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离散数学(集合)

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离散数学---集合

离散数学---集合

特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、 相等： 、 相等： 定义： 相等， 定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则 称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则 ， 相等 记 作A=B。 。 即 ∀ x∈A则 x∈B， 并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ， 并且有∀ ∈ 则 ∈ 。 若A，B 不相等记 作 A≠ B
真子集： 真子集：
集合的说明： 集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中 与 是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。 、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合 。 表示同一个集合。 表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合， 、集合中的元素可能也是集合， 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ， ， ， ， ， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集 设A={0，1，2}写出 的全部子集。 ， ， 写出 的全部子集。 元子集： 解：A的0元子集：∅ 的 元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集： ， ， 的 元子集 A的 2元子集 ： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。 元子集： ， ， ， ， ， 。 的 元子集 元子集： ， ， A的3元子集：{0，1，2} 的 元子集 A共有 个子集，即P（A）=8 共有8个子集， （ ） 共有 个子集 一般地如果 ， 一般地如果A=n， 元子集有1个即空集 则A的0元子集有 个即空集∅， 的 元子集有 个即空集∅ A的1元子集共有 n1个， 元子集共有C 的 元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…， 元子集共有C 的 元子集共有 ， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的 元子集共有 n元子集共有 nn=1个， 元子集共有C 元子集共有 个 所以A的子集个数为 的子集个数为C 所以 的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n

《离散数学》集合的基本概念和运算

《离散数学》集合的基本概念和运算

（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )

1.1-集合的基本概念(离散数学)

1.1-集合的基本概念(离散数学)

幂集的性质
1.
为有穷集， 若A为有穷集，|A|=n，则 为有穷集 ， |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。 是两个集合， 当且仅当 设 A、 B是两个集合 ， AB当且仅当 、 是两个集合 ρ(B)； ρ(A)ρ ； ρ
多样性
集合中的元素可以是任意的对象， 集合中的元素可以是任意的对象，相 互独立， 互独立，不要求一定要具备明显的共 同特征。 同特征。 例如： 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车 地球 是汽车},地球 是汽车 地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
集合的表示法
列举法；将集合中的元素一一列举， 列举法；将集合中的元素一一列举， 或列出足够多的元素以反映集合中元 素的特征，例如： 素的特征，例如：V={a,e,i,o,u} 或 B={1,4,9,16,25,36……}。 。 描述法 ；通过描述集合中元素的共同 特征来表示集合，例如： 特征来表示集合，例如： V= {x|x是元 是元 音字母} 是自然数} 音字母 ，B= {x|x=a2 , a是自然数 是自然数
空集、 空集、全集
约定，存在一个没有任何元素的集合， 约定，存在一个没有任何元素的集合， 称为空集(empty set) ，记为φ，有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。 来表示。 约定， 约定，所讨论的对象的全体称为全集 (universal set)，记作 或U，我们所讨论 ，记作E或 ， 的集合都是全集的子集 全集是相对的。 的集合都是全集的子集 。全集是相对的。 全集

离散数学第3章 集合

离散数学第3章 集合
命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合

离散数学集合的表示方法

离散数学集合的表示方法

离散数学集合的表示方法离散数学是指以一定的符号系统来表示数学概念和数学运算的学科，其中最基本的概念是集合。

集合是一组独立的元素的有序集，也可以说是一类物体的总称，它可以用简单的符号表示。

这种表示方法在数学研究和计算上起着重要作用。

本文着重介绍离散数学集合的表示方法。

首先，在离散数学中，所有的集合都可以用符号表示，通常用大写字母代表集合，如A、B、C等。

确定集合的方法通常有三种：①通过给出其元素的方式，如表示集合A={1,3,5,7,9}；②通过用公式表示法，如表示集合B={2n|n∈N，n≤5}；③通过用符号表示，如表示集合C={x|x∈A，x>3}。

此外，在离散数学中，还有一些特殊的集合概念，包括空集、自身的集合、全集以及基本集合。

空集是指不包含元素的集合，它有一个特殊的符号，即；自身的集合，即一个集合的元素全部不在其他集合中，如集合A={1,2,3}，则A∈A；全集是指包含所有元素的集合，标识符为G；基本集合是指包含元素的所有集合，标识符通常是N、Z、R等。

另外，集合运算也是离散数学中非常重要的概念，其中有一些重要的运算，如交集、并集、补集、差集等。

其定义和运算方法是：对于两个集合A={1,2,3}、B={2,4,6}，交集A∩B={2}，即A和B的交集，两个集合的公共元素；并集A∪B={1,2,3,4,6}，即A和B的并集，包含A和B全部元素；补集A′={4,6}，即在A中没有的元素；差集A-B={1,3}，即A中有，而B中没有的元素。

总之，离散数学集合的表示方法有大写字母表示、公式表示法和符号表示，以及特殊的集合概念如空集、自身的集合、全集以及基本集合，以及交集、并集、补集、差集等重要的集合运算。

它们为离散数学的理解和应用提供了基础，同时也为计算机科学技术的发展提供了条件和依据。

《离散数学》课件-第3章集合的基本概念

《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},

离散数学(集合论)

离散数学(集合论)

D.M 律
双重否 定
26

E
补元律 零律 同一律
AA= A= A=A
AA=E AE=E AE=A
否定
=E
27
E=
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
28
3.3 集合中元素的计数
集合的基数与有穷集合 包含排斥原理 有穷集的计数
0 n 1 n n n n
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
16
空集和全集 空集：不含任何元素的集合,记为
42
文氏图法
求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被 5 和6 整除， 也不能被 8 整除的数有多少个？
43
例2 24名科技人员，每人至少会1门外语. 英语：13； 日语：5； 德语：10； 法语：9 英日：2; 英德：4； 英法：4； 法德：4 会日语的不会法语、德语 求：只会 1 种语言人数，会 3 种语言人数
元素
a A
a A
表示方法：列举法A={a,b,c,d} 描述法 B={x|x∈Z,3<x≤6} …
12
集合与元素的关系
Ａ＝｛a，｛b， c｝，d ｝
aA
｛b, c｝ A
b x( x A x B) A
包含 A B x (xA xB)
(4)
37
3.1 容斥原理
又 A U A,

离散数学集合论基础知识

离散数学集合论基础知识

离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。

在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。

一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。

我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。

（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。

例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。

（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。

例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。

（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。

例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。

二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。

例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。

（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。

例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。

三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。

离散数学第3章-集合与关系

离散数学第3章-集合与关系
（1） 任一对象a，对某一集合A来说，a属于A或a不属于A， 两者必居其一，且仅居其一。并且当a属于A时，称a是A的成
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集

离散数学-集合

离散数学-集合

例题
利用上例中的公式可以证明对称差A⊕B下列的性质。 设A,B是任意的集合。 ① A⊕A = φ ② A⊕φ = A ③ A⊕E = ~A 证明： ① A⊕A = (A-A)∪(A-A) = φ⊕φ = φ ② A⊕φ = (A-φ)∪(φ-A) = A∪φ = A ③ A⊕E = (A-E)∪(E-A)= φ∪~A = ~A
有限集合的计数
例8 某班有50名学生，第一次考试中26人成绩为优，第二次考试中21人 成绩为优，已知两次考试中都不为优的共17人。问两次考试中都为 优的有多少人？ 解：设A，B分别表示第一次和第二次考试中成绩为优的学生集合。 画出文氏图，如图3.7所示。 首先填A∩B中的人数，这正是要求 的，设为x。 A-B中的人数是26-x，B-A中的人数 是21-x，分别填入对应的区域。并 列出如下方程： (26-x)＋x＋(21-x)＋17=50 解得：x=14
对称差
定义3-2.5 设A，B是集合，由 A中元素或B中元素， 但不是A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的对 称差，记为A⊕B。 A⊕B=⎨x|x∈A ∨ x∈B⎬=(A∪B)-(A∩B) A⊕B的定义如图所示。 例6 令A=⎨1,2,3,4⎬，B= ⎨1,2,5,6⎬， 则 A⊕B = A∪B-A∩B = ⎨1,2,3,4,5,6⎬-⎨1,2⎬ = ⎨3,4,5,6⎬
3-2 集合的运算
定义3-2.1 设A，B是集合，由A与B的公共元素组成的集合，称 为A和B的交集，记为A∩B。 A∩B=⎨x|x∈A∧x∈B⎬ 交集的定义如图所示。 从交集的定义可以得到： A∩B⊆A，A∩B⊆B 如果A与B无公共元素，即 A∩B=φ， 称A和B是互不相交的。 例1 令A=⎨a,b,c⎬，B=⎨d,e⎬， 则A∩B=φ，A和B是互不相交的。

离散数学知识点

离散数学知识点

离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。

本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。

1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。

- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。

- 幂集：一个集合所有子集的集合。

- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。

2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。

- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。

- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。

3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。

- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。

- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。

4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。

- 函数的类型：单射、满射和双射。

- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。

5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。

- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。

- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。

6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。

- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。

- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。

7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。

- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。

结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。

它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。

掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。

本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。

集合的基本概念(离散数学)

集合的基本概念(离散数学)

并集
01
并集是将两个或多个集合中的 所有元素合并到一个新集合中 。
02
并集运算可以用符号"∪"表示， 例如，A∪B表示集合A和集合B 的并集。
03
并集运算满足交换律和结合律， 即A∪B=B∪A， (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
交集
01
交集是两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
02
交集运算可以用符号"∩"表示，例如，A∩B表示集合A和集合 B的交集。
集合的运算
并集
两个集合中所有元素的集合。
交集
两个集合中共有的元素组成的集合。
差集
从一个集合中去除另一个集合中的元素后得到的集合。
03
集合的性质
空集
定义
不含有任何元素的集合称为空集。记作∅。
性质
空集是任何集合的子集，即对于任意集合A，都有∅⊆A。
应用
在数学逻辑和集合论中，空集常用于作为其他集合的基底或参考点。
06
集合的应用
在数学中的应用
在概率论中的应用
集合是概率论的基本概念，用来 表示随机事件。概率论中的许多 概念，如事件的并、交、差等， 都是基于集合运算的。
在几何学中的应用
集合论为几何学提供了统一的数 学语言。在几何学中，点、线、 面等基本元素都可以被视为集合。
在逻辑学中的应用
集合论为逻辑学提供了形式化的 工具，使得逻辑推理更加严谨。 集合论中的集合关系和集合运算， 可以用来表示逻辑中的命题和推 理。
并集
两个或多个集合中所有元素的 集合。
集合
由确定的、不同的元素所组成 的总体。
子集
一个集合中的所有元素都属于 另一个集合，则称这个集合是 另一个集合的子集。

离散数学集合.ppt

离散数学集合.ppt

2. 设S , 试判断下列各式是否正 a , 3 , 4 , 确，并将正确的题号填入括号内。
A.
S
B.
S
C.
S
D.
S
A B C
答案：
B P ( P ( A ))，判断下列论断 3. 设 A , 是否正确，并将“Y”或“N”填入相应论断 后面的括号中。
{ a , { a } }, { , a , { a } }}
练习
1. 试判断下列各式是否正确，并将正确的题 号填入括号内。
B. a a ,a a a A. C.
a a , a a a D.
答案： A B D
9. 排中律
10. 矛盾律 11. 余补律 12. 双重否定律 13. 补交转换律
AA=E
AA=
=E, A= A E=
A-B= AB
20
基本集合恒等式(续)
14. 关于对称差的恒等式 (1) 交换律 AB=BA (2) 结合律 (AB)C=A(BC) (3) 对的分配律 A(BC)=(AB)(AC) (4) A=A, AE= ~ A (5) AA=, A ~ A= E
第4章 关系

4.0 集合及相关概念
4.1 关系的定义及其表示
4.2 关系运算
4.3 关系的性质
4.4 等价关系与偏序关系
1
4.0 集合及其运算

集合及其表示法
包含(子集)与相等 空集与全集 集合运算(,, - , ~ , ) 基本集合恒等式 包含与相等的证明方法
~ AB= { x | x是外地走读生}
(A-B) D= { x | x是北京住校生, 并且喜欢听音乐} ~ D ~ B= { x | x是不喜欢听音乐的住校生}

离散数学集合及运算

离散数学集合及运算

离散数学集合及运算离散数学是计算机科学的基本学科之一，也是计算机学习和研究的重要基础。

集合和运算是离散数学中最基本的概念之一，也是计算机学习过程中最基础的概念之一。

本文主要介绍集合及运算的相关概念。

一、集合的定义在数学中，集合是一组确定的对象的集合。

它们可以是数、字母、变量、符号、函数或其他数学实体。

集合是以大写字母表示的，属于这个集合的元素以小写字母表示。

例如，集合A可以包括元素a、b和c，表示为A={a，b，c}。

集合中没有重复的元素，但元素的顺序是不重要的。

例如，集合{a，b，c}和{c，a，b}是相等的，因为它们包含相同的元素。

二、集合的运算1. 并集对于两个集合A和B，它们的并集就是包含A和B的所有元素的集合。

简单而言，对于集合A和B，A ∪ B就是由A和B中的元素组成的集合。

例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A ∪ B={a，b，c，d，e}。

并集也可以扩展到多组集合的情况。

例如，如果有三个集合A、B和C，它们的并集可以表示为A∪B∪C。

2. 交集对于两个集合A和B，它们的交集是指它们共有的元素所组成的集合。

简单来说，如果一个元素同时属于集合A和集合B，那么这个元素就属于A和B的交集。

例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A ∩ B={c}。

同样地，交集也可以扩展到多组集合的情况。

例如，如果有三个集合A、B和C，它们的交集可以表示为A∩B∩C。

3. 补集对于一个集合A和它包含的全集U，它的补集是指所有不属于集合A的元素构成的集合。

简单来说，补集就是相对于全集的补集。

例如，如果集合A={a，b，c}，全集U={a，b，c，d，e}，那么A的补集就是U-A={d，e}。

4. 差集对于两个集合A和B，它们的差集是指所有属于集合A但不属于集合B的元素所构成的集合。

简单来说，差集就是集合A中除了集合B以外的所有元素构成的集合。

例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A-B={a，b}。

《离散数学》第3章 集合

《离散数学》第3章 集合

P ( A) = {φ , A}
第二节 集合的运算 内容： 内容：集合的运算，文氏图，运算律。 重点： 重点：(1) 掌握集合的运算
A ∪ B, A ∩ B, A − B, ~ A, A ⊕ B
(2) 用文氏图表示集合间的相互 关系和运算， (3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。 集合的运算。 集合 A, B 的并集 A ∪ B， 交集 A ∩ B，相对补集
三 包含排斥定理 设A和 B是两个有限集合，则 A ∪ B = A + B − A ∩ B ，
B 其中 A, B 分别表示 A、的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定 理表述： 设A1 , A2 ,⋯ A为有限集合，其元数分别为 A , A ,⋯, A ，则 n
1 2 n
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
5、特殊的集合。 空集 φ 全集 E (或 U )
φ ⊆ A ⊆ E ( A 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。 、 (1) 小于5的非负整数集 (2) 奇整数集合
{x | x ∈ N ∧ x < 5} {x | x = 2n + 1 ∧ n ∈ Z }
{ } (8) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}
(7) {a, b} ⊆ a, b, {{a, b}}
例3、A, B, C 为集合，若 A ∈ B 且B ∈ C ， 、 有可能 A ∈ C 吗，有可能 A ∉ C 吗？ 解：两种情形都有可能。 设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{a}, {{a}}} ， 则 A ∈ B, B ∈ C ，有 A ∈ C 。 又设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{{a}}}， 则 A ∈ B, B ∈ C ，但 A ∉ C 。

离散数学集合论

离散数学集合论

离散概率分布
概率分布
在离散概率论中，概率分布是指随机变量取各个可能 值的概率，通常用表格或函数形式表示。
离散概率分布
离散概率分布是指随机变量只能取离散的数值，并且 每个数值出现的概率是确定的。
常见离散概率分布
常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布、超几何 分布等。
离散统计学的基本概念
总体与样本
在统计学中，总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中抽取的 一部分。
离散数学集合论
汇报人：
202X-12-23
• 集合论基础 • 关系 • 函数 • 集合论的应用 • 离散概率论与离散统计学
01
集合论基础
集合的定义与表示
总结词
集合是由确定的、种，如列举法、描述法等。
详细描述
集合是一个不与任何其他概念交叉的总体。它是由确定的、不同的元素所组成，这些元素之间没有重 复。表示一个集合的方法有多种，如列举法、描述法等。列举法是将集合中的所有元素一一列举出来 ，而描述法则通过给出元素的共同特征来描述集合。
了解社会现象和人类行为。
05
离散概率论与离散统计学
离散概率论的基本概念
离散概率
离散概率是指在离散随机试验中，某一事件 A发生的可能性大小，通常用概率值0和1表 示。
样本空间
在离散随机试验中，所有可能结果的集合称为样本 空间，通常用大写字母表示。
事件
在样本空间中，满足一定条件的样本点的集 合称为事件，通常用小写字母表示。
在经济学中，集合论可以用来研究资源的分 配和市场的供需关系。例如，可以将市场上 的商品看作是集合，商品的价格和数量则是 集合的元素和属性。通过分析这些元素的性 质和关系，可以对市场进行预测和决策。
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以上的 X, Y 代表集合公式
27
命题演算法证 XY
任取 x ， xX … xY 例3 证明AB P(A)P(B) 任取x xP(A) xA xB xP(B) 任取x xA {x}A {x}P(A) {x}P(B) {x}B xB
分配 吸收
与 与 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(AB)=A A(AB)=A
25
吸收律的前提：、可交换
集合运算的算律（续）
D.M 律 双重否定 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC A=A E
集合 没有精确的数学定义 理解：一些离散个体组成的全体 组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示 1.列元素法:列出它的元素，元素之间用逗号分开，再 用花括号括起。 A={ a, b, c, d }
5
集合定义与表示
2.谓词表示法: 用谓词公式来确定集合。即个体域中能使 谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元 素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词 公式，则{x|P(x)}定义了集合B ，并可表为 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 xBP(x)为真 3.文氏图法 常用数集 N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、 实数和复数集合，注意 0 是自然数.
例10 证明以下等价条件 AB AB=B AB=A AB= (1) (2) (3) (4) 证明顺序： (1) (2), (2) (3), (3) (4), (4) (1)
35
(1) (2) 显然BAB，下面证明ABB. 任取x， xAB xAxB xBxB xB 因此有ABB. 综合上述（2）得证. (2) (3) A=A(AB) A=AB （将AB用B代入)
32
命题演算法证明X=Y
任取 x ， xX … xY xY … xX 或者 xX … xY
例8 证明 A(AB)=A （吸收律） 证 任取x, xA(AB) xA xAB xA (xA xB) xA
33
等式替换证明X=Y
8
集合之间的关系
包含（子集）：设A和B是任意两个集合，如果 集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素， 则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者 说B包含A，并记为A B A B x (xA xB)
这表明，要证明AB，只需对任意元素x，有 下式 xAxB 成立即可。
所有计算机系二年级学生都选修离散数学 数学系一年级的学生都没有选修离散数学 数学系学生或爱好文学或爱好体育运动 只有一、二年级的学生才爱好体育运动 除去数学和计算机系二年级学生外都不 选修离散数学 T(MR)S
S：二年级大学生的集合 M：数学系学生的集合
RS T
(MF)T= MLP PFS S(MR)P
6
集合与元素
元素与集合的关系：隶属关系 属于，不属于 实例 A={ x | xRx2-1=0 }, A={-1,1} 1A, 2A 注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)， xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
7
隶属关系的层次结构
例 3.1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
(5) 若 XS3，X S1, 则 X 与 S1, ... , S5 都不等
24
集合运算的算律
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC)
15
3.2 集合的基本运算
集合基本运算的定义 文氏图（John Venn） 例题 集合运算的算律 集合包含或恒等式的证明

16
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
不断进行代入化简，最终得到两边相等 例9 证明A(AB)=A （吸收律） 证 (假设交换律、分配律、同一律、零律成立) A(AB) =(AE)(AB) 同一律 =A(EB) 分配律 =A(BE) 交换律 =AE 零律 =A 同一律
34
反证法证明X=Y
假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 xX且xY， 或者存在 x 使得 xY且xX，然后推出矛盾.
36
(3) (4) 假设AB, 即xAB，那么xA且xB. 而 xB xAB. 从而与AB=A矛盾.
(4) (1) 假设AB不成立，那么 x (xA xB) xAB AB 与条件（4）矛盾.
37
集合运算法证明X=Y
由已知等式通过运算产生新的等式 X=Y XZ=YZ, XZ=YZ，X-Z=Y-Z 例11 证明AC=BC AC=BC A=B 证 由 AC=BC 和 AC=BC 得到 (AC)-(AC)=(BC)-(BC) 从而有 AC=BC 因此 AC=BC (AC)C =(BC)C A(CC) =B(CC) A=B A=B
38
集合的笛卡尔积
笛卡尔积在后面讨论关系有重要应用。 定义 两个元素a,b组成二元组，若它们有 次序之别，称为二元有序组，或有序对， 记为<a, b> ， 称a为第一分量，b为第一分 量。 若ab时，<a, b><b, a>。
其中P(x)为任何谓词公式。
{x | x2+1=0xR} 就是空集
定理 空集是任何集合的子集 A x (xxA) T 推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2
12
空集与全集
空集 不含任何元素的集合
={x|P(x)P(ห้องสมุดไป่ตู้)}
补元律 零律 同一律 否定
AA= A= A=A =E
AA=E AE=E AE=A E=
26
集合包含或相等的证明方法

证明 XY
命题演算法 包含传递法 等价条件法 反证法

证明 X=Y
命题演算法 等式代入法 反证法 运算法
并交运算法
30
反证法证 XY
欲证XY, 假设命题不成立，必存在 x 使得 xX 且 xY. 然后推出矛盾. 例6 证明 AC BC ABC 证 假设 AB C 不成立， 则 x (xABxC) 因此 xA 或 xB，且 xC 若 xA, 则与 AC 矛盾； 若 xB, 则与 BC 矛盾.
相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
14
幂集
定义：一个集合的幂集是指该集合所有子集的 集合，即是由这些子集所组成的集合族。 P(A) = { x | xA } 由定义可知，P(A)，AP(A)。 实例 P() = {}， P({}) = {,{}} P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
绝对补
A = EA
17
文氏图表示
文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成 的图形来形象展示集合的一种方法。全
集U用一个矩形的内部表示，其他集合用
矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积 来表示。
18
如果AB，则表示A的圆面一般将完全落
在表示B的圆面内，如图1中(a)。如果A
与B没有公共元素，那么表示A的圆面将
真包含 ：设A和B是两个集合，若AB且AB， 则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含 A。该定义也可表为 ABABAB 不真包含 AB 思考： 和 的定义 注意 和 是不同层次的问题
11
空集与全集
空集 不含任何元素的集合
={x|P(x)P(x)}
实例
31
利用已知包含式并交运算
由已知包含式通过运算产生新的包含式 XY XZYZ, XZYZ
例7 证明 ACBC ACBC AB 证 ACBC， AC BC 上式两边求并，得 (AC)(AC) (BC)(BC) (AC)(AC) (BC)(BC) A(CC) B(CC) AE BE AB
28
包含传递法证 XY
找到集合T 满足 XT 且 TY，从而有XY 例4 AB AB 证 AB A A AB 所以 AB AB
29
利用包含的等价条件证 XY
A B A B B A B A A-B
例5 ACBC ABC 证 AC AC=C BC BC=C (AB)C=A(BC)=AC=C (AB)C=C ABC 命题得证
23
例2
分别对条件(1)到(5)，确定 X 集合与下述那些集合相等。 S1 = { 1, 2, …, 8, 9 }, S2= { 2, 4, 6, 8 }, S3= { 1, 3, 5, 7, 9 }, S4 = { 3, 4, 5 }, S5= { 3, 5 } (1) 若 XS3=, 则 X = S2 (2) 若 XS4, XS2=, 则 X = S5 (3) 若 XS1，X S3, 则 X = S1, S2, S4 (4) 若 XS3=, 则 X = S3, S5
集合论
1
集合论部分
第3章 第4章
集合的基本概念和运算 二元关系和函数
2
第3章 集合的基本概念和运算

3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算 3.3 集合中元素的计数
3
3.1 集合的基本概念


集合的定义与表示
集合与元素 集合之间的关系 空集 全集 幂集