世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：单元评估检测(九)

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 2，f(2) = 5，则下列说法正确的是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b < 0，c > 0C. a < 0，b > 0，c < 0D. a < 0，b < 0，c < 02. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是：A. 在实轴上B. 在虚轴上C. 在实轴和虚轴之间D. 在原点3. 下列各式中，正确的是：A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα + cotβ4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，S5 = 30，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是：A. y = -2x + 1B. y = 2x - 1C. y = x^2D. y = -x^26. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若a > 0，b > 0，则双曲线的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a^2/b)xD. y = ±(b^2/a)x7. 下列各式中，正确的是：A. log_a(1/a) = -1B. log_a(a) = 0C. log_a(a^2) = 2D. log_a(1/a^2) = -28. 若函数y = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则下列说法正确的是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a < 0，b < 0，c < 0C. a > 0，b < 0，c < 0D. a < 0，b > 0，c > 09. 下列各式中，正确的是：A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 0C. tan(π/2) = 1D. cot(π/2) = 010. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，S3 = 9，则公比q为：A. 1B. 3C. 1/3D. -311. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是：A. y = 2^xB. y = 2-xC. y = x^2D. y = -x^212. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是：A. 在实轴上B. 在虚轴上C. 在实轴和虚轴之间D. 在原点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

单元评估检测(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列结论:①-2∈Z;②π∉Q;③N⊆N*;④Q R.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为Z,Q,N,N*,R分别表示整数集、有理数集、自然数集(包括0),正整数集,实数集,又因为-2是整数,π是无理数,所以①正确;②正确;③不正确;④正确.2.(2016·济宁模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=()A.{0}B.{-1}C.{1}D.{0,-1,1}【解析】选C.因为B={x|0<x<2},所以A∩B={1}.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.验证法:当x=0时,x(x-2)=0<0不成立;当x=-1时,x(x-2)=3<0不成立;当x=1时,x(x-2)=-1<0成立.结合答案选项可知选C.3.命题“∃x0∈∁R Q,∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁R Q,∈QB.∃x0∈∁R Q,∉QC.∀x∉∁R Q,x2∈QD.∀x∈∁R Q,x2∉Q 【解析】选D.“∃x0∈∁R Q”的否定为“∀x∈∁R Q”,“∈Q”的否定为“x2∉Q”.【加固训练】已知命题p:∃x 0>1,-1>0,那么p是()A.∀x>1,x2-1>0B.∀x>1,x2-1≤0C.∃x0>1,-1≤0D.∃x0≤1,-1≤0【解析】选B.“∃x0>1,-1>0”的否定为“∀x>1,x2-1≤0”.4.(2016·青岛模拟)设A=,B={x|x≥a}.若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a<B.a≤C.a≤1D.a<1【解析】选C.A={1,2,3,4},由A⊆B得a≤1.【误区警示】本题易误选A或B,出现错误的原因是忽视了集合A中“x∈Z”这一条件及对端点值的验证.5.(2016·临沂模拟)使x2>4成立的充分不必要条件是()A.2<x<4B.-2<x<2C.x<0D.x>2或x<-2 【解题提示】要分清谁是谁成立的充分不必要条件.【解析】选A.因为x2>4的解集为{x|x>2或x<-2},故A选项正确.6.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)【解题提示】先解不等式,化简集合M,再数形结合求解.【解析】选D.<0⇔(x+3)(x-1)<0⇔-3<x<1,即M={x|-3<x<1},由图易知{x|x≥1}=∁R(M∪N).7.(2016·聊城模拟)p:x>1,y>1,q:x+y>2,xy>1,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的结论可得p⇒q,但x=100,y=0.1,满足x+y>2,xy>1,但不满足p,故p是q的充分而不必要条件.8.设等差数列{a n}的公差为d,则a1d>0是数列{}为递增数列的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.数列{}为递增数列⇔>⇔>1⇔>1⇔>1⇔a1d>0.【加固训练】“sinα≠sinβ”是“α≠β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.α=β⇒sinα=sinβ,但sinα=sinβα=β.因此α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件,从而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必要条件.9.已知命题p:∃x 0∈R,x0<+1,命题q:∀x∈R,sin4x-cos4x≤1,则p∨q,p∧q,p∨q,p∧(q)中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为x2-x+1>0对∀x∈R恒成立,即x<x2+1恒成立,所以p真;因为sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x≤1恒成立,所以q真.故p假,q假,所以p∨q真,p∧q真,p∨q真,p∧(q)假.10.(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·合肥模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B等于__________.【解题提示】先化简集合A,B,再按新定义计算.【解析】因为A=,B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A=,A⊕B=(A-B)∪(B-A)=.答案:∪[0,+∞)12.命题:已知x∈R,若x<1,则x2<1的逆否命题是__________________________.【解析】已知x∈R是大前提,所以原命题的逆否命题是:已知x∈R,若x2≥1,则x≥1.答案:已知x∈R,若x2≥1,则x≥113.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素的个数是________.【解析】由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使log x y∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4)共4个.答案:414.(2016·枣庄模拟)下列3个命题:①“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.【解析】当φ=时,f(x)=tan==(x≠kπ,k∈Z),f(-x)===-f(x),即f(x)为奇函数,所以①为假命题;命题“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,因为x2+x-6<0⇔-3<x<2,所以②为真命题;在△ABC 中,当A=160°时,sinA=sin160°=sin20°<sin30°=.所以③为假命题.答案:②15.(2016·北京模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是____________.【解题提示】先化简集合A,再结合二次函数的图象求解.【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<.答案:【加固训练】(2015·大连模拟)若命题“∀x∈R,ax2-a2x-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,-2≤0成立,当a≠0时,由题意,得解得-2≤a<0,综上所述,a∈[-2,0].答案:[-2,0]三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|x2-1<0},B={x|x+a>0}.(1)若a=-,求A∩B.(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-1<x<1}.(1)当a=-时,B==,所以A∩B=.(2)若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|x>-a},所以-a≤-1,即a≥1.17.(12分)设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求a,b,c的值.【解析】因为A∩B={-3},所以-3∈A,且-3∈B,所以(-3)2-3a-12=0,解得a=-1,A={x|x2-x-12=0}={-3,4}.因为A∪B={-3,4},且A≠B,所以B={-3},即方程x2+bx+c=0有两个等根为-3,所以即b=6,c=9.综上a,b,c的值分别为-1,6,9.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:函数y=-(5-2a)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R得x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,a>1,由函数y=-(5-2a)x是减函数,得5-2a>1,所以a<2.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q必为一真一假,当p真q假时,所以a≥2.当p假q真时,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是a≥2或a≤1.【加固训练】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p∨q为真命题,p∧q为假命题,等价于p真q假或者p假q真.若p真q假,则实数m满足解得m≥3;若p假q真,则实数m满足解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).19.(12分)(2016·青岛模拟)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.(1)求p中对应x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,即p中对应x的取值范围为1≤x≤4.(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0.当a=2时,不等式的解为x=2,对应的解集为B={2};当a>2时,不等式的解为2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a};当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}.若p是q的必要不充分条件,则B A,当a=2时,满足条件;当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},要使B A,则满足2<a≤4;当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使B A,则满足1≤a<2.综上,1≤a≤4.20.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围.ðA)∩B.(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(R【解题提示】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.(2)先由题意确定a的值,再求解.【解析】A={y|y<a或y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.(1)当A∩B=∅时,解得≤a≤2或a≤-.即a∈(-∞,-]∪[,2].(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,依题意Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2.所以a的最小值为-2.当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.所以∁R A={y|-2≤y≤5},故(∁R A)∩B={y|2≤y≤4}.21.(14分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.【解题提示】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件,必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且<0,方程有一正一负两个根.所以充分性得证.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.当a=0时,符合条件.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1.当a<1时,若方程有且只有一负根,则所以a<0.所以必要性得证.综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.。

课时提能演练(九)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·珠海模拟)函数y=2(x+2)的定义域为( ) (A)(-∞,-1)∪(3,+∞) (B)(-∞,-1)∪［3,+∞) (C)(-2,-1) (D)(-2,-1］∪［3,+∞)2.（2012·莆田模拟）设f(x)=()x 1232e x 2log x 1 x 2-⎧<⎪⎨-≥⎪⎩,则不等式f(x)>2的解集为（ ）(A)（1，2）∪（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）∪（10，+∞） (D)（1，2）3.设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f(x)=12log (1-x)，则函数f(x)在(1，2)上( )(A)是增函数，且f(x)<0 (B)是增函数，且f(x)>0 (C)是减函数，且f(x)<0 (D)是减函数，且f(x)>04.已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m 、n 满足m ＜n ，且f(m)=f(n)，若f(x) 在区间[m 2,n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为( )(A)12、2 (B)12、4(C)2、14、45. （2012·福州模拟）函数f(x)=log a (2-ax 2)在（0，1）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）(A)［12，1） (B)（1，2） (C)（12，1） (D)（1，2］6.（预测题）已知函数f(x)= ()3lgx,x 23lg 3x ,x 2⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，＜若方程f(x)=k 无实数根，则实数k 的取值范围是( )(A)(-∞,0) (B)(-∞,1) (C)(-∞,lg 32) (D)(lg 32,+∞) 二、填空题(每小题6分，共18分)7.23lg lg87-+8.(2012·青岛模拟)函数y=f(x)的图象与y=2x 的图象关于直线y=x 对称，则函数y=f(4x-x 2)的递增区间是_________.9.定义在R 上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且f(x)在(1,+∞)上是增函数，设a=f(0),b=f(log 214),c=f(lg 3π),则a,b,c 从小到大的顺序是______.三、解答题(每小题15分，共30分)10.若函数y=lg(3-4x+x 2)的定义域为M.当x ∈M 时，求f(x)=2x+2-3×4x 的最值及相应的x 的值.11.(2012·厦门模拟)已知函数f(x)=lnx 1x 1+-. (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性; (2)对于x ∈［2,6］,f(x)= ln x 1x 1+-＞ln ()()mx 17x --恒成立，求实数m 的取值范围. 【探究创新】(16分)已知函数f(x)=log a (3-ax).(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选D.要使函数有意义，需2x 2x 30x 20⎧--≥⎨+⎩，＞得-2＜x ≤-1或x ≥3,即x ∈(-2,-1］∪［3,+≦),故选D.2.【解析】选C.当x<2时，f(x)>2，即2e x-1>2, 解得1<x<2,当x ≥2时，f(x)>2，即log 3(x 2-1)>2,解得,综上所述，不等式的解集为（1，2）∪（10，+≦）.3.【解析】选D.f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，由x ∈(0,1)时，f(x)= 12log (1-x)是增函数且f(x)>0，得函数f(x)在(2，3)上也为增函数且f(x)>0，而直线x=2为函数的对称轴，则函数f(x)在(1，2)上是减函数，且f(x)>0，故选D. 4.【解析】选A.f(x)=|log 2x|= 22log x,x 1,log x,0x 1≥⎧⎨-⎩＜＜根据f(m)=f(n)及f(x)的单调性，知0＜m ＜1,n ＞1，又f(x)在[m 2,n]上的最大值为2，故f(m 2)=2,易得n=2,m=12.5.【解析】选D.由已知可知a>0,u(x)=2-ax 2在（0，1）上是减函数，≨f(x)=log a (2-ax 2)在（0，1）上是减函数.等价于()a 1u 10>⎧⎪⎨≥⎪⎩,即a 12a 0>⎧⎨-≥⎩,≨1<a ≤2.6.【解题指南】作出函数f(x)的图象，数形结合求解. 【解析】选C.在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k 的图象，如图所示，若两函数图象无交点，则k ＜lg 32.7.【解析】原式=lg4+12lg2-lg7-23lg8+lg7+12lg5=2lg2+12(lg2+lg5)-2lg2=12.答案：128.【解题指南】关键是求出f(4x-x 2)的解析式，再求递增区间. 【解析】≧y=2x 的反函数为y=log 2x ， ≨f(x)=log 2x,f(4x-x 2)=log 2(4x-x 2). 令t=4x-x 2,则t ＞0,即4x-x 2＞0,≨x ∈(0,4), 又≧t=-x 2+4x 的对称轴为x=2，且对数的底数大于1， ≨y=f(4x-x 2)的递增区间为(0，2). 答案：(0，2)9.【解析】由f(2-x)=f(x)，可知对称轴x 0=2x x2-+=1,图象大致如图， ≧log 214=log 22-2=-2,-2＜0＜lg 3π＜1,≨结合图象知f(lg 3π)＜f(0)＜f(log 214)，即c ＜a ＜b. 答案：c ＜a ＜b10.【解析】≧y=lg(3-4x+x 2),≨3-4x+x 2＞0, 解得x ＜1或x ＞3, ≨M={x|x ＜1或x ＞3}, f(x)=2x+2-3×4x =4×2x -3×(2x )2.令2x =t,≧x ＜1或x ＞3,≨t ＞8或0＜t ＜2.设g(t)=4t-3t 2 ≨g(t)=4t-3t 2=-3(t-23)2+43(t ＞8或0＜t ＜2). 由二次函数性质可知： 当0＜t ＜2时，g(t)∈(-4,43], 当t ＞8时，g(t)∈(-≦,-160), ≨当2x =t=23,即x=log 223时，f(x)max =43.综上可知：当x=log 223时，f(x)取到最大值为43,无最小值. 【变式备选】设a ＞0,a ≠1，函数y=()2lg x 2x 3a -+有最大值，求函数f(x)=log a (3-2x-x 2)的单调区间.【解析】设t=lg(x 2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当x=1时，t 有最小值lg2, 又因为函数y=()2lg x 2x 3a -+有最大值，所以0＜a ＜1.又因为f(x)=log a (3-2x-x 2)的定义域为{x|-3＜x ＜1}, 令u=3-2x-x 2,x ∈(-3,1),则y=log a u. 因为y=log a u 在定义域内是减函数， 当x ∈(-3,-1]时，u=-(x+1)2+4是增函数， 所以f(x)在(-3,-1]上是减函数.同理，f(x)在[-1,1)上是增函数.故f(x)的单调减区间为(-3，-1]，单调增区间为[-1，1).11.【解析】(1)由x 1x 1+-＞0,解得x ＜-1或x ＞1，≨定义域为(-≦,-1)∪(1,+≦),当x ∈(-≦,-1)∪(1,+≦)时，f(-x)=ln x 1x 1-+--=ln x 1x 1-+=ln(x 1x 1+-)-1=-ln x 1x 1+-=-f(x),≨f(x)=ln x 1x 1+-是奇函数.(2)由x ∈［2,6］时， f(x)=ln x 1x 1+-＞ln ()()mx 17x --恒成立， ≨x 1x 1+-＞()()m x 17x --＞0,≧x ∈［2,6］，≨0＜m ＜(x+1)(7-x)在x ∈［2,6］上成立.令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x ∈［2,6］,由二次函数的性质可知x ∈［2,3］时函数单调递增，x ∈［3,6］时函数单调递减， x ∈［2,6］时，g(x)min =g(6)=7,≨0＜m ＜7. 【探究创新】【解析】(1)由题设，3-ax ＞0对一切x ∈[0,2]恒成立，设g(x)=3-ax,≧a ＞0,且a ≠1,≨g(x)=3-ax 在[0,2]上为减函数. 从而g(2)=3-2a ＞0,≨a ＜32. ≨a 的取值范围为(0，1)∪(1，32). (2)假设存在这样的实数a, 由题设知f(1)=1,即log a (3-a)=1,≨a=32. 此时f(x)= 32log (3-32x),当x=2时，f(x)没有意义，故这样的实数a 不存在.。

单元评估检测(九)第九章(90分钟120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·宿州模拟)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A.6B.8C.10D.12【解析】选B.设样本容量为N,则N×=6,所以N=14,所以高二年级所抽人数为14×=8.2.(2015·赣州模拟)在某次测量中得到的A样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.平均数B.标准差C.众数D.中位数【解析】选B.由A组数据为42,43,46,52,42,50,B组数据为37,38,41,47,37,45.可知平均数、众数、中位数都发生了变化,比原来A组数据对应量都减小了5,但标准差不发生变化,故选B.3.在如图所示的计算1+3+5+…+2 015的程序框图中,判断框内应填入( )A.i≤1 008B.i≤2 013C.i<2 015D.i≤2 015【解析】选D.由程序框图知,S=1+3+5+…+2 015,i初始值为1,每次增加2,S中加上的最后一项为2 015,故判断框中的条件应为i≤2 015.4.(2015·景德镇模拟)在样本频率分布直方图中,共有五个小长方形,这五个小长方形的面积由小到大成等差数列{a n}.已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( )A.100B.120C.150D.200【解析】选A.设公差为d,则a1+d=2a1,所以a1=d,所以d+2d+3d+4d+5d=1,所以d=,所以面积最大的一组的频率等于×5=.所以小长方形面积最大的一组的频数为300×=100.5.(2015·淮北模拟)为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应为( )A.13B.19C.20D.51【解析】选C.抽样间隔为46-33=13,故另一位同学的编号为7+13=20,选C.6.(2015·太原模拟)已知x,y 的取值如表所示:从散点图分析,y 与x 线性相关,且y=0.8x+a,则a= ( ) A.0.8 B.1 C.1.2 D.1.5【解析】选B.==2,==2.6,又因为回归直线y=0.8x+a 过样本点中心(2,2.6), 所以2.6=0.8×2+a,解得a=1.7.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:据此估计允许参加面试的分数线大约是 ( ) A.75 B.80 C.85 D.90【解析】选B.由题可知,在24名笔试者中应选出6人参加面试,由表可得面试分数线大约为80.8.样本(x 1,x 2,…,x m )的平均数为,样本(y 1,y 2,…,y n )的平均数为(≠).若样本(x1,x 2,…,x m ,y 1,y 2,…,y n )的平均数=α+(1-α),其中0<α≤,则m,n 的大小关系为 ( )A.m<nB.m ≤nC.m>nD.m ≥n【解析】选B.由题意可得=,=,===+,则0<α=≤,解得m≤n.9.(2015·南昌模拟)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:计算可得χ2=≈7.8.附表:参照附表,得到的正确结论是( )A.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.根据独立性检验的定义,由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.10.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( )A.3B.-6C.10D.-15【解析】选D.程序运行过程为:i=1,S=0→S=0-12=-1,i=2→S=-1+22,i=3,由于判断条件i<6,所以当i=5时,执行最后一次后输出S的值,所以S=-1+22-32+42-52=-15.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·萍乡模拟)将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是.【解析】依据系统抽样方法的定义得知,将这60名学生依次按编号每12人作为一组,即01～12,13～24,…,49～60,当第一组抽得的号码是04时,剩下的四个号码依次是16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码).答案:16,28,40,5212.如图所示,程序框图(算法框图)的输出结果是 .【解析】由T=T+k可知T是一个累加变量,题目实质为求1+2+3+…+k 的和,其和为.令≤105,得k≤14.故当k=15时,T=1+2+3+…+15=120>105,此时输出k=15.答案:1513.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:由表中数据,求得线性回归方程为y=-4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为.【解析】==,==80,因为回归直线过点,所以a=106,所以y=-4x+106,所以点(5,84),(9,68)在回归直线左下方,故所求概率P==.答案:14.某单位为了制定节能减排的计划,随机统计了某4天的用电量y(单位:度)与当天气温x(单位:℃),并制作了对照表(如表所示).由表中数据,得线性回归方程y=-2x+a,当某天的气温为-5℃时,预测当天的用电量约为度.【解析】气温的平均值=×(18+13+10-1)=10,用电量的平均值=×(24+34+38+64)=40,因为回归直线必经过点(,),将其代入线性回归方程得40=-2×10+a,解得a=60,故回归方程为y=-2x+60.当x=-5时,y=-2×(-5)+60=70.所以当某天的气温为-5℃时,预测当天的用电量约为70度.答案:7015.若执行如图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=4,x4=8,则输出的数等于.【解析】由循环结构知本题实质是求输入的4个数x1,x2,x3,x4的平均数x==,所以输出x=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)(2015·安康模拟)在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩,按成绩分组,得到频率分布表如下:为了选拔出最优秀的公务员,政府决定在第3,4,5组中用分层抽样法抽取12名考生进行第二轮选拔,分别求第3,4,5组每组进入第二轮选拔的考生人数.【解析】由题意可知,第2组的频数为500×0.350=175,所以第3,4,5组共有考生500-25-175=300(名),则第4组有100名考生,所以第3组抽取的人数为:×12=6,第4组抽取的人数为:×12=4,第5组抽取的人数为:×12=2.17.(10分)某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第三、四、五组的频率.(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买,求他抽到的两个产品均来自第三组的概率.【解析】(1)第三组的频率是0.150×2=0.3;第四组的频率是0.100×2=0.2;第五组的频率是0.050×2=0.1.(2)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A,由题意可知,从第三、四、五组中分别抽取3个,2个,1个.不妨设第三组抽到的是A1,A2,A3;第四组抽到的是B1,B2;第五组抽到的是C1,所含基本事件总数为:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C1},{A2,B1},{A2,B2},{ A2,C1},{A3,B1},{A3,B2},{A3,C1},{B1,B2},{B1,C1},{B2,C1},所以P(A)==.18.(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:(1)用茎叶图表示这两组数据.(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【解析】(1)作出茎叶图如图:(2)派甲参赛比较合适,理由如下:=(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85,=(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,=[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,=[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41,因为=,<,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分,如:从统计的角度看,甲获得85分以上(含85分)的概率P1=,乙获得85分以上(含85分)的概率P2==.因为P2>P1,所以派乙参赛比较合适.19.(13分)(2015·渭南模拟)甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人,1 000人,为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:甲校:乙校:(1)计算x,y的值.(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,请分别估计两所学校数学成绩的优秀率.(3)由以上统计数据填写2×2列联表,并判断两所学校的数学成绩有差异吗?【解析】(1)从甲校抽取110×=60(人),从乙校抽取110×=50(人),故x=10,y=7.(2)估计甲校数学成绩的优秀率为×100%=25%, 乙校数学成绩的优秀率为×100%=40%. (3)表格填写如下,χ2=≈2.829>2.706,故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.【加固训练】1.某网站于2014年10月18日至24日,在全国范围内进行了持续一周的在线调查,随机抽取其中200名大中小学生的调查情况,就每天的睡眠时间分组整理如表所示:(1)估计每天睡眠时间小于8小时的学生所占的百分比约是多少?(2)该网站利用下边的算法框图,对样本数据作进一步统计分析,求输出的S的值,并说明S的统计意义.【解析】(1)由样本数据可知,每天睡眠时间小于8小时的频率是P=1-(0.10+0.02)=0.88.由此估计每天睡眠时间小于8小时的学生约占88%.(2)输入m1,f1的值后,由赋值语句S=S+m i·f i可知,流程图进入一个求和状态.设a i=m i·f i(i=1,2,…,6),数列{a i}的前i项和为T i,则T6=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.7.故输出的S值为6.7.S的统计意义是指被调查者每天的平均睡眠时间估计为6.7小时.2.一次考试中,5名学生的数学、物理成绩如表所示:(1)要从5名学生中选2名参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率.(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程y=bx+a.【解析】(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2),(A4,A3),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共10种情况. 其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有:(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2),(A4,A3),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),共7种情况,故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率为P=. (2)散点图如图所示.可求得:==93,==90,(x i-)(y i-)=30,(x i-)2=(-4)2+(-2)2+02+22+42=40,b==0.75,a=-b=90-0.75×93=20.25,故所求的线性回归方程是y=0.75x+20.25.。