2021年中考数学模拟试题解析版

2021年上海市黄浦区中考数学模拟试卷解析版一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（ ） A ．8B ．6C ．2√2D ．2【解答】解：若b 是a 、c 的比例中项， 即b 2＝ac ． 42＝2c ， 解得c ＝8， 故选：A ．2．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝m ，∠A ＝α，那么AC 的长为（ ） A ．m •sin αB ．m •cos αC ．m •tan αD ．m •cot α【解答】解：由题意，得 cos A =ACAB， AC ＝AB •cos A ＝m •cos α， 故选：B ．3．（4分）已知一个单位向量e →，设a →、b →是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A ．1|a →|a →=e →B ．|e →|a →=a →C ．|b →|e →=b →D ．1|a →|a →=1|b →|b →【解答】解：A 、1|a →|•a →与e →的模相等，方向不一定相同．故错误．B 、正确．C 、|b|→e →与b →的模相等，方向不一定相同，故错误． D 、1|a →|•a →与1|b →|•b →的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B ．4．（4分）已知二次函数y ＝x 2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（ ） A ．y ＝（x +1）2+2B ．y ＝（x +1）2﹣2C ．y ＝（x ﹣1）2+2D ．y ＝（x ﹣1）2﹣2【解答】解：二次函数y ＝x 2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y ＝（x +1）2﹣2． 故选：B ．5．（4分）在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ＝60°，AB DF=AC DE，如果∠B ＝50°，那么∠E的度数是（ ） A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【解答】解：∵∠A ＝∠D ＝60°，AB DF=AC DE，∴△ABC ∽△DFE ，∴∠B ＝∠F ＝50°，∠C ＝∠E ＝180°﹣60°﹣50°＝70° 故选：C ．6．（4分）如图，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）A ．AD AB=DE BCB ．AD AC=AE ABC ．AD •AB ＝DE •BCD ．AD •AC ＝AB •AE【解答】解：∵∠EAD ＝∠CAB ， ∴当AE AC=AD AB，即AD •AC ＝AB •AE ， ∴ED ∥BC ， 故选：D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）计算：2（3b →−2a →）+（a →−2b →）＝ ﹣3a →+4b →．【解答】解：2（3b →−2a →）+（a →−2b →）＝6b →−4a →+a →−2b →=−3a →+4b →， 故答案为﹣3a →+4b →．8．（4分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果AE ＝5，EC ＝3，DE ＝4，那么线段BC 的长是325．【解答】解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC =AE AC ，∴4BC=58，∴BC =325， 故答案为325．9．（4分）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果AB BC=23，DF ＝15，那么线段DE 的长是 6 ．【解答】解：∵AD ∥BE ∥CF ， ∴AB BC=DE EF=23，∵DF ＝15， ∴DE EF=DE DF−DE=DE 15−DE=23，解得：DE ＝6， 故答案为：610．（4分）如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），那么BPAP 的值是 √5−12．【解答】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），∴BP AP=AP AB=√5−12． 故答案为√5−12． 11．（4分）写出一个对称轴是直线x ＝1，且经过原点的抛物线的表达式 答案不唯一（如 y ＝x 2﹣2x ） ．【解答】解：符合的表达式是 y ＝x 2﹣2x ， 故答案为 y ＝x 2﹣2x ．12．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC =23，那么线段AB 的长是 2√5 ．【解答】解：在Rt △BDC 中， ∵BC ＝4，sin ∠DBC =23，∴CD ＝BC ×sin ∠DBC ＝4×23=83， ∴BD =√BC 2−CD 2=4√53， ∵∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ， ∴∠A ＝∠DBC ， 在Rt △ABD 中， ∴AB =BD sin∠A =4√53×32=2√5， 故答案为：2√5．13．（4分）如果等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠B =13，那么cos ∠A ＝79．【解答】解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴∠ADB ＝90°∴在△ADC 中，cos ∠B =BD AB =13， ∴BD =13AB ＝1．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ∴BD ＝DC ， ∴BC ＝2，∴AD =√AB 2−BD 2=√32−12=2√2 ∵12AB •CE =12BC ⋅AD ，∴CE =BC⋅AD AB=2×2√23=4√23， ∴AE =√AC 2−CE 2=73∴cos ∠A =AE AC =733=79，故答案为79．14．（4分）如图，在△ABC 中，BC ＝12，BC 上的高AH ＝8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是 y =−32x 2+12x ．（不需写出x 的取值范围）．【解答】解：∵四边形DEFG 是矩形，BC ＝12，BC 上的高AH ＝8，DE ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ， ∴DG ∥EF ， ∴△ADG ∽△ABC ， ∴8−x 8=DG 12，得DG =3(8−x)2，∴y ＝x ⋅3(8−x)2=−32x 2+12x ， 故答案为：y =−32x 2+12x ．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD ＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 9.6 厘米．【解答】解：如图所示：作BE ⊥AE 于点E ， 由题意可得，BC ＝6cm ，CF =12DC ＝8cm ， 故BF =√FC 2+BC 2=√62+82=10（cm ）， 可得：∠CFB ＝∠BAE ，∠C ＝∠AEB ， 故△BFC ∽△BAE ， ∴BC EB =FB AB ，∴6BE=1016，解得：BE ＝9.6． 故答案为：9.6．16．（4分）在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 相似，如果AE ＝6，那么线段AD 的长是 8或92 ．【解答】解：如图 ∵∠DAE ＝∠BAC ，∴当△ADE ∽△ABC ， ∴AB AC =AD AE ，即129=AD 6，解得：AD ＝8， ∴当△AED ∽△ABC ， ∴AB AC =AE AD ，即129=6AD，解得：AD =92， 故答案为：8或9217．（4分）如图，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果AG ＝5，BF ＝6，那么线段CE 的长是92．【解答】解：如图，延长AG 交BC 于K ．∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ＝2GK ，BG ＝2GF ，CG ＝2EG ，∵AG ＝5，BF ＝6， ∴GK =52，BG ＝4， ∵CE ⊥BF ， ∴∠BGC ＝90°，∴BC ＝2GK ＝5，CG =√BC 2−BG 2=√52−42=3， ∴EG =12CG =32， ∴EC ＝3+32=92． 故答案为92．18．（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE ＝∠B ＝30°，且AD AE=32，那么DE BC的值是13√318−1 ．【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B ＝30°， ∵∠DAE ＝∠B ＝30°， ∴∠DAE ＝∠B ＝∠C ， ∵∠AED ＝∠BEA ， ∴△ADE ∽△BAE ， ∴AD AB=AE BE=DE AE，∴AE 2＝DE ×BE ， 同理：△ADE ∽△CDA ， ∴AD CD=DE AD，∴AD 2＝DE ×CD ， ∴AD 2AE =CD BE=（32）2=94，设CD ＝9x ，则BE ＝4x ，∵AD AB=AE BE，∴AB =AD AE ×BE =32×4x ＝6x ， 作AM ⊥BC 于M ，如图所示： ∵AB ＝AC ， ∴BM ＝CM =12BC ， ∵∠B ＝30°，∴AM =12AB ＝3x ，BM =√3AM ＝3√3x ， ∴BC ＝2BM ＝6√3x ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝13x ﹣6√3x ， ∴DE BC=√3x 6√3x =13√318−1；故答案为：13√318−1．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：cos30°tan60°−sin60°−cot45°．【解答】解：原式=√32√3−√321＝0．20．（10分）已知，如图，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且DE CE=12，设AB →=a →，AD →=b →．（1）用a →、b →表示AE →；（直接写出答案）（2）设AE →=c →，在答题卷中所给的图上画出a →−3c →的结果．【解答】解：（1）∵DE CE=12，即DE =12CE ，DE =13DC ，AE →=13a →+b →（2）如图所示：延长AE 、BC 交于G ，则即为a →−3c →的结果．∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ∴DE CE=AE EG=12∴AG ＝3AE 又∵AE →=c →∴＝3 ∴=a →−3c →．21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A 、B 位置，且离地面高均为1米（即AD ＝BE ＝1米），两台测角仪相距50米（即AB ＝50米）．在某一时刻无人机位于点C （点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30°，B 处测得其仰角为45°．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）【解答】解：（1）如图，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，∵∠CBA ＝45°，∴BH ＝CH ，设CH ＝x ，则BH ＝x ．∵在Rt △ACH 中，∠CAB ＝30°，∴AH =√3CH =√3x ．∴x +√3x =50．解得：x =3+1≈18， ∴18+1＝19．答：计算得到的无人机的高约为19m ；（2）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为点G ，在Rt △AGF 中，tan∠FAG =FG AG ，∴AG =FG tan40°≈180.84≈21.4，又AH =√3CH ≈31.14．∴31.14−21.42≈5，或31.14+21.42≈26答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =−14x 2−x +2，其顶点为A ．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot ∠ABC＝2，求点B坐标．【解答】解：（1）抛物线y=−14x2−x+2=−14（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），代入y=−14x2−x+2，得3−m=−14(−2m−2)2−(−2m−2)+2．解得m1＝0（舍），m2＝1，∴点B的坐标为（﹣4，2）．23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果CFDE =ACCD，求证：AC2BC2=AFBF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DAB ，∠CBF ＝∠DAB ，∴∠CDE ＝∠CBF ，∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，∴∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴BC BF =CD DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，CD ＝AB ，∴AD BF =AB DE ，∴AD •DE ＝AB •BF ．（2）∵CF DE =AC CD ，∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△ACF ∽△CDE ，又∵△CDE ∽△CBF ，∴△ACF ∽△CBF ，∴S △ACFS △CBF=AC 2BC ， ∵△ACF 与△CBF 等高， ∴S △ACFS △CBF=AF BF ， ∴AC 2BC =AF BF ．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y ＝x 2﹣2x +5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y ＝﹣x 2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y ＝x 2﹣2x +5＝（x ﹣1）2+4∴原抛物线顶点是（1，4），设影子抛物线表达式是y ＝x 2+n ，将（1，4）代入y ＝x 2+n ，解得n ＝3，所以“影子抛物线”的表达式是y ＝x 2+3；（2）设原抛物线表达式是y ＝﹣（x +m ）2+k ，则原抛物线顶点是（﹣m ，k ），将（﹣m ，k ）代入y ＝﹣x 2+5，得﹣（﹣m ）2+5＝k ①，将（1，0）代入y ＝﹣（x +m ）2+k ，0＝﹣（1+m ）2+k ②，由①、②解得 {m 1=1k 1=4，{m 2=−2k 2=1． 所以，原抛物线表达式是y ＝﹣（x +1）2+4或y ＝﹣（x ﹣2）2+1；（3）结论成立．设影子抛物线表达式是y ＝ax 2+n ．原抛物线于y 轴交点坐标为（0，c ）则两条原抛物线可表示为y1＝ax2+b1x+c与抛物线y2＝ax2+b2x+c（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是P1(−b12a，4ac−b124a)、P2(−b22a，4ac−b224a)将P1、P2分别代入y＝ax2+n，得{a(−b12a)2+n=4ac−b124a a(−b22a)2+n=4ac−b224a消去n得b12＝b22，∵b1≠b2，∴b1＝﹣b2∴P1(b22a，4ac−b224a)，P2(−b22a，4ac−b224a)，∴P1、P2关于y轴对称．25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y=S△BCES△AEF（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当S△BCES△AEF=7时，请直接写出线段AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴EG=EC⋅sin∠ACB=√32(2−x)，CG=EC⋅cos∠ACB=1−12x，∴BG＝2﹣CG＝1+12x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴1+12x=√32(2−x)，解得x=4−2√3．所以线段AE的长是4−2√3．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴∠CAF=12∠DAC=60°−α，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴S△BCES△AEF =BE2AE，由（1）得在Rt△CGE中，BG=1+12x，EG=√32(2−x)，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴y=x2−2x+42（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7=x2−2x+42，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x=23或﹣1（舍弃），AE=23．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y=x2+2x+4x2当y＝7时，7=x2+2x+4x2，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x=−23（舍弃）或1，∴AE＝1．。

2021年中考数学模拟试题一、选择题1. 若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则代数式a 2017+2016b+c 2018的值为（ ）A. 2018B. 2016C. 2017D. 0【答案】D【解析】【分析】根据已知求出a=-1，b=0，c=1，代入求出即可．【详解】根据题意知a=-1、b=0、c=1，则原式=（-1）2017+2016×0+12018 =-1+0+1=0，故选D ．【点睛】考查了绝对值、倒数、负数和求代数式的值等知识点，能根据题意求出a 、b 、c 的值是解此题的关键．2. 16的算术平方根是（ ）A. 4±B. 4-C. 2D. 4 【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根的定义求解即可，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么x 叫做a 的算术平方根．【详解】16的算术平方根是．故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．3. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】正面看到的平面图形即为主视图．【详解】立体图形的主视图为：D ；左视图为：C ；俯视图为：B故选：D ．【点睛】本题考查三视图，考查的是空间想象能力，解题关键是在脑海中构建出立体图形．4. 对于任意的x 值都有227221x M N x x x x +=++-+-，则M ，N 值为（ ） A. M ＝1，N ＝3B. M ＝﹣1，N ＝3C. M ＝2，N ＝4D. M ＝1，N ＝4 【答案】B【解析】【分析】先计算21M N x x ++-=()()222M N x M N x x ++-++- ,根据已知可得关于M 、N 的二元一次方程组227M N M N +⎧⎨-+⎩＝＝ ，解之可得．【详解】解：21M Nx x ++- =()()()()1221M x N x x x -+++- =()()222M N x M N x x ++-++-∴2272x x x ++-=()()222M N x M N x x ++-++- ∴227M N M N +⎧⎨-+⎩＝＝， 解得：13M N -⎧⎨=⎩＝， 故选B ．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M 、N 的方程组．5. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为（ ）A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°【答案】D【解析】【分析】 由题意直接根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理的运用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限，点A 的坐标是（﹣2，3），先把△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 1B 1C 1，再把△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 1，则点A 的对应点A 2的坐标是（ ）A. （5，2）B. （1，0）C. （3，﹣1）D. （5，﹣2）【答案】A【解析】【分析】根据平移变换，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【详解】解：如图，△A2B2C1即所求．观察图象可知：A2（5，2）故选A．【点睛】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．二、填空题7. 将201800000用科学记数法表示为_____．【答案】2.018×108．【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：将201800000用科学记数法表示为2.018×108． 故答案为2.018×108． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．8. x 的取值范围是_____．【答案】x ＞2019【解析】【分析】根据二次根式的定义进行解答.x-2019≥ 0，所以x 的取值范围是x ≥ 2019.【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是本题解题关键.9. 因式分解：a 3﹣2a 2b+ab 2=_____．【答案】a （a ﹣b ）2．【解析】【分析】先提公因式a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【详解】原式=a （a 2﹣2ab+b 2）=a （a ﹣b ）2，故答案为a （a ﹣b ）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10. 如果2(2a +=+，b 为有理数)，则a ＝_____，b ＝_____．【答案】 (1). 6 (2). 4【解析】【分析】先计算出（）2，再根据)2＝可得答案．【详解】解：∵（2＝+2＝，∴a ＝6、b ＝4．故答案为6、4．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．11. 若 m 、n 是方程 x 2+2018x ﹣1=0 的两个根，则 m 2n+mn 2﹣mn=_________．【答案】2019【解析】【分析】根据根与系数的关系得到 m+n=﹣2018，mn=﹣1，把 m 2n+mm 2﹣mn 分解因式得到 mn （m+n ﹣1），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 、n 是方程 x 2+2018x ﹣1=0 的两个根，20181m n mn +=-=-，，则原式=mn （m+n ﹣1）=﹣1×（﹣2018﹣1）=﹣1×（﹣2019）=2019，故答案为2019．【点睛】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的两根分别为1 x 与2 x ，则1212 b c x x x x a a，．+=-⋅=解题时要注意这两个关 系的合理应用．12. 小强在最近的5场篮球赛中，得分分别为10、13、9、8、10分．若小强下一场球赛得分是16分，则小强得分的平均数、中位数和众数中，发生改变的是____【答案】平均数【解析】试题分析：根据众数、中位数、平均数的定义求解可得．解： 原数据8、9、10、10、13的平均数为15（8+9+10+10+13）=10，众数为10、中位数为10， 新数据8、9、10、10、13、16的平均数为16（8+9+10+10+13+16）=11，众数为10、中位数为10， ∴发生改变的是平均数.故答案为平均数.13. 如图，点M 、N 分别是正五边形ABCDE 的两边AB 、BC 上的点．且AM=BN ，点O 是正五边形的中心，则∠MON 的度数是_____度．【答案】72【解析】【分析】连接OA 、OB 、OC ，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB ，证明△AOM ≌△BON ，根据全等三角形的性质得到∠BON=∠AOM ，得到答案．【详解】如图，连接OA 、OB 、OC ，∠AOB=3605︒=72°， ∵∠AOB=∠BOC ，OA=OB ，OB=OC ，∴∠OAB=∠OBC ，在△AOM 和△BON 中， OA OB OAM OBN AM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM ≌△BON ，∴∠BON=∠AOM ，∴∠MON=∠AOB=72°， 故答案为72．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14. 已知G 是直角三角形ABC 的内心，∠C =90°，AC =6，BC =8，则线段CG 的长为______．【答案】2【解析】试题分析： 作GD ⊥AC 于点D ，作GE ⊥BC 于E ，作GM ⊥AB 于M ，连接GA 、GB 、GC ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形的面积公式得出S △ACB =S △GAC +S △GBC +S △GAB ，代入求出GE =2，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得出CG 的长．解：作GD ⊥AC 于点D ，作GE ⊥BC 于点E ，作GM ⊥AB 于M ，连接GA 、GB 、GC .如图所示：设GM =r ，则GM =GD =GE =r ，∵AC =6,BC =8,∠C =90∘，由勾股定理得：AB =10，根据三角形的面积公式得：S △ACB =S △GAC +S △GBC +S △GAB ， ∴12AC ×BC =12AC ×r +12BC ×r +12AB ×r ， 即：12×6×8=12×6r +12×8r +12×10r ， 解得：r =2.则GE =2，∵G 是直角三角形ABC 的内心，∴∠GCE =12∠C =45∘， ∴CG 2GE 2. 故答案为2.15. 如果抛物线221y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于________．【答案】1【解析】【分析】将点（0，0）代入抛物线方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解：根据题意，知点（0，0）在抛物线221y x x m -＝＋＋上，∴0＝m －1，解得，m＝1；故答案是：1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题需知：二次函数图象上的点的坐标，都满足该二次函数的解析式．16. 如图，在反比例函数图象中，△AOB是等边三角形，点A在双曲线的一支上，将△AOB绕点O顺时针旋转α （0°＜α＜360°），使点A仍在双曲线上，则α＝_____．【答案】30°、180°、210°【解析】【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．【详解】解：根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y＝x对称，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴AO与直线y＝x的夹角是15°，∴α＝2×15°＝30°时点A落在双曲线上，根据反比例函数的中心对称性，∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，∴此时α＝180°，根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，∴此时α＝210°；故答案为30°、180°、210°．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，旋转的性质，等边三角形的性质．关键是通过旋转及双曲线的对称性得出结论．三、解答题17. 计算：-10 12sin452) 2π⎛⎫-︒⎪⎝⎭.【答案】3【解析】【分析】按顺序先分别进行负指数幂的计算、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、0次幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】-1012sin45+2+(2018-)2π⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭=2-222⨯++1 =3.【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值、0次幂的运算法则是解本题的关键.18. 解方程：x 21x 1x-=-. 【答案】2x =.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：x 2-2x+2=x 2-x ，解得：x=2，检验：当x=2时，方程左右两边相等，所以x=2是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19. 我省有关部门要求各中小学要把“阳光体育”写入课表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据，如图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？（2）本次抽样调查中，最喜欢足球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？（3）若该校九年级共有400名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为多少？【答案】（1）该校对50名学生进行了抽样调查；（2）最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%；（3）全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为720人．【解析】【分析】（1）根据条形统计图，求个部分数量的和即可；（2）根据部分除以总体求得百分比；（3）根据扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，求出百分比即可求解.【详解】（1）4+8+10+18+10=50（名）答：该校对50名学生进行了抽样调查．（2）最喜欢足球活动的有10人，10=20%50， ∴最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%．（3）全校学生人数：400÷（1﹣30%﹣24%﹣26%）=400÷20%=2000（人）则全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为2000×1850=720（人）． 【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚的表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反应部分占全体的百分比的大小.20. 甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是 ；（2）任选两名同学打第一场，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）13（2）16【解析】【分析】(1) 直接利用概率公式求解；（2）共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中甲、乙两位同学有12种情况.【详解】（1）(1)∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，∴P(恰好选中乙同学)=13；（2）随机选两位同学打第一场比赛，可能出现的结果有12种，即（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙），（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙），（丁，丙）、并且它们出现的可能性相等．恰好选中甲、乙两位同学（记为事件A）的结果有2种，即（甲，乙）、（乙，甲），所以P（A）＝16．【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题关键在于作出正确的判断.21. 已知2x﹣y＝1，且﹣1＜x＜2，求y的取值范围．【答案】－3＜y＜3【解析】试题分析：利用2x－y=1变形，用含y的式子表示x，再根据－1＜x＜2列出不等式组，解之即可.解：由2x－y=1，得x=12y+，则由－1＜x＜2得：112122yy+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩，解得：－3＜y＜3.22. 平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，连DE、F为线段DE上一点，且∠1=∠B．求证：△ADF∽△DEC．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：先由平行线的性质得出∠ADF=∠DEC，∠C+∠B=180°，再由∠1=∠B，∠1+∠AFD=180°可得出∠C=∠AFD，由此可得出结论．试题解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠DEC，∠C+∠B=180°．∵∠1=∠B，∠1+∠AFD=180°，∴∠C=∠AFD，∴△ADF∽△DEC．考点：1．相似三角形的判定；2．平行四边形的性质．23. 某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．【答案】这个包装盒的体积为90cm3【解析】试题分析：设这种长方体包装盒的高为x cm，则长为（13－2x）cm，宽为12（14－2x）cm．根据长方体表面公式，即可列出方程，求解即可．解：设高为x cm，则长为（13－2x）cm，宽为12（14－2x）cm．由题意，得，[（13－2x）12（14－2x）+12（14－2x）x＋x（13－2x）]×2＝146，解得：x1＝2，x2＝－9（舍去）.∴长为：9cm，宽为：5cm．长方体的体积为：9×5×2=90cm3．答：这个包装盒的体积为90cm3．点睛：本题主要涉及立体图形的平面展开图、立体图形的表面积、体积.解题的关键是设高为x cm，利用长方体表面积公式建立方程.24. 如图，已知∠ABM＝30°，AB＝20，C是射线BM上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是；（填写所有符合条件的序号）①AC＝13；②tan∠ACB＝125；③△ABC的面积为126．（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC的长．【答案】（1）②③；（2）答案见解析.【解析】试题分析：根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出BC的长，得到（1）（2）的答案．解：（1）②③；（2）方案一：选②作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∴AD＝AB·sin B＝10，BD＝AB·cos B＝3在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴CD＝tan ADACB＝256．∴BC＝BD＋CD＝3256．25. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm．(1)若花园的面积为252m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．【答案】（1）18m或14m；（2）花园面积的最大值是255平方米．【解析】【分析】（1）根据AB=x米可知BC=（32-x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；（2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论．【详解】解：（1）设AB=x米，可知BC=（32-x）米，根据题意得：x（32-x）=252．解这个方程得：x1=18，x2=14，答：x的长度18m或14m．（2）设周围的矩形面积为S，则S=x（32-x）=-（x-16）2+256．∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和6米，∴6≤x≤15．∴当x=15时，S最大= -（15-16）2+256=255（平方米）．答：花园面积的最大值是255平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键．26. 阅读：已知△ABC，用直尺与圆规，在直线BC上方的平面内作一点M（不与点A重合），使∠BMC＝∠BAC（如图1）．小明利用“同弧所对的圆周角相等”这条性质解决了这个问题，下面是他的作图过程：第一步：分别作AB、BC的中垂线（虚线部分），设交点为O；第二步：以O为圆心，OA为半径画圆（即△ABC的外接圆）第三步：在弦BC上方的弧上（异于A点）取一点M，连结MB、MC，则∠BMC＝∠BAC．（如图2）思考：如图2，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝10，E CD上一点，DE＝2．（1）请利用小明上面操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC ＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析；（2）310【解析】【分析】（1）作BC 的垂直平分线，交BE 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作圆，交垂直平分线于点P ，则点P 为所求．（2）先根据AD=6，CD=10，DE=2知CE=8，BE=10，从而得OB=OP=5，再由BQ=CQ=12BC=3得OQ=4，再根据勾股定理求解可得．【详解】解：（1）如图所示，点P 即为所求：（2）∵CD ＝10，DE ＝2， ∴CE ＝8，∵BC ＝AD ＝6，∴BE ＝10，则OP ＝OB ＝5，∵BQ ＝CQ ＝12BC ＝3， ∴OQ ＝4，则PQ ＝9，∴PC 22CQ PQ +2239+＝10．【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理、线段垂直平分线的尺规作图、矩形的性质及勾股定理等知识点．27. 如图，在Rt △ABO 中，∠BAO ＝90°，AO ＝AB ，BO ＝2，点A 的坐标（﹣8，0），点C 在线段AO 上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动，运动时间为t秒，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点E，分别交BO于点F，交y轴于点D．（1）用t表示点D的坐标；（2）如图1，连接CF，当t＝2时，求证：∠FCO＝∠BCA；（3）如图2，当BC平分∠ABO时，求t的值．【答案】（1）（0，2t）；（2）见解析；（3）t=421）【解析】【分析】（1）由已知条件可证明△ABC≌△OAD，根据全等三角形的性质即可求出点D的坐标；（2）由（1）的结论可证明△FOD≌△FOC，从而∠FCO＝∠FDO，再根据（1）中△ABC≌△OAD，可得∠ACB＝∠ADO，进而∠FCO＝∠ACB得证；（3）在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK2m，根据角平分线的性质和三角形外角和定理可得KB＝KC2m，从而求得m的值，进而t的值也可求出.【详解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，∴∠ABC＝∠OAD，∵AB＝OA，∴△ABC≌△OAD（ASA），∴OD＝AC＝2t，∴D（0，2t）．故答案为（0，2t）；（2）如图1中，∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝82，∴AB＝AO＝8，∵t＝2，∴AC＝OD＝4，∴OC＝OD＝4，∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，∴△FOD≌△FOC（SAS），∴∠FCO＝∠FDO，∵△ABC≌△OAD，∴∠ACB＝∠ADO，∴∠FCO＝∠ACB；（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝2m．∵CB平分∠ABO，∴∠ABC＝22.5°，∵∠AKC＝45°＝∠ABC+∠KCB，∴∠KBC＝∠KCB＝225°，∴KB＝KC2m，∴m ＝8，∴m ＝81），∴t ＝81)2＝4﹣1）． 【点睛】全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的外角和定理等知识都是本题的考点，熟练掌握相关知识并正确运用是解题的关键.。

2021年广东省中考数学仿真模拟试卷（三）一、选择题（共10小题）.1．﹣9的绝对值是（）A．B．﹣C．9D．﹣92．北京冬奥会和冬残奥会赛会志愿者招募工作进展顺利，截止2020年底，赛会志愿者申请人数已突破960000人．将960000用科学记数法表示为（）A．96×104B．9.6×104C．9.6×105D．9.6×1063．在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣2，5）B．（2，﹣5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，5）4．如图所示的几何体从上面看到的形状图是（）A．B．C．D．5．代数式在实数范围内有意义的条件是（）A．x＞﹣B．x≠﹣C．x＜﹣D．x≥﹣6．已知有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（﹣3）÷（﹣）＝9；④（﹣）﹣（﹣）＝﹣．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（）A．8B．9C．10D．118．成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（）A．88B．90C．92D．939．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（）A．2019B．2020C．2021D．202310．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②9a+3b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝2的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11．将x2﹣4y2因式分解为．12．已知﹣7x6y4和3x2m y n是同类项，则m﹣n的值是．13．若某数的两个平方根是a+1与a﹣3，则这个数是．14．若实数m，n满足|m﹣2|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣1+n0＝．15．用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．16．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为厘米．17．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．先化简，再求值．（x﹣2y）2+2y（2x﹣3y）．其中x＝﹣1，y＝．19．先化简，再求值：﹣，其中x＝2﹣．20．如图，已知▱ABCD．（1）作出BC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在1的条件下，连接BE，CE，若∠D＝65°，∠ABE＝25°，求∠ECB的度数．三、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为，并补全条形统计图；（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．22．在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是，未知数q表示的是；张红所列出正确的方程组应该是；（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？23．如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA ＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．（1）求点A的坐标；（2）求反比例函数的解析式；（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．25．如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。

2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．2的相反数是（）A．﹣B．C．2D．﹣22．据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（）A．37×105B．3.7×105C．3.7×106D．0.37×1073．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m124．下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2B．3C．4D．56．下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C．两个正六边形一定位似D．菱形的两条对角线互相垂直且相等7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．128．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．69．如图，等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向右移动，直到AB与EF重合时停止．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2，则下列各图中，能大致表示出y 与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若+|tan B﹣|＝0，那么△ABC的形状是．12．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．14．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F 点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．17．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．18．（8分）深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了名学生．（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AE交BC于点D，且．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．20．（8分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？21．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）求点F到直线CA的距离；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．2的相反数是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据相反数的概念作答即可．【解答】解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．故选：D．2．据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（）A．37×105B．3.7×105C．3.7×106D．0.37×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于3700000人有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．【解答】解：3700000＝3.7×106，故选：C．3．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．4．下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A．B．C．D．【分析】分别得出各个几何体的左视图，进行判断即可．【解答】解：选项A中的几何体的左视图为三角形，因此不符合题意；选项B中的几何体其左视图为等腰三角形，因此选项B不符合题意；选项C中的几何体的左视图是长方形，因此选项C不符合题意；选项D中的几何体，其左视图为圆，因此选项D符合题意，故选：D．5．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2B．3C．4D．5【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，根据相似三角形的性质定理计算即可．【解答】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴＝，即＝，解得，CE＝4，则OE＝CE﹣OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．6．下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C．两个正六边形一定位似D．菱形的两条对角线互相垂直且相等【分析】根据黄金分割、中心对称图形、位似变换、菱形的性质判断即可．【解答】解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，当AC＞BC时，AC＝﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣，本选项说法错误；B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；故选：B．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．8．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．9．如图，等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向右移动，直到AB与EF重合时停止．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2，则下列各图中，能大致表示出y 与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出x≤2时与2≤x≤4时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可．【解答】解：如图1，当x≤2时，重叠部分为三角形，面积y＝•x•x＝x2，如图2，当2≤x≤4时，重叠部分为梯形，面积y＝×2×2﹣×（x﹣2）2＝﹣（x ﹣2）2+4，所以，图象为两段二次函数图象，纵观各选项，只有A选项符合．故选：A．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB即可得出结论；②先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论；③判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16；④再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；⑤判断出四边形BPGF是菱形，即可得出结论．【解答】解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；故①正确；②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE＝＝＝20，BE＝＝＝15，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝＝＝，∴sin∠PCB＝＝，故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，共4个，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若+|tan B﹣|＝0，那么△ABC的形状是锐角三角形．【分析】利用特殊角的三角函数值可得∠A和∠B的度数，进而可得答案．【解答】解：由题意得：cos2A﹣＝0，tan B﹣＝0，则∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴△ABC的形状是锐角三角形．故答案为：锐角三角形．12．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝±4．【分析】根据二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，可知顶点的坐标为0，即可得到＝0，从而可以得到b的值．【解答】解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是3032π．【分析】矩形旋转一次，顶点A所经过的路径是以右下角的顶点为圆心，这个顶点到A 的距离为半径的圆周长的，每转4次又回到开始位置，即可得出答案．【解答】解：旋转1次，A旋转到左上角，A经过的路径为：2π•4×＝2π，旋转2次，A旋转到右上角，A经过的路径为：2π+2π•5×＝π，旋转3次，A旋转到右下角，A经过的路径为：π+2π•3×＝6π，旋转4次，A旋转到左下角，A经过的路径为：6π+2π•0×＝6π，即旋转4次，A又回到左下角，故每旋转4次，A经过的路径为6π，而2021＝4×505+1，∴连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×505+2π＝3032π，故答案为：3032π．14．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F 点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则＝＝，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，∴∠MDE+∠FDB＝90°，而EM⊥OB，∴∠MDE+∠MED＝90°，∴∠MED＝∠FDB，∴Rt△MED∽Rt△BDF；又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，∴ED＝4﹣，DF＝3﹣，∴＝＝；∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，∴DB＝，在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，解得k＝，故答案为．15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2．【分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣3+1﹣2×＝﹣1﹣3+1﹣＝﹣3．17．（6分）先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．【分析】先将分式进行化简，然后代入值即可求解．【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，当a＝2时，原式＝＝1．18．（8分）深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了50名学生．（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数；（2）用总数减去A、B、D中的人数，即可求出C等级的人数，画出条形图即可；（3）用九年级共有的学生数乘以D等级所占的比例，即可得出答案；（4）画树状图，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），即本次抽样调查共抽取了50名学生，故答案为：50；（2）测试结果为C等级的学生数为：50﹣10﹣20﹣4＝16（名），故答案为：16，补全条形图如下：（3）700×＝56（名），即估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；（4）画树状图如图：共有12个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是男生的结果有2个，∴抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AE交BC于点D，且．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）连接BE，证明△ABD∽△AEB，进而可得结论；（2）连接OC，连接AO并延长交BC于点H，证明△AFB∽△OF A．进而可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接BE，∵，∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴∠ABD＝∠AEB，又∠C＝∠AEB，∴∠ABD＝∠C，∴AB＝AC．（2）如图，连接OC，连接AO并延长交BC于点H，∵AF＝4，CF＝5，∴AB＝AC＝AF+CF＝4+5＝9．∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O在BC的垂直平分线上，∴AH⊥BC．又AB＝AC，∴AH平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH．∵OA＝OB，∴∠BAH＝∠ABF．∴∠CAH＝∠ABF．∵∠AFB＝∠OF A，∴△AFB∽△OF A．∴，即．∴．∴．∴．20．（8分）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式y＝﹣10x+500；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式w＝﹣10x2+700x﹣10000．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）代入w＝2000求出x的值，由此即可得出结论；（3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝﹣10（x﹣35）2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，故答案为：y＝﹣10x+500；w＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）∵w＝2000，∴﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40，答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；（3）根据题意得，，∴x的取值范围为：37≤x≤40，∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为x＝35，∴当x＝37时，w最大值＝2210．答：销售单价定位37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．21．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）求点F到直线CA的距离；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【分析】（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．解直角三角形求出FH即可解决问题．（2）①根据要求作出图形即可，根据S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′，计算即可．②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．利用勾股定理构建方程，求解即可．【解答】解：（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．在Rt△FCH中，∠FHC＝90°，CF＝CA＝2BC＝2，∴FH＝CF＝1．（2）①旋转运动所形成的平面图形，如图所示，S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′＝﹣＝；②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．∵EF＝BC＝2，∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，∴CF＝2EF＝2，∠F＝60°，∴FH＝EF•cos60°＝，EH＝EF•sin60°＝，∵∠B＝90°，OB＝x，BC＝1，∴OC＝，∵EH2＝OH2+OE2，∴（）2+（﹣）2＝x2，解得x2＝，∴OC＝＝，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线的解析式中，列方程组解出即可；（2）如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽△CBO，则，设点D 的横坐标为t，则，列关于t的方程解出可得结论；（3）利用待定系数法求直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，存在两种情况：如图2和图3，分别画图，根据平移的性质可表示M的坐标，代入抛物线的解析式列方程可解答．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，∴∠DCH＝∠ABC，∵∠DHC＝∠COB＝90°，∴△DCH∽△CBO，∴，设点D的横坐标为t，则，∵C（0，3），∴，∵点B是与x轴的交点，∴，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴B的坐标为（4，0），∴OB＝4，∴，解得t1＝0（舍去），t2＝2，∴点D的纵坐标为：，则点D坐标为；（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），分两种情况：①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM 是平行四边形，∵D（2，），F（0，），∴M（m+2，﹣m+4），代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4，解得：m＝，∴N（，3﹣）或（﹣，3+）；②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形，同理得：M（m﹣2，﹣m+2），代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2，解得：m＝4，∴N（4+，﹣）或（4﹣，）；综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）．。

2021年山西省中考数学模考试卷解析版
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）下面有理数比较大小，正确的是（）
A．0＜﹣2B．﹣5＜3C．﹣2＜﹣3D．1＜﹣4
【解答】解：A、0＞﹣2，故此选项错误；
B、﹣5＜3，正确；
C、﹣2＞﹣3，故此选项错误；
D、1＞﹣4，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）
A．《九章算术》B．《几何原本》
C．《海岛算经》D．《周髀算经》
【解答】解：A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；
B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；
C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所
撰；
D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．2a2+3a2＝6a2
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2021年九年级中考模拟考试数 学 试 题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．（3分）2-的相反数是( )A ．12-B ．12C ．2D ．2-2．（3分）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()a b a b +=+C ．33(2)8a a -=-D ．224a a a +=3．（3分）下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )A ．12B ．32C ．23D ．184．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为( )A ．62︒B ．56︒C ．28︒D ．72︒5．（3分）多多班长统计去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是( )A ．极差是47B．众数是42C．中位数是58D．每月阅读数量超过40的有4个月6．（3分）春节燃放爆竹是中华民族辞旧迎新的习俗，然而因春节期间全国各地雾霾天气频现，各地纷纷出台禁止燃放烟花爆竹的通知，如图所示的是一种爆竹的示意图，则爆竹的俯视图是()A．B．C．D．7．（3分）若关于x的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m的值是()A．3B．5C．3或5D．3或48．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线122y x=-+上的一个动点，将Q绕点(1,0)P顺时针旋转90︒，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A 45B5C52D65二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程）9．（32x-x的取值范围是．10．（3分）若点(,2)M a和(1,)N b关于原点对称，则a b+的值是．11．（3分）已知方程组2425x yx y+=⎧⎨-=-⎩，则3x y+的值为．12．（3分）点(,)P a b在函数32y x=+的图象上，则代数式621a b-+的值等于．13．（3分）已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是 ． 14．（3分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，点C 为弧BD 的中点，若40DAB ∠=︒，则ABC ∠= ．15．（3分）如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，AC BC =，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为42时，则阴影部分的面积为 ．16．（3分）如图，以点(0,1)C 为位似中心，将ABC ∆按相似比1:2缩小，得到DEC ∆，则点(1,1)A -的对应点D 的坐标为 ．17．（3分）如图所示，已知1(1,)A y ，2(3,)B y 为反比例函数1y x=图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 ．18．（3分）如图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．点M 是线段CB 上一动点，过点M 作MN AM ⊥交AB 于点N ，当点M 从点C 运动到点B 的过程中，点N 经过的路径长是 ．三、解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）计算或化简：（1）020171(32)(1)sin 452---+-︒；（2）先化简，再求值：21(1)11a a a -÷+-，其中51a =+． 20．（8分）解不等式组2102323x x x +>⎧⎪-+⎨⎪⎩并在数轴上表示解集． 21．（8分）为了解同学们对垃圾分类知识的知晓情况，我区某校环保社团的同学们进行了抽样调查，对收集的信息进行整理，绘制了如图两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的数据，解答下列问题：图中A 表示“很了解”， B 表示“了解”， C 表示“一般”， D 表示“不了解”．（1）被调查的总人数是 人，补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 ；（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中B 类有多少人．22．（8分）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A 、B 、C 、)D ，每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ；（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．23．（10分）为迎接今年的植树节，某乡村进行了持续多天的植树活动．计划在规定期限植树4000棵，由于志愿者的支援，工作效率提高了20%，结果提前3天完成，并且多植树80棵，求规定期限．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，60ABC∠=︒，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABEC为菱形；（2）若6AB=，连接OE，求OE的值．25．（10分）如图，ABC∆中，AB AC=，点D为BC上一点，且AD DC=，过A，B，D三点作O，AE是O的直径，连接DE．（1）求证：AC是O的切线；（2）若4sin5C=，6AC=，求O的直径．26．（10分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD 与四边形AEEG 都是正方形，135180AEB ︒<∠<︒，求证：四边形BEGD 是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD 是“等垂四边形”， AD BC ≠，连接BD ，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，连接EG ，FG ，EF ．试判定EFG ∆的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD 是“等垂四边形”， 4AD =，6BC =，试求边AB 长的最小值．27．（12分）将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB '，记旋转角为α．连接BB '，过点D 作DE 垂直于直线BB '，垂足为点E ，连接DB '，CE ，（1）如图1，当60α=︒时，DEB '∆的形状为 ，连接BD ，可求出BB CE'的值为 ； （2）当0360α︒<<︒且90α≠︒时．①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B '，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出BE B E '的值．28．（12分）已知二次函数2(2)y x a x a =-++的图象为C ．（1）当4a =时，图象的顶点坐标为 ；（2）求证：不论a 为任何实数，图象C 恒过定点P ，并出点P 的坐标；（3）设图象C 的顶点为M ，图象C 与x 轴的两个交点为A ，B ，()i 求证：ABM ∆不可能是钝角三角形；()ii若2（其中点P为（2）中的定点），求实数a的值．AP BP参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．（3分）2-的相反数是( )A ．12-B ．12C ．2D ．2-【解答】解：20-<，2∴-相反数是2．故选：C ．2．（3分）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()a b a b +=+C ．33(2)8a a -=-D ．224a a a +=【解答】解：A 、235a a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、222()2a b a ab b +=++，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、33(2)8a a -=-，原计算正确，故此选项符合题意；D 、2222a a a +=，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．3．（3是同类二次根式的是( )A B C D【解答】解：A 的被开方数不同，不是同类二次根式，故A 选项错误；B 、B 选项错误；C 、C 选项错误；D D 选项正确．故选：D ．4．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为( )A．62︒B．56︒C．28︒D．72︒【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：90DAC BAC∠=∠-∠=︒，∠=︒，162BACEF AD，//∴∠=∠=︒，DAC262故选：A．5．（3分）多多班长统计去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是()A．极差是47B．众数是42C．中位数是58D．每月阅读数量超过40的有4个月【解答】解：A、极差为：832855-=，故本选项错误；B 、58出现的次数最多，是2次，∴众数为：58，故本选项错误；C 、中位数为：(5858)258+÷=，故本选项正确；D 、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误； 故选：C ．6．（3分）春节燃放爆竹是中华民族辞旧迎新的习俗，然而因春节期间全国各地雾霾天气频现，各地纷纷出台禁止燃放烟花爆竹的通知，如图所示的是一种爆竹的示意图，则爆竹的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看，是一个有圆心的圆，故选：B ．7．（3分）若关于x 的分式方程21m x x =-有正整数解，则整数m 的值是( ) A ．3 B ．5C ．3或5D ．3或4 【解答】解：解分式方程，得2m x m =-， 经检验，2m x m =-是分式方程的解， 因为分式方程有正整数解，则整数m 的值是3或4．故选：D ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线122y x =-+上的一个动点，将Q 绕点(1,0)P 顺时针旋转90︒，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为( )A 45B 5C 52D 65【解答】解：作QM x ⊥轴于点M ，Q N x '⊥轴于N ，90PMQ PNQ QPQ ∠=∠'=∠'=︒，QPM NPQ PQ N NPQ ∴∠+∠'=∠'+∠'，QPM PQ N ∴∠=∠'在PQM ∆和△Q PN '中，90PMQ PNQ QPM PQ NPQ PQ ∠=∠'=︒⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩PQM ∴∆≅△()Q PN AAS '，PN QM ∴=，Q N PM '=， 设1(,2)2Q m m -+， |1|PM m ∴=-，1|2|2QM m =-+， 1|3|2ON m ∴=-， 1(32Q m ∴'-，1)m -， 22222155(3)(1)510(2)5244OQ m m m m m ∴'=-+-=-+=-+， 当2m =时，2OQ '有最小值为5，OQ ∴'5，故选：B ．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程）9．（32x-x的取值范围是2x．【解答】解：由题意得：20x-，解得：2x，故答案为：2x．10．（3分）若点(,2)M a和(1,)N b关于原点对称，则a b+的值是3-．【解答】解：点(,2)M a和(1,)N b关于原点对称，1a∴=-，2b=-，123a b∴+=--=-．故答案为：3-．11．（3分）已知方程组2425x yx y+=⎧⎨-=-⎩，则3x y+的值为9．【解答】解：2425x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②，①-②得，39x y+=．故答案为：9．12．（3分）点(,)P a b在函数32y x=+的图象上，则代数式621a b-+的值等于3-．【解答】解：点(,)P a b在函数32y x=+的图象上，32b a∴=+，则32a b-=-．6212(3)1413a b a b∴-+=-+=-+=-，故答案为3-．13．（3分）已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是3π．【解答】解：圆锥的底面圆半径是1，∴圆锥的底面圆的周长2π=，则圆锥的侧面积12332ππ=⨯⨯=， 故答案为：3π．14．（3分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，点C 为弧BD 的中点，若40DAB ∠=︒，则ABC ∠= 70︒ ．【解答】解：连接AC ，点C 为弧BD 的中点，1202CAB DAB ∴∠=∠=︒， AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，70ABC ∴∠=︒，故答案为：70︒．15．（3分）如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，AC BC =，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为42时，则阴影部分的面积为 816π- ．【解答】解：在扇形AOB 中90AOB ∠=︒，且AC BC =，45COD ∴∠=︒，4228OC ∴=，ODC BOC S S S ∆∴=-阴影扇形224581(42)3602π⨯=-⨯ 816π=-．故答案为：816π-．16．（3分）如图，以点(0,1)C 为位似中心，将ABC ∆按相似比1:2缩小，得到DEC ∆，则点(1,1)A -的对应点D 的坐标为 1(2-，2) ．【解答】解：把ABC ∆向下平移1个单位得到A 点的对应点的坐标为(1,2)-，点(1,2)-以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为1(2-，1)，把点1(2-，1)先上平移1个单位得到1(2-，2)， 所以D 点坐标为1(2-，2)． 故答案为1(2-，2)． 17．（3分）如图所示，已知1(1,)A y ，2(3,)B y 为反比例函数1y x=图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 (4,0) ．【解答】解：把1(1,)A y ，2(3,)B y 代入1y x =得11y =，213y =，则A 点坐标为(1,1)，B 点坐标为1(3,)3， 设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(1,1)A ，1(3,)3B 代入得1133k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1343k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以直线AB 的解析式为1433y x =-+， 因为||PA PB AB -，所以当点P 为直线AB 与x 轴的交点时，线段AP 与线段BP 之差达到最大，把0y =代入1433y x =-+得14033x -+=，解得4x =， 所以P 点坐标为(4,0)．故答案为(4,0)．18．（3分）如图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．点M 是线段CB 上一动点，过点M 作MN AM ⊥交AB 于点N ，当点M 从点C 运动到点B 的过程中，点N 经过的路径长是 109．【解答】解：如图，过点N 作NJ BC ⊥于J ，设BN y =，CM x =．90C ∠=︒，AC =，3BC =，2222435AB AC BC ∴=+=+=，//NJ AC ，∴BN BJ NJ AB CB AC ==， ∴534y BJ NJ ==， 35BJ y ∴=，45NJ y =， 335MJ BC CM BJ x y ∴=--=--， 90C AMN NJM ∠=∠=∠=︒，90AMC NMJ ∴∠+∠=︒，90NMJ MNJ ∠+∠=︒，AMC MNJ ∴∠=∠，ACM MJN ∴∆∆∽， ∴AC CM MJ NJ=， ∴434355x x y y =--， 2316(3)055x y x y ∴+-+=， △0，2364(3)055y y ∴--， 294102250y y ∴-+，(95)(45)0y y ∴--， 59y ∴或45y ， 45y 不符合题意， 59y ∴， BN ∴的最大值为59， 当点M 从点C 运动到点B 的过程中，点N 经过的路径长是2倍的BN 的最大值， ∴点N 经过的路径长是109， 故答案为：109． 三、解答题（共10小题，满分96分）19．（8分）计算或化简：（1）020172)(1)sin 45--+︒； （2）先化简，再求值：21(1)11a a a -÷+-，其中1a =． 【解答】（1）原式11=+ 2=； （2）原式2111()11a a a a a+-=-⋅-+(1)(1)1a a a a a +-=⋅+ 1a =-， 当51a =+时，原式5115=+-=．20．（8分）解不等式组2102323x x x +>⎧⎪-+⎨⎪⎩并在数轴上表示解集．【解答】解：解不等式210x +>，得：12x >-， 解不等式2323xx -+，得：0x ， 则不等式组的解集为102x -<， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：21．（8分）为了解同学们对垃圾分类知识的知晓情况，我区某校环保社团的同学们进行了抽样调查，对收集的信息进行整理，绘制了如图两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的数据，解答下列问题：图中A 表示“很了解”， B 表示“了解”， C 表示“一般”， D 表示“不了解”．（1）被调查的总人数是 50 人，补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 ；（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中B 类有多少人．【解答】解：（1）因为被调查的总人数是510%50÷=（人)，所以50530510---=（人)，补全的频数分布直方图如下：故答案为：50；（2）3036021650︒⨯=︒；答：扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为216︒；故答案为：216︒；（3）503010180036050--⨯=人．答：该校1800名学生中B类有360人．22．（8分）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、)D，每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是14；（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．【解答】解：（1）由题意可知王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为14，故答案为：14；（2）画树状图如下：所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．P∴（两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯）21 126==．23．（10分）为迎接今年的植树节，某乡村进行了持续多天的植树活动．计划在规定期限植树4000棵，由于志愿者的支援，工作效率提高了20%，结果提前3天完成，并且多植树80棵，求规定期限．【解答】解：设规定期限为x天，则实际(3)x-天完成植树任务，依题意得：4000804000(120%)3x x+=+⨯-，解得：20x=，经检验，20x=是原方程的解，且符合题意．答：规定期限为20天．24．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，60ABC∠=︒，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABEC为菱形；（2）若6AB=，连接OE，求OE的值．【解答】解：（1）菱形ABCD，AB BC∴=，//AB DE，//BE AC，∴四边形ABEC为平行四边形，AB BC=，60ABC∠=︒，ABC∴∆为等边三角形，AB AC∴=，∴平行四边形ABEC 为菱形；（2）6AB =，60ABC ∠=︒，ABC ∆为等边三角形，30OBC ∴∠=︒，33OB =， 306090OBE ∴∠=︒+︒=︒，2222(33)66337OE OB BE ∴=+=+==．25．（10分）如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 为BC 上一点，且AD DC =，过A ，B ，D 三点作O ，AE 是O 的直径，连接DE ．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若4sin 5C =，6AC =，求O 的直径．【解答】（1）证明：AB AC =，AD DC =， C B ∴∠=∠，1C ∠=∠，1B ∴∠=∠，又E B ∠=∠，1E ∴∠=∠，AE 是O 的直径，90ADE ∴∠=︒，90E EAD ∴∠+∠=︒，190EAD ∴∠+∠=︒，即90EAC ∠=︒，AE AC ∴⊥，AC ∴是O 的切线；（2）解：过点D 作DF AC ⊥于点F ，如图， DA DC =，132CF AC ∴==， 在Rt CDF ∆中，4sin 5DF C DC ==， 设4DF x =，5DC x =，223CF CD DF x ∴=-=，33x ∴=，解得1x =，5DC ∴=，5AD ∴=，90ADE DFC ∠=∠=︒，E C ∠=∠，ADE DFC ∴∆∆∽，∴AE AD DC DF =，即554AE =，解得254AE =， 即O 的直径为254．26．（10分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD 与四边形AEEG 都是正方形，135180AEB ︒<∠<︒，求证：四边形BEGD 是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD 是“等垂四边形”， AD BC ≠，连接BD ，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，连接EG ，FG ，EF ．试判定EFG ∆的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD 是“等垂四边形”， 4AD =，6BC =，试求边AB 长的最小值．【解答】解：（1）如图①，延长BE ，DG 交于点H ，四边形ABCD 与四边形AEFG 都为正方形，AB AD ∴=，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒．BAE DAG ∴∠=∠．()ABE ADG SAS ∴∆≅∆．BE DG ∴=，ABE ADG ∠=∠．90ABD ADB ∠+∠=︒，90ABE EBD ADB DBE ADB ADG ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，即90EBD BDG ∠+∠=︒，90BHD ∴∠=︒．BE DG ∴⊥．又BE DG =，∴四边形BEGD 是“等垂四边形”．（2）EFG ∆是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA ，CD 交于点H ，四边形ABCD 是“等垂四边形”， AD BC ≠，AB CD ∴⊥，AB CD =，90HBC HCB ∴∠+∠=︒，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴12EG AB =，12GF CD =，//EG AB ，//GF DC ， BFG C ∴∠=∠，EGD HBD ∠=∠，EG GF =．90EGF EGD FGD ABD DBC GFB ABD DBC C HBC HCB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒． EFG ∴∆是等腰直角三角形．（3）延长BA ，CD 交于点H ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ．连接HE ，EF ，HF ，则1132122EF HF HE BC AD -=-=-=， 由（2）可知22AB EF =．AB ∴227．（12分）将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB '，记旋转角为α．连接BB '，过点D 作DE 垂直于直线BB '，垂足为点E ，连接DB '，CE ，（1）如图1，当60α=︒时，DEB '∆的形状为 等腰直角三角形 ，连接BD ，可求出BB CE'的值为 ；（2）当0360α︒<<︒且90α≠︒时．①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B '，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出BE B E '的值．【解答】解：（1）如图1所示：四边形ABCD 是正方形，45BDC ∴∠=︒，2CD BD =90BAD ∠=︒，AB AD =， 由旋转的性质得：AB AB ='，60BAB ∠'=︒，AB AD AB ∴=='，ABB ∆'为等边三角形，906030B AD ∠'=︒-︒=︒，60AB B '∴∠=︒，1(18030)752AB D ∠'=︒-︒=︒， 180607545DB E '∴∠=︒-︒-︒=︒，DE BB '⊥，90DEB '∴∠=︒，45B DE '∴∠=︒，DEB '∴∆为等腰直角三角形，45BDC B DE '∴∠=∠=︒，2DE DB ='， BDC B DC B DE B DC '''∴∠-∠=∠-∠，即BDB CDE '∠=∠，2CD DE BD DB ==' BDB CDE '∴∆∆∽， ∴2BB BD CE CD'==， 2；（2）①两个结论仍然成立，理由如下：连接BD ，如图2所示：由旋转的性质得：AB AB '=，BAB α'∠=，1(180)9022AB B αα∴∠'=︒-=︒-，90B AD α'∠=-︒，AD AB '=，1(18090)13522AB D αα∴∠'=︒-+︒=︒-， 135904522EB D AB D AB B αα'''∴∠=∠-∠=︒--︒+=︒，DE BB '⊥，45EDB EB D ''∴∠=∠=︒，DEB '∴∆是等腰直角三角形，∴DB DE'= 四边形ABCD 为正方形，∴BD CD =45BDC ∠=︒， ∴BD DB CD DE'=， EDB BDC '∠=∠，B DB EDC '∴∠=∠，∴△B DB EDC '∆∽，∴BB BD CE CD'==， ∴（1）中的两个结论不变，依然成立；②若以点B '，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论： 第一种：以CD 为边时，则//CD B E '，此时点B '在线段BA 的延长线上，如图3所示：此时点E 与点A 重合，BE CD B E ∴=='， ∴1BE B E='； 第二种：当以CD 为对角线时，如图4所示：四边形CB DE '是平行四边形，12B F EF B E ∴'=='，点F 为CD 中点， 2BC CD CF ∴==，DE BB '⊥，CB BB ''∴⊥，90BB C CB F ∴∠'=∠'=︒，90BCF ∠=︒，BCF CB F BB C ∴∠=∠'=∠'，CBF B BC ∠=∠'，BFC CFB ∠=∠'，BCF ∴∆∽△CB F '∽△BB C '， ∴2BC CB BB CF B F CB ''===''， 4BB B F ''∴=，6BE B F '∴=，2B E B F ''=，∴632BE B F B E B F'==''， 综上所述，BE B E '的值为3或1．28．（12分）已知二次函数2(2)y x a x a =-++的图象为C ．（1）当4a =时，图象的顶点坐标为 (3,5)- ；（2）求证：不论a 为任何实数，图象C 恒过定点P ，并出点P 的坐标；（3）设图象C 的顶点为M ，图象C 与x 轴的两个交点为A ，B ，()i 求证：ABM ∆不可能是钝角三角形；()ii 若2AP BP =（其中点P 为（2）中的定点），求实数a 的值． 【解答】解：（1）把4a =代入2(2)y x a x a =-++中，得2264(3)5y x x x =-+=--，∴二次函数2(2)y x a x a =-++的图象的顶点为(3,5)-，故答案为(3,5)-；（2）22(2)(1)(1)1y x a x a x a x =-++=-+--，∴当10x -=时，1y =-，∴当1x =时，1y =-，∴定点P 的坐标为(1,1)-；（3）()i 证明：如图，过点M 作MH x ⊥轴于H ，则90AHM ∠=︒，点M 是抛物线的顶点，MA MB ∴=，MAB MBA ∴∠=∠，12AH BH AB==，2 22222224(2)()()()2224a a a ay x a x a x a x++++ =-++=-+-=--，2(2aM+∴，24)4a+-，244aMH+∴=，设点1(A x，0)，2(B x，0)，令2(2)0x a x a-++=，122x x a∴+=+，12x x a=，12||AB x x∴=-在Rt AHM∆中，244tan112aMH MHBAMAH AB+∠====，20a，244a∴+，∴1，tan1BAM∴∠，45BAM∴∠︒，90ABM BAM∴∠+∠︒，90AMB∴∠︒，ABM∴∆不可能是钝角三角形；()ii由（1）知(1,1)P-，对于2(2)y x a x a=-++，设0y=，则2(2)0x a x a-++=，解得x=x=，224(2a a A +-+∴，0)，224(2a a B +++，0)或224(2a a A +++，0)，224(2a a B +-+，0)， 2222222222424[(1)1][(1)1]422a a a a AP BP a ++++-+∴+=-++-+=+， 由()i 知，24AB a =+，224AB a ∴=+，222AP BP AB ∴+=，ABF ∴∆是以AB 为斜边的直角三角形，2AP PB =，1tan 2BP A AP ∴==， 如图，过点P 作PG x ⊥轴于G ，则1PG =，1tan 2PG A AG ∴==， 2AG ∴=，当点A 在点B 的左边时，224(a a A +-+，0)， 2224412a a a a AG +-++-∴==， 32a ∴=-， 当点A 在B 的右边时，224(a a A +++0)，12AG ∴=-==， 32a ∴=， a ∴的值为32±．。

2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）一、选择题（共12小题）.1．计算的结果等于（）A．±2B．2C．﹣2D．42．在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列计算正确的是（）A．B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．3m•m＝6m D．（﹣n3）2＝n64．某正方体的每个面上都有一个汉字．它的一种平面展开图如图所示，那么在原正方体中，与“筑”字所在面相对的面上的汉字是（）A．抗B．疫C．长D．城5．疫情期间，口罩的原材料提价，因而厂家决定对口罩进行提价，现有三种方案：（1）第一次提价5%，第二次提价10%；（2）第一次提价10%，第二次提价5%；（3）第一、二次提价均为7.5%，三种方案哪种提价最多，下列说法正确的是（）A．方案（1）B．方案（2）C．方案（3）D．三种方案相同6．下列尺规作图，能确定AD是△ABC的中线的是（）A．B．C．D．7．下列说法正确的是（）A．为了解湖南省中学生的心理健康情况，宜采用普查的方式B．商场抽奖促销，中一等奖的概率是1%，则做100次这样的游戏一定会中一等奖C．一组数据1，3，3，3，4，8的中位数和众数都是3D．若甲、乙两个射击选手的平均成绩相同，且s甲2＝0.01，s乙2＝0.1，则应该选乙参赛8．关于x的方程x2+5x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（）A．﹣6B．﹣3C．3D．69．如图，已知AB是⊙O的切线，切点为A，OA＝3，，则扇形OAC的面积为（）A．B．3πC．πD．10．如图，一块等腰直角三角形板如图摆放，点E，G分别在AB，CD上，且AB∥CD，如果∠AEF＝25°，那么∠CGF的大小为（）A．25°B．65°C．30°D．45°11．《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100的同时，不善于走路的人只能走60步．现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？根据题意，可以求得答案为（）A．250步B．200步C．160步D．320步12．如图，已知△ABC的三个顶点A（a，0）、B（b，0）、C（0，2a）（b＞a＞0），作△ABC关于直线AC的对称图形△AB′C，若点B′恰好落在y轴上，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）13．分解因式：3ab2﹣3a＝．14．某地区中考，将学生的初二的生物中考卷面成绩（满分100分）乘40%，加上初三的物理、化学卷面成绩（满分200分）乘80%作为该生的最后理科综合最终成绩．某学生生物成绩为90分，若该生理科综合最终成绩想不低于160分，则该生物理、化学卷面成绩至少是分．15．如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°．将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'．若AB∥CC'，则旋转角的度数为°．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，AC，BC边上的点，∠EDF ＝120°，设．（1）若n＝1，则＝；（2）若，则n＝．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。

2021年九年级中考模拟考试数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．下列各数中，最小的数是（）A．3B．﹣2C．﹣D．02．据统计，2021年第一季度全球手机出货量达到3.4亿部，将数据3.4亿用科学记数法表示为（）A．3.4×108B．3.4×1010C．0.34×109D．34×1073．下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．a+b＝ab B．3a2+2a2＝5a4C．（﹣a3b）2＝a6b2D．a2b3c÷（﹣ab2）＝﹣ab5．下列说法中，错误的是（）A．明天会下雨是随机事件B．某发行量较大的彩票中奖概率是，那么购买1001张彩票一定会中奖C．要了解某市初中生每天的睡眠时间，应该采用抽样调查的方式进行D．乘客乘坐飞机前的安检应采取全面调查的方式进行6．已知y是x的一次函数，下表给出5组自变量x及其对应的函数y的值．x…﹣2﹣1012…y…﹣3﹣1136…其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）A．﹣1B．1C．3D．67．如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°8．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴的交点为A和B，下列说法中正确的是（）A．点（2，﹣1）在直线AB上B．y随x的增大而增大C．当x＞0时，y＜2D．△AOB的面积是29．如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为（9，3），分别以点B、C为圆心，以大于BC 的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（）A．（7.5，0）B．（6.5，0）C．（7，0）D．（8，0）10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，动点E和F同时从点A出发，点E以每秒2cm的速度沿A→D的方向运动，到达点D时停止，点F以每秒4cm的速度沿A→B→C→D的方向运动，到达点D时停止．设点F运动x（秒）时，△AEF的面积为y（cm2），则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．写出一个比﹣3大且比2小的负无理数．12．有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是．13．已知关于x的一元二次方程mx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．14．如图，半圆O的直径AB＝4cm，＝，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD ⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为cm2．15．如图，正方形ABCD的边长为3，点G在边AD上，GD＝1，GH⊥BC于点H，点E是边AB 上一动点（不与点A，B重合），EF⊥CD于点F，交GH于点Q，点O、P分别是EH和GQ的中点，连接OP，则线段OP的长度为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（1）化简：（a﹣2）2﹣（a+1）（a﹣6）；（2）计算：2sin45°﹣20210﹣+|﹣1|．17．为了解某校七年级男生的身高情况，某数学活动小组进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]随机抽取了七年级若干名男生，测得他们的身高（单位：cm），记录如下：152 153 154 155 155 155 156 156 157 157 158 160 160 160161 161 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165165 166 167 168 169 169 170 170 172 172 175 175[整理数据]整理以上数据，得到如下尚不完整的频数分布表和直方图：调查结果频数分布表组别身高（单位：cm）频数频率A150≤x＜155a0.075B155≤x＜16080.2C160≤x＜165150.375D165≤x＜1700.2E170≤x＜17560.15 [分析数据]根据以上频数分布表和直方图，即可对数据进行针对性的分析．根据以上信息解答下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是，统计表中a＝．（2）所抽取的样本中，男生身高的中位数所在的组别是．（3）请把频数分布直方图补充完整．（4）若该校七年级有男生400人，根据调查数据估计身高不低于165cm的大约有多少人？18．某数学兴趣小组进行了一次有趣的数学探究：如图①所示，在钝角∠AOB的边OB上任取一点C，过点C作CE∥OA，以点C为圆心，CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，在上任取一点P，作射线OP，交射线CE于点F，当点P在上移动时，点F也随之移动，是否存在某个时刻，∠AOF恰好等于∠AOB呢？经过试验、猜想、推理验证，他们发现：当PF与OC满足某种数量关系时，∠AOF＝∠AOB．请你根据以上信息，把如下不完整的“图②”和“已知”补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图②，点C在钝角∠AOB的边OB上，CE∥OA，以点C为圆心、CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，点P在上，射线OP交CE于点F，（填PF与OC的数量关系）．求证：∠AOF＝∠AOB．19．钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）20．如图，已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣2+m2的顶点为P，矩形OABC的边OA落在x轴上，点B的坐标是（6，2）．（1）求点P的坐标，并说明随着m值的变化，点P的运动轨迹是什么？（2）若该二次函数的图象与矩形OABC的边恰好有2个交点，请直接写出此时m的取值范围．21．某水果批发店销售粑粑柑和苹果，均按整箱出售，粑粑柑比苹果每箱贵30元．某天粑粑柑销售额为1800元，苹果销售额为3600元，该日苹果销售量恰好是粑粑柑销售量的3倍．（1）求粑粑柑、苹果每箱各是多少元？（2）某单位决定去该水果批发店购买粑粑柑、苹果共30箱，恰逢批发店对售价进行调整，苹果单价提高了5%，粑粑柑按九折销售，本次购买预算总费用不超过2100元，那么可最多购买多少箱粑粑柑？22．研究函数y＝+3的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数图象进行分析．探究过程如下：（1）函数y＝+3的自变量x的取值范围是．（2）y与x的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣101 1.5 2.534567…y… 2.8 2.75m 2.52154 3.5n 3.25 3.2…根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线，画出图象的另外一支，并写出m+n﹣2＝．（3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是，它的对称轴的解析式是．（4）当x满足时，y随x的增大而减小．（5）结合函数图象填空：当关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是；关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3无实数根时，实数k的取值范围是．23．已知点M是矩形ABCD的边AB上一个动点，过点M作MG⊥CD于点G，交对角线AC于点E，连接BE，过点E作EF⊥BE，交射线DC于点F．（1）如图1，若AB＝AD，则FG与DG的数量关系是；（2）如图2．若AB＝4，AD＝3，①当点M在边AB上移动时，FG与DG的数量关系是否保持不变？若不变，请仅就图2求出它们之间的数量关系；若变化，请说明理由．②当时，请直接写出AM的最大值和最小值．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

2021年中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）4．下面命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直B．方程x2＝14x的解为x＝14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等5．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．小时B．小时C．小时D．小时6．若a是﹣1的整数部分，b是5+的小数部分，则a（﹣b）的值为（）A．6B．4C．9D．37．一次数学竞赛共有30道题，规定答对一道得10分，答错一道或者不答扣3分，在这次竞赛中，小亮想至少得120分，设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣（30﹣x）≤120B．10x≥120C．10x＞120D．10x﹣3（30﹣x）≥1208．根据流程图中的程序，当输入x的值为﹣2时，输出y的值为（）A．4B．6C．8D．109．用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，其中，第①幅图中黑、白色瓷砖共5块；第②幅图中黑、白色瓷砖共12块：第③幅图中黑、白色瓷砖共21块．则第6幅图案中黑、白色瓷砖共（）块．A．45B．49C．60D．6410．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．直径为5的⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，与AB交于点M、N，过点O作OP⊥MN于P，则OP的长为（）A．1B．C．D．11．“大金鹰”雕塑，雄居在重庆南山671米高的鹞鹰岩上，家住南山的小星同学利用周末去测量大金鹰的大致高度．大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面BC长15米，坡度i＝1：0.75，小星站在距离C点16米的D点，测得大金鹰顶部A的仰角为64°，则大金鹰AB的高度约为（）米．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，结果保留一位小数）A．37.3B．37.2C．39.3D．39.212．关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数a的和为（）A．﹣16B．﹣12C．﹣10D．﹣6二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公里，整个大桥造价超过720亿元人民币.720亿用科学记数法可表示为元．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为，则袋中共有小球只．16．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为．17．上周日，小飞与小林参加了“青春劲跑”长跑比赛．点A，点B及终点C顺次在一条直线上比赛时，小飞从A点起跑，同时小林则从与A点相距200米的B点起跑，小飞全程都保持匀速跑，小林按某一速度匀速跑一段时间后，感觉状态良好，于是将跑速提高了40米/分，并按新的速度匀速前进直至终点C．如图为比赛开始后，两人的跑步时间x （单位：分）与两人距离终点的距离y（单位：米）之间的函数图象．则在本次比赛中，小林从出发到完成比赛，共用时分．18．某个“清凉小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮料的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出，但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了403元，则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是元．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）（x+2y）2﹣（x﹣y）（x﹣4y）（2）（﹣x+2）÷20．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．21．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：收集数据（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有．（只要填写序号即可）①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．整理数据（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：①C类和D类部分的圆心角度数分别为、；②估计全年级A、B类学生大约一共有名．成绩（单位：分）频数频率A类（80～100）0.5B类（60～79）0.25C类（40～59）16D类（0～39）8分析数据（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和第一中学71524320.75第二中学71804970.82你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．22．（10分）亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，（1）求购进甲、乙两款亲子装各多少套？（2）六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销期间，每套甲款亲子装在进价的基础上提高（a+10）%销售，每套乙款亲子装在第一批售价的基础上降低a%销售，结果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利5200元，求a的值．23．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|为点P到坐标原点O的“折线距离”．（1）若已知P（﹣2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝；（2）若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，求出P的坐标；（3）若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积．24．（10分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．根据以上信息，解答下列问题：（1）下列等式或命题中，错误的是A．i4＝1B．复数（1+i）2的实部为0C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣iD．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；②（1+2）3（1﹣2i）3．25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，连线AE、BF．（1）如图1，若BF⊥AC，AE＝3，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：AF+2FG＝FC．26．（8分）综合与探究：如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x 轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E（0，2），直线AC与x轴交于点H．（1）求点C的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F （点F在第一象限）．设点G的横坐标为m．①点G的纵坐标用含m的代数式表示为；②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等，请直接写出点N的坐标．2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分数的定义解答即可．【解答】解：在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213中，分数有，0.101001，﹣10%共3个．故选：B．2．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．3．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）【分析】二次函数的顶点式方程：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是P（h，k）．【解答】解：∵二次函数的顶点式方程是：y＝2（x﹣1）2﹣3，∴该函数的顶点坐标是：（1，﹣3）；故选：D．4．下面命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直B．方程x2＝14x的解为x＝14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2＝14x的解为x＝14或x＝0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【解答】解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2＝14x的解为x＝14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选：D．5．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．小时B．小时C．小时D．小时【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．设CD＝x海里．解Rt△CAD，得出AD＝x海里．解Rt△CBD得出BD＝x海里．根据AD﹣BD＝AB列出方程x﹣x ＝20（﹣1），求出x＝20，那么BC＝CD＝20海里，再利用时间＝路程÷速度求解．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．由题意，得∠CAD＝30°，设CD＝x海里．在Rt△CAD中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2x海里，AD＝CD＝x海里．在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x海里．∵AD﹣BD＝AB，∴x﹣x＝20（﹣1），解得x＝20，∴BC＝CD＝20海里，∵救援艇的速度为30海里/小时，∴救援艇到达C处所用的时间为＝（小时）．故选：C．6．若a是﹣1的整数部分，b是5+的小数部分，则a（﹣b）的值为（）A．6B．4C．9D．3【分析】先估算和的大小，然后求出a、b的值，代入所求式子计算即可．【解答】解：∵2＜﹣1＜3，∴a＝2，又∵7＜5+＜8，∴5+的整数部分为7∴b＝5+﹣7＝﹣2；∴a（﹣b）＝2×（﹣+2）＝4．故选：B．7．一次数学竞赛共有30道题，规定答对一道得10分，答错一道或者不答扣3分，在这次竞赛中，小亮想至少得120分，设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣（30﹣x）≤120B．10x≥120C．10x＞120D．10x﹣3（30﹣x）≥120【分析】将答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数，在由题意知小亮答题所得的分数大于等于120分，列出不等式即可．【解答】解：设他答对了x道题，根据题意可得：10x﹣3（30﹣x）≥120．故选：D．8．根据流程图中的程序，当输入x的值为﹣2时，输出y的值为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，将x的值代入对应的函数即可求得y的值．【解答】解：∵x＝﹣2，不满足x≥1∴对应y＝﹣x+5，故输出的值y＝﹣x+5＝﹣×（﹣2）+5＝1+5＝6．故选：B．9．用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，其中，第①幅图中黑、白色瓷砖共5块；第②幅图中黑、白色瓷砖共12块：第③幅图中黑、白色瓷砖共21块．则第6幅图案中黑、白色瓷砖共（）块．A．45B．49C．60D．64【分析】设第n幅图案中黑、白色瓷砖共a n块（n为正整数），观察图形，根据各图案中黑、白色瓷砖数量的变化可得出变化规律“a n＝n2+4n（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．【解答】解：设第n幅图案中黑、白色瓷砖共a n块（n为正整数）．观察图形，可知：a1＝12+1×4＝5，a2＝22+2×4＝12，a3＝32+3×4＝21，…，∴a n＝n2+4n（n为正整数），∴a6＝62+4×6＝60．故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．直径为5的⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，与AB交于点M、N，过点O作OP⊥MN于P，则OP的长为（）A．1B．C．D．【分析】连结OE，OF，则四边形OFCE为正方形，可证明△AFG∽△ACB，可求出OG 长，证明△OGP∽△ABC可求出OP的长．【解答】解：连结OE，OF，∵⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∵OE＝OF，∴四边形OFCE为正方形，设FG＝x，∵FG∥BC，∴△AFG∽△ACB，∴，∴，解得x＝，∴OG＝，∵∠OGP＝∠AGF＝∠ABC，∴△OGP∽△ABC，∴，∴，∴．故选：B．11．“大金鹰”雕塑，雄居在重庆南山671米高的鹞鹰岩上，家住南山的小星同学利用周末去测量大金鹰的大致高度．大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面BC长15米，坡度i＝1：0.75，小星站在距离C点16米的D点，测得大金鹰顶部A的仰角为64°，则大金鹰AB的高度约为（）米．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，结果保留一位小数）A．37.3B．37.2C．39.3D．39.2【分析】延长AB交DC的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AH，结合图形计算得到答案．【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，则AH⊥DC，设CH＝3x米，∵石台侧面BC的坡度i＝1：0.75，∴BH＝4x米，在Rt△BCH中，BC2＝CH2+BH2，即152＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝3，则CH＝3x＝9，BH＝4x＝12，∴DH＝DC+CH＝25，在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∴AH＝DH•tan∠ADH≈25×2.05＝51.25，∴AB＝AH﹣BH＝39.25≈39.3，故选：C．12．关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数a的和为（）A．﹣16B．﹣12C．﹣10D．﹣6【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a＞﹣5，找出﹣5＜a＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【解答】解：解分式方程得x＝，因为分式方程的解为正数，所以＞0且≠4，解得：a＜2且a≠1，解不等式，得：x≤a+5，∵不等式组有解，∴a+5＞0，解得：a＞﹣5，综上，﹣5＜a＜2，且a≠1，则满足上述要求的所有整数a的和为﹣4+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣10，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公里，整个大桥造价超过720亿元人民币.720亿用科学记数法可表示为7.2×1010元．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：720亿＝72000000000＝7.2×1010．故答案为：7.2×1010．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为2﹣π．（结果保留π）【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．15．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为，则袋中共有小球10只．【分析】直接利用概率公式计算．【解答】解：设袋中共有小球只，根据题意得＝，解得x＝10，所以袋中共有小球10只．故答案为10．16．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为．【分析】连接AF，由矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质得∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质得∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，推出∠AEF＝∠AFE，则AF＝AE，AE ＝FG，得出四边形AFGE是平行四边形，则AF∥EG，得出∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝，即可得出结果．【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质可知：∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AE＝FG，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，∴∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝＝，∴cos∠EGF＝，故答案为：．17．上周日，小飞与小林参加了“青春劲跑”长跑比赛．点A，点B及终点C顺次在一条直线上比赛时，小飞从A点起跑，同时小林则从与A点相距200米的B点起跑，小飞全程都保持匀速跑，小林按某一速度匀速跑一段时间后，感觉状态良好，于是将跑速提高了40米/分，并按新的速度匀速前进直至终点C．如图为比赛开始后，两人的跑步时间x （单位：分）与两人距离终点的距离y（单位：米）之间的函数图象．则在本次比赛中，小林从出发到完成比赛，共用时分．【分析】小飞全程匀速，速度为10200÷34＝300米/分，经过2分小飞追上小林，因此速度差为200÷2＝100米/分，小林的速度为300﹣100＝200米/分，小林15分钟行15×200＝3000米，15分钟以后的速度为200+40＝240米/分，以后行至C地所用时间为（10000﹣3000）÷240＝分，因此行完全程的时间为15+＝分．【解答】解：小飞的速度：10200÷34＝300米/分，速度差为：200÷2＝100米/分，小林的原速度为300﹣100＝200米/分，小林后速度为：200+40＝240米/分，小林前15分钟行驶的路程200×15＝3000米，小林行完剩下路程需要时间（10000﹣3000）÷240＝分，因此小林从出发到完成比赛，共用时15+＝分，故答案为：．18．某个“清凉小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮料的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出，但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了403元，则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是760元．【分析】设C饮料数量工作日时有x瓶，根据题意，得A、B两种饮料数量工作日时4x 瓶、2x瓶，A、B、C三种饮料周六数量分别为：6x（瓶），3.2x（瓶），1.5x（瓶），设变化了y元，得10.1x+y＝403，其中x为整数，即可求得y的值，进而求得工作日销售额．【解答】解：设C饮料数量工作日时有x瓶，根据题意，得A、B两种饮料数量工作日时4x瓶、2x瓶，A、B、C三种饮料周六数量分别为：4x（1+50%）＝6x（瓶），2x（1+60%）＝3.2x（瓶），x（1+50%）＝1.5x（瓶），∴工作日钱数：2×4x+3×2x+5x＝19x（元），周六钱数：2×6x+3×3.2x+5×1.5x＝29.1x（元），当不发生任何故障时，多出29.1x﹣19x＝10.1x（元），其中x为整数，由于发生了故障，周六的销售额发生了变化，设变化了y元，则10.1x+y＝403，其中x为整数，y＝1、2、3、﹣1、﹣2、﹣3，得y＝﹣1时，x＝40，所以工作日销售额为：19×40＝760（元）．故答案为760．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）（x+2y）2﹣（x﹣y）（x﹣4y）（2）（﹣x+2）÷【分析】（1）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项即可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy﹣xy+4y2）＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy+xy﹣4y2＝9xy；（2）原式＝÷＝•＝﹣．20．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC 于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．21．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：收集数据（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有②、③．（只要填写序号即可）①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．整理数据（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：①C类和D类部分的圆心角度数分别为60°、30°；②估计全年级A、B类学生大约一共有432名．成绩（单位：分）频数频率A类（80～100）0.5B类（60～79）0.25C类（40～59）16D类（0～39）8分析数据（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和第一中学71524320.75第二中学71804970.82你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．【分析】（1）根据抽样调查的代表性和可靠性求解可得；（2）①用360°分别乘以C、D类人数所占比例即可得；②用总人数乘以A、B的频率和可得；（3）根据极差、方差和A、B的频率的意义给出合理解释即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）抽样方法中比较合理的有②、③，故答案为：②、③；（2）①C类部分的圆心角度数为360°×＝60°，D类部分的圆心角度数为360°×＝30°；②估计全年级A、B类学生大约一共有12×48×（0.5+0.25）＝432名．故答案为：60°，30°，432；（3）第一中学教学效果好，极差、方差小于第二中学，说明第一中学学生两极分化，学生之间的差距较第二中学好．第二中学教学效果好，A、B类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学学生好．（答案不唯一）．22．（10分）亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，（1）求购进甲、乙两款亲子装各多少套？（2）六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销期间，每套甲款亲子装在进价的基础上提高（a+10）%销售，每套乙款亲子装在第一批售价的基础上降低a%销售，结果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利5200元，求a的值．【分析】（1）设购进甲、乙两款亲子装分别为x、y套，根据甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意先分别求出促销活动中甲、乙两款亲子装单件利润和销售总量（用a表示），然后由促销活动共获利5200元，可以列出相应的方程，从而可以求得a的值．【解答】解：（1）设购进甲、乙两款亲子装分别为x、y套．依题意得，解得：，答：购进甲款亲子装60套，乙款亲子装40套．（2）依题意可知：第二批甲亲子装每件利润为：200（a+10）%＝（2a+20）（元），第二批乙款亲子装售价为：240•（1﹣a%）＝240﹣1.2a（元），乙亲子装每件利润为：（240﹣1.2a﹣160）＝（80﹣1.2a）元第二批甲款亲子装的销售量为：60•（1﹣a%）＝（60﹣0.6a）（件）第二批乙款亲子装的销售量为：40×（1+25%）＝50（件）依题意得：（2a+20）（60﹣0.6a）+50（80﹣1.2a）＝5200解得：a1＝0（不合题意舍去），a2＝40，∴a的值为40．答：a的值为40．23．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|为点P到坐标原点O的“折线距离”．（1）若已知P（﹣2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝5；（2）若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，求出P的坐标；（3）若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积．【分析】（1）根据新定义和绝对值的意义计算；（2）利用题意得到|x|+|y|＝6和y＝﹣2x，然后解方程组求出x和y即可得到P点坐标；（3）利用题意得到所有满足条件的点P构成的图形为正方形ABCD，然后计算它的面积即可．【解答】解：（1）点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝|﹣2|+|3|＝2+3＝5；故答案为5；（2）根据题意得|x|+|y|＝6，而2x+y＝0，即y＝﹣2x，∴|x|+|﹣2x|＝6，∴3|x|＝6，解得x＝2或﹣2，当x＝2时，y＝﹣2x＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝﹣2x＝4，∴P点坐标为（2，﹣4），（﹣2，4）；（3）如图，所有满足条件的点P构成的图形为正方形ABCD，该图形的所围成封闭区域的面积＝×6×6＝18．24．（10分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．根据以上信息，解答下列问题：（1）下列等式或命题中，错误的是CA．i4＝1B．复数（1+i）2的实部为0C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣iD．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；②（1+2）3（1﹣2i）3．【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；（2）①原式利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式化简，再利用题中的新定义计算即可求出值；②原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，再利用新定义化简即可求出值．【解答】解：（1）A．i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，不符合题意；B．复数（1+i）2＝1+2i﹣1＝2i，实数部分为0，不符合题意；C．（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i+4＝7﹣i，符合题意；D．i+i2+i3+i4+…+i2019＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i＝﹣1，不符合题意，故选C；（2）①原式＝2﹣i+4i+2+4﹣4i﹣1＝7﹣i；②原式＝27（﹣3﹣4i）（1﹣2i）＝27（﹣3+6i﹣4i﹣8）＝27（﹣11+2i）＝﹣297+54i．25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，连线AE、BF．（1）如图1，若BF⊥AC，AE＝3，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：AF+2FG＝FC．【分析】（1）过点E作EG⊥AC于点G，由平行四边形的性质BC＝AD＝6，由等腰直角三角形的性质可得GE＝FC＝3，由勾股定理可求AG的长，即可求AF的长；（2）通过证明△DAC∽△BGE，可得＝，AC＝2BG，即可得结论．【解答】解：（1）如图，过点E作EG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形∴BC＝AD＝6，∵BC的垂直平分线交AC于F，∴BF＝CF，且∠BFC＝90°，BC＝6∴BF＝CF＝6，EF＝BE＝EC＝3，∵EF＝CE，EG⊥AC∴GE＝FC＝3在Rt△AEG中，AG＝＝6，。

2021年江苏省南通市中考数学模拟试卷解析版
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．的倒数是（）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
【分析】的倒数是，但的分母需要有理化．
【解答】解：因为，的倒数是，而＝
故：选D
【点评】本题考查了倒数的求法，要注意与相反数区分开来，并注意化简结果，即分母有理化．
2．用大小一样的正方体搭一几何体（如图），该几何体的左视图是选项中的（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面看可得到3列正方形的个数依次为2，1，1．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝40°，则∠2等于（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．即：两直线平行，同位角相等．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，
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2021年中考模拟试题数学一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．五个新篮球的质量（单位：克）分别是+5、﹣3.5、+0.7、﹣2.5、﹣0.6，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数．仅从轻重的角度看，最接近标准的篮球的质量是（）A．﹣2.5B．﹣0.6C．+0.7D．+52．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（）A．B．C．D．3．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（）A．53006×10人B．5.3006×105人C．53×104人D．0.53×106人4．下列图形是轴对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（）A．22个、20个B．22个、21个C．20个、21个D．20个、22个8．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（）A．B．C．D．9．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2B．由a＞b，得|a|＞|b|C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b210．已知：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC＝160，则点E的坐标为（）A．（5，8）B．（5，10）C．（4，8）D．（3，10）二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝．13．有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是．14．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝．15．如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝1cm，BC＝3cm，CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长是：．16．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是．17．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C 在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是．18．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（10分）（1）计算：（﹣1）（+1）+（﹣1）0﹣（﹣）﹣2．（2）化简：．（3）解方程：．20．（8分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的正整数解．21．（8分）一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？22．（8分）某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分（60≤m≤100），组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表．征文比赛成绩频数分布表分数段频数频率60≤m＜70380.3870≤m＜80a0.3280≤m＜90b c90≤m≤100100.1合计1请根据以上信息，解决下列问题：（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是；（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数．23．（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．（1）小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）（2）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．24．（8分）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．25．（9分）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN＝45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，联结MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）联结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．26．（10分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表：x/元…152025…y/件…252015…已知日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？27．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝，BC＝，AC＝；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．（14分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a ＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】求它们的绝对值，比较大小，绝对值小的最接近标准的篮球的质量．【解答】解：|+5|＝5，|﹣3.5|＝3.5，|+0.7|＝0.7，|﹣2.5|＝2.5，|﹣0.6|＝0.6，∵5＞3.5＞2.5＞0.7＞0.6，∴最接近标准的篮球的质量是﹣0.6，故选：B．【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义以及意义是解题的关键．2．【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱，进一步由展开图的特征选择答案即可．【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱，因此图A是圆柱的展开图．故选：A．【点评】此题由三视图判断几何体，用到的知识点为：三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．3．【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可．【解答】解：∵530060是6位数，∴10的指数应是5，故选：B．【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键．4．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．【解答】解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．故轴对称图形有4个．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．【分析】根据三角形的中位线定理即可判断；【解答】解：∵CM＝MA，CNB，∴MN∥AB，MN＝AB，∵MN＝18m，∴AB＝36m，故A、B、D正确，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．6．【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．7．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．故选：C．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．8．【分析】根据小李距家3千米，路程随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可．【解答】解：∵小李距家3千米，∴离家的距离随着时间的增大而增大，∵途中在文具店买了一些学习用品，∴中间有一段离家的距离不再增加，综合以上C符合，故选：C．【点评】本题考查了函数图象，比较简单，了解横、总坐标分别表示什么是解题的关键．9．【分析】根据不等式的性质进行分析判断．【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时减去2，不等式仍成立，即a﹣2＞b﹣2，故本选项错误；B、当a＞b＞0时，不等式|a|＞|b|成立，故本选项错误；C、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣2，不等式的符号方向改变，即﹣2a＜﹣2b成立，故本选项正确；D、当a＞b＞0时，不等式a2＞b2成立，故本选项错误；故选：C．【点评】考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．10．【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC＝160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D 点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y＝（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标即可．【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，∵OB•AC＝160，A点的坐标为（10，0），∴OA•CF＝OB•AC＝×160＝80，菱形OABC的边长为10，∴CF＝＝＝8，在Rt△OCF中，∵OC＝10，CF＝8，∴OF＝＝＝6，∴C（6，8），∵点D是线段AC的中点，∴D点坐标为（，），即（8，4），∵双曲线y＝（x＞0）经过D点，∴4＝，即k＝32，∴双曲线的解析式为：y＝（x＞0），∵CF＝8，∴直线CB的解析式为y＝8，∴，解得：，∴E点坐标为（4，8）．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．【分析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得．【解答】解：根据题意，得：，解得：x≤2且x≠﹣2，故答案为：x≤2且x≠﹣2．【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，把x12+x22+3x1x2变形为（x1+x2）2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，x12+x22+3x1x2＝（x1+x2）2+x1x2＝22+（﹣5）＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．13．【分析】根据题意，使用列举法可得从4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3种；故其概率为：．【点评】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】将已知条件变形为a2＝1﹣a、a2+a＝1，然后将代数式a3+2a2+2018进一步变形进行求解．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，∴a2＝1﹣a、a2+a＝1，∴a3+2a2+3，＝a•a2+2（1﹣a）+2018，＝a（1﹣a）+2﹣2a+2020，＝a﹣a2﹣2a+2020，＝﹣a2﹣a+2020，＝﹣（a2+a）+2020，＝﹣1+2020，＝2019．故答案为：2019．【点评】本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．15．【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【解答】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝2cm．∴GH＝3+3+2＝8cm，FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4cm，EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣4﹣2＝2cm．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2＝15cm．故答案为：15cm．【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．16．【分析】式子的符号：第奇数个是正号．偶数个是负号，分子等于序号的平方，分母中a的指数是：序号的3倍减去1，据此即可求解．【解答】解：∵＝（﹣1）1+1•，﹣＝（﹣1）2+1•，＝（﹣1）3+1•，…第10个式子是（﹣1）10+1•＝．故答案是：．【点评】本题主要考查了式子的特征，正确理解式子的规律是解题的关键．17．【分析】过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝1，∴DE＝3，∴tan∠α＝．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．18．【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，可以判断a的正负，得到关于a的方程，从而可以求得a的值．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3＝a（x+1）2+3a2﹣a+3，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣4≤x≤1时，y的最大值为7，∴a＜0，当x＝﹣1时，y＝7，∴7＝a（x+1）2+3a2﹣a+3，解得，a1＝﹣1，a2＝（舍去），故答案为：﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三．解答题（共10小题，满分96分）19．【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式＝3﹣1+1﹣9，然后进行加减运算；（2）先把分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分后进行同分母的加法运算；（3）先去分母得到整式方程，再解整式方程，然后检验即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣1+1﹣9＝﹣6；（2）原式＝+•＝+＝；（4）x（x+2）+6（x﹣2）＝（x﹣2）（x+2），x2+2x+6x﹣12＝x2﹣4，x＝1，经检验，x＝1是原方程的解．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．20．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，即可求得正整数解．【解答】解：解不等式①，得x＜4，解不等式②，得x≥﹣2，所以，原不等式组的解集是﹣2≤x＜4在数轴上表示如下：所以，原不等式组的正整数解是1，2，3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．21．【分析】作PD⊥AB交AB延长线于D点，依据直角三角形的性质求得PD的长，即可得出结论．【解答】解：如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，∵∠PBC＝30°，∴∠PAB＝15°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，∴PB＝AB＝20×2＝40 （海里），在Rt△BPD中，∴PD＝PB＝20（海里），∵20＞18，∴不会触礁．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含30°直角三角形的性质，其中轮船有没有危险由PD的长与18比较大小决定．22．【分析】（1）依据1﹣0.38﹣0.32﹣0.1，即可得到c的值；（2）求得各分数段的频数，即可补全征文比赛成绩频数分布直方图；（3）利用80分以上（含80分）的征文所占的比例，即可得到全市获得一等奖征文的篇数．【解答】解：（1）1﹣0.38﹣0.32﹣0.1＝0.2，故答案为：0.2；（2）10÷0.1＝100，100×0.32＝32，100×0.2＝20，补全征文比赛成绩频数分布直方图：（3）全市获得一等奖征文的篇数为：1000×（0.2+0.1）＝300（篇）．【点评】本题考查了频数（率）分布直方图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小红和小亮诵读两个不同材料的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）小红诵读《论语》的概率＝；故答案为．（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小红和小亮诵读两个不同材料的结果数为6，所以小红和小亮诵读两个不同材料的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．24．【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，再根据圆周角定理得出∠DOE＝60°，由直角三角形的性质可知OD＝2OE，由此可得出r的长，在Rt△OED中根据勾股定理求出DE 的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，∵∠BAD＝30°，∴∠DOE＝60°，∵CD⊥AB，∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；∴OE＝4﹣2＝2，∴DE＝＝＝2，∴CD＝2DE＝4．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．25．【分析】（1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得∠ABM＝∠ADN＝135°，又由∠MAN＝45°，可证得∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN，即可证得△ABM∽△NDA；（2）由四边形BMND为矩形，可得BM＝DN，然后由△ABM∽△NDA，根据相似三角形的对应边成比例，可证得BM2＝AB2，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＝∠AND＝45°﹣∠DAN，∴△ABM∽△NDA；（2）解：∵四边形BMND为矩形，∴BM＝DN，∵△ABM∽△NDA，∴＝，∴BM2＝AB2，∴BM＝AB，∴∠BAM＝∠BMA＝＝22.5°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质．注意能证得当四边形BMND为矩形时，△ABM是等腰三角形是难点．26．【分析】（1）根据题意可以设出y与x的函数关系式，然后根据表格中的数据，即可求出日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；（2）根据题意可以计算出当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润．【解答】解：（1）设日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝kx+b，，解得，，即日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝﹣x+40；（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是：（35﹣10）（﹣35+40）＝25×5＝125（元），即当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是125元．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．【分析】（1）先确定出OA＝4，OC＝8，进而得出AB＝8，BC＝4，利用勾股定理即可得出AC；（2）A、①利用折叠的性质得出BD＝8﹣AD，最后用勾股定理即可得出结论；②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；B、①利用折叠的性质得出AE，利用勾股定理即可得出结论；②先判断出∠APC＝90°，再分情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（4，0），C（0，8），∴OA＝4，OC＝8，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝4，故答案为：8，4，4；（2）A、①由（1）知，BC＝4，AB＝8，由折叠知，CD＝AD，在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝8﹣AD，根据勾股定理得，CD2＝BC2+BD2，即：AD2＝16+（8﹣AD）2，∴AD＝5，②由①知，D（4，5），设P（0，y），∵A（4，0），∴AP2＝16+y2，DP2＝16+（y﹣5）2，∵△APD为等腰三角形，∴Ⅰ、AP＝AD，∴16+y2＝25，∴y＝±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）Ⅱ、AP＝DP，∴16+y2＝16+（y﹣5）2，∴y＝，Ⅲ、AD＝DP，25＝16+（y﹣5）2，∴y＝2或8，∴P（0，2）或（0，8）．B、①、由A①知，AD＝5，由折叠知，AE＝AC＝2，DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，DE＝＝，②、∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC＝∠ABC＝90°，∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0），如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴，∴，∴AN＝，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴，∴NH＝，AH＝，∴N（，），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（，），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣，），即：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，对称的性质，解（1）的关键是求出AC，解（2）的关键是利用分类讨论的思想解决问题．28．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N 的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），∴0＝2×1+m ，解得m ＝﹣2，∴y ＝2x ﹣2，则，得ax 2+（a ﹣2）x ﹣2a +2＝0，∴（x ﹣1）（ax +2a ﹣2）＝0，解得x ＝1或x ＝﹣2，∴N 点坐标为（﹣2，﹣6），∵a ＜b ，即a ＜﹣2a ，∴a ＜0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为x ＝﹣＝﹣，∴E （﹣，﹣3），∵M （1，0），N （﹣2，﹣6），设△DMN 的面积为S ，∴S ＝S △DEN +S △DEM ＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝， （3）当a ＝﹣1时，抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +）2+， 有，﹣x 2﹣x +2＝﹣2x ，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1，∴G （﹣1，2），∵点G 、H 关于原点对称，∴H （1，﹣2），设直线GH 平移后的解析式为：y ＝﹣2x +t ，﹣x 2﹣x +2＝﹣2x +t ，x2﹣x﹣2+t＝0，△＝1﹣4（t﹣2）＝0，t＝，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y＝﹣2x+t，t＝2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。

2021年天津市中考数学模拟试题（一）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）下列结论正确的是（）A．若a＜0，b＞0，则a•b＞0B．若a＞0，b＜0，则a•b＜0C．若a＜0，b＜0，则a•b＜0D．若a＝0，b≠0，则a•b无法确定符号【答案】B【解析】A、若a＜0，b＞0，则a•b＜0，故此选项错误；B、若a＞0，b＜0，则a•b＜0，故此选项正确；C、若a＜0，b＜0，则a•b＞0，故此选项错误；D、若a＝0，b≠0，则a•b＝0，故此选项错误．故选：B．2．（3分）cos30°的值是（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】cos30°＝．故选：B．3．（3分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（）A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103【解析】数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．故选：A．4．（3分）古人使用下面的几何图形研究勾股定理，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图形的组成可得：C图形是轴对称图形．故选：C．5．（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A．仅主视图不同B．仅俯视图不同C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同【解析】解法一：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．解法二：第一个几何体的三视图如图所示第二个几何体的三视图如图所示：观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，故选：D．6．（3分）估计的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间【答案】A【解析】∵49＜63＜64，∵7＜＜8，故选：A．7．（3分）化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．【答案】B【解析】原式＝＝＝＝a﹣b．故选：B．8．（3分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（）A．2B．8C．8D．12【答案】C【解析】连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∵AB＝BC＝CD＝AD，AC∵BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∵OD＝2，BD＝8，∵AE＝OD＝2，DE＝4，∵AD＝＝2，∵菱形的周长＝4AD＝8；故选：C．9．（3分）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（）A．1、2B．1、5C．5、1D．2、4【答案】C【解析】将x＝2代入第二个方程可得y＝1，将x＝2，y＝1代入第一个方程可得2x+y＝5∵被遮盖的前后两个数分别为：5，1故选：C．10．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2【答案】A【解析】把点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）分别代入y＝得y1＝﹣＝3，y2＝﹣＝6，y3＝﹣＝﹣6，所以y3＜y1＜y2．故选：A．11．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点PH，连结AH，若P是CH的中点，则∵APH的周长为（）A．15B．18C．20D．24【答案】C【解析】设HD＝x，由已知HC＝x+8∵P是CH的中点∵HP＝有图形可知，∵HP A中，边HP和边AP边上高相等∵由面积法HP＝AP∵AP＝4+∵DP＝HP﹣HD＝4﹣∵Rt∵APD中AP2＝DP2+AD2∵（4+）2＝（4﹣）2+62解得x＝∵HP＝4+＝∵Rt∵ADH中，HA＝∵∵APH的周长为＝20故选：C．12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：∵abc＞0；∵b2﹣4ac＞0；∵x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；∵a+b＝0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】∵∵二次函数的图象开口向下，∵a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∵对称轴是直线x＝，∵﹣＝，∵b＝﹣a＞0，∵abc＜0．故∵错误；∵∵抛物线与x轴有两个交点，∵b2﹣4ac＞0，故∵正确；∵∵对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个，故∵正确；∵∵由∵中知b＝﹣a，∵a+b＝0，故∵正确；综上所述，正确的结论是∵∵∵共3个．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）﹣b•b3＝________．【答案】﹣b4．【解析】﹣b•b3＝﹣b1+3＝﹣b4．14．（3分）计算（2﹣）2的结果等于________．【答案】22﹣4．【解析】原式＝20﹣4+2＝22﹣4．15．（3分）班级联欢会上举行抽奖活动，把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生23人，女生22人，老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为________．【答案】．【解析】老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为＝，16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），点B（0，4），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∵ABP＝45°，则点P的坐标为________．【答案】（5，﹣6）．【解析】如图所示，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为（﹣4，﹣8），由于旋转可知，∵ABC为等腰直角三角形，令线段AC和线段BP交于点M，则M为线段AC的中点，所以点M的坐标为（4，﹣4），又B为（0，4），设直线BP为y＝kx+b，将点B和点M代入可得，解得k＝﹣2，b＝4，可得直线BP为y＝﹣2x+4，由于点P为直线BP和直线y＝﹣x﹣1的交点，则由解得，所以点P的坐标为（5，﹣6），17．（3分）如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为________．【答案】2或8．【解析】分两种情况：∵当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∵DE＝D′E，∵正方形ABCD的边长是9，∵AB＝BC＝CD＝AD＝9，∵CF＝4，∵DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，∵CD′＝＝3，∵BD'＝BC﹣CD'＝6，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt∵AED和Rt∵BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+62，∵92+x2＝（9﹣x）2+62，解得：x＝2，即AE＝2；∵当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∵DE＝D′E，∵正方形ABCD的边长是9，∵AB＝BC＝CD＝AD＝9，∵CF＝4，∵DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝＝3，∵BD'＝BC+CD'＝12，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt∵AED和Rt∵BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+122，∵92+x2＝（9﹣x）2+122，解得：x＝8，即AE＝8；综上所述，线段AE的长为2或8；18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，∵ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB＝．（∵）线段AC的长等于________．（∵）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）________．【答案】（∵）（∵）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．【解析】（∵）线段AC的长等于＝；（∵）如图，∵点A，C是2×3网格的格点，∵取2×3网格的格点M，N，M′，N′，连接MN，M′N′，即将AC平移至MN和M′N′，′∵MN∵AC∵M′N′，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．∵BC是直径，∵∵BDC＝90°，∵MN∵AC∵M′N，∵BD∵MN，BD∵M′N′，∵BD＝B′D，∵点B、点B′关于AC对称，∵BP＝B′P，∵BP+PQ＝B′P+PQ＝B′Q最短．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）解不等式组，并把它们的解在数轴上表示出来．【答案】见解析【解析】∵解不等式∵得：x≥﹣2，解不等式∵得：x＜2，∵原不等式组的解集为：﹣2≤x＜2，在数轴上表示为：．20．（8分）“学而时习之，不亦乐乎!”，古人把经常复习当作是一种乐趣，能达到这种境界是非常不容易的．复习可以让遗忘的知识得到补拾，零散的知识变得系统，薄弱的知识有所强化，掌握的知识更加巩固，生疏的技能得到训练．为了了解初一学生每周的复习情况，教务处对初一（1）班学生一周复习的时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，一周复习2小时的女生人数占全班人数的16%，一周复习4小时的男女生人数相等．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（表）：初一（1）班女生的复习时间数据（单位：小时）如下：0.9，1.3，1.7，1.8，1.9，2.2，2.2，2.2，2.3，2.4，3.2，3.2，3.2，3.3，3.8，3.9，3.9，4.1，4.2，4.3．女生一周复习时间频数分布表分组（四舍五入后）频数（学生人数）1小时22小时a3小时44小时b（1）四舍五入前，女生一周复习时间的众数为________小时，中位数为________小时；（2）统计图表中a＝________，c＝________，________初一（1）班男生人数为________人，根据扇形统计图估算初一（1）班男生一周的平均复习时间为________小时；（3）为了激励学生养成良好的复习习惯，教务处决定对一周复习时间四舍五入后达到3小时及以上的全年级学生进行表扬，每人奖励1个笔记本，初一年级共有1000名学生，请问教务处应该准备大约多少个笔记本？【答案】见解析【解析】（1）2.2与3.2出现的次数都是3次，都是出现次数最多的数；＝2.8．故答案为：2.2、3.2，2.8（2）初一（1）班一周复习2小时的女生人数共8人，即a＝8；因为一周复习2小时的女生人数占全班人数的16%，所以该班人数为：8÷16%＝50（人）因为该班有女生20人，所以有男生50﹣20＝30（人）．一周复习4小时的女生有：b＝20﹣2﹣8﹣4＝6（人）因为该班一周复习4小时的男女生人数相等．所以一周复习4小时的男生占男生人数的百分比为：＝20%，即d＝20，所以c＝100﹣10﹣50﹣20＝20．所以男生一周的平均复习时间为：2×50%+1×10%+4×20%+3×20%＝2.5（小时）故答案为：8，20，2.5（3）初一（1）班复习时间在三小时及以上的人数有：4+6+6+30×20%＝22（人）占该班人数的＝44%，教务处该准备笔记本：1000×44%＝440（个）答：教务处应该准备大约440个笔记本21．（10分）如图，P A、PB是∵O的切线，A、B为切点，∵P＝44°．（∵）如图∵，若点C为优弧AB上一点，求∵ACB的度数；（∵）如图∵，在（∵）的条件下，若点D为劣弧AC上一点，求∵P AD+∵C的度数．【答案】见解析【解析】（∵）∵P A、PB是∵O的切线，∵∵OAP＝90°，∵OBP＝90°，∵∵AOB＝360°﹣∵OAP﹣∵OBP﹣∵P＝360°﹣90°﹣90°﹣44°＝136°，∵∵ACB＝AOB＝68°；（∵）连接AB，∵P A、PB是∵O的切线，∵P A＝PB，∵∵P＝44°，∵∵P AB＝∵PBA＝（180°﹣44°）＝68°，∵∵DAB+∵C＝180°，∵∵P AD+∵C＝∵P AB+∵DAB+∵C＝180°+68°＝248°．22．（10分）某数学课题研究小组要测量兰山顶部信号塔的高度，甲同学站在距离山脚20m的A处测得山顶的仰角为30°，测得塔顶D的仰角为60°，求塔高CD为多少？（取1.7，结果精确到0.1m）【答案】见解析【解析】在Rt∵ABC中，tan∵CAB＝，∵BC＝AB•tan∵CAB＝20×＝（m），在Rt∵DAB中，tan∵DAB＝，∵DB＝AB tan∵DAB＝20×＝20（m），∵CD＝DB﹣BC＝20﹣＝≈22.7（m）答：塔高CD约为22.7m．23．（10分）A，B两地相距20km．甲、乙两人都由A地去B地，甲骑自行车，平均速度为10km/h；乙乘汽车，平均速度为40km/h，且比甲晚1.5h出发．设甲的骑行时间为x（h）（0≤x≤2）（∵）根据题意，填写下表：0.5 1.82时间x（h）与A地的距离甲与A地的距离（km）51820乙与A地的距离（km）01220（∵）设甲，乙两人与A地的距离为y1（km）和y2（km），写出y1，y2关于x的函数解析式；（∵）设甲，乙两人之间的距离为y，当y＝12时，求x的值．【答案】见解析【解析】（∵）由题意知：甲、乙二人平均速度分别是平均速度为10km/h和40km/h，且比甲晚1.5h出发．当时间x＝1.8 时，甲离开A的距离是10×1.8＝18（km）当甲离开A的距离20km时，甲的行驶时间是20÷10＝2（时）此时乙行驶的时间是2﹣1.5＝0.5（时），所以乙离开A的距离是40×0.5＝20（km）故填写下表：y1＝10x（0≤x≤1.5），（∵）根据题意，得当0≤x≤1.5时，由10x＝12，得x＝1.2当1.5＜x≤2时，由﹣30x+60＝12，得x＝1.6因此，当y＝12时，x的值是1.2或1.624．（10分）如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C重合，点E在对角线AC上．【问题发现】如图1所示，AE与BF的数量关系为________；【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；【拓展延伸】若点F为BC的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为________．【答案】见解析【解析】【问题发现】解：AE＝BF，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，∵∵B＝∵CFE＝90°，∵FCE＝∵BCA＝45°，CE＝CF，CE∵GF，∵AB∵EF，∵＝＝，∵AE＝BF；故答案为：AE＝BF；【类比探究】解：上述结论还成立，理由如下：连接CE，如图2所示：∵∵FCE＝∵BCA＝45°，∵∵BCF＝∵ACE＝45°﹣∵ACF，在Rt∵CEG和Rt∵CBA中，CE＝CF，CA＝CB，∵＝＝，∵∵ACE∵∵BCF，∵＝＝，∵AE＝BF；【拓展延伸】解：分两种情况：∵如图3所示：连接CE交GF于H，∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，∵AB＝BC＝4，AC＝AB＝4，GF＝CE＝CF，HF＝HE＝HC，∵点F为BC的中点，∵CF＝BC＝2，GF＝CE＝2，GH＝HF＝HE＝HC＝，∵AH＝＝＝，∵AG＝AH+HG＝+；∵如图4所示：连接CE交GF于H，同∵得：GH＝HF＝HE＝HC＝，∵AH＝＝＝，∵AG＝AH﹣HG＝﹣；故答案为：+或﹣．25．（10分）如图∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∵PBC＝∵DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】见解析【解析】如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．∵解得∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，∵m＝3，∵D（2，3），∵C（0，3）∵OC＝OB，∵∵OBC＝∵OCB＝45°．连接CD，∵CD∵x轴，∵∵DCB＝∵OBC＝45°，∵∵DCB＝∵OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝2，再延长BG交抛物线于点P，在∵DCB和∵GCB中，CB＝CB，∵DCB＝∵OCB，CG＝CD，∵∵DCB∵∵GCB（SAS）∵∵DBC＝∵GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得k＝﹣，b＝1，∵BP解析式为y BP＝﹣x+1．y BP＝﹣x+1，y＝﹣x2+2x+3当y＝y BP时，﹣x+1＝﹣x2+2x+3，解得x1＝﹣，x2＝3（舍去），∵y＝，∵P（﹣，）．（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．设点N（1，n），当BC、MN为平行四边形对角线时，由BC、MN互相平分，M（2，3﹣n），代入y＝﹣x2+2x+3，3﹣n＝﹣4+4+3，解得n＝0，∵M（2，3）；当BM、NC为平行四边形对角线时，由BM、NC互相平分，M（﹣2，3+n），代入y＝﹣x2+2x+3，3+n＝﹣4﹣4+3，解得n＝﹣8，∵M（﹣2，﹣5）；当MC、BN为平行四边形对角线时，由MC、BN互相平分，M（4，n﹣3），代入y＝﹣x2+2x+3，n﹣3＝﹣16+8+3，解得n＝﹣2，∵M（4，﹣5）．综上所述，点M的坐标为：M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．。

中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题满分36分，每小题3分. ） 1. 2 sin 60°的值等于（ ） A. 1B.23C. 2D. 32. 下列的几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个3. 据2017年1月24日《桂林日报》报道，临桂县2016年财政收入突破18亿元，在广西各县中排名第二. 将18亿用科学记数法表示为（ ）A. 1.8×10B. 1.8×108C. 1.8×109D. 1.8×10104. 估计8-1的值在（ ）A. 0到1之间B. 1到2之间C. 2到3之间D. 3至4之间 5. 将下列图形绕其对角线的交点顺时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 6. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）7. 为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图. 根据统计图提供的 信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ） A. 1200名 B. 450名C. 400名D. 300名8. 用配方法解一元二次方程x 2+ 4x – 5 = 0，此方程可变形为（ ） A. （x + 2）2= 9 B. （x - 2）2 = 9C. （x + 2）2 = 1D. （x - 2）2=19. 如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC =（ ） A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 2∶310. 下列各因式分解正确的是（ ）A. x 2 + 2x-1=（x - 1）2B. - x 2+（-2）2=（x - 2）（x + 2） C. x 3- 4x = x （x + 2）（x - 2）D. （x + 1）2= x 2 + 2x + 111. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB = 4，∠BED = 120°， 则图中阴影部分的面积之和为（ ）A. 3B. 23C.23D. 112. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，M 是AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动到终点C ，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点B. 已知P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接MP ，MQ ，PQ . 在整个运动过程中，△MPQ 的面积大小变化情况是 A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减小二、填空题（本大题满分18分，每小题3分，） 13. 计算：│-31│= . 14. 已知一次函数y = kx + 3的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是 .（第9题图）（第11题图） （第12题图）（第7题图）15. 在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 .16. 在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度. 若设原计划每天修路x m ，则根据题意可得方程 .17. 在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x 轴翻折，再向右平移2个单 位称为1次变换. 如图，已知等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是 （-1，-1），（-3，-1），把△ABC 经过连续9次这样的变换得到△A ′B ′C ′， 则点A 的对应点A ′ 的坐标是 .18. 如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角 边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三 个等腰Rt △ADE ……依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等 腰直角三角形所构成的图形的面积为 . 三、解答题（本大题8题，共66分，） 19. （本小题满分8分，每题4分）（1）计算：4 cos45°-8+(π-3) +(-1)3； （2）化简：（1 -n m n+）÷22nm m -. 20. （本小题满分6分）21. （本小题满分6分）如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠ABC = 72°. （1）用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC 的平分线BD 后，求∠BDC 的度数.22. （本小题满分8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下： （1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动.23. （本小题满分8分）如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°. 小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF = 1米，从E处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度. （参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）24. （本小题满分8分）如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ， MN ⊥AP ，垂足为N. （1）求证：OM = AN ；（2）若⊙O 的半径R = 3，PA = 9，求OM 的长.25. （本小题满分10分）某中学计划购买A 型和B 型课桌凳共200套. 经招标，购买一套A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用40元，且购买4套A 型和5套B 型课桌凳共需1820元.（1）求购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需多少元？（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A 型课桌凳的数量不能超过B 型课桌凳数量的32，求该校本次购买A 型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方（第17题图）（第18题图） （第21题图）（第23题图）（第24题图）°案的总费用最低？26. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0）. 如图所示，B 点在抛物线y =21x 2 -21x – 2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为-3.（1）求证：△BDC ≌ △COA ；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D ACBCBDABCAC题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BD AA BC BB B D题号 11121314 1516答案360°-m ²3()()x y x y +-3509 132A ．B ． ﹣3C ．﹣D ． 3考点： 相反数．分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 解答： 解：﹣3相反数是3．故选D ．点评： 本题主要考查了互为相反数的定义，熟记定义是解题的关键． A ．B ． （m 2）3=m 5C ． a 2•a 3=a 5D ． （x+y ）2=x 2+y 2 考点： 完全平方公式；算术平方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 专题： 计算题．分析： A 、利用平方根定义化简得到结果，即可做出判断；B 、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C 、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D 、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．解答： 解：A 、=3，本选项错误；B 、（m 2）3=m 6，本选项错误；C 、a 2•a 3=a 5，本选项正确；D 、（x+y ）2=x 2+y 2+2xy ，本选项错误， 故选C点评： 此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．A ． 矩形B ． 菱形C ． 正五边形D ． 正八边形 考点： 中心对称图形．捐款 人数 0~20元 21~40元 41~60元 61~80元 6 81元以上 4（第26题图）分析：根据中心对称图形的概念和各图形的特点即可解答．解答：解：只有正五边形是奇数边形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．故选C．点评：本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，正奇边形一定不是中心对称图形．A．6B．7C．8D．10考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．解答：解：∵正n边形的一个内角为135°，∴正n边形的一个外角为180°﹣135°=45°，n=360°÷45°=8．故选C．点评：本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．A．某种彩票中奖的概率是，买1000张该种彩票一定会中奖B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查C．若甲组数据的标准差S=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定甲D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件考点：概率公式；全面调查与抽样调查；标准差；随机事件；可能性的大小．专题：压轴题．分析：根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可．解答：解：A、某种彩票中奖的概率是，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误；B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确；C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确；D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确．故选A．点评：用到的知识点为：破坏性较强的调查应采用抽样调查的方式；随机事件可能发生，也可能不发生；标准差越小，数据越稳定；一定不会发生的事件是不可能事件．A．﹣1 B．0C．1D．2考点：反比例函数的性质．专题：压轴题．分析：对于函数来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．解答：解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，所以1﹣k＜0，解得k＞1．故选D．点评：本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．A．10πB．15πC．20πD．30π考点： 圆锥的计算；由三视图判断几何体． 分析： 根据三视图可以判定此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可以知圆锥的底面半径为3，圆锥的母线长为5，代入公式求得即可．解答： 解：由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×3=6π，∴圆锥的侧面积==×6π×5=15π，故选B ．点评： 本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．A ．B ．C ．D ．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题；探究型． 分析：首先设出点A 和点B 的坐标分别为：（x 1，）、（x 2，﹣），设线段OA 所在的直线的解析式为：y=k 1x ，线段OB 所在的直线的解析式为：y=k 2x ，然后根据OA ⊥OB ，得到k 1k 2=•（﹣）=﹣1，然后利用正切的定义进行化简求值即可．解答：解：设点A 的坐标为（x 1，），点B 的坐标为（x 2，﹣），设线段OA 所在的直线的解析式为：y=k 1x ，线段OB 所在的直线的解析式为：y=k 2x ， 则k 1=，k 2=﹣，∵OA ⊥OB ， ∴k 1k 2=•（﹣）=﹣1整理得：（x 1x 2）2=16，∴tanB=======．故选B ．点评： 本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出A 、B 两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解．考点： 科学记数法—表示较小的数．分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000025=2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据二次根式的意义，有x﹣1≥0，解不等式即可．解答：解：根据二次根式的意义，有x﹣1≥0，解可x≥1，故自变量x的取值范围是x≥1．点评：本题考查了二次根式的意义，只需保证被开方数大于等于0即可．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：m3﹣4m2+4m=m（m2﹣4m+4）=m（m﹣2）2．故答案为：m（m﹣2）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．考点：圆与圆的位置关系．分析：两圆相交，圆心距是7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得另一圆的半径的取值范围，继而求得答案．解答：解：∵⊙O1与⊙O2相交，圆心距是7，又∵7﹣2=5，7+2=9，∴半径m的取值范围为：5＜m＜9．故答案为：5＜m＜9．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：先把点（a，b）代入一次函数y=2x﹣3求出2a﹣b的值，再代入代数式进行计算即可．解答：解：∵点（a，b）在一次函数y=2x﹣3上，∴b=2a﹣3，即2a﹣b=3，∴原式=﹣3（2a﹣b）+1=（﹣3）×3+1=﹣8．故答案为：﹣8．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为x（x﹣3），去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．解答：解：方程两边同乘x（x﹣3），得2x=3（x﹣3），解得x=9．经检验x=9是原方程的解．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．考点：圆周角定理；垂径定理．分析：由⊙O的直径CD⊥EF，由垂径定理可得=，又由∠OEG=30°，∠EOG的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：∵⊙O的直径CD⊥EF，∴=，∵∠OEG=30°，∴∠EOG=90°﹣∠OEG=60°，∴∠DCF=∠EOG=30°．故答案为：30°．点评：此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是直线y1=kx+m落在二次函数y2=ax2+bx+c的图象上方的部分对应的自变量x的取值范围．解答：解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．故答案为：﹣1≤x≤2．点评：本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设正方形ABCD的边长为x，根据翻折变换的知识可知BE=EG=2，DF=GF=3，则EC=x﹣2，FC=x﹣3，在Rt△EFC中，根据勾股定理列出式子即可求得边长x的长度．解答：解：设正方形ABCD的边长为x，根据折叠的性质可知：BE=EG=2，DF=GF=3，则EC=x﹣2，FC=x﹣3，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=（2+3）2，解得：x1=6，x2=﹣1（舍去），故正方形纸片ABCD的边长为6．故答案为：6．点评：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等，另外要求同学们熟练掌握勾股定理的应用．考点：剪纸问题；一元二次方程的应用；正方形的性质．专题：几何图形问题；压轴题．分析：根据题中信息可得图2、图3面积相等；图2可分割为一个正方形和四个小三角形；设原八角形边长为a，则图2正方形边长为2a+a、面积为（2a+a）2，四个小三角形面积和为2a2，解得a=1．AB就知道等于多少了．解答：解：设原八角形边长为a，则图2正方形边长为2a+a、面积为（2a+a）2，四个小三角形面积和为2a2，列式得（2a+a）2+2a2=8+4，解得a=1，则AB=1+．点评：解此题的关键是抓住图3中的AB在图2中是哪两条线段组成的，再列出方程求出即可．考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=+×+5﹣1，再进行二次根式的乘法运算，然后进行有理数的加减运算；（2）先把括号内通分和把除法化为乘法，然后把分子分解后约分即可．解答：（1）解：原式=+×+5﹣1=++5﹣1=6；（2）原式=•=x．点评：本题考查了分式的混合运算：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集即可．解答：解：∵由①得，x＜2，由②得，x≥﹣1，∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜2，在数轴上表示不等式组的解集为．点评：本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．考点：折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数．分析：（1）从（1）可看出3℃的有3天．（2）中位数是数据从小到大排列在中间位置的数．（3）求加权平均数数，8天的温度和÷8就为所求．解答：解：（1）如图所示．（2）∵这8天的气温从高到低排列为：4，3，3，3，2，2，1，1∴中位数应该是第4个数和第5个数的平均数：（2+3）÷2=2.5．（3）（1×2+2×2+3×3+4×1）÷8=2.375℃．8天气温的平均数是2.375．点评：本题考查了折线统计图，条形统计图的特点，以及中位数的概念和加权平均数的知识点．考点：列表法与树状图法；等腰三角形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．解答：解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）=；（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率P==．故答案为：（1），（2）．点评：此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键．考点：解直角三角形．分析：过点B作BM⊥FD于点M，解直角三角形求出BC，在△BMC值解直角三角形求出CM，BM，推出BM=DM，即可求出答案．解答：解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC tan60°=10，∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°．∴BM=BC•sin30°=10×=5，CM=BC•cos30°=10×=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM﹣MD=15﹣5．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是能通过解直角三角形求出线段CM、MD的长．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2=k，利用S1+S2=2即可求出k；（2）设，，利用S四边形OAEF=S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF=﹣+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S四边形OAEF=5，此时AE=2．解答：解：（1）∵点E、F在函数y=（x＞0）的图象上，∴设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，∴S1=，S2=，∵S1+S2=2，∴=2，∴k=2；（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，设，，∴BE=4﹣，BF=2﹣，∴S△BEF=﹣k+4，∵S△OCF=，S矩形OABC=2×4=8，∴S四边形OAEF=S矩形OABC﹣S△BEF﹣S△OCF=+4，=﹣+5，∴当k=4时，S四边形OAEF=5，∴AE=2．当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．点评：本题考查了反比例函数k的几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满足反比例的解析式．也考查了二次的顶点式及其最值问题．考点：切线的性质；垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）过O作OH垂直于AC，利用垂径定理得到H为AC中点，求出AH的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA=tan∠BDC，求出OH的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA的长；（2）由AB垂直于CD得到E为CD的中点，得到EC=ED，在直角三角形AEC中，由AC 的长以及tanA的值求出CE与AE的长，由FB为圆的切线得到AB垂直于BF，得到CE与FB平行，由平行得比例列出关系式求出AF的长，根据AF﹣AC即可求出CF的长．解答：解：（1）作OH⊥AC于H，则AH=AC=4，在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=，∴OH=3，∴半径OA==5；（2）∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，即CE=DE，在Rt△AEC中，AC=8，tanA=，设CE=3k，则AE=4k，根据勾股定理得：AC2=CE2+AE2，即9k2+16k2=64，解得：k=，则CE=DE=，AE=，∵BF为圆O的切线，∴FB⊥AB，又∵AE⊥CD，∴CE∥FB，∴=，即=，解得：AF=，则CF=AF﹣AC=．点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．考点：一次函数的应用．分析：（1）设客车的速度为a km/h，则货车的速度为km/h，根据题意列出有关v的一元一次方程解得即可；（2）根据货车两小时到达C站，可以设x小时到达C站，列出关系式即可；（3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，即客车追上了货车．解答：解：（1）设客车的速度为a km/h，则货车的速度为km/h，由题意列方程得：9a+×2=630，解之，a=60，∴=45，答：客车的速度为60 km/h，货车的速度为45km/h（2）方法一：由（1）可知P（14，540），∵D （2，0），∴y2=45x﹣90；方法二：由（1）知，货车的速度为45km/h，两小时后货车的行驶时间为（x﹣2），∴y2=45（x﹣2）=45x﹣90，（3）方法一：∵F（9，0）M（0，540），∴y1=﹣60x+540，由，解之，∴E （6，180）点E的实际意义：行驶6小时时，两车相遇，此时距离C站180km；方法二：点E表示两车离C站路程相同，结合题意，两车相遇，可列方程：45x+60x=630，x=6，∴540﹣60x=180，∴E （6，180），点评：本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．考点：相似形综合题．分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可；（2）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；（3）利用菱形的性质得到．解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．∴由勾股定理得：AB=10cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，∴BP=2tcm，∴AP=AB﹣BP=10﹣2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE==5﹣t；（2）当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC∴即解之t=∴当t=时，▱AQPD是矩形；（3）当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则COS∠BAC==即解之t=∴当t=时，□AQPD是菱形．点评：本题考查了相似形的综合知识，正确的利用平行四边形、矩形、菱形的性质得到正方形是解决本题的关键．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题；动点型．分析：（1）由直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，分别令x=0和y=0求出B与C的坐标，又抛物线经过B，C两点，把求出的B与C的坐标代入到二次函数的表达式里得到关于b，c的方程，联立解出b和c即可求出二次函数的解析式．又因A点是二次函数与x轴的另一交点令y=0即可求出点A的坐标．（2）连接OM，PM与⊙O′相切作为题中的已知条件来做．由直径所对的圆周角为直角可得∠OMC=90°从而得∠OMB=90°．又因为O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP得到OP为⊙O′的切线，然后根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得OP=PM，根据等边对等角得∠POM=∠PMO，然后根据等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根据等角对等边得PM=PB，然后等量代换即可求出OP的长，加上OA的长即为点P运动过的路程AP，最后根据时间等于路程除以速度即可求出时间t的值．（3）①由路程等于速度乘以时间可知点P走过的路程AP=3t，则BP=15﹣3t，点Q走过的路程为BQ=3t，然后过点Q作QD⊥OB于点D，证△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的长，然后根据三角形的面积公式即可得到S关于t的二次函数关系式，然后利用t=﹣时对应的S的值即可求出此时的最大值．②要使△NCQ为直角三角形，必须满足三角形中有一个直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能为直角，所以分两种情况来讨论：第一种，当角NQC为直角时，利用两组对应角的相等可证△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二种当∠QNC=90°时，也是证三角形的相似，由相似得比例求出t的值．解答：解：（1）在y=﹣x+9中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．∴C（0，9），B（12，0）．又抛物线经过B，C两点，∴，解得∴y=﹣x2+x+9．于是令y=0，得﹣x2+x+9=0，解得x1=﹣3，x2=12．∴A（﹣3，0）．（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切．连接OM．∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°．∴∠OMB=90°．∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线．而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO．又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB．∴PO=PB=OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此时t=3（秒）．∴当t=3秒，PM与⊙O′相切．（3）①过点Q作QD⊥OB于点D．∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴=．又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=t．∴S△BPQ=BP•QD=．即S=．S=．故当时，S最大，最大值为．②存在△NCQ为直角三角形的情形．∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO．∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况．当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，∴△NCQ∽△CAO．∴=．∴=，解得t=．当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，∴△QCN∽△CAO．∴=．∴=，解得．综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法，以及圆的切线的有关性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．A．点P B．点Q C．点M D．点N考点：数轴；相反数．分析：根据数轴得出N、M、Q、P表示的数，求出﹣2的相反数，根据以上结论即可得出答案．解答：解：从数轴可以看出N表示的数是﹣2，M表示的数是﹣0.5，Q表示的数是0.5，P表示的数是2，∵﹣2的相反数是2，∴数轴上表示数﹣2的相反数是点P，故选A．点评：本题考查了数轴和相反数的应用，主要培养学生的观察图形的能力和理解能力，题型较好，难度不大．A．40°B．50°C．60°D． 70°考点：平行线的性质．分析：由AB∥CD，∠B=20°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠BOD的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠B=20°，∴∠C=∠B=20°，∵∠D=40°，∴∠BOD=∠C+∠D=60°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．A．x＜1 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜1 D． x＞1考点：解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集．解答：解：，由①得﹣x＞﹣1，即x＜1；由②得x＞﹣4；由以上可得﹣4＜x＜1．故选C．点评：主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．A．王老师去时所用的时间少于回家的时间B．王老师在公园锻炼了40分钟C．王老师去时走上坡路，回家时走下坡路。

2021年中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．的平方根是（）A．6B．±6C．D．2．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．将0.0000103用科学记数法表示为（）A．1.03×10﹣6B．1.03×10﹣5C．10.3×10﹣6D．103×10﹣4 4．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．2x2+x2＝3x2C．（﹣2x2）3＝8x6D．x3÷x＝x36．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11名成员射击成绩的众数和中位数分别是（）A．8，9B．8，8C．8，10D．9，88．已知[x]表示不小于x的最小整数，若（x）表示不大于x的最大整数，当x≥1时，[x]﹣（x）的值可能有（）①0 ②1 ③2 ④﹣1A．1个B．2个C．3个D．4个9．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．A．10B．10﹣12C．12D．10+12 10．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，点P在函数y＝的图象上，若△P AB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．6个11．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣212．平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y＝x+b 的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（）A．﹣≤b＜1或＜b≤B．﹣≤b＜1或＜b≤C．﹣≤b＜﹣1或﹣＜b≤D．﹣≤b＜﹣1或＜b≤二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．把多项式a4﹣a2分解因式的结果是．14．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝．15．方程的解是．16．A、B两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A地出发前往B地，乙骑自行车从B地出发前往A地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离s（千类）与甲出发的时间t（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离为千米．17．如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③∠AFG＝135°；④BC+FG＝．其中正确的结论是．（填入正确的序号）18．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC的四等分点（靠近点B的位置），F为B边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．三．解答题（共9小题，满分78分）19．（6分）计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（）﹣120．（6分）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是：N：的“子集”．（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组是不等式组M：的“子集”（填A或B）；（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是；（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a ≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，求a ﹣b+c﹣d的值；（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，则满足条件的有序整数对（m，n）共有多少个？21．（6分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．22．（8分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等．（1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？（2）甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等？23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆上，＝，过D作DE⊥BC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE＝4，求⊙O的半径．24．（10分）有4张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为；（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的概率．25．（10分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．26．（12分）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，D、E分别为AC、AB边上两点，且CD＝AB，AD＝AE，将线段CD绕点C逆时针旋转α角至CG．（1）如图2，当α＝120°时，连EG取EG中点P，连AP，CP，求证：AP垂直CP；（2）如图3，当α＝240°时，连AG，取AG中点P，连EP，CP，试判断EP与CP的关系，并证明；（3）在图1中，连BD，取BD中点Q，连AQ，则＝．27．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛持线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．的平方根是（）A．6B．±6C．D．【分析】先计算出的值，再求其平方根．【解答】解：∵＝6，∴6的平方根为，故选：D．2．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形，比较即可．【解答】解：如图，几何体的左视图是．故选：C．3．将0.0000103用科学记数法表示为（）A．1.03×10﹣6B．1.03×10﹣5C．10.3×10﹣6D．103×10﹣4【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.0000103用科学记数法表示为1.03×10﹣5．故选：B．4．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；C．既不是轴对称，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．5．下列计算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．2x2+x2＝3x2C．（﹣2x2）3＝8x6D．x3÷x＝x3【分析】分别根据完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项不合题意；B.2x2+x2＝3x2，正确；C．（﹣2x2）3＝﹣8x6，故本选项不合题意；D．x3÷x＝x2，故本选项不合题意．故选：B．6．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，∵a∥b，∠DCB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．故选：B．7．某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11名成员射击成绩的众数和中位数分别是（）A．8，9B．8，8C．8，10D．9，8【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的那个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．【解答】解：由条形统计图知8环的人数最多，所以众数为8环，由于共有11个数据，所以中位数为第6个数据，即中位数为8环，故选：B．8．已知[x]表示不小于x的最小整数，若（x）表示不大于x的最大整数，当x≥1时，[x]﹣（x）的值可能有（）①0 ②1 ③2 ④﹣1A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分两种情况考虑，当x为大于1的整数时，当x为大于1的小数时，用给出的新定义分析即可得到答案．【解答】解：∵x≥1，当x为大于1的整数时，[x]﹣（x）＝x﹣x＝0，当x为大于1的小数时，则[x]﹣（x）＝1；则[x]﹣（x）的值可能有两个，故选：B．9．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．A．10B．10﹣12C．12D．10+12【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．【解答】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，，由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝x，CE＝2x．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12（米），∴BE＝12（米），CE＝24（米），DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），由tan30°＝，得，解得AE＝10．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），故选：B．10．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，点P在函数y＝的图象上，若△P AB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．6个【分析】设点P的坐标为（x，y），分∠APB＝90°、∠P AB＝90°和∠PBA＝90°三种情况考虑：当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，由圆与双曲线4个交点可知此时点P 有4个；当∠P AB＝90°时，可找出x＝﹣3，进而可得出点P的坐标；当∠PBA＝90°时，可找出x＝3，进而可得出点P的坐标．综上即可得出结论．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，如图所示，∵圆与双曲线4个交点，∴点P有4个；当∠P AB＝90°时，x＝﹣3，y＝＝﹣，∴点P的坐标（﹣3，﹣）；当∠PBA＝90°时，x＝3，y＝，∴点P的坐标为（3，）．综上所述：满足条件的点P有6个．故选：D．11．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣2C．π﹣4D．π﹣2【分析】先求出CE＝2CD，求出∠DEC＝30°，求出∠DCE＝60°，DE＝2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．【解答】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2，∴ED＝＝2，∠CED＝30°，∴∠ECD＝60°，S阴影＝﹣＝﹣2．故选：D．12．平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y＝x+b 的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（）A．﹣≤b＜1或＜b≤B．﹣≤b＜1或＜b≤C．﹣≤b＜﹣1或﹣＜b≤D．﹣≤b＜﹣1或＜b≤【分析】由于直线BC：y＝x+b与OA平行，分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．【解答】解：如图1，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝x+b过（0，﹣1）时，b＝﹣1，且经过（4，0）点，区域W内有三点整点，当直线l：y＝x+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），区域W内有三点整点，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图2，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，当直线l：y＝x+b过（1，2）时，b＝，当直线l：y＝x+b过（1，3）时，b＝，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．把多项式a4﹣a2分解因式的结果是a2（a+1）（a﹣1）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a2（a2﹣1）＝a2（a+1）（a﹣1），故答案为：a2（a+1）（a﹣1）14．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝132°．【分析】根据正多边形的内角，角的和差，可得答案．【解答】解：正五边形的内角为＝108°，正六边形的内角为＝120°，∠BAC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，故答案为：132°．15．方程的解是3．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣4），得2﹣（x﹣1）＝0，解得x＝3．检验：把x＝3代入（x﹣4）＝﹣1≠0．∴原方程的解为：x＝3．16．A、B两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A地出发前往B地，乙骑自行车从B地出发前往A地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离s（千类）与甲出发的时间t（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离为千米．【分析】根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离．【解答】解：设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，，解得，，设第二次甲追上乙的时间为m小时，100m﹣25（m﹣1）＝600，解得，m＝，∴当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离为：25×（）＝千米，故答案为：．17．如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③∠AFG＝135°；④BC+FG＝．其中正确的结论是①②③．（填入正确的序号）【分析】依据四边形AEGF为平行四边形，以及AE＝GE，即可得到平行四边形AEGF 是菱形；依据AE＝﹣1，即可得到△HED的面积＝DH×AE＝（﹣1+1）（﹣1）＝1﹣；依据四边形AEGF是菱形，可得∠AFG＝∠GEA＝2×67.5°＝135°；根据四边形AEGF是菱形，可得FG＝AE＝﹣1，进而得到BC+FG＝1+﹣1＝．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∠CBD＝45°，BD＝，AD＝CD＝1．由旋转的性质可知：∠HGD＝BCD＝90°，∠H＝∠CBD＝45°，BD＝HD，GD＝CD，∴HA＝BG＝﹣1，∠H＝∠EBG＝45°，∠HAE＝∠BGE＝90°，∴△HAE和△BGE均为直角边为﹣1的等腰直角三角形，∴AE＝GE．在Rt△AED和Rt△GED中，，∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），∴∠AED＝∠GED＝（180°﹣∠BEG）＝67.5°，AE＝GE，∴∠AFE＝180°﹣∠EAF﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠AEF，∴AE＝AF．∵AE＝GE，AF⊥BD，EG⊥BD，∴AF＝GE且AF∥GE，∴四边形AEGF为平行四边形，∵AE＝GE，∴平行四边形AEGF是菱形，故①正确；∵HA＝﹣1，∠H＝45°，∴AE＝﹣1，∴△HED的面积＝DH×AE＝（﹣1+1）（﹣1）＝1﹣，故②正确；∵四边形AEGF是菱形，∴∠AFG＝∠GEA＝2×67.5°＝135°，故③正确；∵四边形AEGF是菱形，∴FG＝AE＝﹣1，∴BC+FG＝1+﹣1＝，故④不正确．故答案为：①②③．18．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC的四等分点（靠近点B的位置），F为B边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为5．【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2+3＝5，故答案为：5．三．解答题（共9小题，满分78分）19．（6分）计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（）﹣1【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣3×+1﹣2＝2﹣+1﹣2＝﹣1．20．（6分）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是：N：的“子集”．（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组A是不等式组M：的“子集”（填A或B）；（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是a ≥2；（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a ≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，求a ﹣b+c﹣d的值；（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，则满足条件的有序整数对（m，n）共有多少个？【分析】（1）求出不等式组A与B的解集，利用题中的新定义判断即可（2）根据“子集”的定义确定出a的范围即可；（3）根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；（4）根据“子集”的定义确定出所求即可．【解答】解：（1）A：的解集为3＜x＜6，B：的解集为x＞1，M：的解集为x＞2，则不等式组A是不等式组M的子集；（2）∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，∴a≥2；（3）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4；（4）不等式组M整理得：，由不等式组有解得到＜，即≤x＜，∵N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，∴≤1，＞3，即m≤2，n＞9，∴满足条件的有序整数对（m，n）无数个．21．（6分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DEG≌△DFG（SAS），∴∠DGE＝∠DGF．22．（8分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等．（1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？（2）甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等？【分析】（1）设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+8）个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据甲所需的时间＝乙每小时加工零件的个数×4÷甲每小时加工零件的个数，即可求出结论．【解答】解：（1）设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x+8）个零件，依题意，得：＝，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴x+8＝40．答：甲每小时做32个零件，乙每小时做40个零件．（2）40×4÷32＝5（小时）．答：甲做5小时与乙做4小时所做机械零件数相等．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆上，＝，过D作DE⊥BC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）由圆周角定理和垂径定理得出OD⊥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；（2）作OF⊥BC于F，推出四边形OFED是矩形，根据矩形的性质得到OF＝ED＝4，OD＝EF，设⊙O的半径为R，则BF＝CF＝R﹣2，根据勾股定理列方程即可得到答案．【解答】（1）证明：连接OD、AC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，∴DE∥AC，∵＝，∴OD⊥AC，∴DE⊥OD，D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：作OF⊥BC于F，如图2所示：则BF＝CF，四边形OFED是矩形，∴OF＝DE＝4，OD＝EF，∵DE＝2CE＝4，∴CE＝2，设⊙O的半径为R，则BF＝CF＝R﹣2，在Rt△BOF中，BF2+OF2＝OB2，∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，即⊙O的半径为5．24．（10分）有4张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为；（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的有2种结果，则两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的概率为＝．25．（10分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）①由三角形面积公式可求解；②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12；（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离＝BH＝2，∴S△ABC＝×3×2＝3；②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝．26．（12分）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，D、E分别为AC、AB边上两点，且CD＝AB，AD＝AE，将线段CD绕点C逆时针旋转α角至CG．（1）如图2，当α＝120°时，连EG取EG中点P，连AP，CP，求证：AP垂直CP；（2）如图3，当α＝240°时，连AG，取AG中点P，连EP，CP，试判断EP与CP的关系，并证明；（3）在图1中，连BD，取BD中点Q，连AQ，则＝．【分析】（1）先判断出△CPG≌△C′PE，得出CP＝C′P，进而得出C'E＝CD，即可得出结论；（2）先判断出△P AE≌△PGE′（ASA），得出AE＝GE'，再判断出△ADE是等边三角形，得出∠ADE＝60°，AE＝DE，再判断出∠CDE＝∠CGE'进而判断出△CDE≌△CGE′，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADHB是平行四边形，得出∠BHD＝∠BAC＝60°，再判断出△ADH ≌BHC，得出BC＝AH，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长CP，AB交于点C′，由旋转知，∠ACG＝120°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC+∠ACG＝180°，∴CG∥AB，∴∠PCG＝∠C'，∠PEC'＝∠G，∵点P是EG的中点，∴△CPG≌△C′PE（SAS），∴CP＝C′P，CG═C′E，由旋转知，CG＝CD，∴C'E＝CD，∵AE＝AD，∴AC＝AC′，∵CP＝C'P，∴AP⊥PC；（2）如图2，过点G作GE′∥AB交EP的延长线于E′，∴∠P AE＝∠PGE'，∠AEP＝∠E'，∵点P是AG的中点，∴AP＝GP，∴△P AE≌△PGE′（ASA），∴AE＝GE'，连接CE，CE′，DE，∵AD＝AE，∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，AE＝DE，∴DE＝GE'，∵∠ADE＝60°，∴∠CDE＝120°，∵∠CGE'＝∠CGA+∠AGE'＝180°﹣∠ACG﹣∠CAG+∠BAC+∠CAG＝180°﹣∠ACG+∠BAC＝180°﹣120°+60°＝120°，∴∠CDE＝∠CGE'∴△CDE≌△CGE′（SAS），∴CE＝CE′，且∠ECE′＝120°，又PE＝P E′，∴CP⊥PE，∠PCE＝∠ECE'＝60°，在Rt△CPE中，PE＝PC；（3）如图3，延长AQ至H，使AQ＝QH，连接BH，DH，∵点Q是BD的中点，∴BQ＝DQ，∴四边形ADHB为平行四边形，∴DH∥AB，AD＝BH，AB＝DH，∵AB＝CD，∴DH＝CD，∵DH∥AB，∴∠HDC＝∠BAC＝60°，∴△CDH是等边三角形，∴DH＝CH，∠DHC＝60°，∵四边形ADHB是平行四边形，∴∠BHD＝∠BAC＝60°，∴∠BHC＝∠BHD+∠DHC＝120°，∵∠ADH＝180°﹣∠CDH＝120°，∴∠ADH＝∠BHC，∴△ADH≌BHC（SAS），∴AH＝BC，则＝＝，故答案为：．27．（12分）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与直线l：y＝﹣x﹣交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛持线C2与抛物线C1交于点D，过点D作DF∥x轴交抛物线C2于点F，过点E作EG∥x轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求直线l与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线C1的解析式．（2）延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m，由PN∥y轴可得点N、H横坐标也为m，即能用m表示PN、NH、AH的长．由∠AHN＝∠PMN＝90°及对顶角∠ANH＝∠PNM 可得∠NAH＝∠NPM．发现在Rt△PMN中，MN与PN比值即为sin∠NPM，故先在Rt △ANH中求sin∠NAH的值，再代入MN＝PN•sin∠NPM，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得MN最大值．（3）设点E（e，e2﹣e﹣2），所以可设抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2．令两抛物线解析式y＝0列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线C1的顶点，故DG＝DE＝EF，且求得DF平行且等于GE，即四边形DFEG首先一定是平行四边形．由▱DFEG为菱形可得DF＝DG，故此时△DEF为等边三角形．利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e的值．【解答】解：（1）直线l：y＝﹣x﹣交x轴于点A∴﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1∴A（﹣1，0）∵点B（3，n）在直线l上∴n＝﹣×3﹣＝﹣2∴B（3，﹣2）∵抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2经过点A、B∴解得：∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，延长PN交x轴于点H∴∠AHN＝90°设P（m，m2﹣m﹣2）（﹣1＜m＜3）∵PN∥y轴∴x N＝x H＝x P＝m∴N（m，﹣m﹣），AH＝m+1，∴NH＝﹣（﹣m﹣）＝m+，PN＝﹣m﹣﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+m+∵Rt△AHN中，tan∠NAH＝∴sin∠NAH＝＝∵PM⊥AB于点M∴∠AHN＝∠PMN＝90°∵∠ANH＝∠PNM∴∠NAH＝∠NPM∴Rt△PMN中，sin∠NPM＝∴MN＝PN＝（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣1）2+∴MN的最大值为（3）存在满足条件的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形如图2，连接DE，过点E作EQ⊥DF于点Q∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣∴抛物线C1顶点为（，﹣）设E（e，e2﹣e﹣2）（e＞4）∴抛物线C2顶点式为y＝﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2当﹣（x﹣e）2+e2﹣e﹣2＝x2﹣x﹣2解得：x1＝e，x2＝∴两抛物线另一交点D（，﹣）为抛物线C1顶点∵EG∥x轴，DF∥x轴∴EG＝DF＝2DQ＝2（e﹣）＝2e﹣3，EQ＝e2﹣e﹣2+＝e2﹣e+∴四边形DFEG是平行四边形若▱DFEG为菱形，则DG＝DF∵由抛物线对称性可得：DG＝DE＝EF∴DE＝EF＝DF∴△DEF是等边三角形∴＝tan∠EDQ＝∴e2﹣e+＝（e﹣）解得：e1＝（舍去），e2＝2+∴E点的横坐标为（2）时，四边形DFEG为菱形．。

中考全真模拟测试数学试卷一、选择题：（共8 个小题，每小题2 分，共16 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.最近，科学家发现了一种新型病毒，其最大直径约为0.00012mm，将0.00012 用科学记数法表示为（）A. 1.2×10-3B. 1.2×10-4C. 1.2×104D. 12×1032.下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC 成中心对称的是（）A. B. C.D.3.下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（）A. B. C. D.4.若分式12x有意义，则x 的取值范围是（）A. x＞－2B. x＜－2C. x＝－2D. x≠－25.数轴上A，B，C，D 6为半径的圆上的点是（）A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D6.如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（ ）A. 线段 DAB. 线段 CAC. 线段 CDD. 线段 BD7.下列实数中，无理数的个数是（ ） ① 0.333 ②17③5 ④π ⑤6.18118111811118…… A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个8.如图，在⊙O 中，点 C 在优弧 AB 上，将弧 BC 沿直线 BC 折叠后刚好经过弦 AB 的 中点 D ．若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则 BC 的长是（ ）A. 23B. 3253D.652二、填空题 （共 8 个小题，每题 2 分，共 16 分）9.因式分解：39a a -=______. 10.如果 a +b =2，那么代数式222(1)2b a ba b a ab b-+⋅-++的值是_____． 11.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．12.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AE 与BD 相交于点G ，若AG : GE=3 : 1，则EC : BC=_____．13.把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是_____．14.将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，若OA=4，则点A 的对应点A′的坐标为_______________________．15.如图，小明在A时测得某树影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，.则树的高度为_________米16.小明的爸爸想给妈妈送张美容卡作为生日礼物，小明家附近有3 家美容店，爸爸不知如何选择，于是让小明对3 家店铺顾客的满意度做了调查：合计美容店A 53 28 19 100美容店B 50 40 10 100美容店C 65 26 9 100（说明：顾客对于店铺的满意度从高到低，依次为3 个笑脸，2 个笑脸，1 个笑脸）小明选择将_____（填“A”、“ B”或“C”）美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．三、解答题（本题共68 分）17.计算：12-3tan30°﹣（1﹣π）0+|13-|．18.解不等式组：13(3)52x xxx-<-⎧⎪⎨+≥⎪⎩19.关于x 的一元二次方程mx2+2x-1= 0 有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程的两个根都是有理数，写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．20.已知，如图，点A 是直线l 上的一点．求作：正方形ABCD，使得点B 在直线l 上．（要求保留作图痕迹，不用写作法）请你说明，∠BAD＝90°的依据是什么？21.四边形ABCD 中，∠A＝∠B= 90°，点E 在边AB 上，点F 在AD 的延长线上，且点E 与点F 关于直线CD 对称，过点E 作EG∥AF 交CD 于点G，连接FG，DE．（1）求证：四边形DEGF 是菱形；（2）若AB＝10，AF＝BC=8，求四边形DEGF 的面积．22.如图，AB 是⊙ O 的直径，点C 是⊙ O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC，BD，过点D 作AC 的垂线EF，交AC 的延长线于点E，交AB 的延长线于点F.．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF 与⊙ O 的位置关系，并说明理由（3）若AB=5，BD=3，求线段BF 的长23.在平面直角坐标系xOy 中，将点A（2，4）向下平移2 个单位得到点C，反比例函数y mx(m≠0)的图象经过点C，过点C 作CB⊥x 轴于点B（1）求m 的值；（2）一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点C，交x 轴于点D，线段CD，BD，BC 围成的区域（不含边界）为G；若横、纵坐标都是整数的点叫做整点①b=3 时，直接写出区域G 内的整点个数②若区域G 内没有整点，结合函数图象，确定k 的取值范围24.为了发展学生的数学核心素养，培养学生的综合能力，某市开展了初三学生的数学学业水平测试.在这次测试中，从甲、乙两校各随机抽取了30 名学生的测试成绩进行调查分析收集数据整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩80 分及以上为优秀，60~79 分为合格，60 分以下为不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：（1）请你补全表格；（2）若甲校有 300 名学生，估计甲校此次测试的优秀人数为 ； （3）可以推断出 校学生的成绩比较好，理由为 ．25.如图，AB 是⊙O 的弦，AB =5cm ，点 P 是弦 AB 上的一个定点，点 C 是弧 AB 上的一 个动点，连接 CP 并延长，交⊙O 于点 D ．小明根据学习函数的经验，分别对 AC ，PC ，PD 长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程： （1）对于点 C 在弧 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AC ，PC ，PD 的长度的 几组值，如下表：位置1位置2 位置3位置 4位置 5位置 6位置 7位置 8位置9AC /cm 00.371.001.822.103.003.50 3.915.00PC /cm 1.00 0.81 0.69 0.75 1.26 2.112.503.004.00 PD /cm 4.005.005.806.003.001.901.501.321.00在 AC ，PC ，PD 的长度这三个量中，确定＿＿＿的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在同一平面直角坐标系 xOy 中， 画（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC=PD 时，AC 的长度约为cm；②当△APC 为等腰三角形时，PC 的长度约为cm.26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax2+bx +3a （a≠0）过点A（1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y=－x+4 与y 轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B 向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a 的取值范围．27.如图1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在边AB 上取一点D（点D 不与点A，B 重合），在边AC 上取一点E，使AE=AD，连接DE. 把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．（1）请你在图2 中，连接CE 和BD，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3 中，画出当α =45°时的图形，连接CE 和BE，求出此时△CBE 的面积；（3）若AD=1，点M 是CD 的中点，在△ADE 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，线段AM 的最小值是．28.对于平面内的点P 和图形M，给出如下定义：以点P 为圆心，以r 为半径作⊙P，使得图形M 上的所有点都在⊙P 的内部（或边上），当r 最小时，称⊙P 为图形M 的P 点控制圆，此时，⊙P 的半径称为图形M 的P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的位置如图所示，其中点B（2，2）（1）已知点D（1，0），正方形OABC 的D 点控制半径为r1，正方形OABC 的A 点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点F 是线段OB 上的点，直线l：y= 3x+b；若存在正方形OABC 的F点控制圆与直线l 有两个交点，求b 的取值范围．答案与解析一、选择题：（共8 个小题，每小题2 分，共16 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1.最近，科学家发现了一种新型病毒，其最大直径约为0.00012mm，将0.00012 用科学记数法表示为（）A. 1.2×10-3B. 1.2×10-4C. 1.2×104D. 12×103【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00012＝1.2×10−4．故选：B．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2.下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC 成中心对称的是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称，轴对称，平移和旋转的性质对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、是平移变换，故本选项错误；B、△ A'B'C'与△ABC成轴对称，故本选项错误；C、是旋转变换，故本选项错误；D、△A'B'C'与△ABC成中心对称，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，关键是根据中心对称，轴对称，平移和旋转的性质解答．3.下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别判断出各几何体的三视图即可．【详解】解：A. 长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，但是并不是都一样，故错误；B. 圆柱的主视图、左视图是矩形，俯视图是圆，故错误；C. 球的主视图、左视图、俯视图都一样，正确；D. 圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故错误；故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4.若分式12x有意义，则x 的取值范围是（）A. x＞－2B. x＜－2C. x＝－2D. x≠－2 【答案】D【解析】【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．【详解】解：根据题意得：x＋2≠0，解得：x≠−2．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．5.数轴上A，B，C，D 四点中，有可能在以原点为圆心，以6为半径的圆上的点是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】A【解析】【分析】估算出6和6-的取值范围，结合数轴判断即可．4<<6.25，【详解】解：∵62<<2.5，∴6-2.5<-<-2，∴6∴以原点为圆心，以6为半径的圆上的点是点A，故选：A．【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确估算出6和6-的取值范围是解题关键．6.如图所示，△ABC 中AB 边上的高线是（）A. 线段DAB. 线段CAC. 线段CDD. 线段BD【答案】C【解析】【分析】根据三角形高线的定义判断即可．【详解】解：由图可得，△ABC 中AB 边上的高线是线段CD，【点睛】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．7.下列实数中，无理数的个数是（）① 0.333 ②17③5④ ⑤6.18118111811118……A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案】C【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判断．【详解】解：①②是有理数；③④⑤是无理数，无理数有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．8.如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿直线BC 折叠后刚好经过弦AB 的中点D．若⊙O 的半径为5，AB＝4，则BC 的长是（）A. 23B. 325365【答案】B【解析】【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BD＝12AB＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断AC和CD所在的圆为等圆，根据圆周角定理得到AC＝CD，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，由四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是得到BC＝32．【详解】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD＝BD＝12AB＝2，在Rt△OBD中，OD541-=，∵将BC沿直线BC折叠后刚好经过AB的中点D，∴AC和CD所在的圆为等圆，∴AC＝CD，∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF22512OC OF，∴CE＝CF＋EF＝2＋1＝3，而BE＝BD＋DE＝2＋1＝3，∴BC＝32故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，圆周角定理，垂径定理以及勾股定理，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．二、填空题（共8 个小题，每题2 分，共16 分）9.因式分解：39a a-=______.【答案】a(a+3)(a-3)【解析】【分析】先提取公因式a ，再用平方差公式分解即可.【详解】原式=a(a 2-9)=a(a+3)(a-3).故答案为a(a+3)(a-3).【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.10.如果 a +b =2，那么代数式222(1)2b a b a b a ab b -+⋅-++的值是_____．【答案】12【解析】【分析】 先根据分式的混合运算法则化简原式，然后把a+b=2整体代入计算即可．【详解】解：原式()21a b a b a b a b a b +-=⋅=-++， ∵a ＋b=2，∴原式＝112a b =+， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．11.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．【答案】280°【解析】试题分析：先根据邻补角的定义得出与∠EAB 相邻的外角∠5的度数，再根据多边形的外角和定理即可求解．解：如图，∵∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°，∴∠5=80°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°故答案为280°．考点：多边形内角与外角．12.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，点 E 在边 BC 上， AE 与 BD 相交于点 G ，若 AG : GE=3 : 1，则 EC : BC=_____．【答案】2：3【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理结合平行四边形的性质求出3BC BE 即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴3AD AG BE GE ， ∴3BC BE ， ∴EC ：BC ＝2：3，故答案为：2：3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，正确寻找成比例线段是解题的关键． 13.把光盘、含 60°角的三角板和直尺如图摆放，AB ＝2，则光盘的直径是_____．【答案】43【解析】【分析】如图作辅助线，根据切线长定理可知，AB＝BC，BO平分∠ABC，求出∠ABO＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理计算即可【详解】解：如图，设三角板和光盘的切点为C，圆心为O，连接OA，OB，由切线长定理可知，AB＝BC，BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC＝60°，∴OB＝2AB＝4，∴OA＝2222OB AB，4223∴光盘的直径是43，故答案为：43【点睛】本题考查了切线长定理，含30度直角三角形的性质以及勾股定理，求出∠ABO＝60°是解题的关键．14.将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，若OA=4，则点A 的对应点A′的坐标为_______________________．【答案】（22，22-）【解析】【分析】根据旋转的性质画出图形，求出∠A′OE＝45°，解直角三角形求出A′E＝OE＝22即可．【详解】解：如图所示，将OA绕原点O顺时针旋转75°得到OA′，过A′作A′E⊥x轴于E，则OA′＝OA＝4，∠A′OE＝75°－30°＝45°，∴A′E＝OE＝OA′·cos45°＝22，∴点A的对应点A′的坐标为（22，22-），故答案为：（22，22-）．【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质以及解直角三角形，求出∠A′OE＝45°是解题的关键．15.如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.【答案】6【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得ED DCDC FD=；即DC 2=ED?FD，代入数据可得答案．【详解】根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，易得：Rt△EDC∽Rt△DCF，有ED DCDC FD=，即DC2=ED×FD，代入数据可得DC2=36，DC=6，故答案为6．16.小明的爸爸想给妈妈送张美容卡作为生日礼物，小明家附近有3 家美容店，爸爸不知如何选择，于是让小明对3 家店铺顾客的满意度做了调查：合计美容店A 53 28 19 100美容店B 50 40 10 100美容店C 65 26 9 100（说明：顾客对于店铺的满意度从高到低，依次为3 个笑脸，2 个笑脸，1 个笑脸）小明选择将_____（填“A”、“ B”或“C”）美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．【答案】C【解析】【分析】求出三个美容店满意度的加权平均数，比较后作出判断．【详解】解：美容店A的平均满意度为：5332821912.34100，美容店B的平均满意度为：5034021012.4100，美容店C的平均满意度为：653262912.56100，∵2.34 2.56<2.4<，∴小明选择将C美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大，故答案为：C．【点睛】本题考查了加权平均数的计算与运用，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．三、解答题（本题共68 分）17.-3tan30°﹣（1﹣π）0+|1|．【答案】2【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零次幂、绝对值的运算法则进行运算，即可得到答案.【详解】原式311=-+2=．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算．18.解不等式组：13(3)52x xxx-<-⎧⎪⎨+≥⎪⎩【答案】5x≥【解析】【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．【详解】解：解不等式13(3)x x-<-得：4x>，解不等式52xx+≥得：5x≥，故不等式组的解集为：5x≥．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键．19.关于 x 的一元二次方程mx 2 +2x -1= 0 有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围；（2）若方程的两个根都是有理数，写出一个满足条件的 m 的值，并求出此时方程的根． 【答案】（1）1m >-且m ≠0；（2）m ＝3；11x =-，213x =． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义和一元二次方程的定义列不等式求解即可； （2）令24b ac -的值是有理数即可，然后求出m 再解方程．【详解】解：（1）∵一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根， ∴22410mm =4+4>且m≠0，解得：1m >-且m≠0；（2）∵方程的两个根都是有理数， ∴24b ac -的值是有理数即可， 令244b ac m =4+4，解得：m ＝3，此时方程为：23210x x +-=， 解得：11x =-，213x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义以及公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键． 20.已知，如图，点 A 是直线 l 上的一点．求作：正方形 ABCD ，使得点 B 在直线 l 上．（要求保留作图痕迹，不用写作法） 请你说明，∠BAD ＝90°的依据是什么？ 【答案】见解析． 【解析】在直线l上截取AB为合适的长度，确定B点位置，然后分别过点A，点B作垂线，再分别以A，B为圆心，AB长为半径，在l的同侧截取AD＝AB，BC＝AB，连接CD，即可得正方形ABCD；由尺规作图的步骤结合SSS定理证明△AEH≌△AFH，即可得∠EAH＝∠FAH＝90°，即∠BAD＝90°．【详解】解：如图所示，正方形ABCD即为所求；由尺规作图可知，AE＝AF，EH＝FH，又∵AH＝AH，∴△AEH≌△AFH（SSS），∴∠EAH＝∠FAH，∵∠EAH＋∠FAH＝180°，∴∠EAH＝∠FAH＝90°，即∠BAD＝90°．【点睛】本题考查了正方形的性质，复杂作图，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的基本步骤是解题的关键．21.四边形ABCD 中，∠A＝∠B= 90°，点E 在边AB 上，点F 在AD 的延长线上，且点E 与点F 关于直线CD 对称，过点E 作EG∥AF 交CD 于点G，连接FG，DE．（1）求证：四边形DEGF 是菱形；（2）若AB＝10，AF＝BC=8，求四边形DEGF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）20.【分析】（1）连接EF ，由对称的性质可得DE ＝DF ，GE ＝GF ，求出∠EDG ＝∠EGD ，得到DE ＝GE ，进而得到DE ＝DF ＝GE ＝GF 即可；（2）连接CF ，CE ，易证四边形ABCF 是矩形，可得CE ＝CF ＝AB ＝10，利用勾股定理求出BE ，得到AE 的长，DF ＝DE ＝x ，则AD ＝8－x ，在Rt △ADE 中，利用勾股定理构建方程求出DF 即可解决问题． 【详解】解：（1）连接EF ， ∵点E 与点F 关于直线 CD 对称， ∴CD 是EF 的垂直平分线，∴DE ＝DF ，GE ＝GF ，∠EDG ＝∠FDG ， ∵EG ∥AF ， ∴∠FDG ＝∠EGD ， ∴∠EDG ＝∠EGD ， ∴DE ＝GE ，∴DE ＝DF ＝GE ＝GF ， ∴四边形DEGF 是菱形； （2）连接CF ，CE ， ∵∠A ＝∠B ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝180°， ∴AF ∥BC ， 又∵AF ＝BC ＝8， ∴四边形ABCF 是矩形， ∴CF ＝AB ＝10，∵CD 是EF 的垂直平分线， ∴CE ＝CF ＝10，∴BE 6=， ∴AE ＝10－6＝4，设DF ＝DE ＝x ，则AD ＝8－x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：()22248x x +-=， 解得：x ＝5，即DF ＝5，∴四边形DEGF的面积＝DF·AE＝5×4＝20．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质以及勾股定理的应用等知识，灵活运用相关性质定理进行推理计算是解题的关键．22.如图，AB 是⊙ O 的直径，点C 是⊙ O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC，BD，过点D 作AC 的垂线EF，交AC 的延长线于点E，交AB 的延长线于点F.．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF 与⊙ O 的位置关系，并说明理由（3）若AB=5，BD=3，求线段BF 的长【答案】（1）见解析；（2）直线EF是⊙O的切线，理由见解析；（3）457 BF【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接BC，OD交于点H，证明BC∥EF，根据OD⊥BC可得OD⊥EF，即可证得直线EF是⊙O的切线；（3）设OH＝x，在Rt△OHB和Rt△BHD中，利用勾股定理构建方程求出OH，进而可得AC，AE的长，然后由BC∥EF，利用平行线分线段成比例定理列式求出BF即可．【详解】解：（1）如图所示；（2）直线EF是⊙O的切线；理由：如图，连接BC，OD交于点H，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠E＝90°，∴BC∥EF，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（3）如图，∵AB＝5，BD＝3，∴OB＝OD＝52，设OH＝x，则DH＝52x，在Rt△OHB中，由勾股定理得：22252BH x，在Rt△BHD中，由勾股定理得：222532BH x，∴222255322x x，解得：710x ，∴710OH，95DH，∵O是AB中点，H是BC中点，∴AC＝2OH＝75，易证四边形HCED是矩形，则95 CE DH，∴AE＝165，∵BC∥EF，∴AC ABAE AF，即7551655BF，∴457 BF．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，切线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的判定以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.在平面直角坐标系xOy 中，将点A（2，4）向下平移2 个单位得到点C，反比例函数y mx(m≠0)的图象经过点C，过点C 作CB⊥x 轴于点B（1）求m 的值；（2）一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点C，交x 轴于点D，线段CD，BD，BC 围成的区域（不含边界）为G；若横、纵坐标都是整数的点叫做整点①b=3 时，直接写出区域G 内的整点个数②若区域G 内没有整点，结合函数图象，确定k 取值范围【答案】（1）m＝4；（2）①1个；②1k≤-．【解析】【分析】（1）求出C（2，2），代入myx=即可得到m的值；（2）①画出b=3时的函数图象，根据函数图象结合整点的定义判断即可；②根据函数图象判断出当直线CD过点（3，1）时，区域G内恰好没有整点，求出此时k的值即可得到k的取值范围．【详解】解：（1）将点A（2，4）向下平移2 个单位得到点C，则C（2，2），将C（2，2）代入myx=，得4m xy==；（2）①当b=3时，一次函数y=kx+b过点（0，3），如图1所示，由图象可得，区域G内的整点为（3，1），只有一个；②由图1可知，当直线CD过点（3，1）时，区域G内恰好没有整点，代入C（2，2）和（3，1）得：2231k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：14kb=-⎧⎨=⎩，∴若区域G内没有整点，k的取值范围为：1k≤-．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，一次函数的图象和性质以及新定义的理解，正确理解整点的定义，熟练掌握属性结合思想的应用是解题的关键．24.为了发展学生的数学核心素养，培养学生的综合能力，某市开展了初三学生的数学学业水平测试.在这次测试中，从甲、乙两校各随机抽取了30 名学生的测试成绩进行调查分析收集数据甲校94 82 77 76 77 88 90 88 85 86 88 89 84 92 87整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩80 分及以上为优秀，60~79 分为合格，60 分以下为不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：（1）请你补全表格；（2）若甲校有300 名学生，估计甲校此次测试的优秀人数为；（3）可以推断出校学生的成绩比较好，理由为．【答案】（1）5，12；86，92；（2）220；（3）乙，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据收集数据的表格可得乙校成绩在70≤x≤79范围内的有5人，在80≤x≤89范围内的有12人；然后再根据中位数和众数的定义求解即可；（2）用300乘以甲校样本中优秀人数所占的比例即可； （3）可以从中位数和众数的角度进行分析．【详解】解：（1）由收集数据可知：乙校成绩在70≤x≤79范围内的有5人，在80≤x≤89范围内的有12人， 乙校学生成绩按从低到高排序后第15，16名学生的成绩分别为：86，86， 故乙校学生成绩的中位数为：8686862+=， 乙校学生成绩中，92分的学生有4人，人数最多，故乙校学生成绩的众数为：92； 补全表格如下：（2）300×15722030（人），答：甲校此次测试的优秀人数为220人； （3）乙校学生的成绩比较好，理由：甲校和乙校的中位数相同，但是乙校的众数大于甲校的众数，说明乙校学生的成绩比较好．【点睛】本题考查了数据的收集与整理，中位数和众数的求法和意义以及样本估计总体，解答本题的关键在于细心整理数据，掌握各个统计量的求法和意义．25.如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5cm，点P 是弦AB 上的一个定点，点C 是弧AB 上的一个动点，连接CP 并延长，交⊙O 于点D．小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD 长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程：（1）对于点C 在弧AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PC，PD 的长度的几组值，如下表：位置1 位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9AC/cm 0 0.37 1.00 1.82 2.10 3.00 3.50 3.91 5.00PC/cm 1.00 0.81 0.69 0.75 1.26 2.11 2.50 3.00 4.00PD/cm 4.00 5.00 5.80 6.00 3.00 1.90 1.50 1.32 1.00在AC，PC，PD 的长度这三个量中，确定＿＿＿的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在同一平面直角坐标系xOy 中，画（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC=PD 时，AC 的长度约为cm；②当△APC 为等腰三角形时，PC 的长度约为cm. 【答案】（1）AC；（2）见解析；（3）①2.9，②0.69cm或1cm或0.8cm．【解析】【分析】（1）根据变量和函数的定义结合题意分析即可；（2）根据表中数据描出部分点，然后连线即可；（3）①两函数图象交点处的横坐标就是PC=PD时AC的长度；②求出AP＝1cm，然后分AP＝AC，AP＝PC和AC＝PC三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）由于PC和PD随着AC的变化而变化，∴确定AC的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数，故答案为：AC；（2）函数图象如图所示：（3）①由函数图象得：当PC=PD时，AC的长度约为2.9cm；②∵当AC ＝0时，点A 和点C 重合，此时PC ＝1cm ，∴AP ＝1cm ，当AP ＝AC ＝1cm 时，由表格得，PC ＝0.69cm ，当AP ＝PC ＝1cm 时，则PC ＝1cm ，当AC ＝PC 时，如图，由函数图象得，PC≈0.8cm ，综上所述，PC 的长度约为0.69cm 或1cm 或0.8cm ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象、圆的基本知识，解题的关键是学会画函数图象，利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2+ bx +3a （a ≠0）过点 A （1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线 y=－x+4 与 y 轴交于点 B ，与该抛物线的对称轴交于点 C ，现将点 B 向左平移 一个单位到点 D ，如果该抛物线与线段 CD 有交点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．【答案】（1）x ＝2；（2）2a ≤-或12a ≥． 【解析】【分析】（1）代入（1，0）可得b ＝－4a ，然后根据抛物线的对称轴公式计算即可；（2）首先求出抛物线过点（1，0），（3，0），然后分a ＜0和a ＞0两种情况，分别作出简图，结合图象根据抛物线与线段CD 有交点得出不等式，即可求出a 的取值范围．【详解】解：（1）把（1，0）代入y = ax 2 + bx +3a 得：0＝a+b+3a ，∴b ＝－4a ，∴抛物线的对称轴为：x ＝22b a-=； （2）由（1）可知，抛物线解析式为：24313yax ax a a x x ，对称轴为：x ＝2，∴抛物线过点（1，0），（3，0），当x ＝2时，y ＝－x+4＝2，∴C （2，2）， 当a ＜0时，如图，由该抛物线与线段 CD 有交点可得：当x ＝2时，2432yax ax a ， 即4832a a a ，解得：2a ≤-；当a ＞0时，由题意得：B （0，4），∴D （－1，4），如图，由该抛物线与线段 CD 有交点可得：当x ＝－1时，2434yax ax a ， 即434a a a， 解得：12a ≥， 综上所述，a 取值范围为：2a ≤-或12a ≥．。

2021年江苏省苏州市中考数学模拟试卷解析版
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6 700 000米，将6 700 000用科学记数法表示应为（）
A．6.7×106B．6.7×10﹣6C．6.7×105D．0.67×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6 700 000＝6.7×106，
故选：A．
2．（3分）当x＝3，y＝2时，代数式的值是（）
A ．B．2C．0D．3
【分析】当x＝3，y＝2时，直接代入代数式即可得到结果．
【解答】解：＝＝
3．（3分）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是（）
A．4.8B．4.8或5
C．4.6或4.8D．4.6或4.8或5
【分析】根据1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数知x＝4或x＝5或x＝6，在根据平均数的定义分别计算可得．
【解答】解：∵在1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数，
∴x＝4或x＝5或x＝6，
当x＝4时，平均数为＝4.6；
当x＝5时，平均数为＝4.8；
当x＝6时，平均数为＝5；
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（）
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2021年中考数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1C．.4D．32．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤53．（4分）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．（4分）某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×305．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个6．（4分）若点A（﹣1，m）、B（1，m）、C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）A．（2020，1）B．（2020，0）C．（2020，2）D．（2019，0）二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）9．（5分）把多项式x2y﹣6xy+9y分解因式的结果是．10．（5分）已知+＝3，求＝．11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为．12．（5分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．13．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为．三．解答题（共4小题，满分43分）14．（5分）计算：﹣2tan60°．15．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．16．（12分）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2辆60座客车租金共计1880元（1）求两种车租金每辆各多少元？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租车方案？请选择最节省的租车方案．17．（14分）如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1C．.4D．3【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个不同的实数根，∴由根与系数的关系可知：ab＝1，a+b＝4，∴a2+1＝4a，b2+1＝4b，∴原式＝+＝＝＝1，故选：B．2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤5【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝m﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得m≤5．故选：D．3．（4分）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故A 错误．B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故B错误；C、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故D正确；故选：D．4．（4分）某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故选：B．5．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：①由图象开口可知：a＞0，c＜0，∵＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为：x＝，∴＜1，∴2a+b＞0，故③正确；④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，故④错误；⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝，∴由图象可知：x＜时，y随着x的增大而减小，故⑤正确；⑥由图象可知：x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故⑥错误；故选：B．6．（4分）若点A（﹣1，m）、B（1，m）、C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而减小，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，D错误；∵B（1，m），C（2，m﹣1），∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故B正确，C错误．故选：B．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x＝﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．8．（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）A．（2020，1）B．（2020，0）C．（2020，2）D．（2019，0）【分析】分析点P的运动规律找到循环规律即可．【解答】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则2020＝505×4，所以，前505次循环运动点P共向右运动505×4＝2020个单位，且在x轴上，故点P坐标为（2020，0）．故选：B．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）9．（5分）把多项式x2y﹣6xy+9y分解因式的结果是y（x﹣3）2．【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝y（x2﹣6x+9）＝y（x﹣3）2，故答案为：y（x﹣3）210．（5分）已知+＝3，求＝﹣．【分析】由+＝3知＝3，即a+b＝3ab，整体代入到原式，计算可得．【解答】解：∵+＝3，∴＝3，则a+b＝3ab，所以原式＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为．【分析】连接OD，由△OAB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据平行线的性质得到∠DEO＝∠AOB＝60°，推出△DEO是等边三角形，得到∠DOE＝∠BAO＝60°，得到OD∥AB，求得S△BDO＝S△AOD，推出S△AOB＝S△ABD＝，过B作BH⊥OA于H，由等边三角形的性质得到OH＝AH，求得S△OBH＝，于是得到结论．【解答】解：连接OD，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵四边形OCDE是菱形，∴DE∥OB，∴∠DEO＝∠AOB＝60°，∴△DEO是等边三角形，∴∠DOE＝∠BAO＝60°，∴OD∥AB，∴S△BDO＝S△AOD，∵S四边形ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB，∴S△AOB＝S△ABD＝，过B作BH⊥OA于H，∴OH＝AH，∴S△OBH＝，∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，∴k的值为，故答案为：．12．（5分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加（4﹣4）m．【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB＝AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．13．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为0＜m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y＝kx得，﹣5＝12k，∴k＝﹣；由y＝﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y＝﹣x+m （m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝m，∴A（m，0），B（0，m），即OA＝m，OB＝m；在Rt△OAB中，AB＝，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO＝OD•AB＝OA•OB，∴OD•m＝×m×m，∵m＞0，解得OD＝m由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜．故答案为：0＜m＜．三．解答题（共4小题，满分43分）14．（5分）计算：﹣2tan60°．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝2+5﹣2﹣2＝3．15．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．【分析】（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．（2）由CD＝AD，可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．由△CDK∽△COD，推出＝，推出＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），由此即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴DK＝KB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，∴△ODC≌△OBC（SSS），∴∠ODC＝∠OBC，∵CB⊥AB，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵CD＝AD，∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．∵DK＝KB，AO＝OB，∴OK＝AD＝a，∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，∴△CDK∽△COD，∴＝，∴＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），∵CK∥AD，∴＝＝＝．16．（12分）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2辆60座客车租金共计1880元（1）求两种车租金每辆各多少元？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租车方案？请选择最节省的租车方案．【分析】（1）设42座客车租金x元/辆，60座客车租金（x+140）元/辆，根据题意列出方程解答即可．（2）根据租用的8辆客车所载的总人数应大于等于师生的总人数和所需的费用应比单独租用车辆的费用少，列出不等式组进行求解，然后分类讨论．【解答】解：（1）设42座客车租金x元/辆，60座客车租金（x+140）元/辆，根据题意，得：3x+2（x+140）＝1880，解得：x＝320答：42座客车租金320元/辆，60座客车租金460元/辆；（2）设租42座客车m辆，则60座客车（8﹣m）辆，根据题意得：42m+60（8﹣m）≥385•，320m+460 （8﹣m）≤3200，解得：3≤m≤5∵m为整数，∴m的值可以是4、5，即有2种方案；设总费用为W，则W＝320m+460 （8﹣m）＝﹣140m+3680，∵W随m的增大而减小大，∴当m＝5时，W取得最小值，最小值为2980，17．（14分）如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用对称轴方程，联立方程组，解方程组求得a、b的值；（2）设点C的坐标是（0，m）．由于没有指明直角△BCD中的直角，所以需要分类讨论：当∠CBD＝90°、∠CDB＝90°、∠BCD＝90°时，利用勾股定理列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后利用三角形的面积公式解答；（3）利用待定系数法确定直线OA解析式为．由抛物线上点的坐标特征和两点间的距离公式求得：，所以利用二次函数最值的求得推知：当PQ最大时，线段BQ为定长．又因为MN＝2，所以要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．利用轴对称﹣最短路径问题得到点Q．最后利用方程思想解答．【解答】解：（1）∵过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，∴解之，得；（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．∴，解之，得，∴；当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．∴，解之，得，∴；当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．∴，此方程无解．综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；（3）设直线y＝kx过点，可得直线．由（1）可得抛物线，∴，∴当时，PQ最大，此时Q点坐标是．∴PQ最大时，线段BQ为定长．∵MN＝2，∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），则解之，得∴直线过点Q2和点B．解方程组得∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，所以点Q、M、N的坐标分别为，，．。

精品文档河北省沧州市2021年中考数学模拟试卷一、选择题：本大题共 16小题，1-10小题，每题 3分，11-16小题，每题 3分，共42分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．．下面哪个式子可以用来验证小明的计算3﹣〔﹣ 1〕=4是否正确？〔4﹣〔﹣〕4+1 C4×1 4÷1 〕．〔﹣〕． 〔﹣〕〔﹣2 ．以下运算正确的选项是〔〕A ．a 3+a 2=a 5B ．3a 2﹣a 2=22C ．a 3?a 2=a 5D ．a 6÷a 3=a 23．下了四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔 〕A ．B ．C ．D ．4．以下各式中，能用平方差公因式分解的是〔 〕A ．x 2+xB ．x 2+8x+16C ．x 2+4D ．x 2﹣15．如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的侧面积是〔 〕A ．12πcm 2B ．8πcm 2C ．6πcm 2D ．3πcm26．如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，过D 点的切线 PD 与直线AB交于点P ，那么∠ADP 的度数为〔 〕A ．40°B ．35°C ．30°D ．45°7．a= ，b= ，c= ，那么以下大小关系正确的选项是〔 〕A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b精品文档精品文档8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A．∠AOF=45°B．∠BOD=∠AOCC．∠BOD的余角等于75°30′D．∠AOD与∠BOD互为补角9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，那么tan∠DBC的值为〔〕A．B．﹣1C．2﹣D．10．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，那么以下结论正确的选项是〔〕A．当x=3时，EC＜EM B．当y=9时，EC＞EMC ．当x增大时，EC CF的值增大D．当y增大时，BEDF的值不变??11．如下图是测量一物体体积的过程：步骤一，将180ml的水装进一个容量为300ml的杯子中．步骤二，将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满．步骤三，同样的玻璃球再加一个放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积在以下哪一范围内〔1ml=1cm 3〕〔〕精品文档精品文档A ．10cm 3以上，20cm 3以下 B ．20cm 3以上，30cm 3以下 C ．30cm 3以上，40cm 3以下D ．40cm 3以上，50cm 3以下12．假设关于x 的一元二次方程〔 k ﹣1〕x 2+2x ﹣2=0有实数根，那么 k 的取值范围是〔〕A ．k ＞B ．k ≥C ．k ＞ 且k ≠1D ．k ≥且k ≠113．如图是某市 7月 1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染， 某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天，那么此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是〔〕A ．B ．C ．D ．14．如图，函数 y =ax+b 和y=kx 的图象交于点P ，那么根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是〔 〕A ．B ．C ．D ．15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O ，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM和的长分别为〔 〕精品文档精品文档A．2，B．2，πC．，D．2，16．一个大正方形和四个全等的小正方形按①、②两种方式放，②的大正方形中未被小正方形覆盖局部的面是〔用含a、b的式子表示〕〔〕A．〔a+b〕2B．〔a b〕2C．2ab D．ab二、填空：本大共4小，每小3分，共12分，把答案写在中横上．17．算2sin45°的果是．18．假设〔x1〕2=2，代数式x22x+5的．19．如，在半径2的⊙O中，两个点重合的内接正四形与正六形，阴影局部的面．20．如，所有正三角形的一都与x平行，一点在y正半上，点依次用A1，A2，A3，A4⋯表示，坐原点O到A1A2，A4A5，A7A8⋯的距离依次是1，2，3，⋯，从内到外，正三角形的依次246⋯A23的坐是．，，，，精品文档精品文档三、解答题：本大题共6个小题，共 66分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．现规定=a ﹣b+c ﹣d ，试计算 ，其中x=2，y=1．22．如图，点 A 〔﹣4，2〕，B 〔﹣1，﹣2〕，平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点O ．1〕请直接写出点C 、D 的坐标；2〕写出从线段AB 到线段CD 的变换过程；3〕直接写出平行四边形ABCD 的面积．23．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤〔岸堤足够长〕为一边，用总长为 80m 的围网在水库中围成了如下图的 ①②③ 三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设 BC 的长度为xm ，矩形区域 ABCD 的面积为ym 2．〔1〕求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围；〔2〕x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？精品文档精品文档24．如图是根据某市国民经济和社会开展统计公报中的相关数据绘制的两幅统计图〔不完整〕．根据图中信息解答以下问题：〔1〕2021年该市私人轿车拥有量约是多少万辆？〔精确到 1万辆〕〔2〕请补全折线统计图．〔3〕经测定，汽车的碳排放量与汽车的排量大小有关，驾驶排量为的轿车，假设一年行驶的路 程为1万千米，那么这一年该轿车的碳排放量约为 万吨，从该市随机抽取400辆私人轿车，不同排量的轿车数量统计如下表：排量〔L 〕小于大于 轿车数量〔辆〕602008060按照上述的统计数据， 通过计算估计：2021年该市仅排量为的私人轿车〔假定每辆车平均一年行驶的路程都为 1万千米〕的碳排放总量为多少万吨？25．如图，经过点A 〔0，﹣6〕的抛物线y= x 2+bx+c 与x 轴相交于B 〔﹣2，0〕，C 两点．〔1〕求此抛物线的函数关系式和顶点 D 的坐标；〔2〕将〔1〕中求得的抛物线向左平移 1个单位长度，再向上平移 m 〔m ＞0〕个单位长度得到新抛物线y 1，假设新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；〔3〕设点M 在y 轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB ，直接写出AM 的长．26．在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P ，点Q 分别是边 BC ，边AB 上的点，连结AC ，PQ ，点B 1是点B 关于PQ 的对称点．精品文档精品文档〔1〕假设四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；②假设BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；〔2〕假设四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．假设B1E：B1F=1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围．精品文档精品文档2021年河北省沧州市中考数学模拟试卷〔3月份〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共16小题，1-10小题，每题3分，11-16小题，每题3分，共42分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．下面哪个式子可以用来验证小明的计算3﹣〔﹣1〕=4是否正确？〔〕A．4﹣〔﹣1〕B．4+〔﹣1〕C．4×〔﹣1〕D．4÷〔﹣1〕【考点】有理数的减法．【分析】根据被减数、减数、差三者之间的关系解答．【解答】解：可以用4+〔﹣1〕验证．应选B．【点评】此题主要考查了有理数的减法，熟记被减数=差+减数是解题的关键．2．以下运算正确的选项是〔〕A ．a3+a2=a5B．3a2﹣a2=22C．a3a2=a5D．a6a3=a2?÷【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，C；根据合并同类项，可判断B；根据同底数幂的除法，可判断D．【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；B、合并同类项系数相加字母局部不变，故B错误；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；应选：C．【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟记法那么并根据法那么计算是解题关键．3．下了四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．精品文档精品文档【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．应选B ．【点评】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两 局部沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重合．4．以下各式中，能用平方差公因式分解的是〔〕A ．x 2+xB ．x 2+8x+16C ．x 2+4D ．x 2﹣1 【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．【解答】解：A 、x 2+x=x 〔x+1〕，是提取公因式法分解因式，故此选项错误；B 、x 2+8x+16=〔x+4〕2，是公式法分解因式，故此选项错误；C 、x 2+4，无法分解因式，故此选项错误；D 、x 2﹣1=〔x+1〕〔x ﹣1〕，能用平方差公因式分解，故此选项正确．应选：D ．【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．5．如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的侧面积是〔〕A ．12πcm 2B ．8πcm 2C ．6πcm 2D ．3πcm 2【考点】由三视图判断几何体；圆柱的计算．【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．精品文档精品文档【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，侧面积为：πdh=2×3π=6π，应选C．【点评】此题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．6．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB 交于点P，那么∠ADP的度数为〔〕A．40°B．35°C．30°D．45°【考点】切线的性质．【分析】连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．【解答】解：连接BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，PD是切线，∴∠ADP=∠ABD=30°，应选：C．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解．精品文档精品文档7．a=，b=，c=，那么以下大小关系正确的选项是〔〕A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【考点】实数大小比拟．【专题】计算题．【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比拟大小即可．【解答】解：∵a==，b==，c==，且＜＜，∴＞＞，即a＞b＞c，应选A．【点评】此题考查了实数比拟大小，将a，b，c进行适当的变形是解此题的关键．8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠BOD=15°30′，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A．∠AOF=45°B．∠BOD=∠AOCC．∠BOD的余角等于75°30′D．∠AOD与∠BOD互为补角【考点】垂线；余角和补角；对顶角、邻补角．【分析】根据垂线的定义和角平分线得出A正确；根据对顶角相等得出B正确；求出∠BOD的余角得出C不正确；根据邻补角关系得出D正确．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠AOE=45°，∴A正确；夜∠BOD和∠AOC是对顶角，∴∠BOD=∠AOC，精品文档精品文档∴B正确；∵∠BOD的余角=90°﹣15°30′=74°30′，∴C不正确；∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD和∠BOD互为补角，D正确；应选：C．【点评】此题考查了垂线、余角以及对顶角、邻补角的定义；熟练掌握角的互余和互补关系是解题的关键．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，那么tan∠DBC的值为〔〕A．B．﹣1C．2﹣D．【考点】解直角三角形；等腰直角三角形．【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE 来求tan∠DBC的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．精品文档精品文档∴tan∠DBC===．应选：A．【点评】此题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．10．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，那么以下结论正确的选项是〔〕A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC?CF的值增大D．当y增大时，BE?DF的值不变【考点】动点问题的函数图象．【专题】数形结合．【分析】由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，那么△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图象得反比例解析式为y=；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直角三角形的性质得CE=3，CF=3，那么C点与M点重合；当y=9时，根据反比例函数的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以EF=10，而EM=5；由于EC?CF=x×y；利用等腰直角三角形的性质BE?DF=BC?CD=xy，然后再根据反比例函数的性质得BE?DF=9，其值为定值．【解答】解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图象得x=3，y=3，那么反比例解析式为y=；精品文档精品文档A 、当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以CE=BC=3 ，CF= CD=3 ，C 点与M 点重合，那么EC=EM ，所以A 选项错误；B、当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以EC= ，EF=10 ，EM=5 ，所以B 选项错误；C、因为EC?CF= x?y=2×xy=18，所以，EC?CF 为定值，所以C 选项错误；D、因为 BEDF=BC ? CD=xy=9 ，即 BEDF 的值不变，所以 D选项正确． ? ?应选D ．【点评】此题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．11．如下图是测量一物体体积的过程：步骤一，将180ml 的水装进一个容量为 300ml 的杯子中．步骤二，将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满．步骤三，同样的玻璃球再加一个放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积在以下哪一范围内〔 1ml=1cm 3〕〔 〕A ．10cm 3以上，20cm 3以下 B ．20cm 3以上，30cm 3以下C ．30cm 3以上，40cm 3以下D ．40cm 3以上，50cm 3以下【考点】一元一次不等式的应用．【专题】操作型．【分析】先求出剩余容量，然后分别除以 3和4，就可知道球的体积范围．【解答】解：300﹣180=120，120÷3=40，120÷4=30应选：C ．【点评】特别注意水没满与满的状态．12．假设关于x 的一元二次方程〔 k ﹣1〕x 2+2x ﹣2=0有实数根，那么 k 的取值范围是〔〕A ．k ＞B ．k ≥C ．k ＞且k ≠1D ．k ≥且k ≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．精品文档精品文档【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义可得4﹣4〔k ﹣1〕〔﹣2〕=8k ﹣4≥0且k ≠1，求出k 的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程〔k ﹣1〕x 2+2x ﹣2=0有实数根， ∴△≥0且k ≠1，∴△=4﹣4〔k ﹣1〕〔﹣2〕=8k ﹣4≥0且k ≠1， ∴k ≥且k ≠1， 应选：D ．【点评】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义的知识，解答此题的关键是掌握一元二次方程有实数根，那么△≥0，此题难度不大．13．如图是某市 7月1日至10日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染， 某人随机选择 7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留 3天，那么此人在该市停留期间有且仅有 1天空气质量优良的概率是〔 〕A ．B ．C ．D ．【考点】概率公式；折线统计图． 【专题】图表型． 【分析】先求出3天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优良的情况，根据概率公 式求解即可． 【解答】解：∵由图可知，当 1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时为〔86，25，57〕，3天空气质量均为优；当2 号到达时，停留的日子为 2、3 、4 号，此时为〔25 ，57，143〕，2 天空气质量为优； 当3 号到达时，停留的日子为 3、4 、5 号，此时为〔57 ，143，220〕， 1天空气质量为优； 当4 号到达时，停留的日子为4、5 、6 号，此时为〔143，220，160〕，空气质量为污染；精品文档精品文档当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时为〔220，160，40〕，1天空气质量为优；当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时为〔160，40，217〕，1天空气质量为优；当7号到达时，停留的日子为7、8、9号，此时为〔40，217，160〕，1天空气质量为优；当8号到达时，停留的日子为8、9、10号，此时为〔217，160，121〕，空气质量为污染∴此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率= =．应选：C．【点评】此题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．14．如图，函数y=ax+b 和y=kx的图象交于点P，那么根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是〔〕A．B．C．D．【考点】一次函数与二元一次方程〔组〕．【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为〔﹣3，1〕；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P〔﹣3，1〕，即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．应选C．【点评】此题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．精品文档精品文档15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM和的长分别为〔〕A．2，B．2，πC．，D．2，【考点】正多边形和圆；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．【解答】解：连接OB，OB=4，∴BM=2，∴OM=2，==π，应选D．【点评】此题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．16．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，那么图②的大正方形中未被小正方形覆盖局部的面积是〔用含a、b的式子表示〕〔〕精品文档精品文档A ．〔a+b 〕2B ．〔a ﹣b 〕2C ．2abD ．ab【考点】整式的混合运算．【分析】用大正方形的面积减去 4个小正方形的面积即可．【解答】解：〔 〕2﹣4×〔〕2= ﹣==ab ， 应选D ．【点评】此题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每题 3分，共12分，把答案写在题中横线上．17．计算 ﹣2sin45°的结果是 ．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值求出即可．【解答】解： ﹣2sin45°=2 ﹣2×．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．18．假设〔x ﹣1〕2=2，那么代数式x 2﹣2x+5的值为6．【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式展开，先求出x 2﹣2x 的值，然后再加上 5计算即可．【解答】解：∵〔x ﹣1〕2=2， ∴x 2﹣2x+1=2，精品文档精品文档x 2﹣2x=1， 两边都加上5，得x 2﹣2x+5=1+5=6． 故答案为：6．【点评】此题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键，利用“整体代入〞的思想使计算更加简便．19．如图，在半径为2的⊙O 中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，那么阴影局部的面积为 6﹣2． 【考点】正多边形和圆． 【分析】如图，连接 OB ，OF ，根据题意得：△BFO 是等边三角形，△CDE 是等腰直角三角形，求 得△ABC 的高和底即可求出阴影局部的面积． 【解答】解：如图，连接OB ，OF ， 根据题意得：△BFO 是等边三角形，△CDE 是等腰直角三角形，∴BF=OB=2，∴△BFO 的高为； ，CD=2〔2 ﹣ 〕=4﹣2，∴BC=〔2﹣4+2〕=﹣1，∴阴影局部的面积 =4S △ABC =4×〔 〕?=6﹣2．故答案为：6﹣2．精品文档精品文档【点】本考了正多形和，三角形的面，解的关是知道阴影局部的面等于4个三角形的面．20．如，所有正三角形的一都与x平行，一点在y正半上，点依次用A1，A2，A3，A4⋯表示，坐原点O到A1A2，A4A5，A7A8⋯的距离依次是1，2，3，⋯，从内到外，正三角形的依次2，4，6，⋯，A23的坐是〔8，8〕．【考点】律型：点的坐．【分析】根据每一个三角形有三个点确定出A23所在的三角形，再求出相的三角形的以及23的坐的度，即可得解．【解答】解：∵23÷3=7⋯2，∴A23是第8个等三角形的第2个点，第8个等三角形2×8=16，∴点A23的横坐×16=8，∵A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、⋯均相距一个位，∴点A23的坐8，∴点A23的坐〔8，8〕．故答案：〔8，8〕．【点】此考点的坐化律，主要利用了等三角形的性，确定出点A23所在三角形是解的关．三、解答：本大共6个小，共66分，解答写出文字明、明程或演算步．21．定=a b+c d，算，其中x=2，y=1．精品文档精品文档【考点】整式的混合运算 —化简求值．【专题】新定义；整式．【分析】原式利用题中的新定义化简，将 x 与y 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=〔xy ﹣3x 2〕﹣〔﹣2xy 〕﹣2x 2﹣〔﹣5+xy 〕=xy ﹣3x2+2xy ﹣2x2+5﹣xy=﹣5x 2+2xy+5， 当x=2，y=1时，原式=﹣20+4+5=﹣11．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键． 22．如图，点 A 〔﹣4，2〕，B 〔﹣1，﹣2〕，平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点 O ． 1〕请直接写出点C 、D 的坐标； 2〕写出从线段AB 到线段CD 的变换过程； 3〕直接写出平行四边形ABCD 的面积． 【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质；平移的性质． 【分析】〔1〕利用中心对称图形的性质得出 C ，D 两点坐标； 2〕利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可； 3〕利用S ABCD 的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，进而求出即可．【解答】解：〔1〕∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 关于O 中心对称， A 〔﹣4，2〕，B 〔﹣1，﹣2〕，∴C 〔4，﹣2〕，D 〔1，2〕； 〔2〕线段AB 到线段CD 的变换过程是：绕点O 旋转180°； 〔3〕由〔1〕得：A 到y 轴距离为：4，D 到y 轴距离为：1，A 到x 轴距离为：2，B 到x 轴距离为：2，∴S ABCD 的可以转化为边长为； 5和4的矩形面积，精品文档精品文档S ABCD =5×4=20．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，根据题意得出S ABCD 的可以转化为矩形面积是解题关键．23．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤〔岸堤足够长〕为一边，用总长为 80m 的围网在水库中围成了如下图的 ①②③ 三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设 BC 的长度为xm ，矩形区域 ABCD 的面积为ym 2．〔1〕求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围；〔2〕x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】应用题．【分析】〔1〕根据三个矩形面积相等， 得到矩形AEFD 面积是矩形 BCFE 面积的2倍，可得出AE=2BE ，设BE=a ，那么有AE=2a ，表示出 a 与2a ，进而表示出 y 与x 的关系式，并求出 x 的范围即可；〔2〕利用二次函数的性质求出 y 的最大值，以及此时 x 的值即可．【解答】解：〔1〕∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 面积是矩形 BCFE 面积的2倍，∴AE=2BE ，设BE=a ，那么AE=2a ，∴8a+2x=80，∴a=﹣x+10，3a=﹣ x+30，y=〔﹣x+30〕x=﹣x 2+30x ，a=﹣x+10＞0，∴x ＜40，精品文档精品文档那么y=﹣x 2+30x 〔0＜x ＜40〕；〔2〕∵y=﹣x 2+30x=﹣〔x ﹣20〕2+300〔0＜x ＜40〕，且二次项系数为﹣＜0，∴当x=20时，y 有最大值，最大值为 300平方米．【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．24．如图是根据某市国民经济和社会开展统计公报中的相关数据绘制的两幅统计图〔不完整〕．根据图中信息解答以下问题：〔1〕2021年该市私人轿车拥有量约是多少万辆？〔精确到1万辆〕 〔2〕请补全折线统计图．〔3〕经测定，汽车的碳排放量与汽车的排量大小有关，驾驶排量为 的轿车，假设一年行驶的路程为1万千米，那么这一年该轿车的碳排放量约为 万吨，从该市随机抽取 400辆私人轿车，不同排量的轿车数量统计如下表：排量〔L 〕小于大于轿车数量〔辆〕60200 8060按照上述的统计数据， 通过计算估计：2021 年该市仅排量为的私人轿车〔假定每辆车平均一年行驶的路程都为 1万千米〕的碳排放总量为多少万吨？ 【考点】折线统计图；条形统计图．【分析】〔1〕设2021 年该市私人轿车拥有量为 x 万辆，根据2021年拥有量=2021年拥有量×〔1+2021年的增长率〕列出方程，解方程可得；〔2〕设2021年增长率为m ，根据 2021年拥有量×〔1+增长率〕=2021年拥有量，列方程求解即可；〔3〕根据2021年20私人轿车总量由 14年的私人轿车占私人轿车拥有量的比例可得排量为的私人轿车数，再计算碳排放总量．精品文档精品文档【解答】解：〔1〕设2021年该市私人轿车拥有量为 x 万辆，根据题意，得：〔1+30%〕x=108，解得：x=83，答：2021年该市私人轿车拥有量约是 83万辆； 2〕设2021年增长率为m ，那么60〔1+m 〕=69， 解得：m=0.15=15%，补全统计图如以下图所示：〔3〕2021年私人轿车的拥有量为： 108×〔200÷400〕=54〔万辆〕，所以2021 年该市仅排量为的私人轿车的碳排放总量为： 540000×2.7=1458000〔万吨〕， 答：2021 年该市仅排量为的私人轿车的碳排放总量为1458000万吨．【点评】此题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况．25．如图，经过点 A 〔0，﹣6〕的抛物线y= x 2+bx+c 与x 轴相交于B 〔﹣2，0〕，C 两点．〔1〕求此抛物线的函数关系式和顶点 D 的坐标；〔2〕将〔1〕中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m 〔m ＞0〕个单位长度得到新抛物线y 1，假设新抛物线 y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围； 〔3〕设点M 在y 轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB ，直接写出 AM 的长．【考点】二次函数综合题． 【分析】〔1〕该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A 、B两点坐标代入即可得解．精品文档精品文档〔2〕首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m 表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB 、AC的解析式中，即可确定P 在△ABC 内时m 的取值范围．〔3〕先在OA 上取点N ，使得∠ONB=∠ACB ，那么只需令∠NBA=∠OMB 即可，显然在 y 轴的正 负半轴上都有一个符合条件的 M 点；以y 轴正半轴上的点 M 为例，先证△ABN 、△AMB 相似，然后通过相关比例线段求出 AM 的长．【解答】解：〔1〕将A 〔0，﹣6〕、B 〔﹣2，0〕代入抛物线 y=x 2+bx+c 中，得：， 解得． ∴抛物线的解析式： y=x 2﹣2x ﹣6=〔x ﹣2〕2﹣8，顶点D 〔2，﹣8〕；〔2〕由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=〔x ﹣2+1〕2﹣8+m ，即：y= 〔x ﹣2+1〕2﹣8+m ．它的顶点坐标 P 〔1，m ﹣8〕．由〔1〕的抛物线解析式可得： C 〔4，0〕．∴直线AB ：y=﹣3x ﹣6；直线AC ：y=x ﹣6．当点P 在直线 AB上时，﹣ 3﹣6=m ﹣8，解得：m=﹣1；当点P 在直线AC又∵m ＞0，∴当点P 在△ABC 上时， 内时，﹣6=m ﹣8，解得：0＜m ＜ ．m=；3〕由A 〔0，﹣6〕、C 〔6，0〕得：OA=OC=6，且△OAC 是等腰直角三角形．如图，在OA 上取ON=OB=2，那么∠ONB=∠ACB=45°．∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB ，即∠NBA=∠OMB ．精品文档精品文档如图，在△ABN 、△AM 1B 中，BAN=∠M 1AB ，∠ABN=∠AM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ，得：AB 2=AN?AM 1；由勾股定理，得 AB 2=〔﹣2〕2+〔﹣6〕2=40，又∵AN=OA ﹣ON=6﹣2=4， AM 1=40÷4=10，OM 1=AM 1﹣OA=10﹣6=4OM 2=OM 1=4AM 2=OA ﹣OM 2=6﹣4=2． 综上所述，AM 的长为4或2．【点评】考查了二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．26．在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，OA=4，OC=2， 点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结 AC ，PQ ，点B 1是点B 关于PQ 的对称点．〔1〕假设四边形OABC 为矩形，如图1， ① 求点B 的坐标；② 假设BQ ：BP=1：2，且点B 1落在OA 上，求点B 1的坐标；〔2〕假设四边形OABC 为平行四边形，如图2，且OC ⊥AC ，过点B 1作B 1F ∥x 轴，与对角线 AC 、边OC 分别交于点E 、点F ．假设B 1E ：B 1F=1：3，点B 1的横坐标为m ，求点B 1的纵坐标，并直接写出m 的取值范围．【考点】四边形综合题．【专题】压轴题．【分析】〔1〕①根据OA=4，OC=2，可得点B 的坐标；②利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标；精品文档。

2021年河北省石家庄市中考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分）1．的值是（）A．B．C．D．22．如图，从点C观测建筑物BD的仰角是（）A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE3．语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（）A．B．C．D．4．下列计算结果等于a3的是（）A．a6÷a2B．a4﹣a C．a2+a D．a2⋅a5．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠5D．∠3+∠4＝180°6．2020年五一期间，某消费平台推出“购物满200元可参与抽奖”的活动，中一等奖的概率为，用科学记数法表示为（）A．2×10﹣4B．5×10﹣5C．5×10﹣6D．2×10﹣57．如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变8．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD 变为矩形的是（）A．OD＝OC B．∠DAB＝90°C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD9．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝90°C．2α+β＝180°D．2α﹣β＝90°10．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（）A．样本的容量是4B．样本的中位数是3C．样本的众数是3D．样本的平均数是3.511．如图，若x＝，则表示的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④12．已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．小明的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，下列说法正确的是（）A．小明对，小丽不对B．小丽对，小明不对C．两人都对D．两人都不对13．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上14．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根15．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE ＝4S△ECF．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（）A．0B．2C．1D．二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17～18小题各3分，19题每空2分．）17．计算﹣的结果为．18．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若＞k2x，则x的取值范围是．19．如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．（1）若记B'C'中点为点D，连接PD，则PD＝；（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为．三、解答题（本大题有7个小题，共68分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1，2﹣m，9﹣4m．（1）求AC的长；（用含m的代数式表示）（2）若AB＝5，求BC的长．21．如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．（1）求x+y的值．（2）若n＝30，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？（3）用含k（k为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．22．每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：（1）该校八年级共有名学生，“优秀”所占圆心角的度数为．（2）请将图1中的条形统计图补充完整．（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．23．已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．（1）求证：CD＝CE；（2）当AC＝2时，求BF的长；（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．24．如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B 电盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t（min），水箱A的水位高度为y A（dm），水箱B中的水位高度为y B（dm）根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）（1）水箱A的容积为；（2）分别写出y A、y B与t之间的函数表达式；（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．25．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P、Q分别是AB、BC的中点，点E 是折线段PA﹣AD上一点．（1）点C到直线EQ距离的最大值是．（2）如图②，以EQ为直径，在EQ的右侧作半圆O．①当半圆O经过点D时，求半圆O被边BC所在直线截得的弧长；（注：tan39°＝，sin53°＝）②当半圆O与边AD相切时，设切点为M，求tan∠OAM的值；（3）沿EQ所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为B'，若点B'恰好落在矩形的边AD上，直接写出AE的长．26．已知：如图，点O（0，0），A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，抛物线l：y＝kx2﹣2kx﹣3k（k≠0）（1）当k＝1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代数式表示）；（3）当抛物线l经过点C（0，3）时，l的解析式为，顶点坐标为，点B（填“是”或“否”）在l上；若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围：②若1同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共16个小题，共42分）1．的值是（）A．B．C．D．2解：的值是2．故选：B．2．如图，从点C观测建筑物BD的仰角是（）A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE 解：从点C观测建筑物BD的仰角是∠DCE，故选：D．3．语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（）A．B．C．D．解：“x的与x的差不超过3”，用不等式表示为x﹣x≤3．故选：B．4．下列计算结果等于a3的是（）A．a6÷a2B．a4﹣a C．a2+a D．a2⋅a 解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；B、不是同底数幂的乘法，故B不符合题意；C、不是同底数幂的乘法，故C不符合题意；D、a2•a＝a3，故D符合题意；故选：D．5．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠5D．∠3+∠4＝180°解：A、∵∠1＝∠2，∴a∥b，不符合题意；B、∵∠2＝∠3，∴a∥b，不符合题意；C、∵∠1与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠1＝∠5，不能得到a∥b，∴符合题意；D、∵∠3+∠4＝180°，∴a∥b，不符合题意；故选：C．6．2020年五一期间，某消费平台推出“购物满200元可参与抽奖”的活动，中一等奖的概率为，用科学记数法表示为（）A．2×10﹣4B．5×10﹣5C．5×10﹣6D．2×10﹣5解：用科学记数法表示5×10﹣6，故选：C．7．如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；主视图发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；左视图没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；俯视图发生改变．故选：D．8．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD 变为矩形的是（）A．OD＝OC B．∠DAB＝90°C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，A、OD＝OC时，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ODA＝∠OAD，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．9．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝90°C．2α+β＝180°D．2α﹣β＝90°解：∵OA⊥BC，∴∠AOC＝90°，∵∠COD＝2∠DBC＝2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+2α＝90°，故选：B．10．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（）A．样本的容量是4B．样本的中位数是3C．样本的众数是3D．样本的平均数是3.5解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，所以这组数据的样本容量为4，中位数为＝3，众数为3，平均数为＝3，故选：D．11．如图，若x＝，则表示的值的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④解：原式＝•＝x﹣1，当x＝时，原式＝﹣1≈1.23，故选：C．12．已知：△ABC．求作：一点O，使点O到△ABC三个顶点的距离相等．小明的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作边BC的垂直平分线GH；（3）直线GH与射线BF交于O．点O即为所求的点（作图痕迹如图1）．小丽的作法是：（1）作∠ABC的平分线BF；（2）作∠ACB的平分线CM；（3）射线CM与射线BF 交于点O．点O即为所求的点（作图痕迹如图2）．对于两人的作法，下列说法正确的是（）A．小明对，小丽不对B．小丽对，小明不对C．两人都对D．两人都不对【分析】因为点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以点O是三边的垂直平分线的交点，由此即可判断．解：∵点O到△ABC三个顶点的距离相等，∴点O是三边的垂直平分线的交点，∴两人的作法都是错误的，故选：D．13．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：D．14．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．15．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE ＝4S△ECF．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得④正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵BE＝CE＝BC，∴＝（）2＝4，∴S△ABE ＝4S△ECF，故④正确；∴CF＝EC＝CD，故③错误；∴tan∠BAE＝＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，∴＝＝，＝＝，∴＝，∴△ABE∽△AEF，故②正确．∴②与④正确．∴正确结论的个数有2个．故选：B．16．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（）A．0B．2C．1D．【分析】求出两个正方形的面积，可得结论．解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AD＝2，EC＝，∴AD为边的正方形的面积为4，EC为边的正方形的面积为3，∴两个阴影部分的面积差a﹣b＝4﹣3＝1，故选：C．二、填空题（本大题有3个小题，共10分，17～18小题各3分，19题每空2分．）17．计算﹣的结果为．【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．解：﹣＝2﹣＝．故答案为：．18．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若＞k2x，则x的取值范围是0＜x＜2或x＜﹣2．【分析】根据两函数的交点A、B的横坐标和图象得出答案即可．解：∵反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．通过观察图象，当＞k2x时x的取值范围是0＜x＜2或x＜﹣2，故答案为0＜x＜2或x＜﹣2．19．如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接并延长BB'、C'C相交于点P，其中∠ABC＝30°，BC＝4．（1）若记B'C'中点为点D，连接PD，则PD＝2；（2）若记点P到直线AC'的距离为d，则d的最大值为2+．【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，由等腰三角形的性质得出∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，得出∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，由三角形内角和定理和四边形内角和定理得出∠BPC'＝90°，由直角三角形的性质即可得出PD＝BC'＝2；（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，证明△ADC'是等边三角形，得出AC'＝AD＝2，由等边三角形的性质得出AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+．解：（1）由旋转的性质得：AC＝AC，AB'＝AB，∠C'AC＝∠B'AB，∴∠ACC'＝∠AC'C，∠ABB'＝∠AB'B，∴∠ACC'＝∠AC'C＝∠ABB'＝∠AB'B，∵∠B'AB+∠ABB'+∠AB'B＝180°，∠B'AB+∠BAC+∠ABB'+∠AC'C+∠BPC'＝360°，∴∠BPC'＝90°，∵D为B'C'中点，∴PD＝BC'＝2；故答案为：2；（2）连接AD，作DE⊥AC'于E，如图所示：∵AB'C'＝∠ABC＝30°，∴∠AC'B＝60°，∵点D为B'C'中点，∴AD＝BC'＝DC'，∴△ADC'是等边三角形，∴AC'＝AD＝2，∵DE⊥AC'，∴AE＝AC'＝1，DE＝AE＝，当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离d最大＝PD+DE＝2+；故答案为：2+．三、解答题（本大题有7个小题，共68分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是m+1，2﹣m，9﹣4m．（1）求AC的长；（用含m的代数式表示）（2）若AB＝5，求BC的长．【分析】（1）由两点间的距离公式解答：（2）根据已知条件求得m的值；代入求值．解：（1）根据题意知：AC＝（m+1）﹣（9﹣4m）＝5m﹣8；（2）根据题意知：AB＝2m﹣1，2m﹣1＝5，解得m＝3．所以BC＝3m﹣7＝3×3﹣7＝2，即BC＝2．21．如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等．（1）求x+y的值．（2）若n＝30，则这些小桶内所放置的小球数之和是多少？（3）用含k（k为正整数）的代数式表示装有“3个球”的小桶序号．【分析】（1）根据任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等列方程为：5+2+3+4＝3+4+x+y，即可得到结论；（2）根据每4个数为一组，从第五个开始循环，当n＝30时，为7组余2桶，由此计算这些小桶内所放置的小球数之和；（3）先找出装有“3个球”的小桶序号，再找其中的规律，然后，依据规律表示装有“3个球”的小桶序号．解：（1）∵任意相邻的四个小桶所放置的小球数之和相等，∴5+2+3+4＝3+4+x+y，∴x+y＝7；（2）∵5+2+3+4＝14，每4个数一组和为14，当n＝30时，30÷4＝7…2，∴当n＝30时，这些小桶内所放置的小球数之和是14×7+5+2＝105；（3）由图可知：装有“3个球”的小桶序号分别是：3，7，11，…，∴装有“3个球”的小桶序号n＝4k﹣1（k为正整数）．22．每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：（1）该校八年级共有500名学生，“优秀”所占圆心角的度数为108°．（2）请将图1中的条形统计图补充完整．（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．【分析】（1）由“良好”的人数和其所占的百分比即可求出总人数；由360°乘以“优秀”所占的比例即可得出“优秀”所占圆心角的度数；（2）求出“一般”的人数，补全条形统计图即可；（3）由15000乘以“不合格”所占的比例即可；（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．解：（1）该校八年级共有学生人数为200÷40%＝500（名）；“优秀”所占圆心角的度数为360°×＝108°；故答案为：500，108°；（2）“一般”的人数为500﹣150﹣200﹣50＝100（名），补全条形统计图如图1（3）15000×＝1500（名），即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为6种，∴必有甲同学参加的概率为＝．23．已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．（1）求证：CD＝CE；（2）当AC＝2时，求BF的长；（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明△ADC≌△BCE，可证明CD＝CE；（2）由（1）中的全等可得∠CDE＝∠CED，∠ACD＝∠BEC，可证明∠BFE＝∠BEF，可证明△BEF为等腰三角形；（3）由外心的位置可知△CDE是钝角三角形，可得0°＜∠CDE＜45°，再利用三角形的内角和可得α的范围．【解答】（1）证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B，在△ADC和△BCE中，，∴△ADC≌△BCE（SAS），∴CD＝CE；（2）解：由（1）可知CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，由（1）可知△ADC≌△BCE，∴∠ACD＝∠BEC，∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，即∠BFE＝∠BED，∴BE＝BF，即．（3）∵△CDE的外心在该三角形的外部，∴△CDE是钝角三角形，∵∠CDE＝∠CED，∴0°＜∠CDE＜45°，∵AD∥BE，∴∠ADE＝∠BED，即∠ADE＝∠AFD，∴∠ADE＝（180°﹣α）＝90°﹣，∵△ADC内角和是180°，∴α+∠ADC+∠CDE+25°＝180°，即∠CDE＝65°﹣，∴0°＜65°﹣＜45°，解得：40°＜α＜130°．24．如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B 电盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t（min），水箱A的水位高度为y A（dm），水箱B中的水位高度为y B（dm）根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）（1）水箱A的容积为36dm2；（2）分别写出y A、y B与t之间的函数表达式；（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可．（2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出y A与t之间的函数表达式；“水箱B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出y B与t之间的函数表达式；（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别求出两水箱中水位的高度即可解答．解：（1）水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3．故答案为：36dm3．（2）根据题意得：（0≤t≤6）；（0≤t≤6）；（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，，即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；当t＝5时，y A＝t＝5．∴y A﹣y B＝5﹣3＝2．答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．25．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P、Q分别是AB、BC的中点，点E 是折线段PA﹣AD上一点．（1）点C到直线EQ距离的最大值是5．（2）如图②，以EQ为直径，在EQ的右侧作半圆O．①当半圆O经过点D时，求半圆O被边BC所在直线截得的弧长；（注：tan39°＝，sin53°＝）②当半圆O与边AD相切时，设切点为M，求tan∠OAM的值；（3）沿EQ所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为B'，若点B'恰好落在矩形的边AD 上，直接写出AE的长．【分析】（1）根据题意可知当CQ⊥EQ时，点C到直线EQ的距离最大，故可求解；（2）①根据题意作图，求出此时∠DQC，再得到圆心角∠QOC的度数，利用弧长公式即可求解；②根据题意分情况作图，利用矩形的性质、勾股定理解直角三角形的应用分别求解；（3）分当点E在AP上时和当点E在AD边上时，利用勾股定理和等腰三角形与矩形的性质可求解．解：（1）当CQ⊥EQ时，点C到直线EQ的距离最大，∵点P、Q分别是AB、BC的中点，∴此时点C到直线EQ距离为CQ＝BC＝5．故答案为：5．（2）①如图，当半圆O经过点D时，点E恰好再点D处，∵∠DCQ＝90°，∴点C在半圆O上，连接OC，在Rt△DCQ中，DC＝4，CQ＝5，∴，，∴∠DQC＝39°，∴∠QDC＝180°﹣2×39°＝102°，∴CD弧长＝．②或，情况一：如图，当点E在线段PA上时，连接OM，延长MO交BC于点N，∵AD与半圆相切于点M，∴∠AMN＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴MN∥AB，MN＝AB＝4，∵OE＝OQ，∴，在Rt△NOQ中，设OQ＝r，∵QO2＝ON2+NQ2，∴，解得，∴，∵，∴，情况二：如图，当点E在边AD上时，点M与点E重合，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEQB是矩形，∴AE＝BQ＝5，，∴．（3）或3，情况一：如图当点E在AP上时，AB'＝2，在Rt△AB'E中，（4﹣AE）2＝22+AE2，解得．情况二：如图，当点E在AD边上时，连接BE、BB'，可得BE＝B'E，∠BEQ＝∠B'EQ，∵AD∥BC，∴∠B'EQ＝∠BQE，∴∠BEQ＝∠BQE，∴BE＝BQ＝5，∵AB＝4，∴AE＝3．26．已知：如图，点O（0，0），A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，抛物线l：y＝kx2﹣2kx﹣3k（k≠0）（1）当k＝1时，求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代数式表示）；（3）当抛物线l经过点C（0，3）时，l的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4），点B否（填“是”或“否”）在l上；若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围：②若1同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．解：（1）当k＝1时，该抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴该抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）；（2）抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3k的对称轴直线x＝＝1，∵k＜0，∴x＝1时，y有最大值，y＝k﹣2k﹣3k＝﹣4k；最大值（3）当抛物线经过点C（0，3）时，﹣3k＝3，k＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标（1，4），∵A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，∴B（﹣2，﹣1），将x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣5≠﹣1，∴点B不在l上，故答案为y＝﹣x2+2x+3，（1，4），否；①设平移后B（﹣2，﹣1﹣2t），A（﹣4，﹣1﹣2t），当抛物线经过点B时，有y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，当抛物线经过点A时，有y＝﹣（﹣4）2+2×（﹣4）+3＝﹣21，∵l与线段AB总有公共点，∴﹣21≤﹣1﹣2t≤﹣5，解得2≤t≤10；②平移过程中，设C（0，3﹣3t），则抛物线的顶点（1，4﹣3t），∵抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，，解得4≤t＜5．。

2021年上海市奉贤区中考数学模拟试卷解析版一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1．（4分）已知线段a ，b ，c ，如果a ：b ：c ＝1：2：3，那么a+b c+b的值是（ ）A ．13B ．23C ．35D ．53【解答】解：∵a ：b ：c ＝1：2：3， ∴设a ＝x ，b ＝2x ，c ＝3x ， ∴a+b c+b=x+2x 3x+2x=35．故选：C ．2．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A 的正弦值是14，那么下列各式正确的是（ ）A ．AB ＝4BC B ．AB ＝4AC C ．AC ＝4BCD ．BC ＝4AC【解答】解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴sin A =BC AB =14， ∴AB ＝4BC ， 故选：A ．3．（4分）已知点C 在线段AB 上，AC ＝3BC ，如果AC →=a →，那么BA →用a →表示正确的是（ ） A ．34a →B ．−34a →C ．43a →D ．−43a →【解答】解：如图，∵AC ＝3BC ， ∴AB =43AC ， ∴BA →=−43a →， 故选：D ．4．（4分）下列命题中，真命题是（ ）A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B．邻边之比相等的两个矩形一定相似C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D．对角线之比相等的两个矩形一定相似【解答】解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；B、邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选项正确；C、对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以C选项错误；D、对角线之比相等的两个矩形不一定相似，所以D选项错误；故选：B．5．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x⋅⋅⋅01345⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣5−72−72﹣5−152⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（）A．该抛物线开口向上B．该抛物线的对称轴是直线x＝1C．该抛物线一定经过点（﹣1，−15 2）D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的【解答】解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），可知函数的对称轴为x＝2，设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，将点（0，﹣5），（1，−72）代入，得到a=−12，c＝﹣3，∴函数解析式y=−12（x﹣2）2﹣3；∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；故选：C．6．（4分）在△ABC中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2BD，以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含【解答】解：如图，∵DE ∥BC ， ∴DE BC=AD AB，∵BC ＝12，AD ＝2BD ， ∴DE 12=23，DE ＝8，∵⊙D 的半径为AD ＝6，⊙E 的半径CE ＝2， ∴AD +CE ＝6+2＝8＝DE ，∴以AD 为半径的⊙D 和以CE 为半径的⊙E 的位置关系是外切， 故选：B ．二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7．（4分）如果tan α=√3，那么锐角α的度数是 60° ． 【解答】解：∵tan α=√3， ∴锐角α的度数是：60°． 故答案为：60°．8．（4分）若a →与单位向量e →方向相反，且长度为3，则a →= ﹣3e →（用单位向量e →表示向量a →）．【解答】解：∵a →与单位向量e →方向相反，且长度为3，∴a →=−3e →， 故答案为﹣3e →．9．（4分）若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 y ＝2x 2（答案不唯一） （只需写一个）．【解答】解：∵抛物线的顶点在y 轴上， ∴b ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2， 故答案为y ＝2x 2（答案不唯一）．10．（4分）如果二次函数y ＝a （x ﹣1）2（a ≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是 a ＞0 ．【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x ＝1的右侧部分是上升的， ∴这个二次函数的二次项系数为正数， ∴a ＞0， 故答案为a ＞0．11．（4分）抛物线y ＝x 2+bx +2与y 轴交于点A ，如果点B （2，2）和点A 关于该抛物线的对称轴对称，那么b 的值是 ﹣2 ．【解答】解：当x ＝0时，抛物线y ＝x 2+bx +2＝2，则A 点坐标为（0，2）， ∵点B （2，2）和点A 关于该抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， 即−b2×1=1， ∴b ＝﹣2． 故答案为﹣2．12．（4分）已知△ABC 中，∠C ＝90°，cos A =34，AC ＝6，那么AB 的长是 8 ． 【解答】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A =34，AC ＝6， ∴cos A =ACAB =6AB ， 即34=6AB ，解得，AB ＝8，故答案为：8．13．（4分）已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上，若AD AB=13，则当AE EC的值是14时，DE ∥BC ．【解答】解：∵要使DE ∥BC ，则需AE EC=AD BD，∴AE AC=AD AD+AB =14故答案为：1414．（4分）小明从山脚A 出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B 点，那么他所在的位置比原来的位置升高了 50 米．【解答】解：设小明所在的位置比原来的位置升高了x 米， ∵坡度为1：2.4，∴小明前进的水平宽度为2.4米， 由勾股定理得，x 2+（2.4x ）2＝1302，解得，x ＝50，即小明所在的位置比原来的位置升高了50米， 故答案为：50．15．（4分）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A ′B ′C ′的位置，如果点A ′恰好是△ABC 的重心，A ′B ′、A ′C ′分别于BC 交于点M 、N ，那么△A ′MN 面积与△ABC 的面积之比是19．【解答】解：∵点A ′恰好是△ABC 的重心， ∴A 'D =13AD ，∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A ′B ′C ′的位置， ∴△ABC ∽△A 'MN ，∴△A ′MN 面积与△ABC 的面积之比＝（A′D AD）2=19，故答案为：19．16．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O 的面积，那么⊙O 的面积约是 3 ．【解答】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD ⊥OB 于D ，如图所示： ∴∠AOB =360°12=30°， ∵AD ⊥OB ， ∴AD =12OA =12，∴△AOB 的面积=12OB ×AD =12×1×12=14 ∴正十二边形的面积＝12×14=3， ∴⊙O 的面积≈正十二边形的面积＝3， 故答案为：3．17．（4分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E 是矩形ABCD 的一个“直角点”，且CD ＝3EC ，那么AD ：AB 的值是 √23．【解答】解：∵矩形ABCD ， ∴∠D ＝∠C ＝90°， ∵∠AEB ＝90°，∴∠DAE +∠DEA ＝90°，∠DEA +∠CEB ＝90°， ∴∠DAE ＝∠CEB ， ∴△ADE ∽△ECB ， ∴AD DE=EC BC，∵AD ＝BC ，CD ＝3EC ， ∴DE ＝2EC ， ∴AD 2=2EC 2=2×(DC 3)2， ∴AD =√23DC =√23AB ， ∴AD ：AB =√23， 故答案为：√2318．（4分）如图，已知矩形ABCD （AB ＞BC ），将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么∠BEG 的正切值是 1 ．【解答】解：连接BD ，BF ，EG ．由题意：BD ＝BF ，∠DBF ＝90°，∵DG＝GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF＝∠BEF＝90°，∴∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG＝∠BFD＝45°，∴∠BEG的正切值是1．故答案为1．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）已知函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入表格，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．x⋅⋅⋅01234⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣3010﹣3⋅⋅⋅【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为（2，1），当x≤2时，y随x的增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小；（2）当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝﹣3，如图，故答案为0，﹣3；1，0；2，1；3，0；4，﹣3．20．（10分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，∠BAD ＝45°，DC ＝2，AB ＝6，AE ⊥BD ，垂足为点F ．（1）求∠DAE 的余弦值；（2）设DC →=a →，BC →=b →，用向量a →、b →表示AE →． 【解答】解：（1）作DM ⊥AB 于M ，如图所示： 则四边形BCDM 是矩形， ∴BM ＝CD ＝2，BC ＝DM ， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝4， ∵∠BAD ＝45°，∴△ADM 是等腰直角三角形，∴BC ＝DM ＝AM ＝4，AD =√2AM ＝4√2， ∵AB ∥CD ，∠ABC ＝90°， ∴∠BDC ＝∠ABF ，∠C ＝90°， ∴BD =√BC 2+DC 2=√42+22=2√5， ∵AE ⊥BD ，∴∠AFB ＝90°＝∠C ，∴△ABF ∽△BDC ， ∴AF BC=AB BD，即AF 4=2√5，解得：AF =12√55， ∴cos ∠DAE =AF AD =12√5542=3√1010；（2）同（1）得：△ABE ∽△BCD ， ∴BE CD=AB BC，即BE 2=64，解得：BE ＝3， ∴BE =34BC ，∴BE →=34BC →=34b →，∵AB ∥CD ，DC ＝2，AB ＝6， ∴AB ＝3DC ， ∴AB →=3DC →=3a →，∴AE →=AB →+BE →=3a →+34b →．21．（10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，E 是BĈ的中点，OE 与弦BC 交于点F ． （1）如果C 是AÊ的中点，求AD ：DB 的值； （2）如果⊙O 的直径AB ＝6，FO ：EF ＝1：2，求CD 的长．【解答】解：（1）连接OC ， ∵E 是BĈ的中点， ∴EĈ=EB ̂，OE ⊥BC ，∵C 是AÊ的中点， ∴AĈ=EC ̂， ∴AĈ=EC ̂=EB ̂， ∴∠AOC ＝∠COE ＝∠EOB ＝60°，∴∠OCD ＝30°，在Rt △COD 中，∠OCD ＝30°，∴OD =12OC ，∴AD ：DB ＝1：3；（2）∵AB ＝6，FO ：EF ＝1：2，∴OF ＝1，在Rt △BOF 中，BF =2−OF 2=√32−12=2√2，∴BC ＝4√2，∵CD ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴∠BDC ＝∠BFO ＝90°，又∠B ＝∠B ，∴△BFO ∽△BDC ，∴BO BC =OF CD ，即4√2=1CD ， 解得，CD =4√23．22．（10分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD 垂直于水平地面GQ ，当点P 与点A 重合时，伞收紧；当点P 由点A 向点B 移动时，伞慢慢撑开；当点P 与点B 重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD 是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝50厘米，CE ＝CF ＝120厘米，BC ＝20厘米．（1）当∠CPN ＝53°，求BP 的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E 到地面GQ 的距离．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【解答】解：（1）如图1中，连接MN 交CD 于H ．∵CM ＝MP ＝NC ＝NP ＝50cm ，∴四边形PMCN 是菱形，∴CP ⊥NM ，CH ＝PH ，∴PH ＝PN •cos53°≈30（cm ），∴PC ＝2PH ＝60cm ，∴PB ＝PC ﹣BC ＝40cm ．（2）如图2中，连接MN 交CD 于J ，连接EF 交CD 于H ．∵四边形CMBN 是菱形，∴CJ ＝JB ＝10cm ，∵MJ ∥EH ，∴△CMJ ∽△CEH ，∴CM CE =CJ CH ，∴50120=10CH ，∴CH ＝24，∴HD ＝CD ﹣CH ＝220﹣24＝196cm ，∴当伞完全张开时，求点E 到地面GQ 的距离＝HD ＝196cm ．23．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，联结CE 、EF ，CE 2＝DE •CF ．（1）求证：∠D ＝∠CEF ；（2）联结AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分∠ECF ，求证：AC •AE ＝CB •CG ．【解答】（1）证明：∵CE 2＝DE •CF ，即CE DE =CF CE∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DEC ＝∠ECF ，∴△CDE ∽△CEF ，∴∠D ＝∠CEF ． （2）如图所示：∵AC 平分∠ECF ，∴∠ECA ＝∠BCA ，∵∠D ＝∠CEF ，∠D ＝∠B ，∴∠CEF ＝∠B ，∴△CGE ∽△CAB ，∴CG AC =CE CB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，∵∠ECA ＝∠DAC ，∴AE ＝CE ，∴CG AC =AE CB ，即AC •AE ＝CB •CG ．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （2，﹣3）和点B （5，0），顶点为C ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结OD 、BD ，求∠ODB 的正切值；（3）将抛物线y ＝x 2+bx +c 向上平移t （t ＞0）个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，如果BE ＝BF ，求t 的值．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （2，﹣3）和点B （5，0），∴{−3=4+2b +c 0=25+5b +c解得：{b =−6c =5∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4，∴顶点C 坐标为（3，﹣4）；（2）∵点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对应点为点D ，∴点D 的坐标（4，﹣3），∴OD ＝5，如图1，过O 作OG ⊥BD 于G ，∵点B（5，0），∴OB＝OD，∴DG＝BG=12BD=12√12+32=√102，∴OG=√OB2−BG2=52−(102)2=3√102，∴tan∠ODB=OGDG=3√102102=3；（3）如图2，∵抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，∴E（3，﹣4+t），F（5，t），∵BE＝BF，B（5，0），∴（3﹣5）2+（﹣4+t）2＝（5﹣5）2+t2，t=5 2．25．（14分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=√5，AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD 上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．【解答】解：（1）①∵EF⊥AD，∴∠AEF＝90°，在Rt△AEF中，tan A＝2，AE＝m，∴EF＝AE tan A＝2m，根据勾股定理得，AF=√AE2+EF2=√5m，∵AB＝5，∴BF＝5−√5m，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD=√5，AD∥BC，∴∠G＝∠AEF＝90°，∴△AEF ∽△BGF ，∴AE BG =AF BF ， ∴m BG =√5m 5−√5m ， ∴BG =√5−m ，∴CG ＝BC +BG =√5+√5−m ＝2√5−m ， ∴S △CEF =12EF •CG =12•2m •（2√5−m ）＝2√5m ﹣m 2；②由①知，△AEF ∽△BGF ， ∴FGEF =BFAF ，∴FG =BF AF •EF =5−√5m 5m•2m ＝2（√5−m ）， ∴EG ＝EF +FG ＝2m +2（√5−m ）＝2√5， ∴S △CDE =12DE •EG =12（√5−m ）•2√5=5−√5m ， S △BFG =12BG •FG =12（√5−m ）•2（√5−m ）＝（√5−m ）2， S △DCE ＝4S △BFG 时，∴5−√5m ＝4（√5−m ）2，∴m =√5（舍）或m =3√54， ∴DE ＝AD ﹣AE =√5−3√54=√54，∴AE ：ED =3√54：√54=3， 即：AE ：ED 的值为3；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ＝AD =√5，AD ∥BC ，∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥BC ，∴∠AEF ＝∠CGF ＝90°，∵△AEF 与△CFG 相似，∴①当△AEF ∽△CGF 时，如图1， ∴∠AFE ＝∠CFG ，∵EF ⊥BC ，∴BG =12BC =√52，∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠A ，∵tan A ＝2，∴tan ∠CBF ＝2，在Rt △BGF 中，FG ＝BG tan ∠CBF =√5， 根据勾股定理得，BF =√BG 2+FG 2=52， ∴AF ＝AB +BF ＝5+52=152，∵BC ∥AD ，∴△BGF ∽△AEF ，∴BG AE=BF AF ， ∴√52m =52152，∴m =3√52； ②当△AEF ∽△CGF 时，如图2， ∴∠EAF ＝∠GFC ，∵∠EAF +∠AFE ＝90°，∴∠GFC +∠AFE ＝90°，∴∠AFC ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠A ，∴tan ∠CBF ＝tan A ＝2，在R △BFC 中，CF ＝BF •∠CBF ＝2BF ， 根据勾股定理得，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF 2+4BF 2＝（√5）2，∴BF ＝1，∴AF ＝AB +BF ＝6，在Rt △BGF 中，同理：BG =√55， ∵AD ∥BC ，∴△BGF ∽△AEF ， ∴AE BG =AF BF ， ∴√55=61，∴m =6√55． 即：如果△AEF 与△CFG 相似，m 的值为3√52或6√55．。