华师大版一元二次方程的解法教案

华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法教案（1） 教学内容：直接开平方法教学目标1、 理解直接开平方法，会用直接开平方法解一些特殊的方程；2、 通过列解一元二次方程，解决一些实际的问题；3、 体会降次的思想。

教学重点：直接开平方法。

教学难点：解决实际问题。

教学准备：课件教学方法：练习引导法一、练习把下列一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

1、13)1()3(22-=--+x x x x （2）13632352+=--+x x x x2、如果一元二次方程05)3()9(22=----x m x m 是一元二次方程，则m ； 3、如果一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根是—1，则c b a ,,之间的关系是 ；二、学习直接开平方法。

1、复习平方根。

如果)0(,2≥=a a x ，那么 x 叫做a 的平方根，记作)0(,≥±=a a x 。

2、利用直接开平方法解一元二次方程例1、解下列方程（1）02432=-x （2）045)32(2=--x 解：（1）移项，得 2432=x化二次项系数为1，得82=x直接开平方，得228±=±=x即，22,2221-==x x（2）移项，得 45)32(2=-x 直接开平方，得534532±=±=-x转化为二个一元一次方程，得,5332=-x 或,5332-=-x解这两个一元一次方程，得2533,253321-=+=x x 例2、解下列方程（1）0121)1(642=--x （2）0)32(25)13(922=--+x x 解：（1）移项，得 121)1(642=-x 两边同时除以64，得 64121)1(2=-x 直接开平方，得 8111±=-x 移项，得 8111±=x 计算，得83,81921-==x x （2）移项，得 22)32(25)13(9-=+x x两边同时除以9，得 22)32(925)13(-=+x x 直接开平方，得 )32(3513-±=+x x 解这两个一元一次方程，得1912,1821==x x 练习：课后练习1。

班级：______姓名：___________ 年级九年级科目数学课型运算课课时 1 主备主讲课题一元二次方程的解法——配方法教研组长签字教学副校长签字一、教学目标1.能准确找到配方所需的常数；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2.让学生经历配方法的探究过程，培养学生的应用意识，转化思想，提高学生的运算能力；3.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心二、教学过程知识预备 1. 用直接开平方法解方程：27)132=+x（2.问题导入：学校要建一个操场，要求长比宽多10m，并且面积为375m2，那么操场的长和宽分别为多少？自主探究（一）探究配方所需的常数1.回顾: 完全平方公式：2)ba±（= ，说出公式的特点2.根据你所掌握的公式特点，将下列代数式配成完全平方的形式试一试：2x＋6x＋（）= x（）22x- 5x＋（） = x（）22x＋8x＋（） = x（）23、思考：当二次项系数为1时，常数项与一次项系数有怎样的关系？常数项为一次项系数一半的平方（二）用配方法解一元二次方程1、尝试解一元二次方程375102=+xx2.解下列方程。

(1)016-62=+xx（2）024-2=+xx课堂小结配方法解一元二次方程的一般步骤：1、将二次项系数化为1；2、将常数项移到方程的右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、写成()2mx n p+=的形式，用直接开平法求解。

22.2 一元二次方程的解法前事不忘，后事之师。

《战国策·赵策》原创不容易，【关注】，不迷路！1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)一、基本目标1．理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤，并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．2．通过利用已学知识求解一元二次方程，获得成功的体验，体会转化思想的应用．二、重难点目标【教学重点】用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．【教学难点】根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P20～P25的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法．2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0，那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么__它们的积__就等于0.4．方程(x－1)2＝1的解为__x1＝2，x2＝0__.5．用因式分解法解一元二次方程(4x－1)(x＋3)＝0时，可将原方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是4x－1＝0，则另一个方程是__x＋3＝0__.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程：(1)(x＋1)2＝2；(2)(2x＋1)2＝2x＋1；(3)－x2＝4x；(4)12(x＋5)2＝9.【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点，确定解方程的方法及一般步骤．【解答】(1)直接开平方，得x＋1＝± 2.故x1＝2－1，x2＝－2－1.(2)移项，得(2x＋1)2－(2x＋1)＝0.方程左边分解因式，得(2x＋1)(2x＋1－1)＝0，所以2x＋1＝0或2x＋1－1＝0，得x1＝－12，x2＝0.(3)方程可变形为x2＋4x＝0.方程左边分解因式，得x(x＋4)＝0，所以x＝0或x4＝0，得x1＝0，x2＝－4.(4)方程两边同时乘2，得(x＋5)2＝18.直接开平方，得x＋5＝±32，所以x1＝32－5，x2＝－32－5.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x2＝b(b≥0)或(mx＋a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式；②直接开平方，得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移，将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根．活动2 巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x2－16＝0的根是( D )A．x＝2 B．x＝4C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－42．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b＝a2－b2，根据这个规则，方程x＋1)﹡3＝0的解为__x1＝2，x2＝－4__.【教师点拨】根据新定义，由(x ＋1)﹡3＝0，得(x ＋1)232＝0. 3．解下列方程： (1)4x 2＝25； (2)x (x ＋2)＝x ＋2. 解：(1)方程可化为x 2＝254.直接开平方，得x ＝±52，所以x 1＝52，x 2＝－52. (2)移，得x (x ＋2)－(＋2)＝0.方程左边分解因式，得(x ＋2)(x －1)＝0，所以x ＋2＝0或x －1＝0，得x 1＝－2或x 2＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】由多项式乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．示例：分解因式：x 2＋5x ＋6＝2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试：分解因式：x 2＋6x ＋8＝(x ＋__2__)(x ＋__4__)； (2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．【解答】∵x 2－3x －4＝0，即x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0，∴(x －4)(x ＋1)＝0，则x ＋1＝0或x －4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要把握新定义的内涵，抓住关键词语，合理套用求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)直接开平方法⎩⎨⎧定义依据：平方根的定义形式：方程x 2＝a a ≥0的根为x 1＝a ，x 2＝－a因式分解法⎩⎨⎧定义依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式请完成本课时对应练习！2 配方法(第2课时)一、基本目标1．理解配方法解一元二次方程的含义，并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程，掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．二、重难点目标 【教学重点】用配方法解一元二次方程． 【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x ±h )2＝k (k ≥0)的形式．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P25～P27的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1. (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －__12__####2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.2．配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__，右边是一个__非负常数__，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用配方法解下列方程：(1)x2－4x－12＝0；(2)22x2＋4x－6＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)原方程可化为x2－4x＝12.配方，得x2－4x＋4＝16，即(x－2)2＝16.直接开平方，得x－2＝±4，所以x1＝－2，x2＝6.(2)移项，得22x2＋4x＝6.两边同除以22，得x2＋211x＝311.配方，得x2＋211x＋⎝⎛⎭⎪⎫1112＝311＋⎝⎛⎭⎪⎫1112，即⎝⎛⎭⎪⎫x＋1112＝34121.直接开平方，得x＋111＝±3411，所以x1＝－1＋3411，x2＝－1－3411.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数，将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为(x±h)2＝k的形式；(5)求解：若k≥0，则利用直接开平方法求解；若k<0，则原方程无实数根．活动2 巩固练习(学生独学)1．用配方法解下列方程，配方正确的是( D )A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8C ．x 2＋8x －9＝0可化为(x ＋4)2＝16D ．x 2－4x ＝0可化为(x －2)2＝42．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( C ) A ．x 2－2x ＝5 B ．2x 2－4x ＝5 C ．x 2＋4x ＝3D ．x 2＋2x ＝53．用配方法解方程2x 2－x ＝4，配方后方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＝__3316__.4．用配方法解下列方程：(1)x 2＋6x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋12＝0.解：(1)x 1＝22－3，x 2＝－22－3. (2)x 1＝5＋34，x 2＝－5＋34. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】试用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总是正数，并指出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x 2－4x ＋5进行配方→确定代数式的最小值．【解答】x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1. ∵(x －2)2≥0， ∴(x －2)2＋1≥1，∴不论x 为何值，代数式x 2－4x ＋5的值总是正数，且当(x －2)2＝0，即x ＝2时，代数式x 2－4x ＋5有最小值，最小值为1.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知代数式是一个关于x 的二次三项式且含有一次项，在求它的最值时，通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)配方法⎩⎨⎧定义依据：完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝a ±b 2形式：方程x ±h 2＝k k ≥0的根为x 1＝k ±h ，x 2＝－k ±h请完成本课时对应练习！3 公式法(第3课时)一、基本目标1．理解求根公式的推导过程，能正确推导出一元二次方程的求根公式．2．理解b2－4ac≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分，当b2－4ac<0时，方程无解．3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤，并能正确运用公式法解一元二次方程．二、重难点目标【教学重点】用公式法解一元二次方程．【教学难点】求根公式的推导过程．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P28～P31的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝__－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)__.将一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.2．用公式法解方程2x2－3x－1＝0时，a＝__2__，b＝__－3__，c＝__－1__，则b2－4ac＝__17__，代入求根公式，得x＝__3±174__.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用公式法解下列方程：(1)5x2－4x－1＝0；(2)3x2＋5(2x＋1)＝0.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)∵a＝5，b＝－4，c＝－1，∴b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36，∴x＝－b±b2－4ac2a＝4±362×5＝4±610，∴x1＝1，x2＝－1 5 .(2)将方程化为一般形式，得3x2＋10x＋5＝0. ∵a＝3，b＝10，c＝5，∴b2－4ac＝102－4×3×5＝100－60＝40，∴x＝－b±b2－4ac2a＝－10±402×3＝－5±103，∴x1＝－5＋103，x2＝－5－103.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2)确定a、b、c的值；(3)求出b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac的符号．当b2－4ac≥0时，把a、b及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1、x2；当b2－4ac<0时，b2－4ac无意义，此时方程无解．活动2 巩固练习(学生独学)1．以x＝b±b2＋4c2为根的一元二次方程可能是( D )A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0 2．方程3x2－5x＋1＝0的解，正确的是( B )A．x＝－5±136B．x＝5±136C．x＝－5±133D．x＝5±1333．用公式法解下列方程：(1)3x2－6x－1＝0；(2)(x －1)(x ＋3)＝12； (3)x 2－x ＋3＝0.解：(1)x 1＝3＋233，x 2＝3－233.(2)x 1＝－5，x 2＝3. (3)方程没有实数解． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】我们规定一种运算：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，例如：⎪⎪⎪⎪24 35＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定，当x 取何值时，⎪⎪⎪⎪x 10.5－x 2x ＝0? 【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．【解答】由⎪⎪⎪⎪x 10.5－x 2x ＝0，得2x 2－1×(0.5－x )＝0.整理，得4x 2＋2x －1＝0，则a ＝4，b ＝2，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝22－4×4×(－1)＝20，∴x ＝－2±202×4＝－1±54，∴当x ＝－1＋54或－1－54时，⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题，解这类题的关键是根据新定义得到方程，再解方程即可．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)公式法⎩⎪⎨⎪⎧定义—求根式公：－b ±b 2－4ac2ab 2－4ac ≥0推导过程—配方法一般形式—方程ax 2＋bx ＋c ＝0a ≠0的根为x ＝－b ±b 2－4ac 2ab 2－4ac ≥0请完成本课时对应练习！4 一元二次方程根的判别式(第4课时)一、基本目标1．了解根的判别式，掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的实数根的情况．2．经历思考、探究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的过程，学会合作交流，并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．二、重难点目标【教学重点】由根的判别式符号判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况．【教学难点】推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的符号与其根的关系．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“__Δ__”来表示．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时，方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程__没有__实数根．3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】不解方程，判定下列方程的根的情况：(1)16x2＋8x＝－3；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)2x2－9x＋8＝0；(4)x2－7x－18＝0.【互动探索】(引发学生思考)不解方程，要判断方程的根的情况，结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系，各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0，则a＝16，b＝8，c＝3.∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0，∴方程没有实数根．(2)a＝9，b＝6，c＝1.∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0，∴方程有两个相等的实数根．(3)a＝2，b＝－9，c＝8.∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0，∴方程有两个不相等的实数根．(4)a＝1，b＝－7，c＝－18.∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0，∴方程有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)不解一元二次方程，由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．活动2 巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是( C )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断2．若关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0有实数根，则m的取值范围是( B )A．m≥14B．m≥－14C．m≤14D．m≤－14【教师点拨】若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根，则b2－4ac ≥0.3．已知方程x2＋px＋q＝0有两个相等的实数根，则p与q的关系是__p2＝4q__.4．不解方程，试判断下列方程的根的情况：(1)2＋5x＝3x2；(2)x2－(1＋23)x＋3＋4＝0.解：(1)方程有两个不相等的实数根．(2)方程没有实数根．5．已知关于x的方程kx2－6x＋9＝0，问k为何值时，这个方程：(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)当k＜1且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．(2)当k＝1时，方程有两个相等的实数根．(3)当k＞1时，方程没有实数根．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a、b、c的数量关系→确定三角形的形状．【解答】△ABC是直角三角形．理由如下：∵关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，先根据根的情况得到判别式的符号，再推出系数之间的关系，进而解决问题．【例3】如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【互动探索】方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根→确定m 的取值范围→分类讨论确定方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【解答】∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0， ∴m ＞4.对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0，当m ＝5时，方程有一个实数根；当m ≠5时，Δ1＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝12m ＋4.∵m ＞4，∴Δ1＝12m ＋4＞0，∴此时方程有两个不相等的实数根．综上，当m ＝5时，方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时，方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时，不要忽略对方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0是否为一元二次方程进行讨论，此方程可能是一元一次方程．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)一元二次方程根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧ 定义——Δ＝b 2－4ac 与ax 2＋bx ＋c ＝0a ≠0实数根的关系⎩⎨⎧ Δ>0↔有两个不相等的实数根Δ＝0↔有两个相等的实数根Δ<0↔没有实数根请完成本课时对应练习！5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)一、基本目标1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．二、重难点目标【教学重点】一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．【教学难点】一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P33～P35的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则有x1＋x2＝__－ba__，x1x2＝__ca__.特殊形式：若x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2＝__－p__，x1x2＝__q__.2．已知x1、x2是一元二次方程x2－6x－15＝0的两根，则x1＋x2＝__6__，x1x2＝__－15__.3．已知实数x1、x2满足x1＋x2＝11，x1x2＝30，则以x1、x2为根的一元二次方程是__x2－11x＋30＝0__.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，不解方程，求下列代数式的值．(1)(x1－x2)2；(2)x2x1＋x1x2.【互动探索】(引发学生思考)方程x2＋6x＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？【解答】∵x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，∴x1＋x2＝－6，x1x2＝3.(1)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－6)2－4×3＝24.(2)x2x1＋x1x2＝x2＋x21x1x2＝x1 ＋x22－2x1x2x1x2＝－62－2×33＝10.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)解此类题时，先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再把所求代数式变形，最后利用整体代入法计算即可．(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：①x21＋x2＝(x1 ＋x2)2－2x1x2；②(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；③1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2；④x2x1＋x1x2＝x1＋x22－2x1x2x1x2；⑤(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2；⑥|x1－x2|＝x1－x22＝x1＋x22－4x1x2.活动2 巩固练习(学生独学)1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是( C )A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可能是( C )A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝03．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2，则k＝__－7__，另一个根为__－35__.4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．(1)a＋b＝__－2__，ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；(2)求代数式a2＋3a＋b的值．解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017. 5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，求b和c的值；(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2，不解方程，求1x1＋1x2的值．解：(1)b＝－1，c＝－6. (2)1x1＋1x2＝3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.(1)若x1＝2，求x2的值；(2)若k＝4，且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，试求Rt△ABC 的面积．【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关，即x1x2的乘积关系→根与系数的关系，确定x1x2的值．【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根，且x1＝2，∴x1＋x2＝－(－6)，即2＋x2＝6，∴x2＝4.(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根，k＝4，∴x1·x2＝k＝4.又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，∴S Rt△ABC＝12x1·x2＝12×4＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)求(2)问时，弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)一元二次方程的根与系数的关系：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.特殊地，x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q .请完成本课时对应练习！【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。

华师大版七年级下册《一元二次方程的解法》教案微课《华师大版七年级下册《一元二次方程的解法》教案微课》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标1. 初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程;2. 初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程;3. 掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程;4. 会用因式分解法解某些一元二次方程。

5. 通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。

教学重点和难点重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。

教学建议：一、教材分析：1.知识结构：2.重点、难点分析(1)熟练掌握开平方法解一元二次方程用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。

配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。

(2)熟记求根公式()和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：1)把方程化为一般形式，并做到、、之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。

2)把一元二次方程的各项系数、、代入公式时，注意它们的符号。

3)当时，才能求出方程的两根。

(3)抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。

这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。

我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法;配方法;公式法和因式分解法。

第22章一元二次方程22.1 一元二次方程※教学目标※【知识与技能】1.理解一元二次方程的概念.￿2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.￿【过程与方法】￿通过观察,归纳一元二次方程的概念.￿【情态态度】￿进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.￿【教学重点】￿一元二次方程的概念及其一般形式.￿【教学难点】￿正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.￿※教学过程※￿一、情境导入￿问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（只列方程）￿分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题.￿设绿地的宽为x米，不难列出方程：￿x(x+10)=900.￿整理，得+10x-900=0.￿①￿问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率.（只列方程）￿分析：设这两年的年平均增长率为x.￿已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册.同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即5(1+x)(1+x)=5(万册).￿可得出方程：5=7.2.￿整理可得5+10x-2.2=0. ②￿￿二、探索新知￿1.请回答下面问题：￿（1）上面两个方程整理后是整式方程吗？含有几个未知数？￿（2）按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几？（学生分组讨论，然后各组交流）￿答：这两个方程（1）都是整式方程；（2）都只含一个未知数；（3）含未知数的项的最高次数都是2.￿2.一元二次方程的定义：￿一个整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.￿【例1】下列方程哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？￿（1）3x+2=5x-3;(2)=4;(3)(x-1)(x-2)=+8;(4)(x+3)(3x-4)=;￿(5)+2-3=0;(6)+2x=x(+x)+3.￿￿分析：（1）、（3）、（4）、（6）需要先整理成最简形式再进行判断.￿解：其中（1）、（3）是一元一次方程；（2）、（4）、（6）是一元二次方程.￿3.一元二次方程的一般形式：￿a+bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0).其中a叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项.￿￿【例2】把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项.￿解：去括号，得3-3x=2x+4+8.￿化简，得3-5x-12=0.￿二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-12.￿￿【说明】通过例题的讲解，让学生明确一元二次方程的一般形式具有的两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异.但同一个一元二次方程写出的一般形式可能不同（只是符号不同），一般我们写二次项的系数为正的那个.￿三、巩固练习￿1.下列方程中哪些是关于x的一元二次方程？￿（1）-4x+2=0;(2)+x-=0;(3)=0(x,y都是未知数);（4）+x=0;￿(5)=(x-1)(x+1);(6)=+2.￿￿2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：￿￿;￿答案：1.(1)(6)￿2.（1）原方程变形为=0.二次项系数为3，一次项系数为-1,常数项为-2.￿(2)原方程变形为+3=0.二次项系数为2，一次项系数为-7,常数项为3.￿(3)整理，得=0.二次项系数为1，一次项系数为-5,常数项为0.￿(4)整理，得-11=0.二次项系数为2，一次项系数为-5,常数项为-11.￿￿四、应用拓展￿【例3】方程在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？￿解：当a≠2时是一元二次方程；当a=2，b≠0时是一元一次方程.￿￿【例4】已知关于x的一元二次方程有一根为2，求m.￿分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程.￿解：将x=2代入原方程，得4(m-1)+6-5m+4=0.解得m=6.￿￿五、归纳小结￿1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.￿2.一元二次方程的一般形式为，一元二次方程的项及系数都是根据一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.￿￿3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.￿※课后作业※￿1.教材习题22.1第1、2、3题.￿。

华师大版九年级上册222一元二次方程的解法教案（3）教学内容：配方法教学目标1、 理解配方法，会用配方法解一元二次方程；2、 通过配方解一元二次方程来解决一些实际问题；3、 体会配方的思想。

教学重点：配方法。

教学难点：解决实际问题。

教学准备：课件教学方法：练习引导法教学过程一、 练习１、 解下列方程（１）2(65)4(65)x x x +=+ (2) 28120x x -+=2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B •两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ •的面积为Rt △ACB 面积的一半．C ABpQ 二、 学习配方法１、 复习完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±2、配方法例１、解下列方程（１）22990x x --= (2) 2520x x -+=解：（１）移项，得 2299x x -=配方，得 221991x x -+=+即 2(1)100x -=用直接开平方法解得 1211,9x x ==-（2）移项，得 252x x -=- 配方，得 222555()2()22x x -+=-+ 即 2517()24x -= 用直接开平方法解得 12517517,22x x +-== 例２、解下列方程（１）23250x x --= (2) 22530x x -+=解：（１）移项，得 2325x x -= 两边同时除以３，得 22533x x -= 配方，得 222151()3339x x -+=+ 即 2116()39x -= 用直接开平方法解得 125,13x x ==- （2）移项，得 2253x x -=-两边同时除以2，得 25322x x -=- 配方，得 2255325()24216x x -+=-+ 即 251()416x -= 用直接开平方法解得 123,12x x == 例３、解下列方程 （１）213102x x -+= (2) 21103x x --= 解：（１）移项，得 21312x x -=- 两边同时乘以２，得 262x x -=-配方，得 226329x x -+=-+即 2(3)7x -= 用直接开平方法解得 1237,37x x =+=-（２）移项，得2113x x -= 两边同时乘以３，得 233x x -=配方，得 22393()324x x -+=+ 即 2321()24x -= 用直接开平方法解得 12321321,22x x +-== 学生练习：课后练习第１、２题例４、已知三个连续奇数的平方和是155，求这三个数。

22.2 一元二次方程的解法第一课时直接开平方法和因式分解法( 1) 教学目标知识技能目标21.认识形如x2＝a(a≥0)类型的方程，并会用直接开平方法或因式分解法求解；2.培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力；过程性目标1.使学生体会运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；2.在学生自主实践中感悟一元二次方程解法的多样性，从而初步认识一些特殊一元二次方程的求解思路．情感态度目标通过两边同时开平方或运用因式分解的方法，将一元二次方程转化为一元一次方程，渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化的思想，这是研究数学问题常用的方法．重点和难点重点：掌握运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；难点：怎样的一元二次方程用直接开平方法，以及用因式分解法，理解一元二次方程的解的情况．教学过程一、创设情境问题解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．(1)x2＝4；(2) x2-1 ＝0．二、探究归纳概括(1) x2＝4，一个数x 的平方等于4，这个数x 叫做4 的平方根(或二次方根)；根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为± 2，所以x＝±2．我们知道，求一个数平方根的运算叫做开平方．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．(2)x2-1 ＝0，如果把它化为x2＝1，由直接开平方法，得x＝±1．对于x2-1 ＝0，将左边运用平方差公式因式分解后再解这个方程，( x＋1)( x－1) ＝0，必有x＋1＝0 或x－1＝0，从而得，x1＝-1 ，x2＝1．这种通过因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法．通常用x1、x2 来表示未知数为x 的一元二次方程的两个实数解．思考(1) 能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程有什么特征？(2)x2＝4 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程形如x2＝a(a≥0) ；用因式分解法来解时，首先应将它化成一般形式．三、实践应用2例1 试用两种方法解方程：x2-900 ＝0．学生分组分别用直接开平方法和因式分解法解这个方程．并指出x＝± 30，或x1＝30，x2＝-30 都可以作为方程的解．例2 解方程：(1) x2-2＝0；(2)16 x2-25 ＝0．2分析对于缺少一次项的一元二次方程ax2+c＝0( a≠0) ，用直接开平方法来解比较简便．解(1) 移项，得x2＝2，直接开平方，得x＝ 2 .所以原方程的解是x1 2， x2 2．2(2)移项，得16x2＝25，2 25方程的两边都除以16，得x2 25，165直接开平方，得x 5，455原方程的解是x15，x25．44思考本题若用因式分解法求解，应如何解？22例3 解方程(1)3 x2＋2x＝0；(2) x2＝3x．分析将方程化成一般形式后，可把左边因式分解再求解，因式分解的常用方法有提公因式法和运用公式法.解(1) 方程左边分解因式，得x(3 x ＋2) ＝0，所以x＝0，或3 x ＋2＝0．原方程的解是x1 0,x2.3(2) 原方程化为x2－3x＝0 方程左边分解因式，得x(x－3) ＝0，所以x＝0，或x－3＝0 原方程的解是x1＝0，x2＝3.注意运用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1) 方程化为一般形式；(2) 方程左边因式分解；(3)至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；会用开平方法、因式分解法解形如x 2=p 的一元二次方程。

22.2 一元二次方程的解法第3课时教学目标1.了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．教学重难点【教学重点】配方的概念，运用配方法解一元二次方程.【教学难点】直接开平方法和配方法之间的区别和联系.课前准备无教学过程一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.应选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x －2＝± 3.∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题：x 2＋4x ＋y 2－6y ＋13＝0，求x －2y x 2＋y 2的值． 解：原方程可化为(x ＋2)2＋(y －3)2＝0，∴(x ＋2)2＝0且(y －3)2＝0，∴x ＝－2且y ＝3，∴原式＝－2－613＝－813. 【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x 2－4x ＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x 2－4x ＋7＝2(x 2－2x )＋7＝2(x 2－2x ＋1－1)＋7＝2(x －1)2－2＋7＝2(x －1)2＋5.∵2(x －1)2≥0，∴2(x －1)2＋5≥5，即2x 2－4x ＋7≥5，故2x 2－4x ＋7的值恒大于零．(2)x 2－2x ＋3；2x 2－2x ＋5；3x 2＋6x ＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0不管m 为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不管m 为何值时，方程都是一元二次方程〞，只需证明二次项系数m 2－8m＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m 2－8m ＋17＝m 2－8m ＋16＋1＝(m －4)2＋1，又∵(m －4)2≥0，∴(m －4)2＋1＞0，即m 2－8m ＋17＞0.∴不管m 为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计四、教学反思教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.3．乘、除混合运算1．能熟练地运用有理数的运算法那么进行有理数的加、减、乘、除混合运算；(重点)2．能运用有理数的运算律简化运算；(难点)3．能利用有理数的加、减、乘、除混合运算解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入1．在小学我们已经学习过加、减、乘、除四那么运算，其运算顺序是先算________，再算________，如果有括号，先算__________里面的．2．观察式子3×(2＋1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，里面有哪几种运算，应该按什么运算顺序来计算？ 二、合作探究 探究点一：有理数乘、除混合运算 计算： (1)－2.5÷58×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－47÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112. 解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法那么进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．解：(1)原式＝－52×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52×85×14＝1； (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－47×⎝ ⎛⎭⎪⎫－143×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－⎝ ⎛47× ⎭⎪⎫143×32＝－4. 方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算．探究点二：有理数的加、减、乘、除混合运算及乘法的运算律 【类型一】 有理数加、减、乘、除混合运算计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)． 解析：(1)先计算括号内的，再按“先乘除，后加减〞的顺序进行；(2)可考虑利用乘法的分配律进行简便计算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝53×(－6)－12÷43＝(－10)－12×34＝－10－38＝－1038； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)＝⎝⎛－3－16⎭⎪⎫－1－13＋1＋14×(－12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－14×(－12)＝－3×(－12)－14×12＝3×12－14×12＝36－3＝33.方法总结：在进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，假设能应用运算律进行简化运算，就先简化运算．【类型二】 有理数乘法的运算律计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)； (2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514. 解析：第(1)题括号外面的因数－24是括号内每个分数的倍数，相乘可以约去分母，使运算简便．利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题－7可以与514的分母约分，因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56×(－24)＋38×(－24)＝20＋(－9)＝11； (2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514＝(－7)×514×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝103. 方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．【类型三】 有理数混合运算的应用海拔高度每升高1000m ，气温下降6℃.某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是－1℃，热气球的高度为________m.解析：此类问题考查有理数的混合运算，解题时要正确理解题意，列出式子求解，由题意可得[8－(－1)]×(1000÷6)＝1500(m)，故填1500.方法总结：此题的考点是有理数的混合运算，熟练运用运算法那么是解题的关键．三、板书设计1．有理数加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行．2．利用运算律简化运算3．有理数混合运算的应用这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算．运算顺序“先乘除后加减〞学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点．在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯．。

一元二次方程的解法【学习目标】1．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法．3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理．【基础知识精讲】1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解．(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根．△<0⇔方程没有实数根．判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题．步骤：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．【经典例题精讲】例1 解方程025x 2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x 2=-，25x 2=，25x ±=，x ＝±5．∴5x 5x 21-==，．例2 解方程2)3x (2=+． 分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了．解：2)3x (2=+， 23x ±=+，23x 23x -=+=+，或， ∴23x 23x 21--=+-=，．例3 解方程081)2x (42=--． 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：081)2x (42=--整理，81)2x (42=-，481)2x (2=-，292x ±=-， ∴25x 213x 21-==，．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4 解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．解法一：02x 3x 2=+-， (x －2)(x －1)＝0，x －2＝0，x －1＝0，∴2x 1x 21==，．解法二：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，∴01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-， ∴213x ±=．∴1x 2x 21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5 解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=， ∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=-22n 4mn 4m ++=0)n 2m (2≥+=． ∴2)n 2m (m 3x 2++=2)n 2m (m 3+±=．∴n m x n m 2x 21-=+=，．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±．例6 用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：x 73x 22=+，023x 27x 2=+-， 0234747x 27x 22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2，162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-． ∴21x 3x 21==，． 注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+．分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=∆的值的符号就可以了．解：(1)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4， ∴041)4(243ac 4b 22>=-⨯⨯-=-． ∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9，∴09164)24(ac 4b 22=⨯⨯--=-．∴方程有两个相等的实数解．(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+， 05x 7x 52=+-．∵a ＝4，b ＝－7，c ＝5，∴554)7(ac 4b 22⨯⨯--=- ＝49－100＝－51<0．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．例8 已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．分析：根据韦达定理a c x x ab x x 2121=⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为2x ，则56x 25k x 222-=⋅-=+，， ∴53x 2-=，k ＝－7． 即方程的另一根为53-，k 的值为－7．注意：一元二次方程的两根之和为a b -，两根之积为a c ．例9 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的(1)平方和；(2)倒数和．分析：已知21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+， 关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子．因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵21x x 23x x 2121-=⋅-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212232 149+=413=； (2)211221x x x x x 1x 1+=+ 2123--=＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例10 已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=⋅-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出． 解：设方程的两根为21x x 、，则2mx x 2x x 2121=⋅-=+，．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+， ∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+= 34)2(2--=＝－30． ∵2m x x 21=， ∴m ＝－30．注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值．例11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=⋅++-．解：设所求的方程为0q px x 2=++．∵2＋10＝－p ，2×10＝q ，∴p ＝－12，q ＝20．∴所求的方程为020x 12x 2=+-．注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．例12 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵q x x p 8x x 2121=⋅-==+，，∴方程为09x 8x 2=+-． 解这个方程得74x 74x 21-=+=，， ∴这两个数为7474-+和．例13 如图22-2-1，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为2m 540，那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为x m ，则两条道路的面积和为2x x 20x 32-+．题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．解：设道路的宽度为x m ，则2032x x 20x 325402⨯=-++．0100x 52x 2=+-， (x －2)(x －50)＝0，x －2＝0，x －50＝0，∴50x 2x 21==，．∵x ＝50不合题意，∴取x ＝2．答：道路的宽度为2m ．注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为2x ．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积2x ．例14 某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为x ，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，增长两次后的产量是2)x 1(5000+，…．增长n 次后的产量b 是n )x 1(5000b +=． 这就是重要的增长率公式．解：设平均每月增长的百分率为x ．则7200)x 1(50002=+，2536)x 1(2=+，56x 1±=+，∴22x 20x 21.，.-==(不合题意，舍去)．答：平均每月增长的百分率是20%．注意：解方程时，由1＋x 的值求x ，并舍去负值．【中考考点】一元二次方程是初中代数的重要内容，因此，它是历年来各地中考的必考内容．可单独命题，也常与函数、四边形、圆等知识点综合在一起考查．例15 (2003·济南市)已知方程组⎩⎨⎧=+=++-②①01y -x 022a y x 的两个解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211y y x x y y x x 和，且21x x 、是两个不相等的实数，若11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，(1)求a 的值；(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都为正数，为什么？分析：21x x 、是方程组中x 的两个解，故应首先消去y ，得到关于x 的方程．再根据根的判别式及根与系数的关系可得解．解：(1)由②得y ＝x ＋1，代入①整理，得01a x x 2=++-．∵方程有两个不相等的实数根，∴0)1a (4)1(2>+--=∆， 43a -<．又∵1a x x 1x x 2121+=⋅=+，，代入11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，得11a 6a 8x x 5)x x (221221--=-+． 整理，得07a a 82=--． 解得87a 1a 21-==，． 而43a -<， ∴87a -=．(2)∵0811a x x 01x x 2121>=+=⋅>=+，，∴0x 0x 21>>，．且01x y 01x y 2211>+=>+=，，∴存在方程组的两个解都是正数．注意：数学的转化思想，本题就是将方程组的问题转化为一元二次方程的问题．例16 (2003·深圳)已知一元二次方程06x 3x 22=--有两个实数根21x x 、，直线l 经过点A(21x x +，0)，B(0，21x x )，则直线l 的解析式为( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3分析：本题重点考查一元二次方程根与系数的关系以及用待定系数法求直线的解析式，先求21x x +与21x x ⋅的值，再求直线解析式．解：∵3x x 23x x 2121-=⋅=+，， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛0 23A ，，B(0，－3)．将A 、B 代入y ＝kx ＋b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=b 03b k 230，∴⎩⎨⎧-==3b 2k ．∴直线l 的解析式为y ＝2x －3．故选A ．【常见错误分析】例17 已知关于x 的方程0m x )1m 2(mx 2=++-有两个实数根，则m 的取值范围是__________．错解：要使方程有两个实数根△≥0，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-， 4m ＋1≥0，41m -≥．∴m 的取值范围是41m -≥．误区分析：要保证方程为一元二次方程，即要考虑二次项系数m ≠0，而上述解法只考虑△≥0，而忽视了m ≠0．正解：要使方程有两个实数根，需满足⎩⎨⎧≥∆≠00m ，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-=∆，4m ＋1≥0，41m -≥．∴m 的取值范围是41m -≥，且m ≠0．例18 如果方程0q px x 2=+-的两个根和2和－3，求p ，q ．错解：根据根与系数的关系2＋(－3)＝－p ，2×(－3)＝q ，故p ＝1，q ＝－6．误区分析：若方程0c bx x 2=++的两根为21x x ，，根据根与系数的关系b x x 21-=+，而题中2＋(－3)应为－(－p)，因题中的b 为－p ，－b 就为－(－p)．错解原因是将两根之和等于b 了．正解：根据根与系数的关系2＋(－3)＝－(－p)，2×(－3)＝q ，∴p ＝－1，q ＝－6．【学习方法指导】本节知识是初中数学的重要内容，也是以后进一步学习和研究函数及四边形、圆的基础，要熟练掌握好．要重视一元二次方程四种解法的探索过程．其中的配方法虽然在解方程中很少直接用，但配方、比较、转化等思想方法，及其所渗透的思维多向性都有助于我们思维能力的培养，不能因为解方程很少用而忽视它．【规律总结】1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解．(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．(3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根．△<0⇔方程没有实数根．判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题．步骤：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．【同步达纲练习】一、填空题1．方程3)5x (2=+的解是_____________．2．已知方程02x 7ax 2=-+的一个根是－2，那么a 的值是_____________，方程的另一根是_____________．3．如果5x 2x 41x 222--+与互为相反数，则x 的值为_____________．4．已知5和2分别是方程0n mx x 2=++的两个根，则mn 的值是_____________．5．方程02x 3x 42=+-的根的判别式△＝_____________，它的根的情况是_____________．6．已知方程01mx x 22=++的判别式的值是16，则m ＝_____________． 7．方程01k x )6k (x 92=+++-有两个相等的实数根，则k ＝_____________．8．如果关于x 的方程0c x 5x 2=++没有实数根，则c 的取值范围是_____________．9．长方形的长比宽多2cm ，面积为2cm 48，则它的周长是_____________．10．某小商店今年一月营业额为5000元，三月份上升到7200元，平均每月增长的百分率为_____________．二、选择题11．方程0x x 2=+的解是( )A ．x ＝±1B ．x ＝0C ．1x 0x 21-==，D ．x ＝1 12．关于x 的一元二次方程01x 6kx 2=+-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k>9B ．k<9C ．k ≤9，且k ≠0D ．k<9，且k ≠013．把方程084x 8x 2=--化成n )m x (2=+的形式得( ) A ．100)4x (2=- B ．100)16x (2=- C ．84)4x (2=- D ．84)16x (2=- 14．用下列哪种方法解方程4x 2)2x (32-=-比较简便( ) A ．直接开平方法 B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法15．已知方程(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，那么x ＋y 的值是( )A ．2B ．3C ．－2或3D ．－3或216．下列关于x 的方程中，没有实数根的是( )A ．02x 4x 32=-+B ．x 65x 22=+C ．02x 62x 32=+-D ．01mx x 22=-+17．已知方程0q px x 22=++的两根之和为4，两根之积为－3，则p 和q 的值为( )A ．p ＝8，q ＝－6B ．p ＝－4，q ＝－3C ．p ＝－3，q ＝4D ．p ＝－8，q ＝－618．若53+-是方程04kx x 2=++的一个根，则另一根和k 的值为( )A ．53x --=，k ＝－6B ．53x --=，k ＝6C ．53x +=，k ＝－6D ．53x -=，k ＝619．两根均为负数的一元二次方程是( )A ．05x 12x 72=+-B ．05x 13x 62=--C ．05x 21x 42=++D ．08x 15x 22=-+20．以3和－2为根的一元二次方程是( )A ．06x x 2=-+B ．06x x 2=++C ．06x x 2=--D ． 06x x 2=+-三、解答题21．用适当的方法解关于x 的方程(1)12)1x 2(4)1x 2(2=---；(2)6)1x ()3x 2(22=--+；(3)x 4)3x )(3x (=+-；(4)027)1x 4(2=--．22．已知7x y 3x 2x y 221+=--=，，当x 为何值时，0y y 221=+？23．已知方程0b ax x 2=++的一个解是2，余下的解是正数，而且也是方程52x 3)4x (2+=+的解，求a 和b 的值．24．试说明不论k 为任何实数，关于x 的方程3k )3x )(1x (2-=+-一定有两个不相等实数根．25．若方程01x )3m 2(x m 22=+--的两个实数根的倒数和是S ，求S 的取值范围．26．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边长为5，两直角边的长分别是关于x的方程0)1m (4x )1m 2(x 2=-+--的两个根，求m 的值．27．某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到129.6万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．28．若关于x 的方程0m 3x )5m (x 22=---的两个根21x x 、满足43x x 21=，求m 的值．参考答案【同步达纲练习】一、1．35x 35x 21--=+-=，2．4，413．1或32-4．－70 5．－23，无实数根6．62m ±=7．0或248．425c >9．28cm10．20%二、11．C 12．D 13．A 14．D 15．C 16．B 17．D 18．B 19．C20．C三、21．(1)用因式分解法21x 27x 21-==，； (2)先整理后用公式法3437x 3437x 21--=+-=，；(3)先整理后用公式法72x 72x 21-=+=，；(4)用直接开平方法4133x 4133x 21+-=+=，．22．x ＝1或21．23．a ＝－6，b ＝8．24．解：3k )3x )(1x (2-=+-，整理得0k x 2x 22=-+． ∵0k 44k 42222>+=+=∆，∴不论k 为任何实数，方程一定有两个不相等实数根．25．23S -≤，且S ≠－3． 26．m ＝4．27．解：设增长的百分率为x ，则6129)x 1%)(101(1002.=+-⨯． 22x 20x 21.，.-==(不合题意舍去)．∴增长的百分率为20%．28．解：提示：解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅-=+43x x m3x x 5m x x 2122121，解得m ＝10，或310m =．。

22.2 一元二次方程的解法￿1.直接开平方法和因式分解法￿第1课时用直接开平方法解一元二次方程￿※教学目标※【知识与技能】￿理解并掌握直接开平方法，并能灵活运用直接开平方法解一元二次方程.￿【过程与方法】￿经历直接开平方法的探究过程，使学生能探究并归纳出直接开平方法.￿【情感态度】￿学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强与他人的交流能力.￿【教学重点】￿理解并掌握直接开平方法，并能灵活运用直接开平方法解一元二次方程.￿【教学难点】￿直接开平方法的适当选用.￿※教学过程※￿一、情境导入￿为了丰富学生的学习生活，某校决定举办一次学生才艺大比拼活动.现决定在操场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个舞台的各边边长将会是多少米呢？（组织学生进行自主探究和交流活动）.￿二、探索新知￿1.你能想到什么方法来解方程=144？￿对于=144意味着x是144的平方根.￿所以x=±，即x=±12.￿这里得到了方程的两个根，通常也表示成：￿=12,=-12.￿结合实际问题这里应将=-12舍去.所以这个舞台的各边边长应是12米.￿￿2.直接开平方法￿利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.一般地，对于形如=n(n≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得=,=-.￿￿【例1】用直接开平方法解下列方程：￿解：（1）移项，得=2.￿直接开平方，得所以原方程的解是(2)由直接开平方，得所以原方程的解是(3)移项，得直接开平方，得所以原方程的解是￿￿三、巩固练习￿解下列方程：￿答案：￿四、应用拓展￿【例2】用直接开平方法解下列方程：￿分析：（1）中把(2x-1)看作一个整体；（2）中把（2y-5）、（3y-1）均看作一个整体.￿解：（1）整理，得直接开平方，得即所以原方程式解是(2)直接开平方，得所以解这两个方程，得原方程的解为五、归纳小结￿1.形如的形式的方程，可以利用直接开平方法解.￿￿2.利用直接开平方法的注意事项：￿（1）必须把方程化成等号左边是一个含未知数的一次多项式的平方，右边是一个非负数的形式才能解.￿（2）一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.￿※课后作业※￿教材第25页练习（1）、（2）、（3）、（4）题.。

教学目的：掌握一元二次方程的四种解法；重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法；难点：选择恰当的解法，要有一定的计算能力和技巧；教学过程：一、例题：请选择恰当的方法解下列方程：1、01232=-x2、x x 652=3、)()(x x -=-55424、x x =-232)(5、022=--m x x6、012722=+-ax x a小结：优选一元二次方程解法的步骤：（1） 一分解，二配方，形如a x =2开平方；（2） 前面三法均不易，求根公式再用上；（3） 字母系数需讨论，分类求解不能忘。

二、堂上练习：1、一元二次方程012=-x 的根为（ ）A ）1=xB ）1-=xC ）1121-==x x ,D ）1021==x x ,2、方程4902.=x 的解为（ ）A ）0.7B ）－0.7C ）±7D ）±3、下列方程中一定能用直接开平方法解的是（ ）A ）722-=-)(xB ）10322=+)(xC ）03522=+-)(xD ）为实数）m m x (=24、方程04312=--y y 左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ） A ）438232=-)(y B ）223)(-y =438- C ）223)(-y =457 D ）223)(-y =－457 5、若代数式)(5-x x 与)(x -55的值相等，则x 等于（ ）A ）5B ）－5C ）±5D ）无法确定6、若代数式212)(+x 的值为9，则x 的值为 ；7、填空：（1）228)(-=+-x x x （2）22)(+=++x x x （3）22515951)(-=+-x x 8、用配方法解方程0162=--x x ，配方后得 ；9、方程0122=++))((x x 的解是 ；10、当=x 时，1532++x x x 与既是最简根式又是同类根式。

11、若0232222=--+--x x x x ，则=x 。

一元二次方程的解法教学目标知识掌握解一元二次方程的公式法和因式分解法，能根据一元二次方程的特征灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性技能在解一元二次方程时提高严谨性，培养学生准确快速的计算能力情感在学习的过程中学习数学思想通过求根公式的推导渗透归纳的思想．因式分解中突出转化的思想教学重难点重点用公式法和因式分解法解一元二次方程难点领会公式法和因式分解法中蕴含的数学思想教学课时 1课时课的类型新授课教学内容（教学大纲）1、一元二次方程的含义和解一元二次方程的方法（复习）直接开平方法和配方法2、公式法解一元二次方程⑴求根公式的推导⑵求根公式⑶利用求根公式解一元二次方程⑷小结3 用因式分解法解一元二次方程⑴二元一次方程的分解法的含义 ⑵利用因式分解法解一元二次方程⑶小结 4 总结作业教学方法 讲授法 小组合作法 问答法 教学工具 多媒体 PPT 教学过程一、复习引入【问题】（学生总结，老师点评） 1 什么叫一元二次方程的解 2 我们学过了解一元二次方程的方法 直接开平方法 配方法【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题． 【设计意图】复习上节课内容，为继续学习解一元二次方程的方法作好铺垫． 二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上学过的配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 【问题】你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a ≠0)吗?分析：因为前面具体数字已经做的很多，我们不妨把a b c 也当成具体数字也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去，)0(2>=a a X )0()(2≥=+k k h X .0:2=++acx a b x 解.2ac x a b x -=+.22222a c ab a b x a b x -⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++.442222a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;【活动方略】鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式【设计意图】创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式思考：用公式法解方程 5x2-4x-12=0【活动方略】在教室的引导下，学生回答，教师板书 引导学生总结步骤：确定a b c 的值、算出的值判断是否有根、代入求根公式求解，在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根是由一元二次方程的系数a b c 确定的（2）在解一元二次方程时，可先把方程化成为一般形式，然后在的前提下，把a b c 的值代入中，可求的方程的两个根：（3）我们把b2-4ac 叫作方程的判别式，公式称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根【设计意图】主体探究，探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式 三、 反馈练习 1、 2x2+5x-3=0 2、x2 +2x =5,042时当≥-ac b .2422aacb a b x -±=+().04.2422≥--±-=∴ac b aac b b x 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.【活动方略】学生独立思考独立解题老师巡视指导，并选取两名同学上台写解答过程 【设计意图】检查学生对知识的掌握程度 四、小结对用公式法解一元二次方程做系统的总结【活动方略】老师系统讲解公式法的相关知识，学生认真理解 五、探索新知什么叫因式分解法解一元二次方程当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.【活动方略】老师自问自答引出因式分解法解一元二次方程的义 含，并渗透其中蕴含的数学思想 学生加以理解【设计意图】通过老师讲解，学生理解因式分解法解一元二次方程，并能理解其中蕴含的数学思想，二次变为一次，多项式变为单项式 六、例题讲解与练习 例题解：移向，得 3x(x+2)-5(x+2)=0 (x+2)(3x+5)=0 x+2=0或3x+5=0习题(3x+1)2－5=0【活动方略】在老师的指导下学生完成例题，然后由学生独立完成练习 【设计意图】通过在老师的帮助下学生完成例题，学生掌握解一元二次方程的步2=++c bxax 0)(=+e dx mx ∴ x1=-2 , x2=35骤，然后练习检验学生的掌握程度七、小结分解因式法条件是方程左边易于分解,而右边等于零关键是熟练掌握因式分解的知识理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”因式分解法解一元二次方程的步骤是:(1)化方程为一般形式;(2)将方程左边因式分解;(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.难点 (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.【活动方略】老师系统讲解因式分解法的相关知识，学生认真理解八、总结作业老师用思维导图的形式对本节内容作总结，并留课外作业。