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至少要有一个是边）就可若直角三角形ABC中，∠C=90，那么∠A，求出其余3个未知数
∠ B， ∠ C，
a,b,c中除∠C=90°外，其余5个元素之间有如下关系：
1）a² =c² +b²
A 的对边 B C a s inA 3）斜边 AB c
c os A A 的邻边 A C b 斜边 AB c
在Rt△ADC中， CD=AD•tan30=
在Rt△ADB中， BD=AD•tan60˚= ∵ BD-CD=BC,BC=24 ∴
3 x 3
3x
∴ X=12 3 ≈12×1.732 =20.784 > 20
3 3x x 24 3
D
C
B
答：货轮无触礁危险。
例4：小山的高为h，为了测的小山顶上铁塔AB 的高x，在平地上选择一点P, 在P点处测得B点的仰角为a, A点的仰角为B.(见表中测量目标图）
2）∠A+∠B=90
B c A b a C
tanA
A的对边 BC a A的邻边 AC b
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
i＝
视线铅垂线仰角水平线
h l
=tan
α
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
知识
600
3 2
要能记住有多好
余弦cosα
1 2
3
正切tanα
1
1.互余两角三角函数关系: 0-A） 1.SinA=cos（90

《直角三角形的边角关系》复习课件

(1)2 3 2 0 2sin 30 3
2
题型2 解直角三角形
1∠.如AD图E4=，a，在且矩c形osAαB=CD3 中，DE⊥A B ）
A．3
B．16
3
C. 20 3
D.16 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标
如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
则a+b的值为（ B ）
A．35 B．43 C．89 D．97
题型3 解斜三角形
1.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积（结果可保留根号）．
AC=12，则cosA等于（ D ）
A. 2 , B. 5 , C.12 , D.12 12 13 5 13
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， CD⊥AB于点D，已知AC= 5 ，
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
A． 5
B. 2
C. 2 5
D. 5
3
3
5
2
5．计算：
．
|- 2 |+（cos60°-tan30°）+ 8
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值为_______． 2. 在Rt△ABC中，∠C =90°，BC=4，AC=3，则cosA的值为______． 3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，BC=5，

直角三角形复习课件

面积的多种计算方法
除了基本的面积公式外，还可以通过分割法、补形法等技巧来计算面积。
利用相似三角形进行计算
在某些情况下，可以利用相似三角形的性质来简化计算过程。
05
直角三角形在实际生活中的应用
测量中的应用
确定物体的高度
通过测量影子的长度，利用相似三角形的性质，可以计算出物体的高度。
计算距离
在航海、航空和地形测量中，利用直角三角形可以计算出两点之间的距离。
THANKS
感谢观看
建筑中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直角三角形常被用于确定建筑物的比例和稳定性。
结构分析
在建筑结构分析中，利用直角三角形可以计算出结构的承载能力和稳定性。
其他应用
机械制造
在机械制造中，直角三角形被广泛应用于各种机构的设计和制造中，如齿轮、链条等。
VS
物理学
在物理学中，直角三角形被广泛应用于力的合成与分解、速度和加速度的计算等。
毕达哥拉斯定理
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
角平分线定理
在直角三角形中，角平分线将直角分为两个相等的角。
射影定理
在直角三角形中，直角边的长度等于斜边与其上高线的乘积。
判定依据
根据定义
根据角边角法
如果一个三角形有一个角为90度，则它是直角三角形。
如果两个角和它们所对的边分别相等，则它是直角三角形。
03
直角三角形的判定
判定方法
01
02
03
定义法
根据直角三角形的定义，一个三角形如果有一个角为90度，则它是直角三角形。
勾股定理法
如果一个三角形的三边满足勾股定理，即最长边的平方等于其他两边的平方和，则它是直角三角形。

解直角三角形的应用复习专题PPT课件

第11页/共Байду номын сангаас3页
中考预测
如图23－9，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)
解：在 Rt△ACD 中，∵tan∠ACD＝AD， CD
∴AD＝CD·tan30°＝9× 3＝3 3.在 Rt△BCD 中， 3
第4页/共13页
例3：某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图5，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°。求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB，结果保留整数。
第5页/共13页
例4：在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之
第9页/共13页
例6：某片绿地的形状如图10，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、 BC的长．（精确到1m）
第10页/共13页
评析：解两对角均为直角的四边形问题时，常需延长两对边，得到形如图 10的图形．解直角三角形的方法: 角的关系有互余，边的关系有勾股；有斜边用正余弦，没有斜边用正切；选用乘法毋用除，采取原始避中间。这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。
间的距离．现测得
m,
AC 30
BC 70 m, CAB 120°，请计算A,B两个凉亭之间的距离．
第6页/共13页

《直角三角形》复习课件

C
D
A
B
知识点五：直角三角形全等的判定
1、如图，∠B=∠E=90°，AC=DF,BF=EC,BA与ED是否相等？
解：∵∠B=∠E=90°
∴△ABC和△DEF均为直角三角形
∵BF=EC
A
D
∴BF+FC=EC+CF
即BC=EF
在Rt△ABC和Rt△DEF中 BC=EF
BF
CE
AC=DF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) ∴BA=ED (全等三角形的对应边相等)
第1章直角三角形
小结与复习
知识点一：直角三角形的两个锐角_互__余__； _有_两__个__角___互__余__的_三___角__形是直角三角形
• 1、在直角三角形中，有一个锐角是52°,那么另一个锐角的度数为____3_8_°_______
• 2、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A∠B=30°，那么∠A=_____6_0_°_________
2、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是斜边AB上的中线
(1)若∠B=50°,∠A=__4_0_°____
A
(2)若∠B-∠A=50°,则∠A=__2_0_°_____
(3)若BC=CD，则∠A=___3_0_°_______
D
C
B
知识点三：直角三角形的推论
•在Rt△中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边__等__于__斜__边__的__一__半________; 在Rt△中，如果_一__条__直__角__边__等__于__斜__边__的__一__半__,那么 __这__条__直__角__边__所__对__的__角__为__3_0_°___________。

直角三角形ppt课件

2. 已知直角三角形的两边长分别为 3，2，求另一条边长. 解：当斜边的长为 3 时，另一条边长
当两条直角边长分别为 3、2时，斜边长
3. 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0.
(单位：dm)：AB = 3，AD = 4，BC = 12，CD = 13.且∠DAB = 90°.你能
求出这个零件的面积吗？
解：如图，连接 BD. 在Rt△ABD 中，
在△BCD 中， BD2 + BC2 = 52 + 122 = 132 = CD2. ∴△BCD 为直角三角形，∠DBC = 90°.
课堂小结
定理定理
直角三角形的两个锐角互余.
互逆命

有两个角互余的三角形是直角三角形. 题
勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
互逆命题
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
随堂演练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （1）已知 c = 25，b = 15，求 a；
（2）已知 a = 2 ，∠A = 60°，求 b，c.
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0， b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.

直角三角形性质PPT课件

勾股定理是直角三角形的基本性质之一，具有广泛的应用。
勾股定理证明方法
拼图法
通过将四个相同的直角三角形拼成一个正方形来证明。
相似三角形法
利用相似三角形的性质来证明勾股定理。
代数法
通过代数运算来证明勾股定理，例如使用余弦定理推导。
面积法
利用三角形的面积公式来证明勾股定理。
勾股定理逆定理及应用
精度检测和校准。
其他领域应用举例
01
02
03
物理学
在物理学中，直角三角形用于描述和计算力的矢量合成与分解、运动的位移和速度等问题。
地理学
在地理学中，利用直角三角形的性质可以计算地球表面的距离、经纬度等地理信息。
艺术领域
在绘画、摄影等艺术领域，直角三角形的构图原则被广泛运用，以创造出和谐、平衡的作品。
对应边成比例。
04
05
面积比等于相似比的平方。
相似直角三角形判定方法
如果两个直角三角形有一个锐角相等，则这两个三角形相似。
如果两个直角三角形的两组对应边成比例，则这两个三角形相似。
基于角的判定
基于边的判定
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
THANKS
角度关系
01
两锐角互余
02
锐角与斜边关系
直角三角形中，两个锐角的度数之和为90°，即∠A + ∠B = 90°。
锐角的对边长度小于斜边长度，且随着锐角度数的增大，对边长度也增大。
特殊直角三角形性质
等腰直角三角形
当直角三角形的两条直角边长度相等时，该三角形为等腰直角三角形。此时，两个锐角的度数均为45°。

《直角三角形》PPT课件

D
直角三角形的两锐角互余
∴ ∠2= ∠B
于是得 B D' =C D' ( )
等角对等边
直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
1.阅读课本148页的“发现”的证明过程。2.通过阅读你有什么发现？
∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线∴CD= AB
北
60°
练习
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形
求证： △ABC是直角三角形
练一练
2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
练习
在Rt△ABC中， ∠A :∠B: ∠C =1:2:3 ,若AB=10cm，求BC的长2.教材149页A组、B组
小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
我们的生活离不开数学，我们要做生活的有心人。
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
147页观察与思考
直角三角形的性质定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
做一做
证明：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半。
∴BC=BD(全等三角形对应边相等).
2. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
所以Rt△ABD≌Rt△ACD( HL )所以BD=CD
解：BD=CD 因为∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC AD=AD

解直角三角形(复习课)课件

分析多个直角三角形之间的关系，解决较为复杂的几何问题。
结合勾股定理和三角函数计算直角三角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解决实际问题，如设计桥梁、建筑等结构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度，求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各种角度。解直角三角形的方法可以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的大小。通过解直角三角形，可以精确地计算出力的大小，确保实验结果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常重要的。通过解直角三角形，可以计算出物体的位置，确保实验的准确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。

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4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
课件
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
AAS、ASA、SAS、SSS、HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
课件

1、有四个三角形，分别满足下列条件： (1) 一个内角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为 3∶4∶5；(3) 三边之比为5∶12∶13；(4) 三边长分别为7、 24、25.其中直角三角形有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、在Rt△ABC中， ∠C=90º CD是AB边上的高，若AC=4， BC=3，则CD=＿＿ 3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ，则AB=_____ｃｍ。
4、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=10cm,则 CD=_____
A
D 课件
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.
A
E OF
B
C
D
课件
例3：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB
的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D
C
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。
课件
变式题：如图，已知AD、BE分别是△ABC的BC、
AC边上的高，F是DE的中点，G是AB的中点，
则FG⊥DE，请说明理由。
C
E
F
D
A
G
B
课件
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明理由
A
FE
B
DC
课件
例4、如图，AB⊥BD于点B， CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。
A =625
225
400
81
B =144
225
课件
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
B
A
7cm
C D
课件
例1.已请知说：明如A图C=，12
∠A=90°，∠B=15°，BD=DC. BD的理由.
D
A
解∵BD=DC，∠B=15°
∴∠DCB=∠B=15°
B
C
（在同一三角形中，等角对等边）
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠A=90°
O
∴AC=DC/2（直角三角形中,30 角所对直角边是
斜边的一半）
∴AC=BD/2
课件
例2、已知，如图，在△ABC中，D是BC边上一点，DE ⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F, 且DE=DF,EF与AD交于点O.求证;AD ⊥EF.
直角三角形复习
课件
教学目标： 1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，
并会简单应用。 2、掌握直角三角形全等的判定定理并会简单的应用。
课件
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
C
A
B
PD
课件