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高等数学(专科)复习题及答案

中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答

案

《高等数学》（专科）

一、填空题

1．函数1

42-+

x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。

2．若函数52)1(2

-+=+x x x f ，则=)(x f

．

解. 62

-x 3．________________sin lim =-∞→x

x x

答案：1

正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim

=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x

x x x x x x x x x

4.已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由

23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)

1)((lim

0x a x b

e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a

e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数?????

≥+<=0

01sin

)(x x x x

x x f 的间断点是x = 。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01

sin

lim 00

==+=+-→→f x x

x x x

所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，

又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()

=+1n y

(1)!n +

8．2

)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。答案：2

)12(+x 或1442

++x x

9．函数)

1ln(4222

y x y x z ---=的定义域为。

解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

???

????<+<≤????????≠+<+≤????????≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ? 的定义域为：{

10|),(22<+

10．已知2

2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f . 解令x y u +=，x y v -=，则,22

u v u v

x y +-=

=，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4

222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=

，22(,)()4x

f x y x y =-

11．设22),(y

x x

xy y x f ++

=,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+=

00(,1)(0,1)

1(0,1)lim

lim 2x x x x

x f x f x f x

?→?→??+

-?-?+'===?? 0

0(0,1)(0,1)00

(0,1)lim

lim 0y y y f y f f y

y ?→?→?+--'===??。 12．设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则

d d ＝。解 22sin 3cos dz

x t t y dt

=-+ 13.

=??

dx x f d d dx d

)( . 解：由导数与积分互为逆运算得，)()(x f dx x f d d dx

=??.

14.设)(x f 是连续函数，且

x dt t f x =?

-1

3)(，则=)7(f .

解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713

=-x ，得2=x ，所以

131)7(2

=x x f . 15．若

d e 0

?∞

+-x kx ，则_________=k 。答案：∵)d(e 1lim d e 210

0kx k x b kx b kx

--==??-+∞→∞+-

k k k kb b b kx b 1

e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→

∴2=k

16．设函数f(x,y)连续，且满足??

+=D

y d y x f x y x f 2),(),(σ，其中,:222a y x D ≤+则

f(x,y)=______________.

解 .4

x a y π+ 记??

d y x f A σ),(，则2),(y Ax y x f +=，两端在D 上积分有：

????+=D

d y Axd A σ

σ2，

其

中

??=D

xd A 0

σ（由对称性），

????=

a d d d y

320

sin πρ?ρ?σπ

即 4

a A π=

，所以，.4

),(4

x a y y x f π+

17．求曲线2

,42

x ax y =

=所围成图形的面积为，（a>0）解： 22

18.

∑∞

=--1

2212n n n

x n ；解：令2

x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数

∑∞

=--1

212n n n

y n ，记其各项系数为n b ，因为

2121

2lim 2122212lim lim 11

=+-=+?-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，

则

20222<≤?<<-x y ，故22<<-x .

当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞

=-1

)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区

间为)2,2(-.

19．()02

='-''y y 的满足初始条件()()411,1211='=y y 的特解为3

21121??

??-=x y .

20．微分方程03='-''y y 的通解为x

e c c y 321+=. 21．微分方程0136=+'+''y y y 的通解为()x c x c e

y x

2sin 2cos 213+=-.

22.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1-*7-2A A |= . 答案：()

- 23.1

x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 答案： 2;

24. f (x )=312514x

x x

是次多项式，其一次项的系数是。

解：由对角线法则知，f (x )为二次多项式，一次项系数为4。

25. A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC .

26. 事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = .

解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B )

∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6

27. A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -= . 解： A 、B 互不相容，则P (AB )=0，P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.8

28. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .

解：设A 、B 、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中

恰有一次击中目标可表示为C B A C B A C B A ++，即有 P (C B A C B A C B A ++)

=P (A ))()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P ++=0.36

29. 已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6,且P （AB ）＝0.4，则P （A B ）＝；P （A B －）＝；解： P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.9

P (A –B )=P (A )–P (AB )=0.7–0.4=0.3 30. 若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 .

解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)(

二、单项选择题

1．函数)1,0(1

)(≠>+-=a a a a x x f x

x （） A.是奇函数； B. 是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；

D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。

)(1

)1()1(11)()(x f a a x a a a a x a a x x f x x x x x x x x =+-=+--=+--=-----

所以B 正确。 2．若函数22

)1(x

x x

x f +

=+，则=)(x f （） A.2

x ； B. 22

-x ； C.2

)1(-x ； D. 12

-x 。解：因为2)1(212122

-+=-++=+

x x x x x x ，所以2)1()1(2-+=+x x x x f

则2)(2

-=x x f ，故选项B 正确。

3．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（）．

A ． x

B ．x + 1

C ．x + 2

D ．x + 3

解由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D

4．已知0)1

(

lim 2

=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a

解. ()()01

1lim )1(

lim 22=+-+--=--+∞→∞→x b

x b a x a b ax x x x x , 1,1,0,01-==∴=+=-∴b a b a a 答案：C

5．下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。 A.e 1

x ,

()→∞； B.

sin ,()x

x →∞； C. ln(),()11+→x x ； D.

x x x +-→11

0,()

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

0sin lim

=∞→x

而A, C, D 三个选项中的极限都不为0，故选项B 正确。

6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（）

(A))(1

sin

∞→=x x

x y ; (B)())(1∞→=-n n y n ; (C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1

cos 1→=x x

x y

解. 11

1sin lim 1sin lim ==∞→∞→x

x x x x x , 故不选(A). 取12+=k m , 则

()01

lim

lim 1=+=∞→-∞

→k n k n n

, 故不选(B). 取2

1π

π+

n x n , 则01cos 1lim

=∞

→n

n n x x , 故不选(D). 答案：C

7．设???

≤>=0

,0,1sin )(x x x x

x x f ，则)(x f 在0=x 处（）

A ．连续且可导

B ．连续但不可导

C ．不连续但可导

D ．既不连续又不可导

解：（B ）

0lim )(lim 0

==--→→x x f x x ，01

sin

lim )(lim 0

==++→→x

x x f x x ，0)0(=f 因此)(x f 在0=x 处连续

x x x x x f x f f x x x 1sin lim 00

sin

lim 0

)

0()(lim )0(000

→→→+=--=--='，此极限不存在

从而)0(+'f 不存在，故)0(f '不存在

8．曲线x x y -=3

在点（1，0）处的切线是（）． A ． 22-=x y

B ． 22+-=x y

C ． 22+=x y

D ． 22--=x y

解由导数的定义和它的几何意义可知， 1

)()1(='

-='x x x y 2)

13(1

2=-==x x

是曲线x x y -=3

在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 )1(20-=-x y ，即22-=x y 正确答案：A 9．已知4

1x y =

，则y ''=（）． A . 3

x B . 2

3x C . x 6 D . 6 解直接利用导数的公式计算： 34

x x y ='=', 233)(x x y ='='' 正确答案：B

10．若x x

f =)1(，则=')(x f （）。 A ．

x 1 B ．21x C ．x 1- D ．21x

- 答案：D 先求出)(x f ，再求其导数。

11．22ln y x z -=的定义域为（）．

A ．122≥-y x

B ．022≥-y x

C ．

122>-y x D ．022>-y x

解 z 的定义域为{

0),(22>-y x y x }个，选D 。 12.下列极限存在的是（）

（A ）y x x y x +→→00lim

（B ）y x y x +→→1lim 00 （C ）y x x y x +→→20

0lim （D ）y x x y x +→→1sin lim 00 解 A. 当P 沿0=x 时，0),0(lim 0

=→y f y ，当P 沿直线0=y 时，1)0,(lim 0

=→x f x ，故0

lim →→y x

x x +不存在； B. ∞=+→→y x y x 1 lim 0

0，不存在； C. 如判断题中1 题可知y x x y x +→→2

0 lim 不存在； D.

因为0lim 1

sin

lim 0

=≤+→→→→x y x x y x y x ，所以01sin

lim 0

0=+→→y x x y x ，选D 13.若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在),0(,0)(,0)()0,(+∞<''>'-∞则在内x f x f 内（）.

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f （B ）0)(,0)(>''>'x f x f （C ）0)(,0)(<''<'x f x f （D ）0)(,0)(>''<'x f x f

解：).(,)(,)(,)(C x f x f x f 故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因'''

14．设)(x f 为奇函数，且0>x 时0)(>'x f ，则)(x f 在]1,10[--上的最大值为（）

A ．)10(-f

B ．)1(-f

C ．)10(f

D ．)1(f

解：（B ）

因为)(x f 是奇函数，故)()(x f x f -=-，两边求导)()(x f x f '-=-'-，从而

)()(x f x f -'='，设0-x ，从而0)()(>-'='x f x f ，所以)(x f 在[-10，-1]

上单调增加，故最大值为)1(-f

15．函数2

)(4),,(y x y x z y x f ---= ( )

(A)、有极大值8 （B ）、有极小值8 （C ）无极值（D ）有无极值不确定解 42x f x =-，42y f y =--，0

202x y f x f y =?=????→?

?==-???

2002H -??

= ?-??

0 20H >-<，(2,2)8f -=为极大值（A ）

15.设的值则为周期的连续函数是以?

+=T

a a

dx x f I T x f )(,)(（）.

（A ）依赖于T a ,

（B ）依赖于x T a 和,

（C ）依赖于x T ,，不依赖于a （D ）依赖于T ，不依赖于a

解：根据周期函数定积分的性质有,

).(,)()( 0

D dx x f dx x f T

l l

故应选??

17.曲线)0( sin 2

3π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为（）. （A ）

34 （B ）π34 （C ）232π （D ）π3

2 解：所求旋转体的体积为

]3cos [cos cos )cos 1(sin 030

2πππππππ

=--=--===?

??x x x d x xdx dx y V

故应选(B ).

18.设?-+=2

2 4

2cos 1sin ππxdx x x M ，?-

+=2 2

43)cos (sin π

πdx x x N ， ?--=2

432)cos sin (π

πdx x x x P ，则有（）.

（A ）M P N <<

（B ）N P M << （C ）P M N <<

（D ）N M P <<

解：利用定积分的奇偶性质知0=M ，0cos 2

4>=?

xdx N ，

0cos 22

4<-=?π

xdx P ，所以N M P <<，故选（D ）.

19．下列不定积分中，常用分部积分法的是（）。 A ．x x x d sin 2? B ．x x x d )12sin(?

C ．

x x x d ln ? D ．x x x

d 1?+

答案：B 。 20．设dxdy y x

I y x 3

)1(2

--=

??≤+，则必有（）

（A ）I>0 (B)I<0 (C)I=0 （D ）I ≠0的符号位不能确定

解： D ：0202

r θπ≤≤??≤≤? 2

222233

000

3d (1)d (1)

04I r r r r πθπ=-=-?->??

21．设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（dxdy y x f t t y x t )(1lim 2

22223

≤+→++

π）( )

（A ）等于0 （B ）等于)0('3

f (C) 等于+∞ （D ）不存在且非∞

C ）

解：由极坐标，原极限2033

000002()12()lim ()lim lim 3t

t t t rf r dr f t d rf r dr t t t ππ?ππ+

→→→====+∞???

22.设函数项级数

∑∞

)(n n

x u

，下列结论中正确的是( ).

（A ）若函数列{})(x u n 定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间（B ）若)(x S 为此级数的和函数，则余项)()()(x S x S x r n n -=，0)(lim =∞

→x r n n

（C ）若I x ∈0使

∑∞

0)(n n

x u

收敛，则||||0x x <所有x 都使∑∞

)(n n x u 收敛

（D ）若)(x S 为此级数的和函数，则∑∞

0)(n n

x u

必收敛于)(0x S

解：选（B ）.

23.设0>a 为常数，则级数)cos 1()1(1

n a n n

--∑∞

=（）. （A ）绝对收敛

（B ）条件收敛

（C ）发散

（D ）敛散性与a 有关

解：因为22222sin 2)cos 1()1(n a n a n a n

≤=--，而∑∞

=1222n n

a 收敛，因此原级数绝对收敛. 故选（A ）.

24.若级数∑∞

=--1

)()1(n n

n a x 在0>x 时发散，在0=x 处收敛，则常数=a （）.

（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）2

解：由于∑∞

=--1)()1(n n n

n a 收敛，由此知1≤a .当11≤<-a 时，由于∑∞=--1

)()1(n n n n a x 的

收敛半径为1，因此该幂级数在区间)1,1(+-a a 内收敛，特别地，在)1,0(+a 内收敛，此与幂级数在0>x 时发散矛盾，因此1-=a .故选（B ）. 25.x e y y y x

2cos 52-=+'+''的特解可设为（）

（A ）;2cos *

x A e

y x

-= （B ）;2cos *x A xe y x -=

（C ）();2sin 2cos *x B x A xe

y x

+=- （D ）().2sin 2cos *x B x A e y x +=-

解：C

26.微分方程的阶数是指（）

（A ）方程中未知函数的最高阶数；（B ）方程中未知函数导数或微分的最高阶数；

（C ）方程中未知函数的最高次数；（D ）方程中函数的次数. 解：B

27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.

（A ）;2

2c y x =+ （B ）;3221c x c x c y ++=

（C ）;cos sin 2

1x c x c y += （D ）()().cos ln ln 21x c x c y +=

解：C

28.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵*)(AB =（）.

（A ）**B A ；（B ）1-1-B A AB ||；（C ）1-1-A B （D ）**A B ；解答：D

29. 设A 、B 均为n 阶方阵，则必有[ ]。 (A ) |A +B |=|A |+|B | (B ) AB =BA

(C ) |AB |=|BA | (D ) (A +B )–1=A –1+B –1

解：正确答案为(C )

30.A,B 都是n 阶矩阵,则下列各式成立的是（）

（A ）()T T T

B A AB = （B ）()T

T T

B A B A +=+

（C ）()111

---=B A AB （D ）()111

---+=+B A B A

解答：B

31. 在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（）

（A ）AC

BC （B ）ABC （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C

解由事件间的关系及运算知，可选（A ）

32. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（）

（A ）38 （B ）53188?? ??? （C ）3

4831C 88?? ??? （D ）48

5C 解基本事件总数为4

8C ，设A 表示“恰有3个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为1

5C =5，故P (A )=

C ，故应选（

D ）。 33. 已知()0P 1,B ＜＜()10P 1,A ＜＜()20P A 1＜＜，且()()1

2P A |A B

()1A |P B =()2|P A B +,则下列选项成立的是（）

（A ）()()()()

212P

|A ||A B P B P A B =+;

（B ）()()()()1212P A |A A B P P A =+

（C ）()()()()()121122P A A |A |B

A B P P B P A P B A =+

（D ）()()()()()1122P A |A |B P P B P A P B A =+

解由题可知A 1、A 2互斥，又0

三、解答题

1.设函数

???

???>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f

问（1）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续？

解：（1）要)(x f 在0=x 处有极限存在，即要)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立。

因为b b x

x x f x x =+=--→→)1

sin

(lim )(lim 0

所以，当1=b 时，有)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→=成立，即1=b 时，函数在0=x 处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a 可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

)()(lim )(lim 00

x f x f x f x x x x ==+-→→

于是有a f b ===)0(1，即1==b a 时函数在0=x 处连续。

2．已知82

lim

232=-++→x b

ax x x ，试确定a 和b 的值 1sin lim )(lim 0

==+

+→→x

x f x x

解. 82

lim

232=-++→x b

ax x x ,()

048lim 232=++=++∴→b a b ax x x ,即a b 48--= ()[]

8124422lim 2

84lim 2lim 22232232=+=++++=---+=-++∴→→→a a x a x x a ax x x b ax x x x x , ,1-=∴a 故4-=b

3．设?????≤<-+>=-0

1),1ln(0 ,)(11

x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+1

lim x x e

,0lim 1

11=-→-x x e

, ()00=f , 因此,

1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 11

--→→==++e e

x f x x x

()()01ln lim lim 0

0=+=--

→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.

4．求方程中y 是x 的隐函数的导数（1）1e e =+-y

xy ,y '

解：方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，即

1)e ()e ()('='+'-'y x xy 0e e ='+-'+y y x y y x

y y x x

-='+e )e (

整理得 y

x x y

y e e +-='

（2）设)sin(y x y +=，求dx dy ，2

2dx

d ；解：)1()cos(y y x y '+?+='

)

cos(1)

cos(y x y x y +-+=

y y x y y x y ''?++'+?+-='')cos()1()sin(2，

3)]

cos(1[)]cos(1[)sin(y x y

y x y x y +--=+-+-

=''

5．设),(y x z z =由方程y

z x z -=+e

所确定, 求x

y z

???2.

解: 设x z z y x F y z --=-e ),,(,

1-=x F , y z y F --=e , 1e -=-y z z F ,

1e 1

-=??-y

z x z , z

y y z y z y z ----=-=??e 111e e , 3

)

(222)

e 1(e )e 1(e )e 11(z y z y z y z y z y x z x x y z ------=???--=-??=???∴. 6．设函数)(x

f 在[0,1]上可导，且1)(0<

)( , )1, 0( ,1)(01)( 0)( , ),(, ]1, 0[ ],[,0)()(, ]1, 0[ )( . )( ]1, 0[ ,)()( 21212121x x f x f f F c c Rolle c c c F c F c c x F x F x x f x F =='?=-'='∈?==-=使内有且只有一个与题设矛盾，故在即使定理可得至少有由，即上存在两个零点在反设至少有一个零点上用零点定理，得在设ζζζζ 7.求函数1

)1(-+=x x y 的单调区间和极值.

解函数1

)1(-+=x x y 的定义域是),1()1,(∞+---∞

221)1)(1()1(2--+-++='x x x x y

22)1()1(2x x x x +-+=2

)

1()

2(x x x ++= 令 0)1()

2(2

=++='x x x y ，得驻点21-=x ，02=x

)2,(--∞ -2

)1,2(-- )0,1(-

0 ),0(∞+

)(x f ' + 0 - 0 + )(x f

极大值

极小值

故函数的单调增加区间是)2,(--∞和),0(∞+，单调减少区间是)1,2(--及)0,1(-，当

=x -2时，极大值4)2(-=-f ；当=x 0时，极小值0)0(=f .

8.在过点)6,3,1(P 的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体

积最小.

解: 设平面方程为1=++Cz By Ax , 其中C B A ,,均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为ABC

V 1

61=

, 且163=++C B A , 令

)163(),,,(-+++=C B A ABC C B A F λλ, 则由

???????????=++=+=??=+=??=+=??1

6306030C B A AB A F AC A F BC A F

λλλ, 求得 ??

???

?===181913

1C B A . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 11893=++z y x , 且8118936

min =???=V . 9．求下列积分 (1)

x x

d 11

+∞

解：

)1(2

lim 13

lim d 1

lim

d 132

311

1-=+-==+∞→+∞→+∞→∞

b x x x

x x

b b

b 极限不存在，则积分发散. (2)

≤+--2

22222a y x d y x a σ

解 222(,)f x y a x y =--是D 上的半球面，由222d D

I a x y σ=--??的几何意义知I =V

半球

=32

a π (3)

??D

yd σ ，D 由 1,1,0x y x y x +=-== 的围成。

解关于x 轴对称，且(,)f x y y =是关于y 的奇函数，由I 几何意义知， d 0D

y σ?=??。

4．判别级数∑∞

=--1

)cos 1()1(n n

n a （常数0>a ）的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?

解：由n

n a n

cos

1)cos 1()1(-=--，而 02

1)2(2lim 12sin 2lim 1cos 1lim

2222≠===-∞→∞→∞

→a n n a

n n a n n a n n n ，

由正项级数的比较判别法知，∑∞

=-1)cos 1(n n a 与∑∞

=121

n n 同时敛散.

而∑∞

=121n n 收敛，故∑∞

=-1

)cos 1(n n a

收敛，从而原级数绝对收敛.

4．判别级数

n n

ln 1

)1(2

∑∞

=-的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? 解：记)1ln(1)

1(1

+-=-n u n n ，则n n v n u ?

=+≥1

显见

∑

∞

n n 去掉首项后所得级数∑∞=1

n n v 仍是发散的，由比较法知∑∞=1n n u 发散，从而∑∞

=2n n u 发散. 又显见

)1ln(1)

1(11

+-∑∞

=-n n n 是Leibniz 型级数，它收敛. 即n n n ln 1)1(2

∑∞

=-收敛，从而原级数条件收敛.

4．求幂级数∑∞

=+1

)1(n n

n n x 在收敛区间上的和函数)(x S ：

解：1)2)(1()1(lim lim

1=+++==∞→+∞→n n n n a a n n

n n ρ，所以1=R .

又当1±=x 时，级数成为∑∞

=+±1)1()1(n n

n n ，都收敛，故级数的收敛域为]1,1[-.

设级数的和函数为)(x S ，即∑∞

=+=1)

1()(n n

n n x x S .

再令∑∞

=++==1

)1()()(n n n n x x xS x f ，

逐项微分得，∑∞

=='1)(n n n x x f ，x x x f n n -==''∑∞=-11)(1

，

)1ln(11

)( 0 0

x dx x

dx x f x

--=-=''?

， 0)0( ),1ln()()0()(='--='='-'f x x f f x f ，

----=--='x

dx x

x x dx x dx x f 0 0 0

1)1ln()1ln()( x x x x x x x +--=-++--=)1ln()1()1ln()1ln(，

故)1ln()1()(x x x x f --+=，又显然有1)1(=S ，故

???

???==≠--+=.1 ,1,0 ,0,1,0 ),1ln(11)(x x x x x x

x S

5．求解微分方程

(1) 0122=+-ydy dx y x 的所有解. 解原方程可化为xdx y ydy 212

-=-，（当12≠y ），两边积分得c x y +-=--221，

即

c y x =--221为通解。当12=y 时，即1±=y ，显然满足原方程，所以原方程的全部

解为c y x =--2

1及1±=y 。 (2) ;22y x y y x -=

解当0>x 时，原方程可化为2

1??

??-=-'x y x y y ，令u x y =，得xu y =，原方程化为

21u u x -='，解之得c x u +=ln arcsin ；

当0

1??

??--=-'x y x y y ，类似地可解得c x u +-=ln arcsin 。

综合上述，有???<+->+=.

0ln ;

0ln arcsin x c x x c x x y 。

(3) ;2sin 2

cos x x y y =

+' 解由公式得 x xdx xdx ce x c dx xe e y sin cos cos 1sin 2sin 2

1--+-=?

????+??=?。

三、求解下列各题

1．计算下列行列式：

（.2）

876

54321，

解：0

126063

0321987654321=----=

（3）15

03100004

30021-

解：

160)16(10153

1.43214-=-?=-=

3．设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中??????-=0121A ，??

???=2003B , 求X ．

解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为

[]??????-=10010121I A ??????→11200121???

?????-→21211010

01 所以 ???

????-=-212

A 且

B A X 1

-=???????????????-=2003212

???

????-=1 2320 解法二：因为 []??

???-=20010321B A

???

???→23200321???

?????-→123102001

所以 ???

?????-=12320

4．设矩阵

?????-=?????

?????--=451001413101B A

试计算A -1B ．

解因为 ????

?????--=100010001001413101][I A

????????--→1011

00013110001

101→--???

???

??100

1010411001

101

所以

?????--=-1011141001A

且 ????

?????--=??????????-???????????--=-51344511011141001

B A

2．设()()11,32

P A P B =

=. (1)若AB =Φ，求()

P BA ； (2) 若B A ?，求()

P BA ；

(3) 若()1

P AB =

，求()

P BA . 解： (1) P (B A )=P (B )–P (AB ) 因为A ，B 互斥，故P (AB )=0，而由已知P (B )=

1 ∴ P (B A )=P (B )=2

1 (2) ∵ P (A )=

31，由A ?B 知：P (AB )=P (A )=3

1 ∴ P (B A )=P (B )–P (AB )=21–31=6

(3) P (AB )=81 ∴P (B A )=P (B )–P (AB )=21–81=8

3．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品

分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到

的

零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率. 解：设B 1、B 2、B 3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A 1、A 2分别

表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有

P (A 1)=P (B 1)P (1A |B 1)+P (B 2)P (A 1|B 2)+P (B 3)P (A 1|B 3) =

7402431301231502031=?+?+?=0.467 P (21A A )=39

2340243129113012314919502031)|()(3

21??+??+??=

∑=i i i B A A P B P =0.220

高数期末考试试题及答案[1]

北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数，则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易）二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++

大学高等数学(文科)复习重点

第一章预备知识一、定义域 1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ，求(ln )f x 的定义域。答案：(0,1) 2. 求32233 ()6 x x x f x x x +--=+- 的连续区间。提示：任何初等函数在定义域围都是连续的。答案：()()(),33,22,-∞--+∞ 二、判断两个函数是否相同？ 1. 2 ()lg f x x = ，()2lg g x x = 是否表示同一函数？答案：否 2. 下列各题中，()f x 和()g x 是否相同？答案：都不相同 ()2ln 1 (1) (),()1 1 (2) (),()sin arcsin (3) (),()x x f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性 1. 判断()2x x e e f x --= 的奇偶性。答案：奇函数四、有界性 , 0?∈?>x D K ，使()≤f x K ，则()f x 在D 上有界。有界函数既有上界，又有下界。 1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 是否有界？答案：无界 2. 221x y x =+ 是否有界？答案：有界，因为2 211<+x x 五、周期性 1. 下列哪个不是周期函数（C ）。 A ．sin , 0y x λλ=> B ．2y = C ．tan y x x = D ．sin cos y x x =+ 注意：=y C 是周期函数，但它没有最小正周期。六、复合函数 1. 已知[]()f x ? ，求()f x 例：已知10)f x x x ??=+> ??? ，求()f x 解1：

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高等数学试题及答案91398

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高数2试题及答案(1)

模拟试卷一一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（）（A ）垂直（B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直（D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （）（A ）不存在（B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（）条件. （A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（）（A ）发散（B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛（D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）

A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的（ B ） A 、充要条件 B 、必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7

大一文科高数试题

一、填空题（每小题1分，共10分） ________ 1 1．函数y＝arcsin√1－x2＋——————的定义域为 _________ √1－ x2 _______________。 2．函数y＝x＋ex上点（ 0，1 ）处的切线方程是______________。 f（Xo＋2h）－f（Xo－3h） 3．设f（X）在Xo可导且f'（Xo）＝A，则lim ——————————————— h→o h ＝ _____________。 4．设曲线过（0，1），且其上任意点（X，Y）的切线斜率为2X，则该曲线的方程是 ____________。 x 5．∫—————dx＝_____________。

1－x4 1 6．lim Xsin———＝___________。 x→∞X 7．设f（x，y）＝sin（xy），则fx（x，y）＝____________。 _______ R√R2－x2 8．累次积分∫ dx∫ f（X2 ＋ Y2）dy 化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 d3y 3 d2y 9．微分方程———＋——（———）2的阶数为____________。 dx3 x dx2 ∞∞ 10．设级数∑ an发散，则级数∑ an _______________。 n=1 n=1000

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， 1～10每小题1分，11～20每小题2分，共30分）（一）每小题1分，共10分 1 1．设函数f（x）＝——，g（x）＝1－x，则f〔g（x）〕＝（） x 1 1 1 ①1－——②1＋——③————④x x x 1－ x 1 2．x→0 时，xsin——＋1 是（） X ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量

大一高数试题及答案.doc

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）１．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。２．函数 2e x y += 上点（０，１）处的切线方程是______________。３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。５．=-?dx x x 4 1_____________。６．=∞→x x x 1 sin lim __________。７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）１．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x

２．11 sin +x x 是（） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('>

2019文科高数综合练习题附答案

2019文科高等数学综合练习答案一．选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1．下列函数中是偶函数的一个是------------------------- （ D ）（A ）；（B ）；（C ）；（D ）. 2．下列函数相同的是------------------------------------------------------（ A ）（A ）与（B ）与（C ）与（D ）与 3.下列哪个函数是偶函数----------------------------------------（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ） 4. 极限 -----------------------------------------------------（ C ） (A) (B) (C) (D) 5.下列各式中正确的是----------------------------------------（ C ） A. B. C. D. 6．当时，不是无穷小量的是-----------------------------（ A ）（）（）（）（） 7.函数在处有定义是在处有极限的-----------------（ D ） A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件 x x y sin +=x x y cos sin +=x x y +=2x x y cos 2+=y x =y =2log y x =2log y x =2x y x =y x =24 2 x y x -=+2y x =-1 y x x =+ 2sin y x =x x y cos sin +=2=y 2lim 1x x x →∞ ??+= ??? e 1e -2e 12 e e x x x =+∞ →1 )1(lim e x x x =+→)1(lim 10 e x x x =--∞ →)1(lim 11 10 )1(lim -→=-e x x x +∞→x A x x 1sin B x x sin C 21x D 11-x e )(x f y =0x )(x f y =0x

高等数学试题及答案(广东工业大学)

《高等数学-广东工业大学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

(完整)高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界. （）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .

5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

高数试题及答案

课程名称高等数学I （A ）解答一选择题（4小题，每题4分，共16分） 1．下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线二填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3．已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4．曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三解答题（5小题,每题6分，共30分）

大学文科高数试题及答案

文科高等数学一、填空题 1、函数x x f -=51 )(的定义域是（5,∞-） 2、已知极限32 lim 22=-+-→x k x x x ,则2-=k 。 3、曲线），在（211+= x y 处切线斜率是：21 4、设x x y 2=，则)1(ln 2'2+=x x y x 5、若??+=-+=C x dx x f C x dx x f )1()(，则 6、已知)(cos x f x 是的一个原函数，则?+-=C x x x dx x xf sin cos )(。二、选择题 1、设{ }{}＝，则、、＝，、、M P M P /531321=（B ） A 、{}5 B 、{}2 C 、{ }1 D 、{}3 2、在112 +-?=x x e e x y 其定义域（∞∞-，）内是（B ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、有界函数 3、以下计算正确的是（D ） A 、)(22ex d dx xe x = B 、x d x dx sin 12=- C 、)1(2x d x dx -= D 、x dx x 3ln 21= 5、下列在指定区间是单调增函数的为（C ） A 、)1,1(,-=x y B 、),(,sin +∞-∞=x y C 、)0,(,2-∞-=x y D 、),0(,3+∞=-x y

6、已知的值为处有极小值，则在a x x x ax x f 11)(023=---=（A ） A 、1 B 、 3 1 C 、0 D 、3 1- 7、设函数3 2cos 21cos )(π=-=x x x a x f 在点处取得极值，则=a （C ） A 、0 B 、21 C 、1 D 、2 三、判断题 1、若有极限在点可导，则在点00)()(x x f x x f （V ） 2、极限d x e d bx x a =++ ∞→)1(lim （X ） 3、?+=C x f dx x f x xf )(21)(')(2222（X ） 4、已知.....718.2=e 是一个无理数，则? +=C x dx x e e （X ）四、证明题若?????=≠=0 ,00,1sin sin )(2x x x x x f 证明：处可导在0)(=x x f 证明：x x x x f x f x x 1sin sin lim )0()(lim 200→→=- ＝01sin sin sin lim 0=?→x x x x x 处可导在0)(=∴x x f 五、解答题解不定积分?dx x x x 3sin cos 由原式＝????? ? ??-==x xd x dx x x x x x 233sin 121)(sin sin sin cos

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

高数练习题及答案

高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ?? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z + ++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） A.dx dy + B.2dx dy + C.22dx dy + D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面2 2 2 425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） A. 225 30 d r dr dz πθ? ?? B. 245 30 d r dr dz πθ? ?? C. 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ?? D. 22 5 2 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 2 （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） A. B.()x ax b xe + C.()x ax b ce ++ D.()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??， z y ?? 3、设 22 {(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 得分阅卷人

(完整版)高等数学测试题及答案.docx

高等数学测试试题一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （） h 0 f ( h) f (0) 2

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《高等数学》试题 30 考试日期： 2004 年 7 月 14 日星期三考试时间： 120 分钟一. 选择题 1. 当 x 0 时， y ln(1 x) 与下列那个函数不是等价的（） A) 、 y x B)、 y sin x C) 、 y 1 cos x D)、 y e x 1 2. 函数 f(x) 在点 x 0 极限存在是函数在该点连续的（） A 必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 )、 3. 下列各组函数中， f (x) 和 g( x) 不是同一函数的原函数的有（） . A) 、 f ( x) 1 x e x 2 1 e x e x 2 2 e , g x 2 B)、 f (x) ln x a 2 x 2 , g x ln a 2 x 2 x C)、 f ( x) arcsin 2x 1 , g x 3 2arcsin 1 x D)、 f ( x) csc x sec x, g x tan x 2 4. 下列各式正确的是（） A ）、 x x dx 2x ln 2 C B ）、 sin tdt cost C C ）、 dx dx arctan x D ）、 ( 1 )dx 1 C 1 x 2 x 2 x 5. 下列等式不正确的是（） . A ）、 d b f x dx f x B ）、 d b x f x dt f b x b x a a dx dx d x f x dx f x D ）、 d x F x C ）、 a F t dt dx dx a x t) dt 6. lim ln(1 x （） x 0 A ）、0 B ）、 1 C ）、 2 D ）、 4 7. 设 f (x) sin bx ，则 xf ( x)dx （） A ）、 x cosbx sin bx C B ）、 x cosbx cosbx C b b C ）、 bxcosbx sinbx C D ）、 bxsin bx b cosbx C

南开大学某级文科类高等数学统考试

南开大学2008级文科类高等数学统考试卷（A 卷闭卷部分考试时间60分钟） 2009年6月28日草稿区（说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。影响成绩后果自负。）一、(本题10分)袋中装有10个号码球，分别标有1~10号。现从袋中任取3个球，记录下其号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）中间号码为5号的概率. 二、(本题10分)由现在的天气状况分析，政府有90％的概率进行人工降雨，10%的概率不进行人工降雨。若进行人工降雨后下雨的概率为0.8,不进行人工降雨而下雨的概率为0.15，试求（1）下雨的概率；（2）在已知没有下雨的条件下，求没有进行人工降雨的概率.

文科类A4—1 草稿区三、(本题8分)若随机事件A , B , C 为相互独立事件, 且2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=C P ，求事件A , B , C 中至少有一个发生的概率. 四、(本题12分)若随机变量X 的分布函数为????? ????≥<≤<≤<≤<=31328.0212.01000 )(x x x x a x x F 且已知10 19 )(= X E ，求（1）常数a 的值；（2）D (X )。 (3) )25.0(≤≤X P .

文科类A4—2 草稿区五、(本题12分)设随机变量X 的密度函数为?? ?<<=其他 2 0)(2 x cx x f ，求（1）c 的值；（2）)11(<<-X P 。 (3) E (2X -1). 六、(本题6分)设A ，B 为两个随机事件，已知3 1 )()(= =B P A P ，且)|()|(A B P A B P =，求)|(A B P .

《高等数学》题库及答案

《高等数学（一）》题库及答案一、求下列函数的定义域（1）x y cos =；（2）)1ln(+=x y 。（1）;11x y -= 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x (3）41≤+x ；三、求下列极限 (1)x x x x 3)1(lim +∞→； (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4)211lim(2)x x x →∞-+; (5)x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6)12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1---→x x x x (10）)13(lim 3 n n +∞→； (11）55sin()lim sin x x x →∞；

(12）0tan 3lim x x x →；四、求下列函数的微分：（1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）；（2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; (6)x y 211+=; (7);)7(5+=x y (8)21x e y +=； (9)3.1x y =； (10))1ln(2x y +=； (11)4)52(+=x y ； (12）)ln(ln x y =；六、求下列函数的二阶导数（1）)1ln(x y +=；（2）x e x y 22=。（3）x y sin =；七、求下列不定积分 (1）x dx ?； (2）xdx 2cos ?； (3）x dx +?1； (4)xdx 3sin ;