数学建模部分概念 期末复习

数学期末考试数学建模基础数学建模是数学与实际问题相结合的一种模拟方法，通过数学模型来研究和解决实际问题。

在数学建模基础课程中，学生需要掌握一些基本的数学概念和方法，并能够运用这些知识解决问题。

本文将介绍数学期末考试中与数学建模基础相关的知识和技巧。

1. 数学建模的基本内容数学建模的基本内容包括问题的分析、建立数学模型、求解模型、验证和评价模型、模型的推广与应用等。

在数学期末考试中，通常会涉及到这些基本内容的考察。

2. 问题的分析问题的分析是数学建模的起点，也是最关键的一步。

在问题的分析中，需要对问题进行仔细的审题和理解，明确问题的要求和限制条件，并从中抽取出与数学相关的内容。

3. 建立数学模型建立数学模型是将实际问题转化为数学问题的过程。

在这一步骤中，可以运用各种数学方法和工具，如函数关系、几何图形、微积分等，来描述问题的数学本质。

4. 求解模型求解模型是将建立好的数学模型进行计算和求解，得到问题的具体答案或者结论。

在数学期末考试中，通常会给出一些具体的数学模型，学生需要根据这些模型进行运算，得到问题的解答。

5. 验证和评价模型验证和评价模型是对建立的数学模型进行检验和评估。

在这一步骤中，可以通过对模型的精确性、可靠性、稳定性等进行分析，来判断模型的优劣和适用范围。

6. 模型的推广与应用模型的推广与应用是将建立好的数学模型应用到其他类似问题中，或者对模型进行改进和优化。

在数学期末考试中，通常会考察学生对已有模型应用的能力，以及对模型进行扩展和改进的思维能力。

在数学期末考试中，数学建模基础通常是一个重要的考点。

学生需要熟练掌握数学建模的基本概念和方法，能够独立分析和解决实际问题。

同时，需要具备数学思维和创新思维，能够将数学知识灵活应用到实际问题中去。

通过数学建模基础的学习和训练，可以提高学生的数学素养和解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力。

数学建模基础不仅在学术研究和工程技术领域有重要作用，也可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

数学建模部分定义概念第一章1.1实践.数学与数学模型相关概念（1 •原型:客观存在的各种研究对象。

既包括有形的对象,也包括无形的、思维中的对象,还包括各种系统和过程等2 •模型:为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。

3 •原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础,模型是原型的提炼与升华。

原型有各个方面和各个层次的特征,而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。

二什么是数学模型（Mathematical Model对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景,加以一级抽象或多级抽象的数学概念.数学式子、数学理论等都叫数学模型。

狭义上讲.数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。

（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）数学模型不是原型的复制品,而是为了一定的目的,对原型所作的一种抽象模拟。

它用数学算式.数学符号.程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关系,是对现实世界的抽象.简化而有本质的描述,它源于现实又高于现实。

三.什么是数学建模数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。

包括:(1)对实际问题的较详细的了解、分析和判断;(2 )为解决问题所需相关数学方法的选择；(3 )针对实际问题的数学描述，建立数学模型；(4 )对数学模型的求解和必要的计算；(5 )数学结果在实际问题中的验证；(6 )将合理的数学结果应用于实际问题之中，从而解决问题。

数学建模流程图(参见教材上册P14 )1实际问题2抽象.简化.假设,确定变量和参数3根据某种、、定律"或、、规律"建立变量和参数间的一个明确的数学关系,即在此简化阶段上构造数学模型4解析地或近似地求解该数学模型5用实际问题的实测数据等来解释.验证该数学模型(若不通过,返回第2步)6投入使用,从而可产生经济.社会效益完美的图画““堇金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为1:0.618或,即长段为全段的0.618o所谓黄金分割■指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比。

数学建模重要知识点总结一、微积分微积分是数学建模中最重要的数学工具之一，它包括微分和积分两大部分。

微分是求函数的导数，用于描述函数的变化率和曲线的切线。

而积分则是求函数的不定积分或定积分，用于描述函数的面积、体积等性质。

在数学建模中，微积分可以用于建立问题的数学模型，求解微分方程和积分方程，对函数进行优化等。

例如，在物理建模中，我们经常会用到微积分来描述物体的运动、速度和加速度等。

在经济学建模中，微积分可以用来描述供求关系、利润最大化等问题。

二、线性代数线性代数是研究向量空间、线性映射和矩阵等数学对象的学科。

在数学建模中，线性代数可以用于描述多维空间中的几何关系、解线性方程组、求解最小二乘问题等。

例如，在计算机图形学中，线性代数可以用来描述和变换三维物体的位置和姿态。

在统计学建模中，线性代数可以用来对数据进行降维、拟合线性模型等。

三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的规律性和统计规律的学科。

在数学建模中，概率论与数理统计可以用于描述随机现象的概率分布、推断总体参数、假设检验等。

例如，在风险管理建模中，我们经常会用到概率论与数理统计来描述风险的分布和进行风险评估。

在机器学习建模中，概率论与数理统计可以用来对数据进行建模和推断。

四、数学优化数学优化是研究如何在给定约束条件下，找到使目标函数取得极值的方法和理论。

在数学建模中，数学优化可以用来对问题进行建模和求解。

例如，在生产调度问题中，我们可以用数学优化来寻找最优的生产计划；在投资组合优化中，我们可以用数学优化来构建最优的资产配置。

五、微分方程微分方程是研究未知函数及其导数之间关系的方程。

在数学建模中，微分方程可以用来描述系统的动力学行为、生物种群的增长规律、热传导过程等。

我们可以通过对微分方程进行数值求解、解析求解或者定性分析，来获得系统的行为特征。

六、离散数学离散数学是研究离散结构及其性质的数学学科，包括集合论、图论、逻辑和代数等内容。

考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。

一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。

问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。

（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。

A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。

(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。

数学建模知识点总结数学建模是指利用数学方法和技术解决实际问题的过程。

它是一种综合运用数学思想和数学工具对实际问题进行分析和求解的能力。

在数学建模中，需要掌握一些基本的知识点和方法才能有效地进行建模和求解。

下面将对数学建模中的一些重要知识点进行总结和介绍。

一、数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤包括问题的理解、建立数学模型、模型的求解和结果的验证四个步骤。

1. 问题的理解：在这一步骤中，需要明确问题的目标和约束条件，以及收集和整理与问题相关的数据和背景信息。

2. 建立数学模型：在这一步骤中，需要确定问题的数学描述方式，选择适当的数学方法和模型来描述问题，并将问题转化为数学问题。

3. 模型的求解：在这一步骤中，需要运用数学理论和方法对建立的数学模型进行求解，得到问题的解答。

4. 结果的验证：在这一步骤中，需要对求解结果进行验证和评估，判断模型的可行性和解答的准确性，并根据需要对模型进行修正和改进。

二、数学建模中的数学工具1. 微积分：微积分是数学建模中最基本的工具之一，它涉及了函数的极限、导数和积分等概念和方法。

在数学建模中，常常需要利用微积分来描述问题的变化规律和求解最优化问题。

2. 线性代数：线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科，它在数学建模中具有重要的应用。

在数学建模中，常常需要利用线性代数的知识来描述和处理多维数据、矩阵运算和线性方程组等问题。

3. 概率论与数理统计：概率论与数理统计是研究随机事件和随机现象的概率和统计规律的学科，它在数学建模中具有广泛的应用。

在数学建模中，常常需要利用概率论和数理统计的知识来描述和分析随机事件、概率模型和数据分布等问题。

4. 最优化理论：最优化理论是研究如何寻找最优解的数学学科，它在数学建模中具有重要的应用。

在数学建模中，常常需要利用最优化理论的知识来建立和求解最优化模型，找到问题的最优解。

5. 图论与网络流：图论与网络流是研究图和网络中的基本性质和算法的数学学科，它在数学建模中具有广泛的应用。

大学数学建模知识点总结一、概率论基础知识1. 集合论基础知识集合的概念、集合的运算、集合的性质、集合的表示方法等。

2. 随机变量及其分布随机变量的概念、随机变量的分布、离散型随机变量、连续型随机变量等。

3. 数理统计基础知识抽样、统计量、分布函数、统计分布函数、极限定理等。

二、线性代数知识1. 行列式及其性质行列式的概念、行列式的性质、行列式的运算规则等。

2. 矩阵及其运算矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的性质、矩阵的逆、矩阵的转置等。

3. 矩阵方程组矩阵方程组的概念、矩阵方程组的求解、矩阵方程组的解的存在性和唯一性等。

三、微积分知识1. 极限函数极限的定义、函数极限的性质、无穷小量、无穷大量、极限的性质等。

2. 导数导数的概念、导数的求法、导数的性质、高阶导数、隐函数的导数等。

3. 微分方程微分方程的概念、微分方程的解、微分方程的分类、微分方程的求解方法等。

四、数理逻辑知识1. 命题与命题的联结词命题的概念、命题的分类、联结词的概念、联结词的分类、逻辑联结词的性质等。

2. 推理与证明推理的概念、推理的方法、证明的方法、证明的逻辑、直接证明、间接证明、数学归纳法等。

五、数学建模方法1. 模型建立模型的概念、模型的分类、模型的建立方法、模型的验证等。

2. 模型求解模型求解的方法、模型求解的工具、模型求解的步骤等。

3. 模型分析模型分析的方法、模型分析的工具、模型分析的步骤等。

六、优化理论1. 最优化问题最优化问题的概念、最优化问题的分类、最优化问题的求解方法、最优化问题的应用等。

2. 线性规划线性规划的概念、线性规划的模型、线性规划的求解方法、线性规划的应用等。

七、统计推断1. 参数估计参数估计的概念、参数估计的方法、参数估计的性质、参数估计的应用等。

2. 假设检验假设检验的概念、假设检验的原理、假设检验的方法、假设检验的应用等。

八、时间序列分析1. 时间序列的概念时间序列的定义、时间序列的分类、时间序列的性质、时间序列的应用等。

1、图形通常是指用数学的方法所描述的几何形体；图像则是指人眼或仪器所纪录的观看景象。

2、计算机图形学主要研究的是用计算机技术来生成、显示和处理图形。

3、计算机图形学的应用：计算机辅助设计、用户接口、图示、计算机动画、科学可视化。

4、交互式计算机图形系统是（用户、计算机、图形设备、软件）组成的协调运行的系统。

5、图形软件通常分为两类：通用软件包和专用应用软件包。

6、图形输入设备：1.键盘和鼠标 2.光笔 3.数字化仪4.扫描仪5.数码相机6.三维输入设备：空间球、数据手套、数据衣等。

7、分辨率：是指屏幕在水平方向和垂直方向上能分辨的最大点数。

像素：每一个点就是一个像素。

帧：显示器屏幕上的一幅图像成为一帧，并且每一帧内容都是由“帧缓冲存储器”存储纪录。

8、点距：荧光屏上两个相同颜色荧光点之间的距离。

点距越小显示器显示图像的质量越高。

场频：又称“垂直扫描频率”，即通常所说的屏幕刷新频率，指每秒屏幕被刷新的次数，通常以赫兹（Hz）表示。

垂直扫描频率越高，图像的稳定性越好。

行频：电子枪每秒在荧光屏上扫描过的水平线数量，等于“行数* 场频”。

带宽：即视频带宽，指每秒电子枪扫描过的总像素数，等于“水平分辨率* 垂直分辨率*场频”。

9、生成直线的算法的要求：1.画的线段应是直的2.线的端点位置应正确3.线的浓度应均匀4.直线的生成速度要快10、判断任意一点（x，y），是否在多边形内，可以从该点向（负无穷，y）引直线，并计算该线与多边形交点的数n（自左向右算起）。

如果n为偶数，则点在多边形外；如果n为奇数，则点在多边形内；当直线与多边行的顶点相交时，约定如果交点处多边形的两条边位于所引直线的同一侧，交点数记为2；在两侧记为1。

11、所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。

12、齐次坐标的作用：1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。

2. 便于表示无穷远点。

3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。

大学数学模型期末总结一、前言数学模型是应用数学的一种重要形式，以代数、几何、概率统计等数学方法和计算机模拟等技术为基础，对实际问题进行描述、分析、求解与评价的科学。

在大学数学学习的过程中，数学模型是必不可少的一部分，而期末总结是对整个学期的学习和掌握程度的回顾和总结，有助于进一步提高学习效果和评估学习能力。

本文将对本学期所学的数学模型课程进行总结和回顾。

二、数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行数学描述的一种工具。

数学模型由问题的描述、变量的选择、方程的建立、求解方法的选择和模型的验证五个部分组成。

2.1 问题的描述数学模型中的问题描述主要包括问题的背景和目标，即要解决的问题是什么，为什么要解决这个问题，解决这个问题的目标是什么等。

2.2 变量的选择数学模型中的变量是指与问题相关联的所有量。

一般将变量分为自变量和因变量，自变量是可以改变的量，而因变量则是以自变量为条件而定的量。

2.3 方程的建立数学模型中方程的建立是通过变量之间的关系来揭示问题的内在规律。

这里包括建立方程、列写约束条件和确定目标函数等步骤。

2.4 求解方法的选择根据问题的性质和求解的要求，选择合适的数学方法和计算机工具进行求解。

常见的数学方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、最优化方法等。

2.5 模型的验证模型的验证是指通过真实数据对模型进行检验，检验模型的合理性和预测的准确性。

三、数学模型的应用数学模型广泛应用于工程、经济、管理、物理、生物、社会等多个领域。

以下是一些常见的数学模型应用：3.1 布尔网络模型布尔网络模型是一种描述多个变量之间关系的方法，广泛应用于信号传输、神经网络、生物系统等领域。

3.2 线性规划模型线性规划模型是通过线性关系表示问题的约束条件和目标函数，并通过线性规划方法进行求解。

常用于生产和资源分配问题。

3.3 动态规划模型动态规划模型是一种在不同时间阶段决策过程中寻找最优解的方法，常用于决策分析、资源调度、路径规划等问题。

一、 线性规划1．求解下列线性规划问题： 共20分 max z=2x 1+7x 2-3 x 3x 1+3x 2+4x 3≤30 （第一种资源限制约束）x 1+4x 2- x 3≤10 （第二种资源限制约束）x 1、x 2、x 3≥0（1） 求出该问题的最优解和最优值；（2） 第二种资源限量由10变为20，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解； （3） 增加一个新变量x 6，其目标函数系数为3，技术消耗系数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛212616a a ，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解。

解：（1）lingo 程序 max =2*x1+7*x2-3*x3;x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=10;最优解（x1 x2 x3）=（10 0 0） 最优值=20（2） max =2*x1+7*x2-3*x3;x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=20;最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0） 最优值=40或对第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到30范围内变化，最优基解不变最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最优值=40)（3）max =2*x1+7*x2-3*x3+3*x4; x1+3*x2+4*x3+x4<=30; x1+4*x2-x3+2*x4<=10;求解得到 最优解（x1 x2 x3 x4）=（10 0 0 0） 最优值=202．某校基金会有一笔数额为5000万元的基金，打算将其存入银行。

当前银行存款的利率见下表2。

取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。

校基金会计划在5年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在5年末仍保留原基金数额。

校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助校基金会设计一个基金最佳使用方案，试建立其模型。

数学建模复习资料数学建模复习资料数学建模是一门应用数学的学科，它将数学方法和技巧应用于实际问题的解决过程中。

在数学建模中，我们需要运用数学知识来建立模型，通过模型分析和求解问题，从而得出解决问题的方法和结论。

数学建模是培养学生的综合素质和创新能力的一种有效途径，因此在各个学科的学习中都有着重要的地位。

在数学建模的学习过程中，复习资料是不可或缺的。

好的复习资料可以帮助学生更好地理解和掌握数学建模的基本概念和方法，提高解决实际问题的能力。

下面将介绍一些常见的数学建模复习资料，希望对广大学生有所帮助。

首先，教材是数学建模学习的重要参考资料。

教材中包含了数学建模的基础知识和方法，通过系统的学习可以帮助学生全面了解数学建模的理论基础。

在选择教材时，建议选用权威性强、内容丰富的教材，比如《数学建模与实践》、《数学建模方法与实例》等。

这些教材涵盖了数学建模的各个方面，从理论到实践都有详细的讲解和实例分析，适合不同层次的学生。

其次，参考书是数学建模学习的重要辅助资料。

参考书通常是由专业学者编写的，内容更加深入和全面。

在选择参考书时，可以根据自己的学习水平和兴趣选择适合的书籍。

比如，《数学建模方法与应用》、《数学建模导论与实例》等，这些书籍对数学建模的理论和方法都有深入的研究和讲解，可以帮助学生更好地理解和应用数学建模的知识。

此外，网络资源也是数学建模学习的重要补充。

互联网的发展使得获取信息更加方便快捷。

学生可以通过搜索引擎、在线论坛等途径获取数学建模的相关资料和案例分析。

一些高校和科研机构也会在网上发布一些数学建模的教学视频和课件，这些资源对学生的学习有很大的帮助。

但是，在使用网络资源时，学生需要注意筛选信息的可信度和准确性，避免受到错误或不完整的信息的干扰。

最后，模拟题和试题是数学建模学习中必不可少的复习资料。

通过做模拟题和试题，学生可以检验自己对数学建模知识的掌握程度，发现自己的不足之处，并加以改进。

模拟题和试题的选择要根据自己的学习进度和水平来确定，可以选择一些历年的数学建模竞赛题目或者一些经典的数学建模题目进行练习。

《数学模型》复习提纲考试题型填空题(16分)（基本概念）简答题(24分)计算题(60分)（基本概念）复习重点章节：Ch1.建立数学模型（基本概念）§1 数学建模的背景及重要意义；§2数学建模的基本方法和步骤；§3数学模型的分类与特点、数学建模的全过程；Ch2.初等模型（基本计算）§1公平席位分配§10量纲分析与无量纲化；Ch3.简单的优化模型（基本概念）§1存储模型§2生猪的出售时机；§3森林救火Ch4.数学规划模型（基本计算）§1奶制品的生产与销售；Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）§1传染病模型；§3正规战与游击战Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）§1捕鱼业的持续收获；§2军备竞赛Ch7. 差分方程模型（基本计算）§1市场经济中蛛网模型Ch8.离散模型（基本概念）§1 层次分析模型；§2循环比赛的名次Ch9.概率模型（基本概念）§1传送系统的效率；§2 报童的诀窍；§3 随机存贮策略，（s，S）随机存储策略；2典型题型（仅作参考）1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、 模型构成 、 模型求解 、模型分析 、模型检验 、模型应用等.2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、经济模型等.3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 4 种形式．4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 幂法 、 和法 、 根法 ．5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称． 答: 描述模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型6. 写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称.答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型7.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A 、电影B 、电影C 这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.答： 目标层准则层方案层8. ．写出数学建模过程的流程图.思想性艺术性娱乐性 票房A BC评选影片309级本科《数学模型》复习提纲 数学建模过程的流程图：9. 有4支球队A 、B 、C 、D 进行单循环赛，比赛结果是这样的：A 胜B 和C ，B 胜C 和D ，C 胜D ，D 胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100011000110A ，它是双向连通的.； 令T e )1,,1,1( =，分别计算8,,3,2,1,)1()( ===-k e A s A s k k k .从而可得这4支球队A 、B 、C 、D 的名次为{A ，B ，D ，C}．实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结数学模型数学地、数值地求解模型估计参数检验模型(用实例或有关知识)符合否评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益410．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.9．某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力满员为300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元…（1分）依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 …（4分）利润目标函数z=6x+12y …（8分）如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得M（20，24）…（11分）所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润…（12分）11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：品种面粉（千克）糖（千克）蛋（千克）利润（千元）精制0.1 0.2 0.3 0.3普通0.3 0.2 0.1 0.2已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕09级本科《数学模型》复习提纲56点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x 千克和10y 千克，糕点的利润为Z （千元），由题意得此问题的数学模型为： y x Z 23max +=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,01531222153y x y x y x y x 这是一个线性规划问题.模型的求解：用图解法.可行域为：由直线,0153:1222:153:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及组成的凸五边形区域.直线C y x l =+23:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过32l l 与的交点时，Z 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+1531222y x y x 解得：23,29==y x ，5.16232293max =⨯+⨯=Z （千元）. 故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.12．试求Gompertz 模型：()Ex xNrx dt t dx -=ln 的非零平衡点，并讨论其稳定性．记 Ex xNrx x F -=ln)( 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴非零平衡点为r ENe x -=0．又 ()E r xNr x F --=ln'，()00'<-=r x F ．∴ 平衡点o x 是稳定的. y6 5(3/2,9/2) 432 (9/2,3/2) L1 1 x0 1 2 3 4 5 6 x+y=6 3x+y=15 L3 L2709级本科《数学模型》复习提纲13开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期t 与其椭圆轨道长半轴l 、太阳与行星的质量m 、万有引力常数k 有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期t 的表达式.（万有引力定律公式为：221rm m k f =）解：设t ,l ,m ,k 的关系为(f t ,l ,m ,k )=0.其量纲表达式为100][T M L t =，001][T M L l = ，010][T M L m =，2][-=LMT k 2L 2-M =213--T M L ,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A= )()()()()()()(200111003010k m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=+02y - y 0 y y 0y 3y 414342 的基本解为)1,1,3,2(---=Y 由量纲i P 定理 得1132---=k m l t π. ∴ km l t 3λ=，其中λ是无量纲常数.14. 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品价格k y 的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1）80,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（5） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（6） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．15．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,并求此时渔场鱼量水平*0x .解：（1）.)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nx rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x N r ----（1）909级本科《数学模型》复习提纲 )4(42N hr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNh N x -±= ① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；②当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =.Nrxr N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性.但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x f --= ，即0 dt dx ∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点： 2411rNh N N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x ， 22Nx ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max Nx rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N .16. 与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNrx dt t dx ln )(.= 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Ex h =.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x .解：（1）)(t x 变化规律的数学模型为Ex xNrx dt t dx -=ln )( 记Ex x N rx x f -=ln )( ，令0)(=x f ，即 Ex xNrx -ln ＝010得到两个平衡点：（如图所示）rENex -=0，01=x可证0x 稳定，01=x 不稳定e rN xN rx ln （与E ，r 的大小无关）. ExE r xNr x f --=ln)(' 0)(0'<-=r x f ， o x∞=)(1'x f eN0x N（2）最大持续产量的数学模型为：max h ＝Ex s.t. 0,0ln≠=-x Ex xNrx ∴ r E ENe h -= r Er E e rEN Ne dE dh ---= 由0=dE dh ，得E r m = ，故最大持续产量erN h m = 此时捕捞强度E r m =，渔场鱼量水平eN x =*0.17. 考虑某地区传染病问题，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为单位.将人群分为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i ，又设每个病人每天有效接触的平均人数是λ.试建立描述()t i 变化的数学模型，并作出i dtdi~图形.P13611 09级本科《数学模型》复习提纲18. 一食品加工厂用牛奶生产21,A A 两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤1A ，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤2A ，每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤1A ，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.(线性规划,同11题)。

数学建模：一、选择题(5*3'15':1. Matlab基本知识；2•数组点乘、点除：设：a=[a1,a2,…,an], c=标量则：a.*c=[a1*c,a2*c,…,an*c](点乘)a./c= [a1/c,a2/c,…,an/c](右除) a.\c= [c/a1,c/a2,…,c/an](左除)3.重积分：(P9)在Matlab中可以使用int()函数求解积分问题，其调用的具体格式为int(fun,x,a,b) 其中x为积分变量，a,b分别是积分下限和积分上限•当a,b去取成或inf时，可以计算无穷限非正常积分•对多元函数的重积分，可先经过数学处理将重积分转化为多次积分，每次积分针对积分变量调用int ()函数处理。

矩阵的鞍点：(P80)二、填空题(15'：1•第一章中Matlab基本知识；2. 产生5阶随机矩阵：R=rand (m,n) 产生6阶单位阵：E=eye( m,n)3. 多项式的根：(P58)当f(x)为多项式时可用：r=roots(c)输入多项式系数c (按降幕排列)，输出r为f(x)=0的全部根；c=poly(r)输入f(x)=0的全部根r,输出c为多项式系数(按降幕排列)；df=polyder(c)输入多项式系数c (按降幕排列)，输出df为多项式的微分系数例求解x3-x+1=0例求解x2-ax+b=0解输入s= ‘ x A2-a*x+b' ;x=solve(s,' x' )可得x=[1/2*a+1/2*(aA2-4*b)A(1 /2)][1/2*a-1/2*(a A2-4*b)A(1 /2)]..例求非线形方程组」X=asin(x)+bcos(y)Y=ccos(x)+ds in(y) 先建立m 文件myfun .mfun cti on q=myfu n( p,a,b,c,d) x=p(1);y=p(2);q(1)=-x+a*si n(x)+b*cos(y); q(2)=-y+c*cos(x)+d*si n(y);然后输入a=0.6;b=0.3;c=0.6;d=-0.3;xO二[0.5,0.5]' ; %初始值[x,fv]=fsolve(@myfu n,x0,[],a,b,c,d) 或opt=optimset( ‘ Maxlter ' ,2);[x,fv,ef,out,jac]二fsolve(@ myfun, x0,opt,a,b,c,d)4. 差分方程的解：（P157）一阶常系数线性差分方程Y n 1 一ay. = f (n) (a = 0) (8.3) y n ay“ = 0迭代法：设Y O已知，将n =0,1,23依次代入y n1=ay n中，得Y I= ay°,y2 二ay厂a2y o, ay^ a3y°,lll般地，y n = a n y°(n = 0,1,2,3 …)容易验证：y n=a y。

数学建模知识点总结大学一、概述数学建模是指运用数学方法和技巧，通过对实际问题的抽象、描述、分析和求解，得出定量的结果和结论，以解决现实问题的一种方法。

数学建模是一门综合性强、应用性广的学科，它要求掌握多种数学理论和方法，并善于将数学工具与实际问题相结合，用数学语言描述现实，解决实际问题。

数学建模的基本过程包括问题的建立、模型的建立、模型分析和结果验证四个环节。

数学建模的应用范围广泛，包括管理、经济、自然科学、工程技术等各个领域。

二、数学建模的基本概念1. 数学模型数学模型是对客观世界中某一系统的描述或抽象，通常用数学符号和方程式来表示。

数学模型是用数学语言建立起来的，其优点是结构清晰、精确明了。

根据模型中变量的类型和表达方式，数学模型分为连续模型和离散模型。

连续模型是指自变量和因变量是连续的，离散模型是相反的情况。

数学模型的建立需要经验和知识，并且通常依赖于具体的问题类型。

2. 数学建模的基本流程数学建模的基本流程包括问题的建立、模型的建立、模型分析和结果验证。

问题的建立是指对实际问题进行清晰的描述和阐述，明确目标和方法。

模型的建立是指将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。

模型分析是指对数学模型进行求解和分析，并得出结论。

结果验证是指将数学模型的结果与实际问题进行比较，验证数学模型的有效性。

3. 数学建模的方法数学建模的方法包括定性建模和定量建模。

定性建模是指对某一现象的特征进行描述和分析，不考虑具体数值，例如通过图表、影响因素分析等方法，定性分析某一现象的规律。

定量建模是指对现象的具体数值进行刻画和分析，建立数学模型，通过数学公式和方程式描述现象，进行具体的计算和分析。

4. 数学建模的应用数学建模在工程技术、物理学、生物学、环境科学、经济学、管理学等各个领域都有广泛的应用。

例如在工程设计上，可以通过数学建模优化设计参数，提高性能；在经济学领域，可以通过数学建模分析市场供需、成本收益等问题；在环境科学领域，可以通过数学建模预测气候变化、环境污染等问题。

1、设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量x （t ）成正比，设市场容量为N ，试确定产品销售增长曲线。

设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率txd d 与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ，统计表明txd d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有txd d =kx(N=x)， (1043)其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x(t)=kNtC N-+e 1 (1044)方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(1044)也称为逻辑斯谛曲线．由t x d d =()221kNt kNtC k CN --+e e 以及22t x d d =()3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-ee e ， 当x(t*)＜N 时，则有txd d ＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)2N 时，22tx d d 0;当x(t*)＞2N 时，22t x d d ＜0；当x(t*)＜2N 时，22txd d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时，产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．2、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为r ，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？ 解：（1）设月利率为r ，按月按复利进行计算， 第一个月存款所得的复利终值为1F =60)1(100r +; 第二个月存款所得的复利终值为2F =59)1(100r +； 第三个月存款所得的复利终值为3F =58)1(100r +；rn n n r n C p --⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212121rn n n rn C p --⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212122r n nr n r n n n r n C C p p p ----⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22221212121〃〃〃〃〃〃第五年的最后一个月存款所得的复利终值为60F =)1(100r +。

《数学建模》复习资料(一)一、解答题1. 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。

生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。

生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。

该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？(建立模型不计算)。

2. 记时刻t渔场鱼量为)(t x，在无捕捞时)(t x的增长服从Logistic规律，单位时间的捕捞量与渔场鱼量)x成正比，比例常数为E，试求满足什么条件时渔场鱼(t量稳定，怎样才能获得最大的持续产量？3. 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。

问三人合作时如何分配获利？（1）求出协商解、最小距离解与Raiffa解。

（2）如果甲乙丙三人单独经商时各获利1元，用Shapley合作对策对三人合作时的获利进行分配。

（3）试用以上数据说明合作对策中三类分配方法的特点。

4. 生产与存贮问题：一个生产项目，在一定时期内，增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量，就会因积压增加存贮费而造成损失。

相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。

因此,如何正确地制定生产计划，使得在一定时期内，生产的成本费与库存费之和最小，这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。

假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。

但由于生产条件的变化，该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。

今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示：月份( k)： 1 2 3 4 5 6月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4单位工时(ak)： 11 18 13 17 20 10设库存容量H = 9，开始时库存量为2，期终库存量为0。

数学建模知识点总结一、数学建模概述1.1 数学建模的概念数学建模是利用数学方法和技术解决实际问题的过程，是将实际问题抽象成数学模型，再通过数学分析和计算来解决问题的一种方法。

数学建模可以应用于工程、科学、经济、环境等各个领域，对于解决复杂的实际问题具有重要的作用。

1.2 数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤包括问题分析、建立数学模型、求解模型、模型验证和应用。

在处理实际问题时，首先要对问题进行充分的分析，然后建立相应的数学模型，再通过数学方法来求解模型，最后对模型进行验证和应用。

1.3 数学建模的应用范围数学建模的应用范围非常广泛，可以涉及到自然科学、社会科学、工程技术等各个领域。

例如，在工程领域可以用数学建模来设计飞机、汽车、桥梁等结构的强度和稳定性；在环境科学领域可以用数学建模来研究气候变化、环境污染等问题；在生物医学领域可以用数学建模来研究人体的生理过程。

1.4 数学建模的意义数学建模可以帮助人们更好地理解实际问题，设计出更优秀的工程产品，提高生产效率，优化资源配置，解决环境污染等问题，对于推动科技进步和社会发展具有重要的意义。

二、数学建模的数学基础2.1 微积分微积分是数学建模的基础。

微积分是研究变化的数学分支，包括导数、积分、微分方程等概念。

在数学建模中，微积分可以用来描述变化率、优化函数、求解微分方程等问题。

2.2 线性代数线性代数是数学建模的另一个基础。

线性代数是研究向量、矩阵、线性方程组等概念的数学分支，可以用来描述多维空间的几何关系、解决大规模线性方程组等问题。

2.3 概率论与统计学概率论与统计学是数学建模的重要工具。

概率论研究随机事件的概率分布、随机过程等概念，统计学研究数据的收集、处理、分析等方法。

在数学建模中，概率论和统计学可以用来描述随机现象、分析数据、评估模型等问题。

3.1 最优化方法最优化方法是数学建模常用的方法之一。

最优化方法是研究如何找到使目标函数取得最大（小）值的变量取值。

数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解第一部分 基本理论和应用1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？6. （15分）设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2nS 为样本二阶中心矩，2S 为样本方差，问下列统计量：（1）22σnnS ，（2）1/--n S X n μ，（3）212)(σμ∑=-ni iX各服从什么分布？7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内.10. （15分）设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.答案第一部分 基本理论和应用 1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 解：设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)Xb ……………2分(0,1)N （近似） ……………3分 {69007100}210.971P X ≤≤=Φ-= …………5分 2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测，得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间. 解： T =(1)X t n - 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ………4分0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n -<<+-= ………………4分 所求为（1485.61，1514.39） …………2分3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 解：(0,1)X N ………………3分{1.4 5.4}21P X P <<=<=Φ- ……………4分解210.95Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ……………3分4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.解： 1101()(2E X dx θθθθ++==+⎰+1)x ……………3分 解12X θθ+=+，得θ的矩估计量为211X X -- ……………2分 1()1()ni i L x θθθ=+∏n＝（） 1ln ln 1ln nii L n x θθ==+∑（）+ ……………2分令1ln ln 01ni i d L nx d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为11ln nii nX=--∑ …………3分5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解：（1）2EX θ=，令2X θ=，得θ的矩估计量1ˆ2X θ=； ……………5分 似然函数为：()12121,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其它其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==。

数学建模期末知识总结一、数学建模的基本概念和方法数学建模是一种通过数学方法来描述、分析和解决实际问题的过程。

它是将实际问题抽象为数学模型，并运用数学理论和技巧进行定量分析和解决的一种方法。

数学建模的基本方法有三种：经验建模、类比建模和理论建模。

1. 经验建模：这种建模方法基于经验和规律，根据已有的数据和知识来建立模型。

通过寻找观察到的规律和现象，进而通过数学公式或图表进行描述和预测。

这种方法适用于问题比较简单，没有复杂的内在机制和规律的情况。

2. 类比建模：这种建模方法是将一个相似的问题或系统作为模板，通过类比得出与实际问题相似的模型。

类比建模要求找到与实际问题相似的关系，并将相似的情况应用于实际问题的分析和解决。

这种方法适用于问题比较复杂，但与已知的问题相似的情况。

3. 理论建模：这种建模方法是根据理论原理和数学模型来描述和解决实际问题。

它要求将实际问题转化为数学问题，并运用数学理论和技巧进行分析和解决。

这种方法适用于具有明确的数学模型和理论依据的问题。

二、数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤包括问题的分析、建立数学模型、进行模型分析与计算、验证模型以及模型的优化。

1. 问题的分析：对于实际问题，首先要对问题进行充分的了解和分析。

要搞清楚问题的背景和条件，明确问题的要求和目标，并将问题抽象为数学问题。

对问题的分析是建立数学模型的前提。

2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学方法和工具，建立数学模型。

数学模型是实际问题的抽象描述，包括变量的定义和关系的建立。

数学模型的建立需要考虑问题的尺度、假设和约束条件等。

3. 进行模型分析与计算：建立好数学模型后，需要对模型进行分析与计算。

通过数学分析和计算，得出模型的解析解或数值解。

这一步需要根据实际情况选择合适的数学工具和计算方法。

4. 验证模型：对于得到的模型解，需要对模型进行验证。

这一步是检验模型的准确性和有效性的过程。

可以通过比较模型的预测结果与实际观测数据的符合程度来验证模型。

《数学建模》课程期末复习辅导考试说明数学建模课程是数学与应用数学专业的限选课，是一门教学生试着用数学方法去解决实际问题的应用性较强的课程。

因此，本课程的基本命题原则是按照课程教学大纲的要求，在考核说明所规定的范围内，既要注意考核知识点的覆盖面和突出重点，也要充分体现广播电视大学远程开放教育教学模式和培养师范类应用型人才的特点．因此，本课程的期末考试主要检查学生对数学建模基本理论的理解、基本方法的掌握，以及运用所学的基本理论和基本方法去分析问题、建立实际问题数学模型的能力．试题类型分为：填空题、分析判断题和计算题．填空题只要求直接填写结论，不必对结论进行解释；分析判断题要求给出合乎要求的判断结论，但需要进行简明扼要的解释；计算题要求写出运算过程与答案．四种题型分数的百分比大致为：填空题20%，判断题30%，计算题50%。

关于试题的难易情况的说明：期末试题按其难易程度分为三类，即容易题、中等题和较难题，这三类题在期末试卷中的比例大体为5：3：2．关于各章的复习要求与重点在本课程的考核说明和期末复习辅导文章中都有，请大家自己认真阅读.期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为60分，考试时间为90分钟。

考试可以携带计算器。

综合练习 一、填空题1．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那么人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ．应该填写：rt x t x e )(02．在建立人口增长问题的罗捷斯蒂克模型时，假设人口增长率r 是人口数量)(t x 的递减函数，若最大人口数量记作,m x 为简化模型，采用的递减函数是 ．应该填写：)1()(mx x r x r -= 3．马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 ．应该填写：增长率是常数还是人口的递减函数4．设年利率为0.02，则8年后10万元的现值按照复利计算应为 ．（精确到元）应该填写：5349.851501088≈=Q （万元）5．若银行的年利率是x %，则需要时间 ，存入的钱才可翻番． 应该填写：%)1ln(/2ln x +6．若按照复利计算20万元10年后的终值是1092132.5779()20=万元，则年利率应为 ．应该填写：0.057．一个学生的学习成绩s 与其知识基础雄厚度x 、周边环境的恶劣度y 、努力程度z 三者的关系可以用模型来表达.应该填写：x zs ky⋅= 8．假设,,21x C Y Y C S ∝∝则S 与x 的数学关系式为 ，其中21,C C 是常数． 应该填写：kx x C C k k S ==2121，其中2121C C k k k =9．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出100件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 ．应该填写：**20,2000T Q ≈=10．设某种物资有两个产地21,A A ，其产量分别为10、20，两个销地21,B B 的销量相等均为15．如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为,a 则最优运输方案与运价具有 两个特点．应该填写：最优运输方案不惟一；总运费均相等 11．一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 ．应该填写：奇数顶点个数是0或212．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 ． 应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析 二、分析判断题1．我们时常看到教学楼内、食堂和宿舍楼内的长流水现象，这自然是极大的浪费. 为了建设节约型学校，需要你对节水问题给予解决. 那么你将考虑哪些相关因素？试至少给出5个．解 （1）更换自来水龙头及其费用、节约下来的水费两个因素，两者的比较可用于确定建模目标；（2）数据调查：学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水限量、定时定量供水的可行性调查，临时申请用水问题等因素．2．有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。