平均变化率瞬时变化率

变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。

例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。

拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。

即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。

利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。

帮你认识变化率导数的概念这一节内容中谈到了两个变化率，一个是平均变化率，还有一个是瞬时变化率，这两个变化率有着什么样的特点呢？一、平均变化率与瞬时变化率1．平均变化率事物的变化率往往是相关的两个量的变化量的比值。

如：气球的膨胀率为半径的变化量比体积的变化量；位移的变化率为位移变化量比时间变化量。

如果某个问题中的函数关系用()f x 表示，那么问题的变化率可用式子2121()()f x f x x x --表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，简记作f x ∆∆。

（1）平均变化率是指函数值的“增量”（即“改变量”）f ∆与相应的自变量的“增量”x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。

（2）平均变化率的几何意义为函数()f x 图象上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的割线的斜率。

（3）某段时间内的平均速度v （即平均变化率），描述的是在这段时间内运动速度的平均状态。

2．瞬时变化率在实际问题中，非匀速直线运动的瞬时速度、化学反应速度、物体温度变化速度以及几何曲线切线的斜率等实质上都是瞬时变化率。

（1）瞬时速度：平均速度实际就是平均变化率，当t ∆趋近于0时，总存在一个常数0v 与商00()()S t t S t t+∆-∆无限接近。

这个常数反映了物体在某时刻运动的快慢。

（2）切线斜率：实质就是当x ∆趋近于0时，曲线()y f x =在00[,]x x x +∆上的平均变化率与一个常数A 无限接近，常数A 就是曲线在此位置的切线的斜率。

我们对上面分析的两个方面进行抽象、归纳、延伸，即撇开这些量的实际意义，捉住它们在数量关系上的共性，就是瞬时变化率的概念。

3．必须注意的几个问题（1）正确理解曲线的切线的定义，即：过曲线()y f x =上的一点P 作曲线的割线PQ ，当Q 点沿着曲线无限趋近于P 点时，若割线PQ 趋近于某一确定的直线PT ，则这一确定的直线PT 称为曲线()y f x =在点P 处的切线。

第二章导数及其应用2.1 平均变化率与瞬时变化率1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率；2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系．重点：函数在某一点处的瞬时变化率．难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近．一、新课导入问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图：比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快．我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：38.5−3920−0=−0.520=−0.025(℃/min)，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：38−38.530−20=−0.510=−0.05(℃/min)，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．二、新知探究平均变化率：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为 f(x2)，它在◆教学目标◆教学过程◆教学重难点◆区间[x1，x2]的平均变化率=f(x2)−f(x1)x2−x1．通常我们把自变量的变化x2−x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)−f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx =f(x2)−f(x1)x2−x1用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．问题2：函数平均变化率有怎样的几何意义？答案：函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过P(x1，f(x1))， Q (x2，f(x2))两点的直线的斜率(如图)，即k PQ=ΔyΔx =f(x2)−f(x1)x2−x1．设计意图：通过学生熟悉的生活体验，提炼出数学模型，归纳出函数平均变化率的概念，让学生体会“数学来源于生活”，感知如何探讨问题的本质，学会用数学语言和数学观点分析问题.如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．问题３：用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度答案：下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得ℎ=12gt2，其中ℎ是下落高度，t是时间．于是，取一小段时间由t1到t2，可得这一小段时间内的平均速度ΔℎΔt =ℎ(t2)−ℎ(t1)t2−t1．追问：你能计算某一时刻的速度吗？答案：我们可以用平均速度逼近某一时刻的速度．若想求t1时刻的速度，当Δt＝t2−t1很小时，t1时刻的速度就可以用[t1，t2]内的平均速度来表示，取t1=5，再取越来越小的Δt，观察一下对应的平均速度的情况，列表如下t2/s t1/s时间t的改变量(Δt=t2−5)/s高度的改变量(Δℎ=12g(t22−52)/m平均速度(ΔℎΔt)/(m/s)4.95−0.1−0.485148.51 4.995−0.01−0.4895148.95 4.9995−0.001−0.048995148.9951速度．从以上的计算可以看出，当时间趋t2于t0=5 s时，平均速度趋于49m/s．瞬时变化率：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1−x0，Δy＝f(x1)−f(x0)，则该函数的平均变化率为ΔyΔx =f(x1)−f(x0)x1−x=f(x+Δx)−f(x)Δx，如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．问题4：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．（2）“Δx趋于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx−0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0．三、应用举例例1 已知函数f(x)=2x2+3x−5，且Δx=1时，求函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx．解因为f(x)=2x2+3x−5，所以Δy＝f(x1+Δx)−f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)−5−(2x12+3x1−5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx．所以当x1=4，Δx=1时，Δy=2×12+(4×4+3)×1=21，则ΔyΔx =211=21总结：求函数平均变化率的三个步骤：第一步，求自变量的增量Δx=x2−x1；第二步，求函数值的增量Δy=f(x2)−f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx．例2. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．解ΔsΔt =s(1+Δt)−s(1)Δt=(1+Δt)2+(1+Δt)+1−(12+1+1)Δt=3+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于3，即物体在t=1s时的瞬时速度为3 m/s．探究：若例题中的条件不变，试求物体的初速度．解求物体的初速度，即求物体在t=1s时的瞬时速度．∵ΔsΔt =s(0+Δt)−s(0)Δt=(0+Δt)2+(0+Δt)+1−1Δt=1+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于1，即物体在t=1s时的瞬时速度为1 m/s．探究：若例题中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s．解设物体在t0时的瞬时速度为9m/s．又ΔsΔt =s(t0+Δt)−s(t0)Δt=(2t0+1)+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2t0+1，则2t0+1=9，所以t0=4．则物体在4s时的瞬时速度为9m/s．总结：求函数f(x)在点x=x0处的瞬时变化率的步骤：(1)求Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；(2)计算ΔyΔx，并化简，直到当Δx=0时有意义为止；(3)将Δx=0代入化简后的即得瞬时变化率．四、课堂练习1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足( )A. Δx>0B. Δx<0C. Δx≠0D. Δx可为任意实数2．函数f(x)=8x−6在区间[m，n]上的平均变化率为_________．3．一质点运动规律是s=t2+3(s的单位为m，t的单位为s），则在t=1 s时的瞬时速度估计是________m/s．参考答案：1．答案C 解析因平均变化率为ΔyΔx，故Δx≠0．2．答案８解析因平均变化率为f(n)−f(m)n−m=8．3．答案2 解析Δs=s(1+Δt)−s(1)=(1+Δt)2+3−(12+3)=2Δt+(Δt)2∴ΔsΔt =2Δt+(Δt)2Δt=2+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2．五、课堂小结１.概念：平均变化率，瞬时变化率．２.平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx化率，它是一个固定值．六、布置作业教材第52页练习第2，3，4题．。

2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）一、平均变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；例1：1．若函数()2f x x t =-，当1x m ≤≤时，平均变化率为2，则m 等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解：由题得.故选：D2．求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率.【答案】320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2【解析】 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可. 【详解】当自变量从x 0到x 0＋Δx ，函数的平均变化率为00()()f x x f x x +∆-∆＝3300()x x x x +∆-∆ ＝23233000033()()x x x x x x x x +⋅∆+∆+∆-∆ ＝2300233()()x x x x x x⋅∆+∆+∆∆ ＝320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2.举一反三：1．求函数223y x x =-+在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率.【答案】在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率分别为2312和2512.【解析】【分析】根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2223(1)2y x x x =-+=-+，在区间23[12，2]的平均变化率为2223[(21)2][(1)2]23122312212y x -+--+==-， 在区间[2，25]12的平均变化率为2225[(1)2][(21)2]25122512212y x -+--+==-． 2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为()2s t at =，求小球在时间段[]2,2h +内的平均速度. 【答案】4a ah + 【解析】 【分析】利用平均速度的定义直接可求. 【详解】因为小球在t 内所经过的距离为()2s t at =，所以在时间段[]2,2h +内的平均速度为()()()222222422s h s a h a a ah h h+-+⨯==++--.3．如图，直线l 为经过曲线上点P 和Q 的割线．(1)若(1,2)P ，(5,7)Q ，求l 的斜率；(2)当点Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率变大还是变小？ 【答案】(1)54(2)斜率变大 【解析】 【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可； (1)解：因为(1,2)P ，(5,7)Q ，所以725514l k -==-； (2)解：当Q 沿曲线向点P 靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又tan k α=，所以直线l 的斜率变大了；二．瞬时变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；当x ∆、△y 都趋向0时。

1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。

例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。

形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。

例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。