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龙格-库塔方法〔Runge-Kutta〕3.2 Runge-Kutta法3.2.1 显式Runge-Kutta法的一般形式上节已给出与初值问题(1.2.1)等价的积分形式(3.2.1)只要对右端积分用不同的数值求积公式近似就可得到不同的求解初值问题(1.2.1)的数值方法，若用显式单步法(3.2.2)当，即数值求积用左矩形公式，它就是Euler法(3.1.2)，方法只有一阶精度，若取(3.2.3)就是改进Euler法，这时数值求积公式是梯形公式的一种近似，计算时要用二个右端函数f的值，但方法是二阶精度的.若要得到更高阶的公式，则求积分时必须用更多的f值，根据数值积分公式，可将(3.2.1)右端积分表示为注意，右端f中还不能直接得到，需要像改进Euler法(3.1.11)一样，用前面已算得的f值表示为(3.2.3)，一般情况可将(3.2.2)的 表示为(3.2.4)其中这里均为待定常数，公式(3.2.2)，(3.2.4)称为r级的显式Runge-Kutta法，简称R-K方法.它每步计算r个f值(即由前面(i-1)个已算出的表示，故公式是显式的.例)，而ki如当r=2时，公式可表示为(3.2.5)其中.改进Euler 法(3.1.11)就是一个二级显式R-K 方法.参数取不同的值，可得到不同公式.3.2.2 二、三级显式R-K 方法对r=2的显式R-K 方法(3.2.5)，要求选择参数，使公式的精度阶p 尽量高，由局部截断误差定义11122211()()[(,())(,)]n n n n n n n T y x y x h c f x y x c f x a h y b hk ++=--+++ (3.2.6)令，对(3.2.6)式在处按Taylor 公式展开，由于将上述结果代入(3.2.6)得要使公式(3.2.5)具有的阶p=2,即，必须(3.2.7)即由此三式求的解不唯一.因r=2，由〔3.2.5〕式可知，于是有解(3.2.8)它表明使(3.2.5)具有二阶的方法很多，只要都可得到二阶精度R-K方法.若取，则，则得改进Euler法(3.1.11)，若取，则得，此时(3.2.5)为(3.2.9)其中称为中点公式.改进的Euler法(3.1.11)与中点公式(3.2.9)是两个常用的二级R-K方法，注意二级R-K方法只能达到二阶，而不可能达到三阶.因为r=2只有4个参数，要达到p=3则在(3.2.6)的展开式中要增加3项，即增加三个方程,加上(3.2.7)的三个方程，共计六个方程求4个待定参数，验证得出是无解的.当然r=2,p=2的R-K方法(3.2.5)当取其他数时，也可得到其他公式，但系数较复杂，一般不再给出.对r=3的情形，要计算三个k值，即其中将按二元函数在处按Taylor公式展开，然后代入局部截断误差表达式，可得可得三阶方法，其系数共有8个，所应满足的方程为(3.2.10)这是8个未知数6个方程的方程组，解也是不唯一的，通常.一种常见的三级三阶R-K方法是下面的三级Kutta方法：(3.2.11)附：R-K 的三级Kutta 方法程序如下function y = DELGKT3_kuta(f, h,a,b,y0,varvec) format long; N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1); y(1) = y0; x = a:h:b;var = findsym(f); for i=2:N+1K1 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);K2 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-1)+K1*h/2]); K3 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h y(i-1)-h*K1+K2*2*h]);y(i) = y(i-1)+h*(K1+4*K2+K3)/6; %满足c1+c2+c3=1,(1/6 4/6 1/6)endformat short; 3.2.3 四阶R-K 方法与步长的自动选择利用二元函数Taylor 展开式可以确定(3.2.4)中r=4,p=4的R-K 方法，其迭代公式为111223344()n n y y h c k c k c k c k +=++++其中1(,)n n k f x y =，2221(,(,))n n n n k f x a h y b hf x y =++，而33311322(,)n n k f x a h y b hk b hk =+++ 44411422433(,)n n k f x a h y b hk b hk b hk =++++共计13个参数待定，Taylor 展开分析局部截断误差，使得精度达到四阶，即误差为5()O h 。
毕业设计题目：刚性系统的隐式RK方法学院：数理学院专业名称：信息与计算科学学号： ************学生姓名：**指导教师：***2016年05月15日摘要本文主要介绍单步隐式Runge – Kutta方法,简要的介绍了Gauss型隐式Runge – Kutta方法、Radau型隐式Runge – Kutta方法和Lobatto型隐式Runge – Kutta方法。
并利用这些基本的隐式Runge – Kutta方法来对刚性方程组进行数值求解，并将隐式Runge – Kutta方法与显式经典Runge – Kutta方法求解的结果进行对比，说明两种数值解法的优缺点。
关键词：刚性系统隐式Runge – Kutta方法单步方法Newton迭代法AbstractThis paper mainly introduces the Implicit Runge-Kutta Methods and a simple description of Gauss implicit Runge-Kutta method ,Radau implicit Runge-Kutta method and Lobatto implicit Runge-Kutta method . These basic Implicit Runge-Kutta methods are used to solve the stiff equations. These implicit Runge-Kutta methods iare compared with the classical explicit Runge-Kutta method. This paper explain the advantages and disadvantages of the two kind of numerical methods.Keywords: Stiff system Implicit Runge-Kutta method One step method Newton iterative method目录1.绪论 (1)1.1刚性方程 (1)1.2隐式RK方法的研究意义 (2)1.3 RK方法的研究现状 (3)2.单步RK方法的收敛性和稳定性 (5)2.1单步RK方法的收敛性 (5)2.2单步RK方法的稳定性 (6)3.三类隐式RK方法 (8)3.1引言 (8)3.2 Gauss型隐式RK方法 (9)3.3 Radau型隐式RK方法 (10)3.4 Lobatto型隐式RK方法 (11)4隐式RK方法的实现 (13)4.1非线性系统的改进 (13)4.2简化的Newton迭代法 (13)5数值实验与结果分析 (15)参考文献 (18)附录 (21)1.绪论1.1刚性方程对于一般的线性常系数系统y′=Ay+φ(t) A为m×m的矩阵，特征值为λi(i=1,2,⋯,m)。
