小学六年级数学竞赛讲座 第4讲 进位制与位值原理(二)

今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。

【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。

【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。

【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。

【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。

将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。

求原的两位数。

【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是 。

进制与位值原理逢n 进1借1当n 位值原理 十进制 除n 取余法【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。

【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。

〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。

5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是。

【例2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【例3】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【例4】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。

第4讲 进位制与位值原理（二）同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)()=【答案】见解析【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)=位值原理法：210(101110)(46)=2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11.3. 在几进制中有12512516324⨯=? 【答案】7【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10<n ．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．4. 已知100(1)3=+-÷bab b a ，则b =_____. 【答案】7【解析】10110=+bab b a ;100(1)1001003+=+-÷b b a .得313300+=a b .（a ,b ）= (9,7)，b =7.5. 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是______．【答案】26【解析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226++=54321●○○○●○○●○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●6. 在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁? 【答案】21岁【解析】①设小招为a 岁，得(10)(3)0=a a ，又10(3)(10)03033=⨯+⨯=a a a ，解得0=a ，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数．②设小招是ab 岁，由题意得：(10)(3)0=ab ab ．因为(10)10=+ab a b ，(3)0930193=⨯+⨯+⨯=+ab a b a b ，所以1093+=+a b a b ，即2=a b ． 又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2=a ，1=b ．所以，小招为21岁． ③设小招为abc 岁，由题意有，(10)(3)0=abc abc ，因为(10)10010=++abc a b c ， 32(3)03332793=⨯+⨯+⨯=++abc a b c a b c ，所以100102793++=++a b c a b c ．即732+=a b c ．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立． 综上可知小招的年龄是21岁．7. abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd -abc -ab -a = 1787，则这四位数=______或______. 【答案】2009或2010【解析】原式可表示成：8898991787+++=a b c d ，则知a 只能取：1或2，当1=a 时，b 无法取，故此值舍去.当2=a 时，0=b ，0=c 或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.8. 十进制计算中,逢10必须进位,有保密员之间采用r 进位制方式计算,在他们的运算中: 10(166)(133)(24)-=r r ，则r =______.【答案】7【解析】(166)(133)(33)33247-==⨯+=⇒=r r r r r .9. 一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A ，这个三位数A 是_____. 【答案】495【解析】设这个最大三位数为abc ，那么最小三位数为cba ，于是99()=-=-A abc cba a c ，三位数A 是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A =495.10. 记号(75)k 表示k 进制的数，如果(70)k 在m 进制中表示为(56)m ,又m 、k 均小于等于10，求k 和m 的值.【答案】8,10==k m【解析】由于()()107077=⨯=k k k ,()()10565656=⨯+=+m m m ;所以567+=m k ,求得8,10==k m .深化练习11. 正整数3、5、6、15可以分别表示为121⨯+，2121⨯+，21212⨯+⨯，321212121⨯+⨯+⨯+，他们的上述表示(又称之为二进制)中1的个数分别是2，2，2，4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数(从小到大)的和是______. 【答案】115【解析】魔数从小到大排列：11，101，110，1001，1010，1100，1111，10001，10010，10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4位，3个1在倒数第5位，和为2345152524232115⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝.12. 四位数1234可通过下面的变换变成1541：现在有一个四位数，通过以上方法变换成3779，那么原来的这个四位数是______. 【答案】3271【解析】设原来这个四位数是，则有37++=a b ，79++=c d ，即11237+=a b ，11279+=c d ，解得3,2,7,1====a b c d ，所以原来这个四位数是3271.13. 一个人今年的年龄恰好等于他出生年的数字和，那么这个人今年的年龄是______. 【答案】5或23【解析】(1)设这个人的出生年为19ab ，根据题意19201719+++=-a b ab102017190010++=---a b a b化简得：112107+=a b .所以111072=-a b 因为9≤b ，所以111071889≥-=a .从而9≥a 推出9=a ，4=b .这个人的年龄为2017199423-=（岁）.(2)设这个人的出生年月为20ab ，根据题意 20201720+++=-a b ab ， 11215+=a b12==，a b .这个人的年龄为201720125-=（岁）.14. 四位数及其逆序数的和是35的倍数，求满足条件的四位数一共有多少个？ 【答案】238【解析】()()1001110+=+++abcd dcba a d b c ，可以知道+a d 是5的倍数，+b c 是7的倍数，其中a ，d 不为0，有5/10/15+=a d ，0/7/14+=b c ，(),a d 一共有17组，(),b c 一共有14组，那么一共有1714238⨯=.12+1+21541123415.a、b、c是0~9中不同的数字，用a、b、c共可组成六个数，如果其中五个数之和不小于2009，也不大于2012，那么另一个数是______.【答案】208【解析】这六个数的总和为222（a＋b＋c）.若a＋b＋c=10，那么六个数总和为2220，所求的数不小于208，不大于211，只有208满足条件；若a＋b＋c=11，那么六个数总和为2442，所求的数不小于430，不大于433，都不符合条件；若a＋b＋c=12，那么六个数总和为2664，所求的数不小于652，不大于655，都不符合条件；若a＋b＋c=13，那么六个数总和为2886，所求的数不小于874，不大于877，都不符合条件；若a＋b＋c≥14，那么六个数总和不小于3108，那么另一个数超过1000，不符合题意.综上可得，另一个数必是208.。

位值原理知识框架位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会.1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理.2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答重难点（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数的各位数字的和是 .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10.【答案】10【巩固】 一个两位数，加上它的十位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数是 .【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 设为ab ，10a+b+9a=19a+b=100，a=5，b=5.【答案】55【例 2】 学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，学而思杯，4年级，第5题【解析】 解设张老师年龄为ab ，则李老师的年龄为ba ，根据题意列式子为：18ba ab -=，整理这个式子得到：()918b a -=，所以2b a -=，符合条件的最小的值是1,3a b ==，但是13和31不符合题意，所以，答案为2a =与4b =符合条件的为：244266+=岁.【答案】66岁【巩固】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009年，学而思杯，5年级，第3题【解析】 设为ab ，即101102b a a b +++=，整理得1981a b =+，3,7a b ==，两位数为37 【答案】37【例 3】 几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，初赛，10题【解析】 肯定是1×××年，16－1＝15，百位，十位与个位和是15，十位加1后，数字和是15＋1＝16，此时十位和个位和是6的倍数，个位不是1，只能是2，十位原来是9，百位是4，所以是在1492年.【答案】1492【巩固】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛，第11题【解析】 设小明出生那年是，则1＋9＋a ＋b ＝95－10a －b从而11a ＋2b ＝85在a ≥8时，11＋2b ＞85；在a ≤6时，11a ＋2b ≤66＋2×9＝84，所以必有a ＝7，b ＝4.小明今年是1＋9＋7＋4＝21(岁).【答案】21岁【例 4】 一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍.【考点】简单的位值原理拆 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，复赛，第4题，5分【解析】 令这个三位数为0a b ，则由题意可知，10067()a b a b +=+，可得2a b =，而调换个位和百位之后变为：0100102b a b a b =+=，而3a b b +=，则得到的新三位数是它的各位数字之和的102334b b ÷=倍.【巩固】 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，复赛，第18题，10分【解析】 abc cba -个位是7，明显a 大于c ，所以10+c -a =7，a -c =3，所以他们的差为297【答案】297【例 5】 三位数abc 比三位数cba 小99，若,,a b c 彼此不同，则abc 最大是________【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第7题，6分【解析】 由题意，99abc cba +=，有9a c =+，要abc 最大，如果9a =，那么0c =，与cba 为三位数矛盾；如果8a =，那么9c =，剩下b 最大取7，所以abc 最大是879.【答案】879【巩固】 一个三位数abc 与它的反序数cba 的和等于888，这样的三位数有_________个.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，二试，第4题，5分【解析】 显然a c +、b b +都没有发生进位，所以8a c +=、8b b +=，则4b =，a 、c 的情况有1+7、2+6、3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种.所以这样的三位数有7种.【答案】7个【例 6】 将2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是__________.-□□□□□□□□【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取234，所以这两个四位数应该是5987和6234，差为247.【答案】247【巩固】用1，2，3，4，5，7，8，9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是___________.【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，复赛，第5题，5分【解析】千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取123，所以这两个四位数应该是4987和5123，差为136.【答案】136【例 7】xy，zw各表示一个两位数，若xy+zw=139，则x+y+z+w= .【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，第5题，4分【解析】和的个位为9，不会发生进位，y+w=9，十位明显进位x+z=13，所以x+y+z+w=22【答案】22【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】解答【关键词】美国，小学数学奥林匹克【解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，-=+--=-=，5ab ba a b b a a b(10)(10)9()45-=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a bb=，原来的两位数中最大的是94．9a=，4【答案】94【例 8】 一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，原来的两位数是______.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，初赛，第13题，6分【解析】 设这个两位数是ab ，则100a+b=8(10a+b)-1，化为20a+1=7b ，方程的数字解只有a=1，b=3，原来的两位数是13.【答案】13【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数.又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设第一个2位数为10a +b ；第二个为10b +a ；第三个为100a +b ；由题意：(100a +b )-（10b +a ）=( 10b +a )-（10a +b ) ；化简可以推得b =6a ，0≤a ,b ≤9，得a =1，b =6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数.【答案】11小时【例 9】 abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd —abc —ab —a =1787，则这四位数abcd = 或 .【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，初赛，16题【解析】 原式可表示成：8898991787a b c d +++=，则知a 只能取：1或2，当1a =时，b 无法取，故此值舍去.当2a =时，0b =，0c =或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.【答案】2009或2010【巩固】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，111b ＋11c ＋d ＝259推知b ＝2；则222＋11c ＋d ＝259，11c ＋d ＝37进而推知c ＝3，d ＝4所以abcd ＝1234.【答案】1234【例 10】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【关键词】第五届，希望杯，培训试题【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【答案】1，2，4【巩固】 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数的最小值．【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所 有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【答案】139【例 11】 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数.【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法三：设两位数为x ，则有（10x ＋1）－（100＋x ）＝414，解得：x ＝57.【答案】57【巩固】 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数.【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设三位数为x ，则有（6000＋x ）＋（10x ＋6）＝9999，解得：x ＝363.【答案】363课堂检测【随练1】 在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若abcd dcba -=□997，那么□中应填 .【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第3题，10分【解析】 由题意知，a ≥d ,由差的个位为7可知，被减数个位上的d 要向十位上的c 借一位，则10+d －a =7,即a －d =3.又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b =c ，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即()12a d --=,因此□内应填入2.【答案】2【随练2】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c .由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的它们组成的三位数最小为159，最大为951.【答案】最小为159，最大为951【随练3】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A.【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答【解析】设这个数为x，则10x+5-x＝1111A，化简得9x＝1106A，等号右边是9的倍数，试验可得A＝1，x＝1234.【答案】A＝1，x＝1234复习总结（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答家庭作业【作业1】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”.例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99.可以证明，所有的巧数都是两位数.请你写出所有的巧数.【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设这个巧数为ab，则有ab+a+b＝10a+b，a(b+1)＝10a，所以b+1＝10，b＝9.满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99.【作业2】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()⨯++．因为223422210a b c++>．a b c>⨯，所以10若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．【答案】652【作业3】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍.求出所有这样的三位数.【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5.如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5.设原两位数是ab ，则b =5，变成的三位数为5ab ，由题意有100a ＋10b ＋5＝（10a ＋5）×9，化简得a ＋b ＝4.变成的三位数只能是405，315，225，135.【答案】三位数只能是405，315，225，135【作业4】 如果70ab a b ⨯=，那么ab 等于几？【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将70ab a b ⨯=，展开整理得：(10)71000a b a b ⨯+⨯=⨯++，707100a b a b +=+，306a b =，5a b =，由于位值的性质，每个数位上的数值在0 ～9之间，得出1a =，5b =.【答案】15【作业5】 如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了12345A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A .【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这个数码为x ，则有：（10x ＋3）－x ＝123450＋A ,解得，9x ＝123447＋A ，右边是9的倍数，根据被9整除的数字的特点知道，A ＝6，故：x ＝13717.【答案】6。

位置原理部分习题讲解讲解1：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大4，求这个两位数。

根据题意可列方程 5a ＋5b － = 44b －5a = 44(b －1)= 5a分析和推理： b －1=5 a=4因此： a=4,b=6,这个两位数即46解决此类问题一般先根据题意列出方程，再化简方程，最后进行分析和推理。

化简方程可以利用的知识有等式的基本性质，加、减、乘、除算式各部分的关系，乘法的分配律等。

分析和推理时要根据题意以及简化的方程分析数的特征，有时能得到确定的数，有时不能得到确定的数，就要进行取值尝试。

讲解2：某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人。

统计员提供的学生总数比实际总人数少270人。

原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。

这个学校学生最多是多少人？根据题意可列方程 － = 270 90a － 90b = 270a －b = 3分析和推理：这个三位数的百位比十位数字大3，再根据题意可知该数是7和5的公倍数，个位必须是0或者5。

列举百位比十位数字大3，个位为0或5的三位数，并逐个尝试是否是7的倍数，可知只有630和525是7的倍数。

所以此题的答案为630人。

讲解3：某个三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。

根据题意列出方程 abc-23(a+b+c)=077a-13b-22c=077a-22c=13b11(7a-2c)=13b分析和推理：11和13互质，所以7a-2c 和 b 应该分别为13和11，但b 不能大于9，所以b 只能为0，那么 7a=2c ，a 与c 分别为2 和 7 ，所以原数是为：207讲解4：a ，b ，c 是1～9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a ＋b ＋c)的多少倍？ abc+acb+bac+bca+cab+cba=222a+222b+222c=222(a+b+c) ab abc bac所以，其和是（a+b+c）的222倍。

进位制与位值原理课程要求 1．认真听讲，认真笔记 2．根据老师提示及时暂停视频 3．课程虽然精彩，但是一定要休息知识地图 1. 进位制的含义和不同进制之间的互相转化。

2. 位值原理的基础知识和基本运用。

【课前小知识】1. 很久很久以前，人类是没有数字这个概念的， 但是打猎的时候要计算得到了多少猎物 ， 于是他们只能掰手指头，数到10个的时候就没 法继续，所以就在墙上做一个记号“ ”， 代表10个 ，这就是十进制的来历。

既然十 个 等于一个 ，那么十个 也等于一 个 ，以此类推。

① 以现在的角度来看， ， ， 各相当于哪一位？②“”写成我们习惯的表达形式应该是什么？2. 如果有个外星球种族，他们只有七个手指头， 打猎的时候也要计算得到了多少猎物 ，于 是他们只能掰手指头，数到7个的时候就没法 继续，所以就在墙上做一个记号“ ”，代 表7个 ，7个 等于1个 ，那么7个 也 等于1个 ，以此类推。

① 一个 等于多少个 ？②“”写成十进制应该是什么？③ 按照外星种族的书写习惯，一个数里最多有几个 ？④ 十进制中的100个 在这里应该如何表示？知识要点屋 1. 十进制就是逢十进一，七进制就是逢七进一，以此类推。

2. 十进制中最大的数字是9，七进制中最大的数字是6，以此类推。

【例1】(★★) 十进制的1234化成九进制是多少？【例2】(★★) 八进制的145化成十进制是多少？ 1【例3】(★★) 七进制的125化成八进制是多少？【例4】(★★★) 在七进制下进行计算：(1235)7＋(4251)7＝_____【例4拓展】(★★★) ⑴哪种进制下，4×13＝100成立？ ⑵哪种进制下，135×24＝3636成立？【课中间小知识】 1. 365＝3×100＋6×10＋5×1 abcd＝a×1000＋b×100＋c×10＋d×1 2. 一个十进制的数，可以根据位值原理进行分拆。

小学奥数位值原理
小学奥数-位值原理
位值原理是指一个数的每一位在数中所代表的意义。

在十进制数中，一个数的每一位可以表示从个位到千位的数值；在二进制数中，一个数的每一位可以表示从个位到二的幂次方位的数值。

例如，在十进制数295中，第三位(百位)为9，可以表示900；第二位(十位)为9，可以表示90；第一位(个位)为2，可以表
示2。

在二进制数1011中，第四位(八位)为1，可以表示8；第三位(四位)为0，可以表示0；第二位(二位)为1，可以表示2；第
一位(个位)为1，可以表示1。

位值原理在奥数中经常用于解决数字运算和问题推理等题目。

理解位值原理有助于孩子们更好地理解数的组成和运算规律，提高算术和逻辑思维能力。

除了十进制和二进制，还有其他进制的数，如八进制、十六进制等。

每一种进制的位值原理都遵循相同的规律，只是对应的基数不同而已。

通过训练和实际操作，孩子们可以进一步掌握不同进制下的位值原理，丰富数学知识和解题技巧。

1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答模块一、简单的位值原理拆分【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字的和是 。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。

进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用．在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧； ⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于1千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……．进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”(在十进制下记为２)；比“10”再多一个，记为“11”．依次类推，我们很容易接受二进十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 1 2 3 4 1 10 11 100 5 6 7 8 101 110 111 1000 9 10 11 12 1001 1010 1011 1100 13 14 15 16 1101 1110 1111 10000的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示．当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多．十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1999时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，1999110009100=⨯+⨯ 91091+⨯+⨯，也就是说：1999中含有一个1000，九个100，九个10与九个1．为了叙述的方便，我们约定：用2（　）表示括号内写的数是二进制数，如21010（）；用10（　）表示括号中写的数是十进制数，如1066（）；十进制的标志可省略，66就代表十进制下的数．二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数1000000应该表示十进制数64，L ．那经典精讲第十一讲进位制与位值原理二进制数 十进制数1 10 100 1000 10000 100000 L L1 2422=⨯ 8222=⨯⨯ 162222=⨯⨯⨯ 3222222=⨯⨯⨯⨯ L L⑴ 关于进位制的两个需要注意的地方：二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．为了区别各种进位制数，n 进制中的数用()n a 表示．如果10n ≥，那么从10到1n -的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用A 表示10，B 表示11，C 表示12，D 表示13，E 表示14，F 表示15等等． ⑵ 十进制数与n 进制数的互换：n 进制数110()r r n a a a a -L 写成十进制数是121210r r r r a n a n a n a n a --+++++L ．十进制数化成n 进制数，只要把十进制数用n 除，记下余数；再用n 除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个n 进制的数．这叫做“除n 取余法”． 如把1234化成三进制数：3123434111313703452315035031201L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 余余余余余余余 所以，(10)(3)12341200201=．⑶ 一般地，一个自然数N 可表示为1210r r r a a a a a --L 的形式，其中r a ，1r a -，…，1a ，0a 是0，1，2，3，…，9中的一个，且0r a ≠，即：1110101010r r r r N a a a a --=⨯+⨯++⨯+L ． 这就是十进制数，记作(10)N ，简记为N ．十进制数有两个特征：一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位．⑷ 对于进位制需要注意其本质：n 进制就是逢n 进一．［分析］掌握十进制转化为n 进制的基本方法：短除法.以()()10237=和()()108888=为例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数.()()10237100101=.例1237218...129...024...122...021 0...188888111...0813...781...50 (1)同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：()()1088881570=.()()()()()()()()10210310510837100101;24222222;1561111;8881570====.［巩固］（基础学案1）将1030（）、1072（）改写成二进制数． ［分析］ 可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.1023016141686168420111110=+=++=++++⨯=（）（）102726486403201680402011001000=+=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=（）（）［巩固］（提高学案1）将10301（）、1072（4）改写成七进制数． ［分析］短除法.()()107301610=；()()107721243=4［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用,,,,,A B C D E F 来表示十六进制中的10,11,12,13,14,15.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？ ［分析］仍然用短除法.()()1016234EA =［分析］n 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．()()()()5432102104321031010100112021202021241120211323032313142=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 当然计算时，数位是0的可以省略.［分析］（1）可转化成十进制来计算：222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是例3例22，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））； （2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；（3）本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(．［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法()()()()()()222222100111111010101+=-=［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.1001110101111011000010101+-［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法 ［分析］ ⑴ 列竖式： ⑵ 列竖式：1111011111011011011101101×10110110110110011100111001110101011100110011得：2221011011011111101111⨯=（）（）（） 得：22210101011100111001÷=（）（）（）［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化()()216110010011011;= ()()16295A E =［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起4216=，就变成了十六进制.那么第一个问题，()2110010011011我们把它每4位数码合在一起()()2161100,C =()()21610019,=()()2161011B =，因此()()2161100100110119C B =.第二个问题，()1695A E 我们把它每一位拆成4位二进制数，()()16291001,=()()1621010,A =()()()()16216250101,1110E ==，因此，()()162951001101001011110A E =.［分析］利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以例4说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以， n 只能是6．［巩固］（基础学案3）在几进制中有12512516324⨯=？［分析］注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．［拓展］（提高学案3）算式153********⨯=是几进制数的乘法？［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．［拓展］（尖子学案3）记号()25k 表示k 进制的数，如果()52k 是()25k 的两倍，那么，()123k 在十进制表示的数是多少？［分析］可用位值原理来进行计算.()()2525,5252k k k k =+=+，依题意，()22552k k ⨯+=+，解得8k =.()()81012318828383=⨯⨯+⨯+=.［分析］设此数为()()43abc cba =，利用位值原理转化为十进制数.164931580a b c c b a a b c ++=++⇒+-=.又,,a b c 是三进制中的数字，所以,,0,1,2a b c =，那么易得1,1,2a b c ===，()411211614222=⨯+⨯+=.十进制表示是22.［巩固］在七进制中有三位数abc ，化为九进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？ ［分析］首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．例5［拓展］用,,,,a b c d e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果5()ade ，5()adc ，5()aab 是由小到大排列的连续正整数，那么5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是多少？［分析］注意555()(1)()adc aab +=，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则0b =，而555(10)(1)(4)c =-=，则4c =．而555()(1)()ade adc +=，所以1e c +=，则3e =． 又1d a +=，所以1d =，2a =．那么，5()cde 为25(413)45153108=⨯+⨯+=． 即5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是108．［提高］自然数10)(abc x =化为二进制后是一个7位数2)1(abcabc ，那么x 是多少？ ［分析］根据位值原理100106432168426436189a b c a b c a b c a b c ++=++++++=+++，于是64648888a b c a b c =--⇒=--.又,,a b c 是二进制中的数字，因此,,0,1a b c =，那么易得1,0,0a b c ===.100x =．[补充],a b 是自然数，a 进制数()47a 和b 进制数()74b 相等，a b +的最小值是多少？［分析］,8a b ≥，根据位值原理，4774743a b b a +=+⇒-=．左右两边取4的模，有()()33mod 41mod 4b b ≡⇒≡，那么，b 的最小值是9，此时()793415a =⨯-÷=.那么，24a b +=．［分析］若给每个盒子分别放入：1，2，22，L ，92发子弹，即相当于二进制数中的：0000000001，0000000010，L ，1000000000，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以任意抽出：2101011111023=L 123（）（）以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：1，2，22，L ，82发子弹，相当于二进制数中的000000001，000000010，000000100，L ，100000000发子弹，最后一个盒子中只能放9223-（）发子弹，即489发子弹．即可凑出1000以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489．［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买1~31中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为531322<=，所以用42，32，22，12，02就可以表示1~31中的所有整数．因为021=，122=，224=，328=，4216=，所以茶叶店只要有5包茶叶，分别重1，2，4，8，16两，就可以满足一位顾客1~31两茶叶的需要．［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值：1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第39个是多少？ ［分析］由例题我们可以知道一共有63个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中例6的39转化为2进制，应记为：2(100111)．所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有523(100111)1313131256=⨯+⨯+⨯+=．即其中第39个数是256．［拓展］（尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？［分析］称量1克，需要1克的砝码；称量2克，需要2克的砝码； 称量3克，需要1克和2克的砝码； 称量4克，需要4克的砝码； ……有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码. 以此类推，共需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.10个砝码分别对应于二进制中的()()()()()()222222110100100010000100000，，，，，，()()()()22221000000100000001000000001000000000，，，.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如()210231*********=.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如()25131000000001=，代表我们可以用一个()25121000000000=克和一个()211=克砝码来称量513克. 因此最少需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.越玩越聪明： 超常挑战：1. 把下面的二进制数改写成十进制数．⑴ 2101110（） ；⑵ 2111101（）；［分析］⑴2101011100112141801613246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）⑵ 2101111011102141811613261=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）2. ①852567(((=== ） ） ）；②在八进制中，1234456322--=________；［分析］本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））； ②原式1234(456322)12341000234=-+=-=.3. 计算：()()()222(1)1111101+=()()()888(2)357521+=家庭作业［分析］()()()222111*********+=()()()8883575211100+=4. 转化进位制()()8210247=［分析］()()82102471000010100111=5. 在算式2222222000+++++=学习必须努力中，不同的汉字代表不同的数字，并且学、习、必、须、努、力按从大到小的顺序排列，那么，学、习、必、须、努、力应分别是多少？ ［分析］通过观察题目给出的算式，我们很容易将题中的2的乘方和二进制数联系到一起，所以我们只需将2000化成二进制数，再利用二进制定义即可．102200011111010000=（）（），10987642000121212121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯所以学、习、必、须、努、力分别代表的是10、9、8、7、6、4．。