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叫做函数 y f ( x)在点 x0处的 导数 , 记为y x x 0 y f ( x0 x) f ( x0 ) ' y x x0 f ( x0 ) ,当x 0 x x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(3) 求y x x0
y f ( x0 x ) f ( x0 ) ( 2) 算比值 ; x x
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
2 2
y .在x 0时 x
解： y [(1 x ) 2] (1 2) 2x ( x )
2
y 2 x ( x ) 2 2 x x x y 2 x,当x 0时 x ' 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数 y | x 1 2
结论:
设物体作直线运动所经过的路程 为 s=s(t). 以 t0 为起始时刻，物体在 t 时间内的平均速度为
(tt00 t) (t ss f f( t) f (ft 0 )0 ) v v 。。 tt tt
当t0时， v 常数 这个常数就是物体在t0时刻 的瞬时速度.
解 : 先计算t 3到t 3 t时间内 的平均速度 , 1 1 2 2 g (3 t ) g 3 s 2 1 2 v g (6 t ) t (3 t ) 3 2 当t无限趋近于0时, v无限趋近于常数3g , 此即t 3秒时的瞬时时 速
例3.若f ( x) ( x 1) , 求f (2)和( f (2))
2
四、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数， 记作
2
当x无限趋近于0时, k PQ无限趋近于常数 4 所以点P(2,4)处的切线斜率为 4 利用割线求切线
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
解 : P(1,2), Q(1 x, (1 x) 2 1), 则 k PQ (1 x) 2 1 2 2 x (1 x) 1
平均速度反映了在某一段时间内 运动的快慢程度,那么,如何刻画在 某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
某同学去蹦极,假设某同学下降的运动 1 2 符合方程 s gt ,请同学们计算 2 某同学从3秒到5秒间的平均速度,如何 计算出在第3秒时的速度,即t=3时的 瞬时速度呢?
1 2 s gt (s表示位移,t表示时间) 2
重要结论:
平均变化率
x 0
瞬时变化率
三.导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
如果自变量 x在 x0处有增量 x， 那么函数y相应地有 y 增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 比 值 就 叫 做 函 数 x y f ( x)在x0到x0 x之间的平均变化率 , 即 y y f ( x0 x ) f ( x0 ) 如果当 x 0 时， A . x x x 我们就说函数 y f ( x)在点x0 处可导， 并把A
1.1.2 化率
一般的，函数 f ( x)在区间上
[ x1 , x2 ]的平均变化率为
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线
y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线.
当x无限趋近于0时, k PQ无限趋近于常数 2 所以点P(2,4)处的切线斜率为 2
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、先利用直线斜率的定义求出 割线线的斜率；
2.求出当△x趋近于0时切线的斜
率
3、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
1．已知曲线 y 2x 上一点 A(1,2)，
x
(2)如何求割线的斜率 ? y
y=f(x) Q
o P x
f ( x x) f ( x) f ( x x) f ( x) kPQ ( x x) x x
(3)如何求切线的斜率?
y
y=f(x)
Q
割 线
T
切线
o
P
x
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x
二、物理意义——瞬时加速度
设一辆轿车在公路上做加速
直线运动,假设t秒时的速度为
v(t ) t 3 求t=5秒时轿车的 加速度. ( 10 )
2
小结:
(1)求曲线上一点切线的斜率时,先利用 平均变化率求出割线的斜率,再令 x 0 求出切线的斜率 (2)在求瞬时速度时,先利用平均变化率求 出平均速度,再令x 0 ,求出瞬时速度 (3)在求瞬时加速度时,先利用平均变化 率求出平均速度,再令x 0 ,求出瞬时 加速度.
2
求(1) 点 A 处的切线的斜率. (2)点 A 处的切线的方程. 2．求曲线 y x 1 在点 P(-2，5)
2
处的切线方程与法线方程．
拓展研究
已知曲线y x 2x在
2
某点的切线斜率为2, 求此点坐标.
新课讲解
二、物理意义——瞬时速度
s 在物理学中，我们学过平均速度v t
(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P处切斜率)
例1:已知
f ( x) x ,求曲线
2
y=f(x)在x=2处的切线的斜率.
解 : 先求过(2,4)点的任意一条割线入手 P(2,4), Q(2 x, (2 x) 2 ),则 k PQ (2 x) 4 4 x (2 x) 2
