1
(1) 所有的幂函数图象恒过点(1,1); 所有的幂函数图象恒过点
(4)α 1时，图象下凸 ; ＞1时 图象下
y
α >1
α =1
0<α<1 α <0
(6)第一象限内 当x>1时， 第一象限内, 第一象限内 时 越大图象 图象越高 α越大图象越高
o
1
x
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
正确 1 . 幂函数均过定点（1，1）； 幂函数均过定点（ ， ）； −1 2 . 幂函数 y = x 在（-∞，0）上单调递 ， ） 上也单调递减,因此 减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减 因此 ， −1 不正确 在定义域内单调递减； 幂函数 y = x 在定义域内单调递减； 不正确 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 不正确 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 α >0时，幂函数在第一象限均为 时 正确 增函数； 增函数；
中的底数 为大于0且不等 底数a为大于 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1)中的底数 为大于 且不等 于 1的常数。 的常数。 的常数
y = x (α ∈ R)
（2）只有形如 ） 的函数才叫做幂函数
α
判一判
判断下列函数是否为幂函数. 判断下列函数是否为幂函数 (1) y=x4 1 (2) y = 2 x (3) y= -xe (5) y=2x2 (6) y=x3+2 ( 7 ) y (x-1)2 =
在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
2
y
( α >1
y=x)
3
y=x
3
2
y = x, y = x , y = x , y= x , y= x
的图象. 的图象
1 2
1
−1
y=x ) x O 1( α < 0
( 0 < α <1
−1
y = x2
( ＝1 1
α
y=x
归纳
幂函数图象在第一象限的分布情况： 幂函数图象在第一象限的分布情况：
为自变量， 为常数。 其中x为自变量， 为常数。 几点说明: 几点说明
1 y = x 中x 前面的系数为 并且后面没有 、 1, 常数项 . 2、定义域没有固定，与α的值有关 . 3、幂函数中的 可以为任意实数 可以为任意实数. 、
α α
α
α
幂函数与指数函数的区别:
y = xα (α ∈ R) 中的指数α 中的指数 为任意实数。而 为任意实数。 （1）幂函数 ）
y
α >1
α ＝1
0 <α <1
1
α <0
1
0
x
幂函数的性质
(2)α ０，在第一象限内递增；若α 在第一象限内递增 递增； ＞ ＜ 在第一象限内递减 递减. ０，在第一象限内递减 (3) 当α 为奇数时 幂函数为奇函数 奇函数； 为奇数时，幂函数为奇函数； 为偶数时 幂函数为偶函数 当α 为偶数时，幂函数为偶函数． 当0＜ ＜1时，图象上凸 ＜ α 时 图象上 (5) 图像不过第四象限 图像不过第四象限.
注意:若给出的函数是有根号的式子 往往 注意 若给出的函数是有根号的式子,往往 若给出的函数是有根号的式子 采用有理化的方式。 采用有理化的方式。
巩固练习
练习1:设a=0.20.3,b=0.30.3,c=0.30.2,则（B ） A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c
分析：比较a,b的大小，需利用幂函数y=x0.3的单调 y=x 性；比较b,c的大小，需利用指数函数y=0.3x的单 y=0.3 调性。
m2-2m-3在区 x
小结
(1) 幂函数的定义； 幂函数的定义； (2) 幂函数的性质； 幂函数的性质； (3) 利用幂函数的单调性判别大小
课后作业：习题 组的题 组的题。 课后作业：习题A组的题。
例1： 比较下列各题中两数值的大小
① 1.73,1.83
② 0.8-1 ,0.9-1
幂函数y= y=x 上是单调增函数。 解：① ∵幂函数y= 3 在R上是单调增函数。 又∵1.7<1.8 ∴1.73<1.83 幂函数y= ,+∞）上是单调减函数. ②∵幂函数y= x-1在(0,+∞）上是单调减函数. 0.8<0.9 又∵0.8<0.9 ∴0.8-1 > 0.9-1
学习目标
1、掌握幂函数的概念。 熟悉 、掌握幂函数的概念。 时， α 的图像和性质。 幂函数 y = x (α ∈ R) 的图像和性质。 2、能利用幂函数的性质来解决一些实际问题 、 3、通过对情景的观察、思考、归纳、总结形成结 、通过对情景的观察、思考、归纳、 论，培养发现问题、解决问题的能力。 培养发现问题、解决问题的能力
拓展: 比较下列两个代数式值的大小：
(1)(a +1)1.5 , a1.5 ; ( 2)(2 +a2) ,2 解：（1）考察幂函数 函数. 因为 所以
− 2 3 − 2 3
y=x
1.5
在区间[0, +∞)上单调增
a +1 > a
(a + 1)
1 .5
>a
−
1 .5
（2）考察幂函数 y = x 数. 因为 2 + a 2 ≥ 2 所以 ( 2 + a 2 )
R
x
[0，+∞） 偶函数
y
y=x
y=x
3
-1
1 -1
O y
1
x
R
R
奇函数
(-∞,+∞)↑
1 2
1
-1 O 1 -1
x
[0，+∞） [0，+∞） (-∞,0)∪ (-∞,0)∪ (0,)↑
y
y=x
−1
-1
1 O -1
1
x
奇函数
(-∞,0)↓ (0,+∞) ↓
重点: 重点
从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质
难点: 难点
画五个幂函数的图象并由图象概括其性质. 画五个幂函数的图象并由图象概括其性质
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克 元的蔬菜 千克 那么她需 如果张红购买了每千克1元的蔬菜 千克,那么她需 元的蔬菜w千克 这里p是 的函数 的函数; 这里 要支付p=w元,这里 是w的函数 y = x 2 (2) 如果正方形的边长为 那么正方形的面积 S = a 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 2 y=x 这里S是 的函数 的函数; 这里 是a的函数 3 (3) 如果立方体的边长为 那么立方体的体积 V = a , 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 3 y=x 这里V是 函数 函数; 这里 是a函数 1 (4)如果一个正方形场地的面积为 那么这个正方形的 如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 如果一个正方形场地的面积为 2这里 是S的函数 y = 1 这里a是 的函数 的函数; 边长 x2 (5)如果某人 内骑车行进了 如果某人ts内骑车行进了 如果某人 内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速 那么他骑车的平均速 −1 −1 y=x 这里v是 的函数 的函数. 度 v = km/ s, 这里 是t的函数
证明：任取 证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则 ， f ( x1 ) − f ( x 2 ) = x1 − x 2
=
( x1 − x2 )( x1 + x2 )
=
x1 − x2 x1 + x2
x1 + x2
因为x1 − x2 < 0, x1 + x2 > 0, 所以f ( x1 ) < f ( x2 ) 上是增 所以幂函数 f ( x ) = x 在[0, +∞)上是增函数.
0.5
0.71
1 1
2
3
4 2
6
1.41
1 .73
2.45
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
y=x
1 2
y=x
3
y
1 -2 -1 -1 -2 o 1
1
x
-1 o -1 -2
1
2
x
名称
图象
y
y=x
定义域
R
值域
R
奇偶性
奇函数
单调性
(-∞,+∞)↑ (-∞,0)↓ (0,+∞)↑
y=x
y=x
2
1 -1 -1 O1
x
y
1 -1 O -1 1
a=s
t
若将它们的自变量全部用x来表示 函数值 若将它们的自变量全部用 来表示,函数值 来表示 α 来表示,则它们的函数关系式将是 用y来表示 则它们的函数关系式将是 y = 来表示 则它们的函数关系式将是:
x
一、 一般地， 一般地，函数 function) ，
y = xα
y=x
α
叫做幂函数 叫做幂函数(power 幂函数
1 (8) y = x
( 4) y = x
1 2
二、我们重点研究: 我们重点研究
y = x, y = x , y = x , y = x , y = x
2 3
y y
2 1 -2 -1 -1 -2 3
−1
1 2
对于我们较熟悉的这三类函数的图象只需找关键点 对于我们较熟悉的这三类函数的图象只需找关键点 来 作图。 作图。
y = x2
y
y=x
2 1
