新课标人教A版高中数学必修2知识点总结

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.+（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a e M，或者a电M，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合③描述法：｛x|x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集•②含有无限个元素的集合叫做无限集•③不含有任何元素的集合叫做空集（0）.【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A有>个元素，则它有n个子集，它有n一个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算8）交集、并集、补集交集AQB{x I x e A,且x e B}（1）AA=A⑵An0=0⑶AnB匸AAQB u B并集AUB{x I x e A,或x e B}补集{x I x e U,且x电A}（1）AUA=A（2）AU0=A（3）AUB-AAUB-Bi An（C A）=02Au（c A）=UU U（AA B）=（C A）U（B）UUU【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集I x I<a（a〉0）{x I一a<x<a}I x I>a（a〉0）x I x<-a或x>a}I ax+b l<c,I ax+b I>c（c〉0）把ax+b看成一个整体，化成丨x I<a，I x I>a（a〉0）型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式A=b2一4acA>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c（a〉0）的图象\\//I\11V1111I tIV °卜\yO一元二次方程ax2+bx+c=0（a〉0）的根x=-1,2（其匸bx=x=—122a无实根1±Jb2一4ac2ahx<x）112ax2+bx+c〉0（a〉0）的解集{x I x<x或x〉x}「b、{x I x丰一——}2aRax2+bx+c<0（a〉0）的解集{x I x<x<x}1200〖1.2〗函数及其表示1.2.1】函数的概念1)函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作/:A T B.②函数的三要素：定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.2)区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且a<b，满足a§x§b的实数x的集合叫做闭区间，记做［a，b］；满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记做(a，b)；满足a§x<b，或a<x§b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,b)，(a,b］；满足x>a,x>a,x§b,x<b的实数x的集合分别记做［a,),(a,),(—g,b］,(—g,b).注意：对于集合｛兀1a<x<b｝与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a<b.3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数.②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.⑤y=tan x中，x丰k兀+—(k G Z).2⑥零(负)指数幕的底数不能为零.⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为［a，b］，其复合函数/［g(x)］的定义域应由不等式a§g(x)§b解出.⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法：若函数y二f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)二0，则在a(y)丰0时，由于x,y为实数，故必须有'二b2(y)-4a(y)-c(y)>°，从而确定函数的值域或最值.④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6)映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则/)叫做集合A到B的映射，记作f：A T B.②给定一个集合A到集合B的映射，且aG A，bG B•如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值X 、x ，当x<x 时，都12•1••2有f(x)〉f(x)，那么就说•••12•f(x)在这个区间上是减函数•yo(1)利用定义y=f(x)(2)利用已知函数的 f(x )N. 单调性1f (X )(3)利用函数图象(在f(x)某个区间图 xx x象下降为减)12(4)利用复合函数(2)打““”函数f (x )-x+x (a >0)的图象与性质(3) /(x )分别在(一a 厂、2］、W'a ,+8)上为增函数，分别在S ，°)、(0,2］上为减函数.q 石£最大(小)值定义V -24a\② 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数y 二f ［g (x )］，令u 二g (x )，若y 二f (u )为增，u 二g (x )为增，则y 二f ［g (x )］为增；若y 二f (u )为减，u 二g (x )为减，则y 二f ［g (x )］为增；若y 二f (u )为增，u 二g (x )为减，则y 二f ［g (x )］为减；若y 二f (u )为减，u 二g (x )为增，则y 二f ［g (x )］为减. ①一般地，设函数y 二f (x )的定义域为1,如果存在实数M满足：(1)对于任意的x e 1f (x )<M ；(2)存在x 0e1，使得f (x 0)-M•那么，我们称M是函数/(x )记作f (x )二M .max②一般地，设函数y 二f (x )的定义域为I ，如果存在实数m 满足：(1)对于任意的x e 1，都有f (x )=m ；(2) 存在x 0e1，使得f (x 0)-m .那么，我们称m 是函数/(x )的最小值，记作f (x )-m .00max【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法函数的性质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个X ，都有f(—x)=—f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.-a-(a,f (aj)KT .(1) 利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2) 利用图象(图象关于原点对称)jy(-a.0K/(j)-xi-—(d>0)，都有如果对于函数f （x）定义域内（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）h、°左移h个单位>y=f(x+h)y=f(x)m>y=f(x)+k ②伸缩变换y=f(x)°<吧1申>y=f(①x)®>i,缩y=f(x)°申申申>y=Af(x)A>1,伸③对称变换y=f(x)原点>y=-f(-x)y=f(x)直线y=<>y=f-1(x)去掉申轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象>y=f(I x l)y=f(x)<保留x轴上方图象<将x 轴下方图象翻折上去②若函数f（x）为奇函数，且在x=0处有定义，则f（°）-°.③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数.〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具•要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数（I）〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幕的运算（1）根式的概念①如果x n=a，aGR，xGR，n>1，且nGN，那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方根用+③根式的性质：(na)n=a；当n为奇数时，n an=a；当n为偶数时,(a>0)(a<0)符号n'a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号一n a表示；0的n次方根是0；负数a 没有n次方根.②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a、0.2)分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幕的意义是：a n二nam(a>0,n e N,且n>1).0的正分数指数幕等于o.+m1m f1②正数的负分数指数幕的意义是：a一n=(一)n=n：(—)m(a>0,n e N，且n>1).0的负分数指数幕没a¥a+有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．3)分数指数幂的运算性质①a r-a s=a r+s(a>0,r,s e R)②(a r)s=a r(a>0,r,s e R)③(ab)r=a r b r(a>0,b>0,r e R)【2.1.2】指数函数及其性质4)指数函数函数名称指数函数定义函数y-a x(a>0j i a丰1)叫做指数函数a>10<a<1V八y-ax/\y-a x y图象丿\y-1(0,1)(0,1)—”鼻，O x0x定义域R值域(0,+如过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y二1.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数①加法：log M +log N 二log(MN )aaa③数乘：n log M =log M n (n e R )aa②减法：lo g M -lo g N 二lo gaaa N④a lo g a N =Nn⑤log M n=logM(b 丰0,n e R )ab a〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算1）对数的定义①若a x 二N （a >0,且a 丰1）,则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x 二log N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.a② 负数和零没有对数． ③ 对数式与指数式的互化：x=lo g N o ax =N （a >0,a丰1,N >0）.a2）几个重要的对数恒等式log1=0,log a =1,log a b =b .aa a3）常用对数与自然对数常用对数：l g N ,即lo g N ；自然对数：l nN ,即lo g N （其中e =2.71828...）.10e（4）对数的运算性质如果a >°，a丰1,M >0,N >0,那么log N⑥换底公式：log N —b (b >0,且b丰1)a log ab2.2.2】对数函数及其性质设函数y二f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y二f(x)中解出x，得式子x(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=(y)表示x是y的函数,函数X=9(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作X=f T(y)，习惯上改写成y=f T(X).(7)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=f(x)中反解出x=f T(y)；③将x=f-1(y)改写成y=f-1(x)，并注明反函数的定义域.8)反函数的性质①原函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.②函数y=f(x)的定义域、值域分别是其反函数y=f-1(x)的值域、定义域.③若P a b)在原函数y=f(x)的图象上，则P'(b，a)在反函数y=f-1(x)的图象上.④一般地，函数y=f(x)要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数1)幂函数的定义一般地，函数y二x a叫做幕函数，其中x为自变量，a是常数.关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限②过定点：所有的幕函数在（°，+8）都有定义，并且图象都通过点（i，i）.③单调性：如果0，则幕函数的图象过原点，并且在［°,+8）上为增函数•如果0，则幕函数的图象在（°,+8）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.④奇偶性：当a为奇数时，幕函数为奇函数，当a为偶数时，幕函数为偶函数.当a=-（其中p，q互质，p和q GZ），p若p为奇数q为奇数时，则y=x p是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y=x p是偶函数，若p为偶数q为奇数时, ■q则y=XP是非奇非偶函数.⑤图象特征：幕函数y二x a，xG（°，+8），当a>1时，若°<x<1，其图象在直线y=x下方，若x>1，其图象在直线y=x上方，当a<1时，若°<x<1，其图象在直线y=x上方，若x>1，其图象在直线y=x下方.〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f（x）二ax2+bx+c（a丰°）②顶点式：f（x）二a（x-h）2+k（a丰°）③两根式: f（x）二a（x—x1）（x—x2）（a丰°）（2）求二次函数解析式的方法b 需，顶点坐标是②当a >0时，抛物线开口向上, 函数在Z ，-冷上递减’在［--2a ，+Q 上递增’当x 一2a 时' 2a 4a M (x ,0)M (x ,0),MM 曰x -x I 二I a I ① 已知三个点坐标时，宜用一般式.② 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式.③ 若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f （x ）更方便.3）二次函数图象的性质 ①二次函数/（x ）二ax 2+bx +c （a 丰0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为x 二一b4ac -b 22a'4a4ac -b 2bb 、min （X ）=石；当。

人教A 版必修第二册全册知识点汇总第六章 平面向量及其应用 (1)6.1 平面向量的概念 ...................................................................................................... 1 6.2 平面向量的运算 ........................................................................................................ 5 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 .............................................................................. 22 6.4.平面向量的应用 ....................................................................................................... 37 第七章 复数 (51)7.1 复数的概念 .............................................................................................................. 51 7.2复数的四则运算 ....................................................................................................... 58 7.3* 复数的三角表示 .................................................................................................. 64 第八章 立体几何初步 .. (69)8.1 基本立体图形 ........................................................................................................ 69 8.2 立体图形的直观图 ................................................................................................ 80 8.3 简单几何体的表面积与体积 .................................................................................. 83 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 .................................................................. 93 8.5 空间直线、平面的平行 ........................................................................................ 104 8.6 空间直线、平面的垂直 ........................................................................................ 114 第九章 统计 . (132)9.1 随机抽样 .............................................................................................................. 132 9.2 用样本估计总体 .................................................................................................. 138 9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析 ...................................................... 145 第十章 概率 . (150)10.1 随机事件与概率 .................................................................................................. 150 10.2 事件的相互独立性 ............................................................................................ 161 10.3 频率与概率 .. (165)第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素． (2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．典型应用1 向量的相关概念给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB→|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 典型应用2 向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．用有向线段表示向量的步骤典型应用3共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF→，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →. 2．[变问法]本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．6.2 平面向量的运算6．2.1 向量的加法运算1．向量加法的定义及运算法则(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律典型应用1平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解】 法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD→＝c ；(4)作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .OE →即为所求．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点；②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 典型应用2平面向量的加法运算化简： (1)BC→＋AB →； (2)DB→＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝(BC→＋CD →)＋DB → ＝BD→＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． 典型应用3向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】 如图，设此人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA→，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →. 由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．6．2.2 向量的减法运算1．相反向量(1)定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．(2)结论①－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． ■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．(3)几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． ■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．(3)对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 典型应用1 向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB→＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB→－AD →－DC →. 【解】 (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB→＝AB →. 法二：原式＝AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→. (2)法一：原式＝DB→－DC →＝CB →.法二：原式＝AB→－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.向量减法运算的常用方法典型应用2向量的减法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c . 【解】 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，连接BC ， 则CB→＝b －c . 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c . 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB→＝a ＋b －c . 法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c .求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．典型应用3用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB→＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.【解】 因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.6．2.3 向量的数乘运算1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |．(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．■名师点拨λ是实数，a 是向量，它们的积λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a ，λ－a 均没有意义．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa )＝(λμ)a ． (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ． (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b ．(2)向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． ■名师点拨若将定理中的条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa . 典型应用1 向量的线性运算(1)计算：①4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； ②(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )； ③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）.(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )． 【解】 (1)①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b .②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c .③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b＝53a －1118b .(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．典型应用2向量共线定理及其应用已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【解】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB→. 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线．(2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.向量共线定理的应用(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB→＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．典型应用3用已知向量表示其他向量如图，ABCD 是一个梯形，AB→∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC→＝________； (2)MN→＝________． 【解析】 因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →. (1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1. (2)MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.【答案】 (1)e 2＋12e 1 (2)14e 1－e 2[变条件]在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →.解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →， MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN→＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点， 所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0. 所以2MN→＝DA →＋CB →，所以MN→＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．6．2.4 向量的数量积1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． ■名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD→＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定零向量与任一向量的数量积为0． ■名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a ·b ，千万不能写成a ×b 的形式． 3．投影向量如图(1)，设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影(project)，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图(2)，在平面内任取一点O ，作OM→＝a ，ON →＝b ，过点M作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．(2)若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e .■名师点拨当θ＝0时，OM 1→＝|a |e ；当θ＝π2时，OM 1→＝0；当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，OM 1→与b方向相同；当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，OM 1→与b 方向相反；当θ＝π时，OM 1→＝－|a |e .4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0．(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)|a·b |≤|a ||b |. ■名师点拨对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．5．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)． ■名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若a ，b ，c 均为非零向量，且a·c ＝b·c ，但得不到a ＝b .(2)(a·b )·c ≠a·(b·c )，因为a·b ，b·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b )·c 与向量c 共线，a·(b·c )与向量a 共线，因此，(a·b )·c ＝a·(b·c )在一般情况下不成立．(3)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 典型应用1平面向量的数量积运算(1)已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a ＋3b )．(2)如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD→·BC →；②AB →·DA →.【解】 (1)(a ＋2b )·(a ＋3b ) ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192. (2)①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.[变问法]若本例(2)的条件不变，求AC →·BD →.解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC→·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝AD→2－AB →2＝9－16＝－7.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．典型应用2 向量模的有关计算(1)已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )A.3B．23 C．4 D．12(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.13 B.12C.15 D.14【解析】(1)|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos 60°＝34，即1＋|b|2－|b|＝34，解得|b|＝12.【答案】(1)B(2)B求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．典型应用3向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．【解析】(1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12， 所以cos θ＝12.又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3.(2)设a 与b 的夹角为θ，由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |.又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】 (1)π3 (2)π3 命题角度二：证明两向量垂直已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时，求证：b ⊥(a＋t b )．【证明】 因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值． 此时b ·(a ＋t b )＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0.所以b ⊥(a ＋t b )． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数(1)已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k的值为( )A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1(2)已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．【解析】(1)因为3a＋2b与k a－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(k a－b)＝0，所以3k a2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝3 2.(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】(1)B(2)－8或5求向量a与b夹角的思路(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．6.3 平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理平面向量基本定理(1)e 1，e 2是同一平面内的两个不共线的向量，{e 1，e 2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．(2)基底{e 1，e 2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的． 典型应用1平面向量基本定理的理解设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎨⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，所以e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底．③因为e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)， 所以e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎨⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎨⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．典型应用2用基底表示平面向量如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE与BF 交于点G ，若AB→＝a ，AD →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量DE →，BF →.【解】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD→＋AB →＋12BC → ＝－AD→＋AB →＋12AD →＝a －12b . BF→＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB→＋AD →＋12AB →＝b －12a .1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a ，b }表示AG →.解：由平面几何知识知BG ＝23BF ， 故AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF → ＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a＝a ＋23b －13a ＝23a ＋23b .2．[变条件]若将本例中的向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”，即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量DE→，BF →. 解：DE→＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF→＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF → ＝－2CE→＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 典型应用3平面向量基本定理的应用如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .【解】 设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理， 得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨μ＝35.所以AP →＝45AM →，BP →＝35BN →，所以AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.1．[变问法]在本例条件下，若CM→＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →.解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2，则NP →＝25NB →， CP→＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB →＝b ＋25(CB →－CN →) ＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其他条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .解：如图，设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－2e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－2λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理， 得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得⎩⎪⎨μ＝23.所以AP →＝23AM →，BP →＝23BN →， 所以AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示1．平面向量坐标的相关概念■名师点拨(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则 ①a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ②a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； ③λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． ■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 典型应用1平面向量的坐标表示已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA→的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA→的坐标．【解】 (1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA→＝(23，6)． (2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．典型应用2平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23，12)C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．(2)法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)． 因为CM→＝3 CA →，CN →＝2 CB →， 所以CM→＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以⎩⎨⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎨⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝2. 所以M (0，20)，N (9，2)．法二：设O 为坐标原点，则由CM→＝3 CA →，CN →＝2 CB →， 可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 所以OM→＝3 OA →－2 OC →，ON →＝2 OB →－OC →. 所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)． 所以M (0，20)，N (9，2)．平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行． 典型应用3向量坐标运算的综合应用已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP→＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【解】 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23. 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13. 若点P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.(2)OA→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，所以⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．[变问法]若保持本例条件不变，问t 为何值时，B 为线段AP 的中点？ 解：由OP→＝OA →＋tAB →，得AP →＝tAB →.所以当t ＝2时，AP→＝2AB →，B 为线段AP 的中点．向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．第2课时 两向量共线的充要条件及应用两向量共线的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0．■名师点拨(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .典型应用1 向量共线的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB →与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0， 所以k ＝－13.故填－13.(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以AB→∥AC →，所以AB →与AC →共线． 又AB→＝23AC →，所以AB →与AC →的方向相同．[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a －b )与(a ＋k b )是反向还是同向？ 解：由向量(3a －b )与(a ＋k b )共线，得k ＝－13， 所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋k b ＝a －13b ＝(1，－2)－13(3，4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－103＝13(0，－10)， 所以向量(3a －b )与(a ＋k b )同向．向量共线的判定方法典型应用2 三点共线问题(1)已知OA→＝(3，4)，OB →＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 共线；(2)设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．【解】 (1)证明：由题意知AB→＝OB →－OA →＝(4，8)，AC →＝OC →－OA →＝(6，12)，所以AC →＝32AB →， 即AB→与AC →共线． 又因为AB→与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 共线．(2)法一：因为A ，B ，C 三点共线，即AB →与AC →共线，所以存在实数λ(λ∈R )，使得AB→＝λAC →.因为AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)， 即⎩⎨⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线． 法二：由已知得AB→与AC →共线，因为AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，。

必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''xOy∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R lr S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

高三第一轮复习资料（注意保密）引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

高中数学必修2知识点归纳高中数学必修2知识点归纳高中数学必修2是数学学科的一门重要课程，主要内容包括函数、二次函数与一元二次方程、直线和三角形的研究等。

下面是对这些知识点的归纳总结。

一、函数1. 函数的概念：函数是具有输入输出关系的一种映射关系。

通常用f(x)表示函数关系，其中x是自变量，f(x)是因变量。

2. 函数的性质：可递性、奇偶性、周期性、单调性等。

3. 特殊函数：常数函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

4. 函数的运算：函数的四则运算、复合函数、反函数等。

5. 函数的图像：函数的图像可以通过函数的定义域和值域来确定，常见的有常数函数图像、线性函数图像、幂函数图像、指数函数图像、对数函数图像、三角函数图像等。

二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的概念：二次函数是一个带有二次项的函数，一般定义为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

2. 二次函数的性质：最值、对称轴、开口方向、零点等。

3. 一元二次方程：一元二次方程是一个以变量x为未知数的二次方程，一般表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

4. 一元二次方程的解：一元二次方程有两个解，可以通过求根公式或配方法求得。

5. 一元二次方程与二次函数的关系：一元二次方程的解即为对应二次函数的零点，可以通过一元二次方程的解来求二次函数的零点。

三、直线1. 直线的表示：直线可以通过斜率截距式、一般式、点斜式等表示。

2. 直线的性质：平行直线、垂直直线、两直线交点的坐标、直线的倾斜角等。

3. 直线方程的求解：通过已知条件，可以利用直线的性质来求解直线的方程。

四、三角形1. 三角形的分类：根据边的长、内角的大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等。

2. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

3. 三角函数关系：倍角公式、半角公式、和差化积公式等。

高中数学 必修2 第六章平面向量设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心. （2）为的重心.（3）为的垂心. （4）为的内心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移） （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示：2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a ，b 平行，记作a ∥b ，规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a ，b 相等，记作a ＝b【6.2】平面向量的运算1、向量的加法（1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示几何意义三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC⃗⃗⃗⃗⃗ 平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （OC 是▱OACB 的对角线）就是向量a 与b 的和（3）规定：对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a .（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形ABC ∆,,A B C ,,a b c O ABC ∆222OA OB OC ⇔==O ABC ∆0OA OB OC ⇔++=O ABC ∆OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅O ABC ∆0aOA bOB cOC ⇔++=法则的物理模型.（5）一般地我们有|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，－AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量性质：①对于相反向量有：a ＋（－a ）＝0；②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0；③零向量的相反向量仍是零向量（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.a －b ＝a ＋（－b ），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.几何意义：a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）（1）定义：规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa ，它的长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa ＝0；由①②知，（－1）a ＝－a .（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa ）＝（λμ）a ；②（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；③λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ；特别地，有（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－a ）；λ（a －b ）＝λa －λb .（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a ±μ2b ）＝λμ1 a ±λμ2 b .（4）共线向量定理：向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为[0，π2]（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则∠a O b ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角. 当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 （4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（5）投影：如图，设a ，b 是两个非零向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，我们考虑如下变换：过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点a 和终点b ，分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.（6）向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则①a ·e ＝e ·a ＝|a |cosθ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0③当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝√a ·a .在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a ·b |≤|a |·|b |.（7）运算律：①a ·b ＝b ·a ；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （8）运算性质：类比多项式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量） 条件：e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量结论：对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2 基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2、平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.（2）坐标：对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标. （3）坐标表示：a ＝（x ，y ）.（4）特殊向量的坐标：i ＝（1，0），j ＝（0，1），0＝（0，0）. （5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆） 设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），λ∈R ，则有下表：设向量a ＝（x ，y ），则有λa ＝（λx ，λy ），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（7）平面向量共线的坐标表示：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），其中b ≠0.向量a ，b （b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0.（8）中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P 的坐标为（x ，y ），则x =x 1+x 22y =y 1+y 22.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式.（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a ·b ＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a ⊥b ⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a ＝（x ，y ），则|a |＝√x 2+y 2.②两点间的距离公式：若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.③向量的夹角公式：设两非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ，则θ=a ·b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 12＋y 12√x 22＋y 22【6.4】平面向量的应用1、平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 2、向量在物理中的应用举例（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F ·s ＝|F ||s |cosθ（θ为F 和s 的夹角）.动量m ν实际上是数乘向量. 3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推论（SAS 、SSS 、SSA ）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：；；.在△ABC 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （3）正弦定理的表示（AAS 、SSA ）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. 符号语言：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则2sin sin sin a b cR C===A B （R 为△ABC 的外接圆的半径）（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式 设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，正弦定理有如下变形： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； （5）三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． （6）相关术语①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+-2222cos c a b ab C =+-角，如图所示.②方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图1所示）.③方位角的其他表示——方向角正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图2所示）.（7）解三角形应用题解题思路：基本步骤：运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.第七章复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如a ＋bi （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }叫做复数集.（2）复数通常用字母z 表示，代数形式为z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.（3）复数相等：在复数集C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }中任取两个数a ＋bi ，c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ），我们规定：a ＋bi 与c ＋di 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d . （4）复数的分类①对于复数a ＋bi （a ，b ∈R ），当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）可以分类如下：复数{实数（b ＝0）虚数（b ≠0）（当a ＝0时为纯虚数），②集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）（2）复数的几何意义①复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 复平面内的点z （a ，b ）. ②复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ . （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）.（4）复数的模①定义：向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）的模或绝对值. 12||d z z =-=111z x y i =+222z x y i =+②记法：复数z ＝a ＋bi 的模记为|z |或|a ＋bi |. ③公式：|z |＝|a ＋bi |＝√a 2+b 2（a ，b ∈R ）.如果b ＝0，那么z ＝a ＋bi 是一个实数，它的模就等于|a |（a 的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z̅表示，即如果z ＝a ＋bi ，那么z̅＝a －bi .（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

高中数学人教版A必修二数学必修二第一章知识总结一、空间几何体（一）空间几何体的结构1、棱柱的结构特征：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

注意：①两底面是多边形平行且全等；②侧面是平行四边形；③侧棱互相平行且相等。

补充：①平行六面体：底面是平行四边形的棱柱。

②直平行六面体：侧棱和地面垂直的平行六面体。

③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

④正棱柱：底面为正多边形的直棱柱。

例题1 下列四个命题中，假命题为（ A ）A、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面（正方体、长方体）B、棱柱的各个侧面都是平行四边形C、棱柱的两底面是全等的多边形D、棱柱的面中，至少有两个面互相平行例题2 下列说法正确的是（D）P8A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形2、棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

注意：①底面是多边形；②侧面是三角形；③侧棱交于顶点。

补充：正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

特征：①底面是正多边形②侧面是全等等腰三角形，斜高都相等③正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的投影也组成一个直角三角形。

如Rt∆SOM和Rt∆SOC。

例题3 三棱锥P - ABC，PA =PB = CA = CB = 5,AB = 6,PC长度的取值范围是（D ）。

A、（0,4）B、（0,5）C（0,6）D（0,8）解析：3、棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

注意：①两底面平行且相似；②侧面是梯形；③侧棱延长并交于一点。

第八章立体几何初步8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体记作棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′记作棱锥S­ABCD按底面多边形的边数分为三棱锥、记作棱台ABCD­A′B′C′D′得的棱台分别为三棱台、四棱台、(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎨⎧直棱柱⎩⎨⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系典型应用1棱柱的结构特征下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．典型应用2棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点空间几何体的平面展开图(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】(1)选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．典型应用1圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．典型应用2简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．典型应用3旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．8．2立体图形的直观图1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.■名师点拨(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．典型应用1画水平放置的平面图形的直观图画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．典型应用2画简单几何体的直观图已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【解】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy ＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图．(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.典型应用3直观图的还原与计算如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．【解】 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 与y 轴平行的直线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 与x 轴平行的直线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.所以面积为S ＝2＋32×2＝5.(1)直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝24S 或S ＝22S ′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．柱、锥、台的表面积和体积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝13Sh；V棱台3S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积1．柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 典型应用1柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A.2倍 B ．3 倍 C ．2 倍D ．5 倍(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶3C ．2∶ 2D ．3∶6(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则由题意可知，l ＝2r ，于是 S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2，可知选 C.(2)棱锥 B ′­ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积 S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.(3)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.【答案】(1)C (2)B (3)A空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．典型应用2柱、锥、台的体积如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A­A1BD的体积及高．【解】(1)V三棱锥A1­ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1­ABD＝a3－16a3＝56a3.(2)V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝1 6a 3.设三棱锥A­A1BD的高为h，则V三棱锥A­A1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32(2a)2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．典型应用3组合体的表面积和体积如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝r2，所以r＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π ＝(2＋23)π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π. 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π(r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl )＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台的体积 V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝13π(12＋2＋22)×3＝733π.3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ， 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ， 所以AE AO ＝EB OC ， 即23－h 23＝r2， 所以 h ＝23－3r ，S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr (23－3r ) ＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π.求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．球的体积和表面积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．典型应用1球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3 D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】(1)B(2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．典型应用2球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)． 【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.典型应用3与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.【答案】14π角度三球的内接正四面体问题若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a，所以S球＝4πR2＝32πa2.角度四球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r 2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】 932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2.【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝6 2a.8．4.1平面1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(3)平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．■名师点拨(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．典型应用1图形、文字、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．。

高中数学a版必修二统计知识点一、知识概述《高中数学A版必修二统计知识点》①基本定义：统计呢，简单说就是对数据进行收集、整理、分析的学科。

比如调查一个班级同学的身高，把每个同学的身高数据收集起来，然后整理成一定的形式，像按从矮到高排序之类的，最后分析这些数据，找出像平均身高啊、最高最矮同学的身高差距等，这就是统计干的事儿。

②重要程度：在数学学科里是个很实用的部分。

我们生活中到处都有数据，统计能帮我们从这些海量的数据里提取有用的信息，对做决策有很大帮助。

像企业统计产品的销量数据来决定生产数量等。

③前置知识：需要有基本的运算能力，比如加减乘除，因为在处理数据时经常要计算数据的和、平均数等。

还得明白一些数学符号的含义。

④应用价值：实际应用场景超级多。

科学家做实验要统计数据来验证假设，公司要统计市场份额来制定营销策略。

在我们的日常生活中，统计自己每个月的花费，能更好地管理自己的钱财。

二、知识体系①知识图谱：统计这个知识点在高中数学必修二里占一整块内容，和函数、几何这些知识相对独立，但它也能为一些数学建模题提供分析数据的方法。

②关联知识：和概率有点关系，概率往往是基于统计数据得出的。

比如说，统计多次抛硬币正面朝上的次数，根据这个统计的数据能更好地理解抛硬币正面朝上的概率。

③重难点分析：掌握难度的话，我觉得对于数据多的统计分析可能有点麻烦，比如大量样本的数据整理和分析。

关键点是能准确提取数据、会使用统计方法，像计算平均数、方差等。

④考点分析：在考试中占有一定比重。

考查方式有给数据求平均数、方差等，也有可能让你设计一个统计方案，比如调查学校里学生对食堂饭菜满意度的统计方案。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：像总体，就是我们要研究的所有对象的集合。

比如说要研究全校学生的身高，全校学生的身高数据就是总体。

样本是从总体里面抽取的一部分用于代表总体的。

比如从全校每个年级抽一部分学生的身高，这部分学生的身高就是样本。

新教材人教A版高中数学必修第二册第九章统计知识点汇总及解题规律方法提炼第九章统计学9.1 随机抽样1.全面调查与抽样调查全面调查是对每一个调查对象进行调查的方法，也被称为普查。

在一个调查中，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体。

抽样调查是根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法。

从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量。

调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。

2.简单随机抽样简单随机抽样包括放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样。

放回简单随机抽样是从一个总体含有N（N为正整数）个个体中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。

不放回简单随机抽样是如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。

3.总体平均数与样本平均数总体平均数是指总体中所有个体变量值的平均数，记为Y。

如果总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则Y=（Y1+Y2+…+YN）/N。

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=（∑fiYi）/N。

样本平均数是指从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=（y1+y2+…+yn）/n为样本均值，又称样本平均数。

在简单随机抽样中，各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性。

在统计学中，我们常使用样本平均数y来估计总体平均数Y。