第二节偏导数

V k , T V, T P P k
从而
P V
V T

T P


kT V2
k P
V k

kT PV

1
.
2019年12月24日星期二
徐州工程学院数理学院
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警告各位！
偏导数 z 是一个整体记号, 不能拆分. x
不能像一元函数那样将 z , z 看成是
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1997年研究生考题, 选择, 3分
f
(
x,
y)


x2
xy
y2
( x, y) (0,0)在点(0,0)处( C
).
0 ( x, y) (0,0)
A. 连续,偏导数存在;
B. 连续,偏导数不存在; C. 不连续,偏导数存在; D. 不连续,偏导数不存在.
x y
z 与 x , y 的商.
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例7 求 u e x xy2z3 的偏导数 .
解:
u e xxy2z3 (1 y2 ) ;
x
u e xxy2z3 2x y ; y
u e xxy2z3 (3z2 ) . z
函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量), 即
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0

例6 设u eax cosby,求u的二阶偏导数 .
解 u aeax cosby, x
u beax sin by, y
2u x2
a2eax
cos by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
定理 若z f ( x, y)的混合偏导数 2z 和 2z 在D内连续, xy yx
f x( x0 , y0 ).
记作 :
z ,
x x x0 y y0
f ,
x x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
f x ( x0 , y0 ),
f x( x0 , y0 ).
同理z f ( x, y)在( x0 , y0 )处对y的偏导数定义为
lim yz lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ,
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x r y r z r
x2 y2 z2
r2 r.
x y z r r r r
◆有关偏导数的两点说明： １、偏导数 z 是一个整体记号 ,不能拆分; x ２、 求分界点处的偏导数要用定义求. 例如, 设z f ( x, y) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
y y0
z () y x x0
y y0
z x x x0
y y0
z () , x x x0
y y0

2 2
(x y )
2

x y
2 2
2 2
(x y )
2
0.
z
2
z
2
yx
例 7
xy
在区域 D 内连续，那末在该区域内这
两个二阶混合偏导数必相等．
验证函数 u( x , y ) ln
x y 满足拉普拉
2 2
斯方程
解 ln
u x
2
x y
2 2
1 2
ln( x y ),
2 2

x x y
2
2
u
2
,
2
y

y x y
例 4
已知理想气体的状态方程 pV RT
p V T 1 . （ R 为常数） ，求证： V T p
证
p
RT V

p V
V T T p

RT V
2
;
V
RT p

V
R p ;
;
T
p V V T
pV R
T p

RT pV
偏 导 数
我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自 变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如 下定义。
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设 函 数 z f ( x , y ) 在 点( x0 , y0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 定 义 ， 当 y 固 定 在 y0 而 x 在 x 0 处 有 增 量

2 2
∂2 f ∂2 f = 。 ∂x∂y ∂y∂x
∂u ∂u ∂u , . 例8 u = x + ln 1 + z ，求 2 ， ∂x ∂y∂x ∂z∂y
2 2 2 2y 2
∂u 2 y −1 ∂ u [解] , = 2 x 2 y ln x , = 2 yx ∂x ∂y 1 z z ∂u ∂ 2u 2 y−2 ; = ⋅ = 2 2 = 2 y ( 2 y − 1) x 2 2 1 + z ∂x ∂z 1+ z 1+ z
类似于一元函数的求导 法则, 成立下述求导公式 ur ur uur ur ur r dC d ( A + B) d A d B = 0 (C为常向量 ), = + dt dt dt dt
ur ur r ur d ( A ⋅ B ) d A ur ur d B = ⋅ B + A⋅ dt dt dt ur ur ur ur d ( A × B ) d A ur ur d B = × B + A× dt dt dt
2
∂z xy 2 2 xy 2 [解 ] = e ( xy ) x = e ⋅ y 2 ∂x
2
∂z ∂ 2z ,求 和 . ∂x ∂x∂y
∂ z ∂ ∂z xy 2 xy 2 2 = ( ) = (e ) y ⋅ y + (e )( y 2 ) y ∂ x∂ y ∂ y ∂ x =e
xy 2
⋅ 2 xy ⋅ y + e
r ∂A( x , y , z , t ) ∂Ax ∂Ay ∂Az , , 类似地, 有 = ∂y ∂y ∂y ∂y ur ur ∂ A ∂Ax ∂Ay ∂Az ∂ A ∂Ax ∂Ay ∂Az , , , , = = , ∂z ∂ z ∂ z ∂z ∂ t ∂t ∂ t ∂t r ur 特别地，若向量函数A = A( t )仅依赖于一个自变量t , ur r r u r A( t ) = Ax ( t )i + Ay ( t ) j + Az ( t )k , 则 ur r dAx r dA y r dAz u d A r′ i+ j+ k = A (t ) = dt dt dt dt