高二数学经典例题 (50)

例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。

高二数学数列的经典例题
例题一：等差数列的通项公式
已知等差数列{an} 的首项a1 = 1，公差 d = 2，求第n 项的通项公式。

解：根据等差数列的通项公式，我们有：
an = a1 + (n - 1)d
将已知条件代入公式，得：
an = 1 + (n - 1) * 2
化简得：
an = 2n - 1
例题二：等比数列的求和公式
已知等比数列{bn} 的首项b1 = 2，公比q = 3，求前n 项和Sn。

解：根据等比数列的求和公式，我们有：
Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
将已知条件代入公式，得：
Sn = 2 * (1 - 3^n) / (1 - 3)
化简得：
Sn = (3^n - 1)
例题三：数列的综合应用
已知数列{cn} 满足c1 = 1，且对任意的n ∈ N*，都有cn+1 = 2cn + 1，求数列{cn + 1} 的前n 项和Tn。

解：首先，我们将给定的递推关系式进行变形：
cn+1 + 1 = 2(cn + 1)
这说明数列{cn + 1} 是一个等比数列，其首项为c1 + 1 = 2，公比为2。

然后，我们利用等比数列的求和公式来求{cn + 1} 的前n 项和Tn：
Tn = (c1 + 1) * (1 - 2^n) / (1 - 2)
代入已知条件，得：
Tn = 2 * (2^n - 1)
化简得：
Tn = 2^(n+1) - 2。

1．设集合，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则 )(B A U 等于（ ）A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{2．若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ）A ．[2 ，6]B ． [2，5]C ． [3，6]D ． [3，5]3．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若甲s ，乙s ，丙s 分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）A ．丙乙甲s s s <<B ．乙丙甲s s s <<C ．丙甲乙s s s <<D ．乙甲丙s s s <<4．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品共有16件，那么此n =（ ）A ．80B ．90C ． 100D ．1205．以（5，6）和（3，－4）为直径端点的圆的方程是（ ）A ．072422=+-++y x y xB ．064822=-+++y x y x C ．092822=---+y x y x D ． 052422=-+-+y x y x 6．在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如右图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为( )A.5B.6C.7D.87．已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==且a ∥b ，则αtan = （ ）A ．34-B ． 34C ．34D ．34- 8．若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(0,0) B.）（0,8πC ．）—（0,8πD ．）—（0,4π9．数列}{n a 的前n 项和为S n ，若32()n n S a n N =+∈*，则这个数列一定是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．从第二项起是等比数列D ．从第二项起是等差数列10．方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ）A ．)125,0(B ．]43,31[C ．),125(+∞D ．]43,125(答案：。

一. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(p q)2+(q p)2≤7成立，求实数k 的取值范围。

二. 已知.))((,1,0,xy bx ay by ax b a b a ≥++=+>求证：且三. 求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的标准方程．四. 设422+-=x y z ，式中变量y x ,　满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x ，求z 的最小值和最大值．五. 若M 为直线032:=+-y x l 上的一点，A （4，2）为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且,3=PMAP 求动点P 的轨迹方程.六. 如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.（本小题14分）七．P 为椭圆192522=+yx上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F（1）求△21PF F 的面积；（2）求P 点的坐标．（本小题12分） 配方法1. 在正项等比数列{a n }中，a 1♦a 5+2a 3♦a 5+a 3∙a 7=25，则 a 3＋a 5＝_______。

3. 已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为______。

A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y ＝log 12(－2x 2＋5x ＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)例1. 设非零复数a 、b 满足a 2＋ab ＋b 2=0，求(a a b+)1998＋(b a b+)1998 。

换元法1.y ＝sinx ·cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________。

高二常考的三角函数的试题整理经典数学题【例一】1.(2009·江苏常州一模)已知角α是第三象限角，则角-α的终边在第________象限. 2.(2010·连云港模拟)与610°角终边相同的角表示为______________.1sin 2θ3.(2010·浙江潮州月考)已知2<1，则θ所在象限为第________象限.π3π4.(2010·南通模拟)已知角θ的终边经过点P(-4cos α，3cos α)(<α<，则sin θ+cos θ=________.22ππ-且sin θ+cos θ=a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正5.(2010·福州调研)已知θ∈22111确的是________(填序号).①-3 ②3或③- ④-3或-3336.(2009·江西九江模拟)若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|10，则m-n=________.|sin α||cos α|7.(2010·山东济南月考)已知角α的终边落在直线y=-3x (x<0)上，则=________.sin αcos α8.(2010·南京模拟)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0,60].π49.(2010·泰州模拟)若0”，“<”或“=”填空).2π210.(2010·镇江模拟)已知角θ的终边上一点P(3，m)，且sin θm，求cos θ与tan θ的值.411.(2010·江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：31(1)sin α;(2)cos α.2212.(2010·佳木斯模拟)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0)，角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin α·cos α+sinβ·cosβ+tan α·tan β的值.同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2010·南通模拟)cos(-174-sin(-174π)的值为___________________________.2.(2010·江苏镇江一模)设tan(5π+α)=m，则sin(α-3π)+cos(π-α)sin(-α)-cos(π+α)的值为__________.3.(2009·辽宁沈阳四校联考)已知sin α+cos αsin α-cos α=2，则sin αcos α=________.4.(2008·浙江理，8)若cos α+2sin α=-，则tan α=__________.5.(2008·四川理，5)设0≤α<2π，若sin α3cos α，则α的取值范围是____________.6.(2010·吉林长春调研)若sin α+cos α=tan α0<α<π2，则α的取值范围是__________. 7.(2009·苏州二模)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________.8.(2010·浙江嘉兴月考)已知f(x)= 1-xπ1+xα∈(2，π)，则f(cos α)+f(-cos α)=________.9.(2009·北京)若sin θ=-45tan θ>0，则cos θ=____________________________________.10.(2010·泰州模拟)化简：(1)1-cos4α-sin4α1-cosα-sinα2sin(π4x)+6cos(π; 4-x).11.(2010·盐城模拟)已知sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值.12.(2009·福建宁德模拟)已知0<α<π52sin αcos α-cos α+12cos α-sin α=-5，试求1-tan α和差倍角的三角函数1.(2010·山东青岛模拟)cos 43°cos 77°+sin 43°·cos 167°的值为________. 2.(2010·南京模拟)已知α、β均为锐角，且cos(α+β)=sin(α-β)，则tan α=________.3.(2009·湖北四校联考)在△ABC中，3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1，则∠C的大小为________.4.(2009·湖南长沙调研)在锐角△ABC中，设x=sin A·sin B，y=cos A·cos B，则x，y的大小关系是________.5.(2009·广东韶关模拟)已知tan α=2，则sin 2α-cos 2α1+cosα________.6.(2010·无锡模拟)1+tan x1-tan x2 010，则1cos 2x+tan 2x的值为________.7.(2010·苏州调研)若锐角α、β满足(1+3tan α)·(13tan β)=4，则α+β=________. 8.(2009·江苏南通二模)已知sin αcos β=12，则cos αsin β的取值范围是____________.9.(2010·苏、锡、常、镇四市调研)若tan(α+β)=2π1π5，tan(β-4)=4，则tan(α+4=________.10.(2008·广东)已知函数f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π) (x∈R)的最大值是1，其图象经过点Mπ13，2. (1)求f(x)的解析式;(2)已知α、β∈0，π2，且f(α)=3125，f(β)=13，求f(α-β)的值.11.(2010·宿迁模拟)已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=41313(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α<π2，-π42β<0，且sin β=-5，求sin α的值.三角函数的图象与性质1.(2009·大连一模)y=sin(2x+π6)的最小正周期是_____________________________.2.(2010·扬州模拟)y=2-cos__________，此时x=________.3π3.(2010·盐城模拟)函数y=tan(x)的定义域是________________.4.(2009·牡丹江调研)已知函数y=2cos x(0≤x≤1 000π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________5.(2010·江苏盐城月考)已知函数y=tan ωx在(-，内是减函数，则ω的取值范围是________________.7.(2009·浙江宁波检测)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周8.(2010·连云港模拟)sin 2，cos 1，tan 2的大小顺序是________________.9.(2008·全国Ⅱ理)若动直线x=a与函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_______.11.(2008·陕西)已知函数f(x)=2sincos+3cos.12.(2010·山东济宁第一次月考)设a=sin2b. ，cos x+sin x，b=(4sin x，cos x-sin x)，f(x)=a·4(1)求函数f(x)的解析式(3)设集合A=x6x≤3，B={x||f(x)-m|<2}，若A⊆B，求实数m的取值范围.三角函数的`最值及应用1.(2010·连云港模拟)函数y3sin(2x)-cos 2x的最小值为________.2.(2010·泰州模拟)若函数y=2cos ωx在区间[0，上递减，且有最小值1，则ω的值可以是________.3.(2010·湖北黄石调研)设函数f(x)=2sin(+.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为____.4.(09·湖南株州模拟)函数y=sin 2x按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos 2x+1，则模最小的一个向量a=__.5.(2009·广东惠州二模)函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<在同一单调区间内的x=x29291小值-________________________.2a+b，ab≤0，6.(2010·广西南宁检测)定义运算a*b=a则函数f(x)=(sin x)*(cos x)的最小值为________.， ab>0，b7.(2010·苏州调研)一半径为10的水轮，水轮的圆心距水面7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ω+φ)+7(A>0，ω>0)，则A=________，ω=________. 8.(2009·徐州二模)函数y=(sin x-a)2+1，当sin x=a时有最小值，当sin x=1时有最大值，则a的取值范围是_______. 9.(2009·江苏)函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示，则ω=10.(2010·镇江模拟)已知函数f(x)=cos(2ωx+2φ) (A>0，ω>0,0<φ<)，且y=f(x)的最大值为2，其图象上相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ;(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 008).11.( 10·辽宁瓦房店月考)如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.12.(2010·吉林延吉模拟)如图，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为3 m的球形工件吊起平放到6 m高的平台上，工地上有一个吊臂长DF=12 m的吊车，吊车底座FG高1.5 m.当物件与吊臂接触后，钢索CD的长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上?解三角形1.(2010·江苏靖江调研)在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A=________.2.(2010·宿迁模拟)在△ABC中，已知acos A=bcos B，则△ABC的形状为____________. 3.(2010·江苏淮阴模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为____________. 4.(2010·浙江绍兴模拟)△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=__________.25b，A=2B，则cos B=________. 26.(2010·南通模拟)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.7.(2009·福建泉州二模)如图所示，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD=6 000 m，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°，∠BDC=15°，则炮兵阵地到目标的距离是________________(结果保留根号).8.(2009·江西宜泰模拟)线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小. 9.(2009·广东改编)已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=c=6+2，且∠A=75°，则b=________.10.(2009·安徽)在△ABC中，C-A=sin B=23(1)求sin A的值;(2)设AC=6，求△ABC的面积.11.(2009·山东泰安第二次月考)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处3-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间.5.(2008·四川，7)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=三角函数的综合应用1.(2009·济宁期末)已知a=(cos 2α，sin α)，b=(1,2sin α-1)，α∈π)，若a·b=，则25πtan(α+的值为________.2.(2008·江苏)若AB=2，AC2BC，则S△ABC的最大值是________.3.(2009·肇庆期末)定义运算a*b=a2-ab-b2，则sin=________.4.(2009·广州第二次联考)已知a，b，x，y∈R，a2+b2=4，ax+by=6，则x2+y2的最小值为________.5.(2010·宿州模拟)若函数f(x)=sin(x+α)-2cos(x-α)是偶函数，则cos2α=________.6.(2010·泰州调研)函数f(x)=(sin2x+(cos2x+)的最小值是________. 2 009sinx2 009cosx7.(2009·福建文)已知锐角△ABC的面积为33，BC=4，CA=3，则角C的大小为________.8.(2010·苏南四市模拟)俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧.现在一个圆形2π波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1=sin t和y2=sin(t+来描3述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式______________. 9.(2010·南通模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____________.经典数学题【例二】知识考点：本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sina、cosa、tana、cota准确表示出直角三角形中两边的比(a为锐角)，考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。

1、若a<1,那么那么 （ ）（A ）a1>1, (B)|a|<1, (C)a 2<1, (D)a 3<1 2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b的最小值为（的最小值为（） （A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x ≥0, (D)(x-3)(2-x)>0 4、直线3x+2y+6=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则，则 （ ）(A)k=－23,b=3 (B)k=,b=3 (B)k=－－32,b=-2 (C)k=(C)k=－－23,b=-3 (D) k=,b=-3 (D) k=－－32,b=-3 5、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么a 等于等于 （ ） （A ）－）－33， （B ）－）－66， （C ）－23， （D ）32 6、已知L 1:x :x––3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, :x+2y+4=0, 下列说法正确的是下列说法正确的是下列说法正确的是 （（ ）） （A ）L 1到L 2的角为p 43， （（B ）L 1到L 2的角为4p（C ）L 2到L 1的角为43p ， （（D ）L 1到L 2的夹角为p 43 7、和直线3x 3x––4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是轴对称的直线方程是 （（ ））（A ）3x+4y 3x+4y––5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y (C)-3x+4y––5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x2截得线段的中点到原点的距离是（ ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）229 9、直线y=x –1上的点到圆x 2+y 2+4x –2y+4=0上的点的最近距离是上的点的最近距离是 （ ） （A ）22 （B ）2－１－１ （C ）22－１－１ （D ）1 10、椭圆252x +92y =1上一点p 到一个焦点的距离为5，则p 到另一个焦点的距离为（到另一个焦点的距离为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）4 （D ）10 11、双曲线：、双曲线：的准线方程是191622=-x y （ ）（Ａ）y=±716 (B)x= (B)x=±±516 (C)X= (C)X=±±716(D)Y= (D)Y=±±516 1212、抛物线：、抛物线：、抛物线：y=4ax y=4ax 2的焦点坐标为的焦点坐标为 （ ） （A ）（a41，0） （（B ）（0, a161） (C)(0, -a161) (D) (a161,0)13、下列命题中为真命题的是（下列命题中为真命题的是（ ）A ．若11x y=，则x y =. B ．若21x =，则1x =.C ．若x y =，则x y =. D ．若x y <，则22x y <. 14、已知00<<<<d c b a ，，那么下列判断中正确的是（，那么下列判断中正确的是（ ）A ．ac b d -<- B ．a c b d >C ． a d bc< D ．a d b c > 15、设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +³ìï-³-íï-£î.则目标函数z=2x+3y 的最小值为的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 16、 在ΔABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知A =3p, 3=a , 1=b ，则=c ( ) A ．1 B ．2 C ．3－1 D ．317、已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（的取值范围是（ ） A ．11k -<< B ．0k > C ．0k ³ D ．11k k ><-或18、一元二次方程2210(0),ax x a ++=¹有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a >19、若双曲线122=-y x 的右支上一点P （a ,b ,b）到直线）到直线x y =的距离为a 则,2+b 的值（的值（ ））A ．21-B ．21 C ．－．－2 2 D ．220、如图F 1，F 2分别是椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB D 是等边三角形，则椭圆的离心率为：是等边三角形，则椭圆的离心率为：A ．32 B ．12 C ．22D ．31-2121、数列、数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n = A ．13 B ．10 C ．9 D ．6 22、在ABC D 中，若cos a B c =，则ABC D 的形状一定是（的形状一定是（ ）A ．锐角三角形．锐角三角形B B B．钝角三角形．钝角三角形．钝角三角形C C C．直角三角形．直角三角形．直角三角形D D D．等腰三角形．等腰三角形．等腰三角形2323、已知数列、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n A ．有最大值63 B ．有最小值63 C ．有最大值32 D ．有最小值32 24、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=×AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（点的轨迹方程是（ ）A. ()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y xC. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x25．在回归直线方程表示回归系数中b bx a y,ˆ+= （ ）A ．当0x =时，y 的平均值的平均值B ．当x 变动一个单位时，y 的实际变动量的实际变动量C ．当y 变动一个单位时，x 的平均变动量D ．当x 变动一个单位时，y 的平均变动量的平均变动量26．下面几种推理是类比推理的是下面几种推理是类比推理的是 （ ） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A Ð和B Ð是两条平行直线的同旁内角，则是两条平行直线的同旁内角，则 180=Ð+ÐB AB ．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质C ．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员位团员 D ．一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除整除27．若,1a >则1a 1a -+的最小值是的最小值是（ ）A ．2 B ．aC ．3 D ．1a a2- 28．在对分类变量X, Y 进行独立性检验时,算得k 2=7有以下四种判断有以下四种判断(1) 有99﹪的把握认为X 与Y 有关;(2)有99﹪的把握认为X 与Y 无关;(3)在假设H 0:X 与Y 无关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 有关;(4)在假设H 1: : X X 与Y 有关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 无关.以上4个判断正确的是正确的是（ ） A ． (1)、(2) B ． (1)、(3) C ． (2)、(4) D ． (3)、(4) A B C D I H G F E 4 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 4 1 1 3 5 29．不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是的解集是（ ）A ．{}10<£x xB ．{}1,0-¹<x x xC ．{}11<<-x xD ．{}1,1-¹<x x x 30．已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-的值的值（ ）A ．大于零．大于零B ．小于零．小于零C ．不大于零．不大于零D ．不小于零．不小于零31．把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是 （ ） A ．3aB ．4aC ．5aD ．6a32．的最小值求且已知y x x a R b a y x +=+Î+1,y b ,,,, （ ）A ．b a +B ．ba 11+C ．b a +D ． 2)(b a +33．如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…) 则在第n 个图形中共有（个图形中共有（ ）个顶点. （ ）A ．(n+1)(n+2) B ． (n+2)(n+3) C ．2nD ．n 34．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ） A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和 D ．相关指数R2 35．设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=.记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =， 则2006(2006)f =（ ）A ．20 B ．4 C ．42 D ．145 36．某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算之间拟建立信息联网工程，实际测算 的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不请观察图形，可以不建部分网线，而使得中心与各部门、院系彼此都能连通建部分网线，而使得中心与各部门、院系彼此都能连通 （直接或中转），则最少的建网费用（万元）是（，则最少的建网费用（万元）是（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 37．化简°-160sin 1的结果是的结果是 （ ） A ．°80cos B ．°-160cosC ．°-°80sin 80cosD ．°-°80cos 80sin38．下列命题：①00a = ；②()()a b c a b c =；③若,a b 共线同向，则a b a b = ；④0,0a b ¹¹ ，则0a b ¹ ；⑤a b a b = ；⑥若,a b 均为单位向量，则22a b = ，正确的个数是（，正确的个数是（ ）A ．③⑥．③⑥B ．③⑤．③⑤C ．②③④．②③④D ．①②⑤⑥．①②⑤⑥ 39．已知在ABC D 中，cos cos c Cb B=，则此三角形为( ) A ．直角三角形．直角三角形B ．等腰直角三角形．等腰直角三角形C ．等腰三角形．等腰三角形D ．等腰或直角三角形．等腰或直角三角形40．已知向量()()()2,0,2,2,2cos ,2sin OB OC CA a a ===，则OA 与OB 夹角的范围是( ) A ．0,4p éùêúëû B ．5,412p p éùêúëû C ．5,1212p p éùêúëûD ．5,122p p éùêúëû 41．函数()lg(1)f x x =+的定义域是（的定义域是（ ）A ．(,1)-¥-B ．(--1]¥，C ．(1)-+¥，D ．[1,)-+¥ 42. 点A （1，2，3）关于xOy 平面对称的点B 坐标是（坐标是（ ）A ．（-1，2，3）B ．（1，-2，3）C ．（1，2，-3）D ．（-1，-2，3）43. 设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833Î=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定．不能确定 44．利用斜二测画法得到的．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形④菱形的直观图是菱形 以上结论，正确的是（以上结论，正确的是（ ）A ．①②．①② B. ① C ．③④．③④ D. ①②③④①②③④45．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A ．()f x +|()|g x 偶函数偶函数B ．()f x -|()|g x 是奇函数是奇函数C ．|()f x | +()g x 是偶函数是偶函数D ． |()f x |- ()g x 是奇函数是奇函数 46．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．24πD ．48π 47．在下列命题中, 错误的是（错误的是（ ）A ．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合B ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行C ．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行48. 直线l 经过抛物线2-31y x x =+与y 轴的交点，且与直线20x y +=平行，则直线l 的方程是（的方程是（ ）A ．2-20x y +=B ．2-20x y -=C ．+220x y +=D ．+220x y -= 49．在30°的二面角l a b --中，P ∈a ，PQ ⊥b ， 垂足为Q ，PQ =2，则点Q 到平面a 的 距离QH 为（为（ ） A ．3 B ．32C ．1 D ．332 50. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (2m )与时间t (月)的关系: ty a =,有以下叙述：有以下叙述：① 这个指数函数的底数是2；② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ； ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 恰好经过1.5个月；个月； ④ 浮萍每个月增加的面积都相等；其中正确的是浮萍每个月增加的面积都相等；其中正确的是 ( ) A ．①②．①② B . ①②③①②③ C . ②③④②③④ D . ①②③④①②③④DBBCB ABDCA DBABB BACBD DCBAD BCBDA DDDBD BDACC CCBAA BCDAA 2 1 t /月2 1 y /m 8 0 4 3 。

1、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3, -2)，若将点A向上平移4个单位，再向左平移2个单位，得到点B，则点B的坐标为：A. (1, 2) （答案）B. (5, -6)C. (1, -6)D. (5, 2)2、已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A与B的交集为：A. {1, 4}B. {2, 3} （答案）C. {1, 2, 3, 4}D. 空集3、若直线l经过点(2, -1)且斜率为-2，则直线l的方程为：A. y = -2x + 3B. y = -2x - 5 （答案）C. y = 2x - 5D. y = 2x + 34、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，S3 = 9，则a3 =：A. 4B. 5 （答案）C. 6D. 75、在三角形ABC中，若角A = 60°，b = 4，c = 2√3，则三角形ABC的面积为：A. 6√3B. 6C. 3√3D. 12 （答案）6、已知圆C的方程为(x - 1)2 + (y - 2)2 = 4，则圆心C的坐标和半径r分别为：A. (1, 2)，4B. (1, 2)，2 （答案）C. (-1, -2)，4D. (-1, -2)，27、设随机变量X服从二项分布B(3, 0.5)，则P(X = 2)等于：A. 1/8B. 3/8 （答案）C. 5/8D. 7/88、在复平面内，复数z = 1 + i对应的点位于：A. 第一象限（答案）B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9、若直线x + y + k = 0与圆x2 + y2 = 4相交于M，N两点，且|MN| = 2√2，则k的值为：A. ±√2B. ±2 （答案）C. ±√3D. ±310、已知向量a = (1, 2)，b = (2, -1)，则向量a与b的夹角为：A. 30°B. 45°C. 60°（答案）D. 90°。

FAEOB DM(第2题图)A 1B 1C 1DA BCDE高二文科数学《立体几何》大题训练试题1．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE 。

2．(本小题满分14分)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.(1)求证：AF ⊥平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；(3)求三棱锥F －CBE 的体积.3.（本小题满分14分）如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=o ，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：//AC 平面BEF ；（Ⅱ）求四面体BDEF 的体积.4．如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.(Ⅰ)求证：直线//1BB 平面DE D 1；(Ⅱ)求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1；(Ⅲ)求三棱锥DE A A 1-的体积.5．（本题满分14分）如图，己知BCD ∆中，090BCD ∠=，1,BC CD AB BCD ==⊥平面，060,,AC,AD ADB E F ∠=分别是上的动点，且AE AF==,(0<<1)AC ADλλ （1）求证：不论λ为何值，总有EF ABC;⊥平面（2）若1=,2λ求三棱锥A-BEF 的体积．6.(本小题满分13分)如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点， D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形． (1)求证：DM ∥平面APC ；AB C DFEB AEDCFABCD图2BCD 图1(2)求证： BC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．7、（本小题满分14分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,2,1AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(1) 求证:BC ⊥平面ACD ；(2) 求几何体D ABC -的体积.8、（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD - (图5) 的三视图如图6所示，PBC ∆为正三角形，PA 垂直底面ABCD ，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P ABCD -的体积；（3）求证：AC ⊥平面PAB ；参考答案1．(本小题满分14分) （1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ．又12AB DE =，∴GF AB =． …………3分∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．……………5分∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分（2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥…………9分∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥．……………10分又CD DE D ⋂=，∴AF ⊥平面CDE ．……………………………12分 ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ．…………………………………13分 ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分2．解：（1）Θ平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥,平面ABCD I 平面ABEF AB =，CB ∴⊥平面ABEF ， ∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，……… 2分又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF . ……… 4分B AEDC FG（2）设DF 的中点为N ，则MN//12CD ，又AO //12CD ， 则MN//AO ，四边形MNAO 为平行四边形，∴//OM AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴//OM 平面DAF . …… 8分（3）∵BC ⊥面BEF ，∴13F CBE C BEF BEF V V S BC --∆==⨯⨯，B 到EF 的距离等于O 到EF 的距离，过点O 作OGEF ⊥于G ，连结OE 、OF ， ∴OEF ∆为正三角形，∴OG 为正OEF ∆的高，∴OG==……… 11分∴13F CBEC BEF BEFV V S BC --∆==⨯⨯ ……12分1111113232EF OG BC =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=。

1.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是（）A．4+4根号3 B. 12 C. 4根号3 D. 82.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点，求证：（1）EF∥侧面PAD；（2）平面PAD⊥平面PDC。

3.如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为…()A. B.5 C.6 D.4.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点。

（1）求证：AC//平面B1DE；（2）求三棱锥A-BDE的体积。

5.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；6.如图，在五面体EF-ABCD中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△CDE是等边三角形，棱。

（1）证明FO//平面CDE；（2）设，证明EO⊥平面CDF.7.如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点. 证明EF//平面A1CD。

8.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为______．9.已知正四面体A-BCD中+P为棱AD的中点+则过点P与侧面ABC和底面BCD所在平面都成60的平面有几个？10.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，过长方体的顶点A与长方体12条棱所成的角都相等的平面有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11.在四面体ABCD中，已知DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是（）A. B. C. D.12.[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围为( )A．(0，) B．(0，) C．(1，) D．(1，)13.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=π/2，AB=AC=A1A=1，已知G与E 分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（[1/5, 2））14.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如图所示，则其俯视图为（）A、B、C、D、15.己知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧视图的周长为16.三棱锥s-abc的所有顶点都在球O的球面上，三角形abc为边长为一的正三角形，sc为球o 的直径sc=2，求三棱锥V.17.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6．BC=2，则棱锥O-ABCD的体积为．18.如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。

高二数学 互斥事件一、知识要点：1、互斥事件① 如果两个事件A 和B 不能同时发生，则称A 和B 是互斥事件。

② 如果事件n A A A ,,,21 中的任意两个都是互斥事件，就说事件n A A A ,,,21 彼此互斥。

2、对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。

事件A 的对立事件记为A 。

3、互斥事件的概率加法公式如果事件A ，B 为互斥，当事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A+B 。

如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++4、对立事件的性质对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=。

5、互斥事件有与对立事件的区别与联系对立必互斥，互斥未必对立。

二、典型例题：例1、 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”。

判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。

⑴A 与C ⑵B 与E ⑶B 与D ⑷B 与C ⑸C 与E（2）求射击1次，命中不足7环的概率。

例3、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品。

例4、鞋柜有4双不同的鞋，随机取出4只，试求下列事件的概率：（1）取出的鞋都不成对；（2）取出的鞋恰好有2只是成对的；（3）取出的鞋至少有2只成对；（4）取出的鞋全部成对。

高二数学期末复习之圆的方程一.典型例题1．求与直线 y=x 相切，圆心在直线 y=3x 上且被 y 轴截得的弦长为22的圆的方程．[解析]：设圆心坐标为0)r(r ),3,(001>半径为x x O ，则r x x =-23002x r =⇒，又2202)2(,22r x AB =+∴= 22202020±=⇒=+⇒x x x ，2=∴r即圆的方程为：4)23()2(4)23()2(2222=-+-=+++y x y x 或2．求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．2． [解析]： 由题意知：过A （2，－1）且与直线：x +y=1垂直的直线方程为：y=x －3,∵圆心在直线：y=－2x 上， ∴由 32-=-=x y x y ⇒21-==y x 即)2,1(1-o ，且半径2)21()12(221=+-+-==AO r ，∴所求圆的方程为：2)2()1(22=++-y x3．已知直线l :y=k(x +22)与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ．（1）试将S 表示成k 的函数，并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值．3. [解析]：(1)22222114)122(42122,022:k k k kAB k kd k y kx l l O +-=+-=∴+=∴=+-→ 2221)1(2421k k k d AB S l O +-=⋅=∴→，定义域：01120≠<<-⇒<<→k k d l O 且．（2）设23)2)(1()1(),1(12222-+-=--=-≥=+t t t t k k t t k 则81)431(224231242324222+--=-+-=-+-⋅=∴t t t t t t S ，222124,3334,431max =⋅=±===∴S k t t 时，即当，∴S 的最大值为2，取得最大值时k=33±．4．设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ． （1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；（2）当m 变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． [解析]：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2）设C 1关于直线l 的对称点为C 2（a ，b ）则⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=+--2222231223m a b m a m b 解得：⎩⎨⎧+=+=112m b m a∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--（2）由⎩⎨⎧+=+=112m b m a 消去m 得a －2b+1=0， 即圆C 2的圆心在定直线：x －2y+1=0上．设直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，则m kbm m k 21)1()12(2=+++-+即0)1()1)(12(2)34(22=-++-+-+--b k m b k k m k∵直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m )0(≠m 值都成立，所以有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=-- 0)1(0)1)(12(20342b k b k k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=4743b k ，所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4743+-=x y 二.巩固练习 (一)、选择题1．原点必位于圆：0)1(22222=-+--+a y ax y x )1(>a 的 （C ） A ．内部 B ．圆周上 C ．外部 D ．均有可能 2．“点Ｍ在曲线y ＝|x |上”是“点Ｍ到两坐标轴距离相等”的（C ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．非充分非必要条件3．从动点)2,(a P 向圆1)3()3(22=+++y x 作切线，其切线长的最小值是（ A ）A ． 4B ．62C ．5D ．264．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（B ）A ．21±B ．22±C ．2221-或D ．2221或- 5．圆422=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是 （ A ）A ．2B ．1C ．3D ．32 6．若圆)0(022222>=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ B ）A ．20<<kB ．21<<kC ． 10<<kD ．2>k 7．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则 （ C ） A ．k 有最大值33，最小值33- B ．k 有最大值21，最小值21-C ．k 有最大值0，最小值 33-D ．k 有最大值0，最小值21-8．直线y = x + b 与曲线x =21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是 （B ）A ．|b|=2B ．211-=≤<-b b 或C ．21≤≤-bD ．以上都错 9．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有 （ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．直线0323=-+y x 与圆 θθsin 23cos 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( C )A ． 相离B ．相切C ． 相交但不过圆心D ． 相交且过圆心11．已知圆C ： θθsin 22cos 2+=+=y a x （a>0,为参数θ）及直线l ：03=+-y x ，若直线l 被C 截得的弦长为32，则a =（ C ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+12．过两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2+ 4x + 2y – 4 =0的交点的直线的方程 （ A ）A ．x +y+2=0B ．x +y-2=0C ．5x +3y-2=0D ．不存在 (二)、填空题13．过P （1，2）的直线l 把圆05422=--+x y x 分成两个弓形当其中劣孤最短时直线l 的方程为 032=+-y x14．斜率为3，且与圆 x 2 + y 2=10 相切的直线方程是 103±=x y ．15．已知BC 是圆2522=+y x 的动弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是______．1622=+y x16．若实数x ,y 满足xy y x 则,3)2(22=+-的最大值是 ．3高二数学期末复习之椭圆一.典型例题例1 求适合条件的椭圆的标准方程． （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点 ；（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．(1)或 ．(2)例2.求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．例3在椭圆上求一点，使，其中，是椭圆的两焦点．方案一：由题意得，，解方程得，或．再设，则有或，解方程即可．方案二：设，由椭圆的第二定义得，，，，∴，，．例4.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例5.已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．或例6. 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．例7. 已知点在圆 上移动，点 在椭圆 上移动，求的最大值．设椭圆上一点 ，又 ，于是．而∴当 时， 有最大值5．故 的最大值为6例8. 已知椭圆 及直线 ．（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即 ．， 解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得， ．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．例9. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．解：如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴，因此，所求椭圆的方程为．例10. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，故即为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为．（椭圆内部分）（4）由①＋②得，⑦将③④平方并整理得，⑧，⑨将⑧⑨代入⑦得，⑩再将代入⑩式得，即．二.巩固练习1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ D ）A．B．（0，2）C．D．（0，1）2．过点（3，－2）且与有相同焦点的椭圆方程是（A ）A． B．C．D．3．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（ C ）．A．B．C．D．4．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（ B ）．A．B．C．D．5．对于椭圆，下列说法正确的是（ D ）．A．焦点坐标是B．长轴长是5C．准线方程是 D．离心率是6．离心率为、且经过点的椭圆的标准方程为（ D ）．A．B．或C．D．或7．椭圆的左、右焦点为，，以为圆心作圆过椭圆中心并交椭圆于点，，若直线是⊙的切线，则椭圆的离心率为（ D ）．A．B．C． D．8．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ D ）A．B．C．D．9．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（C）A．B．C．D．10．已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为（ B ）A．2 B．C．D．811．点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为_________．或或或．12．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为_________________．13．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．，14．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．15．已知是椭圆上一点，若到椭圆右准线的距离是，则到左焦点的距离为_____________．16．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长是______________．1或217．若椭圆上存在点到两焦点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围是_____________．18．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，则的值为_________19．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．设，，由及为的重心有，得，，．所以中点为（3，－2）．又、在椭圆上，故，．两式相减得到，可得即为的斜率，由点斜式可得的方程为．20．椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率，它与直线交于，两点，且，求椭圆方程．20.设椭圆方程为，由可得．由直线和椭圆方程联立消去可得．设，得，即，化简得，由韦达定理得，解出，故所求椭圆方程为．21．椭圆上有一点，使（为坐标原点，为椭圆长轴右端点），试求椭圆离心率的取值范围．21．由已知，设，则、，由得，化简得．因为在一、四象限，所以，于是，易求出，所以．22．已知，为椭圆上的两点，是椭圆的右焦点．若，的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程．由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．。

一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：13000]“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p <<4．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12971]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4557．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．568．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.319．(0分)[ID ：12950]下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：12930]某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+，其中ˆ 2.4b=，a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2012．(0分)[ID ：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．1813．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15814．(0分)[ID ：12972]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1615．(0分)[ID ：13023]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13112]某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ .19．(0分)[ID ：13107]连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．20．(0分)[ID ：13081]执行如图所示的算法流程图，则输出x 的值为__________．21．(0分)[ID ：13073]某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．22．(0分)[ID ：13051]执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．23．(0分)[ID ：13049]执行如图所示的程序框图，如果输出1320s =，则正整数M 为__________．24．(0分)[ID ：13048]计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．25．(0分)[ID ：13046]某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．三、解答题26．(0分)[ID ：13220]为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.27．(0分)[ID：13207]如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：（1）79.589.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均数?28．(0分)[ID：13185]现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三对应x .的考试成绩预计为4（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义y为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求y的平均值.29．(0分)[ID：13155]从某校期中考试数学试卷中，抽取样本，考察成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1:3:6:4:2，第一组的频数是4.（1）求样本容量及各组对应的频率；（2）根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数（结果保留两位小数）.30．(0分)[ID：13135]某校举行书法比赛，下图为甲乙两人近期8次参加比赛的成绩的茎叶图。

不等式的证明·典型例题【例1】已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc．【分析】用求差比较法证明．证明：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞0．(c-a)]2≥0即 a3+b3+c3-3abc≥0，∴a3+b3+c3≥3abc．【例2】已知a，b∈R+，n∈N，求证：(a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1)．【分析】用求差比较法证明．证明：左-右=a n+1+ab n+a n b+b n+1-2a n+1-2b n+1=ab n+a n b-a n+1-b n+1=a(b n-a n)+b(a n-b n)=(b n-a n)(a-b)(*) 当a＞b＞0时，b n-a n＜0，a-b＞0，∴(*)＜0；当b＞a＞0时，b n-a n＞0，a-b＜0，∴(*)＜0；当a=b＞0时，b n-a n=0，a-b=0，∴(*)=0．综上所述，有(a+b)(a n+b n)-2(a n+1+b n+1)≤0．即 (a+b)(a n+b n)≤2(a n+1+b n+1)．【说明】在求差比较的三个步骤中，“变形”是关键，常用的变形手段有配方、因式分解等，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式．【例3】已知a，b∈R+，求证a a b b≥a b b a．【分析】采用求商比较法证明．证明：∵a，b∈R+，∴a b b a＞0综上所述，当a＞0，b＞0，必有a a b b≥a b b a．【说明】商值比较法的理论依据是：【例4】已知a、b、c是不全等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．【分析】采用综合法证明，利用性质a2+b2≥2ab．证明：∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a(b2+c2)≥2abc．①同理b(c2+a2)≥2abc②c(a2+b2)≥2abc③∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号∴①+②+③，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)＞6abc．【例5】已知a，b，c∈R+，求证：(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc；【分析】用综合法证明，注意构造定理所需条件．证明：(1)ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)．∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc因此，当a，b，c∈R+，有(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc．【说明】用均值定理证明不等式时，一要注意定理适用的条件，二要为运用定理对式子作适当变形，把式子分成若干分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘．【分析】采用分析法证明．(*) ∵a＜c，b＜c，∴a+b＜2c，∴(*)式成立．∴原不等式成立．用充分条件代替前面的不等式．【例7】若a、b、c是不全相等的正数，求证：证明二：(综合法)∵a，b，c∈R+，abc成立．上式两边同取常用对数，得【说明】分析法和综合法是对立统一的两个方面．在证法一中，前面是分析法，后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决．分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推．【例8】已知a＞2，求证log a(a-1)·log a(a+1)＜1．【分析】两个对数的积不好处理，而两个同底对数的和却易于处理．因为我们可以先把真数相乘再取对数，从而将两个对数合二为一，平均值不等式恰好有和积转化功能可供利用．证明：∵a＞2，∴log a(a-1)＞0，log a(a+1)＞0．又log a(a-1)≠log a(a+1)∴log a(a-1)·log a(a+1)＜1．【说明】上式证明如果从log a(a-1)·log a(a+1)入手，得log a(a-1)二为一了．另外，在上述证明过程中，用较大的log a a2代替较小的log a(a2-1)，并用适当的不等号连结，从而得出证明．这种方法通常叫做“放缩法”．同样，也可以用较小的数代替较大的数，并用适当的不等号连结．【例9】已知：a，b，c都是小于1的正数；【分析】采用反证法证明．其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾．从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少∵a，b，c都是小于1的正数，故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确．【说明】反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．|a|≤1．【说明】换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有(1)，若|x|≤1，可设x=sinα，α∈R；(2)若x2+y2=1，可设x=sinα，y=cosα；(3)若x2+y2≤1，可设x=【例11】已知a1、a2、…a n，b1、b2、…b n为任意实数，求证明：构造一个二次函数它一定非负，因它可化为(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(a n x-b n)2．∴Δ≤0，(当a1，a2，…a n都为0时，所构造式子非二次函数，但此时原不等式显然成立．)【说明】上例是用判别式法证明的“柯西不等式”，它可写为：变量分别取|a+b|，|a|、|b|时就得到要证的三个式子．因此，可考虑从函数∴f（x2）＞f（x1），f（x）在[0，+∞）上是增函数．取x1=|a+b|，x2=|a|+|b|，显然0≤x1≤x2．∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）．【说明】这里是利用构造函数，通过函数的单调性，结合放缩法来证明不等式的．应注意的是，所给函数的单调整性应予以论证．【例13】已知a，b，m，n∈R，且a2+b2=1，m2+n2=1，求证：|am+bn|≤1．证法一：（比较法）证法二：（分析法）∵a，b，m，n∈R，∴上式成立，因此原不等式成立．证法三：（综合法）∵a，b，m，n∈R，∴（|a|-|m|）2≥0，（|b|-|n|）2≥0．即a2+m2≥2|am|，b2+n2≥2|bn|∴a2+m2+b2+n2≥2（|am|+|bn|）∵a2+b2=1，m2+n2=1，∴|am|+|bn|≤1∴|am+bn|≤|am|+|bn|≤1．证法四：（换元法）由已知，可设a=sinα，b=cosα，m=sinβ，n=cosβ．于是|am+bn|=|sinαsinβ+cosαcosβ|=|cos（α-β）|≤1．【说明】一个不等式的证明方法往往不只一种，要注意依据题目特点选择恰当的方法．【例14】已知f（x）=x2-x+c，且|x-a|＜1，（a，b，c∈R）求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．【分析】绝对值不等式的证明充分利用绝对值不等式性质：证明：|f（x）－f（a）|=|x2-x+c-a2+a-c|=|（x+a）（x-a）-（x-a）|=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|＜|x-a|+|2a|+|（-1）|＜1+2|a|+1=2（|a|+1）．∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．【例15】当h与|a|，|b|，1中最大的一个相等，求证：当|x|＞h时，由已知，有|x|＞h≥|a|，|x|＞h≥|b|，|x|＞h≥1∴|x|2≥b．。

高二数学抛物线典型试题高二数学抛物线典型试题一：选择题一：选择题1.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（的值为（ ） A ． ﹣2 B ． 2 C ． ﹣4 D ． 42．已知圆x 2+y 2﹣6x ﹣7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p=（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 13.一个动圆与定圆F ：（x+2）2+y 2=1相外切，且与定直线L ：x=1相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程是（的轨迹方程是（ D ）A ． y 2=4x B ． y 2=﹣2x C ． y 2=﹣4x D ． y 2=﹣8x 4．已知点（x ，y ）在抛物线y 2=4x 上，则（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 05.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若=﹣4则点A 的坐标是（的坐标是（ ）A ． （2，±2）B ． （1，±2）C ． （1，2）D ． （2，2） 6．设P 为抛物线y 2=2px （p ＞0）上任意一点，F 为抛物线焦点，为抛物线焦点，定点定点A （1，3），且|PA|+|PF|的最小值为，则抛物线方程为（，则抛物线方程为（ ）A ． y 2=2（）x B ． y 2=4x C ． y 2=8x D ． y 2=4（）x 7．已知点P 是抛物线22x y =上的一动点上的一动点,,焦点为F ,若定点(1,2)M ,则当P 点在抛点在抛 物线上移动时物线上移动时,,||||PM PF +的最小值等于的最小值等于（ ） A ．52 B ．2 C ．32 D ．3 8.已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P （2，2）为AB 的中点，则抛物线C 的方程为（的方程为（ ）A ． y 2=4x B ． y 2=﹣4x C ． x 2=4y D ． y 2=8x 9顶点在原点、焦点在x 轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是，则抛物线的方程是（ ）A ． y 2=﹣x 或y 2=5x B ． y 2=﹣x C ． y 2=x 或y2=﹣5x D ． y 2=5x 10.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax （a ≠0）的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（C ）A ． y 2=±4x B ． y 2=4x C ． y 2=±8x D ． y 2=8x 11抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，倾斜角为60°的直线l 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，|AF|=3，则抛物线的方程为（，则抛物线的方程为（ ）A ． y 2=3x B ．C ．或x D ． y 22=3x 或y 22=9x 12.设F 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，当=且|FA|+|FB|+|FC|=3时，此抛物线的方程为（时，此抛物线的方程为（ ）A ． y 2=2x B ． y 2=4x C ． y 2=6x D ． y 22=8x 二：填空题二：填空题13．抛物线y 2=2px （p ＞0）上有点A ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为方程为 y 2=8x ．14.抛物线y=ax 2的准线方程是y=1，则a 的值为的值为﹣ ．15.过抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为，则P= 2 ．16．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴上，点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）C （x 3，y 3）在抛物线上，若△ABC 的重心恰为抛物线的焦点F ，且|FA|+|FB|+|FC|=6，则抛物线的方程为程为 x 2=4y ．三：解答题三：解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M （x ，y ）和N （﹣4，y ）满足． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；的方程；（2）若过点D （1，﹣1）的直线与轨迹交C 于A 、B 两点，且D 为线段AB 的中点，求此直线的方程．直线的方程．18．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 在直线l ：x ﹣y+1=0上（I ）求抛物线C 的方程；的方程；（Ⅱ）设直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的坐标．的坐标．19.已知过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若，求λ的值．的值．20．已知点A 是抛物线y 2＝2px(p>0)上一点，F 为抛物线的焦点，准线l 与x 轴交于点K ，已知｜AK ｜＝2｜AF ｜，三角形AFK 的面积等于8．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G ，H.求｜GH ｜的最小值．｜的最小值．21．已知F 1、F 2分别是椭圆13422=+y x 的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，以F 2为焦点的抛物线，自点F 1引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴对称的点记为M ，设Q F P F 11l =. (1)写出曲线C 的方程；的方程；(2)若Q F u M F 22=，试用λ表示u ；(3)若λ∈[2, 3]，求，求|PQ|的取值范围。

高二数学练习题大题带答案一、选择题1. 已知函数f(x)=3x^2+2x-1，则f(-2)的值为A. -17B. -11C. 1D. 7答案：B. -112. 若三角形ABC中，∠B=60°，且AB=AC，则下列结论中错误的是A. ∠A=60°B. ∠C=60°C. AB=BCD. ∠BAC=180°答案：D. ∠BAC=180°3. 已知等差数列的首项为-2，公差为4，则该数列的前n项和为Sn=2n^2+7n，则n的值为A. 0B. 1/2C. 2D. 4答案：C. 2二、填空题1. 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，若图象与x轴交于点(3,0)，且顶点坐标为(2,3)，则a的值为______，b的值为______。

答案：a=1，b=-62. 若a、b、c为互不相等的实数，且满足等式a^2+b^2+c^2=1，则a+b+c=______。

答案：0三、解答题1. 解下列方程组：x+y=4x-y=2解答：将两个方程相加得：2x=6，解得x=3将x=3代入第一个方程得：3+y=4，解得y=1所以方程组的解为x=3，y=1。

2. 某工程队需要10天完成一项工程，现在工程队决定增加人手，如果增加4人则可提前2天完成工程。

求原来工程队的人数。

解答：设原来工程队的人数为x人。

根据题意可得以下方程：10x = 8(x + 4)解方程可得：10x = 8x + 32化简后得：2x = 32解得x = 16所以原来工程队的人数为16人。

四、简答题1. 什么是函数？答：函数是一个集合的输入和输出之间的对应关系。

对于函数而言，每个输入都有唯一的输出。

2. 什么是等差数列？请给出一个等差数列的例子。

答：等差数列是指一个数列中，从第二个数起，每个数与前一个数的差等于同一个常数。

例如：1, 4, 7, 10, 13就是一个等差数列，其中公差为3。

五、证明题证明：两个互余的角相加等于90°。

高二数学经典例题好啦，今天咱们来聊聊高二数学中的一个经典例题。

数学这东西啊，真的是像个“怪兽”，有时候看上去又大又吓人，然而只要你找对了方法，它其实也没那么可怕。

今天这道题，乍一看，可能你会觉得有点儿“头大”，但只要你搞清楚了“套路”，它就会变得简单多了。

放心，咱们一起来捋一捋。

题目是这样的：已知一条直线的方程是( y = 2x + 3 )，求它与另一条直线( y =frac{1{2x + 1 )的交点。

哎呀，你看，方程里的字母多了起来，是不是感觉有点“眼花缭乱”？别怕，慢慢来。

交点是啥意思呢？就是这两条线的交汇处，也就是它们在坐标系里碰到的那个地方。

只要咱们找到了这两个线的交点，问题就解决了！咱们应该怎么做呢？你想啊，两条线的交点意味着它们在某个( x )和( y )的值上同时成立。

怎么理解呢？其实就是把这两条线的方程“合起来”。

哎，有点像是两个人握手，彼此的手都得伸出来，才能碰到嘛！所以，我们就把两条直线的方程“联立”在一起，解出来就行了。

看一下这两条线的方程。

第一条是( y = 2x + 3 )，第二条是( y = frac{1{2x + 1 )。

要解这个问题，咱们可以用“代入法”。

既然两条线的( y )都等于某个东西，那就直接把第一个方程里的( y )代入到第二个方程里去。

这样一来，咱们就有了：。

( 2x + 3 = frac{1{2x + 1 )。

哇，别着急，这一步搞定了，就离答案不远了！咱们就来“拆解”这个式子。

把含有( x )的项都移到一边，常数项移到另一边。

大家都知道，数学最怕的就是“拆不清”，那得慢慢捋，别急。

把所有带( x )的项都搬到左边，把数字搬到右边，得到：。

( 2x + frac{1{2x = 1 3 )。

你看，数字是不是变得更简洁了？再往下做，咱们可以把左边的( x )合并一下。

大家知道，( 2x )和( frac{1{2x )要合并，就得找到一个“公约数”，这里公约数就是( 2 )，于是合并后是：。

高二数学试题答案及解析1.如图所示，已知直四棱柱中，，，且满足．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】解：（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则…………… 2分又因为所以，平面…………… 6分（Ⅱ）设为平面的一个法向量。

w_w w. k#s5_u.c o*m得取，则……………… 8分又，设为平面的一个法向量，由，，得取取…………………8分设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，，即为所求………………… 11分【解析】略2.曲线上的点到直线的最短距离是（）A．B．C．D．0【答案】A【解析】略3.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则的值为( )A．B．C．D．４【答案】A【解析】略4.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是【答案】18【解析】略5.（本小题满分13分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100) (单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】【解析】略6.已知不等式的解集是，则不等式的解是( ) A．或B．或C．D．【答案】C【解析】略7.设定点，，动点满足条件＞，则动点的轨迹是A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段或不存在【答案】D【解析】略8.（本小题9分）设直线的方程为(＋1)x＋y＋2－＝0 (∈R)．(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围．【答案】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，截距相等，∴a＝2，方程即3x＋y＝0.若a≠2，由于截距存在，∴＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴欲使l不经过第二象限，当且仅当－a＋1≥0，且a－2≤0∴a≤－1. 综上可知，a的取值范围是a≤－1.【解析】略9.已知数列：①观察规律，归纳并计算数列的通项公式，它是个什么数列？②若，设，求③设【答案】①由条件，∴；∴故为等差数列，公差②又知∴【解析】略10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】略11.已知且是第三象限的角，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略12.已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线：的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是．（1）求抛物线的方程及其焦点的坐标；（2）求双曲线的方程及其离心率．【答案】解：（1）由题意可设抛物线的方程为． (2分)把代入方程，得 (4分)因此，抛物线的方程为． (6分)于是焦点 (8分)（2）抛物线的准线方程为，所以， (10分)而双曲线的另一个焦点为，于是因此， (12分)又因为，所以．于是，双曲线的方程为 (14分)因此，双曲线的离心率． (16分)【解析】略13.椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点轴上，离心率(I)求椭圆E的方程；(II)求的角平分线所在直线的方程【答案】（1）（2）【解析】解：(I)设椭圆E的方程为…………1分由得,,∴…………3分将点A(2，3)代入,有.解得. …………4分∴∴椭圆E的方程为…………6分(II)由（I）知，所以直线AF1的方程为：…………7分直线AF2的方程为：…………8分由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数，设的角平分线所在直线上任一点，则…………10分若，其斜率为负，不合题意，舍去.于是所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为…………12分14.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略15.展开式中的系数为-___ _____.【答案】3【解析】略16.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为且，．(1) 若，求的值；(2) 若△ABC的面积，求的值．【答案】解：(1) ∵cosB=>0，且0<B<π，∴sinB=. ……2分由正弦定理得，……4分. ……6分(2) ∵S△ABC=acsinB=4，……8分∴，∴c="5. " ……10分由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，∴.……12分【解析】略17.已知向量，．（I）若,求的值；（II）在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】解：（I）==∵∴∴=（II）∵，由正弦定理得∴∴-∵∴，且∴∵∴∴∴∴∴【解析】略18.设函数．（Ⅰ）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；（Ⅱ）若对所有，都有，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）当时，的定义域是求导，得所以，在上为减函数，在上为增函数，. 又根据在上为减函数，则在上恰有一个零点；又，则，所以在上恰有一个零点，再根据在上为增函数，在上恰有一个零点.综上所述，函数的零点的个数为2.（Ⅱ）令，求导，再令，则（ⅰ）若，当时，，故在上为减函数，所以当时，，即，则在上为减函数，所以当时，,即成立；（ⅱ）若，方程的解为，则当时，，故在上为增函数，所以时，，即，则在上为增函数，所以当时，, 即成立，此时不合题意.综上，满足条件的正数的取值范围是．【解析】略19.下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】C【解析】略20.如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则;函数在处的导数= .【答案】2 -2【解析】略21.（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）若x＝时，取得极值，求的值；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求的取值范围。

一、选择题1．(0分)[ID ：13007]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n3．(0分)[ID ：12990]如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长4．(0分)[ID ：12966]用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ） A ．83B ．82C ．166D ．1675．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.316．(0分)[ID：12960]我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A．20B．25C．30D．357．(0分)[ID：12959]为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．(0分)[ID ：12931]已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．6729．(0分)[ID ：13024]已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨≤-⎪⎪⎩⎩，直线2y mx m =+和曲线24y x =-M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ） A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦10．(0分)[ID ：13022]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为311．(0分)[ID ：13018]采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1312．(0分)[ID ：13013]已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1413．(0分)[ID ：13009]一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于11222422226C C C C +的是 ( ) A ．P(0<X≤2) B ．P(X≤1) C ．P(X=1)D ．P(X=2)14．(0分)[ID ：13006]右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1415．(0分)[ID ：12980]某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A ．7B ．15C ．25D ．35二、填空题16．(0分)[ID ：13118]古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________17．(0分)[ID ：13117]已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=A 的极坐标为7)4π，则点A到直线l的距离为____．18．(0分)[ID：13099]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i(单位：千元)的数据资料，算得101iix=∑＝80，101iiy=∑＝20，110ii ix y=∑＝184，1210iix=∑＝720.则家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为__________．附：线性回归方程y＝bx＋a中，1221ni iiniix y nxybx nx==-=-∑∑，a＝y－b x，其中x，y为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x＋ˆa.19．(0分)[ID：13088]假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________20．(0分)[ID：13083]用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x4-x3+3x2+7,在求x=2时对应的值时,v3的值为___.21．(0分)[ID：13075]已知样本数据12345,,,,a a a a a的方差222222123451(20)5s a a a a a=++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a+++++的平均数为__________．22．(0分)[ID：13065]已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x的所有可能值为__________．23．(0分)[ID：13055]从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．24．(0分)[ID：13034]在—次对人体脂肪百分比和年龄关系的研究中，研究人员获得如下一组样本数据：由表中数据求得y关于x的线性回归方程为0.6ˆˆy x a=+，若年龄x的值为50，则y的估计值为．25．(0分)[ID：13104]在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm与249cm之间的概率为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13221]画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述. 27．(0分)[ID ：13214]现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:x9888 96 91 90 92 96y 9.98.6 9.59.0 9.1 9.29.8（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 28．(0分)[ID ：13175]端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （1）求三种粽子各取到1个的概率．（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．29．(0分)[ID ：13170]某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．30．(0分)[ID ：13143]某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿； （3）求该校学生上学路上所需的平均时间.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．C10．D11．C12．B13．B14．B15．B二、填空题16．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为17．【解析】直线的直角坐标方程为点的直角坐标为所以点到直线的距离为18．y＝03x－04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为19．【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度即可得到结论【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为xy则所有事件集可表示为0≤x≤50≤y≤5由题目得如果手机受则到干扰的事件发生必有|x20．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：1821．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实22．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x的值不同所得的结果不同所以要讨论x的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是23．【解析】两球颜色不同的概率是24．【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得将代入解得所以线性回归方程为再将代入得故答案为考点：回归分析及线性回归方程25．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：三、解答题27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．2．B解析：B【解析】【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可.【详解】如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用秦九韶算法，求解即可. 【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x =+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x =时的值：07v =172519v =⨯+=2192341v =⨯+=3412183v =⨯+=故选：A【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.5．C解析：C【解析】【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可.【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.6．B解析：B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值.【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠；22,78,100n m s ==≠；23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．B解析：B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．C解析：C【解析】【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可.【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos 32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos 32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =，直到2016n =时，程序运行终止， 函数cos 3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+，又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．9．D解析：D【解析】【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案．【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ，若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10．D解析：D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差11．C解析：C【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．12．B解析：B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．从而S△PBC=12S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB PC+=PD，∵20PB PC PA++=，∴2PB PC PA+=-，∴2PD PA=-，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．∴S△PBC=12S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P=PBC ABC S S =12． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．13．B解析：B【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P （X=1）和P （X=0），即可判断等式表示的意义． 【详解】由题意可知112224222226261,0C C C P X P X C C ⋅====：（）（） ， ∴11222422225C C C C +表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P （X≤1）， 故选B ．【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．14．B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a ＜b ，则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6，由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B ．15．B解析：B【解析】试题分析：抽样比是，所以样本容量是．考点：分层抽样二、填空题 16．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为 解析：12【解析】五种抽出两种的抽法有2510C =种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12. 17．【解析】直线的直角坐标方程为点的直角坐标为所以点到直线的距离为 解析：522【解析】直线l 的直角坐标方程为1y x -= ，点A 的直角坐标为(2,2)- ，所以点A 到直线l 的距2215222++=. 18．y ＝03x －04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为 解析：y ＝0.3x －0.4【解析】 由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑， 又222172010880n i i xnx =-=-⨯=∑，1184108224ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑， 由此得240.3ˆˆˆ,20.380.480b a y bx ===-=-⨯=-，故所求回归方程为ˆy 0.30.4x =-，故答案为ˆy0.30.4x =-. 19．【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度即可得到结论【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为xy 则所有事件集可表示为0≤x≤50≤y≤5由题目得如果手机受则到干扰的事件发生必有|x 解析：1625【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x ，y ．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25， 阴影部分的面积2125252162-⨯-=（） ， 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为1625． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础． 20．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7，∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18.故答案为：18.21．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实 解析：5或3-【解析】设样本数据的平均数为a ，则方差：()()522152215522115221522115125125512555155i i i i i i i i i i i i i s a a a aa a a a a a a a a a a a =======-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 结合()222222123451205s a a a a a =++++-可得：2520,2a a =∴=±， 即样本数据12345,,,,a a a a a 的平均数为2或-2，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为：2215⨯+=或()2213⨯-+=-.故答案为5或3-．点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．要注意其区别与联系.22．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况． 详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2， 若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11， 若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x ++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x ++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17.故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.23．【解析】两球颜色不同的概率是 解析：35【解析】 两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 24．【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意可得将代入解得所以线性回归方程为再将代入得故答案为考点：回归分析及线性回归方程解析：32【解析】【分析】【详解】试题分析： 由题意可得30,20x y ==将()30,20代入0.6ˆˆyx a =+解得ˆ2a =，所以线性回归方程为0.62ˆyx =+，再将50x =代入0.62ˆy x =+得ˆ32y =，故答案为32. 考点： 回归分析及线性回归方程.25．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为： 解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间，则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间，满足条件的P 点对应的线段长为2cm ，而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15.三、解答题26．见解析【解析】【分析】【详解】解：流程图如下：程序如下：INPUT a ，bIF a ＝0 THENIF b ＜0 THENPRINT “任意实数”ELSEPRINT “无解”ELSEIF a ＞0 THENPRINT “x ＜“；﹣b /aELSEPRINT “x ＞“；﹣b /aENDIFENDIFENDIFEND点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错.27．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。