最新高中数学竞赛基本知识集锦

数学竞赛知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种对应关系，将定义域中的元素映射到值域中的元素，通常用f(x)表示函数。

1.2 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

1.3 函数的性质函数的奇偶性、周期性等性质对于解题非常重要。

1.4 函数的图像函数的图像对于理解函数的性质和解题都具有重要意义。

二、不等式2.1 不等式的表示不等式通常表示为a>b、a≥b、a<b、a≤b等形式。

2.2 不等式的解法解不等式通常通过分析不等式的性质、代数方法和图像法进行。

2.3 不等式的应用不等式在优化问题、绝对值不等式、三角不等式等问题中常常出现。

三、集合与映射3.1 集合的基本概念集合是由各种对象的总体，通常用大写字母表示集合。

3.2 集合的运算包括交集、并集、差集等。

3.3 映射的概念映射是一种元素之间的对应关系，通常用f:A→B表示从集合A到集合B的映射。

三、多项式和方程4.1 多项式的定义多项式是由多个项的代数式，通常表示为P(x)。

4.2 多项式的运算多项式包括加减乘除等基本运算。

4.3 多项式的因式分解因式分解是将多项式表示为若干个不可约的因式乘积。

4.4 方程与不等式方程和不等式是基于多项式的等式与不等式。

四、数列与数学归纳法5.1 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

5.2 数学归纳法的基本思想数学归纳法用于证明递推关系的性质。

五、排列与组合6.1 排列的基本概念排列是从n个元素中取出m个元素进行排列的方式。

6.2 组合的基本概念组合是从n个元素中取出m个元素进行组合的方式。

6.3 排列组合的性质排列组合问题通常包括排列数、组合数、二项式定理等内容。

六、数论7.1 整数的性质奇数、偶数、素数、合数等是数论中的基本概念。

7.2 最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中的重要概念。

高中数学竞赛知识点整理
一、代数知识
1.一元二次方程：
（1）一元二次方程的解法：
a、利用求根公式：解一元二次方程的根：
若ax2 + bx + c = 0，则x1 = (-b + √(b2 - 4ac))/2a，x2 = (-b -
√(b2 - 4ac))/2a
b、利用因式分解法：
将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解。

2.一元一次方程：
（1）一元一次方程的解法：
a、利用移项法：把一元一次方程化为一元一次不等式，求解。

b、利用乘除法：将一元一次方程的系数化简，求解。

3.二元一次方程组：
（1）二元一次方程组的解法：
a、利用消元法：把二元一次方程组化为一元一次方程组，求解。

b、利用代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。

4.不等式：
（1）一元一次不等式的解法：
a、利用移项法：将一元一次不等式化为一元一次方程，求解。

b、利用乘除法：将一元一次不等式的系数化简，求解。

二、几何知识
1.直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：
a、直线与圆有共点：直线与圆相切；
b、直线与圆无共点：直线与圆相交；
c、直线与圆有共线：直线与圆相离；
2.三角形：
（1）三角形的性质：
a、直角三角形：有两条直角边；
b、等腰三角形：有两条等长边；
c、等边三角形：三条边。

高二数学竞赛题知识点在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。

为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。

本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。

一、函数与方程1. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容。

解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。

在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。

2. 指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。

学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。

二、平面几何1. 相似三角形相似三角形是平面几何中的重要概念。

学生们需要知道相似三角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用相似三角形的性质解决相关问题。

2. 圆的性质圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。

在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。

三、立体几何1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并能够应用这些知识解题。

2. 空间向量空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基本性质。

在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的结合。

四、概率与统计1. 排列与组合排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。

2. 概率的计算概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。

总结：高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。

本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。

高一数学竞赛知识点在高中阶段，数学竞赛成为了学生们展示才华和水平的重要途径之一。

参加数学竞赛不仅可以考验学生的数学能力，还可以培养他们的思维逻辑和问题解决能力。

然而，能够在数学竞赛中脱颖而出并不容易，需要学生们掌握一些重要的数学知识点。

本文将介绍高一数学竞赛的一些重要知识点，帮助学生们在竞赛中取得优异的成绩。

一、函数与方程在数学竞赛中，函数与方程是最基本也是最重要的知识点之一。

学生们应该熟悉各种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，以及它们的性质与图像。

此外，掌握方程的解法也非常重要。

学生们需要理解方程的基本概念和性质，能够灵活地应用不同的解法求解各种类型的方程。

二、排列与组合排列与组合是高一数学竞赛中常见的题型。

学生们需要了解排列与组合的基本定义和计算公式，并能够熟练地应用到各种实际问题中。

在解答排列与组合问题时，学生们应该注意题目中的条件限制，灵活运用计数原理和容斥原理等方法，确保得出正确的结果。

三、数列与数列极限数列与数列极限也是高一数学竞赛中常见的考点。

学生们需要对数列的概念和性质有清晰的认识，能够计算数列的通项公式和前n项和。

此外，理解数列极限的概念和性质也非常重要。

学生们需要学会判断数列的收敛性，并能够计算收敛数列的极限值。

四、不等式不等式在高一数学竞赛中也扮演着重要的角色。

学生们需要熟悉不等式的基本性质和解法，并能够应用到各种实际问题中。

掌握不等式的加减乘除运算规则、平方与开方不等式、绝对值不等式等是解决不等式问题的关键。

五、平面几何平面几何是数学竞赛中常见的另一大考点。

学生们需要掌握平面几何中的基本定义和性质，能够灵活运用各种几何定理和公式解决各种几何问题。

熟练掌握平面几何的计算方法以及对称性质和相似性质等是高中数学竞赛中得分的关键。

六、立体几何除了平面几何，立体几何也是高一数学竞赛中重要的考点之一。

学生们需要了解立体几何中的基本概念和性质，能够运用立体几何的公式和计算方法解决各种立体几何问题。

高中数学基本知识点汇总(最新)一、集合与函数概念1. 集合的基本概念集合的定义：集合是某些确定的、互不相同的对象的全体。

集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

常见数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R。

2. 集合间的关系与运算子集、真子集、相等关系。

并集、交集、补集的定义及运算。

集合运算的性质：交换律、结合律、分配律、摩根律。

3. 函数的概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

函数的表示方法：列表法、图象法、解析法。

4. 函数的性质单调性：增函数、减函数的定义及判定。

奇偶性：奇函数、偶函数的定义及判定。

周期性：周期函数的定义及常见周期函数。

最值：函数的最大值和最小值及其求法。

二、基本初等函数1. 一次函数与二次函数一次函数的形式：y = kx + b（k≠0）。

一次函数的图象与性质：直线、斜率、截距。

二次函数的形式：y = ax^2 + bx + c（a≠0）。

二次函数的图象与性质：抛物线、顶点、对称轴、开口方向。

2. 指数函数与对数函数指数函数的形式：y = a^x（a>0且a≠1）。

指数函数的图象与性质：单调性、过定点（0,1）。

对数函数的形式：y = log_a(x)（a>0且a≠1）。

对数函数的图象与性质：单调性、过定点（1,0）。

3. 幂函数幂函数的形式：y = x^α。

常见幂函数的图象与性质：α为正整数、负整数、分数时的图象特点。

4. 三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及图象。

三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性。

三角函数的诱导公式及恒等变换。

三、立体几何1. 空间几何体的结构特征多面体：棱柱、棱锥、棱台的定义及性质。

旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体的定义及性质。

2. 空间几何体的三视图主视图、俯视图、左视图的定义及绘制方法。

高一数学竞赛知识点一、集合与函数1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

2. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法等。

3. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等。

4. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。

5. 函数的性质：单射、满射、一一对应、复合函数等。

二、数列与数列极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数。

2. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。

3. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。

4. 通项公式：数列中的第n项与n的关系式。

5. 数列极限：数列随着项数无限增加，趋向于一个确定的值。

6. 数列极限的性质：唯一性、保序性、四则运算性质等。

三、函数的性质与图像1. 函数的奇偶性：奇函数和偶函数的定义与性质。

2. 函数的周期性：周期函数的定义与性质。

3. 函数的单调性：增函数和减函数的定义与判定方法。

4. 函数的极值：局部极大值和局部极小值的概念与求解方法。

5. 函数的图像：函数的图像与坐标轴的交点、拐点、对称轴等。

四、数学归纳法1. 数学归纳法的原理：从已知条件推导出未知结论的一种方法。

2. 数学归纳法的基本步骤：证明基本情况、假设成立、推导出下一步结论。

3. 数学归纳法的应用：证明数列、不等式、恒等式等的成立性。

五、平面几何1. 平面几何的基本概念：点、线、面、角等的定义与性质。

2. 直线和平面的关系：相交、平行、垂直等的判定方法。

3. 三角形的性质：内角和、外角和、中位线、高线等的性质。

4. 相似三角形：相似三角形的判定条件、比例关系及其应用。

5. 圆的性质：圆心角、弧长、弦长、切线等的性质。

6. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质。

六、概率与统计1. 随机事件：随机事件的概念、必然事件、不可能事件及其运算。

2. 概率的计算：频率概率、几何概率、古典概型等的计算方法。

3. 条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率。

高一数学竞赛知识点总结归纳概述：高一数学竞赛是对学生数学能力的全面检测和提升，具有一定的难度和深度。

在竞赛备考过程中，需要对各个知识点进行有效的总结和归纳，以便更好地复习和应对考试。

本文将对高一数学竞赛的知识点进行分类总结和归纳，帮助同学们更好地掌握和理解这些知识点。

一、函数与方程1. 函数的定义和性质- 定义函数的概念和符号表示- 求解函数的定义域和值域- 判断函数的奇偶性和周期性2. 一次函数与二次函数- 求解一次函数和二次函数的零点和解析式- 理解一次函数和二次函数的图象与性质- 应用一次函数和二次函数解决实际问题3. 不等式与方程- 解一元一次不等式和方程- 解一元二次不等式和方程- 组合不等式和方程的解集二、数与集合1. 复数与向量- 复数的定义和运算法则- 解复数方程和不等式- 向量的定义和运算法则- 应用向量解决几何问题2. 集合与运算- 集合的基本概念和表示方法- 集合的运算及其性质- 应用集合解决实际问题三、数列与数列极限1. 等差数列与等比数列- 定义等差数列和等比数列- 求解等差数列和等比数列的通项公式 - 求解数列的和与项数2. 数列的极限- 了解数列极限的概念和性质 - 求解常见数列的极限值- 应用数列极限解决实际问题四、概率与统计1. 概率基础知识- 概率的定义和性质- 概率的计算和应用2. 统计基础知识- 数据的收集和整理- 数据的分析和表示- 统计推断和误差分析五、几何与三角学1. 平面几何- 直线与角的性质- 三角形的定义和性质- 四边形和多边形的性质- 圆的定义和性质2. 空间几何- 空间几何中的直线和平面- 空间几何中的几何体3. 三角函数- 三角函数的基本概念和性质 - 三角函数的图像与变换- 三角函数的应用六、解析几何1. 坐标与向量- 二维坐标系和向量的概念- 坐标和向量的运算- 向量的共线和垂直性- 向量的线性运算2. 直线与曲线- 直线的方程与性质- 圆的方程与性质- 抛物线和双曲线的方程与性质七、数理逻辑与证明1. 命题与命题连接词- 命题的概念和符号表示- 命题连接词的真值表和性质- 命题的等价、否定和充分必要条件2. 数学归纳法与证明方法- 数学归纳法的基本思想和步骤- 证明方法的基本规则和技巧- 应用证明解决实际问题总结：通过对高一数学竞赛知识点的总结和归纳，同学们可以更清晰地了解各个知识点的要点和考点，进一步提升数学竞赛的应试能力。

数学竞赛知识基本知识集锦数学竞赛一直以来都是学生们展现自己数学能力和解题思维的舞台。

参加数学竞赛不仅能够提升数学水平，还能培养逻辑思维和解决问题的能力。

本文将为大家整理数学竞赛的基本知识，希望对参加数学竞赛的同学们有所帮助。

一、基础概念与定理1. 数列与数列的性质：数列是按照一定规律排列的数的序列。

常见的数列有等差数列、等比数列等。

掌握数列的通项公式及常见性质，能够更好地解决与数列相关的问题。

2. 平面几何与立体几何：平面几何主要涉及图形的性质、坐标系以及三角形、四边形等形状的性质。

立体几何则关注空间图形的特征与性质。

定理的掌握和灵活应用是解决几何问题的关键。

3. 三角函数与三角恒等式：三角函数是解决三角形问题的基础，包括正弦、余弦、正切等。

同时，熟悉三角恒等式的应用，能够简化计算过程，提高解题效率。

4. 数论基础知识：数论是研究整数性质的学科，涉及素数、约数、同余等概念。

对数论基础知识的掌握，对于解决一些特定的数学竞赛问题非常有帮助。

5. 初等代数与高等代数：初等代数包括方程、函数等基本概念与运算，高等代数则讨论向量、矩阵等更为复杂的代数运算。

掌握代数运算的方法和技巧是解决代数题的关键。

二、解题技巧与方法1. 抽象问题的具体化：遇到一些抽象的问题时，可以尝试将其具体化，通过构建具体的例子或者特殊情况来分析问题，从而找到解题的思路和方法。

2. 推理与演绎：在解决一些需要推理和演绎的问题时，可以采用逆向思维，从题目要求出发，逆向推导，找到问题的根源和解决方法。

3. 规律与模式的寻找：许多数学竞赛问题都存在一定的规律和模式，通过观察、总结，找到问题的规律，可以更加高效地解决问题。

4. 分析与综合：分析题目的条件和要求，将问题进行拆解，寻找其中的关联与规律，再进行综合运用，能够更好地解决复杂的数学竞赛问题。

三、参考书目与学习资源1. 《挑战杯数学竞赛》2. 《高中数学竞赛经典题解》3. 《奥林匹克数学教程》除了参考书籍，互联网上也有许多数学竞赛的学习资源，例如在线课程、数学竞赛论坛等。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛涉及的知识点非常广泛，以下是一份简要的知识点总结：
1. 数论基础：包括整除、余数、最大公约数、最小公倍数等。

2. 代数：包括方程组、不等式、函数、数列等。

3. 平面几何：包括三角形、四边形、圆、相似形、解析几何等。

4. 立体几何：包括球、长方体、四面体等。

5. 平面解析几何：包括直线、二次曲线、极坐标等。

6. 组合数学：包括排列、组合、二项式定理、组合恒等式等。

7. 图论：包括图的性质、欧拉路径、哈密顿路径等。

8. 概率与统计：包括概率、期望、方差等。

9. 初等数论：包括同余、费马小定理、中国剩余定理等。

10. 数学逻辑与问题解决：包括逻辑推理、集合论、问题解决策略等。

以上仅为基础知识点，竞赛中还可能涉及更深层次的知识和技巧。

如果想要深入学习，建议查阅数学竞赛的相关教材或咨询专业教师。

北京市高一数学竞赛知识点北京市高一数学竞赛是一项旨在挖掘和培养学生数学潜能的重要赛事。

竞赛的成功取决于参赛选手对相关数学知识点的掌握和理解。

本文将介绍北京市高一数学竞赛的主要知识点，以帮助参赛选手提高自己的竞赛水平。

一、函数和方程函数和方程是高一数学竞赛的基础知识点。

在竞赛中，选手需要熟练掌握一元一次方程、一元二次方程、函数的概念和性质等内容。

同时，对于函数的表示方法、性质和图像也要有深入的理解。

选手应该能够熟练地解题和绘制函数图像，例如求解方程组、函数的最值以及二次函数的图像特点等。

二、几何与三角学几何与三角学是竞赛中的另一重要知识点。

选手需要了解常见几何图形的性质、构造和判断方法。

在三角学方面，选手应该熟悉三角函数、三角恒等式、三角方程等内容，并能够运用这些知识解决相关问题。

此外，选手还应了解平面向量、解析几何等知识点，并能运用它们进行证明和计算。

三、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高一数学竞赛中常见的考点。

选手需要理解数列的概念、性质和求和公式。

在数学归纳法方面，选手应掌握基本的证明方法，并能够灵活运用其推理思想解决数列问题。

选手还需要了解等差数列、等比数列以及它们的常见性质和应用。

四、概率与统计概率与统计是数学竞赛不可忽视的知识点。

选手需要掌握概率的基本概念、计算方法和应用题解法。

在统计学方面，选手应了解常见统计指标的计算方法、频数分布表和频数直方图的绘制等内容。

选手需要能够通过概率与统计的方法解决实际问题，例如求解可能性、样本空间和概率分布等。

五、向量与解析几何向量与解析几何也是高一数学竞赛的重点内容。

选手需要掌握向量的基本性质、运算法则和应用题解法。

在解析几何方面，选手应理解直线、平面的方程表示方法和相互关系，并能够灵活运用它们解决几何问题。

选手还需要熟练掌握空间解析几何的基本概念和计算方法。

综上所述，北京市高一数学竞赛的知识点主要包括函数和方程、几何与三角学、数列与数学归纳法、概率与统计，以及向量与解析几何。

高一数学竞赛知识点汇总随着数学竞赛的兴起和普及，越来越多的高中生开始加入到数学竞赛中来。

对于高一学生来说，掌握一些常见的数学竞赛知识点是非常重要的。

本文将从数列、概率、三角函数和平面几何四个方面进行讲解和汇总。

数列部分在数学竞赛中，数列是一个非常常见的考点。

常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。

等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。

在计算等差数列的和时，可以利用求和公式进行计算。

等比数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之比都相等。

同样地，在计算等比数列的和时，可以利用求和公式进行计算。

斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的每个数等于前两个数之和。

斐波那契数列的数学特性被广泛应用于自然界和各个领域。

概率部分概率是数学竞赛中的一个重要知识点，也是数学中的一个重要分支。

概率可以用来描述随机事件发生的可能性。

在计算概率时，可以使用频率概率和几何概率两种方法。

频率概率是通过实验统计的结果来计算的，而几何概率则是通过几何上的分析来计算的。

在概率计算中，常见的技巧有加法原理和乘法原理。

加法原理用于计算多个事件中至少发生一个事件的概率，而乘法原理则用于计算多个事件同时发生的概率。

三角函数部分三角函数是数学竞赛中的一个重要知识点，也是解决三角形相关问题的基础。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在解决三角函数问题时，可利用三角函数的周期性、奇偶性和对称性进行简化。

此外，还可以利用三角函数的图像性质进行问题的解答。

平面几何部分平面几何是数学竞赛中的另一个重要知识点，涵盖了线段、角、三角形、四边形、圆等内容。

在解决平面几何问题时，可以利用几何图形的对称性、相似性和尺规作图等方法进行推导和解答。

此外，还有一些常见的几何定理和公式需要掌握，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。

总结数学竞赛知识点的汇总是为了帮助高一学生更好地准备数学竞赛。

数列、概率、三角函数和平面几何是数学竞赛中的常见考点，掌握了这些知识点，就能更好地应对数学竞赛的挑战。

高一数学竞赛知识点大全数学是一门重要的学科，对于学生来说，提前熟悉并掌握数学竞赛的知识点是非常重要的。

本文将为大家总结高一数学竞赛的知识点，帮助大家更好地备战竞赛。

一、代数与函数1. 初步的代数运算：四则运算、分配律、合并同类项等基础运算法则。

2. 整式与分式的乘除：整式与分式的乘法展开、整式与分式的除法。

3. 因式分解：公因式提取法、差平方、完全平方等因式分解方法。

4. 分式运算：分式的加减、化简、乘除等常用运算规则。

5. 线性方程与不等式：一元一次方程与不等式的解法、二元一次方程组的解法和应用。

6. 二次方程与不等式：求根公式、韦达定理、二次不等式的解法和应用。

7. 指数与对数：指数的运算法则、对数的运算法则、指数方程与对数方程的解法。

8. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的性质、函数的图像与性质。

9. 函数的运算：函数的加减、乘、除等运算法则。

10. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质。

11. 幂函数与指数函数：幂函数与指数函数的图像与性质、幂指对函数的运算法则。

二、几何与立体几何1. 二维图形的性质：重心、垂直、平行、三角不等式等性质。

2. 三角形的性质：角平分线定理、中线定理、垂心与垂足等性质。

3. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质。

4. 圆的性质：圆心角定理、弧长、扇形等性质。

5. 直线与圆的位置关系：点到直线、直线到圆的距离、切线等。

6. 空间几何图形的性质：球的表面积和体积、立体几何图形的面积与体积。

三、概率与统计1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、事件概率等。

2. 概率的计算：频率、古典概型、几何概型等概率计算方法。

3. 统计的基本概念：总体、样本、频数等统计学基本概念。

4. 统计图表的制作与分析：条形图、折线图、饼图等常见统计图的制作与分析方法。

四、数列与数表1. 数列的定义与性质：数列的概念、等差数列、等比数列等性质。

2. 数列的运算与运算规律：数列的加减、乘除等运算法则。

高一数学竞赛知识点一、函数与方程在高一数学竞赛中，函数与方程是一个重要的知识点。

函数是数学中的基本概念之一，可以理解为自变量与因变量之间的一种对应关系。

在数学竞赛中，我们需要掌握函数的定义、性质以及函数的图像、单调性等相关知识。

方程是数学中另一个重要的概念，是含有未知数的等式。

在数学竞赛中，我们需要学会解一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等不同类型的方程，并能够应用解方程的方法解决实际问题。

二、数列与数列的极限数列是由一系列有规律的数按一定顺序排列而成的序列。

在数学竞赛中，我们需要学习数列的概念、公式、性质以及常见数列的求和公式。

数列的极限是数学分析中的重要概念，是指当数列的项数趋向无穷大时，数列的极限值。

在数学竞赛中，我们需要学会判断数列的极限是否存在，以及求解数列的极限值。

三、平面几何与空间几何平面几何是数学中的一个分支，研究平面内的点、直线、角等基本几何概念及其性质。

在数学竞赛中，我们需要学习平面几何的基本概念、定理以及相关的解题方法。

空间几何是平面几何的延伸，研究空间内的点、直线、面等几何对象及其性质。

在数学竞赛中，我们需要掌握空间几何的基本概念、定理以及相关的解题方法。

四、概率与统计概率是数学中的一个分支，研究随机事件发生的可能性大小。

在数学竞赛中，我们需要学习概率的基本概念、性质以及常见的计算方法。

统计是数学中另一个重要的分支，研究数据的收集、整理、分析和解释。

在数学竞赛中，我们需要学习统计的基本概念、性质以及常见的统计方法。

五、数论数论是数学中的一个分支，研究整数的性质和整数之间的关系。

在数学竞赛中，我们需要学习数论的基本概念、性质以及常见的解题方法。

数论在密码学、编码等领域有广泛的应用，是数学竞赛中的重要知识点之一。

六、解析几何解析几何是数学中的一个分支，通过代数方法研究几何问题。

在数学竞赛中，我们需要学习解析几何的基本概念、性质以及常见的解题方法。

解析几何在计算机图形学、物理学等领域有广泛的应用，是数学竞赛中的重要知识点之一。

高三数学竞赛知识点一、集合与函数1. 集合的基本概念- 无序性、确定性、互异性- 集合的表示与表示方法2. 集合的运算- 交集、并集、差集与补集- 子集与真子集- 直积与幂集3. 函数的基本概念- 定义域、值域和对应关系- 单射、满射与双射- 函数的运算与复合函数4. 函数的图像与性质- 奇偶性与周期性- 函数的增减性与极值- 函数的图像与函数的解析式二、数列与数列极限1. 数列的概念与性质- 等差数列和等比数列- 通项公式与递推公式- 数列的有界性与单调性2. 数列的极限- 数列极限的定义- 数列极限的性质与计算方法 - 无穷小量与无穷大量3. 重要的数列极限- 阶乘与幂函数的极限- 斐波那契数列与调和数列- 列数的夹逼准则与柯西收敛原理三、函数的极限与连续性1. 函数的极限- 函数极限的定义与性质- 极限运算与函数极限- 函数极限的计算方法2. 函数的连续性- 连续函数的定义与性质- 连续函数的四则运算- 初等函数与连续函数3. 重要的函数极限- 无穷小量与无穷大量的比较- 弧度与三角函数的极限- 对数函数与指数函数的极限四、导数与应用1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数的四则运算与求导法则- 切线与法线的几何意义2. 基本初等函数的导数- 常数函数与幂函数的导数- 指数函数与对数函数的导数- 三角函数与反三角函数的导数3. 高阶导数与隐函数求导- 高阶导数的定义与性质- 隐函数求导的基本方法- 参数方程与极坐标下函数的导数4. 函数的应用- 函数的单调性与极值- 函数的凸性与凹性- 利用导数解几何问题五、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与基本性质 - 定义与运算法则- 换元积分法与分部积分法 - 牛顿-莱布尼茨公式2. 常用的不定积分公式- 幂函数的积分- 三角函数的积分- 一些特殊函数的积分3. 定积分的概念与性质- 定义与几何意义- 定积分的计算方法- 定积分的应用4. 定积分的进一步研究- 反常积分的概念与性质- 反常积分的判定与计算- 广义积分与函数的收敛性六、数学推理与证明1. 数学论证与证明的基本方法 - 直接证明法与归谬法- 反证法与递推法- 逻辑运算与推理中的技巧2. 数学归纳法与递归关系- 数学归纳法的基本思想- 数学归纳法的应用场景- 递推数列与递归函数3. 数学问题的模型建立与解决- 数学问题的数学建模- 数学问题求解的策略- 数学问题解决的步骤与技巧以上是高三数学竞赛的一些重要知识点，希望对你的学习有所帮助。

数学高三竞赛知识点高三数学竞赛是学生们在高三阶段参与的一项重要活动，是考察学生数学能力和应对复杂问题的机会。

在准备竞赛的过程中，掌握一些重要的数学知识点是至关重要的。

本文将为您总结和归纳一些高三数学竞赛常见的知识点。

一、函数与方程1. 函数的性质与变化：了解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，掌握用图像和表达式表示函数的方法。

2. 一次、二次函数：熟悉一次函数和二次函数的性质、图像、方程及应用，能灵活运用一次、二次函数解决实际问题。

3. 指数与对数函数：理解指数和对数函数的定义及性质，能够解决指数、对数方程和不等式。

4. 三角函数：熟悉常见的三角函数及其图像、性质，能够灵活运用三角函数解决实际问题。

5. 复数与多项式：掌握复数的定义及运算法则，了解多项式的性质和相关定理，能够求解多项式方程及应用。

二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质：了解数列的定义、通项公式、前n项和及数列的递推关系，掌握数列的性质和常见数列的求和公式。

2. 等差数列与等比数列：熟悉等差数列和等比数列的性质、通项公式、前n项和以及等差数列与等比数列之间的相互转化，能够解决与数列相关的问题。

3. 递归数列与数学归纳法：了解递归数列的定义和特点，掌握数学归纳法的基本思想和应用，能够利用数学归纳法证明和解决问题。

三、几何1. 平面几何：熟悉平面几何的基本概念、性质和定理，包括平面图形的面积、周长计算，平面几何的变换等。

2. 空间几何：了解线、面、体的性质和关系，能够应用空间几何解决实际问题，如体积的计算、射影的性质等。

3. 三角形和圆的性质：掌握三角形的基本性质与判定条件，了解圆的性质和相关定理，能够灵活运用三角形和圆的性质解决相关问题。

四、概率与统计1. 概率的基本概念：了解概率的定义、计算方法和性质，掌握事件的概率计算和复合事件的概率计算。

2. 统计与统计图表：熟悉统计的基本方法和常用统计图表的绘制，能够进行样本调查和数据分析，包括频率分布、样本均值、标准差等。

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a −+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD ACCD AB −=−⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===−−−=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=−+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222−+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE −==−==−==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠−︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠−︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr −−−==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和F A 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF −=∆∆．。