矩量法

第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。

如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。

数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。

数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。

随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。

现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。

典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。

本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。

矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。

20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。

目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。

通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。

如今很多商用软件的开发都基于矩量法。

但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。

对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。

为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。

因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。

10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式h Lf = （10-1-1）式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。

这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。

因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。

矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。

下面详述矩量法的具体步骤。

首先令N f f f ,,,21 为一组基函数，那么，未知函数)(x f 可以近似表示为∑==+++≈Nn n n N N x f a x f a x f a x f a x f 12211)()()()()(（10-1-2）式中),,3,2,1(N n a n =为展开系数，它们是未知的。

则 L 称为L的伴随算子。若，则L叫做自伴算子。且有：
a
Lf , g f , Lg
矩量法
矩量法 假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程：
a G( z, z' ) f ( z' )dz' g ( z)
式中 G ( z , z ' ) 为核，g ( z )为已知函数，f ( z ' ) 为未知函数。
b
矩量法
①首先用线性的独立的函数来近似表示未知函数
f ( z' ) a n f n ( z' )
n 1
N
f n ( z ' ) 为算子域内 其中 a n为待定系数（可为复数）， 的基函数，N为正整数。代入上式并整理得：
a
n 1
N
n
L[ f n ( z' )] g ( z)
由于是用近似式表示，故有误差，为：
n 1
I z I n z i 1
i 1
N
n
L I z I n sinnk z 对称振子的电流分布接近正弦分布： n 1 2
矩量法
2) 子域基函数
在J所及的域内存在但在该域的部分地方为零 的基函数Jn，则J为子域基函数
f (I i ) J z 0 当z在z i以内时 在其它地方
矩量法
由于狄拉克函数有：
m , f x m f xdx f xm
因此选择狄位克函数做权函数时，阻抗矩阵元素的计 算可以减少一个积分运算。 狄拉克函数的这种应用，在物理问题中被理解为边界 条件只施于表面S上的离散点上，而不是连续地施于整个 表面上。故称此方法为点匹配法。同时也可以看出此方法 求解的精确度不仅依赖于点的数目，同时还依赖于点的位 置。用等间距的点能给出较好的结果。对于远场计算较好， 但对于近场数据的计算时对匹配点的数目和位置则较为敏 感。

以内时
i
当z在z
以外时
i
分段正弦：
Jz
Ii
sin
k zi1
z I i1
sin kzi
sin
kz zi
0
当z在z
以内时
i
当z在z
以外时
i
二次插值法：
J
z
Ai
Bi
z
zi
Ci
z
zi
2
0
当z在z i以内时 当z在z i以外时
正弦插值法：J z
Ai
Bi
sin
kz
zi
Ci
sin
kz
zi
2
矩量法
矩量法
§2.1 矩量法原理
根据线性空间的理论，N个线性方程的联立方程组、微 分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子 方程，这类算子可化为矩阵方程求解。
设有算子方程：
L( f ) g
式中L为算子，可以是微分方程、差分方程或积分方程； g是已知函数如激励源；f为未知函数如电流。
假定上述方程的解存在且是唯一的，则有逆算子 L1的 存在，使 f L1 (g) 成立。 L与L1 互为逆算子。
0
当z在z
以内时
n1
若令残数矢量对检验函数的内积为零：
wm ,(z) 0
这就意味着 wm与 正交。随着N的增加，误差也趋于最小。
矩量法是一种使误差化为最小的方法。
③内积，则可写出下列矩阵方程：
IZ V
式中
Z mn
wm , L[ fn (z)]
Vm Wm , g
Im am
④求解上矩阵方程。
矩量法
对于电磁场问题，算子方程： Lop (J ) Ei

16 16
对于一维问题，如图2所示，假定函数的定义域 为 0 χ 1 ，将定义域分成 M 个宽度相同的子区 间，每个子区间的宽度为 n (n 1, 2, , M )，其中
n 1/ M
17 17
则脉冲基函数为
1(当x位于xn内) Pn ( x) 0(当x不在xn内)
B an 是 M 1 阶矩阵， 矩阵K mn 是 M M 阶矩阵， 是 M M 阶矩阵。
mn
Bmn (Wm N n ) d

9 9
所以矩量法利用基函数和权函数将最初 的本征值问题（式（6.1-1））转换成了矩 阵的本征值问题（式（6.1-6））,通过求 解矩阵方程可到近似解。 [a ] 有非零解,其系 为使矩阵方程（6.1-6） Kmn ] －[ Bmn ] 的行列式必须为零，即 数矩阵 [ det(K mn Bmn ) 0 （6.1-7）
K mn Wm , LN n


(r rm )LN n d
LN n (r rm )
Bmn (Wm , N n ) N n (r rm )
20 20
•例2求表示在图5中的微带片状电容器的电容。
解 设地为电位参考点，加在微带片上的电压 为 U ，根据电容的定义，微带片的电容为:
解
将本征函数近似表示成
a an N n
n 1
11 11
M
选定基函数和权函分别为 n N n x(1 x )
Wm x(1 x m )
将选定的基函数和权函数代入式（6.1-6） 其中:[ K mn ][an ] [ Bmn ][an ]
K mn
2 d m n χ (1 χ ) χ (1 ) d χ 2 0 dχ mn m n 1 1