数学建模部分定义概念
第一章
1.1实践、数学与数学模型
一、相关概念（特定对象特定目的特有内在规律）
1.原型：客观存在的各种研究对象。既包括有形的对象，也包括无形的、
思维中的对象，还包括各种系统和过程等
2.模型：为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构
造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。
3.原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础，模型是原型的提炼与
升华。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求反映与某些目
的有关的那些方面和层次。
二、什么是数学模型（Mathematical Model
对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的,根据特
有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到
的一个数学结构。
广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景，加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都叫数学模型。
狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。
（我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）
数学模型不是原型的复制品，而是为了一定的目的，对原型所作的一种抽象模拟。它用数学算式、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属
性与内在关系，是对现实世界的抽象、简化而有本质的描述，它源于现实又
高于现实。
三、什么是数学建模
数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。包括：
（1）对实际问题的较详细的了解、分析和判断;
（2）为解决问题所需相关数学方法的选择;
（3）针对实际问题的数学描述,建立数学模型;
（4）对数学模型的求解和必要的计算;
（5）数学结果在实际问题中的验证;
（6）将合理的数学结果应用于实际问题之中,从而解决问题。
四数学建模流程图（参见教材上册P14）
1实际问题
2抽象、简化、假设，确定变量和参数
3 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系，即
在此简化阶段上构造数学模型
4解析地或近似地求解该数学模型
5用实际问题的实测数据等来解释、验证该数学模型（若不通过，返回第2步）
6投入使用，从而可产生经济、社会效益
完美的图画----黄金分割
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整
体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为
1:0.618或1.618:1，即长段为全段的0.618。
所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于
全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
计算黄金分割最简单的方法: 计算斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,... 从第
二位起相邻两数之比，1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...的近似值。
1.2 八步建模法
1. 问题提出
2.量的分析
3. 模型假设
4. 模型建立
5. 模型求解
6. 模型分析
7.模型检验
8. 模型应用
数学建模采用的方法（详见教材P11）
1. 机理分析法: 在对研究对象内部机理分析的基础上, 利用建模假设所给出的建模信息或前提条件及相关领域知识、相应的数学工具来构造模型。
2. 系统识别建模法: 对系统内部机理不清楚的情况下, 利用建模假设或实际对系统的测试数据所给的系统的输入输出信息及数据, 用纯粹的数学方法确定模型形式，借助于概率论和数理统计来辨识参数构造模型。
3. 仿真建模法: 利用各种仿真方法建立数学模型。
4. 相似类比建模法: 借助于相似原理和事物之间的类比关系进行建模的方法，是根据不同研究对象之间的某些相似性（数学相似、物理相似和其他相似）借用移植领域的数学模型老构造数学模型的方法。
1.3 数学模型的分类（参见教材上册P15）
1、按建模的数学方法划分：初等模型、数学规划模型、微分方程模型、
差分方程模型、概率统计模型、图论模型、模糊模型和灰色模型等；
2、按建模中变量特点划分：确定性模型与随机性模型、静态模型与动
态模型、线性模型与非线性模型、离散模型与连续模型；
3、按应用领域划分：人口模型、交通模型、环境模型、规划模型、生
态模型、资源模型等；
4、按建模的目的划分：描述模型、预测模型、优化模型、决策模型、
控制模型等；
5、按对问题的了解程度划分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；
分类5的具体解释：
（1）白箱模型(White Box)
对系统相当了解，利用系统的机理方程建立起来的数
学模型，通常采用机理建模。
（2）黑箱(Black Box)模型
对系统并不了解，利用实验得到的输入输出数据来构
建系统的等价模型，通常采用统计建模。
（3）灰箱(Gray Box)模型
介于白箱模型和黑箱模型之间的模型。
1.4 数学模型特点与建模能力培养
一、数学模型的特点
1、逼真性和可行性：模型越逼真就越复杂,应用起来费用越高,常与取得的效益不成正比。所以需要对逼真性与可行性进行折衷。
2、渐进性：数学模型通常不会是一次就成功的,往往需要反复修正,逐渐完善。
3、强健性：对于已建好的数学模型,当观测数据有微小的改变或者模型结构及
参数发生微小变化时,模型求解的结果也随之发生微小的变化。
4、可转移(移植)性：数学模型是现实对象抽象化产物，它可能与其它领域其它
事物有共性。常常好多领域不同事物却共有几乎相同数学模型。
5、非预制性：大千世界变化莫测,千姿百态,不能要求把所有的模型做成预制品供我们使用。建镆时遇到的问题往往事先没有答案, 因此必须创新,产生新方法、新概念。
6、条理性：从建模角度出发,人们对现实对象分析应该全面、深入,
更具有条理性。即使建模失败，对解决研究实际问题也是有利的
7、技艺性: 建模与其说使一门技术,不如说是一种技艺很强的技巧
艺术。期间经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉灵感起的作用
往往比数学知识更大。人的知识是有限的,想象力是无限的。
8、局限性: 由于建模时往往会把现实对象简化、近似、假设,因此当模型应用到实际时就必须考虑被忽略的简化因素。于是结论往往是相对的、近似的。另外，由于人类认识能力受科学技术以及数学本身发展水平的限制，至今还有不少实
际问题没有建立出有价值的实用的数学模型，如中医诊断等。
二、数学建模能力的培养（教材上册P16）
（1）数学知识的积累；
（2）学好数学模型课，多看、多学数学建模案例；
（3）留心各样事物，培养观察能力和用数学解决问题的思想；
（4）需要丰富的想象力与敏锐、深刻的洞察力；
（5）兴趣是学习的动力，努力培养建模兴趣；
（6）与计算机的紧密关联，学会使用相关软件；
（7）虚心学习，注重团队意识和团结协作；
（8）学会类比，做到“由此及彼和由彼及此”，培养发散思维能力；（9）培养自学能力，能快速获取新知识，并能学以致用；
（10）学会从杂乱无章的各种信息中快速挑选收集有用信息，利用
图书馆、网络查找相关资料。
第二章初等数学模型
2.1 比例分析法建模
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体
的构成或者结构。数学上表示两个比值相等的式子叫做比例。在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。求比例的未知项的过程，叫做解比例。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例的关系。如果两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
比例在日常生活中的重要应用】
比例是最基本、最初等的数学概念之一，日常生活中的许多实际问题所指向的对象都蕴含着比例关系，运用比例关系可以建立数学模型，对实际问题进行描述与求解。
例如：若两个物体的特征长度之比为1:λ，则其表面积的比例为1:λ2，其体积的比例是1: λ3。这反映了一些实际对象中包含的变量之间满足的内在规律。（详见教材上册P18）
本节研究“商品包装成本的确定问题”的数学建模问题。
、
2.6 图论方法在数学模型中的运用
一、图论的起源
图论是组合数学的一个分支，起源于1736年欧拉的第
一篇关于图论的论文, 这篇论文解决了著名的哥尼斯堡七
桥问题，从而使欧拉成为图论的创始人。
在图中，用点代表各个事物,用边代表各个事物之间的二元关系。因此
图是研究集合上二元关系的工具,图论给含有二元关系的系统提供了数学模
型,是建立数学模型的重要手段。由于计算机的迅速发展, 有力推动了图论
的发展,使得图论成为数学领域里发展最快的分支之一。
二、相关的图论知识
定义(图) 图是一个有序二元组G ＝{V(G),E(G)},其中V(G)＝{v i }为
顶点集, E(G)＝{e k }为边集, V ＝V(G)中的元素v i 称为顶点,E ＝E(G)中的
元素e k 叫做边。顶点总数记为|V(G)|, 边的总数记为|E(G)|。
若|V(G)|=n,则称G 为n 阶图
若|V(G)|与|E(G)|均为有限数，,则称G 为有限图
在有向图中,一条有向边是由两个顶点组成的有序对,有序对
通常用尖括号表示。有向边也称为弧(Arc ), 边的始点称为弧尾
(Tail ),终点称为弧头(Head )。
例如
点。因此
例1.有向图示例(见右图)
给定有向图G ＝{V ,E }，其中
顶点集为V ＝{a ,b ,c ,d },
边集为E ＝{e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7}
二、相关的图论知识
图的每条边都是有没有方向的，则称G 为无向图(Undigraph )。
无向图中的条称为无向边，均是顶点的无序对，无序对通常用圆
括号表示。例: 如果(v i , v j )表示一条无向边,则(v i , v j )=(v j , v i )。
例2.无向图示例(见右图)
给定无向图G ＝{V ,E }，其中
顶点集为：V ＝{v 1,v 2,v 3,v 4},
边集为：E ＝{e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7}
或者
E ＝{(v 1,v 1),(v 1,v 2),(v 2,v 3),(v 3,v 2),(v 2,v 5),(v 1,v 5),(v 4,v 5)}
定义(无向图)若G 的每条边头尾不分，即,称G 为无向图。
()G e uv vu φ==
（1）若G 是无向图, 则0≤e≤n(n -1)/2。称恰有n(n-1)/2条边的无向图
称为无向完全图(Undirected Complete Graph)。
图G 的顶点数n 和边数e 的关系：
（2）若G 是有向图, 则0≤e ≤n(n-1)。称恰有n(n-1)条边的有向图称为
有向完全图(Directed Complete Graph)。
例如：下图1中,a =a ，e 1=〈a ,a 〉是环；下图2中,v 1=v 1，e 1=(v 1,v 1)是环
。
定义4(环)若v i =v j ,则e k =(v i ,v j )称为环，或回路。
图1 有向图图2 无向图
三、最短轨道问题
给定连接若干个城市的铁路网,寻找从指定的某城市到其余城市的最短路。解决该问题的数学模型如下
设 w : E(G)→R, w(e)叫做图G 中的边e 的权。对任意的A ∈V(G), 寻找轨道 P(A 0 , A),使得 w (P(A 0 , A))=min{w (A)}, A ∈Φ, 其中Φ是从A 0到轨道的集合，
w(A)是轨道A上各边权之和。
求解该最短路问题的迪克斯
设d(A)表示A到A0的距离。
(1) 令d(A0)=0, d(A)=+∞, A0≠A ; S0={A0}, i=0；
(2) 对每个A S i , 用min{d(A) , d(A i)+w(A i A)}代替d(A), 若 A i+1是使d(A)取
最小值的中的顶点( 是S i的补集), 令S i+1=S i∪{v i+1}；
(3) 若i=α-1, 停止; 若i<α-1, 则由i+1代替i, 转(2)。
第四章
三如何将原问题转化为对偶问题
原问题对偶问题
1 目标函数求max S目标函数求min Z
2 目标函数中的系数c i约束条件中的右端项c i
3 约束条件中的右端常数项b j目标函数中的系数b j
4 约束条件的系数矩阵A约束条件的系数矩阵A T
5约束条件有m个对偶变量有m个
6决策变量有n个约束条件有n个
7约束条件为"≥"("≤",=)对偶变量"≤"("≥",无限制)
8决策变量"≥"("≤",无限制)约束条件为"≥"("≤","=")
对称形式的对偶线性规划问题的矩阵表示
原问题???≥≤=0X b AX CX .. max t s S 对偶
问题???≥≥=0
Y C YA Yb .. min t s Z 其中()()()
T 21T 2121,,,,,,,,,,m n n y y y x x x c c c ===Y X C ??????
? ??=??????? ??=m mn m m n n b b b b a a a a a a a a a ,212122221
11211A
原问题
对偶问题()?????????=≥≤+++≤+++≤++++++=n i x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s x c x c x c Z i m n mn m m n n n n n
n ,,2,10 .. max 2
21122222121112121112211
()
?????????=≥≥+++≥+++≥++++++=m i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s y b y b y b W i n m mn n n m m m m m m ,,2,10 .. min 2
21122222112112211112211 或者???≥≤=0x b Ax cx
.. max t s Z ???≥≥=0
y c yA yb .. min t s W
例: 写出下列LP 问题的对偶问题
???????≤≥≥-+-=-+-≤+--+=0,08
52353410..342 max 213213213213
21x x x x x x x x x x x t s x x x S ???????≤≥-=--≤++-≥+-+-=0
,03
53242423..8510 min 31321321321321y y y y y y y y y y y t s y y y Z \
非对称形式的对偶线性规划的对偶原则
（1）如果在原规划问题中，第k 个约束条件为等式，则在其对偶问题中 第k 个对偶变量无非负限制；反之，如果原规划问题的第k 个决策变量无 非负限制，则其对偶问题的第k 个约束条件应该为等式。
（2）如果原规划问题是求最大值，且第k 个约束条件为“≥”形式，则在 其对偶问题中，第k 个对偶变量y k ≤0；如果原规划问题是求最大值，且第k 个决策变量x k ≤0，则其对偶问题中，第k 个约束条件为“≤”形式
（3）如果原规划问题是求最小值，且第k 个约束条件为“≤”形式，则在 其对偶问题中，第k 个对偶变量y k ≤0；如果原规划问题是求最小值，且第k 个决策变量x k ≤0，则其对偶问题中，第k 个约束条件为“≥”形式。
4.8 动态规划模型
动态规划 是求解决策过程的一种最优化的数学方法。20世纪50年代初，美国数学家R.E.Bellman 等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最佳原理 把多阶段决策求解问题转化为逐个求解一系列单阶段决策问题, 这种求解最优化问题的方法叫动态规划方法
动态规划方法主要用于求解以时间划分阶段的动态决策过程的优化问题。 但是对于某些与时间无关的静态规划问题，如果可以人为地引入时间因素，把
它视为多阶段决策过程的问题，则也可以用动态规划方法方便地求解。
二、动态规划方法的基本原理---最佳原理
最佳原理
一个最优策略有这样的特性，不论初始状态和初始决策如何，相对于第一个决策所形成的状态来说，余下的决策必定构成一个最优策略。即：每个最佳策略只能由最佳子策略组成
三、动态规划方法的重要性质---无后效性原
所谓无后效性原则：指的是这样一种性质：某阶段的状态
一旦确定，则在这个阶段以后过程的发展与演变不再受此前各
状态及决策的影响。即“未来与过去无关”。这个性质称为无后
效性，又称为马尔科夫性。
具体地说：如果一个问题被划分为若干个阶段，那么阶段
k+1中的状态只能通过阶段k中的状态经由状态转移方程得到，
与其他状态没有关系，特别是与尚未发生的状态没有关系。
四、动态规划问题的研究内容
1. 最短路径问题
2. 资源分配问题
3. 投资决策问题
4. 生产计划与库存问题
5. 排序问题
6. 货物装载问题
7. 生产过程中的最优控制问题
五、动态规划模型的种
按照决策过程的演变是确定的还是随机的，动态规划模型分为以
下两种类型：
1、确定性动态规划
2、随机性动态规划
按照决策变量的取值是连续的还是离散的，动态规划模型分为以下两种类型：
1、连续性动态规划
2、离散性动态规划
六、动态规划模型的基本概念
1. 多阶段决策问题
多阶段决策问题，是指这样的一类特殊的活动过程，它们可以按照时间和空间依次划分为若干个相互联系的阶段，在每一个阶段中，都需要做出一定的决策（备选方案），全部过程的决策集形成一个决策序列，这种考虑整个决策过程中各个阶段决策的全体又称为一个策略，这类问题就是多阶段决策问题。
2.动态规划问题的基本概念
(1)阶段 (2)状态 (3)决策 (4)策略 (5)状态转移方程 (6)指标函数
七、动态规划的求解的两种方法
（1）逆序递推法
（2）顺序递推法
第五章对策模型
对策的分类：对策从不同的角度可分以下几种类型
（1）按局中人的数量多少：二人对策、多人对策。
（2）按策略的数目：有限对策、无限对策。
（3）按赢得函数的特点：零和对策、非零和对策。
（4）按局中人是否结盟：结盟对策、不结盟对策。
决策的分类
1、确定型决策：当状态只有一种时的决策问题是确定型决策。
2、风险型决策：当未来情况和条件不完全确定，但这些状态出现的概率已知,这种条件下所作的决策具有一定的风险性，所以此类决策称为风险型决策。
3、不确定型决策：在未来情况和条件不完全清楚、又无法估计其出现的概率，在此情况下所进行的决策为不确定型决策。
一般的决策问题具备的基本要素
1、自然状态：决策问题中不受决策者主观影响的客观情况，称为自然状态 或客观条件，简称状态，记作k j 。
2、状态概率：指各自然状态出现的概率，记作p i =p(k i )。
3、策略：可供决策者进行决策的各个行动方案称为策略或方案，记作A i
(i=1,2, …,m)。
4、益损值：每个行动方案A i 在各自的状态k i 下的经济收益或损失值称为益损 值，一般用S ij 表示。
5、益损矩阵：将益损值按原有次序构成的矩阵称为益损矩阵，记作M 。
6、益损函数：决策的目标要能够度量判断，度量决策目标值的函数称为
益损函数S 。它是决策变量A i 与概率分布k j 的函数。
7、决策模型：在决策理论中广泛应用的模型。通常表示为
风险型决策具备的条件
（1）有且只有一个决策目标（如收益较大或损失较小）
（2）存在两个或两个以上的行动方案
（3）存在两个或两个以上的自然状态
（4）决策者通过计算、预测或分析估计等方法，可以确定各种自然状态未来 出现的概率。
（5）每种行动方案在不同的自然状态下的益损值可以计算出来。
()()
n j m i k A F S j i ,,2,1;,,2,1,, ===
风险型决策的三种解决方法
1．最大可能准则决策方法
2．决策表法
3. 决策树法
不确定型决策的特点：
只知道有几种可能自然状态发生，但各种自然状态发生的概率未知。所以不能用期望准则方法解决不确定型决策。1．乐观决策方法（max max原则）
2．悲观决策方法（max min原则）
3．乐观系数法（Hurwitz法）
4．平均值决策法（Laplace方法）
5．遗憾准则法（min max遗憾准则法）
数学建模部分定义概念 第一章 1.1实践.数学与数学模型 相关概念（ 1 ?原型:客观存在的各种研究对象。既包括有形的对象,也包括无形的、思维中的对 象,还包括各种系统和过程等 2 ?模型:为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构造的整个原型 或其部分或其某一层面的替代物。 3 ?原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础,模型是原型的提炼与升华。原型有 各个方面和各个层次的特征,而模型只要求反映与某些目的有关的那些方面和层次。 二什么是数学模型（Mathematical Model 对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特 有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结 构。 广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景,加以一级抽象或多级抽象的数学概念.数学式子、数学理论等都叫数学模型。 狭义上讲.数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。 （我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型） 数学模型不是原型的复制品,而是为了一定的目的,对原型所作的一种 抽象模拟。它用数学算式.数学符号.程序、图表等刻画客观事物的本质属性与内在关 系,是对现实世界的抽象.简化而有本质的描述,它源于现实又高于现实。 三.什么是数学建模 数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。包括: (1)对实际问题的较详细的了解、分析和判断; (2 )为解决问题所需相关数学方法的选择； (3 )针对实际问题的数学描述，建立数学模型；
(4 )对数学模型的求解和必要的计算； (5 )数学结果在实际问题中的验证； (6 )将合理的数学结果应用于实际问题之中，从而解决问题。 数学建模流程图(参见教材上册P14 ) 1实际问题2抽象.简化.假设,确定变量和参数3根据某种、、定律"或、、规律"建立变量和参数间的一个明确的数学关系,即在此简化阶段上构造数学模型 4解析地或近似地求解该数学模型5用实际问题的实测数据等来解释.验证该数学模型(若不通过,返回第2步) 6投入使用,从而可产生经济.社会效益 完美的图画““堇金分割 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整 体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为 1:0.618或,即长段为全段的0.618o 所谓黄金分割■指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比。 计算黄金分割最简单的方法:计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...从 二位起相邻两数之比,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13丿13/21严?的近似值。 1.2八步建模法 1?问题提出 2?量的分析 3.模型假设 4.模型建立 5.模型求解 6.模型分析
数学建模的背景： 人们在观察、分析和研究一个现实对象时经常使用模型，如展览馆里的飞机模型、水坝模型，实际上，照片、玩具、地图、电路图等都是模型，它们能概括地、集中地反映现实对象的某些特征，从而帮助人们迅速、有效地了解并掌握那个对象。数学模型不过是更抽象些的模型。 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（称为数学模型），然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个全过程就称为数学建模。 近半个多世纪以来,随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用,而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并计算求解。人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼。 数学建模日益显示其重要作用，已成为现代应用数学的一个重要领域。为培养高质量、高层次人才，对理工、经济、金融、管理科学等各专业的大学生都提出“数学建模技能和素质方面的要求”。 数学建模在现代社会的一些作用 (1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。(2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。 (3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才
数学建模的概念与教学中价值 通过这次培训对数学建模的学习，我对数学建模有了新的认识： 从广义上来说，数学模型是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的近似反映。例如数学中的各种概念、公式、方程式，以及由公式系列构成的算法系统等，都是从现实世界的原型抽象出来的反映原型量性特点和关系的一种结构，因而它们都是现实世界的数学模型。 从狭义上来说，数学模型是“对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。”1[①]如就是意大利科学家Galilei为自由落体运动所建立的数学模型；而万有引力定理，则是著名科学家Newton为揭示宇宙万物之间的一种普遍联系而建立的数学模型。 因此，数学模型是针对或参照某种事物特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学关系结构。 设计数学模型的过程称为数学建模，简称建模。其基本步骤是： 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，尽可能多地掌握对象的各种信息。 模型假设：根据实际对象特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，明确变量和参数，并用精确的语言提出恰当的假设。 模型建立：在假设的基础上，尽量使用简单而又恰当的数学工具刻画各变量之间的数学关系，并建立相应的数学结构。 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算与估计。 模型分析与检验：对所得的结果进行数学上的分析，并与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。若模型与实际较吻合，则对计算结果给出符合实际意义的解释。若模型与实际吻合性较差,则修改假设，重复上述过程，直至所建模型基本符合实际问题情景为止。 模型应用：将所得结论应用于实际问题。 因此在数学建模中，要充分分析原型中各种因素的相互关系、相对地位、数量特征，抓住主要因素与数量关系，通过必要而恰当的人为假设减少系统中变量个数，并采用尽可能简单的数学工具，建立反映现实原型的本质特征和数量关系的数学模型，然后回到具体研究对象中去解决问题或给予解释。同时中学数学建模必须适应中学生的数学水平，必须是通过他们的努力可求解的。如果应用得好，数学建模可以使学生：体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力；知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。
浅谈对数学建模的认识 【摘要】数学建模在数学和其他学科的发展过程中具有重要的意义。数学 建模有助于学生感受数学在解决实际问题中的价值和作用,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程；有助于激发学生学习数学的兴趣,培养学生的创新意识和实践能力。数学建模竞赛的开展有力地推动了高等院校数学教学体系、教学内容和教学方式的改革。 【关键词】数学建模认识数学建模竞赛 目录 引言 (2) 第一章数学建模 (3) 一、数学建模的起源 (3) 二、数学建模的定义 (3) 三、数学建模的特点 (4) 四、数学建模的分类 (5) 五、数学建模过程 (6) 六、数学建模的实际意义 (8) 第二章数学建模竞赛 (9) 一、数学建模竞赛的形式 (9) 二、对数学建模竞赛的认识 (9) 三、数模竞赛的团队 (9) 四、参加数学建模活动的好处 (10) 五、数学建模竞赛的局限性 (10) 六、数学建模竞赛对学生能力的培养 (11) 小结 (12) 参考文献 (13)
引言 世界上一切事物都是按照一定的客观规律运动变化着，事物之间彼此联系和相互制约，无论是从浩瀚的宇宙到渺小的粒子，还是从自然科学到社会科学都是这样。恩格斯精辟地指出:数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。数学区分于其它学科的明显特点有三个：高度的抽象性；严谨的逻辑性；应用的广泛性。事物的变化规律和事物之间的联系,必然蕴含着一定的数量关系，所以数学是认识世界和改造世界的必不可少的重要工具。著名数学家华罗庚教授曾指出的:宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不在，凡是出现量的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。 随着科学技术的飞速发展，人们越来越认识到数学科学的重要性：数学的思考方式具有根本的重要性，数学为组织和构造知识提供了方法，将它用于技术时能使科学家和工程师生产出系统的、能复制的、且可以传播的知识……数学科学对于经济竞争是必不可少的，数学科学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术。 在当今高科技与计算机技术日新月异且日益普及的社会里，高新技术的发展离不开数学的支持，没有良好的数学素养已无法实现工程技术的创新与突破。因此，如何在数学教育的过程中培养人们的数学素养，让人们学会用数学的知识与方法去处理实际问题，值得数学工作者的思考。 大学生数学建模活动及全国大学生数学建模竞赛正是在这种形势下开展并发展起来的，其目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，拓宽学生的知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和教学方法的改革。 在现代的社会生活中，到处可见模型的存在，而各种模型的存在都在一定的程度上离不开数学建模的学习。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的学科，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。 数学技术的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济，管理，金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机）；数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。
浅谈小学数学建模的意义和方法 【摘要】：《新标准》强调让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。通过开展数学建模活动让学生领悟数学思想方法，让学生做数学、“创造”数学、交流数学、应用数学、感悟数学。数学建模活动在大中学中早已蓬勃地开展，而在小学阶段进行数学建模教学还没引起人们足够的重视。作为一线的老师应该引起重视，教师必须在平时的教学工作中给学生强烈的数学建模的意识，同时开展与生活紧密联系的数学建模活动。 【关键词】：数学建模; 数学应用; 意义; 基本方法 随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是经济发展的全球化、计算机应用的迅猛发展，数学理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 面向21世纪的《义务教育阶段的数学课程标准》强调：“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。” 《新标准》要求学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。学生的数学学习活动应当是一个主动、活泼的、生动和富有个性的过程。在《新标准》首次提到了数学模型的概念的同时严士键教授在《数学教育应面向21世纪而努力》一文中指出：“分析问题和解决问题通常意味着以下一些环节：将实际问题化成可以处理的但又对原来的问题有用的数学问题，寻找或创造适当的解决问题的数学方法（包括计算方法），有时还需要对问题的解决做一些解释和讨论。”而分析和解决实际问题的能力实质就是数学建模的能力。从小培养和发展儿童构建、应用数学模型的意识和能力是摆在小学数学教师面前的重要课题。 一、对数学建模的认识
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果
浅析数学建模的重要意义 【摘要】本文针对数学建模在工程技术、自然科学等领域的重要地位，在查阅大量文献的基础上，在数学建模的优势、建模步骤、应用等方面进行了探讨，并与结语部分总结了数学建模在教学中的重要性及其未来发展的趋势。 【关键词】数学建模教学创新 数学建模[1]就是用数学语言描述实际现象的过程，是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。高新技术的发展离不开数学的支持，如何在数学教育的过程中培养人们的数学素养，让人们学会用数学的知识与方法去处理实际问题，值得数学工作者的思考。由于数学建模的过程是反复应用数学知识与方法对实际问题进行分析、推理与计算，以得出实际问题的最佳数学模型及模型最优解的过程，因而学生明显感到自己这一方面的能力在具体的建模过程中得到了较大提高。 一、优势 数学建模具有很大的优势，特别是在培养创新意
识和创造能力、训练快速获取信息和资料的能力、锻炼快速了解和掌握新知识的技能、培养团队合作意识和团队合作精神、增强写作技能和排版技术、荣获国家级奖励有利于保送研究生、荣获国际级奖励有利于申请出国留学、更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式等方面尤为突出。 二、建模步骤 第一步――准备工作，了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。第二步――假设，根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。第三步――建模，在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构，利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算[2]）。第四步――分析，对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。第五步――检验，将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，
数学建模知识 ——之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤
1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
数学建模的作用意义
数学建模的背景： 人们在观察、分析和研究一个现实对象时经常使用模型，如展览馆里的飞机模型、水坝模型，实际上，照片、玩具、地图、电路图等都是模型，它们能概括地、集中地反映现实对象的某些特征，从而帮助人们迅速、有效地了解并掌握那个对象。数学模型不过是更抽象些的模型。 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（称为数学模型），然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个全过程就称为数学建模。 近半个多世纪以来, 随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用, 而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪
类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并计算求解。人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼。 数学建模日益显示其重要作用，已成为现代应用数学的一个重要领域。为培养高质量、高层次人才，对理工、经济、金融、管理科学等各专业的大学生都提出“数学建模技能和素质方面的要求”。 数学建模在现代社会的一些作用 (1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计
数学模型在小学数学教学中的作用 结构 一、数学模型的简介。 二、建立数学模型的基本原则 三、建立数学模型的基本方法 四、小学数学中基本模型 五、模型在小学数学小数学习中的体现 六、小学数学教学中的小学教学中的实录 正文 一、数学模型的简介。 1 什么是数学模型？ 数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。小学数学中的数学模型，主要的是确定性数学模型，广义地讲，一般表现为数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等。数学模型具有一般化、典型化和精确化的特点。 2 数学模型的意义 （1）建立数学模型是数学教学本质特征的反映。 ①数学模型是对客观事物的一般关系的反映，也是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。例如，舍去一切具体情景，行程问题的基本模型是：路程=速度×时间(s=vt)，只不过在具体问题解决时，需要对这个模型进行一次构建还是多次构建的问题。因此，数学模型有效地反映了思维的过程，是将思维过程用语言符号外化的结果。显然，学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他的数学思维能力、数学观念及意识。 ②人们在以数学方式研究具体问题时，是通过分析、比较、判断、推理等思维活动，来探究、挖掘具体事物的本质及关系的，而最终以符号、模型等方式将其间的规律揭示出来，使复杂的问题本质化、简洁化，甚至将其一般化，使某类问题的解决有了共同的程序与方法。因此，可以说，数学模型不仅反映了数学思维的过程，而且是高级的、高效的数学思维的反映。 2建立数学模型是数学问题解决的有效形式。 ①数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。并且，建立模型更为重要的是，学生能体会到从实际情景中发展数学，获得再创造数学的绝好机会，在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的天然联系。因而，在小学数学教学中，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学应该成为我们的一种共识，只有这样，数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与氛围。 ②现代数学观认为，数学具有科学方法论的属性，数学思想方法是人们研究数学、应用数学、解决问题的重要策略。而建立数学模型，研究数学模型，正是问题解决过程中的中心环节，是决定问题解决程度如何的关键。当年，瑞士大数学家欧拉面对哥斯尼堡“七桥问题”时，巧妙地将陆地看成点，将桥看成线，
什么是数学建模 人们在观察、分析和研究一个现实对象时经常使用模型，如展览馆里的飞机模型、水坝模型，实际上，照片、玩具、地图、电路图等都是模型，它们能概括地、集中地反映现实对象的某些特征，从而帮助人们迅速、有效地了解并掌握那个对象。数学模型不过是更抽象些的模型。 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等 。 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律 等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它 表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通 过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接 受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就 称为数学建模。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段，是对现实世界的一特定现象，为了某特定目的，根据特有的内在规律，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，用它来解释特定现象的现实性态，预测对象的未来状况，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品等。数学建模是使用数学模型解决实际问题，数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 我校数学建模发展史以成就展 自从人类进入文明社会，就与数学建立了千丝万缕的联系。马克思曾经讲过：“一门学科只有运用了数学，才算真正发展了。”当该社会的飞速发展当然也少不了数学的巨大贡献。.然而数学教育在相当程度上却没能跟上科技,经济和社会的迅速发展变化.数学建模的迅速发展,特别是大学生数学建模竞赛的成功举办,为完成迫切而又艰巨的任务创造了有利的条件.1985 年举办了美国大学生首届数学建模竞赛( Mathematical Competition in Modeling ) ,1988 年后改称为Mathematical Contest in Modeling ,均缩写为MCM ,以后每年举办一次,它吸引了世界上许多国家和地区的大学生参加.自1989 年以来,我国学生还积极参加美国大学生数学建模竞赛,近年来我国参赛队数接近于其总数的三分之一,而且还取得了很好的成绩,充分展示出我国大学生的智慧和创造性. 我国的大学生数学建模竞赛是从1992 年开始的,由中国工业与应用数学学会举办.这一新生事物从一开始就受到广大师生的欢迎和各级教育部门的关心与重视.并从1994 年起改由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合举办,并成立了全国组委会来具体组织竞赛.在教育部的领导下参赛队数每年以约30 %的速度递增.越来越多的学生要求参赛,越来越多的教师和教育部门领导认识到这是一项培养具有高素质和创新能力人才的课外活动.大学生数学建模竞赛对于推动大学教育改革产生了积极的作用.
“数学建模”对学生成长的作用 随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，人们身边的数学内容越来越丰富，其应用领域也越来越广泛。数学应用以及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大，在学生数学学习中的作用越加明显。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模提高学生的综合素质。 例如：鸡兔同笼问题，“今有鸡兔同笼，上有34头，下有94足，问鸡兔各几何？”来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题。采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。将题设条件代入数学模型求解。再如“隔壁听见人分银，不知人来不知银，每人5两多6两，每人6两少5两，问人、银各几何？”此类题刻极大的激发学生的兴趣，锻炼学生的数学建模能力。 从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解题质量，同时也体现一个学生的综合能力。在这一过程中，可以提高学生的分析、理解、阅读能力；强化了将文字语言叙述转译成数学符号语言的能力，将数学应用题中所有表示数量关系的文字、图象语言翻译成数学符号语言即数、式子、方程、不等式、函数等，这种译释能力是数学建成模的基础性工作；加强数学运算能力，数学应用题一般运算量较大、较复杂，且有近似计算。有的尽管思路正确、建模合理，但计算能力欠缺，就会前功尽弃。 数学分析和解决实际问题的能力方面同样需要得到训练和提高，而培养学生的分析和解决实际问题的能力仅仅靠课堂教学是不够的，必须要有实践、培养学生的创新意识和实践能力是数学教学的一个重要目的和一条基本原则，要使学生学会提出问题并明确探究方向，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，就必须建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。 在数学建模过程中，可以让学生深切感受到数学在生活、工作中的重要作用，感受到数学无所不在，感受到数学是解决实际问题的有力工具，我们学校的是有用的数学，更能激发学生的学习积极性。能使学生的数学能力和其它各种能力协同发展，在这一过程中，学生易于形成实事求是的态度，养成良好的学习习惯，为学生的自主学习打下良好的基础。
第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念
模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。 合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。 3．构造模型
数模的概念是什么？ 数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。静态和动态模型静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见拉普拉斯变换）。分布参数和集中参数模型分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。连续时间和离散时间模型模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。随机性和确定性模型随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。参数与非参数模型用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。线性和非线性模型线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。 00
数学建模意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德几何，17世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及电子计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义。 (1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD 技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。 (2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。 (3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。 随着科学技术的飞速发展，人们越来越认识到数学科学的重要性：数学的思考方式具有根本的重要性，数学为组织和构造知识提供了方法，将它用于技术时能使科学家和工程师生产出系统的、能复制的、且可以传播的知识……数学科学对于经济竞争是必不可少的，数学科学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术［1］。在当今高科技与计算机技术日新月异且日益普及的社会里，高新技术的发展离不开数学的支持，没有良好的数学素养已无法实现工程技术的创新与突破。因此，如何在数学教育的过程中培养人们的数学素养，让人们学会用数学的知识与方法去处理实际问题，
数学模型的概念及分类 2.1数学模型的概念 数学模型是指运用数学符号和公式来表达来研究对象系统的结构或过程的模型。系统工程力求采用数学模型是因为数学模型是定量化的基础，是科学实验的补充手段，是预测和决策的重要工具，是推进科技发展的依据。数学的抽象化、公理化的概念和方法，体系十分严谨。数学的丰富的想像力和思辨性，如弯曲的几何和非平直的空间结构，蕴含着普遍真理。数学模型既然是对所研究的实际对象的概括与简化，因此它不能等同于实际对象的本身，它必须舍弃实际对象的质的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主要性质和因素，因此数学模型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原型，但这种反映仅仅是一种近似和模拟。 2.2数学模型的分类 常见的数学模型分类有以下几种： 按数学模型的功能可分为定量的和定性的。 按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。 按数学模型变量之间的关系可分为代数的，几何的和积分的。 按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的。 按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。 按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控制论模型，逻辑模型，扩散模型，…… 按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型，交通模型，生态模型，生理模型，经济模型，社会模型．，工程系统模型，……
按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型等。 2.3数学模型的特点 第一，它是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构， 这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。 第二，它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物 相近的一类问题。 第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机。通常所谓的处理事物和过程的模型化方法，往往就是为之建立数学模型来处理。