2016-2017年四川省绵阳一中高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)

绵阳市高2016级第三学期末期末教学质量检测文科数学（2018.1.26）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.若直线l 0y m -+=，则直线l 的倾斜角为（ ）.A 56π .B 23π .C 3π .D 6π 2.抛物线24y x =的准线方程是（ ）.A -1y = .B -1x = .C 1-16y = .D 1-16x =3.抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为掷出向上为奇数点，事件B 为掷出向上为2点，则()P A B ⋃=( ).A 13 .B 12 .C 23 .D 564.已知圆222410x y x y ++-+=关于直线20x y a ++=对称，则实数a 的值为（ ）.A 0 .B -1 .C -3 .D 35.下表是某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温（0C ）的数据一览表：已知城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据上表，下列结论错误的是（ ）.A 最低温与最高温为正相关.B 1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 .C 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月.D 每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的x y +的值为（ ）.A 8 .B 9 .C 10 .D 117.空间直角坐标系中，设(,1,1)A t t t --，(21,1,)B t t t +-(t R ∈),则||AB 的最小值是（ ）.A .B .C 35 .D 8.长虹集团的班车分别在8:30,9:00,9:30发车，某人在8：45至9:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是（ ）.A 13 .B 12 .C 23 .D 349.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损术，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为98,63，则输出的a =（ ）.A 0 .B 7 .C 14 .D 2110．菜农为防止害虫的危害，需定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，采集上市时蔬菜仍有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，根据科学研究，对于某种蔬菜，每千克的农药残留量不高于20微克时对人体无害，下表是用清水x （单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表：令2=x ω，利用给出的参考数据可以得到y 关于ω的回归方程^^^y b a ω=+（其中^b 2.0≈），为了放心食用该蔬菜，清洗1千克蔬菜估计至少需要用的清水为(精确到0.1，参考数据2.24≈)（ ）.A 4.5千克 .B 4.4千克 .C 6.5千克 .D 6.4千克11.已知(x ,y P 是直线34110x y -+=上一动点，PA PB 、是圆C ：22-2210x y x y +-+=的两条切线，A B 、为两切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最大值是（ ）.A 1 .B .C 2 .D12.设M N 、在圆C ：22-2+4x y =（）上运动，且||MN =,点P 在直线:l 34210x y +-=上运动，则|+|PM PN 的最小值为（ ）.A 2 .B 3 .C 4 .D 8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷中的横线上） 13.若直线310mx y ++=与直线2(1)y 20x m +++=垂直，则m = ； 14.执行如右图程序，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ；15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB CD、的中点为E 的两个焦点，且3||=8||AB BC ,则该双曲线的渐近线方程为 ；16.已知点M 在椭圆:C 22221(5)5x y a a +=>内且与C 的焦点不重合，若M 关于C 的左右焦点的对称点分别为A B 、，线段MN 的中点在C 上，ABN 的周长为10，则椭圆C 的离心率为三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某高校调查了本校n 名大学生每周的自习时间（单位：小时），由调查结果得到如下频数分布表和频率分布直方图，其中自习时间的范围是[15,40]，样本数据分组为：[15,20），[20,25），[25,30），[30,35），[35,40].（1）分别求出,,n a b 的值；（2）根据频率分布直方图，估计该校大学生自习时间的平均数与中位数.18.某校数学兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高二年级每个学生一学期的数学平均分（采用百分制），从中随机按性别分层抽取了100名学生，按性别分成两组，按照“大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀”的原则，统计成绩后，得到如下2-2列联表：已知从全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为0.18.（1）请你根据条件完成2-2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为数学成绩与性别有关；（2）若按分层抽样的方法抽取男、女生优秀学生共6人，然后再选派2人参加市里的数学竞赛，求恰好有一名男生和一名女生的概率是多少? (参考数据:独立性检验界值表其中22(),()()(+)()n ad bc K n a b c d a d c d a c b d -==++++++）19.已知圆C 经过点(2,0)A ,圆心C 在直线0x y -=上，直线0x y +=被圆C 截得的弦长为(1)求圆C 得方程；(2)若点(3,4)M -，动点N 在圆C 上运动，点O 是坐标原点，以OM ON ，为两边做平行四边形MONP ，求动点P 的轨迹.20.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,左顶点为A ，其短轴长为1||1AF =.(1)求椭圆C 的方程；（2）设过右焦点2F 的动直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，过2F 且与l 垂直的直线与 圆:D 222150x y x ++-=交于,E Q 两点，求四边形MENQ 面积的取值范围.。

2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.05B ．0.35C ．0.7D ．0.95 2．全称命题“2,54x R x x ∀∈+=”的否定是( )A ．2000,54x R x x ∃∈+=B ．2,54x R x x ∀∈+≠C ．2000,54x R x x ∃∈+≠D ．以上都不正确3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．144．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是( ) A ．7?i ≥ B ．6?i ≥ C ．5?i ≥ D ．4?i ≥5．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)- 7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到 定点A 的距离|PA |1<|的概率为( )A.πB.2π C.4π D ．6π8．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分） 9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分 成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层 抽样方法抽取6个 城市，则甲组中应抽取的城市数为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．11．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示， 据图知，样本数据在[8，10)内的频数为 12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合） 的中点的轨迹方程为13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 ． 14．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若1m ≥，则22(m 1)x m 30mx -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．第18题图16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．17．（满分13分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求,,n a p 的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=>（1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率； （2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，求22|F ||F |A B ⋅的值.2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．全称命题“∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0≠4 D ．以上都不正确解析：选C 全称命题的否定为特称命题．3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．14解析：由甲组数据的众数为14得x ＝y ＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C4．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5?解析：根据题意可知该程序运行情况如下： 第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2； 第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3； 第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4； 第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5； 第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6； 第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此判断框应该是“i >6？”．答案：A5．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a，故a <0，故选C.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)-【解析】圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴5a =. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 【答案】 D7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4. 答案：C 8．直线l 经过椭圆的一个短轴顶点顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12．故选B ．二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分）9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．答案：110．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．答案：311．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95 答案：C12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合）的中点的轨迹方程为2214x y += 13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．【答案】221168x y +=14．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是 ①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1. .....................3分 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由不等式2(x 1)22-+≥(x ＝1时取等号)知(x)f 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2 ......................6分若q 真，则42c <，即12c < .......................8分 若p 真q 假，则112c ≤<； .......................10分 若p 假q 真，则0c ≤. ......................12分 综上可得，(]1,0,12c ⎡⎫∈-∞⎪⎢⎣⎭......................13分16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，计算被调查的出租车司机对新法规知晓情况比较好的频率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45. .......................6分 （2）记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，.......................9分（3）至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种 ..12分则P (M )＝710＝0.7. ......13分16．（满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM第3题图17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………3分 又因为 AC FB ⊥， 因为BC FB B =所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………6分 （Ⅱ）M 为AC 中点时，连结CE ，与DF 交于点N ，连结MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ……………8分 所以 EA //MN ． ……………10分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………12分 所以 EA //平面FDM ． …………13分18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率. 规范解答不失分 （Ⅰ）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间， 而乙班身高集中于170180: 之间．因此乙班平均身高高于甲班 ...............4分 （Ⅱ）158162163168168170171179182170.10x ++++++++==...............6分 甲班的样本方差为:222222222221(158170)(162170)(163170)(168170)10(168170)(170170)(171170)(179170)(179170)(182170)57.2.s ⎡=-+-+-+-⎣+-+-+-+-+-+-=...............8分（Ⅲ）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，...............10分而事件A含有4个基本事件；...............12分所以42().105P A ...............14分19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.............2分 频率分布直方图如下：............4分第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n ＝2000.2＝1 000 .............6分 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a ＝150×0.4＝60 .............8分(2)因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的情况有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种， ............10分(3)其中恰有1人年龄在[40，45)岁的情况有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种， ............12分(4)所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝815.............14分 20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=> （1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，证明22|F ||F |A B ⋅为定值. 解：（1）焦点坐标12(1,0),F (1,0)F - ..........2分离心率12e = ..........3分（2）当斜率不存在时11|||F B |F A ===此时212|FA ||F B|3a ⋅= 5分当斜率不存在=时，设1122(x ,y ),B(x ,y )A:()AB y k x a =-由222(x a)x 4y k y a =-⎧⎨+=⎩ 得222222(1k )x 240ak x k a a +-+-= 7分 222212122224,11ak k a a x x x x k k -+==++ 9分11|FA |x a |==-22|F A |x a |==-所以22111212|FA||FB|(1)|x x a(x )a |k x ⋅=+-++ 12分 22222222242(1k )|a |11k a a a k k k -=+-+++23a = 13分 所以 22|F ||F |A B ⋅为定值23a .。

四川省绵阳市高二上学期）期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共13题；共26分)1. （2分）已知a，b，c∈R，命题“若，则”的否命题是（）A . 若a+b+c≠3，则<3B . 若a+b+c=3，则<3C . 若a+b+c≠3，则≥3D . 若≥3，则a+b+c=32. （2分）若,则（）A . 0B . 2C . 1D . -13. （2分） (2017高二下·孝感期末) 下列四个命题中，真命题是（）A . 若m＞1，则x2﹣2x+m＞0B . “正方形是矩形”的否命题C . “若x=1，则x2=1”的逆命题D . “若x+y=0，则x=0，且y=0”的逆否命题．4. （2分）(2018·海南模拟) 在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·重庆期中) 设曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A . 2B . ﹣2C . ﹣D .6. （2分）已知抛物线y2=4x的焦点F，该抛物线上的一点A到y轴的距离为3，则|AF|=（）A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分）在椭圆中，记左焦点为F,右顶点为A，短轴上方的端点为B，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·玉林月考) 在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. （2分）如图所示，曲线围成的阴影部分的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·湖南期中) 平面内，F1 ， F2是两个定点，“动点M满足| |+| |为常数”是“M的轨迹是椭圆”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=，f′（x2），则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A . （，）B . （0，1）C . （， 1）D . （， 1）12. （2分） F1 ， F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5，则双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .13. （2分） (2015高三上·青岛期末) 已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（）A . （﹣∞，5）B . ﹣4C . ﹣4或20D . ﹣11二、填空题 (共5题；共5分)14. （1分） (2016高二上·翔安期中) 设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的________条件．15. （1分） (2018高二下·聊城期中) ________16. （1分） (2016高三上·赣州期中) 由直线y=1，y=2，曲线xy=1及y轴所围成的封闭图形的面积是________．17. （1分）已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有x组成的集合M=________18. （1分） (2018高二上·浙江月考) 设分别为椭圆的左,右焦点，是椭圆上一点，点是的内心，线段的延长线交线段于点，则 ________.三、解答题 (共6题；共60分)19. （10分） (2019高二下·鹤岗月考) 设函数 .（1）讨论的单调区间；（2）若，求证： .20. （10分） (2019高二上·开封期中) 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为 .（1）求点的轨迹方程；（2）求的最大值.21. （10分） (2017高二上·西安期末) 在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．22. （10分） (2016高二上·邗江期中) （文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．23. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 过椭圆 =1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A，B 两点，且共线．（1）求椭圆的离心率；（2）当三角形AOB的面积S△AOB= 时，求椭圆的方程．24. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数．（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；（2）讨论函数零点的个数．参考答案一、选择题 (共13题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共5题；共5分)14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共6题；共60分)19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。

2016-2017学年四川省绵阳一中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是()A．B． C．D．2．直线﹣=1的横、纵截距分别是（）A．4，3 B．4，﹣3 C．D．3．抛物线y=x2的焦点到准线的距离是（）A．B．C．2 D．44．直线l1：(3+m)x+4y=5，l2:2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（)A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或75．方程x+|y﹣1|=0表示的曲线是（）A．B．C． D．6．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a,b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为,则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=8．动圆M与圆O：x2+y2=1外切，与圆C：（x﹣3）2+y2=1内切,那么动圆的圆心M的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线9．过点（0,1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点,则｜AB｜的最小值为（）A．2 B． C．3 D．10．经过点（﹣2，4）和圆C1：x2+y2﹣2x=0和圆C2:x2+y2﹣2y=0的交点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1)2+（y+2)2=5 B．C．（x+1）2+(y﹣2）2=5 D．11．过点的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．12．过椭圆+=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的斜率是（）A．2 B．﹣2 C． D．二．填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．空间直角坐标系中，点（1，0，2）到(1，﹣3，1）的距离是．14．椭圆短轴的一个端点是(3，0），焦距为4,该椭圆的方程是．15．以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点（2，），则该双曲线的方程是．16．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是．三．解答题（本大题共4小题,每题10分，共40分．解答应写出相应的步骤)17．在△ABC中，顶点A（5，1）、B（﹣1，﹣3）、C（4，3），AB边上的中线CM和AC 边上的高线BN的交点坐标．18．圆C的圆心在直线y=3x上，且圆C与x轴相切,若圆C截直线y=x得弦长为2，求圆C的标准方程．19．顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点（3,6），（1)求抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长．（2）讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系,并求出相应的k的取值范围．20．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为(2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．2016-2017学年四川省绵阳一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．B． C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．【解答】解：将已知直线化为y=x+，所以直线的斜率为,所以直线的倾斜角为，故选：A．2．直线﹣=1的横、纵截距分别是（）A．4，3 B．4,﹣3 C．D．【考点】直线的截距式方程．【分析】直接根据截距式方程即可求出．【解答】解：直线﹣=1的横、纵截距分别4，﹣3，故选：B3．抛物线y=x2的焦点到准线的距离是（）A．B．C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的标准方程为x2=4y,故p=2，可求它的焦点到准线的距离．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，故p=2，即它的焦点到准线的距离为2,故选:C．4．直线l1：（3+m)x+4y=5,l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（)A．﹣1 B．﹣7 C．﹣1或﹣7 D．1或7【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵直线l1:（3+m）x+4y=5，l2:2x+(5+m）y=8平行, ∴，解得m=﹣1，或﹣7．故选:C．5．方程x+｜y﹣1|=0表示的曲线是(）A．B．C． D．【考点】曲线与方程．【分析】分y≥1和y＜1去绝对值后画出函数图象，则答案可求．【解答】解：由方程x+|y﹣1｜=0,得．∴方程x+｜y﹣1|=0表示的曲线是：故选A．6．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是(）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能【考点】直线与圆的位置关系．【分析】因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，求出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到该直线的距离小于圆的半径得到关于a和b的关系式，然后再根据点与圆心的距离与半径比较即可得到P的位置．【解答】解：由圆x2+y2=1得到圆心坐标为(0，0），半径为1,因为直线与圆相交，所以圆心到该直线的距离d=＜1,即a2+b2＞1即P点到原点的距离大于半径，所以P在圆外．故选B7．已知双曲线C:（a＞0，b＞0）的离心率为,则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x,代入可得答案．【解答】解：由双曲线C:（a＞0,b＞0），则离心率e===，即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x，故选:D．8．动圆M与圆O:x2+y2=1外切,与圆C：（x﹣3）2+y2=1内切，那么动圆的圆心M的轨迹是(）A．双曲线B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线【考点】轨迹方程．【分析】设动圆的圆心为M,半径等于r，由题意得MO=r+1，MC=r﹣1，故有MO﹣MC=2＜｜OC|，依据双曲线的定义M的轨迹是以O、C 为焦点的双曲线的右支．【解答】解:设动圆的圆心为M，动圆的半径等于r,圆C：x2+y2﹣6x+8=0即（x﹣3）2+y2=1，表示以（3，0）为圆心，以1为半径的圆,则由题意得MO=r+1，MC=r﹣1，∴MO﹣MC=2＜3=｜OC|,故动圆的圆心M的轨迹是以O、C 为焦点的双曲线的右支，故选B．9．过点（0，1)的直线与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则|AB｜的最小值为（）A．2 B． C．3 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】计算弦心距，再求半弦长,得出结论．【解答】解：如图|AB|最小时，弦心距最大为1，．故选B．10．经过点（﹣2，4）和圆C1:x2+y2﹣2x=0和圆C2：x2+y2﹣2y=0的交点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1)2+(y+2）2=5 B．C．（x+1)2+（y﹣2)2=5 D．【考点】圆的标准方程．【分析】先确定过两圆交点的圆系方程,再将点的坐标代入，即可求得所求圆的方程．【解答】解：设过圆C1：x2+y2﹣2x=0和圆C2：x2+y2﹣2y=0的交点的圆的方程为：x2+y2﹣2x+λ（x2+y2﹣2y）=0…①把点（﹣2，4）代入①式得λ=﹣2，把λ=﹣2代入①并化简得x2+y2+2x﹣4y=0即(x+1)2+（y﹣2)2=5．∴所求圆的标准方程是：（x+1）2+（y﹣2）2=5．故选：C．11．过点的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k的范围．【解答】解：由题意可得点在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k,则直线方程为y+1=k(x+)，即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有公共点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1,即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故选：D．12．过椭圆+=1内一点（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在直线的斜率是（）A．2 B．﹣2 C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得设E（x1，y1），F（x2,y2），代入椭圆方程,两式相减可得：根据中点坐标，根据中点坐标公式，求得k EF==﹣．【解答】解:设过点A的直线与椭圆相交于两点，E(x1，y1)，F（x2,y2），则有①,②，①﹣②式可得，又点A为弦EF的中点,且A（2，1)，∴x1+x2=4，y1+y2=2，即得k EF==﹣，该弦所在直线的斜率﹣，故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分)13．空间直角坐标系中，点（1,0,2）到(1，﹣3，1）的距离是．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间距离公式求解即可．【解答】解:空间直角坐标系中，点(1，0,2）到（1，﹣3，1)的距离是：=．故答案为:．14．椭圆短轴的一个端点是（3，0）,焦距为4，该椭圆的方程是．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】利用已知条件求出椭圆的几何量,写出椭圆方程即可．【解答】解：椭圆短轴的一个端点是（3，0），焦距为4，可知椭圆的焦点坐标在y轴上,b=3，c=4，则a=5，该椭圆的方程是：．故答案为：．15．以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点（2,），则该双曲线的方程是x2﹣y2=2．【考点】双曲线的标准方程．【分析】设等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ≠0．把点（2，）代入解得λ即可．【解答】解：设等轴双曲线的方程为x2﹣y2=λ≠0．把点（2，）,代入可得：4﹣2=λ，解得λ=2．∴要求的等轴双曲线的方程为x2﹣y2=2．故答案为:x2﹣y2=2．16．如图,F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】与椭圆两个焦点有关的问题，一般以回归定义求解为上策,抓住△PF1F2为直角三角形建立等式关系．【解答】解：∵△POF2是面积为的正三角形，∴S=｜PF2｜2=，｜PF2｜=2．∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形,∴a=，故答案为．三．解答题（本大题共4小题,每题10分，共40分．解答应写出相应的步骤）17．在△ABC中，顶点A（5，1）、B（﹣1,﹣3）、C(4，3),AB边上的中线CM和AC边上的高线BN的交点坐标．【考点】直线的一般式方程．【分析】分别求出直线CM和直线BN的方程，联立方程组，解出即可．【解答】解:∵A（5，1)、B(﹣1，﹣3），∴AB的中点M（2,﹣1），故直线CM的斜率为：k=2，直线CM为：y﹣3=2（x﹣4），即2x﹣y﹣5=0；而直线AC的斜率是：k=﹣2，故BN的斜率是，故直线BN的方程是:y+3=（x+1)，即：x﹣2y﹣5=0；由，解得：．18．圆C的圆心在直线y=3x上,且圆C与x轴相切，若圆C截直线y=x得弦长为2，求圆C的标准方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设出圆的方程，利用已知条件,推出2r2=（a﹣b）2+14①，r2=b2②，3a﹣b=0③解出a,b,r即可得到圆的方程．【解答】解:设所求的圆的方程是（x﹣a)2+(y﹣b)2=r2，则圆心（a，b）到直线x﹣y=0的距离为，∴即2r2=（a﹣b）2+14①由于所求的圆与x轴相切,∴r2=b2②又圆心在直线3x﹣y=0上，∴3a﹣b=0③联立①②③,解得a=1，b=3，r2=9或a=﹣1，b=3，r2=9故所求的圆的方程是：（x﹣1)2+（y﹣3）2=9或(x+1）2+(y+3）2=919．顶点在原点，焦点在x轴正半轴的抛物线，经过点(3，6）,（1）求抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长．（2）讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系,并求出相应的k的取值范围．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）由题意设椭圆的方程为：y2=2px，(p＞0），由抛物线经过点（3，6），代入即可求得p的值，求得抛物线方程，将y=2x﹣6代入y2=12x，由韦达定理求得x1+x2=9，x1x2=9，根据弦长公式可知：|AB｜=•，即可求得抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长；(2)当k=0时，y=1，直线与抛物线有一个交点,当k≠0时，将y=kx+1代入抛物线方程，由△＞0，直线与抛物线有两个交点，求得k的取值范围，当△＜0，直线与抛物线相离，无交点，求得k的取值范围，当△=0，直线与抛物线相切,仅有几个交点，求得k的取值．【解答】解:由题意可知:设椭圆的方程为：y2=2px，（p＞0)，由抛物线经过点（3，6），∴36=2×p×3，解得：p=6，∴抛物线方程为:y2=12x，设直线y=2x﹣6与抛物线两交点A（x1，y1），B（x2，y2)，由，整理得：x2﹣9x+9=0，由韦达定理可知：x1+x2=9，x1x2=9，∴|AB｜=•=•=15,抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长15，（2)当k=0时，y=1，直线与抛物线有一个交点，当k≠0时，由,整理得:k2x2+2（k﹣6）x+1=0,当△=4（k﹣6)2﹣4k2＞0，解得:k＜3,∴直线与抛物线有两个交点,△=4(k﹣6）2﹣4k2＜0，解得:k＞3，直线与抛物线无交点，当△=4（k﹣6)2﹣4k2=0，即k=3时，直线与抛物线有一个交点，综上可知：当k＞3时,直线y=kx+1与抛物线相离，即直线与抛物线无交点，当k=3时，直线y=kx+1与抛物线相切，直线与抛物线有一个交点,当k＜3且k≠0,直线与抛物线相交，有两个交点,当k=0时，直线与抛物线相交，有一个交点．20．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程;（Ⅱ）求△PAB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】(Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；(Ⅱ)设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l 方程和点A，B的坐标，从而求出｜AB｜和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=,，解得a=,又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．(Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2)(x1＜x2），AB的中点为E(x0，y0)，则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB,所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2,所以｜AB｜=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．2016年12月10日。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。

绵阳市高2014级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ADBCB ADBCA CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14．13 15．16116．t ≤-3或t ≥1或 t =0 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解 ：(Ⅰ)由图象得2=A ． 由213165424=-==ωπT ，解得πω=． ………………………………………4分 由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，解得62ππϕ+=k ， 又2πϕ<，故6πϕ=，∴ )6sin(2)(ππ+=x x f ．………………………………………………………8分(Ⅱ)∵ ]2121[，-∈x ， ∴ ]323[6ππππ，-∈+x ， ∴ 3-≤)6sin(2ππ+x ≤2，即)(x f 的的最大值是2，最小值是3-． …………………………………12分18．解：(Ⅰ)令111121a a S n =-==，，解得11=a ． ……………………………2分由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2），∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分 (Ⅱ)n a b n n n ===+2log log 212， ∴ 111)1(111+-=+=+n n n n b b n n ， ∴ 1111)111()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-=n n n n n T n ．……12分 19．解：(Ⅰ)由已知AB AC S ⋅=有1cos sin 2bc A bc A =， 可得tan A =2， …………………………………………………………………2分∴ 22tan 4tan 21tan 3A A A ==--．……………………………………………………4分(Ⅱ)2=-2==a ， ……………………………………5分 由(Ⅰ) 知2tan =A ，即sin A =2cos A ，结合sin 2A+cos 2A=1，且在△ABC 中sin A >0， 解得55cos 552sin ==A A ，． ………………………………………………8分 又53cos =C ，所以54sin =C ， 552sin cos cos sin )sin(sin =+=+=C A C A C A B ．…………………………10分 由正弦定理A a B b sin sin =可得2sin sin =⋅=A B a b ，∴ △ABC 的面积S =58542221sin 21=⨯⨯⨯=C ab ．………………………12分 20．解：(Ⅰ) x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='， ∴ 0)()20(>'∈x f x ，，π，0)()2(<'∈x f x ，，ππ， 即)(x f 在)20(π，递增，在)2(ππ，递减，故{})()0(min )(min πf f x f ，=． 又1cos )(1)0(-===ππf f ，，∴ 1-<k ．……………………………………………………………………6分 (Ⅱ) x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴ )32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，∴ 函数)(x f 在(2，3)上是减函数．…………………………………………8分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，……10分 ∵ 75.04263)43sin(312sin 31211sin 33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos ≈+-=--=-=<ππππ， ∴ 03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上有且只有1个零点．…………12分21．解：(Ⅰ)因为函数)(x f 的定义域为)0(∞+，， 又xx x x x f 1221)(2+=+='， ∵ x >0，2x 2+1>0，∴ 0)(>'x f ，)(x f 在定义域)0(∞+，上是增函数． ………………………3分 (Ⅱ)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m =e 3． ………4分 ①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x xme x ， 此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴ )(x h <h (1)=0，不满足条件． ……………………………………………6分 ②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增， ∴ 2131)1()(min =-⨯<-==e eme p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴ min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ， 故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件．若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x >1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x 0， 当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减， 又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴ )(x h 不可能恒大于0，不满足条件． ……………………………………9分 ③当m ≥e 3时，令x x me x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='x me x x ϕ．∵ x ∈)1(∞+，， ∴ 21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e ， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ， 即0)(>'x h ，∴ )(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴ 0)1()(=>h x h 成立．综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分22．解：(Ⅰ)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为y 2=4x ．………………………………………………………4分(Ⅱ)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+， 整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分 ∵ 01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间，∴ 1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分23．解：(Ⅰ)∵ 1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴ 当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x <1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x <1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立． ∴ 不等式0)(≥x f 的解集)21[∞+-，．………………………………………5分 (Ⅱ)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分于是由题意可得-1<a <1． …………10分。

绵阳南山中学实验学校2016年秋季高2015级半期考试数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线1:(3)44l m x y ++=，2:2(5)8l x m y ++=平行，实数m 的值为（ ）A ．-7B ．-1C ．133D ．-1或-72. 设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的虚轴长为2，焦距为则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．2y x =±D ．12y x =± 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为60件，40件，30件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，若从丙车间的产品中抽取了3件，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．12D ． 134.中心在原心，焦点在x 轴，若长轴长为18，且焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A ．2218172x y += B ．221819x y += C. 2218145x y += D ．2218136x y +=5.直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且AB =，则实数k 的值为（ ）A ．1 C. D ．1或-1 6.与曲线2212449x y +=共焦点，且渐近线为430x y ±=的双曲线的方程为（ ） A ．221169y x -= B ．221169x y -= C. 221916y x -= D ．221916x y -= 7.椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 为（ ） A ．2 B ．4 C. 8 D ．328.圆C 是心直线:(21)(1)20l m x m y m ++++=的定点为圆心，半径4r =，则圆C 的方程为（ ）A ．22(2)(2)16x y ++-=B ．22(2)(2)16x y -+-=C. 22(2)(2)16x y -++= D ．22(2)(2)16x y +++= 9.设e 是椭圆2214x y k +=的离心率，且1(,1)2e ∈，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,3) B ．16(3,)3 C. (0,3)或16(,)3+∞ D ．(0,2)10.已知P 是椭圆上一定点，12,F F 是椭圆两个焦点，若01260PF F ∠=，21PF =，则椭圆离心率为（ ）A ．12B 1 C. 2- D ．12- 11.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．5B ．2 C. 115D ．3 12.与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28y x =（0x >）和0y =C. 28y x =（0x >） D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <） 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，将答案填在答题纸上）13.绵阳南山实验学校高二年级为了表彰第一次月考成绩优异者，需要5件不同的奖品，这些奖品要从由1-200编号的200件不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法确定其中一件奖品编号为6，则其他四件奖品编号为 ．14.正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线22y px =（0p >），正三角形的边长为p = ． 15.已知12,F F 是双曲线221412x y -=两个焦点，P 是双曲线上的一点，且01260F PF ∠=，则12F PF ∆的面积为 ． 16.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF = ．三、解答题 （本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C y x =相切于点A .（1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.18. 设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且45MD PD =. （1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被曲线C 所截线段的长度. 19. 对绵阳南山实验学校的500名教师的年龄进行统计分析，年龄的频率分布直方图如图所示，规定年龄在[25,40)内的为青年教师，[40,50)内的为中年教师，[50,60)内的为老年教师.（1）求年龄[30,35)，[40,45)内的教师人数；（2）现用分层抽样的方法从中、青年中抽取18人进行同课异构课堂展示，求抽到年龄在[35,40)内的人数.20. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的长轴长为4，且点在椭圆上. （1）求椭圆G 的方程；（2）过椭圆右焦点斜率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若0OA OB •=，求直线l 的方程.试卷答案一、选择题1-5:DCDAC 6-10:ABACB 11、12：BD二、填空题13. 46，86，126，166 14. 2 15.56三、解答题17.解：（1）1b = （2）22(1)(2)4x y -+-= （1）由24y x b y x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=， ① ∵直线l 与抛物线C 相切，∴22(24)40b b ∆=--=∴1b =（2）由（1）可在1b =，故方程①为2210x x -+=，解得1x =，代入1y x =+，得2y =，∴点(1,2)A∵圆A 与抛物线C 的准线相切，∴圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线1x =-的距离， 即1(1)2r =--=，∴圆A 的方程为22(1)(2)4x y -+-= 18.（1）2212516x y += （2）415解：（1）设(,)M x y ，(,)p p P x y ，由已知得54p p x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∵P 在圆上，∴225()254x y += 即轨迹C 的方程为2212516x y += （2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为4(3)5y x =-， 设直线与椭圆C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，由224(3)512516y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2380x x --=，∴121238x x x x +=⎧⎨=-⎩∴415AB ===. 19.（1）75、100 （2）7解：（1）由正则性可知:直方图面积之和为1从而可知年龄段在[30,35)，[45,50)面积分别为0.15、0.15.因此年龄段在[30,35)的人数为0.1550075⨯=；年龄段[40,45)的人数为0.2500100⨯=.（2）由分层抽样的原则可知：抽到年龄段在[35,40)的人数为：(0.350.9)187÷⨯=.20.解：（1）24a =，∴2a =，点在椭圆上，∴1b =，∴2214x y += （2）设直线为(y k x =，与椭圆联立得2222(41)1240k x x k +-+-=由根与系数的关系得：12x x +=，212212441k x x k -=+ 由0OA OB •=得12120x x y y +=代入整理得k =所以直线为k x =-.。

桃密★启用闹【尋试时间；2016年II月I H乃8—门：001绵阳市高中2014级第一次诊斷性考试数学（文史类〉注童事髓*L本试卷分第I «（选择魁）和第11粒（非透择国〉两部分.善卷亂考生务密梅自己的班姓名.考号填写在需题卡上.£回答第I轄时.选出毎小趙狰案后.用钳卑把答翹長上对琏睦甘的答宴妹苹涂XL 如需改动.用檢皮擦干净后.再选涂其它答羞标号*写庄本试卷匕无3.囘答聲H卷时・将衿宴耳在谷趙卡上柯写庄車试卷上无效*4”考试絡束厉，搐衿愿卡交冋•第I卷（选择题，共60分）一. 选择本大■典強小・・毎小・5井.«60#+在毎小JH蜡岀的BMSW申*只窝一牛是袴含■目JI瑕巒・L 己知隼合才=倜-25<3}・^{xeZlx2-5KO）t則卅门沪A. {], 2}B. {2. 3）G {1. 2. 3} D, （2t 3・4}2.已知命IB严VxER, ?-x+iM）t则¥为A. VreR. t\r+l>0 E” BxbtfR. J^3-^+1 ^0C* VxeR, D* m兀€R・埒-gHWO 3- <>L*算术〉是我區古代内容扱为丰富的一部数甞专苦*韦中有如T问题’今有女子善织.BW尺.七日织二十八尺.第二Ek第五日、第八日所织之和为十五尺，IM第九日所织尺数为A・ E 氐9 C. 10 D*11r->^0*4.若实ttx. yM&ix + yih的晟大的XlA. 0 B・\ C・ 2 D* -2<* (丈史戾》心M 1 < (*4X)s.设命Up 尸<2・*■?：剧p 是？成立的A*丸分不必鼻条件 缶必JF 不充分条件C.充县參件D.既不充分也不必J!条韩& 5WHfifc /（x ） - <in2x + VJcos2x （x 皂R ）的图氣 可将尸乙还的圈■向左平移A ・£小单位B.辛个单蚀C. £个单位D.兰个犖位6 3 4 127*三次函敷的am 在Ao» /（1»处的切&与工辑平th M /（X ）在区闾（1. 3）上的■小值是g. 201&年国庆节期间.堤阳市某大型商场举荷禅购物送券"活动.一名原客计划到该商 场购输，他有三张商场的tts#・裔场規定毎购买一件商品只能便用一张优再券.m 据购买商品的标偷，三強优毒券的优羸方式不同，具体如下，优惠券弘 若裔品标价超过100元’刚付歉时减免标价的10%； 优思券从 若商品标价趙过200元.魁忖款时减免30元二若訴品标价*0过200元，则村款时减免超过200元剳分的20%.若顾客想便用优豊券G 井希塑比便用优鬲券/应月减免的铁款都赛.刚他购买的裔 品的标价应高于A. 30Q 元B. 400 元C. 500 >tD. 600 元9.已却石in^Poslsina.A« co^>2cosa■in242sift%・则B. cos'沪2cosbC. CM 2严2cos2aD. cos2^2cc«2a=010.已知定义ft (O t +00)上的ft /(X)M 足 刃"1〉= 2几0・当"PL 1｝时. /(r)s-x J »Ift/(X )在卜-1・ u)上的(nGN*). Wa 4A ・2B ・ 1G *D ・吕11.在&BC 中.85.4 =1 *8AB^A. AC ^2,则乙*的角平分StXD 的怪为2 2“B ・2万C ・2D* 1IN tt/M = i* + 4? + ax2- 4x + i 在* 轴上方.JM实数口的取fit范!S是第II卷（非选择题共90分〉二、41空凤’車大■共4小■”S分.共20分.13. 若向0）t A（签O U滿足峯件3旷由可£垂直・—一14. 住公產不为。

2016-2017学年高二上学期期中试卷数学（文科）一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x=0，l 为过点P （3，0）的直线，则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能2．圆x 2+y 2﹣4x=0在点P （1，）处的切线方程为（ ）A ．x+y ﹣2=0B ．x+y ﹣4=0C ．x ﹣y+4=0D ．x ﹣y+2=03．直线x+﹣2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．2B ．2C ．D ．14．已知点A （2，3），B （﹣3，﹣2）．若直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．k ≥2或D ．k ≤25．已知双曲线C ：的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．B ．C ．3D ．57．如图F 1、F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．过点（）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．设F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）10．已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，过点P （﹣1，2）的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB|最小，则直线l 的方程是______．11．过直线x+y ﹣2=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是______．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为______．13．椭圆Γ： =1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于______．14．在平面直角坐标系xOy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为______．15．已知过抛物线y 2=9x 的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 的倾斜角为______．三、解答题（共4小题，满分40分）16．如图，圆x 2+y 2=8内有一点P （﹣1，2），AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求|AB|（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．（3）求过点P 的弦的中点的轨迹方程．17．椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e=，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB 的斜率为，求△ABF 2的面积．18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若=2，求直线l的方程．19．已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．2016-2017学年高二上学期期中试卷数学（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．2．圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0【考点】圆的切线方程．【分析】本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．【解答】解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选D3．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2 B．2 C．D．1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即∴故选B4．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或 D．k≤2【考点】直线的斜率．【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选C．5．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b 的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25， =1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．6．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．B． C．3 D．5【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A．7．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】不妨设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，依题意，解此方程组可求得x ，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C 2的离心率．【解答】解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，∵点A 为椭圆C 1：+y 2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF 1BF 2为矩形，∴+=，即x 2+y 2=（2c ）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C 2的实轴长为2m ，焦距为2n ，则2m=|AF 2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C 2的离心率e===． 故选D ．8．过点（）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【分析】由题意可知曲线为单位圆在x 轴上方部分（含与x 轴的交点），由此可得到过C 点的直线与曲线相交时k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．【解答】解：由y=，得x 2+y 2=1（y ≥0）． 所以曲线y=表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则﹣1＜k ＜0，直线l 的方程为y ﹣0=，即．则原点O 到l 的距离d=，l 被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S △ABO 有最大值为．此时由，解得k=﹣． 故答案为B ．9．设F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF 2|=|F 2F 1|，根据P 为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF 2|=|F 2F 1|∵P 为直线x=上一点∴∴故选C ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）10．已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，过点P （﹣1，2）的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB|最小，则直线l 的方程是 x ﹣y+3=0 ．【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．【分析】先判断点P （﹣1，2）在圆内，故当AB ⊥CP 时，|AB|最小，此时，k CP =﹣1，k l =1，用点斜式写直线l 的方程，并化为一般式．【解答】解：圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，即 x 2+（y ﹣1）2=4，表示圆心在C （0，1），半径等于2的圆．点P （﹣1，2）到圆心的距离等于，小于半径，故点P （﹣1，2）在圆内．∴当AB ⊥CP 时，|AB|最小，此时，k CP =﹣1，k l =1，用点斜式写直线l 的方程y ﹣2=x+1，即x ﹣y+3=0．11．过直线x+y ﹣2=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是 （，） ． 【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题． 【分析】根据题意画出相应的图形，设P 的坐标为（a ，b ），由PA 与PB 为圆的两条切线，根据切线的性质得到OA 与AP 垂直，OB 与BP 垂直，再由切线长定理得到PO 为角平分线，根据两切线的夹角为60°，求出∠APO 和∠BPO 都为30°，在直角三角形APO 中，由半径AO 的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP 的长，由P 和O 的坐标，利用两点间的距离公式列出关于a 与b 的方程，记作①，再由P 在直线x+y ﹣2=0上，将P 的坐标代入得到关于a 与b 的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a 与b 的值，进而确定出P 的坐标．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：直线PA 和PB 为过点P 的两条切线，且∠APB=60°，设P 的坐标为（a ，b ），连接OP ，OA ，OB ，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，PO 平分∠APB ，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圆x 2+y 2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，∴OA=OB=1，∴OP=2AO=2BO=2，∴=2，即a 2+b 2=4①，又P 在直线x+y ﹣2=0上，∴a+b ﹣2=0，即a+b=2②，联立①②解得：a=b=，则P 的坐标为（，）．故答案为：（，）12．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C 的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．13．椭圆Γ： =1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，可得，进而．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a ，c 即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tan α，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，∴，∴．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．14．在平面直角坐标系xOy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 +=1 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，△ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a 的值；又由椭圆的离心率，可得c 的值，进而可得b 的值；由椭圆的焦点在x 轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c ，将a=c ，代入可得，c=2，则b 2=a 2﹣c 2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．15．已知过抛物线y 2=9x 的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 的倾斜角为或 ．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F （，0），从而设所求直线方程为y=k （x ﹣）．再将所得方程与抛物线y 2=9x 消去y ，利用韦达定理求出x 1+x 2，最后结合直线过抛物线y 2=9x 焦点截得弦长为12，得到x 1+x 2+3=12，求出k ，得到直线的倾斜角．【解答】解：∵抛物线方程是y 2=9x ，∴2p=9，可得 =，焦点坐标为F （，0）设所求直线方程为y=k （x ﹣），与抛物线y 2=9x 消去y ，得k 2x 2﹣（k 2+9）x+k 2=0设直线交抛物线与A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系，得x 1+x 2=， ∵直线过抛物线y 2=9x 焦点，交抛物线得弦长为12，∴x 1+x 2+=12，可得x 1+x 2=，因此， =，解之得k2=3，∴k=tanα=±，结合α∈[0，π），可得α=或．故答案为：或．三、解答题（共4小题，满分40分）16．如图，圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求|AB|（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．（3）求过点P的弦的中点的轨迹方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，依题意可知直线AB的斜率，求得AB的方程，利用点到直线的距离求得OG即圆的半径，进而求得OA的长，则OB可求得．（2）弦AB被P平分时，OP⊥AB，则OP的斜率可知，利用点斜式求得AB的方程．（3）设出AB的中点的坐标，依据题意联立方程组，消去k求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．【解答】解：（1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，当α=1350时，直线AB的斜率为﹣1，故直线AB的方程x+y﹣1=0，∴OG=∵r=∴，∴=﹣2，（2）当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时KOP∴AB的点斜式方程为（x+1），即x﹣2y+5=0（3）设AB的中点为M（x，y），AB的斜率为K，OM⊥AB，则消去K，得x2+y2﹣2y+x=0，当AB的斜率K不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2+y2﹣2y+x=017．椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e=，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB 的斜率为，求△ABF 2的面积．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及△ABF 2的周长为8，求出a ，c ，b ，即可得到椭圆的方程，（2）求出直线方程与椭圆方程联立，求出A ，B 坐标，然后求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）由题意知，4a=8，所以a=2，又e=，可得=，c=1．∴b 2=22﹣1=3．从而椭圆的方程为：．（2）设直线方程为：y=（x+1）由得：5x 2+8x=0．解得：x 1=0，x 2=， 所以y 1=，y 2=，则S=c|y 1﹣y 2|=．18．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l 方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由=2，得x 1=﹣2x 2，利用韦达定理，化简求出k ，即可求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，c=1， =，…∴a=2，b= … 故椭圆方程为． …（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当k 不存在时，直线方程为x=0，不符合题意． …当k 存在时，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y ，得：（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0，…x 1+x 2=﹣①，x 1x 2=﹣②…若=2，则x 1=﹣2x 2，③… ①②③，可得k=±．…所求直线方程为y=x+1．即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0 …19．已知点F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于A ，B 两点，若点P 的纵坐标为m （m ≠0），点D 为准线l 与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF 的方程；（Ⅱ）求△DAB 的面积S 范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．【考点】直线的一般式方程；抛物线的应用．【分析】（Ⅰ）由题知点P ，F 的坐标分别为（﹣1，m ），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程． （Ⅱ）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），用弦长公式求出线段AB 的长，再由点到直线的距离公式求点D 到直线AB 的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m 的表达式，再根据m 的取值范围求出面积的范围．（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A ，B 的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题知点P ，F 的坐标分别为（﹣1，m ），（1，0），于是直线PF 的斜率为，所以直线PF 的方程为，即为mx+2y ﹣m=0．（Ⅱ）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由得m 2x 2﹣（2m 2+16）x+m 2=0，所以，x 1x 2=1．于是．点D 到直线mx+2y ﹣m=0的距离，所以． 因为m ∈R 且m ≠0，于是S ＞4，所以△DAB 的面积S 范围是（4，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x 1，﹣y 1）=λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，m ﹣y 1）=μ（x 2+1，y 2﹣m ），于是，（x 2≠±1）．所以． 所以λ+μ为定值0．。

四川省绵阳市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文（扫描版）
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