47中八年级数学期中考试2013

2013中考综合题（一季-等腰三角形）（共七季）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．（1）填空：D点坐标是（ 2 ，0 ），E点坐标是（ 2 ， 2 ）；（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．MN=4CM=MN=4，解得：﹣MN=4，MN=4）6+b=444=，=，∴BN===，=，∴BN==•，2.如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l ：433+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，一个高为3的等边三角形ABC ，边BC 在x 轴上，将此三角形沿着x 轴的正方向平移.（1）在平移过程中，得到111C B A ∆，此时顶点1A 恰落在直线l 上，写出1A 点的坐标 ；（4分）（2）继续向右平移，得到222C B A ∆，此时它的外心P 恰好落在直线l 上，求P 点的坐标；（4分）（3）在直线l 上是否存在这样的点，与（2）中的2A 、 2B 、2C 任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在， 求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4分）（1）()3,31A（2）设()y x P ,,连接P A 2并延长交x 轴于点H ,连接P B 2 在等边三角形222C B A 中,高32=H A ∴3222=B A ，32=HB∵点P 是等边三角形222C B A 的外心∴302=∠H PB ，∴1=PH 即1=y 将1=y 代人433+-=x y ，解得：33=x ∴()1,33P（3）点P 是222C B A ∆的外心，∵22PB PA = 22PC PB = 22PA PC = 22B PA ∆，22C PB ∆，22C PA ∆是等腰三角形 ∴点P 满足条件，由（2）得()3,33P 由（2）得：()0,342C ，点2C 满足直线l ：433+-=x y 的关系式. ∴点2C 与点M 重合. ∴302=∠PMB 设点Q 满足条件，22B QA ∆，22QC B ∆，22QC A ∆能构成等腰三角形.此时22QB QA = 222C B Q B = 222C A Q A =作x QD ⊥轴于D 点，连接2QB∵322=QB ，60222=∠=∠PMB D QB ∴3=QD ，∴()3,3Q………………………………10分设点S 满足条件，22B SA ∆，S B C 22∆，S A C 22∆能构成等腰三角形. 此时22SB SA = S C B C 222= S C A C 222= 作⊥SF x 轴于F 点∵322=SC ，30222=∠=∠PMB B SC ∴3=SF∴()3,334-S ………………………………11分 设点R 满足条件，22B RA ∆，R B C 22∆，R A C 22∆能构成等腰三角形. 此时22RB RA = R C B C 222= R C A C 222= 作⊥RE x 轴于E 点∵322=RC ，3022=∠=∠PMB E RC ∴3=ER∴()3,343-+R答：存在四个点，分别是()1,33P ，()3,3Q ，()3,334-S ，()3,343-+R………………………………………………………………12分3．如图，已知直线y ＝3x －3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与A 点不重合)． (1)求抛物线的解析式： (2)求△ABC 的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M 的坐标.解：（1）求出A （1，0），B （0，－3）……………………1分 把A 、B 两点的坐标分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 得 ⎩⎨⎧-==++301c c b 解得：b ＝2，c ＝－3…………………………3分 ∴抛物线为：y ＝x 2＋2x －3…………………4分 （2）令y ＝0得：0＝x 2＋2x －3 解之得：x 1＝1，x 2＝－3所以C （－3，0），AC ＝4…………………6分 S △ABC ＝分86342121⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⨯⨯=⋅OB AC （3）抛物线的对称轴为：x ＝－1，假设存在M （－1，m ）满足题意 讨论： ①当MA ＝AB 时 10222=+m6±=m∴M 1（－1，6），M 2（－1，－6）……………………10分 ②当MB ＝BA 时 10)3(122=++m∴M 3＝0，M 4＝－6……………………………………10分 ∴M 3（－1，0），M 4（－1，－6）……………………12分 ③当MB ＝MA 时222)32=m+m+(12+m＝－1∴M5（－1，－1）……………………………………13分答：共存在五个点M1（－1，6），M2（－1，－6），M3（－1，0），M4（－1，－6），M5（－1，－1），使△ABM为等腰三角形……………………………………14分4. 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。

2013中考综合题（七季-圆的问题）（共七季）1.如图，直线y=﹣x+2分别与x、y轴交于点B、C，点A（﹣2，0），P是直线BC上的动点．（1）求∠ABC的大小；（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．x+2中，令），=））∠AQO=2.如图12，在平面直角坐标系中，圆D 与y 轴相切于点C(0,4)，与x 轴相交于A 、B 两点，且AB=6.（1）则D 点的坐标是（ ， ），圆的半径为 ； （2）sin ∠ACB= ；经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式 ； （3）设抛物线的顶点为F,证明直线FA 与圆D 相切；（4）在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使CB N ∆面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标.解：（1）（5，4）------------1分 5------------2分（2）sin ∠ACB=53，425412+-=x x y --------------4分（3）证明：因为D 为圆心，A 在圆周上，DA=r=5,故只需证明90DAF ∠=︒，图12NP抛物线顶点坐标：F 9(5,)4-,925154,444DF AF =+===， （5分）所以22222215625255416490DA AF DF DAF ⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴∠=︒所以AF 切于圆D 。

（6分）（4） 存在点N ，使CBN ∆面积最小。

设N 点坐标（a,425412+-a a ）,过点N 作NP 与y 轴平行，交BC 于点P 。

可得P 点坐标为（a,421+-a ） ----------------7分 ∴NP=421+-a -（425412+-a a ）=a a 2412+- ∴S △BCN =S △BPN +S △PCN =21×BO ×PN=21×8×（a a 2412+-）=16-(a-4)2 -----------8分当a=4时，S △BCN 最大，最大值为16。

2013中考综合题（五季-相似问题）（共七季）1.如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线PA 的解析式为：y=kx+3。

(1) 设点P 的纵坐标为p ，写出p 随变化的函数关系式。

(2)设⊙C 与PA 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP 。

请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明； (3)是否存在使△AMN 的面积等于2532的k 值？若存在，请求出符合的k 值；若不存在，请说明理由。

解：（1）、∵y 轴和直线l 都是⊙C 的切线 ∴OA ⊥AD BD ⊥AD 又∵ OA ⊥OB∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90° ∴四边形OADB 是矩形 ∵⊙C 的半径为2 ∴AD=OB=4 ∵点P 在直线l 上 ∴点P 的坐标为（4，p ）又∵点P 也在直线AP 上 ∴p=4k+3 （2）连接DN∵AD 是⊙C 的直径 ∴ ∠AND=90° ∵ ∠AND=90°-∠DAN ，∠ABD=90°-∠DAN ∴∠AND=∠ABD又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN …………4分 ∵∠MAN=∠BAP …………5分 ∴△AMN ∽△ABP …………6分 (3)存在。

…………7分 理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3 AB=5342222=+=+BD AD∵ S △ABD= 21AB ²DN=21AD ²DB ∴DN=AB DB AD ∙=512534=⨯ ∴AN 2=AD 2-DN 2=25256)512(422=-∵△AMN ∽△ABP ∴2)(AP AN S S AMNAMN =∆∆ 即222)(APS AN S AP AN S ABP ABP AMN ∆∆∆∙=∙= ……8分 当点P 在B 点上方时，∵AP 2=AD 2+PD 2= AD 2+(PB-BD)2=42+(4k+3-3)2=16(k 2+1) 或AP 2=AD 2+PD 2= AD 2+(BD-PB)2=42+(3-4k-3)2=16(k 2+1) S △ABP=21PB ²AD=21(4k+3)³4=2(4k+3) ∴2532)1(25)34(32)1(1625)34(22562222=++=+⨯+⨯=∙=∆∆k k k k AP S AN S ABP AMN整理得k 2-4k-2=0 解得k 1 =2+6 k 2=2-6 …………9分 当点P 在B 点下方时，∵AP 2=AD 2+PD 2=42+(3-4k-3)2=16(k 2+1)S △ABP=21PB ²AD=21[-(4k+3)]³4=-2(4k+3) ∴2532)1(1625)34(2256222=+⨯+⨯-=∙=∆∆k k AP S AN S ABP AMN化简，得k 2+1=-（4k+3） 解得k=-2综合以上所得，当k=2±6或k=-2时，△AMN 的面积等于2532…10分2.如图，已知点A （0，4），B （2，0）． （1）求直线AB 的函数解析式；（2）已知点M 是线段AB 上一动点（不与点A 、B 重合），以M 为顶点的抛物线()n m x y +-=2与线段OA 交于点C .① 求线段AC 的长；（用含m 的式子表示） ② 是否存在某一时刻，使得△ACM 与△AMO 相似？ 若存在，求出此时m 的值.解：（1）设直线AB 的函数解析式为：y=kx+b∵点A 坐标为（0，4），点B 坐标为（2，0） ∴⎩⎨⎧=+=04b 2k b ²²²²²²²²²²²² 2分解得：⎩⎨⎧=-=42b k即直线AB 的函数解析式为 y=－2x+4 ²² 4分 （2）① 依题意得抛物线顶点M （m , n ）∵在点M 在线段AB 上，∴n =－2m+4 ²²² 5分当x ＝0时，代入()n m x y +-=2得n m y +=2 ²²²²²²²²²²²²²² 6分 ∴422+-=m m y 即C 点坐标为（0, 422+-m m ） ²²²²²²²²²² 7分 ∴AC ＝OA －OC ＝4－（422+-m m ）＝m m 22+- ²²²²²²²²²²²²² 8分 ② 答：存在 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 9分 作MD ⊥y 轴于点D ，则D 点坐标为（0，42+-m ）∴AD ＝OA －OD ＝4－(42+-m )＝2m ²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 10分 ∵M 不与点A 、B 重合，∴0＜m ＜2又∵MD ＝m ，∴m MD AD AM 522=+= ²²²²²²²²²²²²²²²² 11分（第26题图）（第26题图）(另解：在Rt△AOB 中，根据勾股定理得5241622=+=+=OB OA AB 又∵DM ∥OB ，∴ABAMAO AD =，∴m m AO AD AB AM 54252=⨯=⋅= ²² 11分) ∵在△ACM 与△AMO 中，∠CAM ＝∠MAO ，∠MCA ＞∠AOM ²²²²²²²²²²² 12分 ∴设△ACM ∽△AMO ∴AOAMAM AC =²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 13分 即45522m mmm =+-，整理，得 0892=-m m 解得98=m 或0=m （舍去） ∴存在一时刻使得△ACM 与△AMO 相似，且此时98=m ²²²²²²²²²²² 14分3、如图1，已知菱形ABCD 的边长为，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（3），抛物线y=ax 2+b （a≠0）经过AB 、CD 两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t ）①当t=1时，△ADF 与△DEF 是否相似？请说明理由；②连接FC ，以点F 为旋转中心，将△FEC 按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t 的取值范围．（写出答案即可）解：（1）由题意得AB 的中点坐标为（﹣，0），CD 的中点坐标为（0，3）， …………………………2分 分别代入y=ax 2+b 得，解得，，∴y=﹣x 2+3． ……………………………3分 （2）①如图2所示，在Rt△BCE 中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°∴EC=BC=，DE=……………………………4分又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°∴∠ADC=180°﹣60°=120°……………………………5分 ∵t=1, ∴B 点为(1,0) ∴F(1,2) ,E(1,3)∴EF=1 ……………………………6分 在Rt △DEF 中 tan ∠EDF=3331==DE EF ∴∠EDF=300∴∠ADF=∠ADC —∠EDF=1200—300=900∴∠ADF=∠DEF∴DF=2EF=2……………………………7分 又∵3232==DF AD ,313==EF DE ∴EFDEEF AD =∴△ADF∽△DEF……………………………8分 ②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x 轴，分别交抛物线、x 轴于点M 、点N ．观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE 且MN≥C′N． ∵F（t ，3﹣t 2），∴EF=3﹣（3﹣t 2）=t 2，∴EE′=2EF=2t 2， 由EE′≤BE，得2t 2≤3，解得t≤．∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t ﹣，∴MN=3﹣（t ﹣）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t 2，由MN≥C′N，得3﹣（t ﹣）2≥3﹣2t 2，解得t≥．∴t的取值范围为：．……………………………11分4.如图，已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E 分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．﹣x+x+中，令y=）．，∴∠OAB=60°，∴EF==t．时，四边形=，t=∴BE=t=BE=），））代入得：b=x+，+）在抛物线上，=a+a=（+x+．t=∴BE=t=，），））代入得：，x+，∴M（+）在抛物线上，=a+a==x+y=x+或x+．5．已知抛物线y= x2－2x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（－1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连结AC，BD，并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（－4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC 于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．解：（1）把x=－1，y=0代入22y x x c=-+得1＋2＋c=0，∴c=－3 ………………………………………………………………1分∴()222314y x x x=--=--∴顶点D的坐标为（1，－4）………………………………………………………3分（2）如图1，连结CD、CB,过D作DF⊥y轴于F点，由2230x x--=得x1=－1，x2=3，∴B（3,0）．当x=0时，2233y x x=--=-．∴C（0,－3），∴OB=OC=3，∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=4分又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD，∴∠BCD=180°－∠OCB－∠FCD =90°．∴∠BCD=∠COA．…………………………………5分11,=33CD OACB OC又∴=CD OACB OC，∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD=∠OCA．…………………………6分又∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，∴∠E=∠OCB=45°．……………………7分图1(3)如图2，设直线PQ 交y 轴于N 点，交BD 于H 点，作DG ⊥x 轴于G 点． ∵∠PMA =45°，∴∠EMH =45°，∴∠MHE =90∴∠PHB =90°，∴∠DBG +∠OPN =90°．又∠ONP +∠OPN =90°，∴∠DBG =∠ONP ， 又∠DGB =∠PON =90°，∴△DGB ∽△PON ， ∴2==44BG ON ONDG OP ,即， ∴ON =2，∴N （0，－2）．…………………………10分 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则由40,2.k b b ì-+=ïïíï=-ïî 解得k =－12，b =－2， ∴122y x =--． 设Q （m ，n ）且n <0，∴122n m =--． 又Q （m ，n ）在223y x x =--上，∴223n m m =--，∴212232m m m --=--，解得1212,2m m ==-， ∴1273,4n n =-=-，∴点Q 的坐标为（2，－3）或（－12，－74）.6.如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB ＝10cm ，BC ＝12cm ．点E ，F ，G 分别从A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点F 的运动速度为3cm ／s ，点G 的运动速度为1.5cm ／s ．当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB'F ，设点E ，F ，G 运动的时间为t （单位：s ）．(1)当t ＝ ▲ s 时，四边形EBFB'为正方形；(2)若以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值； (3)是否存在实数t ，使得点B'与点O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；(2)分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF，则有，即，解得：t=﹣14﹣2(不合题意，舍去)或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=(﹣14+2)s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．(3)假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+(6﹣3t)2=(3t)2解得：t=；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+(5﹣t)2=(10﹣t)2解得：t=3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x 轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．»AB的长；（1）当∠AOB＝30°时，求（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图解：（1）连结BC ,∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5, ∵∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°, ∴»AB 的长=35180560ππ=⨯⨯; ………………………………………………3分 （2）连结OD, ∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°, 又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线；……………………………………………………4分∴OD =OA =10, 在Rt △ODE 中，OE ==-22DE OD 681022=-,∴AE =AO －OE=10－6=4，………………5分由 ∠AOB =∠ADE =90°－∠OAB ，∠OEF =∠DEA ，得△OEF ∽△DEA ，∴OE EF DE AE =,即684EF=，∴EF =3； （3）设OE =x ，①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ，当∠ECF =∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC 中点，即OE =25， ∴E 1（25，0）；…………………………………………………………………8分 当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5－x , AE =10－x ，∴CF ∥AB ,有CF =12AB ,∵△ECF ∽△EAD, ∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-，解得：310=x , ∴E 2（310，0）；………9分 ②当交点E 在点C 的右侧时，∵∠ECF ＞∠BOA ， ∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ，连结BE ，∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线， ∴BE =AB =BD ，∴∠BEA =∠BAO,∴∠BEA =∠ECF,∴CF ∥BE ，∴OEOCBE CF =,∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED ，∴CF CE AD AE =， 而AD =2BE ，∴2OC CEOE AE=， 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0（舍去）， ∴E 3（41755+，0）； …………………………………………9分 ③当交点E 在点O 的左侧时，∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF .∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO 连结BE ，得BE =AD 21=AB ，∠BEA =∠BAO ， ∴∠ECF =∠BEA, ∴CF ∥BE ，∴OEOCBE CF =, 又∵∠ECF =∠BAO ，∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED ， ∴ADCFAE CE =， 而AD =2BE ， ∴2OC CE OE AE =, ∴5+5210+x x x=， 解得417551+-=x , 417552--=x ＜0（舍去），∵点E 在x 轴负半轴上，∴E 4（41755-，0）； 综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为：1E （25，0）、2E （310，0）、3E （41755+，0）、4E （41755-，0）．8．如图，抛物线与x 轴交于A ()0,1 、)03(，-B 两点，与y 轴交于点C (),3,0设抛物线的顶点为D .（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标. （2）试判断△BCD 的形状,并说明理由.（3）探究坐标轴上是否存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似? 若存在,请直接写出点P解:(1)设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2由抛物线与y 轴交于点)3,0(C ,可知3=c .即抛物线的解析式为32++=bx ax y .把点A ()0,1、点)03(，-B∴抛物线的解析式为∵2--=x y ∴顶点D (2) △BCD 理由如下：解法一：过点D 分别作x 分）∵在Rt △BOC 中，3=OB 在Rt △CDF 中，，，1341=-=-==OC OF CF DF ∴2222=+=CF DF CD 在Rt △BDE 中，，4-==OB BE DE∴2BC +∴△BCD 解法二：过点D 作DF 在Rt △BOC ∴OC OB = ∴ 45=∠OCB∵在Rt △CDF 中，=DF∴CF DF = ∴ 45=∠DCF ………………………………………………（9分）∴-=∠ 180BCD DCF ∠－ 90=∠OCB∴△BCD 为直角三角形. ………………………………………………………（10分） （3）坐标轴上存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似. …（11分）符合条件的点P 的坐标为：)09(),310(),00(321，，，--P P P .……………………9.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点， OA =1，tan ∠BAO =3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ． （1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ．①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标．②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)在Rt △AOB 中，OA=1，tan ∠BAO==3，∴OB=3OA=3．∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的， ∴△DOC ≌△AOB ， ∴OC=OB=3，OD=OA=1，第24题备用图∴A、B、C的坐标分别为(1，0)，(0，3)(﹣3，0)．代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；(2)①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点的坐标为(﹣1，0)．如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P(﹣1，4)；当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM．∵P的横坐标为t，∴P(t，﹣t2﹣2t+3)．∵P在二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t)，解得：t1=﹣2，t2=﹣3(与C重合，舍去)，∴t=﹣2时，y=﹣(﹣2)2﹣2³(﹣2)+3=3．∴P(﹣2，3)．∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：(﹣1，4)或(﹣2，3)；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为(t，t+1)，∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣(t+1)=﹣t2﹣+2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD=PM•CM+PN•OM=PN(CM+OM)=PN•OC=³3(﹣t2﹣+2)=﹣(t+)2+，∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为．10.已知，如图(a)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0)，C(0,-2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°，|x1-x2|=8. （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得⊿ABP与⊿ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b ）,点Q 为上的动点（Q 不与E 、F 重合），连结AQ 交y 轴于点H ，问：AH²AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.），的坐标为（即抛物线顶点时，当抛物线解析为：，解得：），，（抛物线过点又，解析式为：两点，所以可设抛物线、抛物线过），）、（，的坐标分别为（、点分中，在是切线，，连结解：圆的半径）（............................... .38-2,382232461261232-- .23261)6)(2(61.61)60)(20(-22-0)6)(2(y . .0602-B A ,6,22.......1.......... ,8.,60. 4,30.. 4282||2r 120021D y x x x x x y a a C x x a B A OB OA OM MN EMN ME MA ONE MNE Rt NE ME NE ME x x AB -=-⨯-⨯==⨯=∴--=-+=∴=-+=∴-+=∴==∴=∴==∠∴===∠∆⊥∴==-==(2）如图，由抛物线的对称性可知：BD AD =，DBA DAB ∠=∠．相似，与使侧图像上存在点若在抛物线对称轴的右ADB ABP P ∆∆,必须有BAD ∠=∠=∠BPA BAP ． 设AP 交抛物线的对称轴于D′点， 显然)38,2(D '，∴直线OP 的解析式为3432+=x y ， 由2326134322--=+x x x ，得10,221=-=x x （舍去）. ∴)8,10(P . 过P 作,G x PG 轴，垂足为⊥,8,4==∆PG BG BGP Rt 中，在∵8548422≠=+=PB∴BPA BAP .∠≠∠∴≠AB PB ．．∴PAB ∆与BAD ∆不相似， …………………………9分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点．所以在该抛物线上不存在点P ，使得与PAB ∆与相似．…………………… 10分(3)连结AF 、QF, 在AQF ∆和AFH ∆中， 由垂径定理易知：弧AE=弧AF.∴AFH ∠=∠AQF , 又HAF ∠=∠QAF , ∴AQF ∆∽AFH ∆,AFAHAQ AF =∴, 2AF AQ AH =⋅∴ ……………… 12分在Rt△AOF 中，AF 2＝AO 2＋OF 2＝22＋(23)2＝16（或利用AF 2＝AO²AB＝2³8＝16）∴AH²AQ＝16即：AH²AQ 为定值。

B16925初二数下学期学期中考试第一部分：答案写在“第二部分“试卷上 一、单项选择题。

（每题3分，共30分） 1．当分式13-x 有意义时，字母x 应满足 A.0x = B. 0x ≠C. 1x = D ．1x ≠2．医学研究发现一种新病毒的直径约为0.000043毫米，•则这个数用科学记数法表示为 毫米。

A. 0.43×10-4B ．0.43×104C ．4.3×10-5D ．4.3×1053．已知反比例函数xky =的图象经过点(1,—2),则k 的值可确定为 A. －2B.21C ．2 D. 21-4．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B 所代表的正方形的面积是 A ．12 B ．13 C ．144 D ．194 5．根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为 A ．a a b-- B ．a a b - C ．－a a b - D ．a a b +6．如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长ycm 与宽xcm 之间的函数关系用图象表示大致是A B C D 7．将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后，得到的三角形 A ．可能是锐角三角形 B ．仍是直角三角形 C ．可能是钝角三角形 D ．不能确定是什么三角形8．某次试验中,测得两个变量v 和m 的对应数据如下表,则v 和m 之间的关系最接近下列函数中的A ．v=m 2－2 B ．v=－6m C ．v=－3m －1 D ．v=m6-9．已知反比例函数y=xk的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A(72-，y 1)、B(5，y 2)，则y 1与y 2yxO yxO yxO y xO的大小关系为 A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．无法确定10．若分式方程424-+=-x ax x 的解为正数，则a 的取值范围是 A ．4>aB ．8>aC ．4<aD ．4a 8≠<且a二、填空题（每小题3分, 满分18分） 11．当x=__ ___时,分式123+-x x 的值为零。