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微元法在高中物理中的运用及技巧简说微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。
比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。
微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。
微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。
用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。
所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。
如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。
对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。
关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。
例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。
我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。
例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t’长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为■=■，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。
物理学中微元法的应用【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。
教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。
高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。
在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。
【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。
微元法在高中物理中应用微元法是一种以计算机模拟和分析实际现象的方法，在若干学科中，如力学、热力学、流体力学、电磁学、材料力学等有广泛的应用。
物理学也是其中的重要应用领域，微元法在高中物理教学中的应用是一种新兴的教学方法，它可以使物理实验更加直观、实用和深入，也可以有效提高学生的学习效率。
一、微元法的基本原理微元法是一种基于数值模拟的方法，它将物理实验中的复杂现象分解为若干基本现象，然后逐一计算，从而获得结果。
它的基本思想是：将实际情况分解为多个简单的微元，将每个微元的物理量用数值代替，经过一系列的计算，可以得出实验结果。
二、微元法在高中物理教学中的应用1、模拟物理实验微元法可以用来模拟各种物理实验，提供学生更直观的实验体验，更加直观地理解物理现象。
比如，在学习曲线运动时，可以用微元法模拟出曲线运动的过程，使学生能够更加直观地理解曲线运动的物理原理。
同时，微元法还可以用来模拟物理实验，可以替代传统的实验方式，节省采购实验器材的时间和成本。
2、开展深入的物理探究微元法可以模拟出物理实验的过程，让学生可以更深入地探究物理现象。
比如，在学习静电场时，可以用微元法模拟出电荷在静电场中的运动，更深入地理解静电场的物理原理。
3、提高学生的学习效率微元法可以用来计算物理实验的结果，可以极大地提高学生的学习效率，节省实验时间。
比如，在学习电磁学时，可以用微元法模拟出电磁波的传播，而不需要耗费大量的时间来实验，更有效地掌握电磁学的知识。
三、微元法的不足微元法虽然在高中物理教学中有着广泛的应用，但也存在一些不足。
首先，微元法要求计算机具备较高的计算能力，而不是所有的学校都能满足这一要求；其次，微元法要求有一定的编程能力，因此，学习微元法需要耗费较多的学习时间；最后，微元法模拟的物理实验结果可能会有误差，因此，学生应该在理解物理原理的基础上，更加细致地检查模拟的结果。
总之，微元法是一种新兴的教学方法，它可以使物理实验更加直观、实用和深入，也可以有效提高学生的学习效率，但也有一定的不足，所以，在开展微元法的应用时，应该注意避免其缺陷，以取得最佳的教学效果。
谈微元法在高中物理解题中的应用
谈微元法在高中物理解题中的应用
微元法是一种解决科学和工程问题的方法，它是基于微元法的工程分析和应用。
微元法是一种基于有限元的工程模拟方法。
它采用小的模型对实际结构的运动特性进行建模，从而可以用来模拟复杂的结构体的运动特性，以及对工程结构进行处理和分析。
高中物理解题是一种基础性的物理学习，内容包括力、运动、动能和势能以及物理运动过程中的各种物理现象，这些概念都要求学生理解和认识，以便能够更好地解决物理问题。
在解决实际问题时，学生要运用一定的物理原理来推导和解释物理现象，以达到预期的解决方案。
在这种情况下，微元法可以提供一种有效的解决方案，通过它可以更加直观地理解和解释物理运动过程，从而更好地解决物理问题。
在物理解题方面，微元分析可以使物理问题更加深入地推导，从而更好地理解物理现象。
例如，当讨论惯性力的大小时，可以根据给定的情况，结合动量定理以及惯性定律，来推导惯性力的大小。
而采用微元分析，则可以通过构建模型得出结论，从而更加直观地了解惯性力的大小和它对物理运动的影响。
此外，微元法还可以帮助学生们更加全面而准确地认识物理现象，正如采用微元法处理热传导这一问题所能得到的结果，即可以更好地认识和理解热传导现象的性质和特征。
从而帮助学生深入分析和推导物理问题，以达到更好地理解和解决问题的目的。
总而言之，微元法可以帮助高中物理学习者更好地理解和解决物
理问题，以及更全面和准确地认识物理现象，从而提高高中生的物理知识和解答能力。
电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律”江苏省特级教师，江苏省丰县中学——戴儒京所谓：“微元法”所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。
1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。
2. 关于微元法。
在时间t ∆很短或位移x ∆很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ∆=∆，s x l t lv ∆=∆=∆。
微元法体现了微分思想。
3. 关于求和∑。
许多小的梯形加起来为大的梯形，即∑∆=∆S s ，（注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0vv v -=∆∑，当末速度0=v 时，有∑=∆0v v ，或初速度00=v 时，有∑=∆v v ，这个求和的方法体现了积分思想。
4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法.如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。
对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。
微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。
电磁感应中的微元法一些以“电磁感应”为题材的题目。
可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为BL v E =，感应电流为RB L vI =，受安培力为v RL B B I L F 22==，因为是变力问题，所以可以用微元法.1.只受安培力的情况例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场。
质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。
（1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ；（2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关系，并画出x v -关系草图。
浅谈“微元法”在物理上的应用福州第一中学吕声康（350001）在高中物理中，由于数学学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些问题，在高中很难的加以解决。
例如对于求变力所做的功或者对于物体做曲线运动时某恒力所做的功的计算；又如求做曲线运动的某质点运动的路程，这些问题对于中学生来讲，成为一大难题。
但是如果应用积分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题。
“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。
高中物理中的瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势等等，都是用这种方法定义的。
下面我们通过几个求变力做功的例题来加以说明。
一、利用在“微元”中变力做功的特点推导出力所做的总功。
〔例题1〕试证明：对于做匀速圆周运动的物体，其向心力所做的功为零。
分析与解：在匀速圆周运动中，向心力始终指向圆心，是一个变力，因此不能使用θcos Fs W =来求解。
可以考虑在极短的时间t ∆内物体所走过的一极小的圆弧S ∆，图（1）所示。
由于所取的圆弧足够小，因而可以将圆弧作为直线来处理。
时间足够小，对于向心力也可认为其方向未发生变化，视为恒力来处理，且向心力和S ∆相互垂直。
则在t ∆时间内，向心力所做的功为：090cos 0==∆Fs W考虑整个过程，对于圆周上的每段圆弧S ∆皆有上述结果，则在整个过程中向心力所做的功为：0=∑∆=W W〔注〕由上可知，无论物体做什么运动，如果在物体的运动过程中，某个力的方向与其运动方向始终是垂直关系，则在物体的运动过程中，由“微元法”可知，这个力对物体不做功，带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力不做功正是这个道理。
〔例题2〕如图（2）－a 所示，质量为m 的小车以恒定的速率v 沿半径为R 的竖直圆环做圆周运动，小车与圆环间的动摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动至最高点的过程中摩擦力所做的功。
微元法在高中物理中的应用微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
一、挖掘教材中微元素材，认知微元思想微元法思想在新课标教材（人教版）上时有渗透。
如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+△t这段时间间隔内，△t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。
在此基础上，再提出若△t趋向于零时，就可以认为△t的平均速度就是t 时刻的瞬时速度。
正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。
再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。
但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可。
必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功。
第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。
微元法物理意义摘要：1.微元法的概念及应用领域2.微元法的物理意义3.微元法在物理学中的重要作用4.微元法在实际工程中的应用案例5.总结与展望正文：微元法是一种数学方法，主要用于解决连续系统的问题。
在物理学领域，它具有重要的意义。
本文将介绍微元法的物理意义，应用领域以及在实际工程中的应用案例。
一、微元法的概念及应用领域微元法是将一个复杂的连续系统分解为无数个微小的部分，通过对这些微小部分的分析，来研究整个系统的性质。
这种方法适用于各种连续介质，如固体、液体和气体等。
其应用领域广泛，包括力学、热力学、电磁学、量子力学等。
二、微元法的物理意义微元法的物理意义在于，通过对系统进行微小分割，可以更好地研究系统在宏观和微观尺度上的性质。
在物理学中，许多现象和规律都可以通过微元法来阐述。
例如，在力学中，我们可以通过微元法研究物体的受力情况和运动状态；在热力学中，我们可以通过微元法分析热量的传递和转换过程；在电磁学中，我们可以通过微元法研究电场和磁场的分布规律。
三、微元法在物理学中的重要作用微元法在物理学中具有重要作用。
首先，它为研究者提供了一种处理复杂系统的方法，使得许多难以求解的问题变得易于处理。
其次，微元法揭示了许多自然界中的规律和定律，如牛顿三定律、热力学第一和第二定律等。
此外，微元法还为工程技术领域提供了理论依据，如结构力学、流体力学等。
四、微元法在实际工程中的应用案例在实际工程中，微元法有着广泛的应用。
例如，在建筑结构设计中，通过对结构进行微元分析，可以评估结构的稳定性和安全性；在航空航天领域，微元法可以帮助设计师优化飞行器的设计，提高飞行性能；在材料科学中，微元法可以用于研究材料的力学性能和疲劳寿命等。
五、总结与展望总之，微元法作为一种数学方法，在物理学领域具有重要的地位。
它为研究者提供了一种处理复杂系统的方法，揭示了自然界中的许多规律，并为实际工程应用提供了理论支持。
微元法在高中物理中的应用
微元法是一种分析、解决物理问题的常用方法，其基本思想是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从而将复杂的物理问题转化为简单的、易于解决的子问题，以便更好地进行分析和求解。
在高中物理中，微元法可以应用于以下几个方面：
1.计算物体的面积和体积：通过微元法，可以将物体的面积和体
积分别分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物体的面积和体积。
2.计算物理过程中的变化量：通过微元法，可以将物理过程分成
无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到整个物理过程中的变化量。
3.计算物理量在时间或空间上的变化率：通过微元法，可以将时
间或空间分成无限小的部分，然后对这些部分进行求解，最终将这些部分的解加起来，得到物理量在时间或空间上的变化
率。
总之，微元法在高中物理中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地解决一些复杂的物理问题。
微元法在物理学中的应用在物理学问题中，往往是针对一个对象经历某一过程或外于某些状态来进行研究，而在这些过程或状态之间，描述研究对象的物理量有的可能是不变的，更多的则是变化的，对于那些变化量的研究，有一种方法是把全过程分成很多微小的局部来考察，然后通过这些小过程或微小局部的研究而归纳出适用于全过程或者是整体的结论，这些微小过程或者微小局部常被称为微元法。
微元法也是一种转化问题的手段，这种转化的目的主要体现在以下几点：1、将变化的问题转化为恒定的问题，比如，物体做变速直线运动，物体运动的速度是变化的，但只要取一段很小的过程，在这一段很小过程中，就可以认为物体运动的速度是不变的。
将弯曲的转化为直线的，如果物体运动的轨迹是一条曲线，只要在曲线上取段足够短的长度，这个长度就可以看成是直线的。
微元法只是解题的一种手段，或者说是一种中间过程，这种“微”的无限收缩就变成了瞬时状态，而“微”的无限累积又可以演变为全过程，所以学习和掌握微元法不但要弄清楚这种方法的基本思路，还要知道这两种不同的发展趋势。
粗细忽略，质量分布均匀，半径分别为与的两圆环相切，若在切点处放一质点m ，恰好使其两边圆环对m 的万有引力的合力为零，问大小圆环的线密度须满足什么样的条件？分析：连接O 1、O 2交两圆于A 、B ，过切点P 作弦交两圆于C 、D ，设α=∠=∠DBP CPA αcos 2R CP = αc o s 2r CD =将CD 绕P 点顺时针转动到C 'D '，如图且α∆='∠='∠D DP C CP ，再由C C '向O 1；D D '向O 2连线，则α∆='∠='∠221D DO C CO故，R C C α∆='2 r D D α∆='2所以C C '所对应的质量与D D '所对应的质量对质点的引力若满足 ()()222122DP mr GCP mR Gαραρ∆=∆αραρ222221c o s 4c o s 4r rR R=rR 21ρρ=试证明质量均，厚度均匀的球壳内一质点，受到球壳万有引力为零。
物理学中微元法的应用编稿：李传安 审稿：张金虎【高考展望】随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。
教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。
高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。
在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。
【知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。
微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。
利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。
【方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程；（2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。
微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。
【典型例题】类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2012x v t at =+，试推导。
【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ∆极短，写出v t -图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。
【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ∆极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ∆时间内第i 段的位移为i i x v t =∆，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑∆，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。
当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OAPQ ，如图丙所示。
图线与轴所夹的面积，表示在时间t 内物体做匀变速直线运动的位移。
面积12S S S =+，又0P v v at =+，所以2012x v t at =+ 【总结升华】这是我们最早接触的微元法的应用。
总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微元，时间t ∆极短，认为速度不变，“化变为恒”，（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式i i x v t =∆，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和， i i x x v t =∑=∑∆。
举一反三【变式1】加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度大小为（ ）A.cos g θB. tan g θC. cos g θD. tan g θ【答案】B【解析】如图所示，取水面上质量为m ∆的水元为研究对象，其受力如图所示，应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为m ∆的水元受到的合力为=tan F mg θ∆合，根据牛顿第二定律可知=F ma ∆合， 则tan a g θ=，方向与启动方向相同。
【变式2】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳子与 水平方向成θ角时，求物体A 的速度。
【答案】0cos A v v θ= 【解析】设物体A 在θ角位置t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧绳长缩短L ∆，如图，当绳水平方向的角度变化很小时，有cos L x θ∆=∆，两边同除以t ∆得cos L x t tθ∆∆=∆∆，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率 即收绳速率0cos A v v θ=所以物体A 的速率为0cos A v v θ=. 类型二、微元法在功和能中的应用例2、(2015 北京卷) 真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示。
光照前两板都不带电。
以光照射A 板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出。
假设所有逸出的电子都垂直于A 板向B 板运动，忽略电子之间的相互作用。
保持光照条件不变。
a 和b 为接线柱。
已知单位时间内从A 板逸出的电子数为N ，电子逸出时的最大动能为E km 。
元电荷为e 。
(1)求A 板和B 板之间的最大电势差U m ，以及将a 、b 短接时回路中的电流I 短。
(2)图示装置可看作直流电源，求其电动势E 和内阻r 。
(3)在a 和b 之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U 。
外电阻上消耗的电功率设为P ；单位时间内到达B 板的电子，在从A 板运动到B 板的过程中损失的动能之和设为ΔE k 。
请推导证明:P =ΔE k 。
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明)【答案】(1) km E e Ne (2) km E e km 2E Ne (3)外电阻两端的电压为U ，则电源两端的电压也是U 。
【解析】(1)由动能定理，E km =eU m ，可得km m E U e= 短路时所有逸出电子都到达B 板，故短路电流I 短=Ne(2)电源的电动势等于短路时的路端电压，即上面求出的U m ，所以km m E E U e ==电源内阻km 2=E E r I Ne =短 (3)外电阻两端的电压为U ，则电源两端的电压也是U 。
由动能定理，一个电子经电源内部电场后损失的动能ΔE k e =eU设单位时间内有N'个电子到达B 板，则损失的动能之和ΔE k =N'ΔE k e =N'eU根据电流的定义，此时电源内部的电流I =N'e此时流过外电阻的电流也是I =N'e ，外电阻上消耗的电功率P =IU =N'eU所以P =ΔE k举一反三 【变式】（2014 上海徐汇模拟）如图所示，一台农用水泵装在离地面的一定高度处，其出水管是水平的．现仅有一盒钢卷尺，请你粗略测出水流出管口的速度大小和从管口到地面之间在空中水柱的质量(已知水的密度为ρ，重力加速度为g )．(1)除了已测出的水管内径l 外，还需要测量的物理量是____________(写出物理量名称和对应的字母)；(2)水流出管口的速度v 0的表达式为________________(请用已知量和待测量的符号表示)；(3)空中水柱的质量m 的表达式为____________(请用已知量和待测量的符号表示)．【答案】(1)水的水平射程x ，管口离地的高度h (2) 0=2g v h (3) 24xl m πρ= 【解析】 根据平抛运动的规律知，水平方向上有x =v 0t ，竖直方向上有212h gt = ，联立以上二式可得初速度0=2g v x h ；空中水的质量204xl m Sv t πρρ==.例3、从地面上以初速度0v 竖直向上抛出一质量为m 的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t 1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为1v ，且落地前球已经做匀速运动．求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H ．【思路点拨】（1）（2）求解不难。
（3）用微元法求解，首先根据牛顿第二定律写出加速度的表达式，再用v a t∆=∆，取微元然后写出v ∆与t ∆关系式，最后求和。
【答案】见解析。
【解析】（1）球从抛出到落地重力做功为零，根据动能定理22101122f W mv mv -=- 克服空气阻力做功22011122f W mv mv =- （2）阻力与其速率成正比抛出瞬间阻力0f kv = 匀速运动时11f kv =抛出瞬间阻力的大小为01v f mgv = 根据牛顿第二定律0mg f ma += 解得抛出瞬间的加速度大小为0011v a g v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）上升时加速度为a ，根据牛顿第二定律()mg kv ma -+=k a g v m=-- 取极短时间t ∆，速度的变化量v ∆，有k v a t g t v t m∆=∆=-∆-∆ 式中v t h ∆=∆上升全过程对等式两边求和k v g t h m∑∆=-∑∆-∑∆ 左边求和 00v v ∑∆=- （末减初）1g t gt -∑∆=- k k h H m m-∑∆=- （h H ∑∆=） 代入解得010k v gt H m -=--，又前面已求出1mg k v = 所以球上升的最大高度()011v gt v H g -=.【总结升华】取微元，根据相应的物理规律写出所求问题用微元表示的函数表达式，最后求和，注意各物理量的物理意义，解析中已经写得很清楚了。
类型三、微元法在动量中的应用例3、一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？【思路点拨】在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.【答案】.332LMgx gx gx gx N ==+=ρρρ 【解析】设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间t ∆，在t ∆内又有M x ρ∆=∆落到地面上静止.地面对M ∆作用的冲量为x v p t Mg F ∆=∆=∆∆-ρ)( 因为0≈∆⋅∆t Mg所以x v v M t F ∆=-⋅∆=∆ρ0 解得冲力：t x v F ∆∆=ρ，其中tx ∆∆就是t 时刻链条的速度v ， 故 2v F ρ=，链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的瞬时速度，即22v gx =，代入F 的表达式中，得gx F ρ2=即t 时刻链条对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力.所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332LMgx gx gx gx N ==+=ρρρ【总结升华】通过取微元分析，把变速冲击问题转化为恒定速度的冲击问题，这就体现了“化变为恒”的思想。
