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变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
帮你认识变化率导数的概念这一节内容中谈到了两个变化率，一个是平均变化率，还有一个是瞬时变化率，这两个变化率有着什么样的特点呢？一、平均变化率与瞬时变化率1．平均变化率事物的变化率往往是相关的两个量的变化量的比值。
如：气球的膨胀率为半径的变化量比体积的变化量；位移的变化率为位移变化量比时间变化量。
如果某个问题中的函数关系用()f x 表示，那么问题的变化率可用式子2121()()f x f x x x --表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，简记作f x ∆∆。
（1）平均变化率是指函数值的“增量”（即“改变量”）f ∆与相应的自变量的“增量”x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。
（2）平均变化率的几何意义为函数()f x 图象上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的割线的斜率。
（3）某段时间内的平均速度v （即平均变化率），描述的是在这段时间内运动速度的平均状态。
2．瞬时变化率在实际问题中，非匀速直线运动的瞬时速度、化学反应速度、物体温度变化速度以及几何曲线切线的斜率等实质上都是瞬时变化率。
（1）瞬时速度：平均速度实际就是平均变化率，当t ∆趋近于0时，总存在一个常数0v 与商00()()S t t S t t+∆-∆无限接近。
这个常数反映了物体在某时刻运动的快慢。
（2）切线斜率：实质就是当x ∆趋近于0时，曲线()y f x =在00[,]x x x +∆上的平均变化率与一个常数A 无限接近，常数A 就是曲线在此位置的切线的斜率。
我们对上面分析的两个方面进行抽象、归纳、延伸，即撇开这些量的实际意义，捉住它们在数量关系上的共性，就是瞬时变化率的概念。
3．必须注意的几个问题（1）正确理解曲线的切线的定义，即：过曲线()y f x =上的一点P 作曲线的割线PQ ，当Q 点沿着曲线无限趋近于P 点时，若割线PQ 趋近于某一确定的直线PT ，则这一确定的直线PT 称为曲线()y f x =在点P 处的切线。
第二章导数及其应用2.1 平均变化率与瞬时变化率1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率；2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系．重点：函数在某一点处的瞬时变化率．难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近．一、新课导入问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图：比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快．我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：38.5−3920−0=−0.520=−0.025(℃/min)，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：38−38.530−20=−0.510=−0.05(℃/min)，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．二、新知探究平均变化率：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为 f(x2)，它在◆教学目标◆教学过程◆教学重难点◆区间[x1，x2]的平均变化率=f(x2)−f(x1)x2−x1．通常我们把自变量的变化x2−x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)−f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx =f(x2)−f(x1)x2−x1用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．问题2：函数平均变化率有怎样的几何意义？答案：函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过P(x1，f(x1))， Q (x2，f(x2))两点的直线的斜率(如图)，即k PQ=ΔyΔx =f(x2)−f(x1)x2−x1．设计意图：通过学生熟悉的生活体验，提炼出数学模型，归纳出函数平均变化率的概念，让学生体会“数学来源于生活”，感知如何探讨问题的本质，学会用数学语言和数学观点分析问题.如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．问题３：用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度答案：下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得ℎ=12gt2，其中ℎ是下落高度，t是时间．于是，取一小段时间由t1到t2，可得这一小段时间内的平均速度ΔℎΔt =ℎ(t2)−ℎ(t1)t2−t1．追问：你能计算某一时刻的速度吗？答案：我们可以用平均速度逼近某一时刻的速度．若想求t1时刻的速度，当Δt＝t2−t1很小时，t1时刻的速度就可以用[t1，t2]内的平均速度来表示，取t1=5，再取越来越小的Δt，观察一下对应的平均速度的情况，列表如下t2/s t1/s时间t的改变量(Δt=t2−5)/s高度的改变量(Δℎ=12g(t22−52)/m平均速度(ΔℎΔt)/(m/s)4.95−0.1−0.485148.51 4.995−0.01−0.4895148.95 4.9995−0.001−0.048995148.9951速度．从以上的计算可以看出，当时间趋t2于t0=5 s时，平均速度趋于49m/s．瞬时变化率：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1−x0，Δy＝f(x1)−f(x0)，则该函数的平均变化率为ΔyΔx =f(x1)−f(x0)x1−x=f(x+Δx)−f(x)Δx，如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．问题4：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．（2）“Δx趋于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx−0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0．三、应用举例例1 已知函数f(x)=2x2+3x−5，且Δx=1时，求函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx．解因为f(x)=2x2+3x−5，所以Δy＝f(x1+Δx)−f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)−5−(2x12+3x1−5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx．所以当x1=4，Δx=1时，Δy=2×12+(4×4+3)×1=21，则ΔyΔx =211=21总结：求函数平均变化率的三个步骤：第一步，求自变量的增量Δx=x2−x1；第二步，求函数值的增量Δy=f(x2)−f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx．例2. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．解ΔsΔt =s(1+Δt)−s(1)Δt=(1+Δt)2+(1+Δt)+1−(12+1+1)Δt=3+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于3，即物体在t=1s时的瞬时速度为3 m/s．探究：若例题中的条件不变，试求物体的初速度．解求物体的初速度，即求物体在t=1s时的瞬时速度．∵ΔsΔt =s(0+Δt)−s(0)Δt=(0+Δt)2+(0+Δt)+1−1Δt=1+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于1，即物体在t=1s时的瞬时速度为1 m/s．探究：若例题中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s．解设物体在t0时的瞬时速度为9m/s．又ΔsΔt =s(t0+Δt)−s(t0)Δt=(2t0+1)+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2t0+1，则2t0+1=9，所以t0=4．则物体在4s时的瞬时速度为9m/s．总结：求函数f(x)在点x=x0处的瞬时变化率的步骤：(1)求Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；(2)计算ΔyΔx，并化简，直到当Δx=0时有意义为止；(3)将Δx=0代入化简后的即得瞬时变化率．四、课堂练习1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足( )A. Δx>0B. Δx<0C. Δx≠0D. Δx可为任意实数2．函数f(x)=8x−6在区间[m，n]上的平均变化率为_________．3．一质点运动规律是s=t2+3(s的单位为m，t的单位为s），则在t=1 s时的瞬时速度估计是________m/s．参考答案：1．答案C 解析因平均变化率为ΔyΔx，故Δx≠0．2．答案８解析因平均变化率为f(n)−f(m)n−m=8．3．答案2 解析Δs=s(1+Δt)−s(1)=(1+Δt)2+3−(12+3)=2Δt+(Δt)2∴ΔsΔt =2Δt+(Δt)2Δt=2+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2．五、课堂小结１.概念：平均变化率，瞬时变化率．２.平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx化率，它是一个固定值．六、布置作业教材第52页练习第2，3，4题．。
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）一、平均变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；例1：1．若函数()2f x x t =-，当1x m ≤≤时，平均变化率为2，则m 等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解：由题得.故选：D2．求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率.【答案】320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2【解析】 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可. 【详解】当自变量从x 0到x 0＋Δx ，函数的平均变化率为00()()f x x f x x +∆-∆＝3300()x x x x +∆-∆ ＝23233000033()()x x x x x x x x +⋅∆+∆+∆-∆ ＝2300233()()x x x x x x⋅∆+∆+∆∆ ＝320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2.举一反三：1．求函数223y x x =-+在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率.【答案】在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率分别为2312和2512.【解析】【分析】根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2223(1)2y x x x =-+=-+，在区间23[12，2]的平均变化率为2223[(21)2][(1)2]23122312212y x -+--+==-， 在区间[2，25]12的平均变化率为2225[(1)2][(21)2]25122512212y x -+--+==-． 2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为()2s t at =，求小球在时间段[]2,2h +内的平均速度. 【答案】4a ah + 【解析】 【分析】利用平均速度的定义直接可求. 【详解】因为小球在t 内所经过的距离为()2s t at =，所以在时间段[]2,2h +内的平均速度为()()()222222422s h s a h a a ah h h+-+⨯==++--.3．如图，直线l 为经过曲线上点P 和Q 的割线．(1)若(1,2)P ，(5,7)Q ，求l 的斜率；(2)当点Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率变大还是变小？ 【答案】(1)54(2)斜率变大 【解析】 【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可； (1)解：因为(1,2)P ，(5,7)Q ，所以725514l k -==-； (2)解：当Q 沿曲线向点P 靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又tan k α=，所以直线l 的斜率变大了；二．瞬时变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；当x ∆、△y 都趋向0时。
1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。
例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。
形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。
例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。
本讲教育信息】一. 教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率二. 本周教学目标：1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵．、通过函数图象直观理解导数的几何意义．2三. 本周知识要点：（一）平均变化率1、情境：观察某市某天的气温变化图上的平均变化率x]）x在区间[x，2、一般地,函数（f21平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（二）瞬时变化率——导数1、曲线的切线的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ如图，设曲线c是函数，当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线时，即当的斜率为割线PQ，无P的斜率．限趋近于点、瞬时速度与瞬时加速度2.运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度1）瞬时速度定义：2）确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA，求出物体在这段位1移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度．我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s＝s（t），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t，0t+Δt，现在问从t到t+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：000位移为Δs＝s（t+Δt）－s（t）（Δt称时间增量）00平均速度根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t到t+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0．当Δt00时，位移的平均变化率无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体→0 t 的瞬时速度t在＝0，当Δt→0时，平均速度同样，计算运动物体速度的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t＝t时的瞬时加速度．0 3、导数设函数a,b）上有定义，在（时，比值．若无限趋近于0＝）在xf无限趋近于一个常数A处可导，并称该常，则称（x．导数，记作处的在为函数A数上点（）处的切线的斜率．是曲线几何意义内的每点处都有导数，（导数）：此时对于每在开区间如果函数导函数，从而构成了一个新的函数，都对应着一个确定的导数一个，称这个也可记作，简称导数．函数在开区间内的导函数，为函数【典型例题】（单例1、的平均变化率．），后容器甲中水的体积t s水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，计算第一个10s位：内V解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为内容器甲中水的体积的平均变化率为．即第一个10s上函数已知函数，，分别计算在区间[－35]，[0，，－1]例2、及的平均变化率．在[－函数3，－1]上的平均变化率为解：在[－3,－1]上的平均变化率为在[0，5]函数上的平均变化率为上的平均变化率为在[0，5]分别计算函数1.001]，[1，1.1]，[1，，3例、已知函数2]，[1，3]，[1在区间上的平均变化率．函数在区间[1，3]上的平均变化率为解：函数[1，2]上的平均变化率为在在[1，1.1]上的平均变化率为函数在[1，1.001]上的平均变化率为函数2，其中位移单位m，时间单位s，t）＝gtg＝9.8 例4、物体自由落体的运动方程s＝s（2 m/s.. 求t＝3这一时段的速度22＝s］，位置改变量Δ3，3+g－·3Δt＝（6+3+g（Δt）解：取一小段时间［，平均速度g（6+tΔt）Δt）Δ时，无限趋于3g＝29.4 m/s．当Δt无限趋于02+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s＝2t s），例5、已知质点M按规律时，求0.01t＝，）当t＝2Δ（. 1时，求0.001.＝2，Δt 2（）当t＝（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.即时间的改变量，即平均速度，当Δt越小，求出Δ分析：s即位移的改变量，Δt的.越接近某时刻的速度∵＝4t+2Δt解：时，0.01＝tΔ，2＝t）当1∴（．8.02 cm/s＝0.01×2+2×4＝时，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．2）当t＝2，Δt＝0.001（，（4t+2Δt）＝4t0t＝4×2＝8 cm/sΔ（3）2+1，那么求此曲线在点P（x1，2）处的切线的斜率，以及切线例6、曲线的方程为y＝的方程．2+），则割线PQ的斜率为：1+，解：设Q（斜率为2∴切线的斜率为2．切线的方程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．【模拟试题】2则），x,3+Δy（1,3）及邻近点Q（1+）＝＝（）1、若函数f（x2xΔ+1，图象上PA. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx，那么时，为2到、一直线运动的物体，从时间时，物体的位移为）（在时刻时该物体的瞬时速度； B. 从时间到时，A. 物体的平均速度；到当时间为时物体的平均速度从时间时物体的速度；C. D.2上一点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线x3、已知曲线y＝2方程. 2+1在点P（－2，54、求曲线y＝x）处的切线方程．2+4x在点x＝3、求y＝2x处的导数．52（位移单位：m，时间单位：s），＝s（t）＝t6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s求小球在t＝5时的瞬时速度2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M27、质点M按规律s＝t在t＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、BB2、＝时，）3、解：（1k∴点A处的切线的斜率为4.2－x4＝y）即1－x（4＝2－y处的切线方程是A）点2（．＝时，4k、解：∴切线方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.222，x+16Δx）Δ）－（x2×3）＝+4×32（x2、解：＝2Δ5Δy＝（3+Δ）（+43+Δx+16∴时，y′|＝16 3x＝＝瞬时速度6、解：v时，Δt）＝10 m/s.10+（∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.、解：＝7tΔ8+2＝（）v时，瞬时速度＝8cm/s。
平均变化率和瞬时变化率公式
平均变化率和瞬时变化率是描述一个物理量(如速度、加速度、压力等)在一定时间内变化程度的两个指标。
它们之间的关系可以用以下公式表示:
平均变化率 = (1/t) * 总变化量 / 总时间
瞬时变化率 = (1/t) * 变化速度 / 时间
其中,t为时间,总变化量是指在一定时间内变化的数值,变化速度是指单位时间内变化的数值,时间也可以称为变化的时间。
需要注意的是,平均变化率和瞬时变化率的定义仅适用于在一定时间内连续发生的物理量变化。
如果变化不是连续的,或者变化时间段不固定,那么这些指标就无法用上面的定义进行计算。
第1课 平均变化率与瞬时变化率一、平均变化率 1.引例（1）气球膨胀率：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?①气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=。
如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =， ②当V 从0增加到1时,气球半径增加了33(1)(0)0.62()4r r dm π-=≈，气球的平均膨胀率为3(1)(0)30.62(/)104r r dm L π-=≈- ③当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是1212)()(V V V r V r --（2）高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系22618h t t =-++.用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动.思考计算：01t ≤≤的平均速度v在01t ≤≤这段时间里，(1)(0)4(/)10h h v m s -==-；2. 函数的平均变化率（1）定义：对于函数()y f x =，给定自变量的两个值1x 和2x ，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1f x 变为()2f x ，把2121()()f x f x y x x x -∆=∆-称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率．习惯上用x ∆表示21x x -，即x ∆=21x x -，可把x ∆看作是相对于x 1的一个“增量”，可用1x x +∆代替x 2；类似地y ∆=()()21f x f x -．于是，平均变化率可表示为yx∆∆. （2）平均变化率的几何意义设(())A x f x 11，，(())B x f x 22，是曲线()y f x =上任意不同的两点，函数()y f x =的平均变化率hto211121()()()()f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆==∆-∆为割线AB 的斜率，如右图所示． 【例1】已知函1()f x x x=+，分别计算()f x 在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 【解析】自变量x 从1变到2时，函数()f x 的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝2＋12－（1＋1）1＝12；自变量x 从3变到5时，函数()f x 的平均变化率为 f （5）－f （3）5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数1()f x x x =+在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．归纳：计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量21x x x ∆=-； ②求函数的增量()()21y f x f x ∆=-；③求平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆- 二、瞬时变化率 1. 瞬时速度:（1）引例：在上例“高台跳水”中，22618h t t =-++，计算运动员在03t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ①运动员在这段时间内使静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数22618h t t =-++的图像，结合图形可知，(3)(0)h h =， 所以(3)(0)0(/)30h h v m s -==-，虽然运动员在03t ≤≤这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （2）定义：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 ③运动员在1t =的瞬时速度v 是多少？ 运动员在[1,1]t +∆的平均速度为22(1)(1)2(1)6(1)216122(/)h h t h t t v t m s t t t∆+∆--+∆++∆+⨯-⨯====-⋅∆+∆∆∆所以运动员在1t =的瞬时速度为00limlim(22)2(/)t t hv t m s t ∆→∆→∆==-⋅∆+=∆2. 瞬时变化率：一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数2)2(1(s t s =+的单位为m ，t 的单位为)s ，求此物体在1.2s 末的瞬间速度．【解析】224[()1]2()()21 1.2 1.2.82s t t t ∆∆-==+++∆+∆2，004.82limlim() 4.8t t t st ∆→∆→∆∆=∆+=，即 1.2| 4.8t s =='，故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 /m s . 【例3】已知函数()2f x x x =-+(1) 求函数()f x 在1x =-附近的平均变化率 (2) 求函数()f x 在1x =-的瞬时变化率 解：(1)(1)(1)y f x f ∆=-+∆--22(1)(1)[(1)(1)]x x =--+∆+-+∆---+-2()3x x =-∆+⋅∆所以，函数()f x 在1x =-附近的平均变化率为2()33y x xx x x∆-∆+⋅∆==-∆∆∆ （2）函数()f x 在1x =-的瞬时变化率为00(1)limlim(33)x x yf x x ∆→∆→∆'-=-∆==∆【例4】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x fx x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以00(2)limlim(3)3x x ff x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．第1课 平均变化率与瞬时变化率同步作业1．已知函数21y x =+，则在2x =，0.1x ∆=时，y ∆的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【答案】B【解析】2()(21)0.4120.1y +==+2Δ+1-2．一运动物体的运动路程()s t 与时间x 的函数关系为2()2s t t t =-+，则()s t 从2到2t +∆的平均速度为( )A ．t -2ΔB ．t --2ΔC ．t +2ΔD ．()t t -2Δ2Δ【答案】B【解析】因为s (2)＝－22＋2×2＝0，所以s (2＋Δt )＝－(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＝－2Δt－(Δt )2， 所以s （2＋Δt ）－s （2）2＋Δt －2＝－2－Δt .3．一个物体的运动方程为1s t t =-+2，其中s 的单位是：m t ，的单位是：s ，那么物体在t =3s 时的瞬时速度为( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s 【答案】C【解析】：因为221(3)(3)(133)5t t t s t t∆=∆=∆∆-+∆++--++∆所以()005l i 5i /ml m()t t st t ∆→∆→=+=∆∆∆m s4.若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点331,24⎛⎫⎪⎝⎭及邻近一点331,24x y ⎛⎫+∆+∆ ⎪⎝⎭，则y x ∆∆＝( )A ．3B ．－3C ．－3－()2x ∆ D ．－x ∆－3【答案】D【详解】()233322y f x f x x ⎛⎫⎛⎫∆=+∆-=-∆-∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()233x x y x x x-∆-∆∆∴==--∆∆∆.故选：D. 5. 一直线运动的物体，从时间t 到t t ∆+时，物体的位移为s ∆，则tst ∆∆→∆0lim为( )A ．从时间t 到t t ∆+一段时间内物体的平均速度B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度C ．当时间为t ∆时物体的速度D ．在时间t t ∆+时刻物体的瞬时速度 6．（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数表达式为h (t )＝2t 2＋2t ，则下列说法正确的是( ) A ．前3 s 内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝24 m ；B ．在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝12 m ；C ．前3 s 内球的平均速度为6 m/s ；D ．在时间[2，3]内球的平均速度为12 m/s. 【答案】ABD【解析】前3 s 内，Δt ＝3 s ，Δh ＝h (3)－h (0)＝24(m)，此时平均速率为Δh Δt ＝243＝8(m/s)，故A 正确,C 不正确；在时间[2，3]内，Δt ＝3－2＝1(s)，Δh ＝h (3)－h (2)＝12(m)，故平均速度为ΔhΔt＝12(m/s)，所以BD 正确．综上，A ＢＤ都正确．7．2019年4月5日，某地上午9：20的气温为23.4 ℃，下午1：30的气温为15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为__________℃/min. 【答案】－0.03【解析】从上午9：20到下午1：30，共250 min ，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5(℃)(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为－7.5250＝－0.03(℃/min)．8.一做直线运动的物体，其位移()s m 与时间()t s 的关系是23s t t =-，则该物体的初速度是________． 【答案】3 m/s【解析】2000(0)(0)00333lim lim lim() /t t t t t V s t tt ∆→∆→∆→+=∆-==-+⨯=∆+-∆23ΔΔΔm s 初，故物体的初速度为3 m/s.9.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 【答案】[x 3，x 4]【解析】由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，f （x 3）－f （x 2）x 3－x 2，f （x 4）－f （x 3）x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．10.某河流在一段时间min x 内流过的水量为3m y ，已知y 是x 的函数，且()y f x ==x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？【详解】当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为()()()381211m /min 8177f f --==-，它表示时间从1min 增加到8min 的过程中，每增加1min ，水流量平均增加31m 7． 11.求函数2()24y f x x x +==在3x =处的瞬时变化率．解：()()()y x x ⨯⨯22Δ23Δ43Δ2343＝＋＋＋－＋()()x x x x x 2212Δ2Δ4Δ2Δ16Δ＝＋＋＝＋， 所以Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.所以函数2()24y f x x x +==在3x =处的瞬时变化率为00limlim()16216x x yx x ∆→∆→∆+∆==∆12．已知()0)(f x kx b k =+≠在区间[－2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点(0)2，，试求该一次函数的表达式．【解析】因为函数()f x 的图象过点(0，2)，所以b ＝2，即f (x )＝kx ＋2. 因为Δy Δx ＝f （6）－f （－2）6－（－2）＝2，即（6k ＋2）－（－2k ＋2）8＝2，解得k ＝2，所以该一次函数的表达式为f (x )＝2x ＋2. 13.求函数()2x f x =与1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率，并比较它们的大小.【详解】()2x f x =在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为11()(1)222(1)a a a f f a f a x a a --∆--==-=∆--； 1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为： 111(1)1()(1)122(1)12a a g g a g a x a a ⎛⎫⎡⎤---- ⎪⎢⎥∆--⎝⎭⎣⎦===∆--. 0,11a a <∴-<-111222a --∴<=，()2x f x ∴=在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率比1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率小.。
1.1.1平均变化率
二、教学重点、难点
重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义
三、教学过程
一、问题情境
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A 、B 、C 点的坐标的含义）
问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？ 二、建构数学
1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。
2.一般地,给出函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率
2121
()()
f x f x x x --。
3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。
4。
平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。
三、数学运用
例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，
乙两人的经营成果？
小结：仅考虑一个变量的变化是不行的。
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器
(d)
20
甲中水的体积0.1()52
t
V t -=⨯ （单位：3
cm ），
计算第一个10s 内V 的平均变化率。
例3、已知函数2
()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
五、练习
1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
2、已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）=—2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率。
（发现：y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？）
瞬时变化率与导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.40
5.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
T(月)
6
3
9
12
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动
员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反
映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？
从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于此时的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)
lim
13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-” 2 导数的概念
（一）则函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:
h
t
o
000
0()()lim
lim
x x f x x f x f
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作'
0()f x 或0'|x x y =，即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率
（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000
()()
()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-
（二）导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，
即: 0
()()
()lim
x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数()f x 在点0x 处的导数'
0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处
的导数的方法之一。
三．典例分析
例1．（1）求函数y =3x 2
在x =1处的导数.
（2）求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2
()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
注：一般地，'
0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为． 2．求曲线y =f (x )=x 3导函数．。
