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第五章大数定律与中心极限定理答案

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第五章 大数定律与中心极限定理答案
一、1.0；2.
4
3；3.
2
1；4.正态分布；5.设:100x 次中出现正面的次数，1
~(100,)2
x b ，
∴
1
10050~(0,1)5x x N -⨯-=近似
，
则1
1
1006010050(60)(2)1(2)5x x P x P P -⨯
-⨯->=>=>≈-Φ
=1-0.97725=0.02275 6.
(0,1)N 近似
，所以
(0.1)(0.10.1)(21
n n P x a P x a P -<=-<-<=-
<
<
≈Φ-(0.1)0.95n P x a -<≥
，即210.95Φ-≥
，0.9752
∴Φ≥
2
1.96 3.9215.36642
n ⇒
≥⇒≥=，∴答案：16
二、1、去掉 2、B
三、1、设i x ：第i 次射击时命中的炮弹的个数1,2,,100i = ，()2i E x =
，
1.5=
100
1002
~(0,1)i
X
N -⨯∑近似
∴题目所求为
100
100
1
1
200
180200
220200
(180220)(
)15
15
15
i
i i i X
P X P ==---≤
≤=≤
≤
=∑∑
100
1
20044
4
()2()13
15
33
i i X P =--
≤
≤
=Φ-∑
=0.8164 2、
1）设i x ：第i 个数的误差，1,2,,1500i = ，)5.0,5.0(~-U x i ，()0i E x =，
1()12
i D x =
1500
1500
15000~(0,1)i i
X X N -⨯=
∑
∑
近似
1500
1500
1500
1500
1
1
1
(
15)1(
15)1(1515)1i
i i i i i i X P X P X P X P ===∴>=-≤=--≤
≤=-≤
≤
∑
∑
∑
∑
1((22≈-Φ-Φ-
=-Φ=2（1-0.90988）=0.18024
2）设n 个数加在一起时误差总和绝对值小于10的概率为0.9，
()~(0,1)n
i
i X
nE x N -∴
∑近似
，1500
1
1010(10)0.9i n
i i X P X P =-∴<=<
<
=∑
∑
，
(0.9∴Φ-Φ-
=
0.95∴Φ=，查表可得441≈n
3、设:6000x 只元件中合格品的个数1
~(6000,)6
x b ，
1
6000~(0,1)x N -⨯
=近似
，
11
()(100060)
600061005
x
P P x P
∴-<=-<=≤≈Φ
=0.98124
4、设
i
x：第i箱的重量，设最多可装n箱，()50
i
E x=
5
=，
50
~(0,1)
n
i
X n
N
-⨯
∑近似
，
50
0.977
n
i
X n
P
-
∴≤≈Φ≥
∑
，
即
0010
)0.977
Φ≥，977
.
)2(=
Φ，n=99
5、设:400
x台中故障的台数~(400,0.02)
x b，
~(0,1)
N
近似
查表即可
(2)1(2)11
P x P x P
∴≥=-<=-<≈-Φ
6、~(100,0.2)
b
ξ
20
~(0,1)
4
N
ξ-
=
近似
142020302020
(1430)()( 1.5 1.5)(2.5)( 1.5)
4444
P P P
ξξ
ξ
----
∴≤≤=≤≤=-≤≤≈Φ-Φ-
(2.5)(1.5)1
=Φ+Φ-=0.9937+0.9332-1=0.9269
7、设:x n个部件中正常工作的个数~(,0.9)
x b n，
~(0,1)
N
=
近似
(0.8)0.95
x
P
n
∴≥=，
(0.8)(0.8)1(0.95
3 x
P P x n P
n
≥=≥=≥≈-Φ=Φ=Φ=查表可得25
≥
n
8、()0.03k E ξ=，
()0.03k D ξ=，
50
500.03
~(0,1)k
N ξ
-⨯∑近似
，
50
500.03
(3)111k
P y P ξ
-⨯∴≥=≥
≈-Φ=-Φ=-Φ∑ =0.112
9、设:10000x 盏灯中开着的个数~(10000,0.7)x b ，
~(0,1)N =近似
，
(68007200)21
P x P ∴≤≤=≤≤
=Φ-=0.99999
10、设:10000x 件中不合格的个数，~(10000,0.005)x b ∴
~(0,1)N 近似
，
(70)P x P -⨯-⨯∴≤=≤
≈Φ， 查表即可
11、设应预备n 件，:10000x 人中需用商品的件数~(10000,0.6)x b ∴，
100000.6100000.66000()99.7%
x n n P x n P -⨯-⨯-∴≤=≤≈Φ=，
查表可求得。

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第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析

第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析


V 20 5 100 / 12 20

105 20 5 100 / 12 20
V 100 V 100 P 0 . 39 1 P 0 . 39 12 ) 20 12 ) 20 ( 10 ( 10
1 ( 0 . 39 ) 1 0 . 6517 0 . 3483
lim F n ( x ) F ( x )
W 则称{ F n ( x )} 弱收敛于F(x)，记为 Fn ( x) F ( x)。 L { 称 }依分布收敛于，记为 。
n
n
n
定理5.2 (几种收敛之间的关系) P ，则 L 。 1. 若
n
L P 2. 设为常数，则 n 当且仅当 n 。 a.s. P n ，则 n 。 3. 若
设随机变量 1， 2， ， n 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：
E ( i ) ，D ( i ) ， i 1，， ， n ， 2
2
则随机变量
n

i 1
n
i
n
n
n
L N ( 0， ， 1)
即 n 的分布函数 F n ( x ) 对任何x满足
lim P (
n
n np
np (1 p )
x
x)


1 2

t
2
e
2
dt .
例2 (2002年数学四考研试题)
设随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，S n

n
X i.
i 1
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
第五章 大数定律和中心极限定理

第五章 大数定律和中心极限定理

一、大数定律切比雪夫大数定律：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，且具有相同的数学期望且方差有界，那么对辛钦大数定律：设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量序列，且数学期望E（X i）=μ存在，则对任意【例87·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从P（λ），那么依概率收敛到_____[答疑编号986305101：针对该题提问]答案：【例88·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从参数为0.5的指数分布，则。

[答疑编号986305102：针对该题提问]【例89·选择题】设随机变量列X1，X2，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n充分大时依概率收敛于共同的数学期望，只要X1，X2，…，X n，…（）A.有相同的数学期望B.服从同一离散型分布C.服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布[答疑编号986305103：针对该题提问]答案：C【例90·选择题】设随机变量，X1，X2，…，X n，…是独立同分布，且分布函数为则辛钦大数定律对此序列（）A.适用B.当常数a,b取适当的数值时适用C.不适用D.无法判别[答疑编号986305104：针对该题提问]答案C二、中心极限定理独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，服从同一分布，【例91·选择题】（05-4-4）设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ（λ>0）的指数分布，记为标准正态分布函数，则（）[答疑编号986305105：针对该题提问]答案：C。

05大数定律及中心极限定理

05大数定律及中心极限定理


概率论
定 1 得 由 理即 nA limP{| − p |< ε } n→∞ n 1 = limP{| ( X1 + X2 +L+ Xn ) − p |< ε } = 1 n→∞ n nA 或 limP{| − p |≥ ε } = 0 证毕
n→ ∞
n
注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分 贝努里大数定律表明，当重复试验次数 充分 大时，事件A发生的频率 发生的频率n 与事件 的概率p有较 与事件A的概率 大时，事件 发生的频率 A/n与事件 的概率 有较 大偏差的概率很小. 大偏差的概率很小
概率论
说明
1n 1 定 中 ∑ Xi −µ |< ε }是 一 随 事 ， 、 理 {| 指 个 机 件 ni=1 n 当 →∞时 这 事 的 率 于 . ， 个 件 概 趋 1
2 定 以 学 式 明 随 变 X1,LXn 、理 数 形 证 了 机 量 1n 的 术 均 = ∑ Xi 接 数 期 E（ k = µ 算 平 X 近 学 望 X） ni=1 k , （ = 1,2L n） 这 接 说 其 有 稳 性. ， 种 近 明 具 的 定
n→∞ np(1− p) t2 1 − 2 = Φ(x) e dt 2π
≤ x} = limP{ k=1
∑ Xk − np np(1 − p)
n
≤ x}
ηn ~ N(np, np(1− p))
近似地
limP{
n→∞
ηn − np
np(1− p)
≤ x} = ∫−∞
x
1 e dt = Φ(x) 2π
t2 − 2
η 证 由第四章知识知可将 n分解成为n个相互独立、
从 一 服 同 (0 − 1)分 的 随 变 X1, X2,LXn之 ， 布 诸 机 量 和
浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(大数定律及中心极限定理)

浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(大数定律及中心极限定理)

第5章大数定律及中心极限定理一、选择题1．设随机变量序列相互独立且都服从参数为1的泊松分布，令，则随机变量序列一定（）。

A．满足切比雪夫大数定律B．不满足切比雪夫大数定律C．满足辛钦大数定律D．不满足辛钦大数定律【答案】A【解析】相互独立，其期望、方差都存在且，符合切比雪夫大数定律成立的三个条件，即①相互独立；②期望、方差都存在；③对任何，方差都小于一个共同常数。

因此满足切比雪夫大数定律。

由于不一定完全相同，因此不能确定是否同分布，（要求，此时同分布；不全相同，不同分布），故不能确定其是否一定满足辛钦大数定律。

2．设随机变量，，…，，…相互独立，且服从参数为的泊松分布，服从期望值为的指数分布，则随机变量序列，，…，，…一定满足（）。

A．切比雪夫大数定律B．伯努利大数定律C．辛钦大数定律D．中心极限定理【答案】A【解析】，…不是同分布，因此不能满足辛钦大数定律、伯努利大数定律和中心极限定理。

进一步分析，，因此对任何n=1，2，…，都有，即，…相互独立，期望、方差都存在且对所有，，符合切比雪夫大数定律成立的条件。

3．设随机变量序列X1，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞吋，依概率收敛其数学期望，只要{X n，n≥1}（）。

A．有相同的数学期望B．服从同一离散型分布C．服从同一泊松分布D．服从同一连续型分布【答案】C【解析】ABD三项，由辛钦大数定律可知，随机变量序列｛，≥1}必须是：“独立同分布且数学期望存在”，A项缺少同分布条件，BD两项虽然服从同一分布但不能保证期望存在。

4．设随机变量X1，…，X n，…相互独立，记Y n=X2n－X2n－1（n≥1），概括大数定律，当n→∞时,依概率收敛到零，只要{X n，n≥l}满足（）。

A．数学期望存在B．有相同的数学期望与方差C．服从同一离散型分布D．服从同一连续型分布【答案】B【解析】ACD三项，由于相互独立，所以相互独立，A项“缺少同分布”条件，CD两项“缺少数学期望存在”的条件，因此都不满足辛钦大数定律。