小学奥数 7-9-1 概率.教师版

,7-9-1.概率教学目标“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象 兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．知识要点一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件 A ，它的概率定义为： P (A ) = m ， n 表示该试验中 n 所有可能出现的基本结果的总数目， m 表示事件 A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于 古典概率．其中的 m 和 n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件 A 和 B 为对立事件（互斥事件），那么 A 或 B 中之一发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B发生的概率之和，为 1，即： P (A ) + P (B ) = 1．三、相互独立事件事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件 A 和 B 为独立事件，那么 A 和 B 都发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之 积，即： P (A ⋅ B ) = P (A )⋅ P (B ) ．例题精讲模块一、概率的意义【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是 80%”．对此信息，下列说法中正确的是________． ①本市明天将有 80%的地区降水． ②本市明天将有 80%的时间降水．③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯，决赛1【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间． 80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续 两次掷得的结果相同，则记 1 分，否则记 0 分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有 1 次硬币的正面向上，则记 1 分，否则记 0 分．谁先记满 10 分谁就赢． 赢的可能性较大（请填汤 姆或约翰）．【考点】概率的意义 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 7 题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。

约翰扔的话，两种情况记 1 分，两种情况记 0 分；汤姆扔的话三种情况记 1 分，一种情况记 0 分。

所以 汤姆赢得的可能性大。

【答案】汤姆【例 3】 在某个池塘中随机捕捞 100 条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200 尾，发现其中有 25 条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么 请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【考点】概率的意义 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 200 尾鱼中有 25 条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为25 ÷ 200 = 0.125 ， 所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是 0.125 ，池塘中鱼的数量约为100 ÷ 0.125 = 800 尾．【答案】 800【例 4】 一个小方木块的六个面上分别写有数字 2 、 3 、 5 、 6 、 7 、 9 ，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1 分．当小亮扔时，如果朝上的一 面写的是奇数，得1 分．每人扔100 次，______得分高的可能性比较大．【考点】概率的意义 【难度】2 星 【题型】填空【解析】因为 2 、 3 、 5 、 6 、 7 、 9 中奇数有 4 个，偶数只有 2 个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较 大，即小亮得分高的可能性较大．【答案】小亮得分高的可能性较大【例 5】 一个骰子六个面上的数字分别为 0 ，1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12 时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【考点】概率的意义 【难度】4 星 【题型】填空【解析】掷的总点数在 8 至 12 之间时，再掷一次，总点数才有可能超过 12 （至多是 17 ）．当总点数是 8 时， 再掷一次，总点数是13 的可能性比总点数超过13 的可能性大．当总点数在 9 至12 之间时，再掷一次，总点数是13 的可能性不比总点数是14 ，15 ， 16 ，17 的可能性小．例如，总点数是11时，再掷一次，出现0 5 的可能性相同，所以总点数是11 16 的可能性相同，即 总数是13 的可能性不比总数点数分别是14 ， 15 ，16 的可能性小，综上所述，总点数是13 的可能性 最大．【答案】总点数是13 的可能性最大．【例 6】 从小红家门口的车站到学校，有1 路、 9 路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10 分中开来一辆．小红到车站后，只要看见1 路或 9 路，马上就上车，据有人观察发现：总有 路车过去以后 3 分钟就来 9 路车，而 9 路车过去以后 7 分钟才来1 路车．小红乘坐______路车的可能性较大．【考点】概率的意义 【难度】4 星 【题型】填空【解析】首先某一时刻开来1 路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19车号 1 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 1 1 1 1 1显然由上表可知每10 分钟乘坐1 路车的几率均为 7 ，乘坐 9 路车的几率均为 3 ，因此小红乘坐1 路 10 10 车的可能性较大．【答案】1 路车的可能性较大模块二、计数求概率【例 7】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】填空【解析】每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为 1 、 1 、 3 、 16 4 8 1 、 1 ． 4 16【答案】左至右落到底部的概率依次为 1 、 1 、 3 、 1 、 1 ． 164 8 4 16【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2 、3 、5 、7 、9 五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】填空【解析】警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2 、 3 、 5 、 7 、 9 中的任何一个，有5 种可能， 第二位数字有 4 种可能，……，第五位数字有 1 种可能，所以一共有 5 ⨯ 4 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯1 = 120 种可能，则输入正确车牌号的可能性是 1 ．120【答案】 1 120【例 9】分别先后掷 2 次骰子，点数之和为 6 的概率为多少?点数之积为 6 的概率为多少?【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答【解析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6 ⨯ 6 = 36 ．将点数为 6 的情况全部枚举出来有：(1,5) (2,4 ) (3,3) (4,2 ) (5,1)点数之积为 6 的情况为：(1,6 )(2,3 )(3,2 )(6,1) 两个数相加和为 6 的有 5 组，一共是 36 组，所以点数之和为 6 的概率是 5 ；36点数之积为 6 的概率为 4 = 1 ． 36 9【答案】（1） 5 ，（2） 1 36 9【例 10】 甲、乙两个学生各从 0 9 这 10 个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的 差不超过 2 的概率，⑵两个数字的差不超过 6 的概率．【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答【解析】⑴两个数相同（差为 0）的情况有10 种，4545【解析】从 25 名女生中任意抽出两个人有 = 300 种不同的方法． 【解析】法一：从 6 名学生中选 4 人的不同组合有 = 15 种． 两个数差为1 有 2 ⨯ 9 = 18 种，两个数的差为 2 的情况有 2 ⨯ 8 = 16 种，所以两个数的差不超过 2 的概率有 10 + 18 + 16 = 11 ． 10 ⨯10 25 ⑵两个数的差为 7 的情况有 2 ⨯ 3 种．两个数的差为 8 的情况有 2 ⨯ 2 = 4 种．两个数的差为 9 的情况有 2 种．所以两个数字的差超过 6 的概率有 6 + 4 + 2 = 3 . 10 ⨯10 25两个数字的差不超过 6 的概率有1 - 3 = 22 . 25 25【答案】（1） 11 ，（2） 22 25 25【例 11】 工厂质量检测部门对某一批次的10 件产品进行抽样检测，如果这10 件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取 2 件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是 次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答【解析】从 10 件产品中选择 2 件一共有 C 2 = 45 种情况. 10 所以这两件产品恰好都是次品的概率为 1 ． 45两件产品中有一件次品的情况有 C 1 ⨯ C 1 = 16 种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为 16 . 2 8 两件产品中都不是次品的概率有 C 2 = 28 种情况，所以两件产品都不是次品的概率为 28 . 8 【答案】（1） 1 ，（2） 16 ，（3） 2845 45 45【例 12】 一个班有女生 25 人,男生 27 人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答25 ⨯ 24 2从全体学生中任意抽出两个人有 52 ⨯ 51 = 1326 种不同的方法．计算概率： 300 = 50 ． 2 1326 221【答案】 50 221【例 13】 从 6 名学生中选 4 人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答6 ⨯ 5 ⨯ 4 ⨯ 3 4 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯1 其中， 4 人中包括甲的不同组合相当于在 5 名学生中选 3 人所以一共有 5 ⨯ 4 ⨯ 3 = 10 种． 3 ⨯ 2 ⨯1所以甲被选择上的概率为 10 = 2 ． 15 3 法二：显然这 6 个人入选的概率是均等的．即每个人作为一号选手入选的概率为 1 ，作为二号入选的概率为 1 ，作为三号入选的概率为 1 ，6 6 6作为四号入选的概率为 1 ，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是 6【解析】 10 个点中任意取 3 个的情况为 = 120 种， 角形，这样的概率是 5 ⨯ C 4 = 1 ,所以 3 点构成三角形的概率为1 - 1 = 5 ． 互斥事件，所以他被入选的概率为 1 + 1 + 1 + 1 = 2 ． 6 6 6 6 3【答案】 2 3【例 14】 一块电子手表，显示时与分，使用12 小时计时制，例如中午12 点和半夜12 点都显示为12: 00 ．如 果在一天（24 小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 8 题【解析】一天当中，手表上显示的时刻一共有12 ⨯ 60 = 720 种． 其中冒号之前不出现1 的情况有 2、3、4、5、6、7、8、9 八种，冒号之后不出现1 的情况有 (6 - 1)⨯ (10 - 1) = 45 种，所以不出现1 的情况有 45 ⨯ 8 = 360 种．所以至少看到一个数字“1”的情况有720 - 360 = 360 种，所以至少看到一个数字“1”的概率为 360 = 1 种． 720 2【答案】 1 2【例 15】 从立方体的八个顶点中选 3 个顶点，你能算出： ⑴它们能构成多少个三角形？⑵这些三角形中有多少个直角三角形？⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？【考点】计数求概率 【难度】3 星 【题型】解答【解析】从 8 个顶点中任取 3 个顶点都能构成三角形，所以应该有8 ⨯ 7 ⨯ 6 ÷ (3 ⨯ 2 ⨯ 1) = 56 个．如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有 8 个 不是直角三角形．所以直角三角形共有 56 - 8 = 48 个．构成直角三角形的可能性有 48 = 6 ． 56 7【答案】（1） 56 ，（2） 48 ，（3） 6 7【例 16】 一个标准的五角星（如图）由 10 个点连接而成，从这 10 个点随机选取 3 个点，则这三个点在同一 条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取 4 个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？【考点】计数求概率 【难度】4 星 【题型】解答10 ⨯ 9 ⨯ 8 3 ⨯ 2 ⨯1 其中涉及到 5 条直线，每条直线上各有 4 个点，其中任意3 点都共线，所以取这 3 点不能够成三3 120 6 6 64⨯3⨯2⨯13个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为平方厘米的三角形的概【解析】从9个点中任取3个点一共有C3==84种情况．3⨯2⨯110个点中取4个点的情形为C4=10⨯9⨯8⨯7=210种，10个点中平行四边形有10个，所以构10成平行四边形的概率为10=1．21021【答案】（1）1，（2）5，（3）16621【例17】如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取12率为多少？构成面积为1平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为3平方厘米的概率为2多少？构成面积为2平方厘米的三角形的概率为多少？【考点】计数求概率【难度】4星【题型】解答9⨯8⨯79三个点共线一共有3+3+2=8种情况．所以三个点能够成三角形的概率为1-8=19．84219个点中能构成面积为1的三角形一共有4⨯4+4⨯4=32种情况．2所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为32=8．284219个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有4⨯6+8=32种情况．所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为32=8．84219个点中能够成面积为3平方厘米的三角形的情况有4种情况．2所以三个点能够成面积为3平方厘米的三角形的概率为4=1．284219个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况．所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为8=2．8421【答案】（1）19，（2）8，（3）8，（4）1，（6）22121212121【例18】甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？【考点】计数求概率【难度】4星【题型】解答【解析】对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，所以四次传球的总路线有34=81种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件.而恰好传回到甲的情况，以第一步为甲→乙为例有如下7种情况：⎪→ 甲⎨→ 丙 → 甲 ⎪→ 丁 → 甲⎪ ⎪ 甲 → 乙 ⎨ 【解析】小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为 2 ⨯1 ⎪ ⎩→ 丁 → 甲 6 153 2【解析】法一： 5 个球任意取出两个有 C = = 10 种情况，互相之间都是互斥事件，且出现概率均等，而 2 ⨯1 10⎨ ⎩= 1 ，所以小宝成为幸运观众的概率为 1 1 =⨯ = 1 = ⎧ ⎧→ 乙 → 甲 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪→ 丙 ⎧→ 乙 → 甲 ⎪ ⎪ ⎧→ 乙 → 甲 ⎪ → 丁 ⎨ ⎪⎩→ 丙 → 甲 所以第 4 次传回甲的概率为 3 ⨯ 7 = 7 ． 81 27【答案】 7 27模块三、对立事件与相互独立事件【例 19】 一张圆桌旁有四个座位， A 、 B 、 C 、 D 四人随机坐到四个座位上，求 A 与 B 不相邻而坐的概率．【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答【解析】四人入座的不同情况有 4 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯1 = 24 种．A 、B 相邻的不同情况，首先固定 A 的座位，有 4 种，安排 B 的座位有 2 种，安排C 、D 的座位有 2 种，一共有 4 ⨯ 2 ⨯ 2 = 16 种，所以 A 、 B 相邻而座的概率为16 ÷ 24 = 2 ，那么 A 、 B 不相邻而座的概 3率为1 - 2 = 1 ． 3 3【答案】 1 3【例 20】 某小学六年级有 6 个班，每个班各有40 名学生，现要在六年级的6 个班中随机抽取 2 个班，参加电 视台的现场娱乐活动，活动中有1 次抽奖活动，将抽取 4 名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答C 1 5 1 5 = = ，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为 C 2 幸运观众的概率为 4 1 . 40 ⨯ 2 20 3 20 60【答案】 1 60【例 21】 从装有 3 个白球，2 个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率．【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答5 ⨯ 4 5 两个球都是白球有 C 2 = 3 ⨯ 2 = 3 种情况，全是白球的概率为 3 ． 3 法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为 3 ，再摸出一个白球的概率为5 3 - 1 1 ，所以两次摸出两个白球的概率为 3 ⨯ 3 ．（建议讲完独立事件再讲这一方法） 5 - 1 2 5 2 10【解析】抽中的概率依次为： 、 ⨯ 、 ⨯ ⨯ 、 ⨯ ⨯ ⨯ 、 ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ 、 ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ， 【答案】 3 10【例 22】 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代 表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 A 抽中的概率为 1 ，没抽到的概率为 5 ，如果 A 没抽中，那么 B 有 1 的概率抽中，如果 A 抽中，那 6 6 5么 B 抽中的概率为 0 ，所以 B 抽中的概率为 5 ⨯ 1 = 1 . 6 5 6同理， C 抽中的概率为 5 ⨯ 4 ⨯ 1 = 1 ， D 抽中的概率为 5 ⨯ 4 ⨯ 3 ⨯ 1 = 1 ， 6 5 4 6 6 5 4 3 6 5 4 3 2 1 1 5 4 3 2 1 1 E 抽中的概率为 ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ = ， F 抽中的概率为 ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯1 = . 6 5 4 3 2 6 6 5 4 3 2 6 由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.【答案】六个人抽中的概率相同为 16【巩固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为多少？【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答1 5 1 5 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【答案】抽中的概率依次为：1 、 5 ⨯ 1 、 5 ⨯ 1 ⨯ 1 、 5 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 、 5 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 、 5 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ， 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【例 23】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为 0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易出现几个人优秀？【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答【解析】注意他们的优秀率是互不影响的．三人都优秀的概率是 0.5 ⨯ 0.4 ⨯ 0.2 = 0.04 ，只有甲乙两人优秀的概率为 0.5 ⨯ 0.4 ⨯ (1 - 0.2 ) = 0.16 ，（或 0.5 ⨯ 0.4 - 0.04 = 0.16 ）．只有甲丙二人优秀的概率 0.5 ⨯ (1 - 0.4 )⨯ 0.2 = 0.06 ，只有乙丙二人优秀的概率 (1 - 0.5)⨯ 0.4 ⨯ 0.2 = 0.04 ，所以有两人优秀的概率为 0.16 + 0.06 + 0.04 = 0.26 ，甲一人优秀的概率 0.5 ⨯ (1 - 0.4 )⨯ (1 - 0.2 ) = 0.24 ，乙一人优秀的概率 (1 - 0.5)⨯ 0.4 ⨯ (1 - 0.2 ) = 0.16 ，丙一人优秀的概率 (1 - 0.5)⨯ (1 - 0.4 )⨯ 0.2 = 0.06 ，所以只有一人优秀的概率为 0.24 + 0.16 + 0.06 = 0.46全都不优秀的概率为 (1 - 0.5)(1 - 0.4 )(1 - 0.2 ) = 0.24 ，最容易出现只有一人优秀的情况．【答案】1 个人优秀【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为 0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答【解析】只有乙优秀的概率为 0.4 ⨯ (1 - 0.5) = 0.2 ．【答案】 0.2【例 24】 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为 40% ，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答【解析】⑴全部射中靶心的概率为 0.4 ⨯ 0.4 ⨯ 0.4 = 0.064 ．⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为 0.4 ⨯ (1 - 0.4 )⨯ (1 - 0.4 ) = 0.144 ．第二箭射中，其他两箭射空的概率为 0.4 ⨯ (1 - 0.4 )⨯ (1 - 0.4 ) = 0.144 ．第三箭射中，其他两箭射空的概率为 0.4 ⨯ (1 - 0.4 )⨯ (1 - 0.4 ) = 0.144 ．有一箭射中的概率为 0.144 + 0.144 + 0.144 = 0.432 .⑶第一箭射空，其他两箭射中的概率为(1 - 0.4 )⨯ 0.4 ⨯ 0.4 = 0.096 ．第二箭射空，其他两箭射中的概率为(1 - 0.4 )⨯ 0.4 ⨯ 0.4 = 0.096 ．第三箭射空，其他两箭射中的概率为 (1 - 0.4 )⨯ 0.4 ⨯ 0.4 = 0.096 ．有两箭射空的概率为 0.96 + 0.96 + 0.96 = 0.288 .【答案】（1） 0.064 ，（2） 0.432 ，（3） 0.288【例 25】 设每门高射炮击中敌机的概率为 0.6 ,今欲以 99% 的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射击？【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为0.4 ，配备两门高射炮那么未击中的概率为 0.4 ⨯ 0.4 = 0.16 ，如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为0.4 ⨯ 0.4 ⨯ 0.4 = 0.064 ，如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为0.4 ⨯ 0.4 ⨯ 0.4 ⨯ 0.4 = 0.0256 ，如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为0.4 ⨯ 0.4 ⨯ 0.4 ⨯ 0.4 ⨯ 0.4 = 0.01024 ，如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为0.46 = 0.004096 ．所以至少配备 6 门高射炮，同时射击．【答案】 6【例 26】 某地天气变化的概率是：如果今天晴天，那么明天晴天的概率是 3 ．如果今天下雨，那么明天晴天 4的概率是 1 ．今天是星期三，天气温暖晴好．小明一家想在星期六去泡温泉，那么星期六晴天的概 3 率是多少？【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】4 星 【题型】解答【解析】根据题意，每天的天气应该只有晴、雨两种可能，不需要考虑阴天等情况，否则是把问题复杂化， 而且这道题也没法做了．如果今天晴天，那么明天晴天的概率是 3/4．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是 1/3．也就是说：晴——晴 概率为 3 ；4 晴——雨概率为 1 ； 4 雨——晴概率为 1 ； 3 雨——雨概率为 2 ； 3可以画一个树状图把星期六是晴天的各种情况都列出来：星期三星期四 星期五晴晴星期六 晴晴雨 晴晴 晴雨雨 晴然后再分别计算四种情况的概率：3 3 3 27 3 1 1 1 1 1 3 1 1 2 1 1 ⨯ ⨯ = ； ⨯ ⨯ = ； ⨯ ⨯ = ； ⨯ ⨯ = ；4 4 4 64 4 4 3 16 4 3 4 16 4 3 3 18 所以星期六晴天的概率是 27 + 1 + 1 + 1 = 347 64 16 16 18 576【答案】 347 576。