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多边形和圆的初步认识 知识讲解

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多边形和圆的初步认识知识讲解
【学习目标】
1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；
2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；
3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；
4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
要点诠释：
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
2．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n 边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
要点诠释：
(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为
(3)
2
n n
．
(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
要点二、圆及扇形
1.圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.
②圆是一条封闭曲线.
2.扇形
»AB，读作“圆弧AB”（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作
或“弧AB”. 如下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
【典型例题】
类型一、多边形及正多边形
1．如图，（1）从正六边形的顶点A出发,可以画出条对角线，分别用字母表示出来为；（2）这些对角线把六边形分割成个三角形.
【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可. 【答案】（1）3，线段AC、线段AD、线段AE；（2）4.
【总结升华】
(1)n边形有n个顶点,n条边,n个内角.
(2)过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共
(3)
2
n n
条对角线.
(3)n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n－2）个三角形. 举一反三：
【变式】（2015春•郑州期末）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（）
A．八边形B．九边形C．十边形D．十一边形
【答案】B
2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?
【答案与解析】
解：这个问题，我们可以用图来说明．
按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．
按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．
按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．
答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．
【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．
举一反三：
【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】C.
3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助
点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .
【答案】
根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，
即可知：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．
类型二、圆
4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．
【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．
【答案】80°．
【解析】
解：∵OM=ON，
∴∠N=∠M=50°，
∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，
故答案为80°．
【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．
【变式】如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
【答案】
类型三、扇形
5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么
【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．
【答案与解析】
解：这三个圆心角的度数分别为： °°236080⨯=；°°3360120⨯=；°°4360160⨯=.
6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？
【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个正方形的边长，即r 2＝边长2＝120平方厘米．
【答案与解析】。

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多边形和圆的初步认识PPT课件

多边形和圆的初步认识PPT课件

【小结】一个圆周为360°，分成的几个扇形的圆心角的度数之和 等于360°，每一个扇形圆心角的度数等于360°×(每一个扇形占圆 周的百分比).扇形的面积
等于 n，R2其中n是圆心角的度数，R是半径.
360
做一做
如图扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为120°,AB长为 30cm,贴纸部分BD长为20cm,求贴纸部分的面积.
解析一览
【思路点拨】贴纸部分的面积等于扇形ABC的面积减去小扇形 的面积,已知圆心角的度数为120°,可根据扇形的面积公式求 出贴纸部分的面积.
【自主解答】设AB=R，AD=r，
则有S贴纸=13
R 2
1 3
r 2
1 (R2 r2 ) 1 (302 102 ) 800 (cm2 ).
3
3
3
答：贴纸部分的面积为 800 cm2． 3
自主学习反馈
4.已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为( )
A.24π
B.12π
C.6π
D.2π
【解析】选C.扇形的面积= 60 62 6． 360
新知讲解
我们生活中还有很多日用品都是由一些简单的图形组成的， 说说看，什么物品是由什么图形组合而成的？看谁说得多？
新知讲解
探究点一：认识多边形
新知讲解
【小组讨论2】上面那样的多边形是什么图形？你能一一说出它 们的名字吗？
【小结】上面各多边形都是正多边形，即各边相等，各角也相等 的多边形叫做正多边形.上面图中的多边形分别是正三角形、正四 边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形.
做一做
写出下列图形的名称.
【解析】(1)四边形.(2)五边形.(3)圆.(4)三角形.(5)八边形.
多边形和圆的初步认识课件北师大版数学七年级上册

多边形和圆的初步认识课件北师大版数学七年级上册


为多边形，例如三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形.
小试牛刀
如图所示的图形中,属于多边形的有 ( A )
A.3个
√
B.4个
√
C.5个
×
D.6个
√
×
二、多边形的相关概念
1.由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面
图形叫做多边形.
2.组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
3.每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
你能说出上面图形的名字吗？
五、圆
上面的图形中有你熟悉的图形吗？
你能用哪些方法画出一个圆？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
六、圆的相关概念
平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形
成的图形叫做圆；固定的端点O称为圆心；
圆上任意两点A，B之间的部分叫做圆弧，简称弧，
Ⴃ
记作 ，读作“圆弧AB或“弧AB”；
情境导入
今天，加菲猫兴奋地挥动着剪刀，对照
着美工书上猫的图案，制作了一副自己
Байду номын сангаас的“肖像”（如图）. 这幅图案中包含的
多边形有哪些？请你至少说出三种.
聪明的同学，你能找出来吗？
头：三角形、六边形；
身体：五边形、三角形、长方形.
初始概念
一、什么是多边形？
定义：由至少三条不在同一直线上的线段首尾顺次组成的封闭图形，即
2
3
4
360°×2+3+4 =80°， 360°×2+3+4 =120°， 360°×2+3+4 =160°.
活学活用
1.将一个圆分割成四个扇形，它们圆心角的度数之比为1∶2∶3∶4，则这四
圆与多边形知识总结

圆与多边形知识总结

一、圆的知识点总结确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2. 过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点⑷过n()4确定的圆的圆心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4. 三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.（一）圆的基本性质1、圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。

第32讲-多边形和圆的初步认识

第32讲-多边形和圆的初步认识

第32讲 多边形和圆的初步认识知识点01 多边形三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.知识点02 多边形的对角线知识点03 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC 是∠AOB 的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ，∠AOC=∠BOC =∠AOB ．12知识点04圆（1）圆上任意两点A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 AB ，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”；（2）圆的周长公式：r C π2=；圆的面积公式：2r S π=.对于正多边形，下列说法正确的是（）A ．正多边形的边都相等，内角都相等B ．各边相等的多边形是正多边形C ．各角相等的多边形是正多边形D ．由正多边形构成的多边形是正多边形【答案】A【分析】A. 由正多边形的性质可得B. 举反例判断即可C. 举反例判断即可D. 举反例判断即可【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确B. 菱形不是正方形，错误C. 矩形不是正方形，错误D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误故选：A ．下列图形中，是正多边形的是（）A ．三条边都相等的三角形B ．四个角都是直角的四边C ．四边都相等的四边形D ．六条边都相等的六边形【答案】A【分析】根据正多边形的定义即可解答.【详解】选项A ，三条边都相等的三角形是等边三角形，它的三个角相等，三条边都相等，是正多边形；选项B 、C 、D 不符合正多边形的定义，都不是正多边形.故选A ．下列说法不正确的是（）考点精析考点一 多边形的概念A ．各边相等的多边形是正多边形B ．等边三角形是正多边形C ．正多边形的各个内角都相等D ．正多边形的各条边都相等【答案】A【分析】根据正多边形的定义：各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，除正三边形以外，各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立．【详解】A. 各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A 错误；B. 等边三角形三条边相等，三个角相等，是正多边形，故选项B 正确；C. 正多边形的各个内角都相等，故选项C 正确；D. 正多边形的各条边都相等，故选项D 正确.故选A.关于正多边形的概念，下列说法正确的是（）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各角相等的多边形是正多边形C ．各边相等或各角相等的多边形是正多边形D ．各边相等且各角相等的多边形是正多边形【答案】D【分析】根据正多边形的定义判定即可．【详解】解：A ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；B ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；C ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；D ．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意．故选：D ．下列说法错误的是（）A ．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形B ．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形C ．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形D ．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形【答案】D【分析】根据四边形的定义以及多边形的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A ．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；B ．在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；C ．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；D ．多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，符合题意；故选：D．过一个多边形的一个顶点可引2021条对角线，则这个多边形的边数为（）A ．2018B ．2019C ．2023D ．2024【答案】D【分析】根据从多边形一个顶点可以引出()3n -条对角线，进行计算即可．【详解】解：由题意得：()3=2021n -，∴2024n =；故选D ．一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（）A ．7B ．8C ．12D ．13【答案】D【分析】根据过n 边形的一个顶点可作（n-3）条对角线，即可解答本题．【详解】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，∴n-3=10，∴n=13，故选：D ．六边形的对角线共有（）条．A ．5B ．9C ．12D ．14【答案】B【分析】根据多边形的对角线有(3)2n n -条，即可求解．【详解】解：六边形的对角线共有()66392´-=条，故选B ．已知从九边形的一个顶点出发，可引出m 条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n 个三角形，则m -n =______；十三边形的共有______条对角线．【答案】 -1 65【分析】根据边数为a 条边的多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（a-3）；组成的三角形的个数为（a-2），分别求出m 、n 的值即可得出m n -；根据边数为a 条边的多边形的对角线条数为()32a a -，求出十三边形对角线条数即可．【详解】解：∵边数为a 条边的多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（a-3）；组成的三角形的考点二多边形的对角线个数为（a-2），∴从九边形的一个顶点出发，对角线共有936-=条，分成927-=个三角形，即6m =，7n =，∴671m n -=-=-；十三边形的对角线共有：()13133652´-=（条）．故答案为：-1；65．从（n +5）边形的一个顶点出发可引______条对角线，它们将n 边形分为______个三角形．【答案】 ()2n ＋##（2+n ） ()3n ＋##（3+n ）【分析】根据多边形的对角线的条数，以及对角线分割三角形的个数的计算公式进行计算即可．【详解】解：从n 边形的一个顶点出发有：()3n -条对角线，把n 边形分割成：()2n -个三角形；∴()5n +边形的一个顶点出发可引：()()532n n +-=+条对角线，把n 边形分割成：()()523n n +-=+个三角形；故答案为：()2n ＋；()3n ＋．从五边形的一个顶点出发，可以画出m 条对角线，它们将五边形分成n 个三角形．则m n +=_______．【答案】5【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，进而得出这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形，从而可求出答案．【详解】解：根据题意：m=5-3=2，n=5-2=3，∴m+n=2+3=5，故答案为：5．夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678……n从一个顶点出发的对角线的条数12345……①多边形对角线的总条数2591420……②（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n 的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.（2）拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话?【答案】(1)①3n -，②(3)2n n -(2)他们一共通了2850次电话【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为143=-，多边形对角线的总条数为4(43)22´-=，多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为253=-，多边形对角线的总条数为5(53)52´-=，多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为363=-，多边形对角线的总条数为6(63)92´-=，多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为473=-，多边形对角线的总条数为7(73)142´-=，多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为583=-，多边形对角线的总条数为8(83)202´-=，归纳类推得：当多边形的顶点数为n 时，从一个顶点出发的对角线的条数为3n -，多边形对角线的总条数为(3)2n n -（其中4n ³，且n 为整数），故答案为：3n -，(3)2n n -．（2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，则76(763)7628502´-+=，答：他们一共通了2850次电话．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数/个45678……n从一个顶点出发的对角线的条数/条12345……①___________多边形对角线的总条数/条2591420……②___________（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n 的代数式将上面的表格填写完整，其中①_______________；②_______________；（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？【答案】（1）①3n -；②()132n n -；（2）135个【分析】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n －3条对角线，则n 个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②；（2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。