基本初等函数图像与性质

基本初等函数. 幂函数(a 为实数 )要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形..指数函数定义域：，值域：，图形过（ 0， 1）点， a>1 时，单调增加； a 时，单调减少。

今后用的较多。

.对数函数定义域：，值域：，与指数函数互为反函数，图形过（1， 0）点， a>1 时，单调增加；a<1 时，单调减少。

.三角函数，奇函数、有界函数、周期函数；，偶函数、有界函数、周期函数；，的一切实数，奇函数、周期函数，的一切实数，奇函数、周期函数；，.反三角函数；；；。

以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握注：（ 1）指数式与对数式的性质由此可知，今后常用关系式，如：（ 2）常用三角公式积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2和差化积sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10 题已知抛物线y x2mx 2m 2 (m 0)．（ 1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（ 2）过点P(0，n)作y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B （点 A 在点 P 的左边），是否存在实数 m，n ，使得 AP2PB ？若存在，则求出m，n 满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（ 1）证法 1：29 m2，y x2mx 2m2x m24当 m0 时，抛物线顶点的纵坐标为9 m20 ，4顶点总在 x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当 m 0 时，抛物线与y 轴的交点(0，2m2)在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．）证法 2：m2 4 1 ( 2m2 ) 9m2，当 m0时， 9m20 ，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．（ 2）存在实数m，n，使得AP2PB ．设点 B 的坐标为(t，n)，由 AP2PB 知，y①当点 B 在点 P 的右边时， t0，点 A 的坐标为(2t， n) ，A PBx 且 t， 2t是关于 x 的方程 x2mx2m2n 的两个实数根．O m24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2．4且 t ( 2t )m （I）， t ( 2)t2（II）m n由（ I）得，t m，即m 0．将 t m代入（II）得， n0 ．y 当 m0且 n0 时，有 AP2PB ．②当点 B 在点 P 的左边时， t0，点 A 的坐标为(2 t，n)，且 t，2t 是关于x的方程 x 2mx2m2n 的两个实数根．xOm24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2．4AB P且 t 2t m （I），t 2t2m2n （II）由（ I）得，t m0 ．3，即m将 t m代入（ II ）得，n20 m2且满足 n9 m2．32094当 m0 且n m2时，有AP2PB9第 11 题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为S 10t t 2，若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ． 12 3 米Ｄ．6米答案：Ｂ第 12 题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月 25日起的 180 天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（ 1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．y (天)z(元 )16060140（ 180， 92）5012040100858036020401020140160100120O20 40 6080 100 120150 180t(天)O204060 80110140160 180t(天 )（ 1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（t0）的函数关图 (1)图 (2)系式；（ 2）求出图（ 2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t （天）（t 0）的函数关系式；（ 3 ）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明： 市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500 克．）答案：解：（ 1）依题意，可建立的函数关系式为：2 t 160 (0t，3 120)y 80 (120 ≤ t，150)2 20 (150 ≤t ≤ ．5（ 2）由题目已知条件可设za(t 110) 220 ．85图象过点 (60， ) ，385 a(60 110) 2 20． a1 ． 3300z1(t 110) 2 20 (t 0 )． 300（ 3）设纯收益单价为W 元，则 W =销售单价 成本单价．2 1601110) 220 (0 t，t(t120)3300故W 801 (t 220(120 ≤t，300 110)150)2 201 220 (150 ≤ t≤．5300化简得1 2100(0，300W1(t 110)2 60 (120≤ t 150)， 30012 56 (150 ≤ t ≤．300①当 W1 (t 10)2 100(0 t 120) 时，有 t 10时， W 最大，最大值为 100；300②当 W1 (t 110)2 60(120 ≤ t 150) 时，由图象知，有 t 120 时， W 最大，最大300值为 59 2 ；3③当 W1 (t 170)2 56(150 ≤ t ≤ 180) 时，有 t 170 时， W 最大，最大值为 56．300综上所述，在 t 10 时，纯收益单价有最大值，最大值为100 元．第 13 题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1 米的 A 处飞出（ A 在 y 轴上），运动员乙在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（ 1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（ 2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 43 7）（ 3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取26 5）y4 M2 1 AOBCDx答案：解：（ 1）（ 3 分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为ya(x6) 2 4．y由已知：当 x 0 时 y 1．即 1 36a 4， a1 ． 4M12E FN表达式为 y124． 2 ( x 6)1 A1 x2 12OBCDx（或 yx 1 ）12 1（ 2）（3 分）令 y0， ( x6)2 4 0．12(x6)2 48． x 4 3 6 ≈ 13，x4 3 6 0 （舍去）．12足球第一次落地距守门员约 13 米．（ 3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意： CDEF （即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位）21( x 6) 24解得 x6 2 6，x2 6 26．121CD x 1 x 2 4 6 ≈10．BD 13 6 1017 （米）．解法二： 令1( x 6) 2 4 0．12解得x 1 6 4 3 （舍）， x 26 4 3 ≈13．点 C 坐标为（ 13， 0）．设抛物线 CND 为 y1( x k) 2 2．12将 C 点坐标代入得：1(13 k) 2 2 0．12解得：k 1 13 2 613 （舍去），k 2 6 4 3 2 6 ≈ 6 7 5 18．y1( x 18)2 212 令 y0， 01( x 18)2 2．12x 118 2 6 （舍去）， x 2 18 2 6≈23．BD 23 6 17 （米）．解法三：由解法二知， k 18，所以 CD 2(18 13) 10， 所以 BD(136) 10 17．答：他应再向前跑17 米．第 14 题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7 万元；购置滴灌 设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为 0.9 ；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3 万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5 万元．y （万元），（ 1）基地的菜农共修建大棚 x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为写出 y 关于 x 的函数关系式．（ 2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（ 3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外， 其它设施 3 年内不需增加投资仍可继续使用． 如果按 3 年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（ 1） y 7.5x2.7x 0.9x 20.3x0.9x 2 4.5x ．（ 2）当 0.9x 24.5x5 时，即 9x 245x 50 0 ， x 15 ， x 2 1033从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建5公顷大棚．（3）设3Z （万元）3年内每年的平均收益为Z 7.5x0.9x 0.3x20.3x0.3x2 6.3x20.3 x 10.5 33.075（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5 公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当 0.3x2 6.3x0时， x10 ， x2 21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第 15 题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18 元，按定价 40元出售，每月可销售 20 万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价 1元，月销售量可增加 2 万件．（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（2）求出月销售利润z（万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（3）请你通过（ 2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于 480 万元．答案：略．第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为 2m ，隧道最高点P 位于 AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？yPA BO Cx答案：（ 1）由题意可知抛物线经过点A0，2 ，P 4，6 ，B 8，2设抛物线的方程为y ax2bx c将 A，P，D 三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为y1x22x 24（ 2）令 y4 ，则有 1 x 2 2x2 44解得x 14 2 2， x 2 4 2 2x 2 x 14 2 2货车可以通过．（ 3）由（ 2）可知1x 2 x 1 2 2 22 货车可以通过．第 17 题如图，在矩形ABCD 中， AB 2 AD ，线段 EF 10 ．在 EF 上取一点 M ，分别以EM ， MF 为一边作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ，使矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ．令 MN x ，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大 D C值是多少？ABHN GEMF答案：解：矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ，MN MF ．AD ABAB2 AD ， MN x ，MF 2x ．EMEFMF 10 2x ．Sx(10 2x) 2 x 2 10x22 52 x52．2当 x5时， S 有最大值为25．22第 18 题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润 y A （万元）与投资金额 x （万元）之间存在正比例函数关系： y A kx ，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额 x （万元）之间存在二次函数关系：y B ax 2 bx ，并且当投资2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资4 万元时，可获利润 3.2 万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当x 5 时，y1，，0.4 ，2 25k ky A0.4x ，当x 2 时，y B 2.4 ；当x 4 时，y B 3.2．2.44a2b3.216a4ba0.2解得1.6by B0.2x2 1.6 x ．（ 2）设投资B种商品x万元，则投资 A 种商品(10x) 万元，获得利润W万元，根据题意可得W0.2x2 1.6 x0.4(10 x)0.2 x2 1.2x4W0.2( x3)2 5.8当投资 B 种商品 3 万元时，可以获得最大利润 5.8 万元，所以投资A种商品7万元， B种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元．第 19 题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱 A3 B3 50m ， 5 根支柱 A1 B1， A2 B2， A3 B3， A4 B4，A5 B5之间的距离均为15m ，B1B5∥ A1 A5，将抛物线放在图（ 2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（ 2）中点 B1， B3， B5的坐标；（2）求图（ 2）中抛物线的函数表达式；（ 3）求图（ 1）中支柱 A2 B2， A4 B4的长度．B3yB2B430m B3B1B5B1B5A1A2 A3 A4 A5O l图 (1)图(2)答案：B1 ( 30， 0) ， B3 (0，30) ， B5 (30，0) ；（1）（ 2）设抛物线的表达式为y a(x 30)( x30) ，把 B3 (0，30) 代入得 y a(030)(030)30 ．∴ a 1．301( x∵ 所求抛物线的表达式为：y30)( x30) ．30（ 3）∵B4点的横坐标为15，∴ B4的纵坐标 y41(1530)(1530)45．302∵ A3B350 ，拱高为30，∴立柱 A4B4 204585(m) ．2285(m) 。

在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。

一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。

它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。

二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。

幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。

3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。

② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。

③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。

2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。

九种基本初等函数图像及性质基本初等函数包括一次函数、平方函数、立方函数、根号函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数和正切函数等9种函数。

下面简单介绍它们的图像及性质。

一次函数的图像是一条直线，表达函数的形式为：y=ax+b(a≠0)，其中a表示斜率，b表示函数的截距，函数的性质是其增减性由斜率a决定。

平方函数的图像为一条凹凸不平的抛物线，表达函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0，此函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。

立方函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a≠0，函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。

根号函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=a√x+b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是常数变动，函数的解析式在a变动时它的单调性也由正负变化。

指数函数的图像是一条右倾的曲线，表达函数的形式为：y=axb，其中a、b为实数，a>0、b≠0，函数的性质是其单调性由a、b的正负决定，是增函数当a>0且b>0时，是减函数当a>0且b<0时。

对数函数的图像是一个右倾的曲线，表达函数的形式为：y=alogx + b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是变数变动，函数的解析式在x变动时它的单调性也由正负变化。

正弦函数的图像是一个周期性的曲线，表达函数的形式为：y=Asin（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质是其单调性由A的正负决定，是增函数当A>0时，是减函数当A<0时。

余弦函数的图像同正弦函数，表达函数的形式为：y=Acos（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质同正弦函数一样。

正切函数的图像为一个弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=tanx，其中x代表，函数的性质是函数的单调性变化于π/2，函数的解析式在x变动到π。

⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。

三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。

五、基原初等函数及其本量战图形之阳早格格创做1.幂函数函数称为幂函数.如，，，皆是幂函数.不统一的定义域，定义域由值决定.如,.但是正在内经常有定义的，且皆通过（1,1）面.当时，函数正在上是单调减少的，当时，函数正在内是单调缩小的.底下给出几个时常使用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3.图1-1-2图1-1-3函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调减少的；当时为单调缩小的，直线过面.下等数教中时常使用的指数函数是时，即.以取为例画出图形，如图1-1-4.图1-1-43.对于数函数函数称为对于数函数，其定义域，值域.当时单调减少，当时单调缩小，直线过（1，0）面，皆正在左半仄里内.取互为反函数.当时的对于数函数称为自然对于数，当时，称为时常使用对于数.以为例画出图形，如图1-1-5.图1-1-54.三角函数有，它们皆是周期函数.对于三角函数做简要的道述：（１）正弦函数取余弦函数：取定义域皆是，值域皆是.它们皆是有界函数，周期皆是，为奇函数，为奇函数.图形为图1-1-6、图1-1-7.图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为.周期，正在其定义域内单调减少的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期.正在定义域内是单调缩小的奇函数，图形如图1-1-9.图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的奇函数，图形如图1-1-10.图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期正在定义域为奇函数，图形如图1-1-11.图1-1-11反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，正在其定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数，定义域为[-1，1]，值域为，为有界函数，正在其定义域内为单调缩小的非奇非奇函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，正在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数，定义域为，值域，为有界函数，正在其定义域内单调缩小的非奇非奇函数.图形如图1-1-15.图1-1-15。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

基本初等函数性质与图像（1）2.17.1，6.17.1（2）3.1log4.2，1.1log4.2（3）4.23.0，4.24.0 （4）3.07.1，1.28.0解：（1）函数x y 7.1=在R 上是增函数 ∵ 6.12.1< ∴ 6.12.17.17.1<（2）函数x y 4.2log =在 上是 函数 ∵ ∴（3）作函数x y 3.0=和函数x y 4.0=的图像 令4.2=x如图（4）∵ 17.17.103.0=> 18.08.001.2=< ∴ 3.07.1 1.28.0变式训练1 比较大小：（1）2.07.0-，4.07.0- （2）2.1log 2.0，3.1log 2.0 （3）2.1log 2.0，2.1log 4.0 （4）9.0log 2.0，3.0log 1.21.设312.0212,)31(,3log ===c b a ，则（A ）c b a <<（B ）a b c <<（C ）b a c <<（D ）c a b <<2. 22113333333422y x ;y x ;y x y x y x y x x ;,;;y ---=======①②③④⑤⑥⑦如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①3.下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )Ａ．112132y x y x y x y x -====①,②,③,④ Ｂ．13212y x y x y x yx -====①,②,③,④Ｃ．12312y x y x y x yx -====①,②,③,④ Ｄ．112132y x yx yx y x -====①,②,③,④B4、已知10a -<<，则（ ）Ａ1(0.2)()(2)2aa a >> Ｂ1(2)(0.2)()2a aa >>Ｃ1()(0.2)(2)2aa a >> Ｄ1(2)()(0.2)2aaa >>5. 若2log 0a <，1()12b>，则 ( ) A ．1a >，0b > B ．1a >，0b < C. 01a <<，0b > D. 01a <<，0b <【答案】D6、幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是（ ）Ａ[)1,-+∞ Ｂ[)0,+∞ Ｃ(),-∞+∞ Ｄ(),0-∞7.（2011·山东高考）若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为：（A ）0 （B ）3（C ）1 （D 8.下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( )A .2log y x =B . 1y x =C .1()2x y =- D .13y x =9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）A.2+5()y x x R =-∈B.3-()y x x x R =+∈C.)(3R x x y ∈= D. )0,(1≠∈-=x R x xy 【答案】C10. 设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A.312y y y >> B. 213y y y >> C. 132y y y >> D. 123y y y >>【C11．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A.)0(1≠∈=x R x xy 且 B.)()21(R x y x ∈= C.)(R x x y ∈= D.)(3R x x y ∈-=12、已知ƒ(x )在R 上是奇函数,且满足ƒ(x ＋4)＝ƒ(x ),当x ∈(0,2)时,ƒ(x )＝2x 2,则ƒ(7)等于 （ ）A －2 B 2 C －98 D 98 A10．设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，b x x f x -+-=221)(（b 为常数），则=)1(f （ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】A例1、若231++<x x a a ()1,0≠>a a 且，求：x 的取值范围。

基本初等函数图像以及性质一、指数函数的图象及性质函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象0<a <1a >1图象特征在x 轴上方，过定点(0，1)当x 逐渐增大时，图象逐渐下降当x 逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性 减增 函数值 变化 规律当x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1当x <0时，0<y <1； 当x >0时，y >1在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线x ＝1，分别与四个图象自上而下交于点A (1，a )，B (1，b )，C (1，c )，D (1，d )，得到底数的大小关系是：a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.根据y 轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．考点一 指数函数的图像例1、如果函数在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．｜a ｜＞ B ．＜｜a ｜＜ C ．｜a ｜＞ D ．｜a ｜＜3x a x f )2()(2-=22331、已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠在[]1,2上的最大值比最小值大2a，则a =例2、函数y ＝a x －a －1(a >0且a ≠1)的图象可能是( )A BC D1、函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )2、函数y＝xa x|x|(a>1)的图象大致是()例3、若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．1、若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．2、若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．考点二指数函数单调性的应用例4、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a1、已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．2、如果函数y＝a2x＋2a x－1(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为()A.13B．1C．3 D.13或33、(2017·合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有() A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0 对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．考点三对数的图像例5、函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()1、【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1xya=，1(2log)ay x=+(a>0，且a≠1)的图象可能是2、已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1，0<c<13、(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝log a(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为()A BC D例6、函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．281、(2017·河北五校质监)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋n y ＋2＝0上，其中m >0，n>0，则2m ＋1n 的最小值为 ( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92 考点六 解不等式以及定义域 例7、求不等式的解集 （1）()113log 3<+x （2） 0log )12(21≥-x1、已知集合=⋂>-=<=N M x x N x M x x 则},0)1(log |{},33|{21322A ．)23,0(B ．)2,23(C ．)23,1(D ．(0,1)2、设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)例8、求下列函数的定义域 （1）)1(log 121-=x y （2）y =1、【2018年江苏卷】函数f (x )＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 2、（2016年全国II 卷高考）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =考点七 复合函数的定义域 例9、求下列函数的单调区间（1） xx y 2221-⎪⎭⎫⎝⎛= （2）20.2()log (45)f x x x =-++1、【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞2、【2014江苏高考】若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)3、(2016·青海平安一中月考)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．考点八 比较大小例10、(2017·天津一模)已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<2、【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3、已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b考点九 数形结合例11、已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1) B ．[13，1) C ．(23，1) D ．[23，1)1、(2017·合肥月考)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（ ）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)2、(2016·南京师大附中等四校联考)若函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，x ≤2，log a x ，x ＞2(a >0且a ≠1)的值域是[2， ＋∞)，则实数a 的取值范围是________．。

一、一次函数与二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (X) = ax2+ bx + c(a * 0) ②顶点式：f (x) = a(x - h)2 + k(a * 0)③两根式：f (x) = a(x一x1)(x - x2)(a 丰 0)(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f (x)更方便.(3)二次函数图象的性质,①.二次函数f (x ) = ax 2+ bx + c (a 丰0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x = ---,顶点坐标 2 a b , b 4ac 一 b 2 是(一五， )2 a 4 ab _ 一 bb ②当a >0时，抛物线开口向上，函数在(-8,— -］上递减，在［-丁,+8)上递增，当x =--2 a2 a2 a4 ac — b 2b b时，f (x )= -------- ；当a < 0时，抛物线开口向下，函数在(-8,—-］上递增，在［-丁 ,+8)min 4 a 2 a 2 a 上递减，当 x = -b-时，f (x ) = 4a ： b 2 . 2 a max 4 a二、幂函数 (1)幕函数的定义一般地，函数y = x a 叫做幕函数，其中x 为自变量，a 是常数.(2)幕函数的图象过定点：所有的幕函数在(0, +8)都有定义，并且图象都通过点(1,1). 三、指数函数(1)根式的概念：如果x n = a , a G R , x G R , n > 1,且n G N 十，那么x 叫做a 的n 次方根. (2)分数指数幂的概念m .①正数的正分数指数幂的意义是：a n = n a m (a > 0,m ,n G N 十,且n > 1). 0的正分数指数幕 等于0．m 1. m■ 1.②正数的负分数指数幂的意义是：a一n = (-)n =n：( )m(a > 0,m,n G N ,且n > 1) .0的负a a a+分数指数幂没有意义.(3)运算性质① a r - a s = a r+s (a > 0, r, s G R) ②(a r)s = a rs (a > 0, r, s G R)③(ab)r = a r b r (a > 0,b > 0, r G R)四、对数函数(1)对数的定义：①若a x =N (a >0,且a 丰1),则x 叫做以a为底N 的对数，记作X = log N , a其中a 叫做底数，N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化：x = log a N o a x = N (a > 0, a 丰1, N > 0) . (2)几个重要的对数恒等式：log 1 = 0 , log a = 1 , log a b = b . (3)常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10g 10双；自然对数：ln N ，即10g e N (其中e = 2.71828…). (4)对数的运算性质 如果a > 0,a 丰1,M > 0, N > 0，那么log N⑥换底公式：log N = (b > 0,且b 丰1)alog ab①加法：log a M + log a N = log a (MN ) ③数乘：n log M = log M n (n e R )aaM②减法：log a M - log a N = log=④ a log a N = Nn⑤log M n = log M (b 中 0,n e R ) a b b a(1)反函数的概念设函数y = f(x)的定义域为A，值域为C,从式子y = f (x)中解出x，得式子x =3y) .如果对于y 在C中的任何一个值，通过式子x =3y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x =3y)表示x是y的函数，函数x =它y)叫做函数y = f (x)的反函数，记作x = f -1(y)，习惯上改写成y = f -1(x) .(2)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y = f (x)中反解出x = f -1(y)；③将x = f -1(y)改写成y = f -1(x)，并注明反函数的定义域.(3)反函数的性质①原函数y=f (x)与反函数y=f -1(x)的图象关于直线y = x对称.②函数y = f (x)的定义域、值域分别是其反函数y = f -1(x)的值域、定义域.③若P(a, b)在原函数y = f (x)的图象上，则P(b,a)在反函数y = f -1 (x)的图象上.④一般地，函数y = f (x)要有反函数则它必须为单调函数.六、三角函数的图像和性质七、反三角函数的图像与性质1.。

五大基本初等函数图像及性质初等函数是数学中研究最早的函数，又称基本初等函数，包括幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数和反幂函数。

下面，我们将详细介绍这五种最基本的初等函数的图像和性质。

一、幂函数幂函数的定义为：函数y=ax^n(a>0, n为实数，n≠0)，这里的a是函数的倍率，n为指数。

幂函数的图像大致可以分为两部分，当n为正数时，函数的图像就是一条向上开的抛物线；当n为负数时，函数的图像就是一条向下开的抛物线，取决于指数的符号，它的图像经过原点和y轴。

幂函数满足可导性，即任何一个幂函数都是可导的。

二、对数函数对数函数的定义为：函数y = logax，这里的a是函数的基数，它代表对数关系中的“基数”概念，这里x只取正数。

对数函数的图像是一条向右弯曲的折线，它经过原点（0,0），且值域为（0,+∞），值域中的每一个值都有其对应的函数值，存在双射性。

另外，它也满足可导性，任何一个对数函数都是可导的。

三、三角函数三角函数是初等函数中比较复杂的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

其定义为：y = sinx、y = cosx、y = tanx。

三角函数的图像是一条有正有负的曲线，其中正弦函数的图像是一条上扬的曲线，余弦函数的图像是一条下降的曲线，而正切函数的图像则是一条“8”字形的曲线，这三条函数的图像都经过原点，其上下极限值的值域皆极其大。

此外，三角函数也满足可导性，任何一个三角函数都是可导的。

四、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，定义为：y = arcsinx、y = arccosx、y = arctanx。

反三角函数的图像与三角函数的曲线图像类似，但它们的曲线经过的是坐标系的四个象限，其值域也有所不同，这三条反三角函数的图像也经过原点，另外，它也满足可导性。

五、反幂函数反幂函数的定义为：函数y = ax^(-n)(a>0, n为实数，n≠0)，这里的a是函数的倍率，n为指数，但n为负数。