2017-2018学年第一学期高三期末调研考试--高三数学答案(文理)

扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学2018.2第一部分一、 填空题1. 若集合A ={x |1<x <3}，B ={0,1,2,3}，则A ∩B =___________。

2. 若复数(a −2ⅈ)(1+3ⅈ)是纯虚数，则实数a 的值为__________。

3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。

4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的人数为________。

5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。

6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为__________。

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为______。

8. 若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是________。

9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。

10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2−6y +5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________。

11. 已知函数f (x )=sⅈn x −x +1−4x 2x，则关于x 的不等式f (1−x 2)+f (5x −7)<0的解集为_________。

12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为_________。

2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.（5分）设集合A={x€ Z| （x-4）（x+1）V O} , B={2, 3, 4}，则A H B=（）A. （2, 4）B. {2, 4}C. {3}D. {2, 3}2. （5分）若x>y,且x+y=2，贝U下列不等式成立的是（）A. x2v y2B. —C. x2> 1D. y2v 1x y3. （5 分）已知向量；=（x- 1 , 2） , b = （x, 1）,且；// 匸，贝U | ；+匸| =（）A.匚B. 2C. 2 匚D. 3 匚4. （5 分）若t血（a-牛）=2,则tan2 a（）A.- 3B. 3C.二D.4 45. （5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 166. （5 分）已知命题p: ? x o€ R,使得e x0< 0:命题q: a, b € R,若|a- 1| =| b -2|，则a - b= - 1，下列命题为真命题的是（）A. pB. ?qC. p V qD. p A qIT7. （5 分）在厶ABC中，“C^”是“sinA=cos的”）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. （5分）已知函数f （x）=sin? x+ ；cos? x （? >0）图象的最高点与相邻最低点的距离是若将y=f （x）的图象向右平移'个单位得到y=g （x）的图象，6则函数y=g （x）图象的一条对称轴方程是（）115A. x=0B.： -二C. -二D.厂一9. （5分）已知0v a v b v 1,给出以下结论：- - .. ■；④ logj > log 」•则其中正确丄丄2 323的结论个数是（ ）A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. （5分）已知x i 是函数f （x ） =x+1 - In （x+2）的零点，沁 是函数g （x ） =X-2ax+4a+4的零点，且满足| x i - X 2I < 1,则实数a 的最小值是（ ）A . 2-2 二B . 1 - 2 二 C.- 2D. - 111. （5分）已知a , b , c € R,且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与 函数f （x ） =ax+bcosx+csinx 的图象都相切，贝U a+』"H c 的取值范围是（ ）A . [ - 2, 2]B. UW *E]C . - V'e V%] D . :勺匚】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（5分）已知变量x,y 满足约束条件r 亠®£-2，则z=2x+y 的最小值是 _________ .、x>l14 . （5分）已知偶函数f （x ）在［0, +x ）上单调递增，且f （2） =1，若f （2x+1） v 1,则x 的取值范围是 .15. （5分）在厶ABC 中，AB=2, AC=4 cosA=，过点A 作AM 丄BC,垂足为M ,Q 若点N 满足X 匕3二'I,贝U '*・■■■!= ___________ .16. （5分）如果｛a n ｝的首项 a 1=2017,其前 n 项和 S n 满足 S h +S n -1=- n 2 （n € N* ,n 》2）,贝U a 101= ____ .三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演12. （5分）若存在实数 中e 为自然对数的底数）A. ｛：｝ B ［：*x ,使得关于 x 的不等式匚「+x 2- 2ax+a 2^— （其a 的取值集合为（ ）［——,+x ）10成立，则实数 皿｝ D .算步骤.17. （12分）在厶ABC中，•-二工，D是边BC上一点，且辽m；, BD=2.(1)求/ ADC的大小；(2)若域凭蔦，求△ ABC的面积.18. (12分)设公差大于0的等差数列｛a n｝的前n项和为已知S B=15，且a i,a4, a i3成等比数列，记数列；的前n项和为T n.(I)求T n；(U)若对于任意的n € N*, tT n< a n+11恒成立，求实数t的取值范围.19. (12 分)若函数f (x) =Asin( ? x+©) (A>0，... . -一■■-—)的部分2T 2图象如图所示.(I)设x€( 0，一)且 f ( a)=，求sin 2a 的值；3 5(II)若x€ ［，‘ ］且g (x) =2入f(x) +cos (4x-丄)的最大值为•’，求实12 12 3 2数入的值.20. (12分)已知函数f (x) =ke x-x3+2 (k€ R)恰有三个极值点x i，X2，X3, 且X|V x2v x3.(I)求k的取值范围：(II)求f (X2)的取值范围.21. (12分)已知函数f (x) =axlnx- x+l (a€ R),且f (x)>0.(I)求a；(II)求证：当，n€ N*时f 甘…--亠一v2ln2.n2+l n2 + 2 n Z+3 4n Z请考生在第22, 23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.［选修4-4 :极坐标与参数方程］22. (10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是「(a为参|y=4+5sina数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设^ ，■ • ■——，若l i，I2与曲线C分别交于异于原点的A，B］ 6 2 3两点，求△ AOB的面积.［选修4-5：不等式选讲］23. 已知函数f (x) =|2x- 1|+| 2x+3| .(1)解不等式f (x)> 6;(2)记f (x)的最小值是m，正实数a, b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值.20仃-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1. (5分)设集合 A={x € Z| (x -4) (x+1)V O} , B={2, 3, 4}，则 A H B=( )A . (2, 4) B. {2, 4} C. {3} D. {2, 3}【解答】 解：集合 A={x € Z| (x-4) (x+1 )V 0}={x € Z| - 1v x v 4}={0, 1, 2, 3},B={2, 3, 4}, 则 A H B={2, 3}, 故选：D2. (5分)若x >y ,且x+y=2，贝U 下列不等式成立的是( )A . x 2v y 2B .「C. x 2> 1 D . y 2v 1K y【解答】解x >y ,且x+y=2,••• x>2 - x, ••• x> 1,故x 2> 1正确， 故选：CA .匚 B. 2C. 2 二D.• x -仁2x , 解得x=- 1 ,•- + = (-2 , 2) + (- 1 , 1) = (- 3 , 3), 第5页(共20页)3. (5分)已知向量1= (x- 1 , 2),■■= (x , 1),且 1 // ：■, 则 | ^ "| =( )【解答】解：I 尸（x - 1 , 2),=I| r + M 1「_「I' .I - = 3?,故选：D4. (5 分)若tanCCL^->2,则tan2 a==)A.- 3B. 3C.二D.44【解答】解：•••—= —可求tan a = 3,4 1+tanCl••• tan2 a= _「=「；=【1-tan21-(-3)24故选：D.5. （5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x立方米，•••每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，•••用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，•••该职工这个月缴水费55元，•••该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x- 10）X 5，•••由题意可列出一元一次方程式：30+ （x- 10）X 5=55，解得：x=15，故选：C.6. （5 分）已知命题p: ? xo€ R,使得e x0< 0:命题q: a，b € R,若|a- 1| =| b -2|，则a - b= - 1，下列命题为真命题的是（）A. pB. ?qC. p V qD. p A q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+x）可得：命题p: ?勺€ R,使得e x0< 0为假命题，若|a—1|=|b - 2|，贝U a- 1=b— 2 或a-仁-b+2即a- b=- 1,或a+b=3,故命题q为假命题，故?q为真命题；p V q, p A q为假命题，故选：B7. (5 分)在厶ABC 中，“鈕”是“ sinA=cos的”)2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：“C= ”“+B=》” “A= - B? sinA=cosB2 2 2反之sinA=cosB A+B=，或A= +B，“C=_”不一定成立,2 2 2TT••• A+B= 是sinA=cosB成立的充分不必要条件，2故选：A.8. (5分)已知函数f (x) =sin? x+ ；cos? x (? >0)图象的最高点与相邻最低点的距离是.=，若将y=f (x)的图象向右平移-个单位得到y=g (x)的图象，则函数y=g (x)图象的一条对称轴方程是( )115A. x=0B.：-二C.：-二D.Zoo【解答】解：•••函数 f (x) =sin?x+ _；cos?x=2sin (®x ) (? >0)图象的最3高点与相邻最低点的距离是.广，•设函数f (x)的周期为T,则(I ) 2+[2-( - 2) ]2= ( —) 2,解得：T=2,• T=2=，解得：3 = nco• f (x) =2sin ( n + ),31 1 IT=f (x—一)=2sin[ n (x—一)+ ] =2sin ( n• y=g (x)6 6 3•••当k=0时，函数y=g (x )图象的一条对称轴方程是：x=. 3故选：C.9. (5分)已知O v a v b v 1,给出以下结论: 丄 丄①■ L .1匕 匚 一-、_门二.】④logj >log2 3T J 2的结论个数是( )A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】解：由O v a v b v 1,知： 在①中，d )a >d )b >d )b ，故①正确；2 2 3丄 丄丄 丄在②中，当a- , b='时， -,-，此时.，故②错误;在③中，门：「n >log a >b ，故③正确；- ----------------------------- 2 3 3在④中，当 a=—，bp 时，log ^-^v log^=1 .故④错误. 故选：B.10. (5分)已知x i 是函数f (x ) =x+1 - In (x+2)的零点，沁 是函数g (x ) =« -2ax+4a+4的零点，且满足| * - X 2| < 1，则实数a 的最小值是( A . 2-2 二 B . 1 - 2 二 C.- 2D. - 1【解答】解I ： f'( x ) =1 - •当-2v x v- 1 时，f'(x )v 0,当 x >- 1 时，f'( x )> 0, •••当x=- 1时，f (x )取得最小值f (- 1) =0, •- f (x )只有唯一一个零点x=- 1,即X 1=- 1,T |X 1 - x 2| W 1 , •- 2 w x 2 = 0,• g (x )在［-2, 0］上有零点，(1)若厶=4a 2 - 4 (4a+4) =0,即卩 a=2± 2 ':, 此时g (x )的零点为x=a, 显然当a=2 - 2「符合题意；•令 n + =k n +, k € 乙解得:jJ .则其中正确2 3k €Z ,(2)若厶=4a2—4 (4a+4)>0,即a v2- 2 ~或a>2+2 匚，①若g (x)在［-2, 0］上只有一个零点，则g (- 2) g (0)< 0, --a=- 1,g(-2)>0g(0)>0②若g (x)在［-2, 0］上有两个零点，则出_2<a<Qa< 2 -2 灵或a> 2+2^2解得-K a v2 - 2综上，a的最小值为-1.故选：D.11. (5分)已知a, b, c€ R,且满足b2+c?=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csi nx的图象都相切，贝U a+电.屮幻.•:c的取值范围是( ) A. ［- 2, 2］ B. ： PE “jG c. - Vc "扎］D. :: .■-::'【解答】解：•••函数 f (x) =ax+bcosx+csinx, b2+c2=1,••• f'(x) =a+ccosx- bsinx=a- sin (x- ©), 其中tan © =,b则 f (x)€ ［a- 1, a+1］,若存在两条互相垂直的直线与函数 f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则存在k1, k2€ ［a- 1, a+1］，使k*2=- 1,由( a- 1) (a+1) =a2- 1 >- 1 得：a=0,则a^^b+血c=应in ( ©+B),其中tan 0故a+ 二=c€ ［-二，二］,故选：B./ x \ 2 112. （5分）若存在实数x,使得关于x的不等式「_+x2- 2ax+a2< （其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）A. {-,} B ［「）C {」} D.，心）【解答】解：不等式 -'：-:+x2-2ax+a2w 1 ,9 10即为（x—a）2+ C - _）2< ——3 3 10表示点（x, 一）与（a,：）的距离的平方不超过,3 3 10即最大值为-•10由（a,卫）在直线I: y=-x上,3 3设与直线I平行且与y二一相切的直线的切点为（m, n）,3可得切线的斜率为1 e m J ,3 3解得m=0, n=,3切点为（0, 1）,由切点到直线I的距离为直线I上的点3与曲线y=‘的距离的最小值，3可得（0-a）2+ （■—a）2二丄,3 3 10解得a=,10则a的取值集合为｛七｝.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. （5分）已知变量x, y满足约束条件' s-3y<-2 ,则z=2x+y的最小值是3【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）. 由z=2x+y 得y= - 2x+z,平移直线y=- 2x+z,由图象可知当直线y= - 2x+z经过点A时，直线y= - 2x+z的截距最小，此时z最小.由/弓。

长春外国语学校2018届高三数学上学期期末试卷（文科带答案）长春外国语学校2017-2018学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（文科）出题人：姜海军审题人：于海君本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合()A.B.C.D.2.已知复数满足,则对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知且与的夹角为,则为（）A.B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.5.已知命题:,使得，命题:,，则下列命题为真命题的是（）A.B.C.D.6.运行如图所示的程序框图，若输出的是，则①应为A.B．C．D．7.若实数满足求的最大值()A.B.C.D.8.已知,则的值为（）A.B.C.D.9.已知抛物线上点到焦点的距离为3,则点到轴的距离是（）A.B.1C.D.210.若函数的零点为，若,则的值满足（）A.B.C.D.的符号不确定11.已知是双曲线的左右焦点,点是上一点,若,且的最小内角为,则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.12.已知函数,若函数有唯一零点,则下列说法错误的是（）A.B.函数在处的切线与直线平行C.函数在上的最大值为D.函数在上单调递减第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高三文科数学 参考答案一、选择题13．1(,)2+∞14．220x y --= 15．14π 16．)33,32( 三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2324a a a =⋅34a ∴=±…………………………………1分若34a =-，则23610a a =-=，此时32a a <，不合题意，舍去； 若34a =，则2362a a =-=，此时2q =，11a =，符合题意.…………………………………4分从而数列{}n a 的通项公式12()n n a n N -*=∈.…………………………………5分 （Ⅱ）由条件n n a b n = 知 12n n n n n b a -==…………………………………6分则 21231222n n n T -=++++ ①21112122222n n n n nT --=++++ ② ①－②可得：211111(1)22222n n nnT -=++++- …………… ……………………9分所以11111221222212= =n n n n nn n T ------ …………………………………11分所以数列{}n b 的前n 项和211422n n n n T --=--. …………………………………12分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，样本中生长高度在115cm 以上（含115cm ）的频率为 ()0.010.0080.00410=0.22++⨯， 所以株数为0.221000=220⨯.…………………………………2分（Ⅱ）由频率分布直方图可估计：=600.02700.08800.14900.151000.241100.151200.11300.081400.04=100x -⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………………4分2=16000.029000.084000.141000.151000.154000.19000.0816000.04=366s ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………………………………6分∴莞草株高的平均数100cm ，方差为366.…………………………………7分（Ⅲ）设两株高度和不少于225cm 的事件为A ，记高度依次为100cm ，110cm ，112cm ，112cm ，125cm ，125cm 的莞草 分别为,,,,,a b c d e f .则两株高度和共有15种结果，如下：(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f…………………………………9分其中A 包含了(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) a e a f b e b f c e c f d e d f e f 9个结果，93()155P A ∴==…………………………………11分故这两株莞草高度和不少于225cm 的概率为35. …………………………………12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知又2=CD ，所以DAB ∆和DBC ∆均为等腰∆Rt ，…………………………………1分所以045=∠=∠BDC ADB ，则090=∠ADC ，…………………………………2分…………………………………3分 取DE 中点H ，连,,HF AH BF ，又因为F 为EC 中点，…………………………………4分所以HF AB //且HF AB =，所以ABFH 为平行四边形， 所以AH BF //，…………………………………5分又因为AH ADE ⊂面，ADE BF 面⊄，所以ADE BF 面//.…………………………………6分（Ⅱ）由（1）BC BD ⊥又BE BC ⊥，BC EBD ∴⊥面 .DE BC ∴⊥…………………………………7分又由（1）知DE DC ⊥，DE ABCD ∴⊥面 .…………………………………8分设点D 到面BCE 的距离为h ，11,133E BCD D BCE V V h --=∴⋅= .…………………………………10分D 到面BCE.…………………………………12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）椭圆C 的焦距为2c ，则22c =即1c =…………………………………1分22e=a ∴==所以2221b ac =-=…………………………………3分故椭圆C 的方程为2212y x +=.…………………………………4分（Ⅱ） 假设满足条件的直线l 存在，设其方程为y x t =+，…………………………………5分四边形PMQN 为平行四边形即MN 与PQ 互相平分 设()11,M x y ，()()()22344,,3,,,N x y P y Q x y ， 所以 124= 3x x x ++-----------①…………………………………6分由2212y x t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得223220x tx t ++-=， 则()2241220t t ∆=-->，解得t <<由韦达定理知122= 3x x t +------------ ② …………………………………8分②代入①可得：42=33x t --t <<( …………………………………9分从而4[3]x ∈- …………………………………10分45 331333-<-=-<-由于与椭圆上点的横坐标的取值范围[]1,1-矛盾，…………………………………11分故点Q 不在椭圆上，从而满足条件的直线l 不存在.…………………………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）因为1-=a ，,)(xe a xf +='1)(-='∴xe xf …………………………………1分 且)(),(,x f x f x '的变化关系表为…………………………3分 ∴当0=x 时，)(x f 有最小值为1)0(=f …………………………………4分1)(≥∴x f …………………………………5分（2）令()[)+∞∈++-+=+-=,0,1ln 11ln)()(x x e ax x ex f x g x ∴,11)(+++='x e a x g x…………………………………6分由（1）知[)1,,0+≥+∞∈x e x x ① 当,0211111)(02≥+>++++>+++='>-≥a x x a x e a x g x a x 时，，∴[)0)0()(,,0=+∞∈g x g x 单调递增，且 ∴[).0)0()(,,0恒成立=≥+∞∈g x g x 从而.2符合题意-≥a……………………………………8分② 当2a <-时，令()11x x e a x ϕ=+++, 则()()()()222111011x xx e x e x x ϕ+-'=-=≥++. ∴函数()x ϕ在区间[)0,+∞上单调递增.………………………………………9分由于()020a ϕ=+<,()111110111a a e a a a a a aϕ--=++≥-++=+>---. 故()00,x a ∃∈-,使得()00x ϕ=.…………………………………………10分则当00x x <<时,()()00x x ϕϕ<=,即()0g x '<. ∴函数()g x 在区间()00,x 上单调递减. ∴ ()()000g x g <=,不符题意.…………………………………………11分综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞.…………………………………………12分22．（本小题满分10分）1 ( )2x C y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩解：(1)曲线的参数方程为：为参数转化为普通方程：043222=--+y x y x ，…………………………………………2分∴曲线C 1的极坐标方程为：0sin 4cos 32=-θθρ-， 直线l 1的极坐标方程为：6πθ=（R ∈ρ）．…………………………………………5分（2）设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0sin 4cos 326θθρπθ解得0=ρ（舍去）或5=ρ，所以51=ρ．…………………………………………7分由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0sin 4cos 323θθρπθ解得0=ρ（舍去）或33=ρ，所以332=ρ． …………………………………………9分∴三角形△AOB 的面积为4315)63sin(2121=-=∆ππρρABC S ． …………………………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）当1a =时，不等式()2f x >即为1242x x +-->， …………………………………………1分若-1x ≤，不等式可化为52x ->，解得7x >，无解， 若12x -<<，不等式可化为1(24)2x x ++->，解得53x >，所以 523x << 若2x ≥，不等式可化为1(24)2x x +-->，解得3x <，所以23x ≤<…………………………………………4分 综上所述，关于x 的不等式()2f x >的解集为533xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. …………………………………………5分 （2）由题意可知()12441 2 314 124 1 1f x x x aa x x ax a x ax a x =+--+-≥⎧⎪=+--<<⎨⎪--≤-⎩，，， …………………………………………6分所以()y f x =的图象与x 轴围成的三角形为PEF ∆41(2,21),(,0),(41,0)3a P a a E F a -++其中 …………………………………………7分8141(41)(21)823PEF S a a a ∆∴>-⇒⨯+-⨯+>2(21)12 a +>整理得： …………………………………………9分121 2a a a >∴+>>即…………………………………………10分。

2017~2018高三上学期期末试题（理数）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1、已知：如图，集合U 为全集，则图中阴影部分表示的集合是A 、∁U CB A )( B 、∁U AC B )( C 、 A ∁U ）（C B D 、∁U C B A )(解析：略2、已知i +1是关于x 的方程 022=++bx ax （R b a ∈,）的一个根，则=+b a A 、1- B 、1 C 、3- D 、3解析：实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）. 易得：2,1-==b a3、已知双曲线C 的一条渐近线的方程是：x y 2=，且该双曲线C 经过点)2,2(，则双曲线C 的方程是A ．1147222=-y x B ．1147222=-x y C ．1422=-x y D ．1422=-y x 解析：由题可设双曲线的方程为：λ=-224x y ，将点)2,2(代入，可得4-=λ，整理即可得双曲线的方程为1422=-y x 4、已知：x b x a x f cos sin )(+=，1)3sin(2)(++=πωx x g ，若函数)(x f 和)(x g 有完全相同的对称轴，则不等式2)(>x g 的解集是 A ．))(2,6(z k k k ∈+-ππππ B ．))(22,62(z k k k ∈+-ππππC ．))(62,2(z k k k ∈+πππ D ．))(6,(z k k k ∈+πππ解析：由题意知，函数)(x f 和)(x g 的周期是一样的，故1=ω，不等式2)(>x g ，即21)3s i n (>+πx ，解之得：))(22,62(z k k k x ∈+-∈ππππ5、已知各项均为正数的等比数列}{n a ，253=⋅a a ，若)())(()(721a x a x a x x x f -⋅⋅⋅--=，则)0('f =________A ．28B ．28-C ．128D ．128-解析：令)()(x g x x f ⋅=，其中)())(()(721a x a x a x x g -⋅⋅⋅--=，则)(')()('x g x x g x f ⋅+=，故747321)0()0('a a a a a g f -=⋅⋅⋅⋅⋅-==，由253=⋅a a 可得，24=a ，故28)0('-=f6、已知：⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤+-,062,032,01y x y x y x 则目标函数y x z 32-=A ．7max -=z ，9min -=zB ．311max -=z ，7min -=z C ．7max -=z ，z 无最小值D ．311max -=z ，z 无最小值 解析：如图：)3,0(A ,)35,32(B ,)5,4(C ,显然7max -=z7、设()x x e e x f sin 1sin 1-++=，1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx ，且)()(21x f x f >，则下列结论必成立的是A. 1x ＞2xB. 1x +2x ＞0C. 1x ＜2xD. 21x ＞22x 解析：)()(x f x f -=，故)(x f 是偶函数， 而当]2,0[π∈x 时，0)(cos cos cos )('sin 1sin 1sin 1sin 1>-⋅=⋅-⋅=-+-+x x x x e e x e x e x x f ，即)(x f 在]2,0[π是单调增加的.由)()(21x f x f >，可得|)(||)(|21x f x f >，即有||||21x x >，即2221x x >8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S =A ．π10B ． 441πC ．221πD ．π12解析：方法一：该多面体如图示，外接球的半径为AG ,HA 为ABC ∆外接圆的半径，1=HG ，45=HA ， 故44112=+==HA AG R ， 44142ππ==R S 方法二：只考虑三棱锥ABC E -的外接球即可，而此三棱锥的侧棱EB 与底面ABC 是垂直的，故其外接球的半径：4412)2(22=+=r EB R （其中r 是三角形ABC 外接圆的半径）9、执行如图的程序框图，若输出S 的值是2，则a 的值可以为A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017解析：①2=S ，0=k ；②1-=S ，1=k ；③21=S ，2=k ；④2=S ，3=k ；……，故a 必为3的整数倍。

2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A．（2，4） B．{2，4}C．{3}D．{2，3}2．（5分）若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A．x2＜y2B．C．x2＞1 D．y2＜13．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（x，1），且∥，则||=（）A．B．2 C．2 D．34．（5分）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C．D．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米．A．13 B．14 C．15 D．166．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b ﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A．p B．¬q C．p∨q D．p∧q7．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）=sinϖx+cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=0 B．C．D．9．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：①；④log a＞log b．则其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（5分）已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A．2﹣2B．1﹣2C．﹣2 D．﹣111．（5分）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+c的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．12．（5分）若存在实数x，使得关于x的不等式+x2﹣2ax+a2≤（其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）A．{} B．[，+∞）C．{}D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是．14．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，过点A作AM⊥BC，垂足为M，若点N满足=3，则=．16．（5分）如果{a n}的首项a1=2017，其前n项和S n满足S n+S n﹣1=﹣n2（n∈N*，n≥2），则a101=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，，D是边BC上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求T n；（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tT n＜a n+11恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）若函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，）的部分图象如图所示．（I）设x∈（0，）且f（α）=，求sin 2a的值；（II）若x∈[]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值为，求实数λ的值．20．（12分）已知函数f（x）=ke x﹣x3+2 （k∈R）恰有三个极值点x l，x2，x3，且x l＜x2＜x3．（I）求k的取值范围：（II）求f（x2）的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=axlnx﹣x+l （a∈R），且f（x）≥0．（I）求a；（II）求证：当，n∈N*时，＜2ln2．请考生在第22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设，，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B 两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A．（2，4） B．{2，4}C．{3}D．{2，3}【解答】解：集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}={x∈Z|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B={2，3}，故选：D2．（5分）若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A．x2＜y2B．C．x2＞1 D．y2＜1【解答】解：∵x＞y，且x+y=2，∴x＞2﹣x，∴x＞1，故x2＞1正确，故选：C3．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（x，1），且∥，则||=（）A．B．2 C．2 D．3【解答】解：∵=（x﹣1，2），=（x，1），且∥，∴x﹣1=2x，解得x=﹣1，∴+=（﹣2，2）+（﹣1，1）=（﹣3，3），∴||==3，故选：D4．（5分）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C．D．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米．A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x立方米，∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，∵该职工这个月缴水费55元，∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x﹣10）×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30+（x﹣10）×5=55，解得：x=15，故选：C．6．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b ﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A．p B．¬q C．p∨q D．p∧q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得：命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0为假命题，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣1=b﹣2或a﹣1=﹣b+2即a﹣b=﹣1，或a+b=3，故命题q为假命题，故¬q为真命题；p∨q，p∧q为假命题，故选：B7．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“C=”⇔“A+B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=sinϖx+cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=0 B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=sinϖx+cosϖx=2sin（ωx+）（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，∴设函数f（x）的周期为T，则（）2+[2﹣（﹣2）]2=（）2，解得：T=2，∴T=2=，解得：ω=π，∴f（x）=2sin（πx+），∴y=g（x）=f（x﹣）=2sin[π（x﹣）+]=2sin（πx+），∵令πx+=kπ+，k∈Z，解得：x=k+，k∈Z，∴当k=0时，函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是：x=．故选：C．9．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：①；④log a＞log b．则其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由0＜a＜b＜1，知：在①中，（）a＞（）b＞（）b，故①正确；在②中，当a=，b=时，=，=，此时＜，故②错误；在③中，＞log a＞b，故③正确；在④中，当a=，b=时，log a=＜log b=1．故④错误．故选：B．10．（5分）已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A．2﹣2B．1﹣2C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵f′（x）=1﹣=，∴当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（﹣1）=0，∴f（x）只有唯一一个零点x=﹣1，即x1=﹣1，∵|x1﹣x2|≤1，∴﹣2≤x2≤0，∴g（x）在[﹣2，0]上有零点，（1）若△=4a2﹣4（4a+4）=0，即a=2±2，此时g（x）的零点为x=a，显然当a=2﹣2符合题意；（2）若△=4a2﹣4（4a+4）＞0，即a＜2﹣2或a＞2+2，①若g（x）在[﹣2，0]上只有一个零点，则g（﹣2）g（0）≤0，∴a=﹣1，②若g（x）在[﹣2，0]上有两个零点，则，解得﹣1≤a＜2﹣2．综上，a的最小值为﹣1．故选：D．11．（5分）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+c的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ax+bcosx+csinx，b2+c2=1，∴f′（x）=a+ccosx﹣bsinx=a﹣sin（x﹣φ），其中tanφ=，则f′（x）∈[a﹣1，a+1]，若存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则存在k1，k2∈[a﹣1，a+1]，使k1k2=﹣1，由（a﹣1）（a+1）=a2﹣1≥﹣1得：a=0，则a+c=c=sin（φ+θ），其中tanθ=，故a+c∈[﹣，]，故选：B．12．（5分）若存在实数x，使得关于x的不等式+x2﹣2ax+a2≤（其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）A．{} B．[，+∞）C．{}D．[，+∞）【解答】解：不等式+x2﹣2ax+a2≤，即为（x﹣a）2+（﹣）2≤，表示点（x，）与（a，）的距离的平方不超过，即最大值为．由（a，）在直线l：y=x上，设与直线l平行且与y=相切的直线的切点为（m，n），可得切线的斜率为e m=，解得m=0，n=，切点为（0，），由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=的距离的最小值，可得（0﹣a）2+（﹣a）2=，解得a=，则a的取值集合为{}．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是3．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得A（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．即目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．14．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是（﹣，）．【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，则（2x+1）=f（|2x+1|），又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，则f（2x+1）＜1⇒f（|2x+1|）＜f（2）⇒|2x+1|＜2，解可得﹣＜x＜；则x的取值范围是（﹣，）；故答案为：（﹣，）．15．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，过点A作AM⊥BC，垂足为M，若点N满足=3，则=﹣．【解答】解：以M为原点，以BC所在的直线为x轴，以AM所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在△△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=4+16﹣2×2×4×=18，∴BC=3，∴sinA==，由正弦定理可得=，∴sin∠ABC==，∵AC＜BC，∴cos∠ABC=，在Rt△AMB中，BM=AB•cos∠ABC=2×=，AM=AB•sin∠ABC=2×=，∵点N满足=3，∴|N|=||=，∴A（0，），N（0，），B（﹣，0），∴=（0，），=（﹣，﹣），∴•=0+×（﹣）=﹣，故答案为：16．（5分）如果{a n}的首项a1=2017，其前n项和S n满足S n+S n﹣1=﹣n2（n∈N*，n≥2），则a101=3935．【解答】解：∵S n+S n﹣1=﹣n2（n≥2），∴S n+1+S n=﹣（n+1）2，∴S n+1﹣S n﹣1=﹣2n﹣1，即a n+1+a n=﹣2n﹣1，∴a n+2+a n+1=﹣2n﹣3，故a n+2﹣a n=﹣2（n≥2），∵a1=2017，且2a1+a2=﹣4，∴a2=﹣4038，由（a1+a2+a3）+（a1+a2）=﹣9，∴a3﹣a1=2016．∴a101=（a101﹣a99）+（a99﹣a97）+…+（a3﹣a1）+a1=（﹣2）×=﹣98+4033=3935．故答案为：3935．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，，D是边BC上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABD中，由正弦定理，得，∴，∴．（2）由（1）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，整理得CD2+6CD﹣40=0，解得CD=﹣10（舍去），CD=4，∴BC=BD+CD=4+2=6．∴S=．△ABC18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求T n；（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tT n＜a n+11恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d（d＞0），由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①…（2分）又∵a1，a4，a13成等比数列，∴a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得3d=2a1，②…（4分）联立①②解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．…（5分）∴，∴．…（7分）（Ⅱ）∵tT n＜a n+11，即，∴，…（9分）又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴≥162，…（11分）∴t＜162．…（12分）19．（12分）若函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，）的部分图象如图所示．（I）设x∈（0，）且f（α）=，求sin 2a的值；（II）若x∈[]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值为，求实数λ的值．【解答】解：（Ⅰ）由图得，A=2．…（1分），解得T=π，于是由T=，得ω=2．…（2分）∵，即，∴，即，k∈Z，又，故，∴．…（3分）由已知，即，因为，所以，∴．∴===．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，===，…（8分）∵x∈，于是0≤≤，∴0≤≤1．…（9分）①当λ＜0时，当且仅当=0时，g（x）取得最大值1，与已知不符．②当0≤λ≤1时，当且仅当=λ时，g（x）取得最大值2λ2+1，由已知得2λ2+1=，解得λ=．③当λ＞1时，当且仅当=1时，g（x）取得最大值4λ﹣1，由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾．综上所述，λ=．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=ke x﹣x3+2 （k∈R）恰有三个极值点x l，x2，x3，且x l＜x2＜x3．（I）求k的取值范围：（II）求f（x2）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ke x﹣3x2．由题知方程ke x﹣3x2=0恰有三个实数根，整理得．…（1分）令，则，由g'（x）＞0解得0＜x＜2，由g'（x）＜0解得x＞2或x＜0，∴g（x）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减．…（3分）于是当x=0时，g（x）取得极小值g（0）=0，当x=2时，g（x）取得极大值．…（5分）且当x→﹣∞时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→0，∴．…（6分）（Ⅱ）由题意，f'（x）=ke x﹣3x2=0的三个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，∴0＜x2＜2，且，…（8分）∴，…（9分）令μ（x）=﹣x3+3x2+2（0＜x＜2），则μ'（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2），当0＜x＜2时，μ'（x）＞0，即μ（x）在（0，2）单调递增，…（11分）∴f（x2）∈（2，6）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=axlnx﹣x+l （a∈R），且f（x）≥0．（I）求a；（II）求证：当，n∈N*时，＜2ln2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，与已知矛盾．…（1分）若a=0，则f（x）=﹣x+1，显然不满足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．…（2分）若a＞0，对f（x）求导可得f'（x）=alnx+a﹣1．由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得0＜，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min==1﹣a．…（4分）∴要使f（x）≥0恒成立，则须使1﹣a≥0成立，即≤恒成立．两边取对数得，≤ln，整理得lna+﹣1≤0，即须此式成立．令g（a）=lna+﹣1，则，显然当0＜a＜1时，g'（a）＜0，当a＞1时，g'（a）＞0，于是函数g（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴g（a）min=g（1）=0，即当且仅当a=1时，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，∴a=1满足条件．综上，a=1．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1时，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞恒成立．令（n∈N*），即＞，即，…（8分）同理，，，…，，，…（10分）将上式左右相加得：==ln4．=2ln2…（12分）请考生在第22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设，，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B 两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（α为参数），∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，即x2+y2﹣6x﹣8y=0．…（2分）∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ．…（4分）（2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴．…（6分）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴．…（8分）∴S△===．…AOB（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．【解答】解：（1）当x≤时，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，…（2分）当时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，…（3分）当x≥时，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，…（4分）所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（5分）（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4．…（7分）∵a•2b≤，…（8分）由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤，解得a+2b≥，∴a+2b的最小值为．…（10分）。

湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(文)试题Word版含答案常德市2017-2018学年度上学期高三数学（文科）检测考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合$A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4,5\}$，则$A\cap B$中元素的个数为（）。

A．2.B．3.C．4.D．5.2.在复平面内，复数$z=1+2i$（$i$为虚数单位）对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限。

B．第二象限。

C．第三象限。

D．第四象限。

3.在某学校图书馆的书架上随意放着有编号为1,2,3,4,5的五本史书，若某同学从中任意选出两本史书，则选出的两本史书编号相连的概率为（）。

A．$\frac{1}{10}$。

B．$\frac{1}{5}$。

C．$\frac{2}{5}$。

D．$\frac{1}{2}$。

4.元朝著名数学家XXX《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着XXX走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的$x=$，那么在这个空白框中可以填入（）。

A．$x=x-1$。

B．$x=2x-1$。

C．$x=2x$。

D．$x=2x+1$。

5.已知向量$a=(x,y),b=(1,2),c=(-1,1)$，若满足$a\parallel b,b\perp(a-c)$，则向量$a$的坐标为（）。

A．$(\frac{5}{11},\frac{5}{11})$。

B．$(-\frac{5}{11},-\frac{5}{11})$。

C．$(\frac{6}{11},\frac{3}{11})$。

D．$(\frac{5}{11},\frac{6}{11})$。

广东佛山市2017-2018学年上学期高三第三次调研数学理科试卷满分150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数5122iz i-=+的实部为（ ） A ．1- B ．0 C ．1D ．22．已知全集U R =，集合{}0,1,2,3,4A =，{}2|20B x x x =->，则图1中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 图1C ．{}3,4D ．{}0,3,43．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．94．已知x R ∈，则“22x x =+”是“2x x =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．曲线1:2sin 6C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的12，得到曲线2C ，则2C （ ）A ．关于直线6x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称6．已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．157．当5,2m n ==时，执行图2所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．20 B ．42 C ．60 D ．1808．某几何体的三视图如图3所示，该几何体的体积为（ ）A ．212B ．15C ．332D ．189．已知()22xx a f x =+为奇函数，()()log 41xg x bx =-+为偶函数，则()f ab =（ ） A ．174 B ．52 C ．154- D ．32-10．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =（ ）A ．1033B ．10C ．103D ．20311．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，10PA =，2PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．24π B ．28π C ．32π D ．36π12．设函数322()32(0)f x x ax a x a =-+≠，若1212,()x x x x <是函数2()()g x f x a x λ=-的两个极值点，现给出如下结论：①若10λ-<<，则12()()f x f x <； ②若02λ<<，则12()()f x f x <；③若2λ>，则12()()f x f x <； 期中正确的结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．设b a c b a λ+=-==),1,1(),2,1(，若c a ⊥，则实数λ的值等于 ．14．已知0a >，()()412ax x -+的展开式中2x 的系数为1，则a 的值为 ．15．设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为 ．16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆与过1F 的直线l 相切于点N ．设l 与C 的交点为,P Q ，若2P Q P N =，则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22,n n S a n R λλ=+∈．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．18．(本题满分12分)有甲乙两家公司都愿意用某求职者，这两家公司的具体聘用信息如下：（Ⅰ）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（Ⅱ）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计，得到以下数据分布：若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的2K 的观测值为1 5.5513k ≈．请用统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥ 0.050 0.025 0.010 0.005 k3.841 5.024 6.635 7.87919．(本题满分12分)如图4，已知四棱锥ABCD P -中，CD AB //，AD AB ⊥，3=AB ,6=CD ,4==AP AD , ︒=∠=∠60PAD PAB .（Ⅰ）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影落在BAD ∠的平分线上； （Ⅱ）求二面角C PD B --的余弦值.20．(本题满分12分)已知椭圆1C ：22221x y a b+=()00a b >>，的焦点与抛物线2C ：282y x =的焦点F 重合，且椭圆右顶点P 到F 的距离为322-. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且满足PA PB ⊥，求PAB ∆面积的最大值.21．(本题满分12分) 已知函数x x a x x f 21ln )()(+-=（其中R a ∈）. （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为x y 21=，求a 的值； （Ⅱ）若e a e221<<（e 是自然对数的底数），求证：0)(>x f .请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号． 22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 2cos t y t x （t 为参数，πα<≤0），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设C 与l 交于M ，N 两点（异于原点），求ON OM +的最大值.23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数R a a x x x f ∈-=,)(.（Ⅰ）求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围. 数学（理科）参考答案一、选择题1-5: BAABD 6-10:CCCDC 11、D 12：B 二、填空题13. 5- 14.12 15. 1316.2 三、解答题17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的通项为)0(≠+=k b kn a n ，则2)2(2)(1b k kn n a a n S n n ++=+=， 由n a S n n λ+=22可得n b kn b k kn n λ++=++2)()2(即2222)2()2(b n kb n k n b k kn +++=++λ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=02222b kb b k k k λ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===101λλb k所以1=λ.（Ⅱ）由（Ⅰ）得知n a S n n +=22，当1=n 时，12211+=a a ，得11=a 所以n n d n a a n =-+=-+=11)1(1， 所以)121121(21)12)(12(111212+--=+-=+-n n n n a a n n所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++. 18.解：（Ⅰ）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量,X Y ， 则()60000.470000.380000.290000.17000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=,()50000.470000.390000.2110000.17000E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()222(60007000)0.4(70007000)0.3(80007000)0.2D X =-⨯+-⨯+-⨯22(90007000)0.11000+-⨯=()222(50007000)0.4(70007000)0.3(90007000)0.2D Y =-⨯+-⨯+-⨯22(110007000)0.12000+-⨯=,则()()()(),E X E Y D X D Y =<,我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司； （Ⅱ）因为10.5513 5.024k =>，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22⨯列联表：计算221000(5000070000)20006.734600400450550297k -==≈⨯⨯⨯ 2 6.734 6.635k =>，差表知得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025<，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大.19.解：（Ⅰ）设点O 为点P 在底面ABCD 的射影，连接AO PO ,，则PO ⊥底面ABCD ， 分别作,OM AB ON AD ⊥⊥，垂足分别为,M N ，连接,PM PN ， 因为PO ⊥底面ABCD ,AB ⊂底面ABCD ，所以PO AB ⊥， 又OM AB ⊥,OM OP O = ，所以AB ⊥平面,OPM PM ⊂平面OPM ，所以AB PM ⊥，同理AD PN ⊥，即090AMP ANP ∠=∠=，又,PAB PAD PA PA ∠=∠=，所以AMP ANP ∆≅∆， 所以AM AN =，又AO AO =，所以Rt AMO Rt ANP ∆≅∆，所以OAM OAN ∠=∠，所以AO 为BAD ∠的平分线.（Ⅱ）以O 为原点，分别以,,OM ON OP 所在直线为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为4PA =，所以2AM =，因为,AB AD AO ⊥为BAD ∠的平分线，所以045,2,22OAM OM AM AO ∠====，所以2222PO PA AO =-=，则(2,1,0),(0,0,22),(2,2,0),(2,4,0)B P D C ---， 所以(4,3,0),(2,2,22),(0,6,0)DB DP DC === 设平面BPD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则11111114302220n DB x y n DP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，可取1(32,42,1)n =-，设平面PDC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则由2221116022220n Dc y n DP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，可取2(2,0,1)n =-，所以12121261517cos ,511832121n n n n n n ⋅-===+++⋅ ，所以二面角B PD C --的余弦值为51751.20.解：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得a b >， 且(22,0),22,3223,1F c a c a b =-=-⇒== ，所以椭圆1C 的方程为2219x y += . （Ⅱ）依题意，可设直线,PA PB 的斜率存在且不为零， 不妨设直线:(3)PA y k x =-，则直线1:(3)PB y x k=--， 联立：22(3)19y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(19)54(819)0k x k x k +-+-=， 则226119PA k k=+⋅+同理可得：22222166111919k PB k k k k=+⋅=+⋅++⋅， 所以PAB ∆的面积为：22222222222118(1)18(1)18(1)32(19)(9)9(1)64829(1)64k k k k k k S PA PB k k k k k k +++===≤=+++++⋅， 当且仅当23(1)8k k +=，即473k ±=是面积取得最大值38. 21. （Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，()3ln 22a f x x '=-+ ， 由题意知00000000121()ln 231ln 22y x y x a x x a x x ⎧=⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪-+=⎪⎩，则0000()ln 0ln 10x a x ax x-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得01,1x a ==或0,1x a a ==，所以1a =.（Ⅱ）令()()3ln 2a g x f x x x '==-+，则()21ag x x x'=+， 因为122a e e <<，所以()20x a g x x+'=>，即()g x 在(0,)+∞上递增，以下证明在()g x 区间(,2)2aa 上有唯一的零点0x ，事实上31()ln ln 222222a a a a g a =-+=-，3(2)ln 2ln 2122a g a a a a =-+=+因为122a e e <<，所以21()ln0222a e g <-=，1(2)ln(2)102g a e<⋅+=， 由零点的存在定理可知，()g x 在(,2)2aa 上有唯一的零点0x ， 所以在区间0(0,)x 上，()()()0,g x f x f x '=<单调递减； 在区间0(,)x +∞上，()()()0,g x f x f x '=>单调递增， 故当0x x =时，()f x 取得最小值00001()()ln 2f x x a x x =-+， 因为0003()ln 02ag x x x =-+=，即003ln 2a x x =-， 所以20000000315()()()222a a f x x a x x x x x =--+=--，即00001()()(2)2af x x a x x =--. 0)(),2,2(00>∴∈x f a a x ,故当e a e221<<时，0)(>x f22.解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设12(,),(,)2M N πρθρθ+，其中(0,)2πθ∈，则124sin 4sin()4(sin cos )42()24OM ON sin ππρρθθθθθ+=+=++=+=+ ，所以当4πθ=，OM ON +取得最大值为42.23.解：（Ⅰ）()()11111f f a a +-=--+>，若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立， 若11a -<< ，则1(1)1a a --+>，得12a <-，即112a -<<-， 若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-.（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，只需()max min5[]4f x y y a ⎡⎤≤++-⎢⎥⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，()[]22max,()()24a a f x x ax f x f =-+==，因为5544y y a a ++-≥+，所以当5[,]4y a ∈-时，min555444y y a a a ⎡⎤++-=+=+⎢⎥⎣⎦， 即2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是]5,0(.。