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广州大学2009-2010（6）线性代数期末考试卷试题及解答2第一篇：广州大学2009-2010 (6)线性代数期末考试卷试题及解答2 《线性代数》客观题100题一．填充题1456xx展开后，x2的系数为______.x321．行列式23A⎫⎪，则C=____.⎝BO⎭3．设α,β,γ为3维列向量，已知3阶行列式|4γ-α,β-2γ,2α|=40，则行列式2．设A是m阶方阵，B是n阶方阵，且A=a, B=b, C= ⎛O|α,β,γ|=______.12301bbbb23432-1-1cccc2344126dddd234 4．设|A|=415a，则4A41+3A42+2A43+A44=______.5．行列式aaa234=_______________________________________________.a000⎫⎛1-a⎪-11-aa00 ⎪-11-aa0⎪=____________________________.6．五阶行列式det 0 ⎪00-11-aa ⎪000-11-a⎪⎝⎭⎛a 0 7．n阶行列式det M0 b⎝b0Λ00⎫⎪abΛ00⎪MMMM⎪=____________.⎪00Λab⎪00Λ0a⎪⎭T8．设向量α=(1,2)，β=(2,1)，矩阵A=αβ，则An=____________.⎛1 9．设A=2 2⎝21-22⎫⎪-2，则A2n+1=____________.⎪1⎪⎭10．设A=⎛3⎝22⎫n+1n⎪，则A-5A=____________.3⎭⎛1 111．设矩阵A=0 ⎝0110000220⎫⎪0⎪，则An=____________________.0⎪⎪2⎭*-112．设A，B均为n阶矩阵，A=2,B=-3，则2AB⎛2 413．已知A*=6 ⎝800=______.0⎫⎪200⎪，则A-1=____________________.420⎪⎪641⎭⎛10⎫-1T-1*-114．设矩阵A的逆矩阵A=⎪，则(A)=_________，(A)=_________.⎝11⎭⎛1 15．设A=2 3⎝0240⎫⎪0，则(A*)-1=________________.⎪5⎪⎭1aαα，T16．设n 维向量α=(a,0,Λ,0,a)T,a<0，若A=E-ααT的逆矩阵为B=E+则a=______.17．设矩阵A满足A2+A-4E=O，则(A-E)-1=____________.⎛1 -218．设A=0 ⎝003-40005-60⎫⎪0⎪，且B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=________.0⎪⎪7⎭⎛1 *19．设矩阵A，B满足ABA=2BA-8E，其中A=0 0⎝0-200⎫⎪0，则B=______.⎪1⎪⎭20．设A,B为可逆矩阵，X=⎛1 21．若矩阵 0 -1⎝242⎛O⎝BA⎫-1⎪为分块矩阵，则X=____________.O⎭3⎫⎪4的秩为2，则a=______.⎪a⎪⎭22．设ai≠0, bi≠0(i=1,2,⎛a1b1 abΛ)n，矩阵A=21 Mab⎝n1a1b2a2b2M anb2ΛΛΛa1bn⎫a2bn⎪⎪，则矩阵A的秩M⎪anbn⎪⎭r(A)=______.⎛1 23．已知4⨯3矩阵A的秩R(A)=2，而B=0 4⎝0302⎫⎪0，则R(AB)=______.⎪5⎪⎭24．设A=⎛1⎝1-11⎫T⎪，则行列式AA=______.23⎭25．若α1,α2,α3都是线性方程组Ax=b的解向量，则A(2α1-5α2+3α3)=______.⎧x1+3x2+2x3=0⎪26．当a=______时, 齐次方程组⎨x1-2x2+3x3=0有非零解.⎪2x+x+ax=023⎩1⎛1 27．设A=4 3⎝2t-1-2⎫⎪3，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则t=______.⎪1⎪⎭28．线性方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系含有______个解向量.29．设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组Ax=0的通解为____________________.⎧a11x1+a12x2+a13x3+a14x4=0T30．已知⎨的基础解系为(bi1,bi2,bi3,bi4)(i=1,2)，则⎩a21x1+a22x2+a23x3+a24x4=0⎧b11x1+b12x2+b13x3+b14x4=0的基础解系为________________________.⎨⎩b21x1+b22x2+b23x3+b24x4=0⎛1 31．已知矩阵A=2 3⎝2353474595⎫⎪6，则秩R(A)=______，齐次线性方程组Ax=0⎪11⎪⎭的解空间的维数等于______.32．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,a)线性相关，则a=______.TTT33．已知三维线性空间的一组基底为α1=(1,1,0)，α2=(1,0,1)，α3=(0,1,1)，向量β=(2,0,0)在上述基底下的坐标是____________.34．从R2的基α1=⎪,α2=⎝0⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫β=,β=到基1⎪⎪2 ⎪的过渡矩阵为__________.-1⎝⎭⎝1⎭⎝2⎭T35．设向量α=(1,2,2)T，A为三阶正交矩阵，则长度||Aα||=______.36．已知向量α=(1,1,1)与β=(1,2,a)正交，则a=______.37．向量α=(1,2,2,3)与β=(3,1,5,1)的夹角θ=______.38．设A=(aij)3⨯3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1,0,0)T，则线性方程组Ax=b的解是____________________.39．设A是3阶矩阵，它的3个特征值互不相等，并且矩阵A的行列式A=0，则矩阵A的秩R(A)=______.40．若2阶方阵A满足A2-5A+6E=O，且A的两个特征值不相等, 则|A|=____.41．设2阶方阵A≠O满足A2=3A，则A有一特征值λ=____，且(A-I)-1=____.42．设3阶方阵A的特征值为1，2，3，则|6E-A|=______.43．设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，则行列式|4A-1-E|=______.44．设A为n阶矩阵，A≠0，若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值______.45．设A为2阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______.⎛1 46．设矩阵A=2 3⎝210-2⎫⎪2，α=(a,1,1)T。
1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→x x x x 11ln 5335lim 23______. 2已知当0→x 时, 1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小, 则常数=a ______. 3若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,,0,12sin )(2x a x x e x x f ax 在),(∞+-∞上连续, 则=a ______. 4若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=1,1,11arctan )(x a x x x f 在点1=x 左连续, 则=a ______. 5函数xx x y 1s i n 1-=的可去间断点是________, 无穷间断点是________.6lim x ax b →+∞⎤-=⎦0，则=a ______, =b ______. 7曲线1ln -=x x y 有水平渐近线__________和铅直渐近线__________. 8若()0x f '存在，则()()000limh f x ah f x bh h→+--= . 9设⎩⎨⎧≥+<+=0,cos 0,sin )(x x e x b x a x f x在0x =处可导，则常数a =______，=b ______. 10设2()sin f x x '=则df dx=_________. 11设ln y x =，当2,0.01x x =∆=时，dy =____________. 12过曲线sin y x x =+上点(,1)22ππ+处的切线方程是__________________. 13曲线2cos 2=++x xy y 在点)0,1(处的切线方程是__________________. 14曲线⎩⎨⎧==te y te x tt cos 2sin 在点(0,1)处的法线方程为___________________. 15函数x y arctan =在闭区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ______.16函数22)(2x x x f -=在区间________上单调增加. 17函数⎜⎠⎛-=xdt tx F 1)12()( )0(>x 的单调减少区间为__________. 18函数3234683)(x x x x f +-=在=x ______处取极______值. 19函数x x y cos 2+=在区间]2,0[π上的最大值为______. 20函数xy xe -=的图形的凹区间为 ___________. 21曲线xxy ln =的凸区间是_________. 22若点(1,2)-为曲线32y ax bx =+的拐点，则a =______，b =______.23曲线2333x ty t t⎧=⎪⎨=-⎪⎩在对应于1t =的点处的曲率K =______ 24设⎰+=C x F dx x f )()(, 则⎰=+dx x f )32(____________. 25设C xdx x f x +-=-⎰)11cos()11(12, 则=)(x f __________.26121(sin x dx -=⎰______.2720t d dt dx= _______________. 28利用定积分的几何意义，0dx =⎰______ . 29质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于______米. 30函数221xx y -=在区间]23,21[上的平均值为______ .1如果0lim()x x f x →存在，则0()f x ( ). (A) 不一定存在; (B) 无定义; (C) 有定义; (D) )(lim 0x f x x →=.2当0→x 时, 下列变量 ( ) 为无穷小量. (A) x x 1sin ; (B) ||ln x ; (C) x xarctan 1; (D) x e 1-.3当0→x 时, 下列变量 ( ) 为无穷大量. (A) x x 1sin 1; (B) ||ln x x ; (C) xx 1arctan 1; (D) x e 1.4当∞→x 时, 变量x x x 1sin cos 是( ). (A) 无穷小; (B) 无穷大; (C) 有界的, 但不是无穷小; (D) 无界的, 但不是无穷大.5当∞→x 时, 变量xx x 1cos sin 是( ). A) 无穷小; (B) 无穷大; (C) 有界的, 但不是无穷小; (D) 无界的, 但不是无穷大.6当0→x 时, 与x 等价的无穷小量为 ( ). (A) 12-xe ; (B) )1ln(x -; (C) x x --+11; (D) x x tan sin -.7当0→x 时, x x sin -是2x 的( ). (A) 低阶无穷小; (B) 高阶无穷小; (C) 等价无穷小; (D) 同阶但非等价无穷小.8设xx x f 1)21()(+=，若定义=)0(f （ ）时，则)(x f 在点0=x 处连续. (A) 1; (B) e ; (C) e ; (D) 2e .9函数110()10x e x f x x x ⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩在0x =处间断是因为( ). (A) ()f x 在0x =处无定义; (B) 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→和都不存在;(C) 0lim ()x f x →不存在; (D) 0lim ()(0)x f x f →≠. 10函数2||ln 2-+=x x x y 的无穷间断点是( ). (A) 0=x ; (B) 2-=x ; (C) 1=x 和2-=x ; (D) 0=x 和2-=x .11曲线x e e y xxarctan 11-+=--的渐近线为( ). (A) 0=x 和2π=y ; (B) 0=x 和2π-=y ; (C)2π-=y ; (D)2π=y .12函数()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处连续的( ). (A) 必要非充分条件; (B) 充分非必要条件;(C) 充分必要条件; (D) 无关条件.13函数|1|-=x y 在点1=x 处 ( ). (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.14设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数, 则)(x f 在0=x 处( ). (A) 极限不存在; (B) 极限存在, 但不连续; (C) 连续, 但不可导; (D) 可导. 15已知01()3f x '=，则当0x ∆→时，在0x x =处dy 是( ). (A) 比x ∆高阶的无穷小; (B) 比x ∆低阶的无穷小; (C) 与x ∆等价的无穷小; (D) 与x ∆同阶但非等价的无穷小.16质点作曲线运动，其位置与时间t 的关系为22x t t =+-，2321y t t =--，则当1t =时，质点的速度大小等于( ).(A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 7.17函数32)(x x f =在]1,1[-上不满足罗尔定理的条件, 是因为 ( ). (A) )(x f 在]1,1[-上不连续; (B))1()1(f f ≠-;(C) )(x f 在)1,1(-内不可导; (D) 以上说法都成立.18函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=有( ). (A) 一个实根; (B) 二个实根; (C) 三个实根; (D) 无实根. 19设常数0>k , 函数k exx x f +-=ln )(在),0(∞+内零点个数为 ( ). (A) 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 200)(0='x f 是函数)(x f 在0x x =处取得极值的 ( ). (A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 既非充分也非必要条件. 21函数)(x f 在点0x x =处取得极值的充分条件是 ( ) (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在; (C))(0x f ''存在且0)(0≠''x f ; (D) 条件A 与C 同时成立.22若2()()lim1()x af x f a x a →-=--， 则在x a =处( ). (A)()f x 导数存在且()0f a '≠; (B)()f x 取极大值; (C)()f x 取极小值;(D) ()f a '不存在.230)(0=''x f 是点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的 ( ). (A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 既非充分也非必要条件.24设函数)(x f 满足关系式x x f x f ='+''2)]([)(, 且0)0(='f , 则( ). (A) )0(f 是)(x f 的极大值;(B) )0(f 是)(x f 的极小值;(C) 点))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点; (D) )0(f 不是)(x f 的极值, 点))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点. 25若函数()f x 的导函数是sin x , 则()f x 的一个原函数为( ). (A) x sin 1+; (B) x sin 1-; (C) x cos 1+; (D) x cos 1-.26若)(x f 在),(b a 内连续, 则在),(b a 内)(x f ( ). (A) 必有导函数; (B) 必有原函数; (C) 必有界; (D) 必有极值.27下列各式中, 正确的是 ( ). (A)⎰⎰---<011dx e dx e x x ; (B)⎰⎰>213)()(dx x f dx x f ;(C)⎰⎰>40240sin sin ππdx x xdx ; (D)⎰⎰=-111)(2)(dx x f dx x f .28设⎜⎠⎛+=21)1ln()(x dt tt x f , 则=')2(f ( ). (A) 3ln 21; (B) 5ln ; (C) 3ln 2; (D) 5ln 41. 29下列各式中, 正确的是 ( ). (A)21111112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--⎰x dx x ; (B) 01lim 122=+=+⎰⎰-+∞→∞+∞-A A A dx x xdx x x ; (C)20cos 2cos n nxdx xdx ππ=⎰⎰; (D)20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰.30设)(x f 是连续函数, )(x F 是)(x f 的原函数, 则( ). (A) 当)(x f 是奇函数时, )(x F 必是偶函数;(B) 当)(x f 是偶函数时, )(x F 必是奇函数;(C) 当)(x f 是周期函数时, )(x F 必是周期函数; (D) 当)(x f 是单调增函数时, )(x F 必是单调增函数.一. 计算题 1()2(())f x y f e =, 求y '. 21)1ln(22+-++=x x x x y , 求dy . 322ln arctany x x y +=, 求dxdy . 4⎩⎨⎧-=+=tt y t t x 5353, 求dx dy 和22dx y d . 5计算)(lim 2n n n n -+∞→. 6计算)ln 111(lim 1x x x --→. 7计算)ln(sin ln lim ππ-+→x x x . 8计算)11ln(lim 220xx x +→. 9计算1ln lim (1)n x x x →+∞+，(0)n >.10计算302sin limxdtt x x ⎰-→. 11计算32226125x x x dx x x -++-+⎰. 12计算⎰xdx x 32cos sin .13计算⎰dx xx 2arctan . 14计算⎰+dx x x )1ln(. 15计算⎰+dx x 12cos . 16计算⎰-10224dx x x . 17计算⎰-202||dx x x . 18计算⎰∞+-+222x x dx . 19计算⎰∞++01x e dx . 20计算⎰∞+-0dx e x xn .二. 综合、应用、证明题 1. 设)(x f 在a x =处可导, 且0)(>x f , 求n n a f n a f )](/)1([lim +∞→. [ ])()(exp[a f a f ' ]2.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(2x x xx x f , 试讨论)(x f '在0=x 处的连续性. [ 连续 ] 3.设函数()y y x =由方程 3222221y y xy x -+-=所确定，求()y y x =的驻点, 并判别它是否为极值点. [ 1=x ; 极小值点 ]4. 求半径为R 的半圆的内接矩形的最大周长. [ R 52 ]5. 计算下列极限:(1) 11lim nn i n i→∞=+∑; (2) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n →∞+++ . [ (1) ln 2; (2) e 4 ]6. 设平面图形是由曲线1y x=和23x y +=所围成，求(1) 此平面图形的面积S ； [ 2ln 43- ] (2) 此平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V . [ 12π]7. 设曲线)0,0(2≥>=x a ax y 与21x y -=交于点A , 过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面图形. 问a 为何值时, 该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少?[ π1875532;4max ==V a ]8. 为清除井底的污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口. 已知井深30m, 抓斗自重400N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重2000N, 提升速度为3m/s, 在提升过程中, 污泥以20N/s 的速率从抓斗逢隙中漏掉. 现将抓起污泥的抓斗提升至井口, 问克服重力需作多少焦耳的功?(说明: (1) 1N ⨯1m=1J; m, N, s, J 分别表示米, 牛顿, 秒, 焦耳. (2) 抓斗的高度及位于井口上方的缆 绳长度忽略不计.) [ 91500 J ] 9.设111,1,2,)n x x n +=== , 试证数列}{n x 极限存在, 并求此极限. [ 3lim =∞→n n x ]10.设111,1,2,)n x x n +=== , 试证数列}{n x 极限存在, 并求此极限. [ lim 2n n x →∞= ]11. 设()f x 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，当[,]x a b ∈时, b x f a <<)(, 且1)(≠'x f ，求证：方程x x f =)(在),(b a 内有且只有一个根.12. 设()f x 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且e f =)0(，1)1(=f , 求证：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)()(2='+ξξξf f .13. 设()f x 二阶可导，过曲线()y f x =上点A 的切线与曲线()y f x =有另一交点B ，证明存在ξ，使()0f ξ''=.14. 证明: 当20π<<x 时, 2sin x x π>. 15.就k 的不同取值情况, 确定方程kx x =ln 的实根的个数, 并证明你的结论. 16. 设()f x 在[0,1]上连续，证明：20(sin )2(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰.17. 设()f x 在[1,)+∞上满足221()[()]f x x f x '=+，且(1)1f =. 试证：在[1,)+∞上()14f x π<+.18. 设)(x f 在]1,0[上连续且递减, 证明: 当10<<λ时, ⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ.19. 设)(x f '在],0[a 上连续, 且0)0(=f , 证明: 2|)(|2Ma dx x f a ≤⎰, 其中|)(|max 0x f M ax '=≤≤.20. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导, 且)0()(3132f dx x f =⎰, 证明在)1,0(内至少存在一点c , 使0)(='c f .1．=∞→xxx sin lim ________.2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =________________.3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k ________.4．设()x f x xe =, 则(2006)()f x =________________.5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于___________米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( ).A. 高阶无穷小; B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小; D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x=是函数1arctany x=的( )间断点.A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡. 3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x fB];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x f C. ];1,0[,)(∈=x e x f x D. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( ).A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2a xf x x f x x =⎰⎰，则a =( ).A. 4; B. 2; C. 12; D. 1.三． 1．21sin ()x e y x -=，求y '. 2．设)(x y y =由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定, 求d d y x 和22d d x y . 四．1．求极限1lim(1)x xx xe →+.2．设函数22(1cos ),0()1,0ax x f x x x bx x ⎧-<⎪=⎨⎪++≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续、可导，求,a b 的值. 五．求函数x xy ln 1+=的单调区间、极植，凹凸区间和拐点.六． 1．21x x +⎰ .2．0a x x ⎰, 其中0.a > 3．21arctan d x x x+∞⎰. 七．设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围图形的面积为2S .(1) 试确定a 的值使12S S +达到最小；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.八． 1．证明：当0ln(1)1x x x x>+>+时，. 2．设当1x ≤<+∞时，()f x '连续，且210()f x x '<<.证明：数列()nx f n =的极限存在.1．设2,0()1sin ,0a x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.2．曲线21x y x =+有水平渐近线=y ______. 3．曲线xy xe-=的拐点横坐标为=x______.4．设)(x f 连续, 且3140()1x f t dt x -=-⎰,则(26)f =______.5．方程20y y y '''++=的通解为y =____________________.1. 当0→x时1是2x 的( )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2. 函数|2|y x =-在点2x =处 ( ).(A) 可导但不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.3．设()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导,则( ).(A) 当()()0f a f b <时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=;(B) 对任何(,)a b ξ∈,有lim[()()]0x f x f ξξ→-=;(C) 当()()f a f b =时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=;(D) 存在(,)a b ξ∈,使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极小值, 则必有( ).(A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ; (C) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在； (D) 0)(0='x f 且0)(0>''x f .5. 设)(x f 的导函数为sin x , 则()f x 的一个原函数是( ).(A) 1+x sin ; (B) 1+x cos (C) 1x sin -; (D) 1x cos -.1．1ln(arctan y x x=+，求y '.2．2sin3xy e x -= ,求dy .3．求由方程57230y y x x +--=确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.4．求曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程.5．计算极限30arctan lim sin x x xx →-.1．计算不定积分3(1)x dx x +⎰.2．计算定积分94⎰.3．计算反常积分⎰∞+-0dx xe x.4．求微分方程24dy xy x dx+=的通解. 五．证明方程32100x x +-=有且只有一个实根.六．设曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>)及x 轴围成一曲边梯形,该曲边梯形绕x 轴旋转一周得旋转体,其体积为()v t ,在x t =处的底面积为()f t .求()lim()t v t f t →+∞. 一．1．设⎩⎨⎧≤>=02x x x x x f ,,)(，则=-))2((f f .2. 若函数 ⎩⎨⎧>+≤=112x b ax x x x f ,,)( 在1=x 处可导，则=a ， =b .3．0=x 是xxy sin =的第 类间断点，是xy 1sin=的第 类间断点。
广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________1．设A 为3阶方阵,且2||1=-A ,则=+-||*1A A 427.2. 当初等阵=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101,=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100时,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321210111012B A .3．已知3阶非零矩阵A 的每个列向量都是方程组的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-=-=++0)2(81000033213221321x k x x x x x x kx x x 的解,则=k 4-,=||A 0.4．设三阶方阵A 的三个特征值分别为3,2,1,则=+||E A 24 . 二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．下列n (2>n ) 阶行列式的值不一定为0是（ A ）. （A ）行列式的主对角线上元素全为0；（B ）三角形行列式的主对角线上至少有一个为0； （C ）该行列式对应阵有一个特征值为0； （D ）该行列式中有两列成比例。
2．在下列命题中,不正确的是(C )（A ）若A 是n 阶阵,则))(())((I A I A I A I A -+=+-； （B ）若B A ,均是1⨯n 阵,则A B B A T T =；（C ）若B A ,均是n 阶阵,且O AB =,则222)(B A B A +=+；；（D ）若A 是n 阶阵,则m k k m A A A A =3．设三元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为2,且它的三个解向量321,,ζζζ满足T )2,6,4(21-=+ζζ,T )1,1,2(31=+ζζ,则b Ax =的全部解为(A )（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-132352k ；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11226435221k k ；（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-264352k ；（D ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3524．设向量组γβα,,线性无关, δβα,,线性相关,则有( C ).(A) α 必可由δγβ,,线性表示; (B) β 必不可由δγα,,线性表示; (C) δ 必可由γβα,,线性表示; (D) δ 必不可由γβα,,线性表示; 5．设A 是n 阶阵,则有( A ).(A) 若A 可逆，则A 的对应λ的特征向量也是1-A 的对应λ1的特征向量;(B) A 的特征向量的任意个组合仍是A 的特征向量; (C) A 和T A 具有相同的特征向量;(D) A 的特征向量为方程组0)(=-x I A λ的全部解。
广州大学2014-2015学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一、填空题（每空3分，本大题满分18分）1．设A ,B 都为3阶方阵,且5||1=-A ,54|3|=B ,则=-||1AB .2.若对三阶阵A 先交换第一,三行,然后第二行乘2后再加到第三行,则相当于在A 的 边乘三阶阵 .3．若阵A 为3阶方阵,且秩1)(=A R ，则=)(*AA R .4．设向量组),1,1(1a =α,)1,,1(2a =α,)1,1,(1a =α所生成的向量空间为2维的,则=a .5．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231*********a a a a a a A ,其特征值为3,2,1-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a B ,则B 的行列式中元素的代数余子式=++232221A A A .二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．若AB 为n 阶单位阵，则必有（ ）.（A ）BA 也n 阶为单位阵；（B ）BA 可能无意义；（C ）n BA R =)(；（D ）以上都不对.2．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A 。
若存在三阶阵O B ≠，使得O AB =，则（ ）.（A ）2-=λ，且0||=B ； （B ）2-=λ，且0||≠B ；（C ）1=λ，且0||=B ； （D ）1=λ，且0||≠B .3．对含n 个未知数, 1+n 个方程的线性方程组b Ax =,行列式0|),(|=b A 是它有解的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件.4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2210c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3311c ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4411c ζ,其中4321,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( ).(A) 321,,ζζζ; (B) 421,,ζζζ; (C) 431,,ζζζ; (D) 432,,ζζζ.5．设},,{321ααα分别为同维无关向量组,而},,,{1321βαααα+为相关向量组,则有( )成立.(A) },,,{2321βαααα+为相关向量组; (B) },,{132βααα+为无关向量组;(C) 1}),,({}),,,({321321+=αααβαααR R ;(D)1}),,({}),,,({321321-=αααβαααR R三、（本题满分12分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，且A 满足矩阵方程X A AX 2+=,求X .四、（本题满分8分） 计算行列式6741212060311512-----.五、（本题满分6分）设PB AP =,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1002B ,求10A .六、（本题满分10分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-0830********43214321x x x x x x x x x x x x 的所有解.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==43333320126624220121),,,,(54321αααααA . 1) 求矩阵A 的行最简形和秩; 2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.八、（本题满分9分） 设A 为2阶方阵，且存在正整数)2(≥l l ,使得O A l =,证明: 1) A 的秩1≤. 2) O A =2.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 的特征值和特征向量.。
广州大学2010-2011学年第二学期考试卷参考答案课 程：线性代数Ⅰ、Ⅱ 考 试 形 式：闭卷考试学院：__________ 专业班级：__________ 学号：____________ 姓名：__________一．填空题（每空3分，共15分）1．行列式1001513017112187---中（3，2）元的代数余子式32A 的值为 -100 . 2．设,A B 为2阶方阵，若 1 23 4AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11B A --= 4 -20.5-3 1⎛⎫- ⎪⎝⎭ .3．设矩阵(,,)A αβγ=，()3,3,B αβγγ=-，若||3A =，则||B = 9 .4．若向量组131m α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3331α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则m = 3 .5．设方阵A 的一个特征值为1，则2A E +的一个特征值为 3 .二．选择题（每小题3分，共15分） 1．设方阵A 满足2A A =，则必有【 】. （A ）A O =； （B ）A E =； （C ）A O =或A E =； （D ）||0A =或||1A =.2．设B PAQ =，下列说法错误的是【 D 】. （A ）若,P Q 可逆，则()()R A R B =；（B ）若,P Q 可逆，则A 可经过有限次初等变换化为B ； （C ）若B 为单位矩阵E ，,,P A Q 皆为方阵，则必有QPA E =； （D ）若B 为单位矩阵E ，,,P A Q 皆为方阵，则必有1P QA -=.3．设A 为3阶可逆矩阵，010100001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则关于11,A B --的说法，正确的是【 C 】.（A ）交换1A -的第1，3行得到1B -； （B ）交换1A -的第1，2列得到1B -； （C ）交换1A -的第1，2行得到1B -； （D ）交换1A -的第1，3列得到1B -.4．若非齐次线性方程组AX B =所对应的导出方程组0AX =只有零解，则以下判断错误的是【 D 】.（A ）A 的列向量组线性无关；（B ）AX B =可能无解；（C ）AX B =不可能有无穷多解； （D ）AX B =有唯一解.5．若21a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，01b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10c γ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是正交向量组，则a ，b ，c 分别为【 B 】.（A ）0，0，0； （B ）0，1/2，0；（C ）0，-1/2，0； （D ）0，1，1/2.。
《线性代数》客观题100题一．填充题1．行列式23142536xx x展开后，2x 的系数为______. 2．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且, , =a b ⎛⎫==⎪⎝⎭OA ABC B O ，则=C ____.3．设,,αβγ为3维列向量，已知3阶行列式|4,2,2|40--=γαβγα，则行列式|,,|=αβγ______.4．设12344321||10125116=--A ，则41424344432A A A A +++=______.5．行列式222233334444ab c d a b c d a b c d abcd=_______________________________________________.6．五阶行列式10001100det 0110001100011aa a a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪--= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭____________________________. 7．n 阶行列式000000det 000000a b a b a b b a ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭____________.8．设向量(1,2)=α，(2,1)=β，矩阵T=A αβ，则n =A ____________. 9．设122212221⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则21n +=A ____________.10．设3223⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则15n n+-=A A ____________. 11．设矩阵110011000020022⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则n =A ____________________. 12．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3==-A B ，则*12-=A B ______.13．已知200420064208641*⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A ____________________.14．设矩阵A 的逆矩阵11011-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则T 1()-=A _________，1()*-=A _________.15．设100220345⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*1()-=A ________________. 16．设n 维向量T (,0,,0,),0a a a =< α，若T =-A E αα的逆矩阵为T1a =+B E αα，则a =______.17．设矩阵A 满足24+-=A A E O ，则1()--=A E ____________. 18．设100023000450067⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A ，且1()()-=+-B E A E A ，则1()-+=E B ________. 19．设矩阵A ，B 满足*28=-A BA BA E ，其中100020001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，则=B ______. 20．设,A B 为可逆矩阵，⎛⎫= ⎪⎝⎭O A X B O 为分块矩阵，则1-=X ____________. 21．若矩阵12304412a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭的秩为2，则=a ______.22．设0, 0(1,2,)i i a b i n ≠≠= ，矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a ba b a b a b a b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，则矩阵A 的秩()r =A ______.23．已知34⨯矩阵A 的秩()2R =A ，而102030405⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则()R =AB ______. 24．设111123-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则行列式T=A A ______. 25．若123,,ααα都是线性方程组=A x b 的解向量，则123(253)-+=A ααα______. 26．当=a ______时, 齐次方程组12312312332023020x x x x x x x x ax ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩有非零解.27．设12243311t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 是3阶非零矩阵，且=A B O ，则t =______. 28．线性方程组123450x x x x x ++++=的基础解系含有______个解向量.29．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为1n -，则线性方程组=0A x 的通解为____________________.30．已知11112213314421122223324400a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎨+++=⎩的基础解系为T1234(,,,)(1,2)i i i i b b b b i =，则11112213314421122223324400b x b x b x b x b x b x b x b x +++=⎧⎨+++=⎩的基础解系为________________________. 31．已知矩阵1234523456357911⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则秩()R =A ______，齐次线性方程组=A x 0的解空间的维数等于______.32．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,)a 线性相关，则a =______.33．已知三维线性空间的一组基底为T 1(1,1,0)=α，T 2(1,0,1)=α，T3(0,1,1)=α，向量T(2,0,0)=β在上述基底下的坐标是____________. 34．从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为__________.35．设向量T (1,2,2)=α，A 为三阶正交矩阵，则长度||||=A α______. 36．已知向量(1,1,1)=α与(1,2,)a =β正交，则=a ______. 37．向量(1,2,2,3)=α与(3,1,5,1)=β的夹角θ=______.38．设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且111=a ，T (1,0,0)=b ，则线性方程组=A x b 的解是____________________.39．设A 是3阶矩阵，它的3个特征值互不相等，并且矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 的秩()R =A ______.40．若2阶方阵A 满足256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A ____. 41．设2阶方阵≠A O 满足23=A A ，则A 有一特征值λ=____，且1()--=A I ____. 42．设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则|6|-=E A ______. 43．设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，则行列式1|4|--=A E ______.44．设A 为n 阶矩阵，0≠A ，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值______. 45．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，1=0A α，2122=+A ααα，则A 的非零特征值为______. 46．设矩阵122212304-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，T (,1,1)a =α。
院、系领导A 卷审批并署名广州大学 2016-2017学年第二学期考试卷课程：线性代数Ⅰ、Ⅱ考试形式：闭卷考试学院 :____________ 专业班级 :__________ 学号 :____________ 姓名 :___________题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数1515 128121*********得分一、填空题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设A，B都为 3阶方阵，且|A| 4 ， B 2E ，则|A1B|.2. 设矩阵 A 1 1 ，则 A2的秩R(A2).1 13 04 13．22 2 2 中第四行各元素的代数余子式之和 A41 A42 A43 A44.6 1 4 05 3 1 21 0 04．设 3 阶矩阵A与对角矩阵0 1 0 相像，则齐次线性方程组 (E A) x 00 0 1的基础解系包括解向量的个数为.1 0 05．已知A 2 3 0 ，B (E A) 1(E A) ，则 (E B) 1 .4 6 5二、选择题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设 n 阶方阵A, B知足关系式AB O ，则必有（）.（A）若A O，则 B O ；（B）若B O，则|A| 0 ；（C）A 2B2(A B)( A B)；（）D |A| 0或|B| 0.2. 设 a 1 , a 2 , a 3 均为 3 维列向量，记 A (a 1, a 2 , a 3 ) , B (a 1 a 2 , a 2 2a 3 , a 3 2a 1 ) , 若 A1，则 B （）.（A ） 2； （B ）3；（C ）4；（D ）5.3．设 n 阶方阵 A 知足 A 2 2 A 2E O ，则(A 3E) 1 （） .（A ）A ；（B ）A E ；（C ） A E ；（D ）E A .4．设 n(n 3) 维向量组 a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 的秩为 3，且知足 a 1 3a 2 2a 4 0 ， 3a 2 2a 3 2a 40 ，则该向量组的一个极大没关组是（）.（A ） a 1, a 2 , a 3 ； （ B ） a 1 , a 2 , a 5 ； （C ） a 1, a 3 , a 5 ； （D ） a 1 , a 3 , a 4 .2 0 15．设 A3 1 3 ，则以下向量中属于矩阵 A 的特点向量的是（） .40 5（A ） (1,T；（） (1, 2, 2) T；（）T；（） (2, 0, T.0, 1) BC (1, 3, 4) D1) 三、（此题满分 12 分）31 0 01 3 0 0 2和 A 1 .设 A0 2 ，求 A 0 0 04 21 2 3 0 2 3 0 1计算队列式 D0 1 .3 2 0 1 2 3五、（此题满分 12 分）2 1设矩阵A 1 1 2 ，矩阵B 知足AB AB E ，求B .111x1 x2 x3 4x4 3x1 x2 3x3 2x4 1 求非齐次线性方程组x2 3x3 5x4 的通解 .2x1 5 3x1 x2 5x3 6x4 7七、（此题满分 10 分）已知向量1 1 3 1a1 1 , a2 3 , a3 1 ，b 3 ，3 1 15 31 5 12 t问： t 取何值时，b可由a1, a2, a3线性表示，并求出该表达式 .八、（此题满分 6 分）设 3 维列向量组 a1, a2 , a3线性没关，P是 3 阶方阵，且 Pa1 a1 2a2 3a3，Pa2 2a2 3a3， Pa3 a2 4a3 . 证明：P是可逆矩阵 .九、（此题满分 12 分）110求矩阵 A 1 0 1的特点值和特点向量.0 1 1院、系领导A 卷审批并署名广州大学 2016-2017学年第二学期考试卷解答课程：线性代数Ⅰ、Ⅱ考试形式：闭卷考试学院 :____________ 专业班级 :__________ 学号 :____________ 姓名 :___________题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数1515 128121*********得分一、填空题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设A，B都为 3阶方阵，且|A| 4 ， B 2E ，则|A1B| -2 .2. 设矩阵 A 1 1 ，则 A2的秩R(A2) 0 .1 13 04 13．22 2 2 中第四行各元素的代数余子式之和A41A42A43A44 0 .6 1 4 05 3 1 21 0 04．设 3 阶矩阵A与对角矩阵0 1 0 相像，则齐次线性方程组 (E A) x 00 0 1的基础解系包括解向量的个数为 2 .1 0 0 1 0 05．已知A 2 3 0 ，B (E A) 1(E A) ，则 (E B ) 1 1 2 0 .4 65 2 3 3二、选择题（每题 3 分，本大题满分15 分）1．设 n 阶方阵A, B知足关系式AB O ，则必有（D ） .（A）若A O，则 B O ；（B）若B O，则|A| 0 ；（C）A 2B2(A B)( A B)；（）或|B| 0.D|A|02. 设 a 1 , a 2 , a 3 均为 3 维列向量，记 A (a 1, a 2 , a 3 ) , B (a 1 a 2 , a 2 2a 3 , a 3 2a 1 ) , 若 A1，则 B （ D）.（A ） 2； （B ）3； （C ）4；（D ）5. 3．设 n 阶方阵 A 知足 A 2 2A 2E O ，则(A 3E) 1 （D ）.（A ）A ；（B ）A E ；（C ） A E ；（D ）E A .4．设 n(n 3) 维向量组 a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 的秩为 3，且知足 a 1 3a 2 2a 4 0 ，3a 2 2a 3 2a 4 0 ，则该向量组的一个极大没关组是（B） .（A ） a 1, a 2 , a 3 ； （ B ） a 1 , a 2 , a 5 ； （C ） a 1, a 3 , a 5 ； （D ） a 1 , a 3 , a 4 .2 0 15．设 A3 1 3 ，则以下向量中属于矩阵 A 的特点向量的是（C）.40 5（A ） (1,T；（） (1, 2, 2) T；（） T；（） (2, 0, T.0, 1) B C (1, 3, 4) D1) 三、（此题满分 12 分）3 1 0 01 3 0 0 2和 A 1 .设 A0 2 ，求 A 0 0 04 2解：记 A 13 1 ， A 22 0，则 AA 1 O134 2O，于是A 2A 2A 12 O ， A 1 A 1 1O.------3分O2O1A 2A 210 0 0 0A 210 0 ， A 24 0 ， A 2A 12 O01000 1 0 10 216 4O A 220 0 4 00 0 16 4*3 1110.3 0.1， ------9A 110， A 11 3 ， A 1 |A 1| A 1 0.1 0.3*2 0 1 1 0.5 0A 24，A 2， A 2|A 2|A 2，42 1 0.50.3 0.1 0A1A 1 1O0.1 0.3 0分10 0.5 .------12OA 210.5------6分分四、（此题满分 8 分）1 2 3 02 3 0 1计算队列式 D0 1 .3 2 0 1 2 31 2 3 0 1 2 3 00 1 6 1 0 1 6 1 分解： D6 8 2 0 0 28 ------4 0 4 012 3441 2 3 0 1 2 3 00 1 6 1 0 1 6 1 分0 044 0 0 4 96 .------84 0 0 2840 00 24五、（此题满分12 分）0 2 1设矩阵 A1 12 ，矩阵B 知足AB AB E ，求B .111解：由已知得 ( A E ) BA E ，------2 分1 2 1 1 2 1( A E , A E ) 12 2 1 0 2 ------4 分rr11 0 1121 2 1 1211 2 11 2 1 0 0 1 221r0 1 1 2 110 1 1 2 1 1 0 0 1 2 2 11 0 1 3 0 31 0 05 2 40 112 1 1 r0 1 0 4 3 2 ------10 分0 0 12210 0 1221(E, (AE) 1(AE)) ，所以524B (A E) 1(A E)4 32 .------ 12 分 2 2 1六、（此题满分 10 分）x 1 x 2 x 3 4x 4 3求非齐次线性方程组x 1 x 2 3x 3 2x 4 1的通解 .2x 1 x 2 3x 3 5x 4 53x 1 x 2 5x 3 6x 47解：对增广矩阵 ( A,b) 进行初等行变换：1 1 1 4 31 1 3 21分( A, b)13 5 ------22 53 15 6711 14 31 02 1 20 2 2 6 2 0 1 1 3 1， ------7 分0 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 2 26 20 00 0于是得同解方程组x 1 2x 3x 42分x 2 x 3 3x 4.------81令 x 3 k 1 , x 4k 2 ，求得通解为x 121 2x 2k 1 1k 23 1， k 1, k 2 为随意数 .------10分x 3 1 0 0 x 41七、（此题满分 10 分） 已知向量1 131a 1 1 , a 2 3 , a 3 1，b 3 ， 3 1 15 315 12 t问： t 取何值时， b 可由 a 1, a 2 , a 3 线性表示，并求出该表达式 .1 1 3 111 3 1解：(a 1 , a 2 , a 3 , b)1 3 13r0 2 2 23 1 15 30 4 61 5 12 t6 9 t 11 0 4 01 0 0 8r0 1 1 1r0 1 0 3 ，------7 分0 0 240 0 1 20 0 3t 50 0 0 t1当 t 1 时， b 可由 a 1 , a 2 , a 3 线性表示， ------8分且有b8a 1 3a 2 2a 3 .------10 分八、（此题满分 6 分）设 3 维列向量组 a 1, a 2 , a 3 线性没关， P 是 3 阶方阵，且 Pa 1 a 1 2a 2 3a 3 ，Pa 2 2a 2 3a 3 ， Pa 3a 2 4a 3 . 证明： P 是可逆矩阵 .1 0 0证明： P(a 1, a 2 , a 3 )(Pa 1, Pa 2 , Pa 3 ) ( a 1 , a 2, a 3) 2 2 1 ，3 3 41 0 0 记 A (a 1, a2 , a 3) , K221 ，则 PAAK ，进而3 34 |P| |A||A| |K |.（1）------3分因列向量组 a 1 , a 2 , a 3 线性没关，所以 | A | 0 ，又 | K | 5 0 ，所以，由（ 1）式知| P | 0 ，进而 P 可逆 .------6分第 11 页 共 12 页《线性代数》 A 卷九、（此题满分 12 分）110求矩阵 A 1 0 1的特点值和特点向量.0 1 1解:矩阵A的特点多项式为1 1 0 1 1 0| E A | 1 1 0 10 1 1 1 1 11 1 00 1 ( 1)2，0 0 1矩阵 A 的特点值为 1 2 1, 3 0 .------6 分当0 时，解方程组 (0 E A) x 0 . 由1 1 0 1 1 0 1 0 10 E A 1 0 1 r 0 1 1 r 0 1 1 ，0 1 1 0 1 1 0 0 0得基础解系p1 ( 1, 1,1)T，所以，矩阵A 对应于0 的所有特点向量为 k1 p1（ k1 0 ） .------9 分当 1 时，解方程组(E A) x 0 . 由010E A 1 1 1010 r1 1 1 1 0 10 1 0 r 0 1 0 ，0 1 0 0 0 0得基础解系p2 ( 1, 0,1)T，所以，矩阵 A 对应于1的所有特点向量为k2p2（k2 0 ）.------12 分第 12页共12页《线性代数》 A 卷。
广州大学2008-2009学年第一学期考试卷一．填空题（每小题3分，共15分）1．行列式524210321--中（2，3）元的代数余子式A 23的值为______ 2．设A 是4阶方阵，A =-2，则*A -=________3．向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为________4．若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A （3α1-5α2+2α3）=______. 5．已知0=λ是方阵A 的一个特征值，则|A|= ___ 二．单项选择题（每小题3分，共15分）1．设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零，则A 的值【 】A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．不能确定2．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有【 】A ．ACB=EB ．CBA=EC ．BAC=ED ．BCA=E3．设3阶矩阶A=（α1，β，γ），B=（α2，β，γ），且A =2，B =-1，则B A += 【 】A ．4B ．2C ．1D ．-44．设A 是3阶可逆矩阵, A 的第2行乘以2为矩阵B ，则1-A 的【 】为1-BA ．第2列乘以2; B. 第2行乘以2; C. 第2列乘以21; D. 第2行乘以21. 5．设A 为m ×n 矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是【 】A ．m=nB ．Ax=0只有零解C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关三．（本题8分）计算行列式3351110243152113------=D .四．（本题8分）设矩阵3400430000200022A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求4A 五．（本题10分）已知向量1110α-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1322α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2133α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7054α，（1）试判定1α，2α，3α是向量组1α，2α，3α，4α的一个最大无关组（2）将4α用1α，2α，3α线性表出六．（本题10分）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2+=，求B七．（本题12分）求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377023520432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解八．（本题12分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00111100x A ，问x 为何值时，矩阵A 能对角化？ 九．证明下列各题（每小题5分，共计10分）1． 已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关.2．已知n 阶方阵A 的各行元素之和均为a ，证明向量x=(1，1，…，1)T 为A 的一个特征向量，并求相应的特征值.广州大学2007-2008学年第一学期考试卷一．填空题（每小题3分，本大题满分15分） 1．设A 为3阶方阵，且||4A =, 则|2|A =________.2．设1234⎛⎫=⎪⎝⎭AB , 则T T =B A3．已知200*220421⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1-=A4．n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数等于____________.5．若2阶方阵A 满足方程256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等,则||=A ________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．设123,,ααα为3维列向量, 且123|,,|4ααα=, 则1322|2,23,|-=αααα( ). (A) 16； (B) 16-； (C) 24 (D) 24-.2. 二次多项式281175413561081x x ---中2x 项的系数是( ).(A) 7； (B) 7-； (C) 5 (D) 5-.3. 设,,A B C 均为n 阶方阵, 且ABC E =, 则必有( ).(A) BCA E =; (B) BAC E =; (C) CBA E =; (D) ACB E =.4. 矩阵方程=AX B 有解的充分必要条件是( ).(A) ()(,)R R <A A B ; (B) ()(,)R R <B A B ; (C) ()(,)R R =A A B ; (D) ()(,)R R =B A B .5. 若向量组1,,ααm 线性相关, 且110ααm m k k ++= , 则( ). (A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.三．（本题满分8分）计算行列式0000a b ca b cD b a c c a b =.四．（本题满分10分）设1200010000240012⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求8A . 五．（本题满分10分）设12341314(,,,)431010561114⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα, 求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.六．（本题满分10分） 已知矩阵3000130011301113⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 解矩阵方程2=+AX X A . 七．（本题满分12分）求方程组12341234123432434537761171513x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解.八．（本题满分12分）已知矩阵9226A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;(2) 求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵. 九．（本题满分8分）设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解, 1,,n r -ξξ 是=Ax 0的一个基础解系. 证明 1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关.2006----2007广大线性代数广州大学2005-2006学年第一学期考试卷一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=000000000000dc b a ________.2．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321021001A , 则=-||1A ________.3．已知34⨯矩阵A 的秩2)(=A R ，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=504030201B ，则=)(AB R ________. 4．设向量T )2,2,1(=α, A 为三阶正交矩阵, 则长度=αA ________.5．设方阵A 满足方程O aE A A =+-32，且已知A 的一个特征值为1=λ，则 常数=a ________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 设n 阶方阵B A ,满足关系式O AB =, 且O B ≠, 则必有( ).(A) O A =; (B) 0||≠B ; (C) 222)(B A B A +=+; (D) 0||=A .2. 设三阶方阵],,[21ααα=A , ],,[21ααβ=B , 其中βααα,,,21为3 维列向 量, 且5||=A , 1||-=B , 则=+||B A ( ). (A) 4; (B) 6; (C) 16; (D) 24.3. 设A 为可逆矩阵, 则=-1*)(A ( ).(A)A A ||1; (B) A A ||; (C) 1||1-A A ; (D) 1||-A A . 4. 设向量组0A 为向量组A 的部分组, 下列命题正确的是( ). (A) 若向量组A 线性相关，则向量组0A 必线性相关;(B) 若向量组0A 线性相关，则向量组A 必线性相关; (C) 向量组A 线性无关，而向量组0A 可能线性相关; (D) 向量组0A 线性相关，而向量组A 可能线性无关;5. 设A 是n m ⨯矩阵, 若线性方程组0=Ax 仅有零解, 则必有( ). (A) m A R =)(; (B) m A R <)(; (C) n A R =)(; (D) n A R <)(.三．（本题满分8分）1) 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A , 计算2A 和3A ;2) 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ001001B , 求nB .四．计算下列行列式（每小题6分，本大题满分12分）1．0741512090318512-----=D .2．110000010001121nn n a a a a D -=. 五．（本题满分8分）求线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113432232xx x y x x x y x x x y 的逆变换.六．（本题满分10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==12212228324131),,,(4321ααααA .1) 求矩阵A 的行最简形和秩;2) 求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.七．（本题满分10分）求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=-+-253443233423432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.八．（本题满分12分） 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3113A , 1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;2) 求可逆矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵, 并计算10A . 九．（每小题5分, 本大题满分10分）1．设向量组321,,ααα线性无关，证明向量组32112αααβ++=，3212432αααβ--=，321343αααβ-+=也线性无关.2．设A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=7600054000320001，E 为4阶单位阵，且)()(1A E A E B -+=-， 求1)(-+B E .广州大学2004-2005学年第一学期考试卷-1广州大学2003-2004学年第二学期考试卷一．填充题（每小题3分，共15分）6．多项式=)(x f 3273121x x x-中2x 的系数为_______. 7．设A 为3阶方阵，且2||=A , 则=-|2|1A _______. 8．当=a _______时, 下列齐次方程组有非零解.12312312332023020x x x x x x x x ax ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩9．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121240321的秩为_______. 10． 二次型2221231223226T x Ax x x x x x x x =+-+-中对称阵A =_______二．选择题（每小题3分，共15分）1. 设n 阶方阵B A ,满足关系式O AB =, 则必有( ). (A) O A =或O B =; (B) O B A =+;(C) 0||=A 或0||=B ; (D) 0||||=+B A .2. 设三阶方阵],,[21ααα=A , ],,[21ααβ=B ,其中βααα,,,21为3维列向量, 且1||=A , 2||=B , 则=+||B A ( ).(A) 3; (B) 6; (C) 9; (D) 12. 3. 设A 是3阶矩阵, 则必有( ).(A) *2)*2(A A =; (B) *21)*2(A A =; (C) *4)*2(A A =; (D) *8)*2(A A =.4. 设向量组r A ααα,,,:21 可由向量组s B βββ,,,:21 线性表示, 则( ).(A) 当s r <时, 向量组A 必线性相关; (B) 当s r >时, 向量组A 必线性相关;(C) 当s r <时, 向量组B 必线性相关; (D) 当s r >时, 向量组B 必线性相关. 5. 设A 是n m ⨯矩阵, 则线性方程组0=Ax ( ).(A) 当m n >时仅有零解; (B) 当m n >时必有非零解; (C) 当m n <时仅有零解; (D) 当m n <时必有非零解. 三．解答下列各题(每小题7分，共21分) 1．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9531B , B AC -=2, 求2003C . 2．计算行列式2342013241102121----=D .3．讨论向量组1(1,1,1)α=,2(1,2,3)α=,)2,1,(3a =α的线性相关性.四．（12分）求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++=+++13345323173324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x五．（12分）已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122112,321212431B A , 1）求矩阵A 的逆阵;2）解矩阵方程AX=B.六．（12分）求方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=442442221A 的特征值和特征向量. 七．（7分）设A 为n 阶正定矩阵，r αα,,1 是n 维非零列向量, 且0=j T i A αα ),,2,1,,(r j i j i =≠, 证明:r αα,,1 线性无关.八. (6分) 设方阵A 满足O E A A =+-232, 证明A 的特征值只能取值1或2.。
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
