单调递增；当2max 1()24e f x =+min 5()4f x =0a ≥()f x (0,)+∞时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在10a -<<()f x ⎛⎝⎫+∞⎪⎪⎭1a ≤-()f x 上单调递减.(0,)+∞【解析】（1）求导的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得()f x 在区间上的最值； ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；【详解】解：（1）当时，， 12a =-21()ln 124x f x x =-++所以， 211()222x x f x x x-'=-+=因为的定义域为，()f x (0,)+∞所以由，可得.()0f x '=1x =因为，，， 5(1)4f =213124f e e⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21()24e f e =+所以在上，，. 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2max 1()()24e f x f e ==+min 5()(1)4f x f ==（2）由题可得，， 2(1)()a x a f x x++'=(0,)x ∈+∞①当，即时，10a +≤1a ≤-，所以在上单调递减；()0f x '<()f x (0,)+∞②当时，，0a ≥()0f x '>所以在上单调递增；()f x (0,)+∞③当时，由可得，即， 10a -<<()0f x '>21a x a ->+x >由可得，即 ()0f x '<21a x a -<+0x <<所以在上单调递减， ()f x ⎛ ⎝在上单调递增.⎫+∞⎪⎪⎭综上：当时，在上单调递增； 0a ≥()f x (0,)+∞当时，在上单调递减， 10a -<<()f x ⎛ ⎝在上单调递增；⎫+∞⎪⎪⎭当时，在上单调递减.1a ≤-()f x (0,)+∞【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数的单调性，求函数的最值是关键，属于中档题．22．已知函数，. ()2e 2ln xf x kx k x x=+-()0,x ∈+∞(1)当时，证明函数有两个零点； 1k =-()()2e 4G x f x =-(2)若函数有唯一极值点，求k 的取值范围.()f x 【答案】(1)证明见解析(2) 2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）把函数零点问题转化为的解的个数，求导函数，研究函数单调性，求出值()2e 4f x =域，利用零点存在性定理即可证明；（2）函数有唯一极值点转化为导函数有唯一异号零点，从而在时没有变号零()f x 2e xk x=-0x >点，构造函数，求导函数，利用单调性作出图象即可求解范围.【详解】（1）因为，所以，， 1k =-()2e 2ln xf x x x x=-+()0,x ∈+∞则函数的零点个数，即为的解的个数， ()()2e 4G x f x =-()2e 4f x =，令，，则， ()()2e 21x x x f x x'⎛⎫-- ⎪⎝⎭=()2e xg x x =0x >()()32e x x g x x -'=当时，，单调递减，()0,2x ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，()2,x ∈+∞()0g x '>()g x 则，所以， ()()2min e 214g x g ==>2e 10x x->故当时，，当时，，()0,2x ∈()0f x '<()2,x ∈+∞()0f x ¢>即在区间上单调递减，在区间上单调递增；()f x ()0,2()2,+∞则， ()()22min e e 222ln244f x f ==-+<又因为，， 211e 2ln2224f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()52e e 552ln5254f =-+>故在和分别存在一个零点，因此有两个零点. ()G x ()0,2()2,+∞()()2e 4G x f x =-（2）函数，， ()2e 2ln xf x kx k x x=+-()0,x ∈+∞所以， ()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x k f x k x x x +--=-+='函数有唯一极值点，则是唯一的根，()f x 2x =()0f x '=故在上没有变号零点，即在时没有变号零点， 20x e kx +=()0,∞+2e xk x =-0x >令，则由（1）知 ()2e xg x x=,0x >当时，取得最小值， 2x =()g x ()2e 24g =且无限趋近0时，趋向于正无穷大，无限趋向于无穷大时，趋向于正无穷大， x ()g x x ()g x 函数在的图像大致如图所示()g x ()0,∞+当即时，在时没零点，符合题意， 2e 4k -<2e 4k >-2e x k x -=0x >当即时，有不变号零点，也符合题意， 2e 4k -=2e 4k =-2e x k x -=2x =所以的取值范围. 2e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.。

2021 2021第一学期《高数试卷C》试题A答案12021-2021第一学期《高数试卷c》试题a答案1中国计量学院2022-2022学年第一学期《高等数学（c）(1)》课程试卷（a）参考答案及评分标准二级学院：理学院，学生班：07国际贸易1、2、07财务管理1、2、3、07工程1、07市场营销1、2，教师：张仁江、何曼溪、杨燕一、单项选择题（每题3分，共15分）1.A2、C3、B4、D5、a II。

填空（每空3分，共18分）1、-12、充分必要3、ex4、0；跳跃5、三、计算题（共35分）1．(5分)lim?1?x?013x12十、3x111解：lim?1?x?0x3x?lim??1?x??………………….…..…………….……………..…..(+2分)十、0 11?? 3.林？1.十、十、e3………………。

……………………。

…。

………。

（+3分）？十、0 12. （5分）limxlnxx?0?解：limxlnx?limx?0?lnx1xx?0?……………….…..…………………………………..…(+2分)1.林？十、0 x………………。

…。

………………………………。

……（+2分）1x2?lim?(?x)?0……………………………….…….…..……..……(+1分)十、03.（5点）来自方程式x？Y3axy？隐函数y由0决定（a？0）？Y（x）的微分dy解：dy?y?(x)dx…………………….…….…..…………………………………..……..…(+2分)是吗？x2233y？axdx…。

………….…….…..…………………………………..………....…(+3分)高等数学（c）（1）课程试卷（a）参考答案和评分标准第1页，共4页4.（5分）求函数y?x3?6x2?9x?4的极值解：y??3x?12x?9?3(x?1)(x?3)停滞点：X1？1，x2？3….…..…………………………………..…… (+22分)Y6x？12? 6（x？2）？Y(1)?? 6. Y(3)? 6..…… （+2分）故函数有极大值y(1)?0,极小值y(3)??4………………..……….(+1分)x2，5。

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

2021-2022学年广东省佛山市南海区高二下学期期中数学试题一、单选题1．设，则（ ）3()8f x x x =-0(2)(2)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．B ．C ．4D ．84-8-【答案】C【分析】根据导数的定义，得到，然后计算即可求解.(2)(2)lim(2)x f x f f x ∆→+∆-='∆【详解】(2)f '=0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-=∆30(2)8(2)(816)limx x x x ∆→+∆-+∆--=∆23028484lim288x x x x x x xx ∆→+∆+∆+∆+∆+∆--∆∆23046lim x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆02(46)4lim x x x ∆→=+∆+∆=故选：C2．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为（ ）A ．6B ．23C ．42D ．43【答案】B【分析】根据分步计数法进行计算.【详解】解：由题意得可知：由一层走到二层有两种选择，由二层走到三层有两种选择，由三层走到四层有两种选择，根据分步计数法的原则可知共有种走法.32故选：B3．已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则C 的222:1y C x b -=22:(2)(4)1P x y -++=离心率为（ ）A B ．C D ．332【答案】C【分析】求出圆心坐标，代入渐近线方程求出，然后求解双曲线的离心率．b 【详解】解：圆的圆心，22:(2)(4)1P x y -++=(2,4)-双曲线的渐近线为：，222:1y C x b -=y bx ±=双曲线的一条渐近线过圆的圆心，222:1y C x b -=22:(2)(4)1P x y -++=可得，所以，，则，24b =2b =1a =c ==则的离心率．C ce a ==故选：C ．4．函数的图象如图所示，则函数的图象可能y ()y ()f x f x ==，的导函数y ()f x =是A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D ．0x =【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交x 点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，0x 0x x 0x 运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区'()f x ()f x 间．5．设数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S *112,(2)n n n a a a n N +=+=∈13S =A ．B ．C ．D ．13243-13223+14243-14223+【答案】D【分析】由并项求和结合等比数列求和即可得解12nn n a a ++=【详解】由题()()24121312312132222S a a a a a =+++++=++++()26214214-=+=-14223+故选D【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题6．设是R 上的可导函数，且满足，对任意的正实数，下列不等式()f x ()()f x f x '>a 恒成立的是A ．；B ．；()(0)af a e f <()(0)af a e f >C ．；D ．(0)()a f f a e <(0)()af f a e >【答案】B【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到()()x f x F x e =结论．【详解】解：设，()()x f x F x e =则，2()()()()()[]x x x xf x e f x e f x f x F x e e ''-=='-∵，()()f x f x '>，即函数在定义域上单调递增．'()0F x ∴>()F x 任意正实数，满足，a 0a >（a ），F ∴(0)F >即，0()(0)a f a f e e >∴()(0)af a e f >故选：B ．【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．7．若函数在区间(0，1)上不单调，则实数的取值范围为()()e 1ln 2x f x a x =--+a （ ）A ．B ．[]1,e 1+()1,e 1+C ．D ．(][),1e 1,-∞⋃++∞()(),1e 1,-∞⋃++∞【答案】B【分析】对求导并将问题转化为在(0,1)上存在变号零点，再应用导()f x e 1xy x a -=+数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围.y 【详解】由题设，，又在(0,1)上不单调，1e 1()e x xa x a f x x x -+'-=-=()f x 所以在(0,1)上存在变号零点，而，e 1xy x a -=+(1)e 0x y x '=+>则在(0,1)上递增，只需，即.y (1)(e 1)0a a -+-<1e 1a <<+故选：B8．对于一切实数x ，令为不大于x 的最大整数，则函数称为高斯函数或[]x ()[]f x x =取整函数.若，，为数列的前n 项和，则（ ）3n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭*N n ∈n S {}n a 3n S =A ．B ．23122n n -23122n n+C ．D ．232n n-29322n n -【答案】A【分析】根据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.【详解】解：由题意，当，，时，均有3n k =31n k =+32(N )n k k +=+∈，33n n n a f k⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故可知：31(1)00111222333(1)(1)(1)3(1)2n n S n n n n n n +-=++++++++++++-+-+-+=⨯⨯-+ .23122n n =-故选：A 二、多选题9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）A ．从中任选1个球，有15种不同的选法B ．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C ．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D ．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法【答案】ABD【分析】利用排列知识计算得到选项ABD 正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C 错误.74【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；456++=B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；456=⨯⨯C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错45+56+46=74⨯⨯⨯误；D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.1514=⨯故选：ABD 10．已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k 不能{}n a 32n n n ka +={}n a 取的值是（ ）A ．B ．0C ．1D ．21-【答案】AB【分析】根据数列单调性的性质可知，然后可得，根113302n n n n ka a ++---=<33k n >-据不等式恒成立的条件可知得取值范围.k 【详解】解：由题意得：数列是递减数列{}n a 对于一切的恒成立10n n a a +∴-<N n +∈即对于一切的恒成立1113(1)3330222n n n n n n k n k n ka a ++++++--=--=<N n +∈故对于一切的恒成立，当时，有最大值33k n >-N n +∈1n =33n -0故，所以0k >(0,)k ∈+∞故选：AB11．下列命题中正确的是（ ）A ．在等比数列中，，则{}n a 1344a a a ==68a =±B ．已知等差数列的前n 项和为，且，，则{}n a n S 1010S =2040S =3090S =C ．已知数列满足，，则的最小值为{}n a 115a =*12(N )n n a a n n +-=∈na n 274D ．已知数列满足，且，则数列前9项的和{}n a 13n n n a a +⋅=11a ={}n a 9241S =【答案】BCD【分析】对于A ，根据，求得公比，即可判断；1344a a a ==对于B ，利用等差数列前项和的性质即可判断；n 对于C ，利用累加法求出数列的通项公式，从而可判断；{}n a对于D ，根据递推公式求出，即可判断.239,,,a a a 【详解】解：对于A ，设公比为，q因为，所以，1344a a a ==22311a q a q =所以，1a q =故，所以，444a q ==22q =所以，故A 错误；2648a a q =⋅=对于B ，已知等差数列的前n 项和为，{}n a n S 则成等差数列，1020103020,,S S S S S --所以,()20101030202S S S S S -=+-即，解得，故B 正确；30601040S =+-3090S =对于C ，由，*12(N )n n a a n n +-=∈当时，得，2n ≥212a a -=，324a a -=，436a a -=，()121n n a a n --=-累加得，()()1246211n a a n n n -=++++-=- 所以，215n a n n =-+则，151n a n n n =+-当时，，当时，，3n =7n a n =4n =274n a n =根据双钩函数得性质可知，当时，取得最小值为，故C 正确；4n =na n 274对于D ，因为，且，13nn n a a +⋅=11a =则，，，，，，，，23a =33a =49a =59a =627a =727a =881a =981a =所以，故D 正确.91339927278181241S =++++++++=故选：BCD.12．已知函数，实数满足不等式，则()3f x x x=+,m n ()()2320f m n f n -+->（ ）A ．B ．e em n>11n n m m +>+C ．D ．()ln 0m n ->20212021mn <【答案】AC 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性结合不等式可得()f x ()()2320f m n f n -+->所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐,m n 项判断.【详解】因为，()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-所以为奇函数，()f x 因为，()2310f x x '=+>所以上单调递增，()f x R由，()()2320f m n f n -+->得，()()()2322f m n f n f n ->--=-所以，232m n n ->-即，，1m n ->m n >因为在R 上是增函数，所以，故A 正确；xy e =m ne e >因为在上是增函数，所以，故C 正确；ln y x =()0,∞+ln()0m n ->因为在R 上是增函数，所以，故D 错误；2021y x =20212021m n >令，可验证B 错误.2,0m n ==故选：AC 三、填空题13．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果24y x =1122(,),(,)A x y B x y ，那么＝__________.1210x x +=AB【答案】12【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再结合抛物线定义计算作答.【详解】抛物线的准线为：，设抛物线的焦点为F ，24y x =1x =-24y x =由抛物线定义得：，12||||(1)(1)12AB AF BF x x =+=+++=所以.12AB =故答案为：1214．函数过原点的切线方程是_______.2()e xf x =【答案】.2e 0x y -=【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出函数切点为的切线方程，()020,e x x ()020,e x x 再根据切线过原点求出，即可得解.0x 【详解】解：设切点为，()020,e x x ，则，2()2e x f x '=020()2e xf x '=故切点为的切线方程为，()020,e x x ()0220e2e x x y x x -=-又因此切线过原点，所以，解得，220e2ex x x -=-012x =所以函数过原点的切线方程是，2()e xf x =1e 2e 2y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即.2e 0x y -=故答案为：.2e 0x y -=15．设为等差数列的前项和，若，则的值为__________.n S {}n a n 9519,495S S a =-=10a 【答案】27【分析】根据 求出公差, 又 即可求解95495S S -=d 19a =【详解】设等差数列的公差为,{}n a d 因为,()1995992a a S a +==()1553552a a S a +==所以95532495S S a a d -=-==所以，又2d =19a =101999227a a d ∴=+⨯=+⨯=故答案为：27四、双空题16．中国最早的化妆水是年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋1896润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为.则当圆柱的底面半径___________时，该容器的容积最12cm r =大，最大值为___________.【答案】8c m 2π+()32128 c m 2ππ+【分析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，根据已知条件可得出，r h 262h r π+=-根据柱体的体积公式可得，利用导数可求得的最大值及其对应()23262V r rπππ+=-V 的的值，即为所求.r 【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为.r h 则由题意可得，所以.2212r h r π++=()1222622r h rππ-++==-由，得.0h >122r π<+故容器的容积，()22232212660222V r h r r r r r πππππππ++⎛⎫⎛⎫==-=-<< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.，令，解得（舍）或.()232122V r r πππ+'=-0V '=0r =82r π=+显然当时，，函数单调递增；80,2r π⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭0V '>()23262V r r πππ+=-当时，，函数单调递减.812,22r ππ⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭0V '<()23262V r r πππ+=-所以当时，取得最大值，8cm 2r π=+V 此时，.2862cm 22h ππ+=-⨯=+()23281282cm 22V ππππ⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭+故答案为：；.8 c m 2π+()32128 c m 2ππ+五、解答题17．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得()32f x x ax bx c=+++()1,2P 1x =-极值.(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，求函数的最大值.[]2,2x ∈-()f x 【答案】(1)；32()1f x x x x =+-+(2)11.【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值的性质进行求解即可；（2）根据导数的性质进行求解即可.【详解】(1)，由题意得即2()32f x x ax b '=++(1)2,(1)4,(1)0,f f f =⎧⎪=⎨⎪-='⎩'12,324,320,a b c a b a b +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得，，.所以，1a =1b =-1c =32()1f x x x x =+-+，令，得或.2()321f x x x '=+-()0f x '=1x =-13x =x(,1)-∞-1-1(1,)3-131(,)3+∞()'f x ＋0－＋()f x ↗2↘2227↗符合题意；(2)由（1）可知：，而，122(1)0,()327f f -==(2)11,(2)1f f =-=-所以.max ()11f x =18．已知数列中，，.{}n a 12a =*121(N )n n a a n n +=-+∈(1)求，并证明为等比数列；2a {}n a n -(2)求数列的前n 项和.{}n a n S 【答案】(1)见解析(2)(1)212n n S n n +=+-【分析】（1）由递推公式化简，根据等比数列的定义证明（2）由分组求和法求解【详解】(1)，212114=-+=a a ，121(1)2((1))n n n a n a n n a n +=-+-+-+=-，故是首项为1，公比为2的等比数列．111a -={}n a n -(2)由（1）得，即，12n n a n --=12n n a n -=+11(1)(12)(122)212n n n S n n n -+=+++++++=+- 19．已知函数f (x )＝ax －2ln x ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝x －2，若存在，使得f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．31,e x ⎡⎤∈⎣⎦【答案】(1)答案见解析；(2).22e 2,e ⎛⎤+-∞ ⎝⎦【分析】（1）根据实数a 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】(1)()()220ax f x a x x x -'=-=>当a ≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；()0f x '<当a ＞0时，令得；令得；()0f x '>2x a >()0f x '<20x a <<综上：a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上单调递减；a ＞0时，f (x )在上单调递减，在上单调递增；20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)由题意知 ax －2ln x ≤x －2 在(0，＋∞)上有解则ax ≤x －2＋2ln x ，．22ln x x a x -+≤令，()22ln x x g x x -+=()242ln x g x x -'=x )21,e ⎡⎣2e (23e ,e ⎤⎦g'(x )＋0－g (x )↗极大值↘所以，因此有()()222max e 2e e g x g +==22e 2e a +≤所以a 的取值范围为：22e 2,e ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.20．已知正项数列的首项，前n 项和满足.{}n a 11a =n S )2n a n ≥=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记数列的前n 项和为，若对任意的，不等式恒成立，11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T *N n ∈24n Ta a <-求实数a 的取值范围.【答案】(1)；21n a n =-(2)或.1a ≤-2a ≥【分析】（1，进而可求解数列的通项公式；1=（2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求.n T 【详解】(1)当时，2n≥n a=∴，1n nS S--=+1=1=所以数列是首项为1，公差为1，n =又由（），n a =121n n n =+-=-2n ≥当时，也适合，1n =11a =所以.21n a n =-(2)∵，()()()111111*********n n a a n n n n +==--+-+∴，11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ 又∵对任意的，不等式恒成立，，*N n ∈24n T a a <-∴，解得或.22a a ≤-1a ≤-2a ≥即所求实数的范围是或.a 1a ≤-2a ≥21．如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O ，，平面ABCD AC BD 60BAD ∠=︒平面直线，平面，ADEF BCEF =EF FO ⊥ABCD 22BC CE DE EF ====（1）求证：；//EF DA （2）求二面角的余弦值．A EFB --【答案】（1）证明见解析；（2）．35【解析】（1）根据四边形为菱形，得到，利用线面平行的判定定理得ABCD //AD BC 到平面，然后利用线面平行的性质定理证明.//AD BCEF （2）以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，分别求得平面一个法向量为，平面一个法ADEF (,,)m x y z = BCEF 向量为，然后由求解.(,,)n x y z = cos ,|||,|m n m n m n ⋅<>= 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，ABCD //AD BC 平面，平面AD ⊄ BCEF BC ⊂BCEF平面，//AD ∴BCEF 因为平面平面直线平面，ADEF BCEF =,EF AD ⊂ADEF 所以；//EF AD （2）因为四边形为菱形，所以，ABCD AC BD ⊥因为平面，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间OF ⊥ABCD 直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，，，60BAD ︒∠=21BC OA OC OB OD =∴====为正三角形，2BC CD CE DE CDE ====∴ EM =，11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC ，//,=//,=EF OMEF OM OF EM OF EM ∴∴从而，1(0,1,0),((0,1,0),(2A B C D E --设平面一个法向量为，ADEF (,,)m x y z = 则，即，00m DA mDE ⎧⋅=⎨⋅=⎩0102y y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令，11,(1,x y z m =∴=== 设平面一个法向量为，BCEF (,,)n x y z =则，即，00n BC nEC ⎧⋅=⎨⋅=⎩0102y x y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令，11,(1,1)x y z n =∴==-=- ，3cos ,5|||,|m n m n m n ⋅∴<>== 因此二面角的余弦值为.A EFB --35【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．22．已知函数.()ln f x x x =-(1)求证：；()1f x ≤-(2)若函数无零点，求a 的取值范围.()()()x x h x af x a e =+∈R 【答案】(1)证明见解析；(2).1(,0(,) ]e -∞+∞ 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值()1x f x x -'=可得不等式成立.（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大0,0,0a a a =<>0a >()h x '值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.0,0a a =<()0h x >【详解】(1)，()1xf x x -'=则当时，，当时，，01x <<()0f x '>1x >()0f x '<故在上为增函数，在上减函数，()f x ()0,1()1,+∞故即.()()max 11f x f ==-()1f x ≤-(2)，故，()ln e x x h x a x ax =-+()()()1111e e x x a x x a h x x x x --⎛⎫'=+=-+ ⎪⎝⎭当时，在定义域上无零点;0a =()0,xx h x e =>()h x 当时，，故，0a >0x >10e x a x +>所以当时，，当时，，01x <<()0h x '>1x >()0h x '<故在上为增函数，在上减函数，()h x ()0,1()1,+∞因为函数无零点，故，即；()h x ()()max 110e h x h a ==-+<1e >a 当时，因为，所以，0a <()1f x ≤-(ln )0a x x ->即，()(ln )0x x h x a x x e =-+>所以在定义域上无零点.()h x 综上，的取值范围是.a 1(,0(,) ]e -∞+∞。

2019-2020学高一数学下学期期中试题（C）（含解析）一、单选题1.已知变量满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设目标函数，当过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为；当过点时，目标函数取得最小值，此时最小值为，所以的取值范围是，故选A.考点：简单的线性规划求最值.2.若实数a，b满足，则（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】先将指数式化成对数式，求出，再利用换底公式的推论以及对数的运算法则即可求出．【详解】因为，所以，．故选D．【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论的应用以及对数的运算法则的应用．3.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解得，即故选4.在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形．【详解】由题意知，由正弦定理得又展开得，又角A，B，C是三角形的内角又综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C．【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用．5.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（）A 14 B. C. 240 D.【答案】C【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．【详解】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故选C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．6.函数的图像上关于原点对称的点有（）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个【答案】B【解析】【分析】作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，根据交点个数得解.【详解】作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，记为曲线.容易发现与曲线有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的就是符合题意的点.故选：B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的图象及其应用，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.解答本题的关键是作出函数位于轴左侧的图象关于原点的对称图象，从而转化为二次函数图象与指数函数图象的交点个数问题，就容易解答了. 作关于原点对称的图象时，要把握好其三要素开口方向、对称轴和顶点.7.下列说法错误的是( )A. 若＋＝，则－＝B. 若＋＝，则-＝C. 若＋＝，则－＝D. 若＋＝，则＋＝【答案】D【解析】【分析】由向量的减法就是向量加法的逆运算判断，由相反向量的定义判断.【详解】由向量的减法就是向量加法的逆运算可知正确；由相反向量的定义可知，所以若＋＝，则－＝，正确；若＋＝，由相反向量定义知，＋＝-＝＋，故错误，故选D．【点睛】本题主要考查向量的运算，以及相反向量的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.8.已知实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析: 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．详解: 作出不等式组对应的平面区域如图，z的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，1）的斜率，由图象知当直线过B（1,3）时，直线斜率最大，此时直线斜率为1，则的最大值为1，故选A．点睛: 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.若，则下列不等式错误是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得,此题比较适合用特殊值法，令，那么对于A选项，正确，B选项中，可化简为，即成立，C选项，成立，而对于D 选项，，不等式不成立，故D选项错误，综合选D.考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.特殊值法.【思路点晴】本题主要考查是利用指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小问题，属于难题，此类题目的核心思想就是指数函数比较时，尽量变成同底数幂比较或者是同指数比较，对数函数就是利用换底公式将对数转换成同一个底数下，再利用对数函数的单调性比较大小，但对于具体题目而言，可在其取值范围内，取特殊值（特殊值要方便计算），能够有效地化难为易，大大降低了试题的难度，又快以准地得到答案. 10.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=的图象变换规律，得出结论．【详解】由函数f（x）=的部分图象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2sin（2x+φ），将代入得，∵﹣π＜φ＜0，∴．故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到的图象，即为的图象，故选B．【点睛】由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.二、填空题11.定义运算，例如，，则函数的最大值为 .【答案】【解析】【详解】由；所以，此函数图象如图所示，所以最大值是；12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式及分式成立的条件,即可求得函数的定义域.【详解】函数所以自变量的取值满足解不等式组可得即故答案为:【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.13.设集合，，若，则的取值范围为________．【答案】.【解析】【分析】先化简集合A,再根据得到关于a的不等式求出a的取值范围.【详解】由得，∴，由得，∴．又当时，满足，时，也满足，∴.故答案为【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．14.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点满足，则平面区域内必存在一个C点在直线的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．【详解】作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为，直线的斜率为，斜截式方程为，要使平面区域内存在点满足，则点必在直线的下方，即，解得，并且A在直线的上方；，可得，解得，故m的取值范围是：故答案为【点睛】本题主要考查线性规划基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.已知函数，则f（log23）＝_____．【答案】【解析】由已知得三、解答题16.已知函数（且）是定义在上的奇函数.（1）求值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，，即可求出的值；（2）由（1）得函数的解析式，当时，，将不等式转化为.利用换元法：令，代入上式转化为时，恒成立，根据二次函数的图象与性质，即可求出的取值范围.【详解】解：（1）∵在上奇函数，即恒成立，∴.即，解得.（2）由（1）知，原不等式，即为.即.设，∵，∴，∵时，恒成立，∴时，恒成立，令函数,根据二次函数的图象与性质，可得，即解得.【点睛】本题考查奇函数的定义与性质，二次函数的图象与性质，考查不等式恒成立含参数的取值范围，考查转化思想和换元法17.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁RA）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【答案】（1）A∪B={x|2＜x＜10}；（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（2）a＞3．【解析】试题分析：（1）先通过解二次不等式化简集合B，利用并集的定义求出A∪B，利用补集的定义求出CRA，进一步利用交集的定义求出（CRA）∩B；（2）根据交集的定义要使A∩C≠∅，得到a＞3．解：（1）B═{x|x2﹣12x+20＜0}={x|2＜x＜10}；因为A={x|3≤x＜7}，所以A∪B={x|2＜x＜10}；（1分）因为A={x|3≤x＜7}，所以CRA={x|x＜3或x≥7}；（1分）（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（1分）（2）因为A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}．A∩C≠∅，所以a＞3．（2分）考点：交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．18.已知函数.求：（1）函数的最值及相应的的值；（2）函数的最小正周期.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由，可推得，即可求解函数的最值及其相应的的值.（2）利用三角函数的周期公式，即可求解函数的最小正周期.试题解析：（1）因为，所以，所以，所以，此时，即；所以，此时，即.（2）函数的最小正周期.19.已知向量，，，求作和.【答案】详见解析【解析】【分析】根据向量加减法的三角形法则作图即可.【详解】由向量加法的三角形法则作图：由向量三角形加减法则作图：【点睛】本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题.20.设 (1-x)15=a0+ a1x+ a2x2++ a15x15求: (1) a1+ a2+ a3+ a4+ + a15(2) a1+ a3+ a5+ + a15【答案】(1) -1 (2) -214【解析】试题分析：(1)利用赋值法，令可得，再令即可求得；(2)利用赋值法，令，，所得的两式做差计算可得.试题解析：(1)题中的等式中，令可得：，即，令可得：，据此可得：.(2)题中的等式中，令可得：，①令可得：，②①-②可得：，则：.点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为0，1，－1.21.化简求值（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：根据实数指数幂和对数的运算公式，即可求解上述各式的值.试题解析：（1）原式；（2）原式===2019-2020学高一数学下学期期中试题（C）（含解析）一、单选题1.已知变量满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设目标函数，当过点时，目标函数取得最大值，此时最大值为；当过点时，目标函数取得最小值，此时最小值为，所以的取值范围是，故选A.考点：简单的线性规划求最值.2.若实数a，b满足，则（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】先将指数式化成对数式，求出，再利用换底公式的推论以及对数的运算法则即可求出．【详解】因为，所以，．故选D．【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论的应用以及对数的运算法则的应用．3.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解得，即故选4.在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形．【详解】由题意知，由正弦定理得又展开得，又角A，B，C是三角形的内角又综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C．【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用．5.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（）A 14 B. C. 240 D.【答案】C【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．【详解】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故选C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．6.函数的图像上关于原点对称的点有（）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个【答案】B【解析】【分析】作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，根据交点个数得解.【详解】作出函数的图象如图所示，再作出关于原点对称的图象，记为曲线.容易发现与曲线有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的就是符合题意的点.故选：B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的图象及其应用，考查了数形结合的思想方法，属于中档题.解答本题的关键是作出函数位于轴左侧的图象关于原点的对称图象，从而转化为二次函数图象与指数函数图象的交点个数问题，就容易解答了. 作关于原点对称的图象时，要把握好其三要素开口方向、对称轴和顶点.7.下列说法错误的是( )A. 若＋＝，则－＝B. 若＋＝，则-＝C. 若＋＝，则－＝D. 若＋＝，则＋＝【答案】D【解析】【分析】由向量的减法就是向量加法的逆运算判断，由相反向量的定义判断.【详解】由向量的减法就是向量加法的逆运算可知正确；由相反向量的定义可知，所以若＋＝，则－＝，正确；若＋＝，由相反向量定义知，＋＝-＝＋，故错误，故选D．【点睛】本题主要考查向量的运算，以及相反向量的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.8.已知实数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析: 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．详解: 作出不等式组对应的平面区域如图，z的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，1）的斜率，由图象知当直线过B（1,3）时，直线斜率最大，此时直线斜率为1，则的最大值为1，故选A．点睛: 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.若，则下列不等式错误是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得,此题比较适合用特殊值法，令，那么对于A选项，正确，B选项中，可化简为，即成立，C选项，成立，而对于D选项，，不等式不成立，故D选项错误，综合选D.考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.特殊值法.【思路点晴】本题主要考查是利用指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小问题，属于难题，此类题目的核心思想就是指数函数比较时，尽量变成同底数幂比较或者是同指数比较，对数函数就是利用换底公式将对数转换成同一个底数下，再利用对数函数的单调性比较大小，但对于具体题目而言，可在其取值范围内，取特殊值（特殊值要方便计算），能够有效地化难为易，大大降低了试题的难度，又快以准地得到答案.10.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=的图象变换规律，得出结论．【详解】由函数f（x）=的部分图象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2sin（2x+φ），将代入得，∵﹣π＜φ＜0，∴．故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到的图象，即为的图象，故选B．【点睛】由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.二、填空题11.定义运算，例如，，则函数的最大值为 .【答案】【解析】【详解】由；所以，此函数图象如图所示，所以最大值是；12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式及分式成立的条件,即可求得函数的定义域.【详解】函数所以自变量的取值满足解不等式组可得即故答案为:【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.13.设集合，，若，则的取值范围为________．【答案】.【解析】【分析】先化简集合A,再根据得到关于a的不等式求出a的取值范围.【详解】由得，∴，由得，∴．又当时，满足，时，也满足，∴.故答案为【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．14.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点满足，则平面区域内必存在一个C点在直线的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．【详解】作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为，直线的斜率为，斜截式方程为，要使平面区域内存在点满足，则点必在直线的下方，即，解得，并且A在直线的上方；，可得，解得，故m的取值范围是：故答案为【点睛】本题主要考查线性规划基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.已知函数，则f（log23）＝_____．【答案】【解析】由已知得三、解答题16.已知函数（且）是定义在上的奇函数.（1）求值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，，即可求出的值；（2）由（1）得函数的解析式，当时，，将不等式转化为.利用换元法：令，代入上式转化为时，恒成立，根据二次函数的图象与性质，即可求出的取值范围.【详解】解：（1）∵在上奇函数，即恒成立，∴.即，解得.（2）由（1）知，原不等式，即为.即.设，∵，∴，∵时，恒成立，∴时，恒成立，令函数,根据二次函数的图象与性质，可得，即解得.【点睛】本题考查奇函数的定义与性质，二次函数的图象与性质，考查不等式恒成立含参数的取值范围，考查转化思想和换元法17.已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁RA）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【答案】（1）A∪B={x|2＜x＜10}；（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（2）a＞3．【解析】试题分析：（1）先通过解二次不等式化简集合B，利用并集的定义求出A∪B，利用补集的定义求出CRA，进一步利用交集的定义求出（CRA）∩B；（2）根据交集的定义要使A∩C≠∅，得到a＞3．解：（1）B═{x|x2﹣12x+20＜0}={x|2＜x＜10}；因为A={x|3≤x＜7}，所以A∪B={x|2＜x＜10}；（1分）因为A={x|3≤x＜7}，所以CRA={x|x＜3或x≥7}；（1分）（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（1分）（2）因为A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}．A∩C≠∅，所以a＞3．（2分）考点：交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．18.已知函数.求：（1）函数的最值及相应的的值；（2）函数的最小正周期.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由，可推得，即可求解函数的最值及其相应的的值.（2）利用三角函数的周期公式，即可求解函数的最小正周期.试题解析：（1）因为，所以，所以，所以，此时，即；所以，此时，即.（2）函数的最小正周期.19.已知向量，，，求作和.【答案】详见解析【解析】【分析】根据向量加减法的三角形法则作图即可.【详解】由向量加法的三角形法则作图：由向量三角形加减法则作图：【点睛】本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题.20.设 (1-x)15=a0+ a1x+ a2x2++ a15x15求: (1) a1+ a2+ a3+ a4+ + a15(2) a1+ a3+ a5+ + a15【答案】(1) -1 (2) -214【解析】试题分析：(1)利用赋值法，令可得，再令即可求得；(2)利用赋值法，令，，所得的两式做差计算可得.试题解析：(1)题中的等式中，令可得：，即，令可得：，据此可得：.(2)题中的等式中，令可得：，①令可得：，②①-②可得：，则：.点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为0，1，－1.21.化简求值（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：根据实数指数幂和对数的运算公式，即可求解上述各式的值.试题解析：（1）原式；（2）原式===。

一、单选题1．cos cos =（ ） 20︒10sin 20sin10︒︒︒-A ．sinB ．cosC ．D 10︒10︒12【答案】D【分析】利用两角和的余弦公式的逆应用直接求解即可.【详解】cos cos =20︒10sin 20sin10︒︒︒-()cos 2010cos30+== 故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.2．已知向量,,,若为实数，，则的值为(1,2)a =(1,0)b = (3,4)c = λ()λ+⊥ b a c λA ． B ． C ．D ．311-113-1235【答案】A【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】解：由，得，()b a c λ+⊥ ()=0b a c λ+⋅又,,,得， (1,2)a = (1,0)b = (3,4)c = ()=1,2b a λλλ++，解得.()()=3142=0b a cλλλ+⋅++⨯3=11λ-故选：A.3．命题：“向量与向量的夹角为锐角”是命题：“”的（ ）p a bθq 0a b ⋅> A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断【详解】若向量与向量的夹角为锐角，则，a bθcos 0a b a b θ⋅=> 当时，向量与向量的夹角可能为，0a b ⋅> a bθ0︒所以命题是命题的充分不必要条件， p q 故选：A4．若则的值为（ ）3cos 22sin(),(,)42ππαααπ=-∈sin 2αA ．B ．C ．D ．79-79【答案】C【分析】先化简得.3cos 22sin()4παα=-cos sin αα+=【详解】因为3cos 22sin(),4παα=-所以3cos 22(sincos cossin ),44ππααααα=-所以，223(cos sin)sin )αααα-=-所以， 3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+--因为，所以，(,)2παπ∈cos sin 0αα-≠所以3(cos sin )αα+=所以， cos sin αα+=两边平方得，，21+sin 29α=所以，7sin 29α=-故选：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．已知向量，，若向量，的夹角为，则（ ）(a = ()3,tan b θ= a bπ6θ=A ．0 B ．C ．D ．π6π3π2【答案】C【分析】根据平面向量的夹角公式的坐标运算，即可求出结果.【详解】由题意可知，cos ,a b a b a b ⋅〈〉===⋅tan θ=因为，所以. 0πθ≤≤π3θ=故选：C.6．在中，点，满足，，若，则（ ）ABC A M N 2AM MC = BN NC =MN xAB y AC =+ x y +=A ．B ．C ．D ．1161312【答案】B【分析】由已知得，由此能求出结果．1132MN MC CN AC CB =+=+【详解】在中，点，满足，，ABC A M N 2AM MC = BN NC =∴1132MN MC CN AC CB =+=+ 11()32AC AB AC =+-1126AB AC =-， xAB y AC =+ ，， 12x ∴=16y =-． 111263x y ∴+=-=故选：B ．7．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为()f x cos()x ωϕ+()f xA ．B ．13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．D ．13(,44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令1+42{53+42πωϕπωϕ===ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+，解得＜＜，，故单调减区间为（，22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 324k +Z k ∈124k -），，故选D. 324k +Z k ∈【解析】三角函数图像与性质8．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） (,6)a x = (3,4)b = a bx A ．B ．C ．D ．[)8,-+∞998,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭998,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭()8,-+∞【答案】B【分析】根据向量夹角为锐角，则数量积为正数从而求得参数的初步范围；再排除向量平行对应的参数值，即可求得结果.【详解】若，则，解得.//a b418x =92x =因为与的夹角为锐角，∴.a b92x ≠又，由与的夹角为锐角， 324a b x ⋅=+a b ∴，即，解得.0a b ⋅>3240x +>8x >-又∵，所以.92x ≠998,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：.B 【点睛】本题考查利用数量积由夹角的范围求参数的范围，属基础题.二、多选题9．设、、是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） a b cA ．B ．00a ⋅= ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r C ．D ．0a b a b ⋅=⇒⊥ ()()22b b a b a a +-=⋅- 【答案】AB【解析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，，A 选项错误；00a ⋅=对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，()a b c ⋅⋅r r r c ()a b c ⋅⋅r r r a a c B 选项错误；对于C 选项，，C 选项正确；0a b a b ⋅=⇒⊥对于D 选项，，D 选项正确.()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- 故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.10．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）A ．该质点的运动周期为0.7sB ．该质点在0.3s 和0.7s 时运动速度为零C ．该质点在0.1s 和0.5s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8s【答案】CD【分析】由题图求得质点的振动周期可判定A 错，D 正确；由简谐运动的特点，可判定B 错，C 正确．【详解】对于A ，D ，由题图可知，质点的运动周期为，所以A 错，D 正确； 2(0.70.3)0.8s ⨯-=对于B ，C ，由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故B 错，C 正确． 综上，CD 正确． 故选：CD.11．如图，中，，，，为的中点，与交于，则下ABCD Y 1AB =2AD =π3BAD ∠=E CD AE DB F 列叙述中，一定正确的是（ ）A ．在方向上的投影为0B ．BF AB1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u rC ．D ．若，则1AF AB ⋅=u u u r u u u r12FAB α=∠tan α=【答案】ABC【分析】由余弦定理以及勾股定理可得， 可判断A,根据平面向量的线性运算以及共线的BD AB ⊥性质即可判断B,由数量积的运算律即可求解C ，由向量的夹角公式即可判断D.【详解】对于A ，因为，BD ===因为，所以，即，在上的投影为222AD AB BD =+BD AB ⊥,90BF AB 〈〉=︒ BF AB||cos ,0BF BF AB 〈〉=，故A 正确；对于B ，因为，设，12AE AD DE AD AB =+=+ 11()22AF AE AD AB AD AB λλλλ==+=+因为，，三点共线，所以，所以，所以，所以B 正确；B F D 112λλ+=23λ=1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u r 对于C ，，C 正确；21212121()1213333332AF AB AB AD AB AB AB AD ⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=对于D ，因为 ||AF ==所以， cos ,||||AF AB AF AB AF AB ⋅<>= tan α=1302FAB α=∠=︒所以，不满足D 不正确．260FAB α∠==︒cos FAB ∠故选：ABC12．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再()22cos 16f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则的值()0ϕϕ>ϕ可以为（ ） A ．B ．C ．D ．116765623【答案】AC【分析】本题首先可以将转化为，然后通过图象变()22cos 16f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()cos 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭换得出函数，最后通过函数是奇函数即可得出结()cos 3h x x ππϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()cos 3h x x ππϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭果.【详解】，()22cos 1cos 263f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数，()os 3c g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，()0ϕϕ>()cos 3h x x ππϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为函数是奇函数，所以，()cos 3h x x ππϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()03cos 0h πϕπ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭即，解得，()23k k Z ππϕππ-+=+∈16k ϕ=--故的值可以为、， ϕ11656故选：AC.【点睛】本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数，再向右平移个单位长度得到函数cos 2y x =cos y x =ϕ，考查推理能力与计算能力，是中档题.()cos y x ϕ=-三、填空题13．函数的最大值为__________. ()2cos sin f x x x =+【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【详解】解：函数f （x ）＝2cos x +sin x x sin x ）sin （x +θ），其中tan θ＝==2，【点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，sin()y A x B ωϕ=++解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．|sin cos |a x b x +≤14．定义关于向量的运算法则，若，，则()2a b a a b ⊗=⋅+ ()1,2m = ()2,1n =()()m n m n -⊗+=______． 【答案】2【分析】先计算，，再结合新定义转化为计算两者的数量积即()1,1m n -=- ()()25,7m n m n -++=可.【详解】因为，， ()1,1m n -=- ()()235,7m n m n m n -++=+=所以. ()()15172m n m n -⊗+=-⨯+⨯=故答案为：215．已知，且，则向量的坐标是____.5,(2,1)a b ==//a b a【答案】 或(-【分析】先设，根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果.(,)a x y =【详解】设，(,)a x y =因为，且，||5,(2,1)== a b //a b 所以，解得222025x y x y -=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因此向量的坐标是 或. a(-故答案为 或(-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.16．已知函数f （x ）＝sin ，其中x ∈，若f （x ）的值域是，则实数a 的取6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,3a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值范围是______． 【答案】,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知得x ＋∈，建立关于a 的不等式可得答案　．6π,+66a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】∵x ∈，∴x ＋∈，,3a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6π,+66a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∵f (x )的值域为，所以≤a ＋≤，解得≤a ≤π.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π6π76π3π故答案为：．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域，属于基础题．四、解答题17．已知单位向量，满足. a b()()2323a b a b -⋅+=（1）求；a b ⋅（2）求的值.2a b -【答案】（1）； （2.12-【分析】（1）利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出； （2）利用数量积运算性质,即可求得答案.【详解】（1）由条件，2242633a a b a b b +⋅-⋅-=即，4433a b -⋅-=12a b ∴⋅=-（2），222124441472a b a a b b ⎛⎫-=-⋅+=+-⨯-= ⎪⎝⎭∴2a b -=【点睛】本题主要考查了求向量的数量积和向量模，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18．已知函数．()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求当时，的值域．,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；（2）.π1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期； （2）由x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域．【详解】1(())22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1cos 22sin 22x x x ⎫=+-⎪⎪⎭， 12sin 2sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 22T ππ∴==的最小正周期为；()f x \π2，，(),44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，的值域是． 1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x \1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题. 19．已知点，，为坐标原点 ()1,1A ()2,ln B t O (1)若，，无法构成三角形，求； A B O t (2)若为直角三角形，求． ABO A t 【答案】(1) 2e t =(2)或 1t =21e t =【分析】（1）根据向量共线的坐标运算即可求解， （2）由向量垂直的坐标运算即可列式求解.【详解】（1）若，，无法构成三角形，则三个点在一条直线上，故,又A B O //OA OB，所以，故，()()112ln OA ,,OB ,t ==2ln 2e t t =Þ=2e t =（2）若角为直角，则，由得，O OA OB ⊥ ()()112ln OA ,,OB ,t == 212ln 0eOA OB t t ×=+=Þ= 若角为直角，则，由得， A OA AB ⊥ ()()111ln 1OA ,,AB ,t ==- 1ln 101OA AB t t ×=+-=Þ=角为直角，则，由得，由于B OB AB ^()()2ln 1ln 1OB ,t AB ,t ==-，()2ln ln 10OB AB t t ×=+-=，此时方程无实数根，2217ln ln 2=ln +>024t t t æöç÷-+-ç÷èø综上或 1t =21e t =20．如图，是坐标原点，，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限；O M N(1)证明：；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（提示：设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和ON αOM βM N ()cos ,sin ββ）()cos ,sin αα(2)求的范围． OM ON +【答案】(1)证明见解析；(2) ⎡⎣【分析】（1）设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为和ON αOM βM N ()cos ,sin ββ，令与的夹角为，则, ,从而利用向量的数量积结合诱导()cos ,sin ααON OMθ2πk θαβ=+-Z k ∈公式即可证明；（2）令与的夹角为，可得，利用，再结合余弦函数ON OM θππ2θ<≤()22OM ON OM ON +=+ 的性质即可求解.【详解】（1）证明: 如图，设为的终边，为的终边，则，两点的坐标可表示为ON αOM βM N 和()cos ,sin ββ()cos ,sin αα则 ，(cos ,sin ),(cos ,sin )ON OM ααββ==(cos ,sin )(cos ,sin )ON OM ααββ∴⋅=⋅ cos cos sin sin αβαβ=+设与的夹角为，则, ,ON OM θ2πk θαβ=+-Z k ∈且||||cos cos ON OM ON OM θθ⋅=⋅⋅= ，cos cos()cos cos sin sin θαβαβαβ∴=-=+故成立.cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）令与的夹角为，ON OM θ因为，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，M N 所以. ππ2θ<≤，222222cos OM ON OM OM ON ON θ+=⋅++=+ ，， ππ2θ<≤ 1cos 0,022cos 2θθ∴-≤<∴≤+<所以， 0OM ON ≤+<故的范围为.OM ON + ⎡⎣21．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内OPQ 1OP =π4POQ ∠=C ABCD 接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．POC α∠=αABCD【答案】，矩形 π8α=ABCD 【分析】由题意可得，，从而可得矩形的面积cos sin AB αα=-sin BC α=ABCD，再由可得，由此可得当时，取得最π)421S α=+-π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=S 大值.【详解】在中，，，Rt OBC △sin BC α=cos OB α=在中，， Rt ADO △πtan 14AD OA ==所以，sin OA AD BC α===所以， cos sin AB OB OA αα=-=-设矩形的面积为，则ABCD SS AB BC =⋅(cos sin )sin ααα=-⋅2sin cos sin ααα=-， 111sin 2cos 2222αα=+-π)214α=+-由，得， π04α<<ππ3π2444α<+<所以当，即时， ππ242α+=π8α=max S =因此，当时，矩形. π8α=ABCD22．已知向量，，设函数，且的图象过点(,cos 2)a m x = (sin 2,)b x n = ()f x a b =⋅ ()y f x =(12π和点. 2(,2)3π-（Ⅰ）求的值；,m n （Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图()y f x =ϕ0ϕπ<<()y g x =()y g x =象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.(0,3)()y g x =【答案】（I ）.1m n ==（II ）函数的单调递增区间为.()y g x =[,],2k k k Z πππ-∈【详解】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法(12π2(,2)3π-,m n 得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，()y g x =(0,3)ϕ()2cos 2g x x =求减区间需令解的范围[]22,2x k k πππ∈+x 试题解析：（1）由题意知．的过图象过点和， ()y f x = (12π2(,2)3π-所以即解得sin cos ,66{442sin cos ,33m n m n ππππ=+-=+1,2{12,2m n =-=-{ 1.m n ==（2）由（1）知． 由题意知． ()()2sin(226g x f x x πϕϕ=+=++设的图象上符合题意的最高点为，()y g x =0(,2)x，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）． 1=将其代入得，因为，所以， ()y g x =sin(2)16πϕ+=0ϕπ<<6πϕ=因此． ()2sin(2)2cos 22g x x x π=+=由Z 得Z ，222,k x k k πππ-+≤≤∈,2k x k k πππ-+≤≤∈所以函数的单调递增区间为()y f x =[,],2k k k Z πππ-+∈【解析】1.三角函数化简与性质；2.图像平移。

大市联考卷（三）数 学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数2i z =+，则zz z =-（ ）A. 1i 2-- B.1i 2- C.1i 2+ D. 1i 2-+【答案】A 【解析】【分析】根据共轭复数定义及复数的乘除法得出选项.【详解】()222i 2i 2i i 2i 11i 2i 2i 2i 2i 22z z z ---+=====---+---,故选：A.2. 已知命题2:,e 1x p x ∀∈≥R ；命题2:1,ln (1)q x x x ∃>=--，则（ ）A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质即可判断命题p 的真假，举例即可判断命题q 的真假，再根据原命题与命题的否定真假的关系即可得解.【详解】对于命题p ，因为20x ≥，所以2e 1x ≥，所以命题p 为真命题，p ⌝为假命题；对于命题q ，当x >1时，()210x --<，ln 0x >，()2ln 1x x =--不成立，所以命题q 为假命题，q ⌝为真命题.故选：C.3. 已知,M N 为全集U 的非空真子集，且,M N 不相等，若()U M N U = ð，则（ ）A. N M ⊆ B. M N N ⋃=C. ()U M N ⋂=∅ð D. ()U M N U⋃=ð【解析】【分析】根据题意分析可知集合M 是集合N 的真子集，结合韦恩图逐项分析判断.【详解】因为()U M N U = ð，等价于U U N M ⊆ðð，等价于M N ⊆，且,M N 不相等，可知集合M 是集合N 的真子集，故A 错误；且M N N ⋃=，故B 正确；据此作出韦恩图，可知()U M N ≠∅ ð，()U M N U ⋃≠ð，故CD 错误；故选：B.4. 已知()()cos f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（ ）A. ππ0x y +-= B. ππ0x y -+= C. π0x y -+= D. 0x y +=【答案】D 【解析】【分析】由奇函数的性质求出()cos f x x x =，再由导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出直线方程即可；【详解】因为()()cos f x x a x =+为奇函数，且定义域为R ，所以()00f =，即()()00cos0=0=0f a a =+⇒，所以()cos f x x x =，经检验符合题意，则()cos sin f x x x x -'=，曲线y =f (x )在点()()π,πf 处的切线斜率为()cos ππsin π1k f x ==-=-'，又()ππcos ππf ==-所以曲线y =f (x )在点()()π,πf 处的切线方程为()()π1πy x --=-⨯-，即0x y +=.5. 法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：男生82858687889090929496女生82848587878788889092则下列说法错误的是（ ）A. 男生样本数据的25%分位数是86B. 男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数、中位数、众数、平均数、方差的定义一一判断即可.【详解】对于A ：1025% 2.5⨯=，所以男生样本数据的25%分位数是86，故A 正确；对于B ：男生样本数据的中位数为8890892+=，男生样本数据的众数为90，故B 正确；对于C ：女生样本数据的平均数为()182848587388290928710+++⨯+⨯++=，女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为()1848587388290878++⨯+⨯+=，故C 正确；对于D ：女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，但极差变小，所以方差变小，故D 错误.故选：D6. 已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AO OB OC =+，若AO AB AC λμ=+ ，则λμ+=（ ）A.23B.13C.12D.14【答案】C 【解析】是【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理计算可得.【详解】因为2AO OB OC =+，所以22AO O OA O OC A A B O =+--- ，即4AO AB AC =+，即1144AO AB AC =+ ，又AO AB AC λμ=+ ，AB 、AC 不共线，所以1414λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12λμ+=.故选：C7. 已知体积为的球O 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，取CD 的中点F ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，利用∽ POQ PFH 求出球心到四棱锥顶点的距离h ，再由棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，由体积34=π3R得R =，连接PH ，PH ⊥平面ABCD ，球心O 在PH 上，OH R =，取CD 的中点F ，连接,HF PF ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，且OQ PF ⊥，∽ POQ PFH ，球心到四棱锥顶点的距离为h ，所以=PQ PH OQ FH，解得h =，所以1133==⨯=ABCD V S PH .故选：A.为8. 已知双曲线222:1y C x b-=，在双曲线C 上任意一点P 处作双曲线C 的切线（0,0p p x y >>），交C在第一、四象限的渐近线分别于A 、B 两点．当2OPA S =△时，该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】【分析】利用导数求出双曲线C 在点P 处的切线方程，与两渐近线联立求出,A B 两点坐标，由此证明点P 是线段AB 的中点，可得24OAB OPA S S == ，计算求得b ，得解.【详解】如图，设双曲线C 在点P 处的切线为l ，切线l 与x 轴交于点D ，根据题意点P 在双曲线第一象限，由2221yx b -=，得y =，所以y '=，则在点(),P P P x y的切线斜率为2p Pb x k y ==，所以在点(),P P P x y 的切线方程为221P p y yx x b -=，令0y =，得1px x =，所以点1,0p D x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，渐近线方程为y bx ±=，联立21p Py bxy yx x b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得121p p p p b x bx yb y bx y ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，所以点2,p p p p b b A bx y bx y ⎛⎫ ⎪⎪--⎝⎭，同理可得2,p p p Pb b B bx y bx y ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，又2P pP p p b bbx y bx y x +-+=，222P P P P Pb b bx y bx y y -+-+=，所以点P 是线段AB 的中点，所以24OAB OPA S S == ，即得12142OD y y ⋅-=，即22142pp P P P b b x bx y bx y ⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪-+⎝⎭，解得4b =.又21a =，所以211617c =+=，即c =ce a==故选：A.，【点睛】关键点睛：本题关键在求出,A B 两点坐标，此证明点P 是线段AB 的中点，可得121242OAB OPA S S OD y y ==⋅-= ，计算求得b .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的通项公式为()627nn a n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A. 1a 是数列{}n a 的最小项 B. 4a 是数列{}n a 的最大项C. 5a 是数列{}n a 最大项 D. 当5n ≥时，数列{}n a 递减【答案】BCD 【解析】【分析】设第n 项为{}n a 的最大项，根据11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩列出不等式组，求解即可判断BCD ，利用数列的单调性及范围判断A ．【详解】设第n 项为{}n a 的最大项，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，即1166(2)(1)7766(2)(3)77n n n n n n n n -+⎧⎛⎫⎛⎫+⋅≥+⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+⋅≥+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，所以54n n ≤⎧⎨≥⎩，的又*N n ∈，所以4n =或5n =，故数列{}n a 中4a 与5a 均为最大项，且545467a a ==，当5n ≥时，数列{}n a 递减，故BCD 正确，当n 趋向正无穷大时，()627nn a n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭无限趋向于0且大于0，且11807a =>，所以1a 不是数列{}n a 的最小项，且数列{}n a 无最小值，故A 错误.故选：BCD10. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A ，过点A 作斜率为k 直线l 与C交于11(,)M x y ，22(,)N x y 两点．若直线1)y x =-经过点F ，则（ ）A. 2p =B. 121x x =C. 1k ≥D. 22FMFN +的取值范围是(8,)+∞【答案】ABD 【解析】【分析】首先求出(1,0)F ，从而得到2p =，判断A ，联立直线与抛物线方程，由根的判别式和韦达定理可判断B,C ，由焦半径公式化简可得：2222442FM FN k k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合二次函数的最值问题即可判断D.【详解】因为抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，且直线1)y x =-经过点F ，所以(1,0)F ，则12p=，解得：2p =，故A 正确；所以抛物线方程为：24y x =，则(1,0)A -，设过点A 作斜率为k 直线l 的方程为：y kx k =+，联立：24y x y kx k⎧=⎨=+⎩，消去y 可得：2222(24)0k x k x k -++=，显然0k ≠，2242(24)416160k k k ∆=--=->，解得10k -<<或01k <<，故C 错误；由韦达定理可得：212224k x x k=-+-，121x x =，故B 正确；因为11FM x =+，21FN x =+，所以22222121212121222442()2()2()222FMFN x x x x x x x x x x k k ⎛⎫+=++++=+++-+=- ⎪⎝⎭，令24t k =，则()4,t ∞∈+，则2222442(2)(1)1(41)18t t t k k ⎛⎫-=-=-->--= ⎪⎝⎭，所以22FM FN +的取值范围是(8,)+∞，故D 正确；故选：ABD11. 若函数()cos 1cos ,Z f x nx n =-∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若2n =，则函数()f x 的最大值为2B. 若3n =，则函数()f x 奇函数C. 存在Z n ∈，使得()sin 1sin f x nx=-D. 若()()sin cos 2f x f x +=，则42,Z n k k =+∈【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：整理可得[]2()22,1,1f x x x =-∈-，结合二次函数求最值；对于B ：举反例说明即可；对于C ：取1n =，代入检验即可；对于D ：根据题意结合诱导公式可得()πcos cos 2ππ,2n nx nx k k ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭Z ，进而可得π2ππ,2n k k =+∈Z ，运算求解即可.【详解】因为[]cos 1,1x ∈-，可知()f x 的定义域为[]1,1-，对于选项A ：当2n =时，2(cos )1cos 222cos f x x x =-=-，为可得[]2()222,1,1f x x x =-≤∈-，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()f x 的最大值为2，故A 正确；对于选项B ：当3n =时，则()cos 1cos3f x x =-，令π2x =，则π3πcos cos022==，可得()010f =≠，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误；对于选项C ：当1n =时，(cos )1cos f x x =-，则[]()1,1,1f x x x =-∈-，且对任意R x ∈，则[]sin 1,1x ∈-，所以(sin )1sin f x x =-，故C 正确．对于选项D ：因为πππ(sin )cos 1cos 1cos 222n f x f x n x nx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若π(sin )(cos )1cos 1cos 22n f x f x nx nx ⎛⎫+=--+-= ⎪⎝⎭，可得()πcos cos cos 2ππ,Z 2n nx nx nx k k ⎛⎫-=-=--∈ ⎪⎝⎭，则π2ππ,Z 2n k k =+∈，解得42,Z n k k =+∈，故D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于BC ：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知1tan sin(),43tan ααββ-==，则sin()αβ+=__________.【答案】59【解析】【分析】根据给定条件，利用差角的正弦公式、正切化成正余弦求出sin cos ,cos sin αβαβ，再利用和角的正弦公式计算即得.【详解】由1tan sin(),43tan ααββ-==，得1sin cos cos sin 3sin cos 4cos sin αβαβαβαβ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得41sin cos ,cos sin 99αβαβ==，所以5sin()sin cos cos sin 9αβαβαβ+=+=.故答案为：5913. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若225342,4a a a a ==，则6S =__________.【答案】634##15.75【解析】【分析】本题利用等比数列的性质或者基本量法计算数列的首项和公比，再利用等比数列的前n 项和公式计算即可得出结果.【详解】因为252a a ⋅=，所以25342a a a a ⋅=⋅=，又因为2344a a ⋅=，所以32a =，41a =，从而12q =，又2312a a q ==，所以18a =，所以666181163216112412S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=⎪⎝⎭-.故答案为：634.14. 以()max min M M 表示数集M 中最大（小）的数.设0,0,0a b c >>>，已知221a c b c +=，则111min max ,,a b c ⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭__________.【解析】【分析】由221a c b c +=，得221a b c +=，设111max ,,M a b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则111,,a b c M M M ≥≥≥，再结合基本不等式求解即可.【详解】由221a c b c +=，得221a b c+=，设111max ,,M a b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则22111,,2a b ab M cM M a b ≥≥=+≥≥，由3222M M ab ab =+≥+=+≥=，当且仅当a b c ===所以111min max ,,a b c ⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭..【点睛】关键点点睛：设111max ,,M a b c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由已知得出2212b M a b a c=≥≥+，进而得出322M ab ≥+是解决本题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. △ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sinsin 2B C b a B +=．（1）求角A 的大小；（2）M 为△ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =△ABC 的面积．【答案】（1）π3A =；（2）．【解析】【分析】（1）在ABC V 中，利用诱导公式，正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果；（2）分别在ABC V ，ABD △和ACD 中，利用余弦定理建立等量关系，利用三角形面积公式可得结果.【小问1详解】在ABC V 中，因为πsin sin cos sin 2222B C A A b b b a B +⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，由正弦定理可得sin cossin sin 2A B A B =，0πB << ，0sinB ∴≠，即cos sin 2A A =，所以cos 2sin cos 222A A A =，π0π022A A <<⇒<< ，cos 02A ∴>，故1sin 22A =，即π3A =.【小问2详解】因为M 为ABC V 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =所以点D 为BC 中点，且AD =，在ABC V 中，6a =，22261cos 22b c A bc +-==，即2236bc b c =+-，在ABD △和ACD 中，222222cos cos 22AD BD c AD CD b ADB ADC AD BD AD CD+-+-∠==-∠=-⋅⋅，化简得2272b c +=，所以2236723636bc b c =+-=-=，故11πsin 36sin 223ABC S bc A ==⨯⨯= ，所以ABC V 的面积为16. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12, 1.AB AA AD DC N ====是11B C 的中点，M 是1DD 的中点.（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，利用线面平行判定推理即得.（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，求出平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量，再利用面面角的向量求解即得.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接,NP MP ，由N 是11B C 的中点，得1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，得1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有11//,D M NP D M NP =，四边形1D MPN 是平行四边形，于是1//D N MP ，又MP ⊂平面11,CB M D N ⊄平面1CB M ，所以1//D N 平面1CB M .【小问2详解】四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，则直线1,,AB AD AA 两两垂直，以A 为原点，直线1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，有()()()()()()110,0,02,0,0,2,0,2,0,1,1,1,1,0,1,1,2A B B M C C ､，则有()()()111,1,2,1,0,1,0,0,2CB CM BB =-=-= ，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z ==，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，得()1,3,1m = ，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令21x =，得()1,1,0n =，因此cos,m nm nm n⋅===⋅.所以平面1CB M与平面11BB CC.17. 已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，点(2,1)M在C上，121MF MF⋅=-，过点M作两条斜率互为相反数的直线，分别交C于不同的两点,A B．（1）求C的标准方程；（2）证明：直线AB的斜率为定值，并求出该值．【答案】（1）22182x y+=（2）证明见解析，12【解析】【分析】（1）设12(,0),(,0)F c F c-，根据题设得到(2)(2)11c c---+=-，从而得到c=，即而有22411a b+=和226a b-=，联立即可求解；（2）设直线MA的方程为1(2)y k x-=-，直线MB的方程为1(2)y k x-=--，联立直线MA与椭圆方程，消y得到222(14)8(21)161640k x k k x k k+--+--=，从而得到2288214Ak kxk--=+，2244114Ak kyk--+=+，同理求得2288214Bk kxk+-=+，2244114Bk kyk-++=+，即可求解.【小问1详解】设12(,0),(,0)F c F c-，且222c a b=-，因为12(2,1),(2,1)MF c MF c=---=--，又121MF MF⋅=-，所以(2)(2)11c c---+=-，解得c=又点(2,1)M在C上，所以22411a b+=①，又226a b-=②，联立①②，解得228,2a b==，所以C的标准方程为22182x y+=.【小问2详解】设直线MA 的方程为1(2)y k x -=-，直线MB 的方程为1(2)y k x -=--，由221821(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消y 得到222(14)8(21)161640k x k k x k k +--+--=，所以28(21)214A k k x k -+=+，得到2288214A k k x k --=+，所以2222882441(2)11414A k k k k y k k k ----+=-+=++，同理可得2288214B k k x k+-=+，2244114B k k y k -++=+，所以222222224414411141488288221414B A ABB A k k k k y y k k k k k k k x x k k -++--+--++===+-----++为定值，即直线AB 的斜率为定值，定值为12.18. 已知函数()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--.（1）函数()f x 与()g x 的图象关于1x =-对称，求()f x 的解析式；（2）()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：2111ln42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，*n ∈N .【答案】（1）()()2ln 1cos f x x x =++，(1)x >-.（2）2a =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设()f x 图象上任意一点坐标为()00,x y ，利用其对称点在()g x 的图象上可得函数()f x 的解析式；（2）令()()1h x f x ax =--，可得0x =为()h x 的一个极大值点，求得a ，再证明当2a =时()0h x ≤，在()1,x ∞∈-+恒成立即可；（3）由（2）可知：()12f x x -≤，可得1122f k k ⎛⎫-≤⎪⎝⎭，进而可得121111122122k n n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ，利用ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立，令1n x n =+()0,1∈利用1ln1111n n n n n -<-=+++可得答案.【小问1详解】依题意，设()f x 图象上任意一点坐标为()00,x y ，则其关于1x =-对称的点()002,x y --在()g x 图象上，则()()0002y f x g x ==--，则()()()000022ln 1cos f x g x x x =--=++()01x >-，故()()2ln 1cos f x x x =++(1)x >-；【小问2详解】令()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--，(1)x >-，则()0h x ≤()1,x ∞∈-+恒成立，又()00h =，且()h x 在()1,x ∞∈-+上是连续函数，则0x =为()h x 的一个极大值点，()2sin 1h x x a x '=--+，()0202h a a '=-=⇒=，下证当2a =时，()0h x ≤在()1,x ∞∈-+恒成立，令()()ln 1x x x ϕ=+-，()1111x x x x ϕ=-=-'++，当()1,0x ∈-，φ′(x )>0，()x ϕ在()1,0-上单调递增，当()0,x ∞∈+，()0x ϕ'<，()x ϕ在()0,∞+上单调递减，故()()00x ϕϕ≤=，()ln 1x x +≤在()1,∞-+上恒成立，又cos 1x ≤，则2a =时，()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-≤⎣⎦恒成立，综上，2a =；在【小问3详解】由（2）可知：()12f x x -≤，则11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f k k ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ .又由（2）可知：()ln 1x x +≤在()1,∞-+上恒成立，则ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立且当且仅当1x =时取等，令1n x n =+()0,1∈，*n ∈N ，则1ln 1111n n n n n -<-=+++，即()11ln ln ln 1ln 11n n n n n n n+<-==+-++，则()()()111ln 1ln ln 2ln 1122n n n n n n n +++<+-++-+++ ()()ln 2ln 21n n ++-- ()ln 2ln ln2n n =-=，综上，21112ln2ln42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如()()f x g x ≥的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令()()()F x f x g x =-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最小值，只需()min 0F x ≥恒成立即可；2、参数分离法：转化为()a x ϕ≥或()a x ϕ≤恒成立，即()max a x ϕ≥或()min a x ϕ≤恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数()y f x =的图象在()y g x =的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.19. 有编号为1,2,,n 的n 个空盒子()2,N n n ≥∈，另有编号为1,2,,k 的k 个球()2,N k n k ≤≤∈，现将k 个球分别放入n 个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入n 个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k 号球能放入k 号盒子的概率为(),P n k ．（1）求()3,3P ；（2）当3n ≥时，求(),3P n ；（3）求(),P n k ．【答案】（1）12（2）21n n -- （3）()1,2n k P n k n k -+=-+【解析】【分析】（1）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算；（2）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算；（3）分三类讨论1号球放入的盒子，1号球放入()21j j k ≤≤- 号盒中等效于将编号为1,2,,1k j -+ 的球，按照题设规则放入编号为1,2,,1n j -+ 的盒中()1,1P n j k j -+-+，做差运算可得()(),1,1P n k P n k =--迭代得出结论..【小问1详解】1号球放入1号盒中的概率为13,此时2,3号球分别放入2,3号盒中；1号球放入2号盒中的概率为13,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为12,1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述： ()11113,33322P =+⨯=.【小问2详解】1号球放入1号,4号，5号，, n 号盒中的概率为2n n -，此时3号球可放入3号盒中;1号球放入2号盒中的概率为1n ,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，.... n 号盒中，概率为2n n-,1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述：()2122,311n n n P n n n n n ---=+⨯=--【小问3详解】1号球放入1号，1k +号，2k +号，3k +号，..., n 号盒中的概率为1n k n -+,此时 k 号球可放入 k 号盒中：1号球放入()21j j k ≤≤- 号盒中的概率为1n,此时2号，3号，....1j -号球都可以放入对应编号的盒中，剩下编号为,1,2,,j j j k ++ 的球和编号为 1,,2,,j l j n ++ 的空盒，此时 j 号盒非空， j 号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 k 号球放入 k 号盒中的放法总数等效于将编号为1,2,,1k j -+ 的球，按照题设规则放入编号为1,2,,1n j -+ 的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以概率为 ()1,1P n j k j -+-+1号球放入 k 号盒中时，此时 k 号球不能放入 k 号盒中：所以 ()()1211,1,1k j n k P n k P n j k j n n -=-+=+⨯-+-+∑,整理得： ()()()12,11,1k j nP n k n k P n j k j -==-++-+-+∑,①分别用 1n -和 1k -替换 n 和 k ，可得：()()()()2211,111,1k j n P n k n k P n j k j -=---=-++-+-+∑,②,由①②式相减，整理得： ()(),1,1P n k P n k =--从而 ()()(),1,12,2P n k P n k P n k =--==-+ ,()2,2P n k -+等于1号球不放在2号盒的概率，即()112,2122n k P n k n k n k -+-+=-=-+-+.所以 ()1,2n k P n k n k -+=-+【点睛】关键点点睛： 1号球放入()21j j k ≤≤- 号盒中的关键是等效于将编号为1,2,,1k j -+ 的球，按照题设规则放入编号为1,2,,1n j -+ 的盒中()1,1P n j k j -+-+，做差运算可得()(),1,1P n k P n k =--迭代得出结论..。