八年级上期中考试--数学(解析版)

2023-2024学年度第一学期第一次质量检测八年级数学试卷试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟．答题前，学生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡．．．上；答案必须写在答题卡．．．各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡．．．交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1. 下列图形一定是轴对称图形的是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义项判定即可．【详解】解：A 、锐角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；B 、直角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、钝角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、等腰三角形一定是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形．解此题的关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴．2. 某蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（ ）A. 60.1610−×B. 51.610−×C. 41.610−×D. 41610−× 【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a −×，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：50.000016 1.610-=⨯；故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a −×，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3. 下列几组数中是勾股数的一组是（ ）A. 3，4，6B. 1.5，2，2.5C. 9，12，15D. 6，8，13 【答案】C【解析】【分析】根据“勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方”逐个选项判断即可．【详解】解：A 、222346+≠，不是勾股数，故本选项不符合题意；B 、1.5和2.5不是正整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意；C 、22291215+=，是勾股数，故本选项符合题意；D 、2226813+≠，不是勾股数，故本选项不符合题意；故选C4. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ．若163∠=°，则2∠的度数是（）A. 37°B. 63°C. 117°D. 127° 【答案】B【解析】【分析】根据对顶角相等解答即可．【详解】解：1∠ 和2∠是对顶角，12∴∠=∠，163∠=° ，263∴∠=°，故选：B ．【点睛】本题考查的是对顶角，熟记对顶角相等是解题的关键．5. 以下事件属于必然事件的是（ ）A. 同一年出生的370人中至少有两人的生日相同B. 早上的太阳从西方升起C. 两边及一角分别相等的两个三角形全等D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数【答案】A【解析】【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．【详解】A ．同一年出生的370人中至少有两人的生日相同是必然事件，符合题意；B ．早上的太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意；C ．两边及一角分别相等的两个三角形全等是随机事件，不符合题意；D ．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数是随机事件，不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 6. 某商户在元旦假期进行促销活动时，将一件标价80元的衬衫，按照八折销售后仍可获利10元，设这件衬衫的成本为x 元，根据题意，可列方程（ ）A. ()800.810x x −×−=B. ()800.810x x −×=−C. 800.810x ×=−D. 800.810x ×−=【答案】D【解析】 【分析】根据题意找出题中存在的等量关系：售价﹣成本价＝利润，列方程即可．【详解】解：设这件衬衫的成本为x 元，根据题意，可列方程：800.810x ×−=，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应重点弄清两点：（1）利润、售价、成本价三者之间的关系；（2）打八折的含义．7. 满足下列条件的ABC ，不是直角三角形的是（ ）A. A B C ∠=∠−∠B. ::1:1:2A B C ∠∠∠=C. 222b a c =−D. ::1:1:2a b c =【答案】D【解析】【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或当两边的平方和等于第三条边的平方时，可得出它是直角三角形，对每个选项分别判定即可．【详解】解：A 、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A = ∠B-∠C ，∴∠B=90°，∴△ABC 是直角三角形； B 、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，∴∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，∴△ABC 是直角三角形；C 、∵a 2-c 2=b 2，∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形．D 、a ：b ：c=1：1：2，设a=x ，那么b=x ，c=2x ，a 2+b 2=2x 2，c 2=4x 2，∴a 2+b 2≠c 2，∴△ABC 不是直角三角形；故选：D ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用此定理是解决问题的关键．8. 在下列图形中，正确画出△ABC 的边BC 上的高的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可．【详解】A 、画出的是△ABC 的边AB 上的高，故不合题意；B 、画出的不是△ABC 任一边上的高，故不合题意；C 、画出的△ABC 的边BC 上的高，故符合题意；D 、画出的是△ABC 的边AC 上的高，故不合题意；故选：C的【点睛】本题考查了画三角形的边上的高，理解三角形的高的含义是正确画出高的前提．9. 如图，点E 、F 在直线AC 上，AE CF =，AD BC =．要使ADF CBE △≌△，还需要添加一个条件，给出下列条件：①A C ∠=∠；②BE DF =；③BE DF ∥；④AD BC ∥，其中符合要求的是（ ）A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④【答案】D【解析】 【分析】在ADF △与CBE △中，AE CF =，AD CB =，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．【详解】解：①添加A C ∠=∠，由全等三角形的判定定理SAS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意．②添加BE DF =，由全等三角形的判定定理SSS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意． ③添加BE DF ∥，可得到=B E C A FD ∠∠，不能判定ADF CBE △≌△，故本选项不合题意． ④添加AD BC ∥，可得到A C ∠=∠，由全等三角形的判定定理SAS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10. 如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）A. 254cmB. 152cmC. 7cmD. 132cm【答案】A【解析】【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm在Rt△AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm， 222(8)6x x =−+254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.二、填空题（本大题53分，共15分）11. 汽车开始行驶时，邮箱中有油60升，如果每公里耗油0.12升，则油箱内剩余油量y （升）与行驶路程x （公里）的关系式为 _______________．【答案】600.12y x =− 【解析】【分析】读懂题意，剩油量=原有油量-工作时间内耗油量，把相关数值代入即可．列出关于变量x y 、的关系式．【详解】解：由题意得：600.12y x =−． 故答案为：600.12y x =−． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是读懂题意，掌握两个变量之间的关系．12. 某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果（部分数据）如表所示： 种子个数n 100 200 400 600 800 1000则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为______（精确到0.01）；【答案】0.90【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复试验下种子能发芽的频率的稳定值即为种子能发芽的概率，据此求解即可．【详解】解：观察表格发现随着试验次数的增多种子发芽的频率逐渐稳定在0.90附近，∴任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为0.90．故答案为：0.90．13. 若长方形的面积是32693a a ab +−，其中一边长是3a ，则它的邻边长是______．【答案】223a a b +−【解析】【分析】根据长方形面积公式即可列出式子，计算即可解答．本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．【详解】解：邻边长为：322(693)323a a ab a a a b +−÷+−，故答案为：223a a b +−．14. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点1C 处（三条棱长如图所示），问最短路线长为_________．【答案】5【解析】【分析】长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，可求出解．【详解】如图1，当展开的长方形的长是AC=4+2=6，宽是11CC =，路径长为1AC =如图2，当展开的长方形的长是AB=4，宽是1213BC =+=，路径长为15AC =；如图3，当展开的长方形的长是1415C D =+=，宽是AD=2，路径长为1AC ==故沿长方体的表面爬到对面顶点1C 处，只有图2最短，其最短路线长为：5．故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，展成平面，确定起点和终点的位置，根据两点之间线段最短从而可求出解．15. 如图，ABC 中，点D 、E 分别是AB BC 、的中点，连接AE CD 、交于点F ，当AFD △的面积为72时，ABC 的面积为 _______．【答案】21【解析】【分析】根据D 、E 分别是AB BC 、的中点，得到12ABE ACE ABC ADC BDC S S S S S ====，△△△△△72AFD BFD CEF BEF S S S S ===，，△△△△进行等面积转换即可求解； 【详解】解：连接BF ，∵D 、E 分别是AB BC 、的中点， ∴1722ABE ACE ABC ADC BDC AFD BFD CEF BEF S S S S S S S S S =======，，，△△△△△△△△△ ∴72CEF AFD BFD BEF S S S S ====，△△△△， ∴2132ABE AFD S S ==△△ ∴21ABC S = ，故答案为：21．【点睛】本题主要考查根据三角形的中线求面积，掌握三角形中线的性质，应用等底等高等面积转换即可解题．三、解答题一（本大题共3小题，每题8分）16. 计算：102991001(2022)(1)10103− −−+−+÷ ． 【答案】910−【解析】 【分析】本题是幂的混合运算，根据()10110,13133a a − =≠== ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，结合乘方法则计算即可． 详解】102991001(2022)(1)10103− −−+−+÷ 9910013110−=−++1110−=−+【1110=−+ 910=−． 17 先化简，再求值：()()()222x y x y x y x +++−−，其中=1x −，2y =．【答案】244x xy +，4−【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：()()()222x y x y x y x +++−− 2222244x y xy x y x +++−−244x xy +当1x =−，2y =时，原式()()2414124=×−+×−×=−．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值得方法． 18. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）已知：如图，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠．证明：∵12∠=∠（已知）， 13∠=∠（_______）， ∴23∠∠= （等量代换），∴BD CE ∥（_______）， ∴______D ∠=∠（_______）， 又∵C D ∠=∠（已知）， ∴____C ∠=∠（等量代换）， ∴_______∥_______（_______）， ∴A F ∠=∠（_______）． .【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；DF ；AC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【解析】【分析】因为13∠=∠，12∠=∠，所以23∠∠=，由同位角相等证明BD CE ∥，则有4D ∠=∠，又因为C D ∠=∠，所以4C ∠=∠，由内错角相等证明DF AC ∥，故可证明A F ∠=∠．【详解】证明：∵12∠=∠（已知）， 13∠=∠（对顶角相等）， ∴23∠∠= （等量代换），∴BD CE ∥（同位角相等，两直线平行）， ∴4D ∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 又∵C D ∠=∠（已知）， ∴4C ∠=∠（等量代换）， ∴DF AC ∥， ∴A F ∠=∠（两直线平行，内错角相等）． 【点睛】此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．四、解答题二（本大题共3小题，每题9分）19. 已知ABC DCB ∠=∠，A D ∠=∠，那么ABC 与DCB △全等吗？请说明理由．【答案】全等，理由见解析【解析】【分析】利用AAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：全等，理由是：在ABC 和DCB △中，A D ABC DCB BC CB ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS ABC DCB ≌．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．20. 某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s （米）与小明出发的时间t （秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（2）求小明和朱老师的速度；（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米．【答案】（1）t ，s （2）朱老师的速度为2米/秒，小明的速度为6米/秒（3）2，300和420【解析】【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；（2）根据速度=路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度；（3）根据函数图象即可得到结论．【小问1详解】观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t ，因变量为距起点的距离s ．故答案为：t ，s ；【小问2详解】朱老师的速度为：(300200)502−÷=（米/秒）； 小明的速度为：300506÷=（米/秒）． 答：朱老师的速度为2米/秒，小明的速度为6米/秒；【小问3详解】由图象得：小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点的距离分别为300和420米，故答案为：2，300和420．【点睛】本题考查了函数的图象，观察函数图象找出点的坐标是解题的关键．21. 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．（1）观察图1，写出代数式()2a b +，()2a b −，ab 之间的等量关系：__________； （2）若6x y +=，4xy =，则22x y +=________；()2x y −=______； （3）如图2，边长为5的正方形ABCD 中放置两个长和宽分别为m ，n （5m <，5n <）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积123S S S ++的值．【答案】（1）()()224a b a b ab +−−=（2）28，20 （3）10【解析】【分析】（1）根据图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，也可以表示为大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积进行求解即可；（2）先根据完全平方公式求出22236x xy y ++=，再代入4xy =，即可求出22xy +的值，再根据（1）的结论求出()2x y −的值即可；（3）由题意得，()5555ED m HG n m m n BQ n =−=−−=+−=−，，，根据长方形面积和周长得到68.5m n mn +==，，进而得到2219m n +=，再根据正方形面积公式求出()221231051S S S m n m n ++=+-++，代值计算即可得到答案．【小问1详解】解：图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，即4ab ；图1中右边一幅图空白部分面积可以表示大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积，即()()22a b a b +−−； ∴()()224a b a b ab +−−=，故答案为：()()224a b a b ab +−−=；【小问2详解】 解：∵6x y +=， ∴()22636x y +==，∴22236x xy y ++=又∵4xy =，∴22836x y ++=，∴2228x y +=，∵()()224x y x y xy +−−=，∴()()224364420x y x y xy −+−−×，故答案为：28，20；【小问3详解】解：如图所示，由题意得，()5555ED m HG n m m n BQ n =−=−−=+−=−，，，∵长方形的周长为12，面积为8.5， ∴1268.52m n mn +，， ∴()2222361719m n m n mn +=+-=-=∴()()()222123555S S S mm n n ++=-++-+- ()()()2225655m n =-+-+-22102511025m m n n =-+++-+()221051m n m n =+-++1910651=-⨯+10=．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及其在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．五、解答题三（本大题共2小题，每题12分）22. （1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，半圆面积分别记为1S ，2S ，则12=S S +______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN 表示一条铁路，A ，B 是两个城市，它们到铁路所在直线MN 的垂直距离分别为40AC =千米，60BD =千米，且80CD =千米．现要在CD 之间建一个中转站O ，求O 应建在离C 点多少千米处，才能使它到A ，B 两个城市的距离相等．【答案】（1）见解析；（2）92π；（3）O 应建在离C 点52.5千米处． 【解析】【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S 1+S 2等于以斜边为直径的半圆面积；（3）设CO=xkm ，则OD=（80-x ）km ，在Rt △AOC 和Rt △BOD 中，利用勾股定理分别表示出AO 和BO 的长，根据AO=BO 列出方程，求解即可．【详解】（1）由面积相等可得2111()()2222a b a b ab c ++=×+， ∴2()()2a b a b ab c ++=+，的∴22222a ab b ab c ++=+，∴222+=a b c ．（2）2118S AC π= ，2218S BC π=， ∴()22212 119882S S AC BC AB πππ+=+==． 故答案为：92π （3）设CO x =千米，则()80-OD x =千米．∵O 到A ，B 两个城市距离相等，∴AO BO =，即22AO BO =，由勾股定理，得22224060(80)x x +=+−，解得52.5x =．即O 应建在离C 点52.5千米处．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．23. 在ABC 中，90BAC ∠=°，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．【特例体验】（1）如图1，若直线l BC ∥，1BD =，则线段DE 的长为______．【探究应用】（2）如图2，若直线l 从图1状态开始绕点A 顺时针旋转()045αα°<<°时，线段BD 、CE 和DE 的数量关系是________；（3）如图3，若直线l 从图1状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα°<<°时与线段BC 相交，探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由（4）若BD a =，CE b =（a ，b 均为正数），请你直接写出以点B 、D 、C 、E 为顶点的四边形的面积．的【答案】（1）1；（2）DE BD CE =+；（3）DE BD CE =−，理由见解析；（4）221122a b − 【解析】 【分析】（1）先证ABD △和ACE △是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD ，DE 和CE 的长即可；（2）先证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE △△≌，进而解答即可；（3）先证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE △△≌，进而解答即可；（4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可．【详解】（1）在ABC 中，90BAC ∠=°，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=°，l BC ∥ ，45DAB ABC ∴∠=∠=°，45CAE ACB ∠=∠=°，45DAB ABD ∴∠=∠=°，45EAC ACE ∠=∠=°，1AD BD ∴==，AE CE =，AB AC ==1AD BD AE CE ∴====，2DE ∴=； （2）DE BD CE =+在Rt ADB 中，90ABD BAD ∠+∠=°，90BAC ∠=° ，90BAD CAE ∴∠+∠=°，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠ ∠=∠=° =， (AAS)ABD CAE ∴△≌△；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+．（3）DE BD CE =−．理由如下：在Rt ADB 中，90ABD BAD ∠+∠=°，90BAC ∠=° ，90BAD CAE ∴∠+∠=°，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠ ∠=∠=° =， (AAS)ABD CAE ∴△≌△；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=−=−．（4）由（2）可得，四边形BDEC 的面积()()21122CE BD DE a b =×+×=+；由（3）可得，四边形BDCE 的面积()()()22111111222222BD DE CE DE DE BD CE a b a b a b =××+××=+=×−+=−． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键．。

2022学年第一学期期中考试八年级数学试卷（考试时间：90分钟，满分100分）一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A.B. C.与3 D.【答案】B【解析】【分析】将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可．【详解】A.，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；B.=，是同类二次根式，故该选项符合题意；C.33=-和3，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；D.==故选：B ．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．2.的一个有理化因式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．【详解】解：A m n =+，的一个有理化因式，故A 符合题意；B =+不是的一个有理化因式，故B 不符合题意；C =-的一个有理化因式，故C 不符合题意；D =，的一个有理化因式，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．3.下列选项中的数是一元二次方程28x x x +=-的根的是（）A.2- B.5 C.4- D.4【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法解出一元二次方程的解，再作出判断即可．【详解】解：28x x x +=-，移项得2280x x +-=，因式分解得(4)(2)0x x +-=，所以40x +=或20x -=，解得4x =-或2x =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解题的关键．4.下列计算正确的是（）A.+=B.=C.4=D.2=-【答案】C【解析】【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可．【详解】解：A 、与B 、6742=⨯=，故本选项不合题意；C 4==，故本选项符合题意；D 2=，故本选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键．5.下列命题中，假命题的是（）A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B.面积相等的两个三角形全等C.等腰三角形的顶角平分线垂直于底边D.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角【答案】B【解析】【分析】分别利用平行线的判定、三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质逐一判断即可．【详解】A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故选项A 不合题意；B ．面积相等的两个三角形不一定全等，故选项B 是假命题，符合题意；C ．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，是真命题，故选项C 不合题意；D ．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，是真命题，故选项D 不合题意，故选：B【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握已经学过的概念、性质、定理是解题的关键．6.已知a 、b 、c 是三角形三边的长，则关于x 的一元二次方程()220ax b c x a +-+=的实数根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根；C.没有实数根D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可知Δ0<，可知一元二次方程根的情况．【详解】解：[]222()44()()b c a b c a b c a ∆=--=-+--，∵a 、b 、c 是三角形三边的长，∴00b c a b c a -+>--<，，∴4()()0b c a b c a ∆=-+--<，∴原方程没有实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7.分母有理化：=____________．【答案】【解析】【即可分母有理化．255==．．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握分母有理化．8.=____________．【答案】3π-【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】∵π>3，∴π−3>0；=π−3.【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质.9.设x x应满足的条件是____________．【答案】14 x≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵二次根式∴410x-≥，解得14x ≥，故答案为：14x ≥．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．10.比较大小：-．（填“>”“<”“=”）【答案】＞【解析】【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解．【详解】解：∵=，-==∴-即-故答案为：＞【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟记两个负实数比较大小的方法是解题的关键．11.已知2410ax x +-=是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围为___________．【答案】0a ≠【解析】【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：因为2410ax x +-=是关于x 的一元二次方程，所以a 的取值范围为0a ≠．故答案为：0a ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20(0)ax bx c a ++=≠．特别要注意0a ≠的条件．12.不等式10->的解集是____________．【答案】66x <-【解析】【分析】直接按照解不等式的一般步骤求解即可．【详解】10->解：移项，得1>，不等式两边同除以66x <-，故答案为：6x <-【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的解题步骤是解题的关键．13.方程()87x x -=-的根是____________．【答案】17x =，21x =【解析】【分析】把原方程化为一般形式后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵()87x x -=-，∴2870x x -+=，∴()()710x x --=，∴70x -=或10x -=，解得17x =，21x =，故答案为：17x =，21x =【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据所给方程的特点选择适当的是解题的关键．14.一种型号的电视，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，设每次降价百分率为x ，那么根据题意可列出方程：______．【答案】()2750014800x -=【解析】【分析】设每次降价百分率为x ，根据原来每台售价为7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，可列出方程．【详解】解：每次降价百分率为x ，()2750014800x -=．故答案为：()2750014800x -=．【点睛】本题考查理一元二次方程的应用，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，列出方程是关键．15.在实数范围内分解因式：231x x --=_________.【答案】(22x x --##()(22x x --【解析】【分析】求出方程2310x x --=中的判别式的值，求出方程的两个解，代入212()()ax bx c a x x x x ++=--即可．【详解】设2310x x --=，∵2(3)41(1)13∆=--⨯⨯-=，∴3132x ±=∴1 2x =，2 2x =，∴231()()22x x x x --=--．故答案为：3133+13(22x x ---．【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式和解一元二次方程，注意：若x 1和x 2是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则212()()ax bx c a x x x x ++=--．16.已知关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根是3，则该方程的另一个根是___________．【答案】1-【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根是3，∴该方程的另一个根是313-=-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若其两根为12x x ，则1212bc a x x x x a+=-=，．17.已知：如图，AC AD =，要使ACB ADB ≌，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．写出一个即可）【答案】BC BD =（答案不唯一）【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：这个条件可以是BC BD =，在ACB △和ADB 中，AC AD AB AB BC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(SSS)ACB ADB ≌△△，故答案为：BC BD =（答案不唯一）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18.阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在Rt ABC △中，已知90C ∠=︒，3AC =，4BC =，由定理得222AC BC AB +=，代入数据计算求得5AB =．请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，90C ∠=︒，AB CD ∥，5AB =，11CD =，8AC =，点E 是BD 的中点，那么AE 的长为____________．【答案】5【解析】【分析】延长AE 交CD 于点F ，如图所示，只要证得()ASA ABE FDE ≌，根据全等三角形的性质可得AE EF =，5AB DF ==，然后在Rt ACF 中，利用勾股定理求得10AF ===，最后可得152AE EF AF ===．【详解】解：延长AE 交CD 于点F，如图所示，∵AB CD ∥，∴B D ∠=∠，∵点E 是BD 的中点，∴BE DE =，在ABE 和FDE V 中B D BE DE AEB DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE FDE ≌，∴AE EF =，5AB DF ==，∵11CD =，∴1156CF DC DF =-=-=，又∵90C ∠=︒，8AC =，∴Rt ACF中，10AF ===，∴152AE EF AF ===，故答案为：5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．三、简答题：（本大题共4题，满分32分）19.（1）计算：-+；（2（其中0x >）．【答案】（1）3-；（2）3y x 【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质及二次根式的加减混合运算计算即可；（2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）-21224=-⨯+()2221122=---++3=-（2====3yx=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及加减乘除混合运算的法则是解题的关键.20.（1）解方程：()()22131x x -=-；（2）用配方法解方程：23620x x +-=．【答案】（1）112x =-，21x =；（2）11513x =-+，21513x =--【解析】【分析】（1）把方程移项变形后，利用因式分解法解方程即可；（2）直接利用配方法解方程即可．【详解】解：（1）()()22131x x -=-解：移项，得()()202131x x -+-=因式分解得，()()2110x x +-=，∴210x +=或10x -=，解得112x =-，21x =；（2）23620x x +-=，解：方程两边同除以3，得22203x x +-=，移项，得2232x x +=，方程两边同加上一次项系数一半的平方，得221321x x +=++，即()2513x +=，∴1513x +=±，解得11513x =-+，21513x =--．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．21.已知：x =，求代数式221x x --的值．【答案】1【解析】【分析】先分母有理数求出1x =+，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．【详解】解：∵1x ==，∴221x x --2(1)11x =---211)2=--32=-1=．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，能求出x 的值是解此题的关键．22.已知：a 、b 20b +=，求关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=的根．【答案】12113x x ==，【解析】、b 的值，然后解一元二次方程即可．20b +=020b ≥+=≥，，∴30202a b -=+=，，∴322a b ==-，，∴原一元二次方程即为2312022x x -+=，整理得：23410x x -+=，∴()()3110x x --=，解得12113x x ==．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，解一元二次方程，正确求出a 、b 的值是解题的关键．四、解答题：（本大题共2题，满分16分）23.如图，点D ，E 在ABC ∆的边BC 上，AD AE =，BD CE =，求证：B C ∠=∠.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用全等三角形的性质证明即可．【详解】证明∵AD AE =，∴ADE AED ∠=∠，∵180ADE ADB AED AEC ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADB AEC ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AD AE ADB AEC BD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS ∆≅∆，∴B C ∠=∠.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24.某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑内外宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是1920平方米，求道路的宽度．【答案】道路的宽度为2米【解析】【分析】设道路的宽度为x 米，根据平移的性质可知草坪的面积可以看作一个长为()50x -米，宽为()42x -米的长方形面积，据此列出方程求解即可．【详解】解：设道路的宽度为x 米，由题意得()()50421920x x --=，∴2921800x x -+=，解得2x =或90x =（不符合题意，舍去）∴道路的宽度为2米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．五、综合题：（本大题共1题，满分10分）25.已知：如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，AD BC ⊥，垂足为点D ．（1）求证：AE AF =；（2）过点E 作EG D C ∥交AC 于点G ，过点F 作FH BC ⊥，垂足为点H ．①请判断AF 与CG 的数量关系，并说明理由；②当AE BE =时，设BF x =，试用含有x 的式子表示GC 的长．【答案】（1）见解析（2）①AF CG =，理由见解析；②12CG x =．【解析】【分析】（1）根据90AEF BED CBF ∠=∠=︒-∠，90AFB ABF ∠=︒-∠，得AFE AEF ∠=∠，从而AE AF =；（2）①由角平分线的性质知AF FH =，由（1）知AF AE =，则AE FH =，再利用AAS 证明AEG FHC ≌△△，得AG CF =，即可证明；②由等腰三角形的性质可得BAE ABE ∠=∠，可证AE EF AF BE ===，可得结论．【小问1详解】证明：∵BF 平分ABC ∠，∴ABF CBF ∠=∠，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴90AEF BED CBF ∠=∠=︒-∠，∵90AFB ABF ∠=︒-∠，∴AFE AEF ∠=∠，∴AE AF =；【小问2详解】解：①AF CG =，理由如下：∵BF 平分ABC ∠，FA AB FH BC ⊥⊥，，∴AF FH =，由（1）知AF AE =，∴AE FH =，∵EG D C ∥，∴90AEG FHC ∠=∠=︒，AGE C ∠=∠，∴(AAS)AEG FHC ≌△△，∴AG CF =，∴AF CG =；②∵AE BE =，∴BAE ABE ∠=∠，∵90BAC ∠=︒，∴EAF EFA ∠=∠，∴AE EF =，∴AE EF AF BE ===，∴2BF AF =，∴12CG AF x ==．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，得到AEG FHC ≌△△是解题的关键．第16页/共16页。

2024-2025学年第一学期浙江省宁波市八年级数学期中模拟练习卷考试范围：八上第1-4章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1. 下列图形中对称轴条数最多的是（ ）A.B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置，掌握轴对称图形的概念是本题的解题关键．根据轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴，由此找出各个图形的对称轴条数，再比较即可解答．【详解】解：A 、有5条对称轴；B 、有3条对称轴；C 、有0条对称轴；D 、有4条对称轴．故对称轴最多的有5条．故选：A ．2. 若a b < ）A. 11a b +<+B. 22a b −<−C. 33a b <D. 4a <4b 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：A ．∵a b <，∴11a b +<+，故本选项不符合题意； B ．∵a b <，∴a b −>−，∴22a b −>−，故本选项符合题意；C ．∵a b <，∴33a b <，故本选项不符合题意；D ．∵a b <，∴4a <4b ，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）A. 2mB. 3mC. 3.5mD. 4m【答案】D【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出AB 的长，再根据少走的路长为AC BC AB +−，计算即可．明确少走的路长为AC BC AB +−是解题的关键．【详解】解：如图，点C A 和点B 都在长方形的边上且6AC =，8BC =， ∴90C ∠=°，∴10AB ，∴他们少走的路长为：()68104m AC BC AB +−=+−=． 故选：D ．4. 下列条件中，可以判定ABC 是等腰三角形的是（ ）A. 40B ∠=°，80C ∠=°B. 123A B C ∠∠∠=::::C. 2A B C ∠=∠+∠D. 三个角的度数之比是2:2:1【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．【详解】解：A ．∵40B ∠=°，80C ∠=°，∴18060AC B ∠=°−∠−∠=°， ∴ABC 不是等腰三角形，故选项A 错误；B ．∵123A BC ∠∠∠=::::，180A B C ∠+∠+∠=°， ∴118030123A ∠=×°=°++，218060123B ∠=×°=°++，318090123C ∠=×°=°++， ∴ABC 不是等腰三角形，故选项B 错误；C ．∵2A B C ∠=∠+∠，180A B C ∠+∠+∠=°，∴2180A A ∠+∠=°，∴60A ∠=°，而无法判断B ∠与C ∠的大小，∴ABC 不是等腰三角形，故选项C 错误；D ．∵三个角的度数之比是2:2:1， ∴三个角的度数分别是218072221×°=°++，72°，218072221×°=°++， ∴ABC 是等腰三角形，故选项D 错误；故选：D ．5. 某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可打（ ）A. 六折B. 七折C. 八折D. 九折 【答案】B【解析】【分析】设最多可打x 折，根据题意，得110070070010%10x ×−≥×，求整数解即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，打折问题，正确理解，列出不等式解答是关键．【详解】解：设最多可打x 折， 根据题意，得110070070010%10x ×−≥×， 解得7x ≥．故最多打7折，6. 如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=°，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长度为半径作弧，两弧相交于点P 和点Q ，作直线PQ 分别交BC ，AC 于点D 和点E ．若3CD =，则AB 的长为（ ）A. 5B.C. 6D. 8【答案】B【解析】 【分析】连接AD ，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出30B C ∠=∠=°，再由作法得DDDD 垂直平分AC ，所以3DA DC ==， 所以30DAC C ∠=∠=°， 从而得到90BAD ∠=°， 然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求BD 的长，进而求出AB 的长．【详解】连接AD ， 如图∵,120AB AC A =∠=°，∴30B C ∠=∠=°，由作法得DE 垂直平分AC ，∴3DADC ==， ∴30DAC C ∠=∠=°，∴1203090BAD ∠=°−°=°，在Rt ABD △中，30B ∠=°，∴26BD AD ==，AB ∴=【点睛】本题考查了作图−基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．7. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =15，AC =12，以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AC ，AB 于D ，E 两点，再分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于点M ，作射线AM 交BC 于点F ，则线段BF 的长为（）A. 5B. 4C. 3D. 2.8【答案】A【解析】 【分析】过点F 作FN ⊥AB 于N ，由作图可知，AM 是∠BAC 的平分线，由角增分线的性质可得FN =FC ，则可利用HL 定理证明Rt △ACF ≌Rt △ANF ，得出AN =AC =12，再在Rt △ACB 中，由勾股定理求出BC =9,设BF =x ，则FN =CF =BC -BF =9-x ，由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：过点F 作FN ⊥AB 于N ，由作图可知：AM 平分∠BAC ，∵∠C =90°，∴FC ⊥AC ，∵FN ⊥AB ，∴FN =FC ，在Rt △ACF 和Rt △ANF 中，FC FN AF AF = =， ∴Rt △ACF ≌Rt △ANF (HL)，∴AN =AC =12，∴BN =AB -AN =15-12=3，在Rt △ACB 中，由勾股定理，得BC ==9，设BF =x ，则FN =CF =BC -BF =9-x ，在Rt △BNF 中，由勾股定理，得x 2=32+(9-x )2，解得：x =5，故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，用尺规作角的平分线，角平分线的性质，由作图得出，AM 是∠BAC 的平分线是解题的关键．8. 如图，ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，点E 是AC 边的中点，点P 是AD 上的一个动点，当PC PE +最小时，CPE ∠的度数是（ ）．A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接BP ，由等边三角形的性质，得出PB PC =，进而得到PC PE PB PE BE +=+≥，即当B 、P 、E 三点共线时，PC PE +有最小值，再利用三线合一性质，得到BE AC ⊥，即可得到CPE ∠的度数．【详解】解：如图，连接BP ，ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，D ∴是BC 中点，即AD 垂直平分BC ，PB PC ∴=，PC PE PB PE BE ∴+=+≥，即当B 、P 、E 三点共线时，PC PE +有最小值，点E 是AC 边的中点，BE AC ∴⊥，90CEP CEB ∴∠=∠=°，∵等边ABC 中60ABC ACB ∠=∠=°，BE AC ⊥， ∴1302CBE ABC ∠=∠=°， ∵PB PC =，∴此时30PCB PBC ∠=∠=°，∴60CPE PBC PCB ∠=∠+∠=°．故选：C ．9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD 的四条边与两条坐标轴平行，已知()1,2A −，()1,1C −．点P 从点A 出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点A 出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P Q ，在长方形边上第一次相遇时的点为1M ，第二次相遇时的点为2M ，……，则2024M 的坐标为是（ ）A. (1,0)B. ()0,1−C. ()1,0−D. ()1,2−【答案】B【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系上点的坐标规律，求出长方形ABCD 的周长为()23210+×=，设经过t 秒，P Q ，第一次相遇，则点P 走的路程为2t ，点Q 走的路程为3t ，根据题意列出方程，求出相遇各点坐标，得出规律，即可得出答案．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，长方形ABCD 的四条边与两条坐标轴平行，已知()1,2A −，()1,1C −．∴()1,1B −−，()1,2D ，∴2AD BC ==，3AB CD ==，∴长方形ABCD 的周长为：()23210+×=， 设经过t 秒，P Q ，第一次相遇，则点P 走的路程为2t ，点Q 走的路程为3t ，由题意得：2310t t +=，解得：2t =，∴当2t =时，P Q ，第一次相遇，此时相遇点1M 的坐标为()1,0，当4t =时，P Q ，第二次相遇，此时相遇点2M 的坐标为()1,0−，当6t =时，P Q ，第三次相遇，此时相遇点3M 的坐标为()1,2，当8t =时，P Q ，第四次相遇，此时相遇点4M 的坐标为()0,1−，当10t =时，P Q ，第五次相遇，此时相遇点5M 的坐标为()1,2−，当12t =时，P Q ，第六次相遇，此时相遇点6M 的坐标为()1,0，…，∴五次相遇为一循环，∵202454044÷=…，∴2024M 的坐标为是()0,1−，故选：B ．10. 如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC 和等边ECD ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，则有以下五个结论：①AD BE =；②PQ AE ∥；③AP BQ =；④DE DP =；⑤60AOB ∠=°．其中正确的有（ ）A. ①③⑤B. ①③④⑤C. ①②③⑤D. ①②③④⑤【答案】C【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，等边三角形的判定和性质．①根据全等三角形的判定方法，判断出ACD BCE △△≌，即可判断出AD BE =．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出ACP BCQ ≌△△，即可判断出CP CQ =；然后根据60PCQ ∠=°，可得PCQ △为等边三角形，所以60PQC DCE ∠=∠=°，据此判断出PQ AE ∥即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出ACP BCQ ≌△△，即可判断出AP BQ =．④首先根据,60DC DE PCQ CPQ =∠=∠=°，可得60DPC ∠>°，然后判断出DP DC ≠，再根据DC DE =，即可判断出DP DE ≠．⑤60AOB DAE AEO DAE ADC DCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，据此判断即可．【详解】解：∵ABC 和ECD 都是等边三角形，∴,,60ACBC CD CE ACB DCE ====°∠∠， ∴ACB BCD DCE BCD ∠+∠=∠+∠，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD 和BCE 中，∵,,AC BCACD BCE CD CE ∠∠===， ∴ACD BCE △△≌，∴AD BE =，结论①正确．∵ACD BCE △△≌，∴CAD CBE ∠=∠，又∵60ACB DCE °∠=∠=，∴180606060BCD ∠=°−°−°=°，∴60ACP BCQ ∠=∠=°， 在ACP △和BCQ △中，,,ACP BCQ CAP CBQ AC BC ∠=∠∠=∠，∴ACP BCQ ≌△△，∴CP CQ =，又∵60PCQ ∠=°， ∴PCQ △为等边三角形，∴60PQC DCE ∠=∠=°， ∴PQ AE ∥，结论②正确．∵ACP BCQ ≌△△，∴AP BQ =，结论③正确．∵,60DC DE PCQ CPQ =∠=∠=°， ∴60DPC ∠>°，∴DP DC ≠，又∵DC DE =，∴DP DE ≠，结论④不正确．∵60AOB DAE AEO ADC DCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，结论⑤正确．综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．故选：C ．二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11. 若不等式()11m x m −+<的解是1x >，则m 的取值范围是______．【答案】1m <【解析】【分析】先移项得(1)1m x m −<−，结合不等式的解集为1x >，可知10m −<，解之即可．【详解】解：∵()11m x m −+<，∴(1)1m x m −<−，∵不等式的解集为1x >，∴10m −<，则1m <，m<．故答案为：1【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．12. 若等腰三角形的两边长分别为4和6，则其周长是____________．【答案】14或16【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为4时，解答出即可．【详解】解：根据题意，①当腰长为6时，三边为6，6，4，=++=；符合三角形三边关系，周长66416②当腰长为4时，三边为4，4，6，=++=．符合三角形三边关系，周长44614故答案为：14或16．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．13. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3.若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，则Rt△ABC的面积为________．【答案】26【解析】【详解】过点B作EF⊥l2,交l1于E,交l3于F，如图，∵EF⊥l2,l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1⊥l3，∴∠ABE+∠EAB=90°,∠AEB=∠BFC=90°，又∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，∴∠EAB=∠FBC，在△ABE和△BCF中，{AEB BFC EAB FCB AB BC∠=∠∠=∠=，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF=4，AE=BF=6，在Rt△ABE中,AB2=BE2+AE2，∴AB2=52，∴S△ABC=12AB⋅BC=12AB2=26.故答案是26.14. 在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC ，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________.【答案】9【解析】【详解】∵∠B和∠C的平分线相交于点F，∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DF=DB，EF=EC，即DE=DF+FE=DB+EC=9.故答案为9.15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为_____．【答案】12【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC =DB =6，则∠DCB =∠B ，由∠ACB =∠ACD +∠DCB =90°，得∠A +∠B =90°，从而∠A =∠ACD ，DA =DC =6，则AB =AD +DB 便可求出．【详解】解：∵EF 是线段BC 的垂直平分线，DC =6，∴DC =DB =6，∴∠DCB =∠B ，又∵∠ACB =∠ACD +∠DCB =90°，∴∠A +∠B =90°，∴∠A =∠ACD ，∴DA =DC =6，∴AB =AD +DB =6+6=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．16. 如图，Rt BDE △中，90BDE ∠=°，2DB DE ==，A 是DE 的中点，连结AB ，以AB 为直角边作等腰Rt ABC △，其中90ABC ∠=°．①AC 的长为 ______；②连结CE ，则CE 的长为 _____．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】①根据勾股定理先计算A BAC ，解答即可；②过E 点分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，F ，根据等面积法可以求得EG FB =的长，再根据勾股定理求得EF 的长，最后计算出CE 的长即可．本题考查勾股定理、等腰直角三角形性质，解答本题的关键是明确题意，求出和的长．【详解】解：①∵90BDE ∠=°，2DB DE ==，A 是DE 的中点， ∴112DA AE DE ===根据勾股定理，得A BAC ，；②过E 点分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，F ，∵90BDE ∠=°，2DB DE ==，A 是DE 的中点， ∴112DA AE DE ===， 四边形EGBF 是矩形，∴EG BF =，根据勾股定理，得A BBE ∴111221222ABE DBE S S ==×××= ，∴112EG =，∴EG =∴BF =，∴EF∴CE的．三、解答题：本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上．（1）()2112x x −−−<； （2）4261139x x x x >− −+ ≤ 【答案】（1）2x >−，数轴见解析（2）32x −<≤，数轴见解析【解析】分析】（1）先去分母，再去括号，移项，然后合并同类项，并画出数轴，即可作答；（2）由①易得，3x >−，由②去分母，得331x x −≤+，故不等式组得解集为：32x −<≤，并画出数轴，即可作答．【小问1详解】解：去分母得，()()2212x x −−−<，去括号得，2222x x −−+<，移项得，2222x x −<+−，合并同类项得，2x −<，系数化为1得，2x >−，在数轴上表示为：；【小问2详解】 解：4261139x x x x >− −+≤①②，由①得，3x >−，【由②去分母，得331x x −≤+解得，2x ≤．故不等式组得解集为：32x −<≤．在数轴上表示：【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18. 如图，在ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AD 上，已知ABE ACE =∠∠，BED CED ∠=∠．试说明BE CE =的理由．【答案】见解析【解析】【分析】因为BED CED ∠=∠，所以AEB AEC ∠=∠，因为ABE ACE =∠∠，得证()AAS AEB AEC ≌，即可作答．【详解】证明：∵180AEB BED ∠=°−∠，180AECCED ∠=°−∠，BED CED ∠=∠ ∴AEB AEC ∠=∠，在AEB 和AEC △中，ABE ACE AEB AEC AE AE ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS AEB AEC ≌，∴BE CE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，难度较小，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19. 如图，有一块凹四边形的绿地ABCD ，4m AD =，3m CD =，90ADC ∠=°，13m AB =，12m BC =，求这块绿地ABCD 的面积．为【答案】这块空地的面积是224m【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接AC ，根据勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理说明90ACB ∠=°，最后根据1122ABC ACD S S BC AC DC AD −=⋅−⋅ 得出答案． 【详解】解：连接AC ，∵90ADC ∠=°，4m AD =，3m CD =，∴()5m AC ，∵13m AB =，12m BC =，∴22222251213CB AC AB +=+==，∴90ACB ∠=°，∴四边形ABCD 面积为：1122ABC ACD S S BC AC DC AD −=⋅−⋅ ()2115123424m 22=××−××=． 答：这块空地面积是224m ．20. 如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A 、B 、C 在小正方形的格点上．（1）画出与ABC 关于直线l 成轴对称的A B C ′′△；（2）求ABC 的面积；的（3）求BC 边上的高．【答案】（1）见解析 （2）4.5（3）BC 【解析】【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A 、B 关于直线l 的对称点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算ABC 的面积；（3）先计算出BC 的长，然后利用面积法求BC 边上的高．【小问1详解】解：如图，A B C ′′△为所作； 【小问2详解】解：ABC 的面积11134121433 4.5222=×−××−××−××=； 【小问3详解】解：设BC 边上的高为h ，∵BC，∴1 4.52h ×=，解得h =即BC 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了勾股定理．21. 如图，在四边形ABED 中，90B E ∠=∠=°，点C 是BE 边上一点，AC CD ⊥，CB DE =．（1）求证：ABC CED △≌△．（2）若5AB =，2CB =，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）根据“∠B=90°，AC ⊥CD”得出∠2=∠BAC ，即可得出答案；（2）由（1）可得AC=CD ，并根据勾股定理求出AC 的值，再次利用勾股定理求出AD 的值，即可得出答案.【详解】（1）证明：∵90B E ∠=∠=°，∴190BAC ∠+∠=°.∵AC CD ⊥，∴1290∠+∠=°， ∴2BAC ∠=∠.在ABC 和CED △中，2,,,BAC B E CB DE ∠=∠ ∠=∠ =()ABC CED AAS △≌△.（2）解：∵ABC CED △≌△，∴5AB CE ==，AC CD =.∵2BC =，∴在Rt ABC △中，AC∵CD =∴在Rt ACD △中，AD ==【点睛】本题考查的是全等三角形和勾股定理，解题关键是利用两个直角得出2BAC ∠=∠.22. 根据以下素材，探索完成任务．荡秋千问题素材1如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A 处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m 高的B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.4m和1.8m ，90BOC ∠=°．问题解决任务1OBD 与COE 全等吗？请说明理由；任务2当爸爸在C 处接住小丽时，小丽距离地面有多高？【答案】任务1：OBD 与COE 全等，理由见解析；任务2：1.4m【解析】【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． 任务1：利用AAS ，证得OBD 与COE 全等；任务2：根据全等三角形性质可求出OE 和OD 的值，进而求出OA 的值，最后根据OA OE AE −=，即可求出问题答案．【详解】解：任务1：由题意，得OB OA OC ，1m AD =， 1.4m BD =， 1.8m CE =，90BDO CEO ∠=∠=°，∴90EOC OCE ∠+∠=°，又90BOC BOD COE ∠=∠+∠=°， ∴BOD OCE ∠=∠，在OBD 与COE 中BOD OCE BDO CEO OB OC ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS OBD COE ≌ ；任务2：∵OBD COE ≌ ，∴ 1.4m BD OE ==， 1.8m OD CE ==∴1 1.8 1.4 1.4m AE AO OE AD OD OE =−=+−=+−=，即小丽距离地面有1.4m 高．23. 某电器超市销售A B 两种型号的电风扇，A 型号每台进价为200元，B 型号每台进价分别为150元，下表是近两天的销售情况: 销售时段销售数量销售收入A 种型号B 种型号 第一天3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)(1)求A 、B ;(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台?(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标?若能，请给出相应的采购方案;若不能，请说明理由.【答案】（1）A 、B 两种型号的电风扇销售单价分别为240元、180元；（2）18；（3）能，方案为A 型号16台，B 型号14台；A 型号17台，B 型号13台；A 型号18台，B 型号12台【解析】【分析】（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，根据3台A 型号5台B 型号的电扇收入1620元，4台A 型号10台B 型号的电扇收入2760元，列方程组求解即可；（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（30-a ）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解即可得出答案；（3）根据利润大于等于1060元，列不等式求出a 的取值范围，结合（2）中a 的取值范围，即可确定方案．【详解】(1)设A. B 两种型号的电风扇的销售价分别为x 、y 元，由题意得3516204102760x y x y += +=解得：240180x y = =答：A 型号电风扇的销售单价为240元，B 型号电风扇的销售单价为180元.(2)设采购A 种型号电风扇a 台,则采购B 种型号电风扇(30−a)台则200a+150(30−a)≤5400，解得：a ≤18，答：最多采购A 种型号的电风扇18台.(3)根据题意得：(240−200)a+(180−150)(30−a)≥1060，解得a ≥16，∵在（2）的条件下a ≤18，∴16≤a ≤18∵a 为正整数，∴a 可取16,17,18，∴符合题意的方案为：A 型号16台，B 型号14台；A 型号17台，B 型号13台；A 型号18台，B 型号12台；答：在(2)条件下超市销售完这30台电风扇能实现利润不少于1060元的目标，方案为：A 型号16台，B 型号14台；A 型号17台，B 型号13台；A 型号18台，B 型号12台.【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据售价乘以销量等于销售收入列方程组是解题的关键.24. 等腰Rt ABC △中，=AB AC ，=90BAC °∠．的（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且=45DAE ∠°，将ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到AFC ，连接DF ．①求证：AED AFD ≌ ．②当3BE =，7CE =时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE ，当=3BD ，=9BC 时，则DE 的长 __________．（直接给出答案）． 【答案】（1）①证明见解析；②297（2）或【解析】【分析】（1）①利用全等三角形的判定定理即可求证；②证=90DCF ∠°，进而在Rt DCF 中利用勾股定理即可求解；（2）分情况讨论点E 在线段BC ，点D 在线段CB 的延长线上，即可求解．【小问1详解】 ①证明：如图1中，BAE CAF ≅ ，AE AF ∴=，BAE CAF ∠=∠， =90BAC ∠° ，=45EAD ∠°，+=+=45CAD BAE CAD CAF ∴∠∠∠∠°，DAE DAF ∴∠=∠，在AED △和AFD △中，===AE AF EAD FAD AD AD ∠∠，(SAS)AED AFD ∴≅ ．②解：如图1中，设DE x =，则7CD x =−．AB AC = ，=90BAC °∠，==45B ACB ∴∠∠°，==45ABE ACF ∠∠° ，=90DCF ∴∠°，(SAS)AED AFD ≅ ，DE DF x ∴==，在Rt DCF △中，∵222DF CD CF =+，3CFBE ==， ∴()22273x x =−+，解得297x， ∴297DE =． 【小问2详解】解：①当点E 在线段BC 上时，如图２中所示，连接BE ：90BAC EAD ∠=∠=°EAB DAC ∴∠=∠,AE AD AB AC ==()EAB ADC SAS ∴ ≌45,6ABE C ABC EB CD ∴∠=∠=∠=°==90EBD ∴∠°=222226345DE BE BD ∴=+=+=DE ∴②当点D 在线段CB 的延长线上，如图3中所示，连接BE ：同法可证DBE 是直角三角形12,3EB CD DB ===222222123153DE BE BD ∴=+=+=DE ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路．。

2022—2023学年第一学期期中检测八年级数学试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的．）1. 的值为（）B. C. ±2 D. 2【答案】D【解析】表示4的算术平方根，由此即可得到结果．【详解】解：∵4的算术平方根为2，的值为2．故选：D．【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．弄清概念是解决本题的关键．2. 下列各组数据中，不是勾股数的是（）A. 3，4，5B. 5，7，9C. 5，12，13D. 7，24，25【答案】B【解析】【分析】判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方．【详解】解：A 、32+42=52，能构成直角三角形，都是正整数，故选项不符合题意；B 、52+72≠92 ，不能构成直角三角形，故选项符合题意；C 、52+122=132，能构成直角三角形，都是正整数，故选项不符合题意；D 、72+242=252，能构成直角三角形，都是是整数，故选项不符合题意；故选： B ．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键.3. 下列各点在第二象限的是（）A. ()B. ()2,1−C. ()0,1−D. ()2,1-【答案】B【解析】【分析】根据第二象限点的特征：(),−+ 进行判断即可；【详解】解：A 、()在x 轴上，不符合题意；B 、()2,1−在第二象限，符合题意；C 、()0,1−在y 轴上，不符合题意；D 、()2,1-在第四象限，不符合题意； 故选B ．【点睛】本题考查平面坐标系下点的特征．熟练掌握不同象限点的特征是解题的关键．4. 若一次函数1y mx =−的图象经过点(10)，，则m 的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】【分析】将点(1,0)代入即可求解．【详解】解：将(1,0)代入，得：m -1=0，解得m =1，故选：A ．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，将点(1,0)代入一次函数解析式是解题的关键．5. 在 3.5−，227，0，2π，，，0.151151115中，无理数有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】B【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：在-3.5，227，0，2π，-，0.151151115中，无理数有2π共2个． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），等有这样规律的数．6. 下列计算正确的是（ ）A.B. 2=±C.D. 18= 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加法对选项A 进行判断，根据二次根式的性质对选项B 进行判断，根据二次根式的乘法对选项C 进行判断，根据二次根式的除法对选项D 进行判断，即可得．【详解】解：A，选项说法错误，不符合题意；B2=，选项说法错误，不符合题意；C==，选项说法正确，符合题意； D，选项说法错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．7. 关于函数2y x =−+有下列结论，其中错误的是（ ） A. 图象经过点()1,1B. 若点()10,A y ，()22,B y 图象上，则12y y >C. 图象向下平移2个单位长度后，图象经过点()0,1D. 当2x >时，0y <【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、当1x =时，21y x =−+=，故图象经过点(1,1)，故本选项正确，不合题意； B 、 函数2y x =−+中，10k =−<， y ∴随x 的增大而减小，02<Q ，12y y ∴>，故本选项正确，不合题意；在C 、根据平移的规律，函数2y x =−+的图象向下平移2个单位长度得解析式为y x =−，所以当0x =时，0y =，则图象经过点()0,0，故本选项错误，符合题意； D 、把2x =代入函数20y x =−+=，所以当2x >时，0y <，故本选项正确，不符合题意． 故选：C ．点睛】本题考查了一次函数(0)y kx b k =+≠的性质：当0k >，图象经过第一、三象限，y 随x 增大而增大；当0k <，图象经过第二、四象限，y 随x 增大而减小；当0b >，图象与y 轴的交点在x 的上方；当0b =，图象经过原点；当0b <，图象与y 轴的交点在x 的下方，也考查了一次函数的图象与几何变换．8. 大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成11，11101=−，198写成202，2022002=−；7683写成12323，123231000023203=−+，…总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算：1231789−=（ ）A. 540B. 509C. 500D. 491【答案】A【解析】 分析】先根据新定义计算出()()1231789120031700809−=−−−+，再计算可得答案． 【详解】解：由题意知1231789− ()()120031700809=−−−+120031700809=−−+−540=，故选：A ．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义并熟练加以运用．9. 如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A 知道校车自点B 处沿x 轴向原点O 方向匀速驶来，她立即从A 处搭一辆出租车，去截汽车．若点A 的坐标为()2,3，点B 的坐标为()8,0，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）【【A. ()2,0B. 7,02C. 17,04D. ()5,0【答案】C【解析】 【分析】如图，假设小蓓与汽车在D 点相遇，过点A 作AC OB ⊥，则小蓓的行进路线为AD ，设OD x =，则2CD x =−，8BD x =−，在Rt ACD △中，利用勾股定理求出()22232AD x =+−，再根据22BD AD =得出关于x 的方程，解方程求出x 即可得到相遇点的坐标．【详解】解：如图，假设小蓓与汽车在D 点相遇，过点A 作AC OB ⊥，∵点A 的坐标为()2,3，点B 的坐标为()8,0，∴3AC =，2OC =，8OB =，设OD x =，则2CD x =−，8BD x =−，在Rt ACD △中，222AD AC CD =+，∴()22232AD x =+−，∵汽车行驶速度与出租车相同，∴BD AD =，∴22BD AD =，即()()222832x x −=+−， 解得：174x =， ∴D 点坐标为17,04，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，能够根据题意画出图形，利用勾股定理得出方程是解题的关键．10. 如图，已知点()0A 1，，924B −−，，点P 在直线y x =上运动，则PA PB −的最大值为（ ）A. 174 B. 92 C. 4 D. 154【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的性质可求得答案．【详解】解：作A 关于直线y x =对称点C ，∴OC OA =，∵()10A ，，∴C 的坐标为()01，；连接CB 并延长，交直线y x =于P 点， 此时PA PB PC PB BC −=−=，取得最大值，∴154PA PB BC −==．故选D ．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，轴对称−最短路线问题，正确的作出辅助线是解决本题的关键．二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）11. 已知平面直角坐标系中，点()2a ，和点()23−，关于原点对称，则=a ______． 【答案】3−【解析】【分析】若两点关于原点对称，则两点的横坐标之和为0，纵坐标之和为0，据此可分别求出a 、b 的值．【详解】解：∵点()2a ，和点()23−，关于原点对称， ∴30a +=，解得3a =−，故答案为：3−．【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点关于原点对称的相关知识点，了解关于原点对称的两点横、纵坐标之和均为0是本题的关键．12. 如图，小正方形的边长为1，则数轴上点A 所表示的实数是______．【答案】1−【解析】【分析】根据正方形的性质求得圆的半径的长，进而即可求得答案．【详解】解：∵小正方形的边长为1且对角线为圆的半径，∴圆的半径，由图可得点A 在圆上，∴点A 所表示的实数是1−+，故答案为：1−+【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理和数轴，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 13. 已知||1(2)23k y k x k −=−+−是关于x 的一次函数，则k =_______．【答案】2−【解析】【分析】根据一次函数定义，求出k 的值即可． 【详解】解：∵1(2)23k y k x k −=−+−是关于x 的一次函数， ∴1120k k −= −≠， 解得：2k =−或2k =（舍去）； 所以2k =−．故答案为：2−．【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义，解题的关键是列出方程正确求出k 的值． 14. 如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中I ，II ， III 部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB =90°，AC =6，BC =8，开始时III 刚好盛满水，而I ，II 无水．如图2摆放时，水面刚好经过III 的中心O (正方形两条对角线的交点），则II 中有水部分的面积为________．【答案】14【解析】【分析】由勾股定理求出AB =10，根据已知条件得到Ⅲ部分的水为整个正方形面积的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面积为50，于是得到结论．【详解】解：∵∠ACB =90°，AC =6，BC =8，∴AB10=，∴Ⅲ部分的面积是100，∵水面刚好经过Ⅲ的中心O ，∴Ⅲ部分的水为整个正方形面积的一半，即Ⅲ部分的有水部分的面积为50，的∴Ⅱ中有水部分的面积为100-36-50=14，故答案为：14．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15. 如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=12x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=12x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n的面积为_____．（用含正整数n的代数式表示）【答案】22 21 3 2nn−−【解析】【分析】【详解】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y=12x于点B1，∴B1（2，1）∴A1B1=2﹣1=1，即△A1B1C1面积=12×12=12；∵A1C1=A1B1=1，∴A2（3，3），又∵A2B2∥y轴，交直线y=12x于点B2，∴B2（3，3 2），∴A2B2=3﹣32=32，即△A2B2C2面积=12×（32）2=98；以此类推，A3B3=94，即△A3B3C3面积=12×（94）2=8132；A 4B 4=278，即△A 4B 4C 4面积=12×（278）2=729128； … ∴A n B n =（32）n ﹣1，即△A n B n C n 的面积=12×[（32）n ﹣1]2=222132n n −−． 三、解答题：（本题共7小题，共55分．其中第16题10分，17、18、19、20每小题7分，21题8分，22题9分）16. 计算：（1）()101123π− −+−+（2）(21++【答案】（1（2）163【解析】【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及二次根式的加减计算；（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．【小问1详解】解：原式123=++=．【小问2详解】解：原式13=−++4133=−++ 163=． 【点睛】本题主要考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和二次根式混合运算，解题的关键是要熟练掌握完全平方公式．17. A 、B 、C 三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图．（1）分别写出A 、B 、C 的坐标；（2）求线段BC 的长度；（3）画出ABC ∆关于x 轴对称111A B C ∆，并求111A B C ∆的面积．【答案】（1）(0,3)A ，(4,4)B −，(2,1)C −（2）BC =（3）5【解析】【分析】（1）根据题意，通过观察图像即可求出答案；（2）如图所示（见详解），构造直角三角形，利用勾股定理即可求出答案；（3）如图所示（见详解），利用“割补法”即可求出答案．【小问1详解】解：A 、B 、C 都在格点上，单位长度为1，∴(0,3)A ，(4,4)B −,(2,1)C −故答案是：(0,3)A ，(4,4)B −，(2,1)C −．【小问2详解】解：如图所示，过点B 作x 轴的垂线，过点C 作y 轴的垂线并反方向延迟，两条垂线交于点D ，得直角三角形BCD △，且3BD =，2CD =，∴BC ，故BC ．【小问3详解】解：x 轴对称的111A B C △如图所示，计算111A B C △的面积的方法如下图所示，∴3412EFBG S =×=长方形，1111422A B F S =××=△，1112222A C E S =××=△，1112332C B G S =××=△，∴111122235A B C S =−−−=△，故111A B C △的面积是5．【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形结合，对称，构造直角三角形，勾股定理是解题的关键． 18. 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3m ，云梯最多只能伸长到10m ，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在A 处完成从9m 高处救人后，然后前进到B 处从12m 高处救人．（1）DM = _____米，BB ′=______米，A M ′=______米；（2）求消防车两次救援移动的距离（即AB 的长度）．（精确到0.1m 1.73≈，3.16≈4.36≈）【答案】（1）3；10；9（2）消防车两次救援移动的距离约为3.6m【解析】【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为DM 的长，再根据题中图形，可得云梯的长为BB ′的长． （2）根据题意，可得A D ′的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在A 处离楼房的距离，根据题意，可得B D ′的长，再根据勾股定理，可得到BD 的长，然后根据AB AD BD =−，即可算出消防车两次救援移动的距离．【小问1详解】解：根据题意得∶ 3m DM =， 10m BB ′=，9m A M ′=；故答案为∶ 3；10；9【小问2详解】解：由题意得3m DM =，10m AA ′=，9m A M ′=，10m BB ′=，12m B M ′=，∴936m A D A M DM ′′=−=−=，1239m B D B M DM ′′=−=−=，∴在Rt AA D ′ 中，8m AD =，在Rt BB D ′ 中， 4.36m BD =≈，∴8 4.36 3.6m AB AD BD =−=−≈．∴消防车两次救援移动的距离约为3.6m ．【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 19. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h 记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm ），得到下表： 供水时间x （h ） 0 2 4 6 8箭尺读数y （cm ） 6 18 30 42 54（1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间()h x ．纵轴表示箭尺读数()cm y ，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；（2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的______函数（填“正比例”或“一次”），通过计算我们发现该函数解析式为6y x b =+，请结合表格数据，求出b 的值； （3）应用上述得到的规律计算：①供水时间达到11h 时，箭尺的读数为多少cm ？②如果本次实验记录的开始时间是上午700：，那么当箭尺读数为90cm 时是几点钟？【答案】（1）见解析 （2）一次，6（3）①供水时间达到11h 时，箭尺的读数为72cm ；②当箭尺读数为90cm 时是2100：【解析】【分析】（1）由表格描点，连线即可；（2）根据函数图象可得是一次函数，用待定系数法可求出函数关系式；（3）①将11x =代入函数解析式求出y 即可；②求出90y =时x 的值，然后计算即可．【小问1详解】描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图：【小问2详解】观察图象可知，它是我们学过的一次函数，∵所对应的函数解析式是6y x b =+， ∴将()06，，代入得：6b =， ∴函数解析式是66y x =+． 【小问3详解】由（2）知66y x =+． ①当11x =时，611672y =×+=，∴供水时间达到11h 时，箭尺的读数为72cm ；②当90y =时，即6690x +=，解得：14x =，即经过14h ，箭尺读数为90cm ，∵本次实验记录的开始时间是上午700：，∴当箭尺读数为90cm 时是2100：．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式．20. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA PB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=°，且BQ BP =，连接CQ ．若345PA PB PC =：：：：，连接PQ ．（1）证明：ABP CBQ ≌△△；（2）求APB ∠的度数．【答案】（1）见解析 （2）150°【解析】【分析】（1）根据等边三角形可得AB CB =，进而根据SAS 即可证明ABP CBQ ≌△△；（2）根据ABP CBQ ≌△△可得AP CQ BPA BQC =∠=∠，，则根据题意可设345PA a PB a PC a ===，，，最后结合勾股定理的逆定理即可得到结论 ．【小问1详解】证明：∵ABC 是等边三角形，60PBQ ∠=°， ∴60ABC PBQ ∠=∠=°，AB CB =， ∴ABC PBC PBQ PBC ∠−∠=∠−∠．∴ABP CBQ ∠=∠． 在ABP 和CBQ △中，AB CB ABP CBQ BP BQ = ∠=∠ =， ∴()SAS ABP CBQ △≌△．【小问2详解】∵ABP CBQ ≌△△，∴AP CQ BPA BQC =∠=∠，． ∵345PA PB PC =：：：：，∴设345PA a PB a PC a ===，，．在PBQ 中，由于4PBBQ a ==，且60PBQ ∠=°， ∴PBQ 为等边三角形．∴604BQP PQ a ∠=°=，． 在PQC △中，∵22222216925PQ QC a a a PC +=+==，∴PQC △为直角三角形，90CQP ∠=°． ∴6090150BQC BQP CQP ∠=∠∠=°°=°＋＋，∴150APB BQC ∠=∠=°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的逆定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．21. 著名数学教育家G ·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例1====+ 解决问题：（1③ ①：______，②：______，③______．（2【答案】（1）53（2）7【解析】【分析】（1）根据题意即可作答；（2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解．【小问1详解】=3=+，故答案为：53+；【小问2详解】解：原式==52=−++7=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式．22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A ，B ，C 为ABC 的三个顶点，直线AB 的解析式为3y x b =+．（1）如图①，若点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，()2,0C ，OB OC =，求A ，B 两点的坐标； （2）在（1）的条件下，过x 轴上一点()6,0D −作DEAC ⊥于E ，DE 交y 轴于点F ，求DOF 的面积；（3）如图②，将ABC 沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于一点P （P 不同于A 和C 两点），过P 作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于点M ，且CP BQ =，在ABC 平移过程中，M 点的坐标是否发生变化？如果不变，请写出M 点的坐标及理由．【答案】（1）()2,0B −，()0,6A（2）6 （3）M 点坐标不变化，()2,0M −，理由见解析的【解析】【分析】（1）根据()2,0C ，OB OC =得()2,0B−，根据直线AB 的解析式为3y x b =+，点A 在y 轴上，令0x =得6b =，即可得；（2）根据AO BC ⊥，DE AC ⊥得90FOD COA ∠=∠=°，即可得90ODF ACO OAC ACO ∠+∠=∠+∠=°，则ODF OAC ∠=∠，即可得()0,6A ，()6,0D −，则DO AO =，利用ASA 证明DOF AOC ≌△△，即可得；（3）过点P 作PN AB ∥交BC 于点N ，则1Q ∠=∠，ABC PNC ∠=∠，根据A ABC CB =∠∠得PNC PCB ∠=∠，则PN PC =，根据CP BQ =得PN BQ =，利用AAS 证明QBM PNM ≌△△，得MN BM =，根据PC PN =，PO CN ⊥，得ON OC =，根据+++BM MN ON OC BC =，可得122OM MN ON BC =+==，即可得． 【小问1详解】解．∵()2,0C ，OB OC =，∴()2,0B −，∵直线AB 的解析式为3y x b =+，点A 在y 轴上， ∴令0x =得6b =，∴()0,6A ；【小问2详解】解：∵AO BC ⊥，DE AC ⊥，∴90FOD COA ∠=∠=°，∴90ODF ACO OAC ACO ∠+∠=∠+∠=°，∴ODF OAC ∠=∠，∴()0,6A ，()6,0D −，∴DO AO =，在DOF 与AOC 中，ODF OAC OD OA FOD COA ∠=∠ = ∠=∠∴DOF AOC ≌△△（ASA ），∴1126622DOF AOC S S OA OB ===××= △△； 【小问3详解】 M 点的坐标不发生变化，()2,0M −，理由如下， 解：如图所示，过点P 作PN AB ∥交BC 于点N ，则1Q ∠=∠，ABC PNC ∠=∠，∵A ABC CB =∠∠，∴PNC PCB ∠=∠，∴PN PC =，∵CP BQ =，∴PN BQ =，在QBM 和PNH △中，123Q BQ PN ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()QBM PNM AAS ≌△△，∴MN BM =，∵PC PN =，PO CN ⊥，∴ON OC =，∵+++BM MN ON OC BC =， ∴122OM MN ON BC =+==， ∴()2,0M −，即M点的坐标不发生变化．【点睛】本题考查了一次函数，全等三角形的判定与性质，等边对等角，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．。

人教版八年级上册数学期中考试试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案，每小题3分）1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知等腰三角形的两边长分别为6和1，则这个等腰三角形的周长为()A．13B．8C．10D．8或133．若一个多边形的内角和为720°，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4．如图，用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（）A．50°B．60°C．85°D．80°6．如图，∠A=50°，P是等腰△ABC内一点，AB=AC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为()A．100°B．115°C．130°D．140°7．如图，△ABC≌△DEF，若BC=12cm，BF=16cm，则下列判断错误的是()A．AB=DE B．BE=CF C．AB//DE D．EC=4cm8．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BD=5，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．69．如图，AB=AC，AD=AE，BE、CD交于点O，则图中全等的三角形共有（ ）A．四对B．三对C．二对D．一对10．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM//BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论：①MB⊥BD；②FD=FB；③MD=2CE，其中一定正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题11．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可以是（填一个满足题意的即可）. 12．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是_____________．13．点M与点N（-2，-3）关于y轴对称，则点M的坐标为.14．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，DE为折痕，使点A 落在BC上F处，若∠B=40°，则∠EDF=_____度.15．已知△ABC中,∠A=12∠B=13∠C,则△ABC是_____三角形．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D是BC边上的点，AB=18，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则BP+EP的最小值是____．三、解答题17．如图，A、F、B、D在一条直线上，AF=DB，BC=EF，AC=DE.求证：∠A=∠D．18．一个多边形，它的内角和比外角和还多180°，求这个多边形的边数.19．如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）.（2）连接AD，若∠B=35°，则∠CAD=°.20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）求△ABC的面积.21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接EF ，求证：AD 垂直平分EF ．23．如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线．（1）∠ABE=15°，∠BED=55°，求∠BAD 的度数；（2）作△BED 的边BD 边上的高；（3）若△ABC 的面积为20，BD=2.5，求△BDE 中BD 边上的高.24．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD ⊥BC ，AD 到E ，使AE=2AD ，连接BE ．（1）求证：△ABE 为等边三角形；（2）将一块含60°角的直角三角板PMN 如图放置，其中点P 与点E 重合，且∠NEM=60°，边NE 与AB 交于点G ，边ME 与AC 交于点F ．求证：BG=AF ；（3）在（2）的条件下，求四边形AGEF 的面积．25．已知，如图，BD 是ABC ∠的平分线，AB BC =，点P 在BD 上，PM AD ⊥，PN CD ⊥，垂足分别是M 、N .试说明：PM PN =.参考答案1．B【详解】分析：根据轴对称图形的概念求解．详解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选B．点睛：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．2．A【分析】分1是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【详解】①1是腰长时，三角形的三边分别为1、1、6，不能组成三角形，②1是底边时，三角形的三边分别为6、6、1，能组成三角形，周长=6+6+1=13，综上所述，三角形的周长为13．故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．3．D【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，结合方程即可求出答案．【详解】设这个多边形的边数为n，由题意，得（n-2）180°=720°，解得：n=6，则这个多边形是六边形．故选D．【点睛】本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记n边形的内角和为（n-2）•180°是解题的关键．4．B【分析】根据作图的过程知道：OA=OB，OC=OC，AC=CB，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△OAC≌△OBC．【详解】连接AC、BC，根据作图方法可得：OA=OB，AC=CB，在△OAC和△OBC中，OA OB OC OC AC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAC ≌△OBC （SSS ）．故选：B ．【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．5．C【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出∠A 即可．【详解】∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠B+∠A ，∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°，故选C ．【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．6．B【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB ，然后求出∠PCB+∠PBC=∠ACB ，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】∵∠A=50°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ACB=12（180°-∠A ）=12（180°-50）=65°，∵∠PBC=∠PCA ，∴∠PCB+∠PBC=∠PCB+∠PCA=∠ACB=65°，∴∠BPC=180°-（∠PCB+∠PBC ）=180°-65°=115°．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，准确识图并求出∠PCB+∠PBC是解题的关键．7．D【分析】根据全等三角形的性质得出AB=DE，BC=EF，∠ACB=∠F，求出AC∥DF，BE=CF，即可判断各个选项．【详解】∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，∠ACB=∠F，∴AC∥DF，BC-EC=EF-EC，∴BE=CF，∵BC=12cm，BF=16cm，∴CF=BE=4cm，∴EC=12cm-4cm=8cm，即只有选项D错误；故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定的应用，能正确运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．8．B【分析】先根据角平分线的性质，得出DE=DC，再根据BC=9，BD=5，得出DC=9-5=4，即可得到DE=4．【详解】∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴DE=DC，∵BC=9，BD=5，∴DC=9-5=4，故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质的运用，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．9．B【分析】找出全等的三角形即可得出选项.【详解】1、因为AB=AC,AD=AE,∠A=∠A，所以△ABE≌△ACD;2、因为BD=AB-AD,CE=AC-AE,所以BD=CE,又因为AB=AC,BC=BC,所以∠B=∠C,所以△BCD≌△CBE;3、当△ABE≌△ACD时，∠ABE=∠ACD,∠OBC=∠OCB，所以OB=OC,又因为BD=CE,所以△OBD≌△OCE,所以答案选择B项.【点睛】本题考查了全等的证明，熟悉掌握SAS,SSS,ASA是解决本题的关键.10．D【分析】如图，由BD分别是∠ABC及其外角的平分线，得到∠MBD=12×180°=90°，故①成立；证明BF=CE、BF=DF，得到FD=FB，故②成立；证明BF为直角△BDM的斜边上的中线，故③成立．【详解】如图，∵BD分别是∠ABC及其外角的平分线，∴∠MBD=12×180°=90°，故MB⊥BD，①成立；∵DF∥BC，∴∠FDB=∠DBC；∵∠FBD=∠DBC，∴∠FBD=∠FDB，∴FD=BF，②成立；∵∠DBM=90°，MF=DF，∴BF=12DM，而CE=BF，∴CE=12DM，即MD=2CE，故③成立．故选D．【点睛】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的性质11．3，4，···（2到10之间的任意一个数）【解析】【分析】直接利用三角形三边关系得出AC的取值范围，进而得出答案．【详解】根据三角形的三边关系可得：AB-BC＜AC＜AB+BC，∵AB=6，BC=4，∴6-4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，∴AC的长可以是3，4，•••（2到10之间的任意一个数）.故答案为3，4，•••（2到10之间的任意一个数）.【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出AC的取值范围是解题关键．12．60°【分析】连接BE,则BE的长度即为PE与PC和的最小值.再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题.【详解】如图，连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小,∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°.【点睛】本题考查等边三角形的性质和动点问题，解题的关键是知道当三点共线时PE+PC最小. 13．（2，-3）．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），将M的坐标代入从而得出答案．【详解】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，∴点N（-2，-3）关于y轴对称的点的坐标是（2，-3）．故答案为（2，-3）．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标的特点，注意掌握任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），比较简单．14．40【分析】先根据图形翻折不变的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算可得∠BDF的解，再根据平角的定义和折叠的性质即可求解．【详解】∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD=DF，∵D是AB边的中点，∴AD=BD，∴BD=DF，∴∠B=∠BFD，∵∠B=50°，∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-40°-40°=100°，∴∠EDF=（180°-∠BDF）÷2=40°．故答案为40．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．15．直角【分析】设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，利用三角形内角和为180°求的x，进而求出∠C为90°，即可得出答案.【详解】设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，∵∠A+∠B+∠C=180°∴x°+2x°+3x°=180°∴x°=30°∴∠C=3x°=90°∴△ABC是直角三角形故答案为直角【点睛】本题考查三角形内角和定理的运用以及三角形形状的判定，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键.16．9【分析】根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可．【详解】∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处，∴点C、E关于AD对称，∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC，∵∠C=90°，∠BAC=30°，∴BC=12 AB，∴BC=9．∴PB+PE的最小值为9.故答案为9．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，翻折变换的性质，解直角三角形，难点在于判断出PB+PE取得最小值时点P与点D重合．17．详见解析.【分析】已知AF=DB，则AF+FB=DB+FB，可得AB=DF，结合已知AC=DE，BC=FE可证明△ABC≌△DFE，利用全等三角形的性质证明结论．【详解】证明：∵AF=DB，∴AF+FB=DB+FB ，即AB=DF在△ABC 和△DFE 中，AC DE BC FE AB DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠A=∠D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是由已知边相等，结合公共线段求对应边相等，证明全等三角形．18．多边形的边数为5【解析】【分析】根据多边形的外角和均为360°，已知该多边形的内角和比外角和还多180°，可以得出内角和为540°，再根据计算多边形内角和的公式（n-2）×180°，即可得出该多边形的边数.【详解】设多边形的边数为n ，则（n-2）×180°=360°+180°解得n=5答：多边形的边数为5【点睛】本题主要考查多边形的内角和和多边形的外角和.19．(1)详见解析；（2）20°.【解析】【分析】（1）线段垂直平分线的尺规作图；（2）通过线段垂直平分线的性质易得AD=BD ，从而∠BAD=∠B ，再求解即可.【详解】（1）如图，点D 即为所求.（2）在Rt△ABC中，∠B=35°，∴∠CAB=55°，又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=35°，∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=55°-35°=20°．【点睛】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的作法；线段垂直平分线的性质. 20．（1）（－3，2）；（2）2.5【解析】试题分析：（1）根据关于与原点对称的点横、纵坐标均为相反数求解即可；（2）△ABC的面积等于矩形的面积减去三个三角形的面积.（1）如图，C1坐标为（－3，2）；（2）11123212131222 ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯3611 2.52=---=. 21．BE＝0.8cm先证明△ACD ≌△CBE ，再求出EC 的长，解决问题．【详解】解：∵BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D∴∠E ＝∠ADC ＝90°∵∠BCE +∠ACE ＝∠DAC +∠ACE ＝90°∴∠BCE ＝∠DAC∵AC ＝BC∴△ACD ≌△CBE∴CE ＝AD ，BE ＝CD ＝2.5﹣1.7＝0.8（cm ）．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，准确找到全等条件是解题的关键．22．见解析【解析】【分析】（1）由于D 是BC 的中点，那么BD =CD ，而BE =CF ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，利用HL 易证Rt Rt BDE CDF ≌，，可得DE =DF ，利用角平分线的判定定理可知点点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)∵D 是BC 的中点∴BD =CD ，又∵BE =CF ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，Rt Rt BDE CDF ≌，∴DE =DF ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 平分∠BAC ；(2)Rt Rt BDE CDF ≌，∴∠B =∠C ，∴AB =AC ，∴AB−BE=AC−CF，∴AE=AF，∵DE=DF，∴AD垂直平分EF.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上. 23．(1)∠BAD=40°；（2）详见解析；（3）BD=2.5.【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；（2）根据高线的定义，过点E作BD的垂线即可得解；（3）根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，先求出△BDE的面积，再根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）在△ABE中，∵∠ABE=15°，∠BAD=40°，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；（2）如图，EF为BD边上的高；（3）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，∴S△ABD =12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，S△BDE=14S△ABC，∵△ABC的面积为20，BD=2.5，∴S△BDE =12BD•EF=12×5•EF=14×20，解得EF=2．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）先证明9030ABD BAE ∠=-∠= ，，可知AB =2AD ，因为AE =2AD ，所以AB =AE ，从而可知△ABE 是等边三角形．（2）由（1）可知：60ABE AEB ∠=∠= ，AE =BE ，然后求证BEG AEF ≌，即可得出BG =AF ；（3）由于S 四边形AGEF AEG AEF AEG BEG ABE S S S S S =+=+= 故只需求出△ABE 的面积即可．【详解】(1)AB =AC ，AD ⊥BC ，160,902BAE CAE BAC ADB ∴∠=∠=∠=∠= ，9030ABD BAE ∴∠=-∠= ，∴AB =2AD ，∵AE =2AD ，∴AB =AE ，60BAE ∠= ，∴△ABE 是等边三角形.(2)∵△ABE 是等边三角形，60ABE AEB ∴∠=∠= ，AE =BE ，由(1)60,CAE ∠= ∴∠ABE =∠CAE ，60NEM BEA ∠=∠= ，∴∠NEM −∠AEN =∠BEA −∠AEN ，∴∠AEF =∠BEG ，在△BEG 与△AEF 中，,GBE FAE BE AE BEG AEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA).BEG AEF ∴ ≌∴BG =AF ；(3)由(2)可知：BEG AEF ≌，S BEG S AEF ∴= ，∴S 四边形AGEF AEG AEF AEG BEG ABES S S S S =+=+= ∵△ABE 是等边三角形，∴AE =AB =4，11422ABE S AE BD ∴=⋅=⨯⨯= ∴S四边形AGEF =25．见详解【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【详解】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，AB BC ABD CBD BD BD ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB=∠CDB ，∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM=PN ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．。

2022-2023学年八年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（共10题，每题3分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（ ）A. 1−B. 227C. D. 3.141 【答案】C【解析】【分析】根据无理数是无限不循环小数，包括开方不尽的根式，π，以及像0.1010010001L 即可求解．故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．2. 下列计算正确的是（ ）A.B.C. 3+D. 2= 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式运算法则即可求解．【详解】A不能计算，故错误；B，正确；C 、D故选B ．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．3. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A. 2，3，4B. 3，4，5C. 0.3，0.4，0.5D. 4，5，6【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理代入计算即可得到答案． 的【详解】解：A ．选项22223134+=≠所以A 选项不是勾股数，B ．选项22234255+==所以B 选项是勾股数C ．选项2220.30.40.250.5+==但是3个数都不是整数，所以C 选项不是勾股数，D ．选项22245416+=≠所以D 选项不是勾股数，故选B ．【点睛】本题考查勾股数定义满足222+=a b c 的3个正整数，解题的关键是记得勾股数定义及快速运算验证．4. 在平面直角坐标系中，点P (3，-4)到x 轴的距离是（ ）A. 3B. -3C. 4D. -4【答案】C【解析】【分析】根据到x 轴的距离是其纵坐标的绝对值求解． 【详解】解：点P (3，-4)到x 轴的距离是44−=， 故选C ．【点睛】本题考查了点的坐标的确定与意义，点到x 轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是其横坐标的绝对值．5. 在ABC 中，90C ∠=° ，8AC =，6BC =，则AB 的长为（ ）A. 5B. 10 D. 28【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理直接运算即可得到答案．【详解】解：∵90C ∠=° ，8AC =，6BC =，即AB 直角为三角形斜边，∴222AC BC AB +=∴10AB =， 故选B ．【点睛】本题主要考查勾股定理的理解应用，解题关键是认清楚直角边斜边．6. 函数y =x 的取值范围是（ ）A. 2x ≤B. 2x <C. 2x >D. 2x ≥【答案】D【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，x -2≥0，解得x ≥2．故选：D ．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数． 7. 已知a<0，b>0，则一次函数y=ax+b 的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由a ＜0可以推知该直线从左往右下降，由b ＞0与y 轴交于正半轴，从而可以判断该函数经过第一、二、四象限．【详解】解：∵a ＜0，∴该直线从左往右下降，∵b ＞0，∴该直线与y 轴交于正半轴，∴图象经过一、二、四象限；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）是一条直线，当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小；图象与y 轴的交点坐标为（0，b ）．8. 若点()3,2A m −和点(),B m n 关于y 轴对称，则m n +的值为（ ）A. 2B. 2−C. 5D. 5−【答案】A【解析】【分析】直接利用关于y 轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得出m ，n 的值，进而得出答案．【详解】解：∵点()3,2A m −和点(),B m n 关于y 轴对称，∴30m +=，2m n −=， 解得3m =−，5n =，∴352m n +=−+=，故选：A【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确记忆坐标的符号特征是解题关键．9. 若一个正比例函数的图象经过A （4，﹣8），B （3，m ）两点，则m 的值为（ ）A. ﹣6B. 6C. ﹣32D. 32【答案】A【解析】【分析】求出正比例函数解析式，代入点的坐标求解即可．【详解】设正比例函数解析式为y kx =，把A （4，﹣8）代入得，84k −=，解得，2k =−，正比例函数解析式为2y x =−；把B （3，m ）代入得236m =−×=−，故选：A ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题关键是熟练运用待定系数法求出正比例函数解析式．10. 已知点P （x ，y ）40y ++=，则点P 在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】0,40y ≥+≥ 40+=20,40x y ∴−=+=2,4x y ∴==−点()2,4P −在第四象限故选D二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11. －64的立方根是_______．【答案】-4【解析】【分析】直接利用立方根意义，一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数进行求解．【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数，可知-64的立方根为-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数．12. 若函数24k y x −=+是一次函数，则k 的值是_____．【答案】3【解析】【分析】根据一次函数的定义得到21k −=，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得21k −=，解得3k =．故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如(0y kx b k =+≠，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数．13.的值在两个整数a 与1a +之间，则=a ______．【答案】3【解析】【分析】利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数，进而得出答案．<<∴34<<∴3a =故答案为：3．的的取值范围是解题关键．14. 符号“*”表示一种新运算，规定*a b =6*2的值为 __．【解析】【分析】根据新运算将6*2【详解】解：由题意得：6*2==−=【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、新定义的运算等知识点，将新定义运算转换成二次根式的混合运算是解答本题的关键．15. 如图，已知点E 是长方形ABCD 中AD 边上一点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，折叠后点C 的对应点为C ′，点D 的对应点为D ′，若点A 在C D ′′上，且108AB BC ==，，则AE =___________．【答案】5【解析】【分析】根据翻折的性质可知8BC BC ′==，10C D AB ′′==，90C D DAB ′′∠=∠=∠=°，在Rt AC B ′ 中，由勾股定理可得6AC ′=，则1064AD C D AC ′′′′=−=−=，在 Rt AD E ′ 中，设AE x =，则 8D E DE AD AE x ′==−=−，由勾股定理可列出方程2224(8)x x +−=，即可求解．【详解】解： 四边形ABCD 为长方形，∴根据翻折性质可得：8BC BC ′==，10C D AB ′′==，90C D DAB ′′∠=∠=∠=°，在Rt AC B ′中，由勾股定理可得6AC ′=，∴1064AD C D AC ′′′′=−=−=，在 Rt AD E ′ 中，设AE x =，则 8D E DE AD AE x ′==−=−，由勾股定理可得：222AD D E AE ′′+=,即2224(8)x x +−=的的解得：5x =，即 5AE =，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理及其应用，熟练掌握矩形的性质和勾股定理等是解题的关键．三、解答题（共5题，第16题8分，第17题6分，第18题9分，第19题8分，第20题7分，第21题8分，第22题9分，共55分）16. 计算：（1−（2）2)+−+【答案】（1）2−（2）1【解析】【分析】（1）直接使用运算性质计算，化简结果即可；（2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可．【小问1详解】解：原式−=2−【小问2详解】解：原式222=−342=−+1=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键要掌握运算性质，灵活运用运算公式可简化运算． 17. 一个零件的形状如图所示，按规定∠BAC 应为直角，工人师傅测得∠ADC ＝90°，AD ＝3，CD ＝4，AB ＝12，BC ＝13，请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么．【答案】这个零件符合要求，理由见解析【解析】【分析】先根据勾股定理求AC 的长，再利用勾股定理的逆定理，判断出△ABC 的形状，从而判断这个零件是否符合要求．【详解】解：这个零件符合要求，理由如下：连接AC ．∵∠ADC =90°，AD =3，CD =4，∴AC，∵AB =12，BC =13，且22251213+=,∴AC 2+AB 2=BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴∠BAC =90°，故这个零件符合要求．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是先求出AC 的长，结合BC 和AB 的长可判断出△ABC 的形状．18. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，A （﹣1，5），B （﹣1，0），C （﹣4，3）．（1）画出△ABC 关于y 轴成轴对称的△A 1B 1C 1；（其中A 1、B 1、C 1是A 、B 、C 的对应点，不写画法） （2）写出A 1、B 1、C 1坐标；（3）求出△A 1B 1C 1的面积．的【答案】见解析【解析】【分析】(1)根据轴对称图形的性质画出图形；(2)根据图形得出点的坐标；(3)根据三角形的面积求法得出三角形的面积.【详解】(1)、如图(2)、根据图形可得：()115A ，，()110B ，，()143C ，． (3)、1111155322A B C S ∆=××= 19. 甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价3元，羽毛球拍每副定价50元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠2个羽毛球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，羽毛球(8)x x ≥个．（1）若在甲店购买付款y 甲（元），在乙店购买付款y 乙（元），分别求y 甲、y 乙与x 的函数关系式； （2）买10个羽毛球时，在哪家商店购买合算？【答案】（1）3176y x =+甲， 2.7180y x =+乙；（2）在甲家商店购买合算．【解析】【详解】解：（1）由题意可得，450(8)33176y x x =×+−×=+甲，(4503)0.9 2.7180y x x =×+×=+乙；（2）当10x =时，310176206y =×+=甲， 2.710180207y =×+=乙，206207< ，∴买10个羽毛球时，在甲家商店购买合算．20. 一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s 千米与所用的时间t 小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km /h ，大客车的速度是________ km /h ；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t ，s ；（2）50，30；（3）15小时，450km【解析】【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh 时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x ，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t ；因变量是路程s ；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h ），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21. 如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．(1)求证：BD⊥AC.(2)若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)线段DE使得最小值为9.6．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可．（2）根据垂线段最短可得出当DE⊥AB时，DE长度最小，再利用面积法可求出线段DE的最小值．【详解】解：(1)∵AC＝21，AD＝16，∴CD＝AC﹣AD=5，在△BCD中，BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC．(2)当DE⊥AB时，DE最短，在R t△ABD中，AB=＝20，∵12•AD•DB＝12•AB•DE，∴DE ＝161220×＝9.6， ∴线段DE 使得最小值为9.6．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 22. 八年级（1）班张山同学利用所学函数知识，对函数21y x x =+−−进行了研究．列表如下： x ．．． 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 ．．．y ．．． 75 3 m 1 n 1 1 1 ．．．． （1）表格中，m =___________；n =___________．（2）在给出的坐标系中描点，画出函数21y x x =+−−的图象．（3）自变量x 的取值范围是___________．（4）请写出该函数的一个性质．【答案】（1）1，1 （2）见解析（3）全体实数 （4）当<2x −时，y 随x 的增大而减小，2x ≥−时，y =1【解析】【分析】（1）将2x =−、0x =代入21y x x =+−−即可求解；（2）根据表格里面的数据，先描点，再作图即可；（3）结合函数图象和函数解析式即可作答；（4）结合函数图象即可作答．【小问1详解】当2x =−时，211m y x x ==+−−=；当0x =时，211n y x x ==+−−=；即：1m =，1n =；【小问2详解】描点作图如下：如图实线即为函数21y x x =+−−的图象；【小问3详解】 由图象及函数21y x x =+−−的特点可知：自变量x 的取值范围是全体实数；【小问4详解】根据图象可知：当<2x −时，y 随x 的增大而减小，2x ≥−时，y =1．【点睛】本题考查了函数的图象与性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出两段折线的交点是解题关键．。

2024-2025学年度第一学期联盟试卷（一）八年级 数学注意事项：1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）A. B. C. D.【答案】B【详解】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，故此选项符合题意；C 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：B ．2. 如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAE 的度数是（ ）A. 90°B. 108°C. 120°D. 135°【答案】B 【详解】解：正五边形的内角和=(52)180540−×°=°， ∴∠BAE=5401085=°°，故选：B ．3. 在平面直角坐标系中，点()6,2P −关于x 轴的对称点的坐标是（ ）A. ()6,2−−B. ()6,2C. ()2,6−D. ()6,2−【答案】A【详解】解：点()6,2P −关于x 轴的对称点的坐标是()6,2−−，故选A ．4. 如图，在ABC 和DEF 中，A D ∠=∠，AC DF =，要使得ABC DEF ≌△△，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）A. BF CE =B. //AC DFC. B E ∠=∠D. AB DE =【答案】A 【详解】解： 在ABC 和DEF 中，已有,A D AC DF ∠=∠=， ∴要使ABC DEF ≅△△，只需增加一组对应边相等或对应角即可，即需增加的条件是AB DE =，DFE B E ∠=∠∠=∠，观察四个选项可知，只有选项A 符合，故选择：A ．5. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm 、2cm ，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 7cmB. 9cmC. 12cm 或者9cmD. 12cm【答案】D【详解】若2cm 为腰长，5cm 为底边长，∵2+2=4＜5，不能组成三角形，∴不合题意，舍去；若2cm 为底边长，5cm 为腰长，则此三角形的周长为：2+5+5=12cm ．故选D ．6. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m 高的B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.4m 和1.8m ，90BOC ∠=°．爸爸在C 处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）A. 1mB. 1.6mC. 1.8mD. 1.4m【答案】D 【详解】解：90BOC ∠=° ，90BOD COE ∴∠+∠=°，90BDO ∠=°，90CEO ∠=°， 90BOD OBD ∴∠+∠=°，90COE OCE ∠+∠=°，COE OBD ∴∠=∠，BOD OCE ∠=∠，又OB CO = ，()OBD COE AAS ∴≅ ，1.4m OE BD ∴==， 1.8m OD CE ==，1.8m 1m 1.4m 1.4m AE OA OE OD DA OE ∴=−=+−=+−=．故选：D ．7. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ’、BB 的中点，只要量出A ’B ’的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两点确定一条直线C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D. 两点之间线段最短【答案】A【详解】解： 点O 为AA ′、BB ′的中点，OA OA ∴′=，OB OB ′=，由对顶角相等得AOB A OB ′′∠=∠，在AOB 和A OB ′′△中，OA OA AOB A OB OB OB ′′= ∠=∠′′ =， ()SAS AOB A OB ′′∴△≌△，AB A B ′′∴=，即只要量出A B ′′的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度，故选：A ．8. 如图，在ABC 中，62B ∠=°，34C ∠=°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交AC 的两侧于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则BAD ∠的度数为（ ）A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°【答案】A 【详解】解：根据作图可知，MN 垂直平分AC ，∴AD CD =，∴34DAC C ∠=∠=°，∵18084BAC B C ∠=°−∠−∠=°，∴843450BAD BAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°，故A 正确．故选：A ．9. 元旦联欢会上，3 名同学分别站在 ABC 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在ABC 的（ ）A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三边中线的交点D. 三边上高的交点【答案】A【详解】解：∵ABC 的垂直平分线的交点到ABC 三个顶点的距离相等，∴凳子应放置的最适当的位置时在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．10. 如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，236cm ABC S =△，18cm AB =，12cm BC =，则DE 的长为（ ）A. 2cmB. 36cm 13C. 12cm 5D. 3cm【答案】C 【详解】解：如图，过点D 作DF BC ⊥于F ，∵BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥，∴DE DF =，∵18cm AB =，12cm BC =， ∴1118122623ABC DE S DF =×+×= ， 即6111812223DE DE ×+×=， 解得()12cm 5DE =． 故选：C ．第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 如图，ABC 中，4AB AC ==，P 是BC 上任意一点，过P 作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于E ，若12ABC S =△，则PE PD +=_________【答案】6【详解】解：连接AP ，由图可得，ABCABP ACP S S S =+△△△， ∵PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于E ，12ABC S =△， ∴()1111442122222AB PE AC PD PE PD PE PD ×+×=××+××=+=， ∴6PE PD +=．故答案为：6．12. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在AOB ∠上，两把直尺的接触点为P ，边OA 与其中一把直尺边缘的交点为C ，点C 、P 在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC 的长度是______．【答案】3cm【详解】解：过P 作PN OB ⊥于N ，由题意得：PM PN =，PC OB ∥，PM OA ⊥，PO ∴平分AOB ∠，COP NOP ∴∠=∠，∵PC OB ∥，CPO NOP ∴∠=∠，COP CPO ∴∠=∠，OC PC ∴=， C 、P 在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，()523cm PC ∴=−=，OC ∴长度是3cm ．故答案为：3cm ．13. 如图，在Rt △ABC 与Rt △DCB A =∠D =90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt △ABC ≌Rt △DCB ，你添加的条件是______．【答案】AB =DC【详解】解：添加条件是AB =CD ．理由是：∵∠A =∠D =90，AB =CD ，BC =BC ，∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ），故答案为：AB =CD ．14. 如图，亮亮想测量某湖A ，B 两点之间的距离，他选取了可以直接到达点A ，B 的一点C ，连接CA ，CB ，并作BD AC ∥，截取BD AC =，连接CD ，他说，根据三角形全等的判定定理，可得ABC DCB △≌△，所以AB CD =，他用到三角形全等的判定定理是______．的【答案】SAS【详解】解：∵BD AC ∥，∴ACB DBC ∠=∠，在ACB △与DBC △中，AC BD ACB BDC BC CB = ∠=∠ =， (SAS)ACB DBC ∴ ≌，AB CD ∴=， 故答案为：SAS ．15. 如图，在等边ABC 中，BF 是AC 上中线且4BF ＝，点D 在线段BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE ，连接EF ，则AE EF +的最小值为 ____________________．【答案】4【详解】解：ABC 、ADE 都是等边三角形，AB AC ∴=，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=°，BAD CAE ∴∠=∠，()SAS BAD CAE ∴ ≌，ABD ACE ∴∠=∠，AF CF = ，30ABD CBD ACE ∴∠=∠=∠=°，∴点E 在射线CE 上运动（30ACE ∠=°）， 作点A 关于CE 的对称点M ，连接FM 交CE 于E ′，此时AE E F ′′+的值最小，即AE E F ME E F FM ′′′′+=+=，CA CM = ，260ACM ACE ∠=∠=°， ACM ∴ 是等边三角形，ABC 是等边三角形，(AAS)ACM ACB ∴≌ ，4BF FM ∴==，即：AE EF +的最小值是4，故答案：4．三、解答题（本题共8小题，共75分）16. 如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，90A D ∠=∠=°，BE CF =，AC DF =．求证：B DEF ∠=∠．【答案】见解析【详解】证明：∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+，即BC EF =，在Rt ABC △和Rt DEF △中，AC DF BC EF = =， ∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△，∴B DEF ∠=∠．17. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A 、B 两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题测量河两岸A 、B 两点间距离为测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图测量步骤 ①在点B 所在河岸同侧的平地上取点C 和点D ，使得点A 、B 、C 在一条直线上，且CD BC =；②测得100,65DCB ADC ∠=°∠=°；③在CD 的延长线上取点E ，使得15BEC ∠=°；④测得DE 的长度为30米．请你根据以上方案求出A 、B 两点间的距离AB ．【答案】A 、B 两点间的距离AB 为30米【详解】解：100,65DCB ADC ∠=°∠=° ，18015CAD DCB ADC ∴∠=°−∠−∠=°．15E ∠=° ，CAD E ∴∠=∠．在DCA △和BCE 中，CAD E ACD ECB CD BC ∠=∠ ∠=∠ =(AAS)DCA BCE ∴△△≌，AC EC ∴=．BC CD = ，AC BC CE CD ∴−=−，30AB DE =∴=米，即A 、B 两点间的距离AB 为30米．18. 如图，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）请写出ABC 关于x 轴对称的111A B C △的各顶点坐标；（2）请画出ABC 关于y 轴对称的222A B C △；（3）在x 轴上求作一点P ，使点P 到A 、B 两点的距离和最小，请标出P 点，并直接写出点P 的坐标______．【答案】（1）点()11,1A −，()14,2B −，()13,4C −（2）见解析 （3）()2,0【解析】【小问1详解】解：ABC 与111A B C △关于x 轴对称，∴点()11,1A −，()14,2B −，()13,4C −．【小问2详解】如图，222A B C △即为所求．【小问3详解】如图，点P 即为所求，点P 的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．19. 图1是一个平分角的仪器，其中OD OE FD FE ==，．（1）如图2，将仪器放置在ABC 上，使点O 与顶点A 重合，D ，E 分别在边AB AC ，上，沿AF 画一条射线AP ，交BC 于点P ．AP 是BAC ∠的平分线吗？请判断并说明理由．（2）如图3，在（1）的条件下，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，若69PQ AC ==，，ABC 的面积是60，求AB 的长．【答案】（1）AP 是BAC ∠的平分线，理由见解析（2）11AB =【解析】【小问1详解】解：AP 是BAC ∠平分线理由如下：在ADF △和AEF △中，AD AE AF AF DF EF = = =，∴()SSS ADF AEF △△≌∴DAF EAF ∠=∠，∴AP 平分BAC ∠．【小问2详解】解： ∵AP 平分BAC ∠，PQ AB ⊥，∴APC △的高等于PQ ，∵6PQ =．∴69227APC S =×÷=△，∵33ABP ABC APC S S S =−=△△△∴2332611ABP AB S PQ =÷=×÷=△．的20. 如图，△ABC 中，∠A <60°，AB =AC ，D 是△ABC 外一点，∠ACD =∠ABD =60°，用等式表示线段BD 、CD 、AC 的数量关系，并证明．【答案】ACBD CD =+，证明见解析 【详解】ACBD CD =+． 证明：如图，延长BD 至E ，使BE AB =，连接AE ，CE ．ABE ∴ 是等腰三角形．·60ABD =∠ ，ABE ∴ 是等边三角形．AE AB BE ∴==，60AEB ∠=． AB AC = ，AE BE AC =∴=．ACE AEC ∴∠=∠．60ACD =∠ ，ACD AEB ∴∠=∠．ACE ACD AEC AEB −∠=∠−∠∴∠．即ECD CED ∠=∠．CD DE ∴=．BE BD DE BD CD ∴=+=+．AC BD CD =∴+．21. 已知：如图，AC ∥BD ，请先作图再解决问题．(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．(不要求写作法)①作BE 平分∠ABD 交AC 于点E ；②在BA 的延长线上截取AF=BA ，连接EF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)△BEF 直角三角形；证明见解析.【详解】解：(1)①如图，点E 即为所求；②如图，AF ，EF 即为所求；(2)∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE=∠EBD ．∵AC ∥BD ，∴∠EBD=∠AEB ，∴∠ABE =∠AEB ，∴AE=AB ．∵AB=AF∴AE=AF ，∴∠AFE =∠AEF ，∵∠ABE +∠AEB+∠AFE +∠AEF=180°∴∠AEB+∠AEF=90°即∠BEF =90°∴△BEF 是直角三角形．22. 已知：在ABC 中，D 是BC 的中点．是【问题解决】（1）如图1，若6AB =，4AC =，求AD 的取值范围．小明的做法是：延长AD 至点M ，使AD MD =，连接BE ，证明ACD MBD △≌△，小明判定全等的依据为：______．【类比探究】（2）如图2，在BC 的延长线上存在点M ，BAC BCA ∠=∠，CM AB =，求证：2AM AD =．【变式迁移】（3）如图3，90BAM NAC ∠=∠=°，AB AM =，AC AN =，试探究线段AD 与MN 的关系，并证明．【答案】（1）SAS ；（2）见解析；（3）2,MN AD MN AD =⊥，证明见解析 【详解】（1）解：∵D 是BC 的中点，∴BD CD =，∵,,D BD CD ADC M M A DB D =∠==∠，∴()ADC MDB SAS ≌，其中判定全等的依据为SAS ，故答案为：SAS ；（2）解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，∵D 是BC 的中点，CD BD ∴=，在ADC △和EDB △中DC DB ADC EDB DA DE = ∠=∠ =， (SAS)ADC EDB ∴△≌△，,BE AC BCA EBD ∴=∠=∠，,,BAC BCA ACM ABC BAC EBA EBD ABD ∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠ ，ACM EBA ∴∠=∠，在ACM △和EBA △中，AC EB ACM EBA CM BA = ∠=∠ =， (SAS)ACM EBA ∴ ≌，2AM AE AD ∴==．（3）解：2,MN AD MN AD =⊥， 证明如下：如图，在AD 的延长线上截取DH AD =，连接CH ，则2AH AD =，∵D 是BC 的中点，CD BD ∴=，(SAS)CDH BDA ∴ ≌，,CH AB AHC BAE ∴=∠=∠，,90AB AM BAH =∠=° ，,90CH AM AHC ∴=∠=°，90ACH CAH ∴∠+∠=°，90NAC ∠=° ，90NAM CAH ∴∠+∠=°，NAM ACH ∴∠=∠，(SAS)NAM ACH ∴ ≌，,90MN AH AMN AHC ∴=∠=∠=°， 2,MN AD MN AD ∴=⊥．23. 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：【模型探究】已知，在ABC 中，AB BC =，点P 是ABC 外部一点，过点P 作射线AE ．（1）如图1，若ABC 是等边三角形，AE 经过BAC ∠内部，60BPA ∠=°，求证：60APC ∠=°． 小宁的做法是：在AE 上截取BQ BP =，构造“手拉手模型”，得出结论．请你帮助小宁完成证明：【模型应用】（2）如图2，已知30BAC BPA ∠=∠=°．当AE 经过BAC ∠内，求APC ∠的度数． 【拓展提高】（3）如图3，已知30BAC BPA ∠=∠=°．当AE 在AC 下方，求APC ∠的度数．【答案】（1）证明见解析部分；（2）120°；（3）60APC ∠=°【详解】（1）证明：如图1，在AE 上取一点Q ，使BQ BP =，∵60BPA ∠=°，∴BPQ 是等边三角形，∴60QBP BPQ BQP ∠=∠=∠=°， ∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ∠=°，∴ABC QBP ∠=∠， ∴ABC QBC PBQ QBC ∠−∠=∠−∠，即ABQ CBP ∠=∠， 在BAQ 和BCP 中，AB BC ABQ CBP BQ BP = ∠=∠ =∴()BAQ BCP SAS ≌，∴180********BPCAQB BQP ∠=∠=°−∠=°−°=°， 1206060APC BPC BPQ ∴∠=∠−∠=°−°=°； （2）解：如图2，在AE 上取一点,M BM BP =，30,BAC BPA AB BC ∠=∠=°= ， 30,30BAC BCA BMP BPM ∴∠=∠=°∠=∠=°， 120ABC MBP ∴∠=∠=°，ABM CBP ∴∠=∠，在ABM 和CBP 中，BA BC ABM CBP BM BP = ∠=∠ =， ()ABM CBP SAS ∴ ≌，18030150BPC BMA ∴∠=∠=°−°=°， 15030120APC ∴∠=°−°=°；（3）解：如图3．在PA 延长线上取一点M ，使得BM BP =，30,BAC BPA AB BC ∠=∠=°= ，30,30BAC BCA BMP BPM ∴∠=∠=°∠=∠=°， 120ABC MBP ∴∠=∠=°，ABM CBP ∴∠=∠，在ABM 和CBP 中，BA BC ABM CBP BM BP = ∠=∠ =， ()ABM CBP SAS ∴ ≌，30BPC M ∴∠=∠=°，303060APC BPM BPC ∴∠=∠+∠=°+°=°．。

2024-2025学年八年级数学上学期期中测试卷（一）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：（北师版）八年级上册第一章~第四章。

5．难度系数：0.85。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．实数16的平方根是( )A．4B．－4C．±4D．16【答案】C【详解】分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．详解：∵（±4）2=16，∴实数16的平方根是±4．故选C．点睛：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．下列4个数中，3.1415926，22，π7C．πDA．3．1415926B．227故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理数的实数的分类，熟练地掌握无理数的定义是解题的关键．常见的无理数有：含π的数、开不尽方的数、有规律但是不循环的数．3．下列运算中正确的是（ ）A B ．2+C ．2=12D =−24．下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三边长的是（ ）A ．1，2，3B ．2，4，7C ．6，8，10D ．13,14,155．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m6．在平面直角坐标系中，点5，−2所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据各象限内的点的坐标符号规律即可得．【详解】解：因为点5，−2的横坐标为5>0，纵坐标为−2<0，所以点5，−2所在的象限是第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握各象限内的点的坐标符号规律是解题关键．7．关于直线l:y=−2x+4，下列说法不正确的是（）A．函数的图象经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小C．函数的图象是由y=−2x的图象向上平移4个单位长度得到的D．若A(x1,y1)，B(x2,y2)两点在该函数图象上，且x1<x2，则y1<y2【答案】D【分析】由k=−2<0，b=4>0，可得图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，再分别求解一次函数与坐标轴的交点坐标，从而可得答案．【详解】解：∵y =−2x +4，k =−2<0，b =4>0，∴图象经过一、二、四象限，y 随x 的增大而减小，故A ，B 不符合题意；∵y =−2x +4函数的图象是由y =−2x 的图象向上平移4个单位长度得到的，故C 不符合题意；当x =0时，y =4，∴A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点在该函数图象上，且x 1<x 2，则y 1>y 2，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与增减性，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟记一次函数的性质是解本题的关键．8．一次函数y =kx +b 与y =x−2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组y =kx +b y =x−2 的解是（ ）A ．x =4y =2B ．x =4y =−2C ．x =2y =1D ．x =2y =−1【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．先利用y =x−2确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．【详解】解：对于y =x−2，当x =4时，y =4−2=2，∴两直线交点坐标为(4,2)，∴方程组y =kx +b y =x−2 的解x =4y =2 ，故选：A ．9．若kb >0，则正比例函数y =kx 与一次函数y =bx +k 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由kb >0，得k 、b 同号，再分k >0,b >0及k <0,b <0，两种情况讨论即可得答案．【详解】解：∵kb >0，∴k 、b 同号，若k >0,b >0，y =kx 图象经过第一、三象限，y =bx +k 经过第一、二、三象限，若k <0,b <0，y =kx 图象经过第二、四象限，y =bx +k 经过第二、三、四象限，只有选项A 符合，故选：A ．10．如图，一次函数交x 轴于点A (4,0)，交y 轴于点B (0,3)，过点A 作AC ⊥AB ，且AC =AB ．连接BC ，当点C在第一象限时，直线BC 的解析式为（ ）A ．y =17x +3B ．y =16x +3C ．y =15x−3D ．y =14x +3【答案】A【分析】根据点A 和B 的坐标求出线段OA 和OB 的长，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，由全等三角形的判定可得出△ABO≌△CAD ，由全等三角形的性质可得AD =OB =3，CD =OA =4，从而求出点C 的坐标，继而可求出直线BC 的解析式．【详解】过点C 作CD ⊥x 轴于D ，二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．若电影院的5排3号记为(5,3)，则4排7号记为．【答案】(4,7)【分析】根据题意明确对应关系，排在前，号在后，然后进行分析解答．【详解】解：电影院中的5排3号记为（5，3），则4排7号记为（4，7）．故答案为：（4，7）．【点睛】本题主要考查坐标确定位置，掌握在平面中确定一个点的位置需要知道纵坐标和横坐标两个条件．12．如图，已知RtΔABC中，∠C=90°，BC=20，AC=15，CD是斜边AB上的高，求AD的长度为．13．请你写出一个图象过点（1，2），且y随x的增大而减小的一次函数解析式．【答案】y=﹣x+3【分析】将点（1，2）代入一次函数解析式为y=kx+b，得到k+b=2，又因为y随x的增大而减小，可得出k小于0，取k=-1，可得出b=3，确定出满足题意的一次函数解析式,本题答案不唯一.【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，将x=1，y=2代入得：k+b=2，又此一次函数y随x的增大而减小，∴k＜0，若k=-1，可得出b=3，则一次函数为y=-x+3．故答案为y=-x+3【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．此外本题的答案不唯一，只要满足k为负数，且k+b=2即可．14．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞m．15．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF=．16．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为．【答案】(21008，21009)【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)（n为自然数）”，依此规律结合2017=1008×2+1即可找出点A2017的坐标．【详解】由图可知：A1(1，2)，A2(﹣2，2)，A3(﹣2，﹣4)，A4(4，﹣4)，A5(4，8)，…，∵2017=504×4+1，∴点A2017在第一象限，∵2017=1008×2+1，∴A2n+1((﹣2)n，2(﹣2)n)(n为自然数)．∴A2017的坐标为((﹣2)1008，2(﹣2)1008)=(21008，21009)．故答案是：(21008，21009)【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．三．解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）求下列各式中的x：(1)1(x−1)3=−4；2(2)(2x+1)2=9．题的关键．18．（8分）计算(2)(3+÷19．（8分）平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A0，1、B2，0、C4，3．(1)若△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，请在平面直角坐标系中画△A′B′C′；(2)△A′B′C′的面积是________；(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)4(3)P10，0或−6，0【分析】本题考查了作轴对称图形、三角形的面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）根据轴对称的性质得出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，再顺次连接即可；（2）利用割补法求三角形面积即可；（3）根据三角形的面积求出BP=8，进而即可得出点P的坐标．【详解】（1）解：△A′B′C′如图所示：；20．（8分）如图，直线y=−3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C(0,−3)在y轴上，连接AC．(1)求点A和点B的坐标；(2)若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；【答案】(1)点A坐标为(2,0)，点B坐标为(0,6)(2)点P的坐标为(4,−6)或(−4,18)【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．（1）根据坐标轴上的点的坐标特征即可解决问题．（2）由△BCP的面积为18可求出点P的横坐标，据此可解决问题．【详解】（1）将y=0代入y=−3x+6得，−3x+6=0，解得x=2，∴点A坐标为(2,0)．将x=0代入y=−3x+6得，21．（8分）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得CB=2千米，CH=1.6千米，HB=1.2千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．22．（10分）2022年春节，某地连续14天进行了3次全员核酸检测．某次，甲乙两家医院对A、B两个小区居民进行检测，在整个检测过程中，检测的人数y（人）与检测时间x（分）的对应关系如图所示：(1)两家医院共检测______人，甲乙两家医院检测的速度差是______．(2)求出两家医院的y与x的函数关系式；(3)甲医院开始检测多长时间两家医院检测人数相差200人?【答案】(1)6000，8人/分(2)y甲=20x−1000；y乙=12x(3)甲医院开始检查后50分钟或100分钟，两家医院检测人数相差200人．【分析】（1）由图象直接可得答案；（2）在图象上找两点或一点，利用待定系数法可得答案；（3）有甲检测人数比乙多200和乙检测人数比甲多200两种情况，列出含绝对值的方程即可解得答案．【详解】（1）解：两家医院共检测3000+3000=6000（人），甲医院速度是3000÷(200−50)=20（人/分），乙医院速度是3000÷250=12（人/分），∴甲乙两家医院检测的速度差是8（人/分），故答案为：6000，8人/分；（2）解：设y 甲=kx +b ，将(50,0)，(200,3000)代入得：50k +b =0200k +b =3000 ，解得k =20b =−1000，∴y 甲=20x−1000；设y 乙=k′x ，将(250,3000)代入得：250k ′=3000，解得k ′=12，∴y 乙=12x ；所以甲医院的y 与x 的函数关系式为：y =20x−1000；乙医院的y 与x 的函数关系式为：y =12x ；（3）解：根据题意得：|20x−1000−12x |=200，解得x =100或x =150，∴x−50=50或x−50=100，答：甲医院开始检查后50分钟或100分钟，两家医院检测人数相差200人．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确识图，熟练应用待定系数法列出函数关系式．23．（10简：2−12=以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简．(1)请化简：2；(2)选择合适的方法化简1（n 为正整数）；(3)++++⋯+24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=kx+b(k≠0)与直线l2:y=x交于点A(a,2)，与y轴交于点B(0,5)，与x轴交于点C．(1)求直线l1的函数表达式；(2)在y轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOC，求出点P的坐标；(3)点E为直线l1上的动点，过点E作x轴的垂线，交于l2点F，点H为y轴上一动点，且△EFH为等腰直角三角形，求满足条件的点E的坐标．。

南山区前海港湾学校2022-2023学年第一学期八年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数组中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A. 9，13，15B. 3，3C. 15，9，17D. 3，4，5【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 详解】解：A ．22291325015+=≠ ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B．2223113+=≠ ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C ．22291530617+=≠ ，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D ．222345+= ，能构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查利用勾股定理的逆定理判断能否构成直角三角形，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．2. 下列各数中是无理数的是（ ）A. 2πB. 0.33333C. 0D. 0.1010010001−【答案】A【解析】【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可得．【详解】解：A 、2π是无理数，则此项符合题意； B 、0.33333是无限循环小数，属于有理数，则此项不符合题意； C 、0是整数，属于有理数，则此项不符合题意；D 、0.1010010001−是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了无理数，熟记无理数定义是解题关键．3.等于（ ）【的C. ±4D. 4【答案】D【解析】 【分析】根据立方根的定义计算即可．4=，所以A 、B 、C 都错误，D 正确，故选D ．【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的计算是解题的关键．4. 下列计算中，正确的是（ ）A. 3=±B. 5÷=C. 2=D. 3+【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可．【详解】解：A33≠±，故此选项不符合题意；B5=，故此选项符合题意；C3，故此选项不符合题意；D、3+≠，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．5. 若点P （m ，2）与点Q （3，n ）关于y 轴对称，则m ，n 值分别为（ ）A. ﹣3，2B. 3，﹣2C. ﹣3，﹣2D. 3，2【答案】A【解析】【分析】根据平面直角坐标系中关于y 轴对称的点的坐标特点即可求m ，n 的值．【详解】∵点(),2P m 与点()3,Q n 关于y 轴对称，∴m +3=0，n =2，∴m =-3，n =2， 的故选：A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于y 轴对称的点的坐标特点，如果两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等．6.有意义，则字母a 应满足的条件是（ ） A. 32a < B. 32a ≤ C. 32a > D. 32a ≥ 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，得到230a −≥，解不等式即可．所以230a −≥， 解得32a ≥， 故选D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握有意义的基本条件是解题的关键．7.是同类二次根式的是（ ）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【详解】解：A =B= C=D故选：B ．【点睛】此题主要考查了同类二次根式，解题的关键是正确化简二次根式．8. 下列函数中，是一次函数的是（ ）A. 2y x =B. 91−xC. 23y x =+D. 1y x= 【答案】C【解析】 【分析】根据一次函数的一般形式对各选项依次进行判断．【详解】解：一次函数的一般形式为：y kx b =+，（k 、b 是常数，0k ≠）选项C 符合题意故选：C【点睛】本题考查了一次函数的识别，一次函数的一般形式为y kx b =+，（k 、b 是常数，0k ≠），掌握一次函数的一般形式是解题关键．9. 若点(),A a b 在第一象限，则点()2,B ab a−在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】先根据(),A a b 所在象限判断出a 、b 与零的大小关系，然后再判断()2,B ab a−的横纵坐标的正负情况即可．【详解】解：∵(),A a b 在第一象限∴0,0a b >>则20,0ab a >−<故点()2,B ab a−的横坐标为正数，纵坐标为负数，点B 在第四象限故选：D【点睛】本题考查了判断坐标轴中的点所在象限，正确判断点的横、纵坐标正负号是解题关键． 10. 细心观察图形，可以计算出：2OA =3OA =42OA ===， ……n OA =．则89OA A △的周长为（ ）A. B. 4+ C. D. 3【答案】B【解析】【分析】观察题目中的规律可得8OA =9893,1OA A A ===，即可求解．【详解】解：根据题意得：8OA =9893,1OA A A ===，∴89OA A △的周长为8989143A OA OA A =++++．故选B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确得到线段的变化规律是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分） 11.的平方根是 ．【答案】±2【解析】±2．故答案为±2．12.（填＞，＜，＝） 【答案】<【解析】【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．【详解】解：∵22534=<=，<， 故答案：<．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．13. 有一个水池，水面是一个边长为10 m 的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1m ，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度是_____m ．【答案】12【解析】【分析】首先设水池的深度为x m ，则这根芦苇的长度为(1)x +m ，根据勾股定理可得方程2225(1)x x +=+，求解即可．【详解】解：设水池的深度为x m ，由题意得：2225(1)x x +=+，解得：12x =，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，能从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键．14. 在平面直角坐标系中，点()1,23A a +到x 轴的的距离与到y 轴的距离相等，则=a _______．【答案】-1或-2【解析】【分析】根据点A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等可得2a +3=1或2a +3=-1，据此解出a 的值．【详解】解：∵A 到x 轴的距离与到y 轴的距离相等，∴2a +3=1或2a +3=-1，解得a =-1或a =-2．故答案为：-1或-2．【点睛】本题考查了点的坐标，关键是掌握到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值．为15. 观察下列运算过程：1−…… 请运用上面的运算方法计算：++⋅⋅⋅++_____．【答案】【解析】=，然后按照规律计算即可．++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=112−+⋅⋅⋅+【点睛】本题考查了计算规律探究、分母有理化、平方差公式，发现计算规律并正确运用是解题关键．三．解答题（共55分）16. 计算：（1）)（2． 【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和混合运算进行解答即可；（2）根据二次根式的性质和加减混合运算进行解答即可．【小问1详解】解：原式1==；【小问2详解】解：原式＝＋－＝【点睛】本题考查二次根式的化简及混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 17.先化简，后求值：(()2a a a a +−−−，其中1a =+． 【答案】25a −，3【解析】【分析】先按照整式乘法运算法则化简，然后将1a =+代入计算即可．详解】解：(()2a a a a +−− =2252a a a −−+=25a −将1a =+代入25a −得)215+−=3−【点睛】本题考查了整式化简求值、平方差公式计算，掌握整式乘法运算法则是解题关键．18. 已知A （1，-1），B （ - 1，4），C （-3，1）（1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC （每个小正方形的边长为1）；（2）作△ABC 关于y 轴对称的△DEF ，其中点A ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ；（3）连接BE ，BF ，求△BEF 的面积【【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据A （1，-1），B （ - 1，4），C （-3，1）在坐标系内描出A ，B ，C ，再顺次连接A ，B ，C 即可；（2）分别确定A ，B ，C 关于y 轴的对称点D ，E ，F ，再顺次连接D ，E ，F 即可；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，ABC 即为所求作的三角形，（2）如图，DEF 即为所求作的三角形，（3）△BEF 的面积123 3.2=创=【点睛】本题考查的是坐标与图形，画关于y 轴对称的三角形，三角形面积的计算，掌握轴对称图形的性质是解题的关键.19. 已知21a +的平方根是3±，322a b +−的算术平方根是4，求43a b −的值．【答案】7【解析】【分析】根据平方根，算术平方根的定义，列式确定a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵22(3)9,416±==，∴219,32216a a b +=+−=， 解得4,3a b ==， ∴4344331697a b −=×−×=−=．故答案为：7．【点睛】本题考查了平方根即2x a =，称x 是a 的平方根，算术平方根即正的平方根，熟练掌握定义是解题的关键．20. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE ＝1m ，将它往前推送4m （水平距离BC ＝4m ）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝2m ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度．【答案】绳索AD 的长度为8.5m【解析】【分析】设秋千的绳索长为x m ，根据题意可得AC ＝（x ﹣1）m ，利用勾股定理可得x 2＝42+（x ﹣1）2，解方程即可．【详解】解：在Rt △ACB 中AC 2+BC 2＝AB 2，设秋千的绳索长为xm ，则AC ＝（x ﹣1）m ，故x 2＝42+（x ﹣1）2，解得：x ＝8.5，答：绳索AD 的长度是8.5m ．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用中的秋千问题，根据题意作出秋千运动前后的图形，构造直角三角形运用勾股定理解答是关键．21. 阅读下列一段文字，回答问题．【材料阅读】平面内两点M （11,x y ），N （22,x y ），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN =M （3，1），N （1，－2），则MN【直接应用】（1）已知P （2，－3），Q （－1，3），求P 、Q 两点间的距离；（2）如图，在平面直角坐标系中，A （－1，－3），OB =，OB 与x 轴正半轴的夹角是45°．①求点B 的坐标；②试判断△ABO 的形状．【答案】（1）（2）①B （1，−1）；△ABO 是直角三角形．【解析】【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案；（2）①过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，求出OF ＝BF ＝1，则可求出答案；②求出OA 和AB 的长，由勾股定理的逆定理可得出结论．【小问1详解】解：∵P （2，−3），Q （−1，3），∴PQ=；【小问2详解】①过点B作BF⊥y轴于点F，∵OB与x轴正半轴的夹角是45°，∴∠FOB＝∠OBF＝45°，∵OB，∴OF＝BF＝1，∴B（1，−1）；②∵A（−1，−3），B（1，−1），∴OA=，AB=，∵AB2＋OB2＝8＋2＝10，OA2＝10，∴AB2＋OB2＝OA2，∴△ABO是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8,6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x 轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标：B（，）C（，）．（2）当点P运动时，用含t的代数式表示线段AP的长，并写出t的取范围；（3）点D（2,0），连结PD、AD，在（2）的条件下是否存在这样的t值，使S△APD=18S四边形ABOC，若存在，请求t值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）B（0,6）C（8,0）（2）()820428(47) AP t t AP t t=−≤≤=−<≤（3）3,5【解析】【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）当点P在线段BA上时，根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB=8，AC=6当点P在线段AC上时，于是得到结论；（3）当点P在线段BA上时，当点P在线段AC上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）B（0，6），C（8，0），故答案为0、6，8、0；（2）当点P在线段BA上时，由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB=8，AC=6，∵AP=AB-BP，BP=2t，∴AP=8-2t（0≤t＜4）；当点P在线段AC上时，∵AP=点P走过的路程-AB=2t-8（4≤t≤7）；（3）存在两个符合条件的t值，当点P在线段BA上时，∵S△APD=12AP•AC，S ABOC=AB•AC，∴12•（8-2t）×6=18×8×6，解得：t=3＜4，当点P在线段AC上时，∵S△APD=12AP•CD，CD=8-2=6，∴12•（2t-8）×6=18×8×6，解得：t=5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD=18S ABOC，【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．。

20232024学年度第一学期期中教学质量监测考试八年级数学试题第I 卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．下面由杭州亚运会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）A ．2cm ，2cm ，4cmB ．3cm ，4cm ，5cmC ．1cm ，2cm ，3cmD ．2cm ，3cm ，6cm3．已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，若该三角形有一个内角是70°，则顶角A 的度数为（ ）A ．70°B ．55°C ．40°D ．40°或70°4．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示，△ABC 为钝角三角形，则边AC 上的高是（ ）ABC DEF A E B D AC DF AC DF =ABC DEF ≌AE DB=A DEF ∠=∠BC DE =ABC D∠=∠A．AD B．AE C．BF D．CH6．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（ ）A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短C．直角三角形的两个锐角互为余角D．垂线段最短7．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，那么的值为（）A．B．C．1D．8．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为（ ）A．6B．5C．5D．49．如图是用正n边形地砖铺设小路的局部示意图，若用4块正n边形地砖围成的中间区域是一个小正方形，则n 的值为（）A．4B．6C．7D．810．如图，，点在线段上，，则的度数是（）(,3)A m(4,)B n y()2023m n+2015720157-1-P OAOB OP28BOP∠=︒AOB∠2︒6︒2︒6︒ABC AED≌△△E BC150∠=︒AED∠A ．2B 12．如图，在中，再分别以点，为圆心，大于结论：①平分A ．5个二．填空题、本大题共14．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点水平位置CD 下降30cm 时，这时小明离地面的高度是15．在中，已知点D ，E ，ABC B D AE BAC ∠ABC16．如图，的周长最小值为17．如图，已知等腰的直角顶点若，，则点A 的坐标是18．已知第二象限的点坐标为点关于轴对称点；作点三、解答题：共7小题，共19．如图，在中，(1)求证；(2)若，，求的长．20．如图，在中，平分的度数．Rt △ACP △Rt ABC △()0,3C -()5,0B 1A 3A x 4A ACD E AFB DFE ≌6AB =3DE CE =CD ABC CD ∠21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．(1)在图中画出关于轴对称的；(2)直接写出，，三点的坐标；（ ），（ ），（ ）；(3)如果要使以、、为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点（除点外）坐标．22．如图，轮船从A 港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测的灯塔M 在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B 处，此时测得灯塔M 在北偏东60°的方向上．（1）求轮船在B 处时与灯塔M 的距离；（2）轮船从B 处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C 处．求：此时轮船与灯塔M 的距离是多少？灯塔M 在轮船的什么方向上？23．已知：如图中，，，，．(1)求证：；xOy ABC (2,3)A (1,0)B (1,2)C ABC y 111A B C △1A 1B 1C 1A 1B 1C B C D ABC D A ABC AB AC =30C ∠=︒AB AD ⊥DE AC ⊥AE EC =(1)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做，试猜想筝形的对角线有什么性质？然后用全等三角形的知识证明你的猜想．AB CB =含答案与解析1．B【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据能否找到一条直线使图形折叠后能够完全重合，进行判断即可；掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．【详解】解：观察图形，只有选项B 能够找到一条直线使图形折叠后能够完全重合，是轴对称图形；故选B ．2．B【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、2＋2＝4，不能组成三角形，故本选项不合题意；B 、3＋4＞5，能组成三角形，故本选项符合题意；C 、1＋2＝3，不能组成三角形，故本选项不合题意；D 、2＋3＜6，不能组成三角形，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3．D【分析】若70°是顶角，则可直接得出答案；若70°是底角，则设顶角是y ，根据三角形内角和为180°即可求解．【详解】若70°是顶角，则顶角为70°；若70°是底角，则设顶角是y ，∴2×70°+y =180°，解得：y =40°．故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，关键是注意分类讨论．4．A【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得到，加上，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，添加，则，根据“”判定，故选项A 符合题意；添加，不能判定，故选项B 不符合题意；添加，不能判定，故选项C 不符合题意；添加，不能判定，故选项D 不符合题意．故选：A ．5．C【分析】根据三角形高线的定义，过点B 作BF ⊥AC 交CA 的延长线于点F ，则BF 为AC 边上的高．A D ∠=∠AC DF =AC DF AC DF =A D ∠=∠AE DB =AB DE =SAS ABC DEF ≌A DEF ∠=∠ABC DEF ≌BC DE =ABC DEF ≌ABCD ∠=∠ABC DEF ≌【详解】解：∵△ABC 为钝角三角形，∴边AC 上的高是BF ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的高线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．6．A【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性．故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，正确理解概念是解题的关键．7．D【分析】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点与点关于轴对称，，．故选：D ．8．B【分析】过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图，根据题意得到，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，所以，然后根据平行线的性质求解．【详解】解：过点作，一把直尺边缘与的交点为，如图， 两把直尺为完全相同的长方形，，，平分，，，(,3)A m (4,)B n y 4,3m n ∴=-=()()02022323=43=1m n -++-∴P PD OB ⊥OA E PD PE =OP AOB ∠28AOP BOP ∠=∠=︒P PD OB ⊥OA E PD PE ∴=PE OA PD OB ⊥⊥ ，OP ∴AOB ∠28AOP BOP ∴∠=∠=︒56AOB ∴∠=︒∴△BEF ≌△CED （AAS ）∴EF ＝DE ，BF ＝CD ＝3，∴AF ＝AB +BF ＝8，∵AE ⊥DE ，EF ＝DE ，∴AF ＝AD ＝8，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．12．A【分析】由作图可判断①， 由， 可判断②，证明，可判断③，证明，可判断④，由，，，可判断⑤，从而可得答案．【详解】解：由作图可知平分，故①正确，∵，∴，由作图可得：，∴是等边三角形，故②正确，∵平分，∴是的垂直平分线，∴，而，∴，∴，∴，∴，∴ ，∴垂直平分线段，故③正确；∵，∴，∴是等腰三角形，故④正确；∵，，，∴，故⑤正确；正确的个数是个，,903060AB AD BAC =∠=︒-︒=︒,ED AC AD CD ⊥=30DBC C ∠=∠=︒90CDE ABC ∠=∠=︒EA EC =EB ED =AE BAC ∠90,30ABC C ∠=︒∠=︒903060BAC ∠=︒-︒=︒AB AD =ABD △AE BAC ∠AE BD EB ED =AE AE =ABE ADE ≌90ADE ABE ∠=∠=︒C CAE ∠=∠EA EC =AD CD =DE AC 90,60ABC ABD ∠=︒∠=︒30DBC C ∠=︒=∠BCD △90CDE ABC ∠=∠=︒EA EC =EB ED =ABE CDE ≌△△5故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线将三角形面积分成相等两部分是解题的关键．16．7【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质得到，进而得到的周长，根据，得到当三点共线时，的值最小为的值，进而得到的周长的最小值为，即可．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【详解】解：连接，∵垂直平分，点为直线上一动点，∴，∴的周长，∵，∴当三点共线时，的值最小为的值，∴的周长的最小值为；故答案为：7．17．【分析】过点A 作轴于点D ，根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可得出点的坐标．【详解】解：过点A 作轴于点D ，如图所示，∴，∵，，∴，PA PB =ACP △AC PA PC AC PB PC =++=++PB PC BC +≥,,P B C PB PC +BC ACP △AC BC +PB EF AB P EF PA PB =ACP △AC PA PC AC PB PC =++=++PB PC BC +≥,,P B C PB PC +BC ACP △7AC BC +=()3,2-AD y ⊥35OC OB ==，ACD CBO ≌53CD OB AD CO ====，AD y ⊥90ADO ∠=︒()0,3C -()5,0B 35OC OB ==，∵，即，∴，∵，∴，∴，∴，∵A 在第二象限，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．18．【分析】本题考查的是点的坐标，熟知两个点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，可发现规律，进而得出答案．【详解】解：∵坐标为，∴点关于x 轴的对称点为是，点关于y 的对称点为是，点关于x 轴的对称点为是，点关于y 的对称点为是，显然4次为一循环，∵，∴点的坐标为．故答案为：．19．(1)证明见解析；(2)．【分析】（）利用证明；（）根据，得到，求出，即可得到；此题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．【详解】（1）∵，90ACB ∠=︒9090ACO BCO OBC OCB ∠∠∠∠+=︒+=︒，ACO OBC ∠∠=90ACB ADO AC BC ∠∠==︒=，ACD CBO ≌53CD OB AD CO ====，2OD CD CO =-=()3,2A -()3,2-().m n --1A (),m n 1A 2A (),m n -2A 3A (),m n --3A 4A (),m n -4A 5A (),m n 202345053÷=⋯2023A (),m n --(),m n --8CD =1AAS 2AFB DFE ≌6AB DE ==CE CD AB CD ∥∴，，∵为的中点，∴，在和中，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴．20．【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角的定理，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，由三角形的内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求解．【详解】解：交于点，，平分，，，，，，，，，．21．(1)见解析；(2)，，(3)或或【分析】本题主要考查了作轴对称图形，全等三角形的判定等知识，（1）分别作三个顶点关于y 轴的对称点，再连接即可；（2）根据（1）中的图形得出坐标；ABF DEF ∠=∠BAF D ∠=∠F AD AF DF =AFB △DFE △,ABF DEF BAF D AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AFB DFE ≌△△AFB DFE ≌6AB DE ==3DE CE =2CE =268CD CE DE =+=+=70EAC ∠=︒AFC EFC ∠=∠ACF ECF ∠=∠CAF CEA ∠=∠AE CD ⊥Q CD F ∴90AFC EFC ∠=∠=︒ CD ACB ∠∴ACF ECF ∠=∠ 180AFC EAC ACF ∠+∠+∠=︒180EFC CEA ECF ∠+∠+∠=︒∴EAC CEA ∠=∠ CEA B BAE ∠=∠+∠37B ∠=︒33BAE ∠=︒∴70CEA ∠=︒∴70EAC ∠=︒1(2,3)A -1(1,0)B -1(1,2)C -(0,3)D (0,1)-(2,1)-（2）根据平面直角坐标系可得，点故答案为：，，；（3）以为一边，使另外两边长为，则，，．22．（1）轮船在B 处时与灯塔M 的距离为14【分析】（1）根据轮船到达B 处，此时测得灯塔（2）计算出BC 的长度，根据∠CBM=60°可以判断【详解】解：（1）根据题意可知BA=28×0.5=14因为此时灯塔M 在北偏东60°的方向上，根据三角形外角定理可以得到∠BAM=∠M所以BA=BM=14海里，即轮船在B 处时与灯塔M 的距离为14海里；1(2,3)A -(2,3)-(1,0)-(1,2)-BC 21(0,3)D 2(0,1)D -3(2,1)D -（1）轮船从B 处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C 处，所以BC=28×05=14海里，所以BC=BM又因为∠CBM=60°所以△ABM 为等边三角形所以CM=14海里所以灯塔M 在轮船的南偏东60°方向【点睛】本题考查的是等腰三角形判定与性质和等边三角形的判定与性质，能够判断出△BAM 为等腰三角形和△BCM 为等边三角形是解题的关键．23．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明；（2）根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答.【详解】（1）证明：，，，，，，，，，，．（2），，，，12BC =30︒AB AC = 30C ∠=︒∴30B ∠=︒120BAC ∠=︒ AB AD ⊥90BAD ∠=︒∴30DAC C ∠=∠=︒∴DAC C ∠=∠∴DA DC = DE AC ⊥∴AE EC = 30C ∠=︒DE AC ⊥2DE =∴24DC DE ==，，，．24．(1)，，理由见解析(2)见解析【分析】（1）证，得，再证，得，，得，即可得出；（2）过点分别作，，垂足分别为，，证，即可得出．【详解】（1）猜想，，理由如下：在和中，，，，在和中，，，，，，；（2）证明：过点分别作，，垂足分别为，，如图2所示：平分，，在和中，， AB AD ⊥30B ∠=︒∴28BD DC ==∴12BC =BD AC ⊥AO OC =()ADB CDB SSS ≅ ADO ODC ∠=∠()ΔΔAOD COD SAS ≅AOD COD ∠=∠OA OC =90DOC ∠=︒BD AC ⊥D DE AB ⊥DF BC ⊥E F Rt ADE △≌Rt CDF BAD BCD ∠=∠BD AC ⊥AO OC =ADB ∆BCD ∆AB BC AD DC BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ΔΔADB CDB SSS ∴≅ADO ODC ∴∠=∠AOD ∆ODC ∆AD DC ADO ODC OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ΔΔAOD COD SAS ∴≅AOD COD ∠=∠∴OA OC =90DOC ∴∠=︒BD AC ∴⊥D DE AB ⊥DF BC ⊥E F BD Q ABC ∠DE DF ∴=Rt ADE △Rt CDF DE DF AD CD=⎧⎨=⎩∴Rt ADE △≌Rt CDF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．25．问题1：；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：．【分析】问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到；问题2，延长到点G ．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论；问题3，在上取一点G ．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论．【详解】解：问题1，如图1，延长到点G ．使．连接，∵，∴，∴ ，在和中，，∴ ，∴ ，，∴，即，∵ ，BAD BCD ∴∠=∠BE FD EF +=DF EF BE =+CBE CDG ≌△△CE CG =BCE DCG ∠=∠CEF CGF ≌EF GF =EF DG DF BE DF =+=+FD DG BE =CG ABC GDC ∠=∠CBE CDG ≌△△CEF CGF ≌DF DG BE =CG FD DG BE =CG 90ADC B ∠∠==︒18090CDG ADC ∠-∠=︒=︒90CBE CDG ∠∠==︒CBE △CDG ===BE DG CBE CDG BC DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩()SAS CBE CDG △≌△CE CG =BCE DCG ∠=∠BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠120ECG BCD ∠∠==︒60ECF ∠=︒∵ ，∴，在和中，，+=180ABC ADC ∠∠︒ABC GDC ∠=∠CBE △CDG BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ ，∴，即 在和中，，180ABC ADC ∠+∠=︒ABC ∠ADC CBE ∠=∠CDG ∠CBE △CDG BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS CBE CDG △≌△∴ ，∴，∴．即．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．()SAS CEF CGF ≌EF GF =EF GF DF DG DF BE ==-=-DF BE EF =+。

渝北区实验中学校2025届2023—2024学年度第一学期半期考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A. 1，2，4B. 2，3，5C. 4，6，8D. 5，6，12【答案】C【解析】【分析】根据两条短边之和大于最长的边和两边之差小于第三边逐项进行判断即可．【详解】解：A 、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B 、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；C 、，能组成三角形，故本选项符合题意；D 、，不能组成三角形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．2. 下列标志中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；1234+=<235+=46108+=>561112+=<B 、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；C 、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；D 、是轴对称图形，符合题意，选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．3. 下列四个图形中，线段是的高的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断．【详解】解：线段是的高的图是；故选：C ．4. 如图，已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等即可得出结论．【详解】解：∵图中的两个三角形全等，∴，BE ABC V B AC E BE ABC V BE ABC V α∠50︒58︒60︒72︒50α∠=︒5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与，重合（），射线即是的角平分线；这种作法的理由是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．由三边相等得，即由判定三角全等．【详解】解：由图可知，，又，在和中，，，，即是的平分线．故答案为：．故选：A.6. 如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）A. AB =DEB. ∠A =∠DC. AC =DFD. AC ∥FD的AOB ∠OA OB OM ON =M N CM CN =OC AOB ∠SSSSAS ASA AASCOM CON V V ≌SSS CM CN =OM ON = MCO V NCO V MO NO CO CO CM CN =⎧⎪=⎨⎪=⎩(SSS)COM CON ∴V V ≌AOC BOC ∴∠=∠OC AOB ∠SSS【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：BF =EC ，A. 添加一个条件AB =DE ，又故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∥FD又故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7. 等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是（ ）A. B. 或 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解.【详解】解：等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角是；故选：C . BC EF∴=,BC EF B E=∠=∠ ()ABC DEF SAS ∴△≌△,BC EF B E=∠=∠ ()ABC DEF AAS ∴V V ≌ACB EFD∴∠=∠,BC EF B E=∠=∠ ()ABC DEF ASA ∴V V ≌50︒50︒65︒50︒65︒80︒50︒()118050652⨯︒-︒=︒【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理，熟练掌握上述基本知识是关键.8. 如果一个等腰三角形周长为17cm ，一边长为5cm ，那么腰长为（ ）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 5cm 或6cm 【答案】D【解析】【分析】此题分为两种情况：5cm 是等腰三角形的底边长或5cm 是等腰三角形的腰长，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】当5cm 是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17−5）÷2＝6（cm ），能够组成三角形；当5cm 是等腰三角形的腰时，则其底边是17−5×2＝7（cm ），能够组成三角形．故该等腰三角形的腰长为：6cm 或5cm ．故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的定义，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．9. 如图，在等腰直角中，点是边上的中点，点为边上的动点，连接，过点作，交于点，连接，，则下列结论错误的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一，先证明出，再根据全等三角形的性质推出其他选项，即可得到答案．【详解】解：由题意：为等腰直角三角形，点是的中点，，平分，且，，，，，在和中，的ABC V D BC E AB ED D DF DE ⊥AC F EF AD DFA DEBV V ≌EF AD =45DEF ∠=︒12ABC AEDF S S =△四边形DFA DEB V V ≌ABC V D BC AD BD CD ∴==AD BAC ∠AD BC ⊥45DAF DAE DBE DCF ∴∠=∠=∠=∠=︒DF DE ⊥ BDE ADF ∴∠=∠ADE CDF ∠=DFA V DEB V，，A 正确，不符合题意；，，，C 正确，不符合题意；，，，，为等腰直角三角形，点是的中点，，D 正确，不符合题意；无法得出，B 错误，符合题意；故选：B ．10. 对多项式任意加一个或者两个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：①不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和互为相反数；③所有的“加算操作”共有3种不同的结果．以上说法中正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】DAF DBE BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA DFA DEB ∴V V ≌∴DF DE ∴=DF DE ⊥ 45DEF ∴∠=︒∴DFA DEB V V ≌∴DFA DEB S S =V V ADE ADF AEDF S S S =+四边形V V ∴ADE DEB ABD AEDF S S S S =+=四边形V V V ABC V D BC ∴12ABD ABC AEDF S S S ==四边形V V ∴EF AD =∴x y z m ---()()x y z m x y z m ---=--+()x y z m x y z m ---=--+【分析】本题主要考查了整式的加减运算，原多项式为，“加算操作”后为：，①，存在“加算操作”后使其结果与原多项式相等，从而进行判断；②假设存在原多项式与“加算操作”后的原多项式互为相反数，得到，由此进行判断；③列举所有“加算操作“后的结果，从而进行判断即可．【详解】解：若原多项式为，“加算操作”后为：，①，存在“加算操作”，使其结果与原多项式相等，故①中的说法不正确；②若原多项式与“加算操作”后的原多项式互为相反数，添括号后的符号始终为正，不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和互为相反数，故②的说法正确；③所有的“加算操作”共有4种不同的结果：（1）；（2）；（3）；（4）故③的说法不正确，综上可知：以上说法中正确的个数为1，故选：B ．二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11. 如图，在中，，则__________．【答案】##130度【解析】【分析】利用三角形的外角的性质，直接计算即可．x y z m ---()()x y z m ---()x y z m x y z m ---=---x y z m x y z m -+++≠--+x y z m ---()()x y z m x y z m ---=--+()x y z m x y z m ---=---∴x ∴()x y z m x y z m ---=--+()x y z m x y z m ---=-++()x y z m x y z m ---=-+-()x y z m x y z m---=---ABC V 70,60A B ∠=︒∠=︒ACD ∠=130︒【详解】解：由图可知：；故答案为：．【点睛】本题考查三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．12. 如图，是的中线，若，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线的性质即可求解．【详解】解：∵是中线， ，∴，故答案为：．13. 如图所示，，，直线垂直平分线段，交于点，则的周长为________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，利用三角形的周长公式计算即可．【详解】解：直线是的垂直平分线，，的周长的130ACD A B ∠=∠+∠=︒130︒AD ABC V 2ABC S =△ACD S =V 1AD ABC V 2ABC S =△ACD S =V 114cm AB AC ==3cm BC =a AB AC D BDC V cm 7DA DB = a AB DA DB ∴=BDC ∴V BD BC CD=++DA CD BC=++，故答案为：．14. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．【答案】8【解析】【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式进行求解即可．【详解】解：由题意得：，∴；故答案为8．15. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD ＝3，AB ＝8，则△ABD 的面积等于_____．【答案】12【解析】【分析】过D 作DE ⊥AB 于E ，由角平分线的性质，即可求得DE 的长，继而求得三角形面积．【详解】解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C =90°，∴DE =DC =3，∵AB =8，∴△ABD 的面积=AB •DE =×8×3=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE =CD 是解题的关键，注意：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．()7cm AC BC =+=71080︒()2180n -⨯︒()21801080n -⨯︒=︒8n =121216. 如图，在中，，和的角平分线分别交于点，，若，，．则的长为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：平分，平分，，，，，，，，，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，，，点Q 是边上的一个动点，点Q 从点B 开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t 秒．当点Q 在边CA 上运动时，出发________秒后，是以为腰的等腰三角形．【答案】或【解析】【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算ABC V ED BC ∥ABC ∠ACB ∠ED G F 4BE =6CD =3FG =ED 7EBG V DFC V 4EB EG ==6DC DF ==BG ABC ∠CF ACB ∠ABG CBG ∴∠=∠ACF BCF ∠=∠ ED BC ∥EGB CBG ∴∠=∠DFC BCF ∠=∠ABG EGB ∴∠=∠ACF DFC ∠=∠4EB EG ∴==6DC DF ==3FG = 4637DE EG DF FG ∴=+-=+-=7ABC V 90B Ð=°16cm AB =12cm BC =20cm AC =ABC V B C A →→1cm BCQ △CQ 2224CQ CB =QC QB =即可解答．【详解】解：分两种情况：当时，如图：秒；当时，如图：，，，，，，，，秒；综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形，故答案为：或．18. 一个四位自然数M ，若各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字与十位上的数字之和是千位CQ CB =12cm CB CQ == ，∴241CB CQ t +==()QC QB =QC QB = C CBQ ∠∠∴=90ABC ∠=︒ 90C A ∠∠∴+=︒90CBQ QBA ∠∠+=︒QBA A ∠∠∴=BQ QA ∴=()110cm 2CQ QA AC ∴===∴221CB CQ t +==()Q CA 2224BCQ V CQ 2224上的数字与个位上的数字之和的3倍，则称这个四位数M 为“三生数”．例如：，，是“三生数”；，，不是“三生数”．则最小的“三生数”是________；如果一个“三生数”M 的各数位上的数字之和为16，并且规定：将这个“三生数”M 的十位与百位交换得到记，且为正整数，则符合条件的最大的M 的值是________．【答案】①. ②. 【解析】【分析】本考查了二元一次方程的解；由题意得，百位上的数字+十位上的数字=3×(千位上的数字+个位上的数字)，根据最小的“三生数”的千位上的数字和个位上的数字都取1，求得最小的“三生数”；设千位上的数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，由题意得，，，根据的值最大，得出，，，，【详解】解：由题意得，百位上的数字十位上的数字千位上的数字个位上的数字，各个数位上的数字均不为，∴最小的“三生数”的千位上的数字和个位上的数字都取，则百位上的数字十位上的数字，百位上的数字取，十位上的数字取，，∴最小的“三生数”是，设千位上的数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，由题意得，，，，，由于的值要最大，，，，，即，则，，符合题意，故最大的的值是，故答案为：，．三、解答题：（本大题共8个小题，19、20题每小题8分，26题12分，其余每小题101843M =()84313+=⨯+ 1843∴6312M =()31362+≠⨯+ 6312∴M '()270M M G M '-=()G M 11513931a b c d 16a b c d +++=()3b c a d +=⨯+M 3a =9b =3c =1d =+3(=⨯+) 01+6=∴15()15311+=⨯+ 1151a b c d 16a b c d +++=()3b c a d +=⨯+4a d ∴+=12b c +=M 3a ∴=9b =3c =1d =3931M =3391M '=()393133912270270M M GG M '--===M 393111513931分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19. 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，CE 是AB 边上的高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A 和∠ACE 的度数．【答案】∠A ＝46°, ∠ACE ＝44°【解析】【分析】先由三角形内角与外角的关系可求∠DBC ，再根据三角形的内角和可求∠A ，最后由直角三角形AEC 可求∠ACE ．【详解】∵∠ADB=∠DBC+∠ACB ，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°．∵BD 是角平分线，∴∠ABC=74°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°．∵CE 是高，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°-∠A=44°．【点睛】本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系，利用此可计算其它角的度数，是一道基础题．20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．ABC V ()1,1A ()4,2B ()3,4C（1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）画出图形见解析，、、的坐标为、、；（2）的面积为【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可；（2）利用割补法求面积即可求解．【详解】解：（1）画出图形如下：,ABC V x 111A B C △1A 1B 1C ABC V 1A 1B 1C ()11,1A -()14,2B -()13,4C -ABC V 72、、的坐标为、、；（2）的面积为．【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键．21. 如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上.（1）尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）填空：在（1）的条件下，若，试说明.证明：∵，，∴ ① ， ② ，∵，∴ ③ ，又∵平分，∴2 ④ ，∴ ⑤ ，在和中，，∴，∴.【答案】（1）作图见解析1A 1B 1C ()11,1A -()14,2B -()13,4C -ABC V 1117332321132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=ABC V AB AC =AD BC ⊥D E AD ACB ∠AD F 2EBD ABC ∠=∠DE DF =AB AC =AD BC ⊥BD =ABC ∠=2EBD ABC ∠=∠2EBD ∠=CF ACB ∠ACB =∠EBD ∠=BED V CFD △EBD FCD BD CD BDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA BED CFD ≅V V DE DF =（2），，，，【解析】【分析】对于（1），以点C 为圆心，以小于为半径画弧，交于点M ，交于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P ，作射线，交于点F ；对于（2），先根据等腰三角形的性质得，，结合已知条件得，再根据角平分线定义可得，然后根据“”证明≌，最后根据全等三角形的性质得出答案．【小问1详解】如图所示．【小问2详解】∵，，∴，．∵，∴．∵平分，∴，∴．在和中，，CD ACB ∠ACB ∠BCF ∠DCF∠BC BC AC 12MN CP AD BD CD =A ABC CB =∠∠2E B D A C B ∠=∠EBD DCF ∠=∠ASA BED V CFD △AB AC =AD BC ⊥BD CD =A ABC CB =∠∠2EBD ABC ∠=∠2E B D A C B ∠=∠CF ACB ∠2B C F A C B ∠=∠EBD DCF ∠=∠BED V CFD △EBD DCFBD CD BDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴≌（），∴．故答案为：，，，，．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等．22. 如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，证明它们所在的三角形全等即可．根据平行线的性质可得；由可得．运用证明与全等．【详解】证明：，．，．在与中，，，．23. （1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点，交于点，连接，将分成两个角，且，求的度数．（2）如图2，中，、的三等分线交于点、，若，，求的度数．BED V CFD △ASA DE DF =CD ACB ∠ACB ∠BCF ∠DCF ∠B E C F AC DF ∥AC DF =BE CF =AB DE =ACB F ∠=∠BE CF =BC EF =SAS ABC V DEF V AC DF ∥ACB F ∴∠=∠BE CF = BC EF ∴=ABC V DEF V AC DF ACB F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABC DEF ∴V V ≌AB DE ∴=Rt ABC △90C ∠=︒AB DE BC D AB E AD AD CAB ∠1:21:2∠∠=ADC ∠ABC V ABC ∠ACB ∠E D 120BFC ∠=︒108BGC ∠=︒A ∠【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等边对等角，三角形的内角和定理；（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余列方程，解方程得到答案．（2）设，，在和中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：的值，即可求得的度数．【详解】解：（1）设，则，是边的垂直平分线，，，，，解得：，，则；（2）设，，在中，①，在中，②，解得：①②：，．24. 如图，点在线段上，点在线段上，，，，点，72︒48︒DA DB =B BAD ∠=∠GBC x ∠=DCB y ∠=BFC V BGC V 33x y +A ∠1x ∠=22x ∠=DE AB DA DB ∴=22B x ∴∠=∠=90C ∠=︒2290x x x ∴++=︒18x =︒118∴∠=︒90172ADC ∠=︒-∠=︒GBC x ∠=DCB y ∠=BFC V 218012060x y +=︒-︒=︒BGC V 218010872x y +=︒-︒=︒+33132x y +=︒()1803318013248A x y ∴∠=︒-+=︒-︒=︒B AC E BD ABD DBC ∠=∠EB BC =AE DC =M分别在线段，边上，且满足，猜测与的数量关系并说明理由．【答案】，理由见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，进而证明，证明即可得证．【详解】解：，证明：∵点在线段上，，∴，在中，∴∴，又∵∴又，即在中，∴，∴．25. 在中，平分，交于点．N AE CD 90MBN ∠=︒BM BN BM BN =()Rt Rt HL ABE DBC V V ≌MAB NDB ∠=∠()ASA AMB DNB V V ≌BM BN =B AC ABD DBC ∠=∠90ABE DBC ∠=∠=︒Rt ,Rt ABE DBC V V AE DCEB BC=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ABE DBC V V ≌AB DB =EAB CDB∠=∠90MBN ∠=︒90ABM MBE DBN∠=︒-∠=∠EAB CDB ∠=∠MAB NDB∠=∠,AMB DNB V V ABM DBNAB DBMAB NDB∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AMB DNB V V ≌BM BN =ABC V AD BAC ∠BC D（1）如图1，点为线段上一点，点，分别为，边上点，连接，，且满足，若，求的长度；（2）如图2，延长至点，且满足，若，，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定；（1）过点作于点，于点，根据角平分线的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；（2）在上截取，连接，利用三角形内角和定理求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差及等腰三角形的性质求解即可．【小问1详解】解：如图1，过点作于点，于点，平分，，，，，，，，在和中，的E AD M N AB AC EM EN 180AME ENA ∠+∠=︒6EM =EN AD H DH DB =40BAC ∠︒=100B ∠=︒AB CH AH +=6E EH AB ⊥H EG AC ⊥G EH EG =AAS MEH NEG V V ≌AC AM AB =DM 40BCA ∠=︒60BDA ∠=︒SAS ABD AMD V V ≌BD MD =60BDA MDA ∠=∠=︒SAS CDM CDH V V ≌CH CM =40MCD HCD ∠=∠=︒E EH AB ⊥H EG AC ⊥G AD BAC ∠EH AB ⊥EG AC ⊥EH EG ∴=90EHM EGN ∠=∠=︒180AME ENA ∠+∠=︒ 180AME EMH ∠+∠=︒EMH ENA ∴∠=∠MEH V NEG V，；【小问2详解】证明：如图2，在上截取，连接，，，，平分，，，，，在和中，，，，，，，，，，在和中，EM EN =⎩()AAS MEH NEG ∴V V ≌6EM EN ∴==AC AM AB =DM 40BAC ∠=︒ 100B ∠=︒40BCA ∴∠=︒AD BAC ∠40BAC ∠=︒20BAD MAD ∴∠=∠=︒18060BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒180120ADC BDA ∴∠=︒-∠=︒ABD V AMD V AB AM BAD MAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABD AMD ∴V V ≌BD MD ∴=60BDA MDA ∠=∠=︒60CDM ADC MDA BDA ∴∠=∠-∠=︒=∠CDH BDA ∠=∠ CDM CDH ∴∠=∠DH DB = MD DH ∴=CDM V CDH V，，，，，，，，，．26. 在中，，．点为内部一点，连接，，．（1）如图1，若，，求点到直线的距离；（2）如图2，以为直角边作等腰直角，，线段，交于点，若，求证：；（3）如图3，点在边上，且，点为直线上的一个动点，连接，过点作，且满足，连接，当最短时，请直接写出的度数．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）过点作于，过点作于，可证得，得出，再由等腰三角形性质可得；（2）延长交于点，过点作于点，可证得，进而可证CD CD =⎩()SAS CDM CDH ∴V V ≌CH CM ∴=40MCD HCD ∠=∠=︒AC AM CM =+ AC AB CH ∴=+80ACH ∴∠=︒180208080H ∴∠=︒-︒-︒=︒AH AC ∴=AC AM CM =+ AB CH AH ∴+=Rt ABC △90ACB ∠=︒AC BC =D ABC V CD AD BD AD AC =8CD =B CD CD CDE V DE DC =EC AD F DCB ABD ∠=∠AF DF =Q AB AQ AC =M AC MQ Q NQ MQ ⊥NQ MQ =BN BN CMQ ∠467.5︒A AH CD ⊥H B BG CD ⊥G ()AAS ACH CBG V V ≌BG CH =142CH CD ==BD CE L A AS CE ⊥S ()AAS ACS CBL V V ≌，即可证得结论；（3）作点关于对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，可证得，得出，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，作点关于的对称点，连接，则，即，再利用等腰三角形性质即可求得答案．【小问1详解】解：过点作于，过点作于，如图，则，，，，在和中，，，，，，，，即点到直线的距离为；【小问2详解】证明：延长交于点，过点作于点，则，的()AAS AFS DFL V V ≌C AB P AP CP CP AB O Q QW AB ⊥AC W AN ()SAS QWM QAN V V ≌45QAN W ∠∠==︒N AP BN AP ⊥BN N P C AB P CQ QP QC =QN QC =A AH CD ⊥H B BG CD ⊥G 190AHC CGB ∠∠==︒90ACH CAH ∠∠∴+=︒90ACH BCG ACB ∠∠∠+==︒ CAH BCG ∠∠∴=ACH V CBG V AHC CGB CAH BCG AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACH CBG ∴V V ≌BG CH ∴=AD AC = AH CD ⊥142CH DH CD ∴===4BG ∴=B CD 4BD CE L A AS CE ⊥S 90ASC ∠=︒是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，；CDE V DE DC =45DCE DEC ∠∠∴==︒45ABD CBD ABC ∠∠∠+==︒ DCB ABD ∠∠=45DCB CBD ∠∠∴+=︒90DCB CBD DCE ∠∠∠∴++=︒1809090BLC ∠∴=︒-︒=︒ASC BLC ∠∠∴=90ACS CAS ∠∠∴+=︒90ACS BCL ACB ∠∠∠+==︒ CAS BCL ∠∠∴=ACS V CBL V ASC BLC CAS BCL AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACS CBL ∴V V ≌AS CL ∴=45DCE ∠=︒ 90CLD ∠=︒904545CDL DCE ∠∠∴=︒-︒=︒=CL DL ∴=AS DL ∴=AFS V DFL V 90ASF DLF AFS DFLAS DL ∠=∠=︒⎧⎪∠=⎨⎪=⎩()AAS AFS DFL ∴V V ≌AF DF ∴=【小问3详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，交于点，过点作交的延长线于点，连接，则，，，，，，，，且满足，，，在和中，，，，即点在直线上运动，当且仅当时，最短，即点与点重合，3C AB P AP CP CP AB O Q QW AB ⊥AC W AN 90AQW ∠=︒BAP BAC ∠∠=90ACB ∠=︒ AC BC =45BAC ∠∴=︒904545W BAC ∠∠∴=︒-︒=︒=QA QW ∴=NQ MQ ⊥ NQ MQ =90AQM MQW AQM NQA ∠∠∠∠∴+=+=︒MQW NQA ∠∠∴=QWM V QAN V QW QA MQW NQA QM QN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS QWM QAN ∴V V ≌45QAN W ∠∠∴==︒N AP BN AP ⊥BN N P如图，连接，则，即，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．4CQ QP QC =QN QC =QM QN = QC QM ∴=AQ AC = ()11804567.52ACQ AQC ∠∠∴==︒-︒=︒QM QC = 67.5CMQ ACQ ∠∠∴==︒。

2023—2024学年度第一学期期中考试八年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1. 下列各式运算正确的是（ ）A. 3332b b b +=B. ()326ab ab =C. 1025a a a ÷=D. 4416x x x ⋅= 【答案】A【解析】【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是利用相应的运算法则分别计算，即可判断．【详解】解：A 、3332b b b +=，故正确，符合题意；B 、()3236ab a b =，故错误，不合题意；C 、1028a a a ÷=，故错误，不合题意；D 、448x x x ⋅=，故错误，不合题意；故选：A ．2. ）A. 3，4，8B. 5，6，11C. 7，7，14D. 5，6，10【答案】D【解析】【分析】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是解本题的关键. 本题判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案.【详解】解：348,+< 以3，4，8为边不能组成三角形，故A 不符合题意； 5611,+= 以5，6，11为边不能组成三角形，故B 不符合题意；7714, += 以7，7，14为边不能组成三角形，故C 不符合题意；6511, +> 以5，6，10为边能组成三角形，故D 符合题意；故选D .3. 下列图形具有稳定性的是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解决问题的关键．分析出本题中的三角形结构即可得到答案.【详解】解：具有稳定性的图形是三角形构成的，∴A ，C ，D 中的图形都不具有稳定性，B 中的图形具有稳定性；故选：B ．4. 如图，AB CD ∥，40A ∠=°，45D ∠=°，则DOA ∠的度数为（ ）A. 45°B. 40°C. 85°D. 90°【答案】C【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，本题先证明45B D ∠=∠=°，再利用三角形的外角的性质可得答案.【详解】解：∵AB CD ∥，45D ∠=°，∴45B D ∠=∠=°，∵40A ∠=°，∴85DOA B A ∠=∠+∠=°，故选C5. 若一个多边形的内角和是其外角和的两倍，则它的边数是( )A. 四B. 五C. 六D. 七【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据内角和是其外角和的两倍列方程求解即可.【详解】解：设这个多边形边数为n ，根据题意，得（n-2）•180=720，解得：n=6．故这个多边形的边数为6.故选C.【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和定理和外角和定理的有关知识，任何多边形的外角和是360°， n 边形的内角和是（n-2）•180°.6. 如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB DE =，B DEF ∠=∠，要使得ABC DEF ≌△△，不能添加的条件是（ ）A. A D ∠=∠B. AC DF =C. BE CF =D. AC DF ∥【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件AB DE =，B DEF ∠=∠，再逐一分析添加的条件结合ASA ，SAS ，AAS 可得答案.详解】解：∵AB DE =，B DEF ∠=∠，∴补充A D ∠=∠，可利用ASA 证明ABC DEF ≌△△，故A 不符合题意；补充AC DF =，不能证明ABC DEF ≌△△，故B 符合题意；补充BE CF =，∴BC EF =，可利用SAS 证明ABC DEF ≌△△，故C 不符合题意；补充AC DF ∥，的【∴ACB F ∠=∠，可利用AAS 证明ABC DEF ≌△△，故D 不符合题意；故选B7. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（ ）种A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】D【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的应用，三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个．【详解】解：∵ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE AB ⊥于E ，PD BC ⊥于D ，PF AC ⊥于F ，∴PE PF =，PF PD =，∴PE PF PD ==，∴点P 到ABC 三边的距离相等，∴ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点共有4个，∴可供选择的地址有4处．故选：D ．8. 下列结论正确的是（ ）A. 三角形的三条高线交于一点，且这一点一定在三角形内部的B. 如果两个三角形有两条边和其中一边中线分别相等，那么这两个三角形全等C. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等D. ()011a +=【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的判定与性质，零次幂的含义；根据钝角三角形，直角三角形与锐角三角形的高线的特点可判断A ，根据全等三角形的判定与性质可判断B ，C ，根据零次幂的含义可判断D ，从而可得答案.【详解】解：三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不一定在三角形内部，故A 不符合题意； 如果两个三角形有两条边和其中一边中线分别相等，那么这两个三角形全等，如图，AB EH =，BC HG =，中线AD =中线EF ，∴BD HF =，∴()SSS ABD EHF ≌，∴B H ∠=∠，∴()SAS ABC EHG ≌；故B 符合题意；有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，故C 不符合题意；当1a ≠−时，()011a +=，故D 不符合题意；故选B9. 如图，有正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类若干张，如果用A 、B 、C 三类卡片拼成一个边长为()34a b +的正方形，则需要C 类卡片（ ）张A. 9B. 24C. 16D. 7【答案】B【解析】【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键．本题由正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和可得答案．【详解】解：边长为()34a b +的正方形的面积为()2223449216a b a ab b +=++， A 图形面积为2a ，B 图形面积为2b ，C 图形面积为ab ，则可知需要A 类卡片9张，B 类卡片16张，C 类卡片24张．故选B ．10. 如图，平面直角坐标系中，直线EA x ⊥轴于点A ，()100,0A ，B 、C 分别为线段OA 和射线AE 上的一点，若点B 从点A 出发向点O 运动，同时点C 从点A 出发沿射线AE 方向运动，点B 和点C 速度之比为2:3，运动到某时刻t 秒同时停止，且点D 在y 轴正半轴上，若OBD 与ABC 全等，则点D 的坐标为（ ）A. ()0,20或()0,40B. ()0,20或()0,75C. ()0,40或()0,75D. ()0,25或()0,40【答案】C【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，动态问题中清晰的分类讨论是解本题的关键；本题分两种情况讨论：当ABC ODB ≌△△时，当ABC OBD ≌时，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可．【详解】解：依题意，∵()100,0A ，∴100OA =，∵90CAB BOD ∠=∠=°，使OBD 与ABC 全等，分两种情况，当ABC ODB ≌△△时，点B 和点C 速度之比为2:3，∴2,3ODAB t OB AC t ====， ∴100OB AB +=即23100t t +=，解得：20t =，∴240OD t ==，当ABC OBD ≌时，∴3,2ODAC t OB AB t ====， ∴100OB AB +=即22100t t +=，解得：25t =，∴375OD t ==，综上所述，D ()0,40或()0,75．故选C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11. （1）82x x ÷=______，（2）()352a a b −=______，（3）a b c a −+=−（______）.【答案】 ①. 6x ②. 2156a ab ③. b c −##c b −+【解析】【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，添括号的应用，熟记运算法则是解本题的关键. （1）根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案；（2）利用单项式乘以多项式的运算法则可得答案；（3）根据添括号的法则，括号前面是负号，放到括号里的各项都要改变符号可得答案.【详解】解：（1）826x x x ÷=，（2）()2352156a a b a ab −=−， （3）()a b c a b c −+=−−；故答案为：（1）6x ；（2）2156a ab ；（3）b c − 12. 已知24m =，216n =，m 、n 为正整数，则2m n +=______.【答案】64【解析】【分析】本题考查是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记m n m n a a a +=⋅是解本题的关键；由幂的运算可的得222m n m n +=⋅，再整体代入计算即可答案.【详解】解：∵24m =，216n =，22241664m n m n +=⋅=×=，故答案为：6413. 如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，5EAD ∠=°，70C ∠=°，则B ∠=______.【答案】60°##60度【解析】【分析】本题考查的是三角形的高，三角形的角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，本题先求解20CAD ∠=°，再求解CAE ∠，再求解BAC ∠，最后结合三角形的内角和定理可得答案.【详解】解：∵在ABC 中，AD 是高，70C ∠=°90ADC ∴∠=°，20CAD ∠=°，∵5EAD ∠=°，25CAE ∴∠=°，AE 平分,BAC ∠250BAC CAE ∴∠=∠=°，18060B BAC C ∴∠=°−∠−∠=°；故答案为：60°．14. 如图，三角形纸片中，10cm AB =，8cm AC ，过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若BDE △的周长为8cm ，则BC =______.cm【答案】6【解析】【分析】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质“折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”、找准对应关系是解题的关键．根据翻折的性质得出,AE AC CD DE ==，进而利用三角形的周长解答即可． 【详解】由翻折可得：8,,AEAC CD DE === BDE △的周长8DB DE BE =++=，1082,BE AB AE BD DE BD CD =−=−=+=+ ,BC =∴28BC +=，∴6BC =．故答案为：6．15. 如图，在ABC 中，BAC ∠和ABC ∠的平分线AE BF 、相交于点O ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，则下列结论：①1902AOB C ∠=°+∠；②::ABE ACE S S AB AC =△△；③若OD a =，2AB BC CA b ++=，则12ABC S ab =△；④当60C ∠=°时，AF BE AB +=，其中正确的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解AOB ∠和C ∠的关系，进而判定①；作EM AB ⊥，EN AC ⊥，根据角平分线的性质求得EM EN =，利用三角形的面积公式即可判断②；根据作OH AC ⊥于H ，OM AB ⊥于M ，根据题意得OH OM OD a ===，根据2AB BC CA b ++=，利用三角形面积即可判断③；60C ∠=°得120BAC BCA ∠+∠=°，根据角平分线和三角形内角和定理得60BOE ∠=°，在AB 上取一点H ，使BH BE =，利用SAS 证明E HBO BO ≌△△可得60AOH AOF ∠=∠=°，利用ASA 可证明HAO FAO △≌△得AF AH =，进而可判定④．【详解】解：∵BAC ∠和ABC ∠的平分线AE ，BF 相交于点O ， ∴12OBA CBA ∠=∠，12OAB CAB ∠=∠，∴180AOB OBA OAB ∠=°−∠−∠1118022CBA CAB =°−∠−∠ ()11801802C =°−°−∠ 1902C =°+∠，故①正确； 作EM AB ⊥，EN AC ⊥，∵AE 平分BAC ∠， ∴EM EN =， ∵1212ABEACE S AB S ACAB EM AC EN ×=×=△△，即::ABE ACE S S AB AC =△△；故②正确； 如图所示，作OH AC ⊥于H ，OM AB ⊥于M ，∵BAC ∠和ABC ∠的平分线相交于点O ， ∴点O 在C ∠的平分线上， ∴OH OM OD a ===， ∵2AB BC CA b ++=， ∴111222ABC S AB OM AC OH BC OD =⋅+⋅+⋅△ ()12AB AC BC a =++ ab =，故③错误； ∵60C ∠=°，∴120BAC CBA ∠+∠=°，∵AE ，BF 分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线， ∴()1602OAB OBABAC ABC ∠+∠=∠+∠=°， ∴120AOB ∠=°， ∴60AOF ∠=°，∴60BOE ∠=°，如图所示，在AB 上取一点H ，使BH BE =，∵BF 是ABC ∠的角平分线，∴HBO EBO ∠=∠，在△HBO 和EBO 中，BH BEHBO EBO BO BO= ∠=∠ = ，∴()SAS E HBO BO ≌△△，∴60BOH BOE ∠=∠=°，∴60AOH ∠=°，∴60AOH AOF ∠=∠=°，在HAO 和FAO 中，HAO FAOAO AO AOH AOF∠=∠ = ∠=∠ ，∴()ASA HAO FAO △≌△，∴AF AH =，∴++AB BH AH BE AF ==，故④正确；综上，①②④正确，故答案为：①②④．16. 如图，在ABC 中，E 为AC 的中点，AD 平分∠BAC ，BA ：CA ＝2：3，AD 与BE 相交于点O ，若OAE △的面积比BOD 的面积大1，则ABC 的面积是__【答案】10【解析】【分析】作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，证明23ABD ADC S AB S AC == ，设ABC 的面积为S ，则35= ADC S S ，12BEC S S = ，结合OAE △的面积比BOD 的面积大1，可得ADC △的面积比BEC 的面积大1，再列方程求解即可得到答案．【详解】解：作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，∵AD 平分∠BAC ，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，∴DM ＝DN ， ∴122132ABD ADC AB DN S BD AB S DC AC AC DM ==== ， 设ABC 的面积为S ，则35= ADC S S ， E 为AC 的中点，12BEC S S ∴= ， ∵OAE △的面积比BOD 的面积大1，∴ADC △的面积比BEC 的面积大1， ∴35S 12−S ＝1， 6510S S ∴−=,∴S ＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17. 计算（1）()()4235242a a a a ⋅++− （2）1123x x +−  【答案】（1）86a（2）21166x x +− 【解析】【分析】本题考查了幂的运算，以及多项式与多形式的乘法运算．（1）先根据幂的运算法则计算，再合并同类项；（2）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可．【小问1详解】 ()()4235242a a a a ⋅++−8884a a a =++86a =【小问2详解】1123x x  +−  2111326x x x =−+− 21166x x =+− 18. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，AD CD =，AB CB =，对角线AC 交BD 与点O .（1）请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；（2）求证：AC BD ⊥.【答案】（1）ABD CBD ≌△△（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.（1）直接利用SSS 证明ABD CBD ≌△△即可；（2）由ABD CBD ≌△△可得ADB CDB ∠=∠，再结合等腰三角形的性质可得结论.【小问1详解】解：ABD CBD ≌△△，理由如下：在ABD △和CBD △中，AD CD AB CB BD BD = = =，()SSS ABD CBD ∴ ≌；【小问2详解】∵ABD CBD ≌△△，∴ADB CDB ∠=∠，∵DA DC =，∴AD AC ⊥.19. （1）先化简，再求值2(2)(2)(2)4m n m n n m n +++−÷ ，其中2m =−，1n =.（2）已知249y my −+是完全平方式，则m 的值为______.（直接写出结果）【答案】（1）2n m +；0；（2）12± 【解析】【分析】本题考查的是乘法公式的应用，多项式除以单项式，化简求值，完全平方式的理解；（1）先计算括号内的整式的乘法，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再代入求值即可； （2）根据完全平方式222a ab b ±+的特点，结合249y my −+，从而可得答案.【详解】解：（1）2(2)(2)(2)4m n m n n m n +++−÷ ()22224444m mn n n m n =+++−÷()2844n mn n =+÷2n m =+，当2m =−，1n =时，原式2120=×−=；（2）∵249y my −+是完全平方式，∴()22249234129y my y y y =±=±−++，∴m 的值为12±.20. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90C ∠=°，点E 为BC 的中点，DE 平分CDA ∠.（1）求证：AD AB CD =+；（2）若3CDE S =△，4ABE S =△，则四边形ABCD 的面积为______.（直接写出结果）【答案】（1）见解析 （2）14【解析】【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E 作EF AD ⊥于F ，根据角平分线的性质得出CE EF =，再证明 ≌ABE AFE ，CED FED ≌，根据全等三角形的性质得出AB AF =，DC DF =，进而得出结论；（2）由 ≌ABE AFE ，CED FED ≌，推出CED FED S S = ，ABE AFE S S = ，据此求解即可．【小问1详解】证明：如图，过点E 作EF AD ⊥于F ，∵90C ∠=°，AB CD ∥，∴90B ∠=︒，∵DE 平分CDA ∠，∴CE EF =，∴()Rt Rt HL CED FED ≌△△，∴DC DF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴BE EF =，∵AE AE =，∴()Rt Rt HL ABE AFE ≌，∴AD AF FD AB CD =+=+；【小问2详解】解：∵CED FED ≌， ≌ABE AFE ，∴CED FED S S = ，ABE AFE S S = ，∵3CDE S =△，4ABE S =△，∴四边形ABCD 的面积为()()224314CDE ABE S S +=×+=△△， 故答案为：14．21. 如图，是由小正方形组成的1010×网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A 、B 、C 、D 都是格点，直线BD 与AC 交于点E ，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．图1 图2（1）在图1中，画出ABE 的中线EF 和角平分线AG ；（2）如图2，连接AD ．①ABD △是______三角形；②在图2中的线段AD 上画点P ，使BP AE =．【答案】21. 画图见解析22. ①等腰直角；②画图见解析【解析】【分析】（1）如图，取格点N ，M ，连接NM ，交AB 于F ，连接EF ，则EF 为ABE 的中线，连接BC ，取格点K ，连接AK ，交BE 于G ，由全等三角形的性质可得AB AC =，利用等腰三角形的性质可得AG 为ABE 的角平分线；（2）①利用勾股定理分别求解2AD ，2BD ，2AB ，再结合勾股定理的逆定理可得结论；②如图，取格点Q ，S ，T ，连接AD ，BT 交于点P ，由BST CQA ≌可得BTS CAQ ∠=∠，可得BT AC ⊥，结合三角形的内角和定理可得DAE DBP ∠=∠，结合AD BD =，90BDP ADE ∠=∠=°，可得BDP ADE ≌，可得BP AE =．【小问1详解】解：如图，EF ，AG 即为所求；【小问2详解】①连接AD ，由勾股定理可得：22223534AD BD =+==，2222868AB =+=，∴AD BD =，222AD BD AB +=，∴ADB 为等腰直角三角形，90ADB ∠=°；②如图，点P 即为所求；【点睛】本题考查的是利用网格特点作图，三角形的中线，角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，属于复杂作图，掌握基本图形的性质与判定是解本题的关键．22. 材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.（1）用不同代数式表示图1中的阴影部分的面积，可得等式为____________.材料二：已知4a b −=−，3ab =，求22a b +的值. 解：∵4a b −=−，3ab =，∴2222()2(4)2322a b a b ab +=−+=−+×=. 请你根据上述信息解答下面问题：（2）①已知1a b −=−，12ab =，求22a b +的值；②已知()()2023202412x x −−=，求()()2220232024x x −+−的值； ③如图2，在长方形ABCD 中，8AB =，6BC =，点E 、F 是BC 、CD 上的点，且BEDF x ==，分别以CF 、CE 为边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH 和CEMN ，若长方形CEPF 的面积为35，则图中阴影部分的面积和为______.【答案】（1）()2222a b a ab b −=−+（2）①25；②()()222023202425x x −+−=；③74【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是掌握完全平方式的变形． （1）由正方形的面积可表示为：()2a b −或222a ab b −+，从而利用等面积法可得答案； （2）①把1a b −=−，12ab =代入()2222a b a b ab +=−+，从而可得答案；②设2023x a −=，2024x b −=，则12ab =，1a b −=−，代入()2222a b a b ab +=−+，从而可得答案；③根据已知条件表示出CF 和CE ，然后表示出阴影部分面积，结合完全平方公式变形计算即可．【小问1详解】解：由题意可得：()2222a b a ab b −=−+；【小问2详解】①∵1a b −=−，12ab =，∴()()22222121225a b ab a b =−+=−+=+×； ②设2023x a −=，2024x b −=，则12ab =，1a b −=−，∴()()22222121225a b ab a b =−+=−+=+×， ∴()()222023202425x x −+−=；③∵8AB =，6BC =，BE DF x ==， ∴8,6CF x CE x =−=−， ∴2CF CE −=，∵长方形CEPF 的面积为35，∴35CE CF ⋅=，∴CFGH CEMN S S S =+阴影正方形正方形22CE CF +()22CF CE CE CF =−+⋅22235+× 470=+74=.23. 我们定义：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180αα°<<°得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B C ′′，当180αβ+°时，我们称AB C ′′△是ABC 的“旋补三角形”，AB C ′′△边B C ′′上的中线AD 叫做ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．图1 图2 图3【阅读材料】（1）如图2，在ABC 中，若8AB =，4BC =．求AC 边上的中线BD 的取值范围．是这样思考的：延长BD 至E ．使DE BD =，连结CE ，利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围，则中线BD 的取值范围是______；【问题探索】（2）如图1，AB C ′′△是ABC 的“旋补三角形”，AD 是ABC 的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中AD 与BC 的数量关系，并给予证明；【拓展运用】（3）如图3，当90αβ==°时，AB C ′′△是ABC 的“旋补三角形”，AE BC ⊥，垂足为点E ，AE 的反向延长线交B C ′′于点D ，若10AB =，6AC =，试求解AD 的取值范围．【答案】（1）26BD <<，（2）2BC AD =；（3）28AD << 【解析】【分析】（1）先证明ADB CDE △△≌可得AB CE =，再结合三角形的三边关系可得答案；（2）延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ′，证明()SAS B DA CDE ′≌ ，可得AB CE ′=，B AD E ′∠=∠，求出BAC AC E ′∠=∠，再证()SAS ABC C EA ′≌ ，根据全等三角形的性质可得结论； （3）作C H AD ′⊥于H ，作B F AD ′⊥交AD 延长线于F ，求出B B AF ′∠=∠，证明()AAS ABE B AF ′≌ ，可得=B F AE ′，同理证明()AAS ACE C AH ′≌ ，可得=AE C H ′，求出=B F C H ′′，可证()AAS B DF C DH ′′≌ ，根据全等三角形的性质可得B D C D ′=′，然后可得AD 是ABC 的“旋补中线”，从而可得范围．【详解】解：（1）∵BD ∴AD CD =，∵BD DE =，ADB CDE ∠=∠，∴ADB CDE △△≌，∴AB CE =，而8AB =，∴8AB CE ==，4BC =，2BE BD =，由三角形三边关系可得：CE BC BE CE BC −<<+，即12BD 4<2<，∴26BD <<，（2）2BC AD =；理由如下：如图1，延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ′，∵AD 是ABC 的“旋补中线”，∴AD 是AB C ′′△的中线，即B D CD ′=，又∵B DA C DE ′′∠=∠，∴()SAS B DA C DE ′′ ≌，∴AB C E ′′=，B AD E ′∠=∠，∵AB AB ′=，∴AB C E ′=，∵AD 是ABC 的“旋补中线”，∴180BAC B AC BAC B AD EAC ′′′∠+∠=∠+∠+∠=°，∵180AC E E EAC ′∠+∠+∠=°，B AD E ′∠=∠，∴BAC AC E ′∠=∠，∵AC AC ′=，BAC AC E ′∠=∠AB C E ′=∴()SAS ABC C EA ′≌ ，∴2BC AE AD ==．（3）如图，作C H AD ′⊥于H ，作B F AD ′⊥交AD 延长线于F ，∵AE BC ⊥，∴90F BEA ∠=∠=°，∴90BAE B ∠+∠=°，∵90αβ==°，即90BAB CAC ′′∠=∠=°，∴90BAE B AF ′∠+∠=°，∴B B AF ′∠=∠，又∵′=BA AB ，∴()AAS ABE B AF ′≌ ，∴=B F AE ′，又∵90AEC C HA ′∠=∠=°，90CAC ′∠=°， ∴90CAE C ∠+∠=°，90CAE C AH ′∠+∠=°，∴C C AH ′∠=∠，∵CA AC ′=，∴()AAS ACE C AH ′≌ ，∴=AE C H ′，∴=B F C H ′′，∵90F C HD ′∠=∠=°，B DF C DH ′′∠=∠， ∴()AAS B DF C DH ′′≌ ，∴B D C D ′=′，∴AD 是AB C ′′△的中线，∵10AB AB ′==，6AC AC ′==，结合（1）的结论可得：()()1110610622AD −<<+，即28AD <<． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，旋转的性质，三角形的中线的含义与取值范围的确定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24. 如图，点(),0A a ，()0,B b ，满足()220a b b −+−=．图1 图2（1）直接写出AOB 的面积为______．（2）如图1，点C 在线段AB 上（不与A 、B 重合）移动，AB BD ⊥，且CD AC BD =+，求COD ∠的度数．（3）如图2，()2,2F ，点E 是x 轴上一动点（点E 在点A 的左边且不与点O 重合），在y 轴正半轴上取一点K ，连接EK ，FK ，FE ，使45EFK ∠=°，试探究线段BK ，KE ，EA 之间的数量关系，并给出证明．【答案】（1）2 （2）45°（3）KE BK AE =+或AE BK KE =+．【解析】【分析】（1）由非负数的性质可得2b =，2a =，从而可得AOB 的面积；（2）如图，过点O 作OE OD ⊥交BC 的延长线于E ，先证明135OBD OAE ∠=∠=°，OBD OAE ≌，可得OD OE =，BD AE =，再证明OCD OCE ≌，从而可得结论；（3）①当E 在A ，O 之间时，过点F 作FM FE ⊥交y 轴于点M ，连接FB ，FA ，先证明MFB EFA ≌，再证明KFM KFE ≌，可得结论；②当E 在O 左侧时，同理可证，BFM AFE ≌，KFM KFE ≌，从而可得结论．【小问1详解】 解：∵()220a b b −+−=，∴0a b −=，20b −=，∴2b =，2a =，∴()2,0A ，()0,2B ， ∴Δ1122222OAB S OA OB =⋅=××=， 【小问2详解】如图，过点O 作OE OD ⊥交BC 延长线于E ，∴90BOD DOA DOA AOE ∠+∠=°=∠+∠，的∴BOD AOE ∠=∠，∵2OA OB ==，∴45OBA OAB ∠+∠=°，而AB BD ⊥，∴135OBD OAE ∠=∠=°，∴OBD OAE ≌，∴OD OE =，BD AE =，∵CD AC BD =+，CE AC AE =+，∴CD CE =，∵OC OC =，∴OCD OCE ≌，∴45COD COE ∠=∠=°．【小问3详解】由题意可得45EFK OAB ∠=∠=°，①当E 在A ，O 之间时，过点F 作FM FE ⊥交y 轴于点M ，连接FB ，FA ，∵()2,2F ，()2,0A ，()0,2B ，∴OA OB =，AF x ⊥轴，BF y ⊥轴，∴AF BF =，90AFB ∠=°，∴90MFB BFE BFE AFE ∠+∠=°=∠+∠，∴MFB AFE ∠=∠，∵90FBM FAE ∠=∠=°，∴MFB EFA ≌，∴MB EA =，MF EF =，∵45KFE ∠=°，∴904545KFM ∠=°−°=°，∵KF KF =，∴KFM KFE ≌，∴KE MK BK MB BK AE ==+=+，即KE BK AE =+；②当E 在O 左侧时，同理可证，BFM AFE ≌，∴EA BM =，同理可证KFM KFE ≌，∴MK EK =，∴AE BK KE =+，综上所述：KE BK AE =+或AE BK KE =+．【点睛】本题考查几何变换的综合题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三。

人教版八年级上册数学期中考试试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案，每小题3分）1．已知△ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，那么边AC 的长可能是下列哪个值（）A ．11B ．5C ．2D ．12．下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知ABC EFG ∆≅∆，则∠α等于（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°4．下列图形具有稳定性的是（）A ．梯形B ．长方形C ．直角三角形D ．平行四边形5．下列图形中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．下列命题正确的是（）A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的三条高都在三角形内部C ．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D ．两边和其中一边的对角相等的三角形全等7．如图，若ABE ACF V V ≌，且AB =8，AE =3，则EC 的长为（）A ．2B ．3C ．5D ．2.58．如图，ABC DEF ≅ ，DF 和AC ，EF 和BC 为对应边，若A 123∠=︒，F 39∠= ，则DEF ∠等于（）A ．18°B ．20°C ．39°D ．123°9．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，AE 的中点，且S △ABC ＝12cm 2，则阴影部分面积S ＝（）cm 2．A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 和△CBN 是等边三角形．下列结论：①AN=BM;②CE=CF;③△CEF 是等边三角形;④∠ECF=60°∘．其中正确的是（）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④11．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．二、填空题12．一个三角形的三个内角的度数的比是1:2:3，这个三角形是________三角形；13．一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40cm 和30cm ，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm ，则x 的取值范围是_______．14．如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，//BC DF ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使Rt ABC ∆和Rt EDF ∆全等．15．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若1234310∠+∠+∠+∠=︒，则B Ð的度数为_________．16．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，且S △ABC =4，则S △BFF =_____．17．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，周长的最小AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则CDG值为______．三、解答题+++-----．18．已知a，b，c为三角形三边的长，化简：a b c b c a c a b19．如图，两个三角形成轴对称，画出对称轴．20．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与∆ABC关于直线l成轴对称的△AB'C'；（2）以AC为边作与∆ABC全等的三角形，则可作出个三角形与∆ABC全等；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．21．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF.求证：AB∥DE.22．已知：如图，已知点B 、E 、F 、C 在同一直线上，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E ，F 是垂足，CE =BF ，求证：AB //CD ．23．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ，E ，F 为垂足．AE ＝CF ，求证：∠ACB ＝90°．24．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＋∠BDC=180°．（1）求证：AD 为∠BDC 的平分线；（2）若∠DAE=12∠BAC ，且点E 在BD 上，直接写出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系_______．25．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．参考答案1．B【详解】试题分析：由三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选B．考点：三角形三边关系．2．A【解析】分析：根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可．解答：解：根据三角形高线的定义，只有A 选项符合．故选A ．3．A【分析】根据全等三角形的性质求解即可．【详解】∵ABC EFG ∆≅∆，∴∠ACB =∠EGF ，故72ACB α∠=∠=︒．故答案为：72︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，对应线段相等，特别要注意“对应”两字．4．C【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得答案．【详解】直角三角形具有稳定性，梯形、长方形、平行四边形都不具有稳定性．故选：C【点睛】本题考查三角形的性质之一，即三角形具有稳定性，掌握三角形的这一性质是快速解题的关键．5．D【分析】根据轴对称图形的定义判断即可【详解】A 、不是轴对称图形，不合题意；B 、不是轴对称图形，不合题意；C 、不是轴对称图形，不合题意；D 、是轴对称图形，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．6．C【分析】根据三角形的外角定理即可判断①；根据三角形的高的定义即可判断②；根据三角形中线的性质即可判断③；根据全等三角形的判定方法即可判断④，进而可得答案．【详解】解：A 、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项命题错误，不符合题意；B 、钝角三角形有两条高在三角形的外部，故本选项命题错误，不符合题意；C 、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，故本选项命题正确，符合题意；D 、两边和其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，故本选项命题错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、三角形的外角性质、中线的性质、高的定义和全等三角形的判定等知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．7．C【分析】由ABE ACF V V ≌可得,AB AC =从而利用线段的和差可得答案．【详解】解：,8ABE ACF AB = ≌，8,AB AC ∴==3,AE = 83 5.CE AC AE ∴=-=-=故选C ．【点睛】本题考查的是三角形全等的性质，线段的和差，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据全等三角形的性质求出∠D ，再用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：∵ABC DEF ≅ ，∴∠D=∠A=123°，又F 39∠= ，∴DEF ∠=180°-∠D-∠F=180°-123°-39°=18°，故答案为：A ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．9．C【分析】根据三角形面积公式由点D 为BC 的中点得到S △ABD ＝S △ADC ＝12S △ABC ＝6，同理得到S △EBD ＝S △EDC ＝12S △ABD ＝3，则S △BEC ＝6，然后再由点F 为EC 的中点得到S △BEF ＝12S △BEC ＝3．【详解】解：∵点D 为BC 的中点，∴S △ABD ＝S △ADC ＝12S △ABC ＝6，∵点E 为AD 的中点，∴S △EBD ＝S △EDC ＝12S △ABD ＝3，∴S △EBC ＝S △EBD +S △EDC ＝6，∵点F 为EC 的中点，∴S △BEF ＝12S △BEC ＝3，即阴影部分的面积为3cm 2．故选：C ．【点睛】本题考查三角形的中线有关的面积计算问题．三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题．10．D【分析】由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS 得到△CAN ≌△CMB ，再由△CAN ≌△CMB 可得∠CAN=∠CMB ，进而得出∠MCF=∠ACE ，由ASA 得出△CAE ≌△CMF ，即CE=CF ，又ECF=60°，所以△CEF 为等边三角形结论得以验证．【详解】解：（1）∵△ACM ，△CBN 是等边三角形，∴AC=MC ，BC=NC ，∠ACM=60°=∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN,即∠ACN=∠MCB在△CAN 和△MCB 中，AC MC ACN MCB NC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN=BM ，①正确；∵△CAN ≌△CMB ，∴∠CAN=∠CMB ，又∵∠ECF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠ECF=∠ACE ，在△CAE 和△CMF 中，CAE CMF CA CM ACE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CAE ≌△CMF （ASA ），∴CE=CF ，∴△CEF 为等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF 为等边三角形，所以②③④正确，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．11．B【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC、2、只有选项B的各边为1B．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.12．直角【分析】依据三角形的内角和为180°，直接利用按比例分配求得最大的角，根据三角形的分类即可判断．【详解】解：3 18090123︒︒⨯=++因为三角形中有一个角是90°，所以该三角形是直角三角形；故答案为直角．【点睛】此题主要考查三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．13．10cm<x<70cm【解析】试题分析：三角形的第三边长大于两边之差，小于两边之和，则x的取值范围为：10cm x70cm<<．14．AB ED=，答案不唯一【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．【详解】∵Rt ABC∆和Rt EDF∆中，∴90BAC DEF ∠=∠=︒，∵//BC DF ，∴DFE BCA ∠=∠，∴添加AB ED =，在Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中DFE BCA DEF BAC AB ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()Rt Rt AAS ABC EDF ∆∆≌，故答案为：AB ED =答案不唯一．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：两直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL 等．15．130°【分析】根据多边形外角是360︒可求得B Ð的外角，即可得到结果．【详解】由题可得B Ð的外角=()1234360-=360-310=50︒︒︒∠+∠+∠+∠︒，∴=180-50=130B ∠︒︒︒．故答案为130︒．【点睛】本题主要考查了多边形的外角定理，准确理解外角和及邻补角的性质是解题的关键．16．1【分析】根据三角形中线的性质可得S △ABE =S △DBE =S △DCE =S △AEC =14S △ABC ，进而可根据()()12BEC DBE DCE ABD ADC S S S S S =+=+ 求出BEC S ，再利用三角形中线的性质解答即可．【详解】解：∵D 、E 分别为BC 、AD 的中点，∴S △ABE =S △DBE =S △DCE =S △AEC =14S △ABC ，∴()()11222BEC DBE DCE ABD ADC ABC S S S S S S ==+=+= ，∵F 是边CE 的中点，∴211122BEF BEC S S ==⨯= ．故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，属于常考题型，熟练掌握三角形的中线性质是解题的关键．17．11【分析】连接AD ，AG ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点C ，GA=GC ，推出GC+DG=GA+DG≥AD ，故AD 的长为BG+GD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，AG ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC•AD=12×4×AD=18，解得AD=9，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点C ，GA=GC ，∴GC+DG=GA+DG≥AD ，∴AD 的长为CG+GD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CG+GD ）+CD=AD+12BC=9+12×4=9+2=11．故答案为：11．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．18．a+c-b【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，+-+-+--+∴原式=(a b)c b(c a)c(a b)=a+b-c-b+c+a+c-a-b=a+c-b【点睛】本题考查的是三角形的三边关系以及整式的加减运算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．19．见解析．【分析】连接一对对应点AB，作AB的垂直平分线即可得出答案【详解】解：连接一对对应点AB，作AB的垂直平分线即可得出答案．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，解决此类问题的关键是熟练掌握其性质，根据要求找出对应点再画图形．20．（1）见解析；（2）3；（3）见解析【分析】（1）分别作各点关于直线l 的对称点，再顺次连接即可；（2）根据勾股定理找出图形即可；（3）连接B′C 交直线l 于点P ，则P 点即为所求．【详解】（1）如图，△AB 'C '即为所求；（2）如图，△AB 1C ，△AB 2C ，△AB 3C 即为所求，故填：3；（3）如图，P 点即为所求．【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．21．见详解.【分析】利用“HL”定理可证明ABC EDF ≅ ，由全等可得B D ∠=∠易证AB ∥DE .【详解】解： AC ⊥BD ，EF ⊥BD90,90ACB EFD ︒︒∴∠=∠= CD ＝BFCD CF BF CF∴+=+BC DF∴=在Rt ABC 和Rt EDF 中{BC DF AB DE==Rt ABC Rt EDF∴≅ B D∴∠=∠AB DE∴ 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形特殊的判定方法“HL”定理是解题的关键.22．见解析【分析】由AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，得出∠AEB=∠DFC=90°，再由CE=BF ，AB=DC 得Rt △AEB ≌Rt △DFC ，即可得∠B=∠C ，即可得出结论．【详解】∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠AEB=∠DFC=90°．∵BF=CE ，∴BF-EF=CE-EF ，即BE=CF ，在Rt △AEB 和Rt △DFC 中，BE CF AB DC =⎧⎨=⎩，∴Rt △AEB ≌Rt △DFC （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB ∥CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．23．见解析【分析】根据题意易得Rt △ACE ≌Rt △CBF ，则有∠EAC ＝∠BCF ，然后根据等角的余角相等及领补角可求证．【详解】证明：如图，在Rt △ACE 和Rt △CBF 中，AC BC AE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt △ACE ≌Rt △CBF （HL ），∴∠EAC ＝∠BCF ，∵∠EAC+∠ACE ＝90°，∴∠ACE+∠BCF ＝90°，∴∠ACB ＝180°﹣90°＝90°．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）DE=B E+DC.【分析】（1）过A 作AG ⊥BD 于G ，AF ⊥DC 于F ，先证明∠BAG=∠CAF ，然后证明△BAG ≌△CAF 得到AG=AF ，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；（2）过A 作∠CAH=∠BAE ，证明△EAD ≌△HAD ，得到AE=AH ，再证明△EAB ≌△HAC 中，即可得出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系.【详解】证明:（1）如图1，过A 作AG ⊥BD 于G ，AF ⊥DC 于F ，∵AG ⊥BD ，AF ⊥DC ，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC ，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC ，∴∠BAG=∠CAF ，在△BAG 和△CAF 中90AGB F BAG CAF AB AC⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAG ≌△CAF （AAS ），∴AG=AF ，∴∠BDA=∠CDA ，（2）BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系是DE=B E+DC ，理由如下：如图2，过A 作∠CAH=∠BAE 交DC 的延长线于H，∵∠DAE=12∠BAC ，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD ，∵∠CAH=∠BAE ，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH ，在△EAD 和△HAD 中EAD HADAD AD ADE ADH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EAD ≌△HAD （ASA ），∴DE=DH ，AE=AH ，在△EAB 和△HAC 中BAE CAH AE AH ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAB ≌△HAC （SAS ），∴BE=CH ，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE ，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．25．（1）见解析；（2）FC ＝CD+CE ，见解析【分析】（1）在CD 上截取CH ＝CE ，易证△CEH 是等边三角形，得出EH ＝EC ＝CH ，证明△DEH ≌△FEC （SAS ），得出DH ＝CF ，即可得出结论；（2）过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，由平行线的性质易证∠GDC ＝∠DGC ＝60°，得出△GCD 为等边三角形，则DG ＝CD ＝CG ，证明△EGD ≌△FCD （SAS ），得出EG ＝FC ，即可得出FC ＝CD+CE ．【详解】（1）证明：在CD 上截取CH ＝CE ，如图1所示：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ECH ＝60°，∴△CEH 是等边三角形，∴EH ＝EC ＝CH ，∠CEH ＝60°，∵△DEF 是等边三角形，∴DE ＝FE ，∠DEF ＝60°，∴∠DEH+∠HEF ＝∠FEC+∠HEF ＝60°，∴∠DEH ＝∠FEC ，在△DEH 和△FEC 中，DEH FEC EH EC⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEH ≌△FEC （SAS ），∴DH ＝CF ，∴CD ＝CH+DH ＝CE+CF ，∴CE+CF ＝CD ；（2）解：线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC ＝CD+CE ；理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝60°，过D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：∵GD ∥AB ，∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°，∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∴△GCD 为等边三角形，∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°，∵△EDF 为等边三角形，∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°，∴∠EDG ＝∠FDC ，在△EGD 和△FCD 中，ED DFEDG FDC DG CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EGD ≌△FCD （SAS ），∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG+CE ＝CD+CE ．21【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．。

乌市二中2022-2023学年第一学期期中考试试卷八年级数学学科考试时间：60分钟考试分数：100分一、选择题（每题3分，共24分）1. 如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，字“善”和“羊”是轴对称图形，字“洋”和“祥”不是轴对称图形，故选B ．2. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ）A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，6，10D. 4，4，8【答案】C【解析】【详解】选项A ，3+4<8，不能构成三角形，选项B ，5+6=11，不能构成三角形，选项C ，5+6>10,6-5<10,可以构成三角形，选项D ，4+4=8，不能构成三角形，所以选C ．3. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是 （）A. B. C. 和 D. 以上都不正确【答案】A【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到5cm 2cm 12cm9cm 12cm 9cm两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【详解】解：当等腰三角形的腰为，底为时，∵∴，，能够组成三角形，此时周长为；当等腰三角形的腰为，底为时，∵，∴，，不能够组成三角形．则这个等腰三角形的周长是．故选：A ．4. 平面直角坐标系中，点（﹣2，4）关于x 轴的对称点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【详解】试题分析：利用关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，﹣y ），进而得出答案．解：点（﹣2，4）关于x 轴的对称点为；（﹣2，﹣4），故（﹣2，﹣4）在第三象限．故选C ．考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．5. 在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ：∠B ：∠C=1： 2：3，③∠A=90°﹣∠B ，④∠A=∠B=∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【详解】①因为∠A +∠B =∠C ,则2∠C =180°,∠C =90°，所以△ABC 是直角三角形；②因为∠A :∠B :∠C =1:2:3,设∠A =x ,则x +2x +3x =180,x =30°,∠C =30°×3=90°，所以△ABC 是直角三角形；③因为∠A =90°−∠B ,所以∠A +∠B =90°,则∠C =180°−90°=90°，所以△ABC 是直角三角形；5cm 2cm 525+>5cm 5cm 2cm 55212cm ++=2cm 5cm 2245+=<2cm 2cm 5cm 12cm④因为3∠A =2∠B =∠C ,∠A +∠B +∠C=∠C +∠C +∠C =180°,∠C =，所以三角形为钝角三角形．所以能确定△ABC 是直角三角形的有①②③共3个．故选C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C 的度数是解此题的关键，三角形内角和定理的应用：①直接根据两已知角求第三个角；②根据三角形中角的关系，用代数方法求第三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．6. 如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：，，，条件为边边角，不能证明，故A 符合题意；，，，条件为边角边，能证明，故B 不符合题意；，，，条件为角角边，能证明，故C 不符合题意；，，，条件为边角边，能证明，故D 不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7. 如图，中，，平分，，，则（ ）131********ABC BAD ∠=∠ABC BAD ≌AC BD=CAB DBA ∠=∠C D ∠=∠BC AD= ABC BAD ∠=∠AB BA =AC BD =∴ABC BAD ≌ ABC BAD ∠=∠AB BA =CAB DBA ∠=∠∴ABC BAD ≌ ABC BAD ∠=∠AB BA =C D ∠=∠ABC BAD ≌ ABC BAD ∠=∠AB BA =BC AD =ABC BAD ≌SSS SAS ASA AAS HL 、、、、AAA SSA 、ABC AD BC ⊥AE BAC ∠70B ∠=︒34C ∠=︒DAE ∠=A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题．利用垂直求得是正确解答本题的关键．在中，根据三角形内角和定理得到的度数，进而求出的度数，在直角中根据三角形内角和定理得到的度数，则的度数就可以求出．【详解】解：在中，，，∴，又∵平分，∴，在直角中，，∴．故选：A ．8. 如图，，，，则对于结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解．【详解】解：∵，∴，，，故①③正确；∴，∴，故④正确；根据已知条件无法判断与的大小关系．故选：C的18︒34︒20︒38︒9056DAC C ∠=︒-∠=︒ABC BAC ∠DAC ∠ACD DAC ∠DAE ∠ABC 70B ∠=︒34C ∠=︒18076BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒AE BAC ∠1382EAC BAC ∠=∠=︒ACD 9056DAC C ∠=︒-∠=︒18DAE DAC EAC ∠=∠-∠=︒ABC AEF ≌△△AB AE =B E ∠=∠AC AF =FAB EAB ∠=∠EF BC =EAB FAC ∠=∠ABC AEF ≌△△AC AF =BAC EAF ∠=∠EF BC =BAC BAF EAF BAF ∠-∠=∠-∠BAE CAF ∠=∠FAB ∠EAB ∠二、填空题（每题3分，共18分）9. 多边形每一个内角都等于，则此多边形是__________边形．【答案】十二【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，正n边形的每个内角都等于，多边形的外角和都是．先计算出每个外角，再根据多边形的外角和都是进行计算即可．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，∴多边形的每一个外角都等于，∴边数．故答案为：十二．10. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是____°．【答案】80°或50°【解析】【详解】分两种情况：①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角度数=(180°−80°)÷2=50°；②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°，故它底角度数是50或80．故答案为：80°或50°．11. 如图，是直角三角形，平分 ，，则点D 到的距离为__________【答案】4【解析】【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D 作于E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点D 作于E ，的的150︒()2180n n-⋅︒360︒360︒150︒18015030︒-︒=︒3603012n =︒÷︒=ABC BD ABC ∠4=AD BC DE BC ⊥DE BC ⊥∵平分，，，∴，故答案为：4．12. 如图所示的图形中，x 的值为______.【答案】60度【解析】【分析】根据由三角形外角和性质即可得出.【详解】由三角形外角和得出：（x+70）°=x°+（x+10）°解得x=60°故答案为60度.【点睛】本题考查了三角形外角，熟练掌握性质定理是解题的关键.13. 如图，已知BD ＝AC ，那么添加一个_____条件后，能得到△ABC ≌△BAD （只填一个即可）．【答案】BC =AD （答案不唯一）【解析】【分析】本题中除了BD =AC 还有一个公共边，即AB =BA ，则根据SSS 判定定理可添加的条件为BC =AD .当然根据其他判定还有其他情况.【详解】由BD =AC ，AB =BA ，BC =AD . 能得到△ABC ≌△BAD （SSS ）;由BD =AC ，AB =BA ，∠BAC =∠ABD . 能得到△ABC ≌△BAD （SAS ）;故答案为：BC =AD【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题的关键：根据判定的条件，有目的确定条件.BD ABC ∠DE BC ⊥90A ∠=︒4DE AD ==14. 如图，中，，的垂直平分线交于P 点．若，的周长为，则________________ ．【答案】##3厘米【解析】【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，结合可以推导，结合的周长等于可以得解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】解：∵的垂直平分线交于P 点，∴，∴，∵，∴，∵的周长是．∴．故答案为：．三、解答题（共58分）15. 小河边有两个村庄A 、B ，要河边建一自来水厂向村庄A 与村庄B 供水．（1）若要使厂部到A 、B 村的水管最省料，则应建在什么地方？（2）请说明其中所含数学道理．【答案】（1）见解析（2）两点之间，线段最短【解析】【分析】此题主要考查了应用设计与作图以及轴对称求最短路径，得出A 点对称点是解题关键．（1）首先作点A 关于的对称点，然后连接交于点E即为所求；在的ABC AB AC =AB AC 5cm AB =PBC 8cm BC =3cm AP BP =AB AC =5cm BP CP AC +==PBC 8cm AB AC AP BP =BP CP AP CP AC +=+=5cm AB AC ==5cm BP CP AC +==PBC 8cm BC BP PC ++=()853cm BC =-=3cm CD A 'A B 'CD（2）根据两点之间，线段最短求解即可．【小问1详解】如图所示，点E 即为所求；【小问2详解】根据题意可得，∴∴点E 即为所求，∴利用的数学道理是两点之间，线段最短．16. 如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）求的面积；（2）在图中作出关于轴对称的；（3）写出点，，的坐标．【答案】（1）（2）见解析（3），，【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y 轴对称的点的坐标特点是解题的关键．（1）先求出，轴，再根据进行求解即可；AE A E'=AE BE A E BE A B''+=+≤xOy ()1,5A -()1,0B -()4,3C -ABC ABC y 111A B C △1A 1B 1C 7.5()115A ，()110B ，()143C ，5AB =AB y ∥()12ABC A C S AB x x =⋅-（2）利用关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，找到A 、B 、C 对应点的位置，然后描点，再顺次连接即可；（3）根据（2）所求写出对应点的坐标即可．【小问1详解】解：∵，，，∴，轴，∴；【小问2详解】解：如图所示，即为所求；【小问3详解】解：由图可知，，．17. 如图，AB ∥CD ，∠ABE ＝60°，∠D ＝50°，求∠E 的度数．【答案】10°111A B C 、、111A B C 、、()1,5A -()1,0B -()4,3C -505AB =-=AB y ∥()11537.522ABC A C S AB x x =⋅-=⨯⨯= 111A B C △()115A ，()110B ，()143C ，【解析】【分析】已知AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠CFE ＝∠ABE ＝60°．又因∠D ＝50°，根据三角形外角的性质即可求得∠E ＝10°．【详解】解：因为AB ∥CD ，所以∠CFE ＝∠ABE ＝60°．因为∠D ＝50°，所以∠E ＝∠CFE －∠D ＝60°－50°＝10°．18. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数．【答案】这个多边形的边数是7．【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n ，依题意得，，解得．∴这个多边形的边数是7．19. 已知：如图，中，边上有D 、E 两点，，．求证：是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】由∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B=∠C ，然后由等角对等边，证得：△ABC 是等腰三角形．【详解】解：证明：∵∠B=∠3-∠1，∠C=∠4-∠2，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠B=∠C ，∴AB=AC，180︒360︒360︒180︒()21802360180n -⨯︒=⨯︒+︒7n =ABC ∆BC 12∠=∠3=4∠∠ABC ∆即△ABC 是等腰三角形．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．20. 如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD.【答案】见解析【解析】【详解】试题分析：根据△ABC 和△BDE 都是等边三角形可得AB=BC ，BE=BD ，∠ABE=∠DBE=60°，即可证得△ABE ≌△CBD ，从而得到结论.∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠ABE=60°又∵△BDE 是等边三角形，∴BE=BD ，∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE∴在△ABE 和△CBD 中，∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE=CD.考点：等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质点评：全等三角形的判定和性质的应用是平面图形中极为重要的知识点，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.21. 如图，在中，，点E 在边上，点F 在边的延长线上，．ABC 90ABC AB CB ∠︒==，BC AB BE BF =（1）求证：；（2）若，，求的长度．【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质：（1）先由平角的定义得到，再利用即可证明；（2）先由三角形内角和定理得到，再由含30度角的直角三角形的性质得到，则由全等三角形的性质可得．【小问1详解】证明：∵，∴，又∵，∴；【小问2详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴．ABE CBF △≌△60AEB ∠=︒3BE =CF 90CBF ABE =︒=∠∠SAS ABE CBF △≌△30BAE ∠=︒26AE BE ==6CF AE ==90ABC ∠=︒90CBF ABE =︒=∠∠BF BE BC BA ==，()SAS ABE CBF ≌△△60AEB ∠=︒90ABE ∠=︒30BAE ∠=︒26AE BE ==ABE CBF △≌△6CF AE ==。

2022－2023学年高级中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. 下列各数是无理数的是（ ）A. B. 207 C. πD. 【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义及其常见的表现形式加以判断选择即可．【详解】因为2=−，有理数，故A 不符合题意； 因为207，是有理数， 故B 不符合题意；因为π，是无理数，故C 符合题意；2=，是有理数，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了无理数的甄别，熟练掌握无理数的定义即无限不循环小数是解题的关键． 2. 在下列各式中，计算正确的是（ ）A.9=−B. 3−= C. (22=− D. 1=−【答案】D【解析】【分析】根据立方根，算术平方根，二次根式的性质计算判断即可．|9|9=−=，∴A 不符合题意；∵−∴B 不符合题意；∵(22=，∴C 不符合题意；是1=−，∴D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了求立方根，算术平方根，二次根式的性质，熟练掌握求立方根的方法和二次根式的性质是解题的关键．3. 一次函数21y x =+的图象经过点（ ） A. ()1,2−−B. ()1,1−−C. ()0,1−D. ()1,1【答案】B【解析】【分析】根据分别将A,B,C,D 代入y=2x+1中即可判断. 【详解】解：A ．把=1x −代入21y x =+得：211y =−+=−，即A 项错误， B ．把=1x −代入21y x =+得：211y =−+=−，即B 项正确， C ．把0x =代入方程21y x =+得：1y =，即C 项错误， D ．把1x =代入方程21y x =+得：213y =+=，即D 项错误， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一次函数上点的坐标特点，代入过程中注意计算正确性是关键.4. 如图为深圳高级中学（集团）各校区的位置，A 点为中心校区，B 点为南校区，C 点为北校区，D 点为高中园，E 点为龙岗校区，F 点为东校区，G 点为盐田校区，若以C 点为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则点A 的坐标可能为（ ）A. ()1,9B. ()1,9−C. ()1,9−−D. ()1,9−【答案】C【解析】【分析】根据点A 在第三象限，结合第三象限的坐标特征为(,)−−，判断选择即可．【详解】因为点A 在第三象限，所以第三象限的坐标特征为(,)−−，故选C ．【点睛】本题考查了象限与坐标的关系，熟练掌握各象限坐标的特征是解题的关键．5. 如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A. －4和－3之间B. 3和4之间C. －5和－4之间D. 4和5之间【答案】A【解析】 【分析】由勾股定理求出OP ，从而得到OA 的长度，问题可解．【详解】由点P 坐标为(－2，3)，可知OP =又因为OA =OP ,所以A 的横坐标为-3.6≈，介于－4和－3之间，故选A ．6. 已知点()12,y −，()21,y 在一次函数12y x b =−+的图像上，则1y 与2y 的大小关系为（ ） A. 12y y <B. 12y y >C. 12y y =D. 无法确定 【答案】B【解析】【分析】根据一次函数增减性判断即可． 的【详解】因为12y x b =−+， 所以102k =−＜，所以y 随x 的增大而减小，且21−＜，所以12y y >，故选B ．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 7. 下列条件中，能确定是直角三角形的有（ ）①三边之比为3:4:5；②三边长的平方之比为1:2:3；③三内角之比为1:2:3；④三内角之比为3:4:5；⑤两个内角之和等于第三个角．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，计算判断即可．【详解】因为三边之比为3:4:5，设三边长分别为3,4,5k k k ，则2222(3)(4)25(5)k k k k ==+，故构成直角三角形，所以①正确；因为三边长的平方之比为1:2:3，设三边的平方分别为,2,3k k k ，且23k k k +=，即它们的平方和等于第三边的平方，故构成直角三角形，所以②正确；因为三内角之比为1:2:3， 所以最大内角度数为：318090123×=++ ，故构成直角三角形，所以③正确；因为三内角之比为3:4:5， 所以最大内角度数为：518075345×=++ ， 故构不成直角三角形，所以④不正确；因为两个内角之和等于第三个角． 所以最大内角度数为：1180902×= ， 故构成直角三角形，所以⑤正确；故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．8. 若直线y kx b =+经过一、二、三象限，则直线y bx k =−−的图像是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线y kx b =+经过一、二、三象限，判定0k b ＞0,＞，从而判定0k b −＜0,-＜即图像经过二、三、四象限，选择即可．【详解】因为直线y kx b =+经过一、二、三象限， 所以0k b ＞0,＞，所以0k b −＜0,-＜即直线y bx k =−−的图像经过二、三、四象限， 故选D ．【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，正确掌握图像分布与,k b 的关系是解题的关键．9. 放学后，小刚正常走路回家，突然想起今天是妈妈的生日，于是赶紧跑步回家．小刚离家的距离s （单位m ）和放学后的时间t （单位min ）之间的关系如图，那么下列结论错误的是（ ）A. 小刚边走边聊阶段的行走速度是125m/minB. 小刚家离学校的距离是1000mC. 小刚回到家时已放学10minD. 小刚从学校回到家的平均速度是100m/min【答案】A【解析】【分析】结合函数图像，正确获取解题信息，灵活计算判断． 【详解】根据题意，小刚边走边聊阶段的行走速度是100060050(m/min)8−=， 故A 不正确，符合题意；当0=t 时，1000(m)s =根据题意，小刚家离学校的距离是1000m ，故B 正确，不符合题意；当0s =时，10min t =根据题意，小刚回到家时已放学10min ，故C 正确，不符合题意； 根据题意，小刚平均速度是1000m 100m/min 10min=， 故D 正确，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了图像信息题，准确读懂图像所反映的信息，并活用信息解题是解题的关键． 10. 如图，在长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，点E 是BC 边上一点，且AE EC =，点P 是边AD 上一动点，连接PE ，PC ，则下列结论：① 3BE =；②当5AP =时，PE 平分AEC ∠；③连接BP ，PBC 周长的最小值为8+；④当5AP =或6或256时，APE V 为等腰三角形． 其中正确的个数有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】 【分析】利用矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短的原理，依次计算判断即可．【详解】解： 长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，∴90ABE ∠= ，设BE x =，则8AE EC x ==−，则2224(8)x x +=−，解得x =3，故①正确；长方形ABCD ，∴AD BC ∥，∴APE PEC ∠=∠，由①知，3BE =5AE ∴=5AP =，∴5AP AE EC ===，∴APE AEP ∠=∠，∴AEP PEC ∠=∠，∴PE 平分AEC ∠；故② 正确，连接BP ，延长BA 到点E ，使得BA AE =，连接EC ，交AD 于点P ，此时PB PC +最小，且最小值为EC 的长，根据勾股定理，得EC∴PBC 周长的最小值为8+；故③正确；5AE EC ==，∴5AP =时，APE V 为等腰三角形；当5AE EP ==时，APE V 为等腰三角形，过点E 作EF AD ⊥，垂足为F ，长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，∴90ABE ∠= ，90BAF ∠= ，∴四边形ABEF 是矩形，∴4AB EF ==，∴3AF FP ===，∴6AP AF FP =+=；当AP EP =时，APE V 为等腰三角形，过点P 作PH BC ⊥，垂足为H ，长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，∴90D C ∠=∠= ，∴四边形PDCH 是矩形，∴4PH DC AB ===，8PD HC AP ==−，∴5(8)3EH AP AP =−−=−,∴2224(3)AP AP +−=， 解得256AP =； 故当5AP =或6或256时，APE V 等腰三角形． 所以④正确，故选D ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短原理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理和线段最短原理是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11. 4的算术平方根为______________．【答案】2【解析】【分析】根据算术平方根的定义求解即可．详解】解：∵22=4，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根的定义（如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根），熟练掌握该知识点是解题关键．12. 若点()1,2P 关于x 轴的对称点为Q ，则PQ 的长为____________．【答案】4【解析】【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质得出Q 点坐标，进而得出答案．【详解】解：∵点()12P ，与点Q 关于x 轴的对称， ∴()12Q −，则PQ 的长为：()224−−=． 故答案为：4．为【【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称对称点的性质，正确得出Q 点坐标是解题关键．13. 对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种运算※如下：a b=※，例如23=※那么62=※____________．【答案】【解析】【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得．【详解】解：2=6※，． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键． 14. 如图，已知正比例函数经过A B ，两点，A 点坐标()1,2，B 点的横坐标为－2，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则C 点坐标为____________．【答案】()14−，【解析】【分析】根据反比例函数的定义性质求得B 点坐标，过B 点作y 轴的平行线l ；过点A C 、作l 的垂线，分别交于D E 、两点．易证得ABD BEC ≅△△ ，即可求得BE AD CE BD ==， ，从而求得C 点坐标．【详解】如图，过B 点作y 轴的平行线l ；过点A C 、作l 的垂线，分别交于D E 、两点．A 点坐标为()1,2∴ 反比例函数的解析式为2y x =B 点横坐标为2−∴ B 点坐标为()2,1−−90,90ABD CBE ABD BAD CBE BAD∠+∠=∠+∠=∴∠=∠在ABD △ 与BEC 中，90,CBE BAD BEC ADB BC BA∠= ∠=∠= = ∴ ABD BEC ≅△△ ，∴ 3,3BE AD CE BD ====∴ C 点坐标为()14−，故答案为()14−，． 【点睛】本题考查反比例函数与三角形及图形旋转性质的综合运用，关键要根据坐标的定义合理作出辅助线．15. 如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=°，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段'B F 的长为_________．【答案】45【解析】 【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=125，ED=AE=95，从而求得B′D=1，DF=35，在Rt △B′DF 中，由勾股定理即可求得B′F 的长． 【详解】根据折叠的性质可知3CD AC ==，'4B C BC ==，∠=∠ACE DCE ，'BCF B CF ∠=∠，CE AB ⊥，∴'431B D =−=，'DCE B CF ACE BCF ∠+∠=∠+∠，∵90ACB ∠=°， ∴45ECF ∠=°，∴ECF △是等腰直角三角形，∴EF CE =，45EFC ∠=°，∴'135BFC B FC ∠=∠=°，∴'90B FD ∠=°，∵1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△， ∴AC BC AB CE ⋅=⋅，∵根据勾股定理求得5AB =， ∴125CE =，∴125EF =，95ED AE ==，∴35DF EF ED =−=，∴4'5B F =． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．三、解答题（共7小题，满分55分）16. )2． 【答案】9【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简，计算一个数的立方根，求解即可．【详解】)2− =6(3)9+−−−=．【点睛】本题考查了二次根式的性质，求一个数的立方根，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 17. 先化简，再求值：()()()()222222a b b a a b ab b +−+−−÷，其中2a =，1b = 【答案】a b +，3【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．【详解】解：()()()()222222a b b a a b ab b +−+−−÷()()222244422a a ab b b ab b −−−÷++ ()()222244422a a a ab b b b b −+−÷++()()2222b b a b +÷=a b +，当2a =，1b =时，原式213=+=．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 18. 如图所示，一艘轮船由A 港口沿着北偏东60°的方向航行100km 到达B 港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km 到达C 港口．（1）求A ，C 两港口之间的距离；（结果保留根号）（2）C 港口在A 港口的什么方向．【答案】（1）（2）C 港口在A 港口的北偏东15°的方向上【解析】【分析】（1）由题意得90ABC ∠=°，由勾股定理，从而得出AC 的长；（2）由（1）可得45BAC ∠=°，求出MAC ∠即可．【小问1详解】∵60MAB ∠=°，∴30BAN ∠=°．∵AN QB ∥，∴30QBA BAN ∠=∠=°． ∵30PBC ∠=°，∴60CBQ ∠=°． ∴90ABC QBA CBQ ∠=∠+∠=°．根据勾股定理，知AC ．答：A 、C 两港之间的距离是；【小问2详解】由（1）知，ABC 是等腰直角三角形，且90ABC ∠=°，∴45BAC ∠=°∴9090453015MAC BAC BAN ∠=°−∠−∠=°−°−°=°,∴C 港口在A 港口的北偏东15°的方向上【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到90ABC ∠=°． 19. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．（1）若3BC =，6AC =时，求阴影部分的面积；（2）若12BC AC ⋅=，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】（1）9 （2）6【解析】【分析】（1）根据22211112424224AC BC AB AC BC πππ××+××+××−××，结合222AB AC BC =+计算即可．（2）根据22211112424224AC BC AB AC BC πππ××+××+××−××，结合222AB AC BC =+，可以得到阴影部分的面积为12AC BC ××． 【小问1详解】解：因为90C ∠=°，3BC =，6AC =，所以222223645AB AC BC =+=+=，所以阴影部分的面积为： 22211112424224AC BC AB AC BC πππ××+××+××−×× =136191145362424224πππ××+××+××−×× =9．【小问2详解】解：根据（1）得22211112424224AC BC AB AC BC πππ××+××+××−××， 因为222AB AC BC =+，所以阴影部分的面积为12AC BC ××． 因为12BC AC ⋅=， 所以阴影部分的面积为1112622AC BC ××=×=． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟练掌握勾股定理，圆的面积公式是解题的关键．20. 九年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图象与性质后，进一步研究了函数1yx =+的图象与性质．其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m = ． x… －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 4 3 2 1 2 3 m … 描点：根据表中各组对应值(),x y ，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号） ①函数值y 随x 的增大而减小；②1yx =+关于y 轴对称； ③1y x =+有最小值1．（3）在上图中，若直线1522y x =+交函数1y x =+的图象于A ，B 两点（A 在B 左侧），记()0,1为C点．则ABC S ∆= ．【答案】（1）4，见解析（2）②③ （3）3【解析】【分析】（1）求出3x =时的函数值即可；利用描点法画出函数图象即可；（2）结合图象即可得出结论；（3）结合函数图象确定点A 、B 的坐标，根据三角形面积公式求解即可．【小问1详解】当3x =时，|3|14y =+=，即4m =，故答案为：4；描点，连线，如图所示，【小问2详解】通过观察图象可得出：①当0x <时，函数值y 随x 的增大而减小；当0x >时，函数值y 随x 的增大而减大；故①错误；②1yx =+关于y 轴对称；故②正确；③1yx =+有最小值1，故③正确． 故答案为②③【小问3详解】 根据图象得，(1,2),(3,4)A B −又()0,1C 所以，111341124333222ABC S =×−××−××−××= 故答案为：3 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与二元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想．21. 如图1，直线AB 和直线AC 相交于A 点()4,0−，B 、C 分别在y 轴的正半轴和负半轴上，且2OB OC =，C 点坐标为()0,2−．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）在线段AC 上找一点P ，使得2ABP ACO S S ∆∆=，求P 点的坐标；（3）如图2，D 点为线段AO 的中点，若点Q 是线段AB （不与点A 、B 重合）上一点，且使得DQA OQB ∠=∠，请求出Q 点坐标．【答案】（1）4y x =+（2）44(,)33P −− （3）84(,)33Q − 【解析】【分析】(1)根据2OB OC =，C 点坐标为()0,2−，确定2224OB OC ==×=，确定点(0,4)B ，设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，代入A 、B 两点的坐标计算即可． （2）设直线AC 的函数表达式为y mx n =+，代入A 、C 两点的坐标，确定解析式，设(,)P a ma n +，连接BP ，根据坐标可计算ACO S ∆，结合2ABP ACO S S ∆∆=确定ABP S ∆，再运用分割法得到11||22ABP ABC P x BC BC OA S B P S C S ∆∆∆==−− ，计算即可． （3）在AB 上取一点E ，使得AQ QE =，连接OE ，结合AD DO =得到DQ 是中位线，得到DQ OE ∥，得到DQA OEQ ∠=∠，结合DQA OQB ∠=∠，可证明OEQ OQB ∠=∠，继而得到OQ OE =，过点Q 作QG OA ⊥于点G ，利用等腰直角三角形的性质，运用勾股定理，求算QG AG OG ，，的长，结合点的位置，写出坐标即可．【小问1详解】因为2OB OC =，C 点坐标为()0,2−， 所以2224OB OC ==×=，所以点(0,4)B ，设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，代入A 、B 两点的坐标，得： 404k b b −+= = ， 解得14k b = =， 所以直线AB 的函数表达式为4y x =+．【小问2详解】设直线AC 的函数表达式为y mx n =+，代入A 、C 两点的坐标，得： 402m n n −+= =−， 解得122m n =− =− ，所以直线AC 的函数表达式为122y x =−−． 设1(,2)2P a a −−，连接BP ，因为A 点()4,0−，C 点坐标为()0,2−，点(0,4)B ， 所以424(2)6OA OC BC ===−−=，，， 所以11=42422ACO AO O S C ∆=××= ，因为2ABP ACO S S ∆∆=所以=8ABP S ∆， 因为ΔΔΔ11··22ABP ABC PBC P S S S BC OA BC x =−=−， 所以1164622××−××（-a)=8， 解得43a =-， 所以44(,)33P −−． 【小问3详解】 如图，因为4OB OA ==，D 点为线段AO 的中点， 所以45DAQ OBQ ∠=∠= ，2DA DB ==，AB ，在AB 上取一点E ，使得AQ QE =，连接OE ， 因为AD DO =，所以DQ 是中位线，所以DQ OE ∥， 所以DQA OEQ ∠=∠，2OE DQ =， 因DQA OQB ∠=∠， 所以OEQ OQB ∠=∠， 所以2OQOE DQ ==， 过点Q 作QG OA ⊥于点G ，则QG AG =，设QGAG x ==，则2,4DG x OG x =−=−， 根据勾股定理，得222222(2),(4)DQ x x OQ x x =−+=−+， 所以2222(4)4[(2)]x x x x −+=−+， 解得43x =， 为所以48==33QG AG OG OA AG =−=，，因为点Q 在第二象限， 所以84(,)33Q −．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段与坐标的关系，三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积分割法计算，熟练掌握待定系数法，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．22. 【尝试应用】小明将两副大小不同的三角板如图所示放置，ABC 和DBE 为等腰直角三角形，90ABC DBE ∠=∠=°，连接AD ，CE ，直线MN 经过点B 交AD 于M ，交CE 于N ．（1）如图1，若MN CE ⊥，请直接写出AM 与DM 的数量关系；【类比迁移】（2）如图2，若点M 是AD 的中点，请判断BM 与CE 的位置关系和数量关系，并证明；（小明发现：延长线段BM 至点F ，使得BM MF =，连接AF ，证明了ABF △与BCE 的关系，便可解决问题）请你按照他的思路，完成证明．【拓展应用】（3）如图3，小明又找了两副大小相同的直角三角板，且ABC EBD △≌△，90ABC DBE ∠=∠=°，连接AD ，CE ，直线MN 经过点B 交AD 于M ，交CE 于N ，若点M 是AD 的中点．求： ①BM CE= ； ② ABD BCES S ∆∆= ．【答案】（1）AM DM =（2）BM 与CE 的位置关系和数量关系为12BM CE BM CE ⊥=， （3）①12BM CE =② 1ABD BCE S S ∆∆= 【解析】【分析】(1)延长BM 到F ，使得BF CE =，证明CBE BAF ≌，得到BE AF =，结合ABC 和DBE 为等腰直角三角形，得到=BD AF ，证明AMF DMB ≌即可得证．（2）延长BM 到F ，使得BM MF =，结合AM DM =，证明AMF DMB ≌，=BD AF ，AFM DBM ∠=∠，判定BD AF ∥，得证+180FAB ABD ∠∠= ，结合ABC 和DBE 为等腰直角三角形，得证+180EBC ABD ∠∠= ，FAB EBC ∠=∠， 证明CBE BAF ≌，得到=CE BF ，AFB BEC DBM ∠=∠=∠，结合+90DBM NBE ∠∠= 即可得证．（3）①延长BM 到F ，使得BM MF =，结合AM DM =，证明AMF DMB ≌，=BD AF ，AFM DBM ∠=∠，判定BD AF ∥，得证+180FAB ABD ∠∠= ，结合ABC 和DBE 为直角三角形，得证+180EBC ABD ∠∠= ，FAB EBC ∠=∠， 证明CBE BAF ≌，得到=CE BF ，即可得证．②根据三角形的全等得证=ABD BCE S S ∆∆，计算即可．【小问1详解】AM 与DM 的数量关系为AM DM =，理由如下：如图，延长BM 到F ，使得BF CE =，因为ABC 和DBE 为等腰直角三角形，所以=90AB CB BD BE ABC DBE =∠=∠= ，，，所以+90ABM CBN ∠∠= ，+90DBM NBE ∠∠= ，因为MN CE ⊥，所以+90BCN CBN ∠∠= ， +90NEB NBE ∠∠= ，所以=ABF BCE ∠∠，=DBM NEB ∠∠，因为BF CE ABF BCE BA BC = ∠=∠ =， 所以CBE BAF ≌，所以BE AF =，=AFB NEB ∠∠，所以=BD AF ，=AFM DBM ∠∠，因为AFM DBM AMF DMB AF BD ∠=∠ ∠=∠ =， 所以AMF DMB ≌，所以AM DM =．【小问2详解】BM 与CE 的位置关系和数量关系为12BM CE BM CE ⊥=，，理由如下：如图，延长BM 到F ，使得1=2BM MF BF =， 因为AM DM AMF DMB FM BM = ∠=∠ =所以AMF DMB ≌，所以==BD AF BE ，AFM DBM ∠=∠，所以BD AF ∥，所以+180FAB ABD ∠∠= ，因为ABC 和DBE 为等腰直角三角形，所以+180EBC ABD ∠∠= ，所以FAB EBC ∠=∠，因为AF BE BAF CBE BA BC = ∠=∠ =所以CBE BAF ≌，所以=CE BF ，AFB BEC DBM ∠=∠=∠，因为+90DBM NBE ∠∠= ，所以+90BEC NBE ∠∠= ， 所以12BM CE BM CE ⊥=，． 【小问3详解】①延长BM 到F ，使得1=2BM MF BF =，因为AM DM AMF DMB FM BM = ∠=∠ =，ABC EBD △≌△，90ABC DBE ∠=∠=°，所以AMF DMB ≌，所以==BD AF BE ，AFM DBM ∠=∠，所以BD AF ∥，所以+180FAB ABD ∠∠= ，因为ABC 和DBE 为直角三角形，所以+180EBC ABD ∠∠= ，所以FAB EBC ∠=∠，因为AF BE BAF CBE BA BC = ∠=∠ =所以CBE BAF ≌，所以=CE BF ， 所以12BM CE =． 故答案为：12．② 因为CBE BAF ≌，AMF DMB ≌，所以CBE BAF S S =，AMF DMB S S =，所以++AMF AMB DMB AMB S S S S =，所以ABF ABD S S =△△，所以CBE ABD S S =，所以1ABD BCES S ∆∆=， 故答案为：1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．。

2022学年第一学期八年级期中考试数学学科一、选择题（共18分）1.下列根式中，是最简根式的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的条件判断即可得到答案．【详解】A ==B 3=不是最简根式，不符合题意，故选项错误；C =是最简根式，符合题意，故选项正确；D ==±不是最简根式，不符合题意，故选项错误；故选：C【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数（式）不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）．A.()216x += B.()216x -= C.()214x -= D.()229x -=【答案】B【解析】【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．【详解】解：∵225=0x x --，∴22=5x x -，∴22+1=6x x -，∴2(1)=6x -，故选：B ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．3.下列说法正确的是（）．A.是同类二次根式 B.3±C.2x x = D.一定是负数【答案】B【解析】【分析】根据同类二次根式的定义判断A ，根据平方根的定义判断B ，根据二次根式的性质判断C ，根据实数的性质判断D ．【详解】解：A ==不是同类二次根式，故不正确；B 9=3=±，正确；C ．当0x <时，0x x x =-=，故不正确；D ．当0a =时，0=，不是负数，故不正确；故选B ．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，二次根式的性质，以及实数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．4.某商店将一批夏装降价处理，经两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x ，可列方程（）A.100(1)812x +=⨯ B.2100(1)81x ⨯-=C.281(1)100x += D.2100(1)81x -=【答案】D【解析】【分析】此题可设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的单价是原来的(1)x -，那么第二次降价后的单价是原来的2(1)x -，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得2100(1)81x -=故选D ．【点睛】本题考查的是平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量(1⨯+平均增长率）2=增长后的量．本题中设原来绿地面积是1，使问题简化．5.下列说法不成立的是（）．A.在21y x =+中，1y -与x 成正比B.在11y x =+中，1y -与x 成反比C.若3y x =，则x ，y 成正比D.若0xy =，则x ，y 成反比【答案】D【解析】【分析】根据成正比和成反比的意义进行判断即可．【详解】解：A ．由21y x =+得到12y x -=，则1y -与x 成正比，故选项不符合题意；B ．由11y x =+得到11y x -=，即1y -与x 成反比，故选项不符合题意；C ．由由3y x=得到3y x =，即x ，y 成正比，故选项不符合题意；D ．若0xy =，则x ，y 不成反比，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了正比和反比，熟练掌握正比和反比的意义是解题关键．6.如图，水槽底部叠放着两个实心圆柱，现向无水的水槽中注水直至注满．水槽中水面上升高度y 与注水时间x 之间的函数关系，大致是下列图像中的（）．A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】分成3段分析可得答案．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选A ．【点睛】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．二、填空题（共24分）7.1的有理化因式是__________．【答案】或1-【解析】【分析】二次根式的有理化因式是和原式乘积为整式的式子，据此解答即可．【详解】解：∵)22111211-=-=-=，)(()22111121-=--=-=-，1或1--，或1-【点睛】此题考查了二次根式的有理化，熟练掌握平方差公式是解题的关键．8.是二次根式，则x 的取值范围是__________．【答案】13x【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：310x - ，解得：13x ，故答案为：13x ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．9.比较大小：--（填“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】＜【解析】【详解】解：∵-=，-=18＞12，>∴<，∴-<-．故答案为：＜10.当x =__________时，代数式2x x -的值等于12．【答案】4或3-##3-或4【解析】【分析】根据代数式2x x -的值等于12列方程求出x 的值即可．【详解】解：由题意得，212x x -=，即2120x x --=，则()()430x x -+=，则40x -=或30x +=，解得14x =，23x =-，即当4x =或3-时，代数式2x x -的值等于12．故答案为：4或3-【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．11.在实数范围内分解因式：2241x x --=_____________．【答案】26262()()22x x +---【详解】解：令2x 2-4x ﹣1=0，则：x 1=262+，x 2=262，∴2x 2-4x ﹣1=2（x ﹣262）（x ﹣262）．故答案为2（x ﹣262+）（x ﹣262）．点睛：本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止．12.，面积为2，则它的宽为__________cm （保留根式）．【答案】【解析】【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，利用二次根式的除法运算.【详解】解：由题意可得：长方形宽==，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键.13.已知y 与x 成正比例，若2x =时，7y =，则y 与x 的函数关系式是__________．【答案】72y x =## 3.5y x =【解析】【分析】设y kx =，把2x =，7y =代入即可得到一个关于k 的方程，求得k 的值，从而得到答案．【详解】解：设y kx =，∵2x =时，7y =，∴72k =，解得72k =，∴y 与x 的函数关系式是72y x =；故答案为：72y x =．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确理解正比例的定义是关键．14.若()2256y m x m m =-+-+是y 关于x 的正比例函数，则m =__________．【答案】3【分析】先由正比例函数的定义得到20m -≠，2560m m -+=，再求解即可．【详解】∵()2256y m x m m =-+-+是y 关于x 的正比例函数，∴20m -≠，2560m m -+=，解得2m ≠，12m =，23m =，故3m =，故答案为3．【点睛】本题考查了正比例函数的定义和解一元二次方程，解题时注意20m -≠．15.已知方程()()40x a x +-=和方程2132022x x --=的解完全相同，则=a __________．【答案】1【解析】【分析】用因式分解法求2132022x x --=的解即可．【详解】解：2132022x x --=2340x x --=()()140x x +-=∵方程()()40x a x +-=和方程2132022x x --=的解完全相同，∴1a =，故答案为1．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，方程()()40x a x +-=和方程2132022x x --=的解完全相同，即2132022x x --=可化为()()40x a x +-=的形式．16.若反比例函数34k y x-=在每一象限内，y 随x 的减小．．而减小．．，则k 的取值范围是__________．【答案】43k <【解析】【分析】由反比例函数的性质，可得340k -<，解得即可．【详解】解： 反比例函数图象的每一条曲线上，y 随x 的减小而减小，340k ∴-<，解得：43k <，故答案为：43k <．【点睛】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）0k >时，图象是位于一、三象限；（2）0k <时，图象是位于二、四象限．17.若()20y x x =<图像上一点到x，则这点的坐标为__________．【答案】3,2⎛- ⎝##⎛ ⎝【解析】【分析】由()20y x x =<图像上一点到x ，可设点的坐标为(t 或(,t ，分别代入求解，然后作出判断即可得到答案．【详解】解：由()20y x x =<图像上一点到x (t 或(,t ，把(t 代入2y x =2t =，32t =，不符合题意，舍去，把(,t 代入2y x =得2t =，2t =-，符合题意，即点的坐标是,2⎛- ⎝，故答案为：3,2⎛- ⎝【点睛】此题考查了正比例函数，准确求解点的坐标是解题的关键．18.点(),A a b 、()1,B a c -均在反比例函数1y x=的图像上，若a<0，则b ______c .【答案】＜【解析】【分析】根据反比例函数的增减性，k ＞0，当a ＜0时，两坐标位于第三象限的图象上，y 随x 的增大而减小，由此判断a 、b 的大小．【详解】∵函数1y x =的图象位于一、三象限，又∵a<0，∴a−1<0,A(a,b),B(a−1,c)均在第三象限的分支上，在这个分支上y 随x 的增大而减小，∵a>a−1，∴b<c.故答案为<.【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握其性质.三、简答题（共20分，19题各5分，20题5分）19.解方程：（1）()()2110x x +-=；（2）用配方法：2420x x +-=．（3）2251x x +=；【答案】（1）14x =-，23x =（2）12x =-，22x =（3）15334x -+=，25334x --=【解析】【分析】（1）先展开，再合并，最后用因式分解来求解；（2）加一个4减一个4，再直接开方，进行求解；（3）直接利用公式法进行求解．【小问1详解】解：()()2110x x +-=21022x x x +-=-2120x x +-=(4)(3)0x x +-=40x +=，30x -=解得：14x =-，23x =；【小问2详解】解：2420x x +-=244420x x ++--=2(2)6x +=2x +=解：12x =-，22x =；【小问3详解】解：2251x x +=22510x x +-=，2a = ，5b =，1c =-，2425833b ac ∴∆=-=+=，5334x -∴=，解得：15334x -+=，25334x --=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、配方法、公式法进行求解．20.计算：1133221)62733-⨯-⨯．【答案】16-【解析】【分析】先根据零指数幂，二次根式的乘法，分数指数幂的意义，同底数幂的乘法法则计算，再算乘法，后算加减即可．【详解】解：原式1322613+=-911063=+-⨯-911018=+--16=-【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握根据零指数幂，二次根式的乘法，分数指数幂的意义，同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．四、解答题（共38分）21.已知221y x y +=-，()y f x =．（1）求()y f x =；（2）求f 的值；（3）当()f x =时，求x 的值．【答案】（1）22x y x +=-（2）3-（3）6+【解析】【分析】（1）首先两同时乘以1y -，再把含y 的项移到左边，不含y 的项移到右边，进行变形即可；（2）把x =代入进行计算即可；（3）()f x =22x x +=-，求解即可．【小问1详解】解：221y x y +=-22xy x y -=+，22xy y x -=+，(2)1x y x -=+．∴22x y x +=-；【小问2详解】解：f ==，24242+=-，3=--；【小问3详解】解：()f x =即22x x +=-，(12x =-，x =6x =.【点睛】此题主要考查了函数关系式，解题的关键是求出函数解析式，题目比较基础．22.某农场要建一个饲养场（矩形ABCD ）两面靠现有墙（AD 位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD ）的一边AB 长为x 米．（1）饲养场另一边BC=____米（用含x 的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x 的值．【答案】（1）48-3x ；（2）10.【解析】【分析】（1）用（总长+3个1米的门的宽度）-3x 即为所求；（2）由（1【详解】（1）由题意得：（48-3x ）米．故答案是：（48-3x ）；（2）由题意得：x （48-3x ）=180解得x 1=6，x 2=10048327015x x ≤-≤≤≤ ，715x ∴≤≤10x ∴＝【点睛】此题考查一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23.已知关于x 的方程221x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．【答案】（1）2m <（2）1m =【解析】【分析】（1）根据题意得出()()224110m ∆=--⨯⨯->，求出m 取值范围即可；（2）由2m <且m 为非负整数，得到1m =或0，代入后求出方程的解，即可得出答案．【小问1详解】∵方程221x x m -+=有两个不相等的实数根．即2210x x m -+-=有两个不相等的实数根．∴()()224110m ∆=--⨯⨯->．解得2m <；【小问2详解】∵2m <且m 为非负整数，∴1m =或0．当1m =时，原方程为220x x -=．解得10x =，22x =，它的根都是整数，符合题意；当0m =时，原方程为2210x x --=．解得11x =+，21x =-∴它的根都是不整数，不符合题意；．综上所述，1m =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m 的值和m 的范围是解此题的关键．24.我们已经学过完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如22=，23=，27=，200=，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求3-的算术平方根．解：22232111)-=-=-+=-，3∴-1-．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（1；（2；（3++．【答案】（11-（2）4（31-【解析】【分析】（1）将3-变形为完全平方式的形式)21-，然后开平方即可；（2，再化简原式即可得出答案；（3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案．【小问1详解】解：原式===1；【小问2详解】解：原式=======4=+；【小问3详解】++=1=+1=．【点睛】本题主要考查了算术平方根，完全平方公式，阅读型，掌握222)2(a ab b a b ±+=±a =是解题的关键．25.如图，正方形ABCO 的边长为6，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，M 是边AB 上的一点，且2BM AM =．反比例函数的图象经过点M ，并与边BC 相交于点N ．（1（2）求ONM △的面积；（3）求证：OB 垂直平分线段MN ．【答案】（1）12y x =（2）16（3）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及条件2BM AM =确定点M 坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）令(),6N n ，在12y x =上，则126n=，解得2n =，得到2CN AM ==，则点()2,6N ，4BN BC CN =-=，利用ONM CON AOM BMN ABCO S S S S S =---△△△△正方形即可求解；（3）根据点N 在反比例函数图象上求点N 坐标，通过全等证得OM ON =，进而证明BN BM =，即可证得OB 垂直平分线段MN .【小问1详解】设反比例函数的解析式为：()0k y k x=≠， 正方形ABCO 边长为6，2BM AM =，4BM ∴=，2AM =，∴点M 的坐标为()6,2，点()6,2M 在反比例函数k y x=的图象上26k ∴=，解得：12k =，∴反比例函数的解析式为：12y x =；【小问2详解】令(),6N n ，在12y x =上，则126n=，解得2n =，所以2CN AM ==，∴点()2,6N ，4BN BC CN =-=，则ONM CON AOM BMN ABCO S S S S S =---△△△△正方形1116626264416222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；即ONM △的面积为16；【小问3详解】在AOM 和CON 中，90AO CO OAM OCN AM CN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS AOM CON ∴△≌△，OM ON ∴=，O ∴在MN 的中垂线上，CN AM = ，BC CN AB AM ∴-=-，BN BM ∴=，B ∴在MN 的中垂线上OB ∴垂直平分线段MN【点睛】本题主要考查了反比函数和正方形的性质以及垂直平分线的判定，点坐标和线段长度的相互转换，即数形结合是解答此题的关键.。

深圳实验学校初中部2024-2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1. 【答案】B【详解】本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义（无限不循环小数）．据此进行判断即可．5=，是整数，，227，3π，0.1212212221…（两个1之间依次多一个2）5个数中，其中3π，0.1212212221…（两个1之间依次多一个2）3个．故选：B ．2. 【答案】D【详解】解：A 33≠−，故该选项不符合题意；B 33≠±，故该选项不符合题意；C 33=−≠±，故该选项不符合题意；D 3=，故该选项符合题意；故选：D ．3. 【答案】B【详解】解：=22a ∴+=，解得0a =．故选：B ．4. 【答案】B【详解】解：∵点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是1，∴点P 的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3，又∵点P 在第二象限，∴点P 的坐标为()1,3−．故选：B ．5. 【答案】B【详解】解：A 、222b c a −= ，222a c b ∴+=，∴ABC 是直角三角形，故选项A 不符合题意；B 、::3:4:5A BC ∠∠∠= ，∴最大角518075345C ∠=°×=°++， ∴ABC 不是直角三角形，故选项B 符合题意；C 、A B C ∠=∠−∠ ，A CB ∴∠+∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=° ，90B ∴∠=°，∴ABC 是直角三角形，故选项C 不符合题意；D 、设8a k =，15b k =，17c k =，222(8)(15)(17)k k k += ，222a b c ∴+=， ∴ABC 是直角三角形，故选项D 不符合题意；故选：B ．6. 【答案】B【详解】∵牡丹园的坐标是(2,2)，南门的坐标是(0,3)−，∴中心广场的位置是原点，∴湖心亭的坐标为(3,1)−，故选：B .7. 【答案】B【详解】解：当点P 在AD 上时，△ABP 的底AB 不变，高增大，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的增大而增大；当点P 在DE 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在EF 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的减小而减小； 当点P 在FG 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；当点P 在GB 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t 的减小而减小； 故选B ．8. 【答案】B【详解】解：将直线2y x =向上平移3个单位长度后得到直线23y x =+， A 、函数的图象与y 轴的交点坐标是()0,3，原说法错误，不符合题意；B 、函数图象经过第一、二、三象限，正确，符合题意；C 、当2x =−时，1y =−，所以点()21−−，不在函数23y x =+图象上，原说法错误，不符合题意； D 、直线23y x =+，y 随x 的增大而增大，若12x x <，则12y y <，原说法错误，不符合题意； 故选：B ．9. 【答案】B【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m n −，∴()25m n −=，即2225m n mn +−=①，∵()221m n +=，∴22221m n mn ++=②，①+②得()22226m n +=， ∴大正方形的面积2213m n +=，故选：B ．10. 【答案】D详解】A 、根据图象可知：点()5,1500指甲从A 开始出发，此选项正确，不符合题意；B 、根据题意乙的速度为()15005300m/min ÷=，设甲的原速度为m/min x ， ∴()253002552500x ×−−=，解得：250x =，此选项正确，不符合题意； C 、∵乙骑行25分钟后，甲以原速度的85继续骑行， ∴此时甲的速度为()8250=400m/min 5×， 【∴()250040030025÷−=， 则甲与乙相遇时，甲出发了2525545+−=（分钟）， 此选项正确，不符合题意；D 、当86x =时，甲到达B 地，此时乙距离B 地还有()250204008625300863600×+×−−×=（米），需要360030012÷=（分钟）， ∴乙比甲晚12分钟到达B 地，此选项错误，符合题意； 故选：D ．二．填空题11. 【答案】5a ≥∴50−≥a∴5a ≥．故答案为：5a ≥．12. 【答案】x =1【详解】解：由表格数据可知，直线l 1：y =-2x +a 和l 2：y =x +b 交于（1，-1）点， ∴方程-2x +a =x +b 的解是x =1，故答案为：x =1．13.【答案】6【详解】解：根据题意得：91016<<， ∴34<<， ∴的整数部分3a =，小数部分3b=−，∴)336a b −=−=−，故答案为：6−．14. 【答案】20cm【详解】如图1，∵AB=18cm ，BC=GF=12cm ，BF=10cm ，∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16，∴；如图2，∵AB=18cm ，BC=GF=12cm ，BF=10cm ，∴PM=18﹣6+6=18，NP=10，∴．∵20＜∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20．故答案为20cm15. 【详解】如图过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，∴7BC =，4,3BQ QC ==在Rt ABQ 中，8,4AB BQ ==∴AQ ∵1122ABC S AB CG AQ BC =×=× ，∴BC AQ CG AB ×==．三．解答题16.【答案】（1）2（2）3−【解析】【小问1详解】解：(201202132− ++−134=+++2=+；【小问2详解】解：(22−+,46=−−4665=−−+3=−17. 【答案】（1）13x y = = （2）3114x y = =【解析】【小问1详解】2147x y x y −=− +=①② 由①+②得66x =∴1x =将1x =代入①得21−=−y ∴3y =∴13x y = = 【小问2详解】3314312x y −−−=两边同时乘以12得()()33431x y −−−= ∴342x y −=− ∴414342x y x y += −=−①② ①+②得412x =∴3x =将3x =代入①得3414y +=∴114y = ∴3114x y = =．18. 【答案】（1）见解析，(4,1)−−；（2）ABC 是直角三角形，理由见解析；（3）见解析【详解】解：（1）如图，111A B C 即为所求作的图形，点1C ()4,1−−， 故答案为()4,1−−；（2）ABC 是直角三角形，理由如下：由勾股定理得220AB =，25BC =，225AC =，∴222AB BC AC +=，∴ABC 是直角三角形；（3）如图点D 即为所求，．19. 【答案】（1）2y x =+（2）3a =（3）()0,3或()0,7−【解析】【小问1详解】解：根据题意得：353k b k b += −+=−， 解得：12k b = =， ∴函数表达式为2y x =+；【小问2详解】解： 点()2,21C a a ++在该函数图象上，2122a a ∴+=++，3a ∴=；【小问3详解】解：设点()0,P m ，直线2y x =+与y 轴交于点C ，当0x =时，2y =∴交点C 的坐标为(0,2)，()1215152ABP S m =+×−−= ， |2|5m ∴+=，3m ∴=或−7，∴点P 坐标()0,3或()0,7−．20. 【答案】（1）1k =，6m =（2）见解析 （3）①1；②增大；③1b >【解析】【小问1详解】将()0,2代入1y x k =++得：012k ++=， 解得：1k =， ∴11y x =++，当4x =时，4116y =++=，∴6m =．【小问2详解】根据表格中的对应值在直角坐标系中描点、连线，如图为所求．【小问3详解】根据图象可得，①该函数的最小值为1； ②当1x >−时，函数值y 随自变量x 的增大而增大； ③∵关于x 的方程11x b +=−有两个不同的解， ∴由图象可得，b 的取值范围为1b >． 故答案为：1；增大；1b >． 21. 【答案】（1）①4 ②1 （2）1或5【解析】【小问1详解】解：①如图1，∵线段AB 上点B 到x 轴的距离最大， ∴4AB d ；②∵()1,3A −，()2,4B ，∴A ，B 关于直线2y =的对称点()1,1C −，()2,0D ， 如图2，∵线段CD 上点C 到x 轴的距离最大，∴1CD d =；【小问2详解】解：∵()1,E m −，()2,2F m +，∴E ，F 关于直线2y =的对称点()1,4G m −−，()2,2H m −， 当42m m −≥−时，∵3GH d =， ∴43m −=， ∴1m =或7（舍去）； 当42m m −<−时，∵3GH d =， ∴23m −=， ∴5m =或1−（舍去）； 综上，1m =或5．22. 【答案】（1）1005t −（2）6 （3）203或152【解析】【小问1详解】解：如图1，作PR AO ⊥于点R ，四边形OABC 是矩形，且顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，(20,10)B ， 20AO BC ∴==，10CO AB ==，BC AO ∥，90OAB ∠=°， AB AO ∴⊥，10PR AB ∴==，20AQ AO OQ t =−=− ，11(20)10100522APQ S AQ PR t t ∴=⋅=×−×=− ， 故答案为：1005t −；【小问2详解】解：如图2，作MN BC ⊥于点N ，由折叠得MP BP =，10CM AB ==，90CMP B ∠=∠=°， 222CM MP CP += ，且20MPBP CP ==−， ()2221020CP CP ∴+−=， 解得252CP =， 25152022MP ∴=−=， 1122PCM CP MN CM MP S ⋅=⋅= ，∴125115102222MN ×=××， ∴解得6MN =，∴此时M 到直线BC 的距离为6；【小问3详解】解：①如图3，当AP PQ =时，作PT AQ ⊥于点T ，则AT QT =，∴AB PT ∥，且AT AB ⊥，BP AB ⊥， ∴四边形ABPT 是矩形， AT BP t ∴==，20AQt =− ，且2AQ AT =， 202t t ∴−=， 解得203t =； ②当AP AQ =时，222AB BP AP += ，且10AB =，BP t =，20APAQ t ==−， 22210(20)t t ∴+−， 解得152t =， 综上所述，t 的值为203或152．。

一.单选题（共10题；共30分）1．（3分）下列数组中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．6，8，9 C．5，11，12 D．9，40，41 2．（3分）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9cm C．cm D．cm3．（3分）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（）A．49 B．25 C．13 D．14．（3分）下面两个三角形中，一定全等的是（）A．两个等边三角形B．有一个角是95°，且底相等的两个等腰三角形C．两腰相等的两个等腰三角形D．斜边相等的两个直角三角形5．（3分）如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．AD∥BC，且AD=BC D．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD6．（3分）正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M点的最短距离为（）A．B．C．5 D．2+7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（）A．mn B．5mn C．7mn D．6mn8．（3分）如图，A在O正北方向，B在O正东方向，且A、B到点O的距离相等，甲从A出发，以每小时60千米的速度朝正东方向行驶，乙从B出发，以每小时40千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点O处的观察员发现甲乙两人之间的夹角为45°，此时甲乙两人相距（）千米．A．80 B．50C．100D．1009．（3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．12110．（3分）若一个直角三角形的一条直角边长是5cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）cm．A．10 B．11 C．12 D．13二.填空题（共8题；共24分）11．（3分）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN 的最小值是．12．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E 是AC中点，若DE=2，则AB的长为．13．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC等于°．14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．15．（3分）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于．16．（3分）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=．17．（3分）一个三角形的三边为2、5、x，另一个和它全等的三角形的三边为y、2、6，则x+y=．18．（3分）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是．三.解答题（共6题；共36分）19．（6分）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F 分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG 的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．20．（6分）如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？21．（6分）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．22．（6分）如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E．（1）求证：AC=AB．（2）求∠A的度数．23．（6分）用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？24．（6分）如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=4，AC=2，AD=3，求BC的长及△ABC的面积．四.综合题（10分）25．（10分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的面积；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？参考答案与试题解析一.单选题（共10题；共30分）1．（3分）下列数组中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．6，8，9 C．5，11，12 D．9，40，41 【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故错误；B、62+82≠92，不能构成直角三角形，故错误；C、52+112≠122，不能构成直角三角形，故错误；D、92+402=412，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确．故选：D．2．（3分）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9cm C．cm D．cm【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，根据对称性可知AE=BC=x，CE=2x；∵小正方形的面积为16cm2，∴小正方形的边长EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4或﹣2（舍去），∴R=cm．故选：C．3．（3分）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（）A．49 B．25 C．13 D．1【解答】解：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，则四个直角三角形的面积和是25﹣1=24，即4×ab=24，即2ab=24，a2+b2=25，则（a+b）2=25+24=49．故选：A．4．（3分）下面两个三角形中，一定全等的是（）A．两个等边三角形B．有一个角是95°，且底相等的两个等腰三角形C．两腰相等的两个等腰三角形D．斜边相等的两个直角三角形【解答】解：A、边长不相等的两个等边三角形就不全等，故本选项错误；B、根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出95°的角只能是顶角，即两等腰三角形的顶角和底角都分别相等，根据AAS可以推出两三角形全等，故本选项正确；C、如图两等腰三角形的腰相等，但是两三角形不全等，故本选项错误；D、如图两直角三角形的斜边相等，但是两直角三角形不全等，故本选项错误；故选：B．5．（3分）如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．AD∥BC，且AD=BC D．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴S△ABD=S△CDB，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，DC=AB，BD=BD，∴AD+BD+AB=BC+BD+DC，即两三角形的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∴故本选项错误；D、∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CBD，∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB，不一定等于∠C+∠CBD，故本选项正确；故选：D．6．（3分）正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M点的最短距离为（）A．B．C．5 D．2+【解答】解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，所以MC=BC=1，在直角三角形中AM==．故选：A．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（）A．mn B．5mn C．7mn D．6mn【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD=m，∴△ABD的面积=×2n×m=mn，故选：A．8．（3分）如图，A在O正北方向，B在O正东方向，且A、B到点O的距离相等，甲从A出发，以每小时60千米的速度朝正东方向行驶，乙从B出发，以每小时40千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点O处的观察员发现甲乙两人之间的夹角为45°，此时甲乙两人相距（）千米．A．80 B．50C．100D．100【解答】解：由题意可得：AB′=BD=40千米，AC=60千米，将△OBD顺时针旋转270°，则BO与AO重合，在△COD和△B′OC中∵，∴△C OD≌△B′OC（SAS），则B′C=DC=40+60=100（千米），故选：D．9．（3分）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．121【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选：C．10．（3分）若一个直角三角形的一条直角边长是5cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）cm．A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：设斜边长为xcm，则另一条直角边为（x﹣1）cm，由勾股定理得，x2=52+（x﹣1）2，解得，x=13，则斜边长为13cm，故选：D．二.填空题（共8题；共24分）11．（3分）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN 的最小值是．【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==．故答案为．12．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E 是AC中点，若DE=2，则AB的长为 4 ．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=2，AB=AC，∴AB=4．故答案为：4．13．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC等于25 °．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BAC=130°，∴∠C==25°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=25°，故答案为：25．14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 5 ．【解答】解：如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN=BM=AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE=AM，∴AE=BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN=AB，EN∥AB，而由题意可知，可得AB==5，∴PM+PN的最小值为5．故答案为：5．15．（3分）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于8 ．【解答】解：∵△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，∴AD=BD，AE=CE∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8．△ADE的周长等于8．故填8．16．（3分）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= 6 ．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，故答案为：6．17．（3分）一个三角形的三边为2、5、x，另一个和它全等的三角形的三边为y、2、6，则x+y= 11 ．【解答】解：∵一个三角形的三边为2、5、x，另一个和它全等的三角形的三边为y、2、6，∴x=6，y=5，则x+y=11．故答案为：11．18．（3分）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是 3 ．【解答】解：∵a、b是直角三角形的两条直角边，直角三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b=3.5，a2+b2=2.52=6.25，（a+b）2=12.25，∴a2+b2+2ab=12.25，∴2ab=6，解得：ab=3．故答案为：3．三.解答题（共6题；共36分）19．（6分）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F 分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG 的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．20．（6分）如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？【解答】解：（1）如图（2）当蚂蚁从A出发先到BF上再到点G时∵AB=3cm，BC=5cm∴AC=AB+BC=3+5=8cm∵BF=6cm，∴CG=BF=6cm在Rt△ABG中AG===10cm（2）如图（1）当蚂蚁从A出发先到EF上再到点G时∵BC=5cm，∴FG=BC=5cm，∴BG=5+6=11cm在Rt△ABG中AG===，∵∴第一种方案最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm．21．（6分）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．【解答】解：∵折叠这个三角形点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，∴BE=BC，DE=CD，∴AE=AB﹣BE=AB﹣BC=8﹣6=2cm，∴△ADE的周长=AD+DE+AE，=AD+CD+AE，=AC+AE，=5+2，=7cm．22．（6分）如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E．（1）求证：AC=AB．（2）求∠A的度数．【解答】证明：（1）连接BC∵CD是线段AB的垂直平分线∴CA=CB．∵BE是AC的垂直平分线，∴AB=BC．∴AC=AB；（2）∵CA=CB，AB=BC∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．23．（6分）用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？【解答】解：等边三角形各边长相等，故按照上图搭出图形，即为9根火柴搭出5个等边三角形．24．（6分）如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=4，AC=2，AD=3，求BC的长及△ABC的面积．【解答】解：延长AD到E，使DE=AD=3，连接BE，CE．∵D是BC的中点，∴CD=BD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CE，EB=CA=2，∵62+（2）2=（4）2，即AE2+AC2=EC2，∴∠EAC=90°，∴∠EAD=90°，∴CD===，∴BC=2CD=2，∴S△ABC=2S△ACD=2×AC•AD=2×3=6．综上所述，BC的长度为2，△ABC的面积是6．四.综合题（10分）25．（10分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的面积；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？【解答】解：（1）如图1，∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴AC=8cm，根据题意可得：PC=2cm，则AP=6cm，故△ABP的面积为：×AP×BC=×6×6=18（cm2）；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠CBA，∴PD=PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD=BC=6 cm，∴AD=10﹣6=4 cm．设PC=x cm，则PA=（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2=PA2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴当t=3秒时，BP平分∠CBA；（3）如图3，若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①如图4，若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；②如图5，若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③如图6，若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC∴PA=PB=5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t=6s或13s或12s或10.8s 时△BCP为等腰三角形．。

八年级上学期期中考试数学卷的正确答案、解答解析、考点详解姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分1.【题文】声音是由于物体产生的；我们听到老师讲课的声音是靠传播的。

评卷人得分真空传播声音的（填“能或不能”）。

【答案】【解析】略2.【题文】声音在空气中（15℃）的传播速度是m/s。

光在真空中的传播速度是m/s。

【答案】【解析】略3.【题文】人耳能听到的声音频率在之间。

【答案】【解析】略4.【题文】声音的传播速度在中最快，在中较快，在中最慢。

（选填“固体、液体、气体”）【答案】【解析】略5.【题文】乐音有三个特征，即，，。

【答案】【解析】略6.【题文】是指乐音的高低，它是由声源的决定的。

【答案】【解析】略7.【题文】男低音歌唱时女高音轻声伴唱，男低音与女高音相比较，男低音的响度(填“大”或“小”)，女高音的音调(填“高”或“低”)。

【答案】【解析】略8.【题文】人们用来划分声音的等级，为了保护听力，声音不能超过。

【答案】【解析】略9.【题文】超声波可以除齿垢和牙结石、粉碎人体内的结石，这说明超声波（填“可以”或“不可以”）传递能量，地震来临前会产生。

【答案】【解析】略10.【题文】物体与平面镜平行放置，若物体距镜面1.5m，该物体长0.8m，则像距物体_________m，像长为_________m。

当物体远离平面镜，它的像的大小（变大、变小、不变）。

【答案】【解析】略11.【题文】光的色散实验说明太阳光是一种（填“单色光”或“复色光”）。

【答案】【解析】略12.【题文】教室里的每一位同学都能看到投影幕布上的画面，这是由于光在投影幕布上发生了反射（填“镜面”或“漫”）；【答案】【解析】略13.【题文】声音是由于物体的振动产生的，但我们看到蝴蝶翅膀在振动时，却听不到因翅膀振动而发出的声音，这是因为蝴蝶翅膀振动的频率20Hz(选填“低于”、“高于”)。