向量的加法、减法运算及其几何意义

空间向量的基本运算在空间解析几何中，向量是表示有大小和方向的物理量。

空间向量具有三个分量，通常表示为A = (x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在x轴、y轴、z轴上的分量。

空间向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘。

一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的和向量C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。

二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。

设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的差向量C = A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。

三、数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。

设有向量A = (x, y, z)和实数k，它们的数量乘积为kA = (kx, ky, kz)。

四、点乘点乘又称为数量积或内积，是指将两个向量相乘再相加得到一个实数的运算。

设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的点乘结果为AB = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。

五、叉乘叉乘又称为向量积或外积，是指将两个向量相乘得到一个新向量的运算。

设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为C = A × B = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。

以上是空间向量的基本运算，它们在解决空间中的几何问题和物理问题中起着重要的作用。

通过这些基本运算，我们可以进行向量的相加减、放缩，计算向量之间的夹角，求解平面和直线的方程等。

向量加法减法法则在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量加法和减法是对向量进行运算的两种基本操作，它们遵循一些特定的法则和规则。

本文将详细介绍向量加法和减法法则，以及它们的应用和实际意义。

向量加法法则。

向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。

假设有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a + b。

根据向量加法法则，两个向量相加的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与两个向量的方向相同。

具体而言，如果a =(a1, a2)和b = (b1, b2)，那么它们的和可以表示为a + b = (a1+ b1, a2 + b2)。

向量加法的几何意义可以通过平行四边形法则来理解。

假设有两个向量a和b，它们的起点相同，分别指向平行四边形的相邻两条边。

那么a + b所得到的向量就是对角线的方向和大小。

这个几何意义对于理解向量加法很有帮助。

向量减法法则。

向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。

假设有两个向量a和b，它们的减法运算可以表示为a b。

根据向量减法法则，两个向量相减的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与从a指向b的方向相同。

具体而言，如果a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，那么它们的差可以表示为a b = (a1 b1, a2 b2)。

向量减法的几何意义可以通过平行四边形法则的变形来理解。

假设有两个向量a和b，它们的起点相同，分别指向平行四边形的相邻两条边。

那么a b所得到的向量就是对角线的方向和大小。

这个几何意义对于理解向量减法也很有帮助。

向量加法和减法的应用。

向量加法和减法在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

在物理学中，力的合成和分解可以通过向量加法和减法来进行计算。

在工程学中，速度、加速度和位移等物理量也可以通过向量加法和减法来进行分解和计算。

在计算机图形学中，向量加法和减法常常用于计算物体的运动轨迹和相对位置。

向量的运算与几何意义解析向量是数学中重要的概念，它可以用来表示方向和大小。

在实际应用中，我们经常需要对向量进行运算，并通过运算来解析向量的几何意义。

本文将探讨向量的四则运算（加法、减法、数量乘法和点乘）以及各种运算在几何上的意义。

1. 向量的加法（Vector Addition）向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

具体而言，给定两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A = A + A。

在几何上，这个运算可以理解为将向量A放在向量A的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图1：向量的加法示意图通过向量的加法，我们可以将多个向量连接起来，从而形成更长的向量。

2. 向量的减法（Vector Subtraction）向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。

具体而言，给定两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A = A - A。

在几何上，这个运算可以理解为从向量A的尾部指向向量A 的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图2：向量的减法示意图通过向量的减法，我们可以计算出两点之间的距离，或者确定一个向量相对于另一个向量的位置关系。

3. 向量的数量乘法（Scalar Multiplication）向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量。

具体而言，给定一个向量A和一个标量A，它们的数量乘法可以表示为：A = AA。

在几何上，这个运算可以理解为将向量A的大小进行缩放或扩大A倍，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图3：向量的数量乘法示意图通过向量的数量乘法，我们可以改变向量的大小，同时保持其方向不变。

4. 向量的点乘（Dot Product）向量的点乘是指将两个向量进行运算得到一个标量。

具体而言，给定两个向量A和A，它们的点乘可以表示为：A = A·A。

计算方法是将两个向量对应位置的元素相乘，然后将相乘的结果相加。

在几何上，点乘的结果是两个向量之间的夹角的余弦值乘以向量的模长乘积，如下图所示：图4：向量的点乘示意图通过向量的点乘，我们可以计算出两个向量之间的夹角，以及一个向量在另一个向量方向上的投影长度。

注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。

专题2.2.1-2向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型【举一反三系列】【知识点1 向量加法的三角形法则与平行四边形法则】1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b AB BC AC +=+=．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b ，作,AB a AD b ==，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a ，我们规定00a a a +=+=．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.【知识点2 向量求和的多边形法则及加法运算律】1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++【知识点3 向量的减法】1．向量的减法（1）如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量．（2）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()a b a b -=+-．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．2．向量减法的作图方法（1）已知向量a ，b ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-=OA OB -,即向量BA 等于终点向量（OA ）减去起点向量（OB ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -．作,,OA a OB b AC b ===-，则()OC a b =+-，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．【考点1 向量的加减法运算】【例1】化简：（1）AB AC BD CD -+-；（2）AB MB BO OM +++；（3）MB AC BM ++；（4）OA OC BO CO +++．【分析】根据向量加法、减法的几何意义，用有向线段的起点和终点表示向量，以及相反向量的概念进行向量的加法和减法的运算从而化简每个式子即可．【答案】解：（1）0AB AC BD CD CB BD DC -+-=++=；（2）AB MB BO OM AB MB BM AB +++=++=；（3）MB AC BM MB BM AC AC ++=++=；（4）0OA OC BO CO BO OA OC CO MA MA +++=+++=+=【点睛】考查向量、向量加法，以及向量减法的几何意义，相反向量和零向量的概念．【变式1-1】化简：（1）AB DC BD AC ++-；（2）OA OD AD -+；（3）MN MP NQ QP -++；（4）AB AD DC --．【分析】利用向量三角形法则及其交钱加法减法法则即可得出．【答案】解：（1）0AB DC BD AC AB BC AC AC AC ++-=+-=-=；（2）0OA OD AD DA AD -+=+=；（3）0MN MP NQ QP PN NP -++=+=；（4）AB AD DC DB DC CB --=-=．【点睛】本题考查了向量三角形法则及其交钱加法减法法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式1-2】化简下列各式：（1）OA OB OC CO -+--；（2）()()AB CD BC AD ++-．【分析】使用向量加减混合运算的法则进行计算．【答案】解：（1）)()()OA OB OC CO OB OA CO CO AB -+--=-+-=．（2）)()()0AB CD BC AD AB CD BC AD AB BC CD AD AD AD ++-=++-=++-=-=．【点睛】本题考查了平面向量的加减混合运算，属于基础题．【变式1-3】化简：（1）AB BC CA ++（2）()AB MB BO OM +++（3）OA OC BO CO +++（4）AB AC BD CD -+-（5）OA OD AD -+（6）AB AD DC --（7）NQ QP MN MP ++-．【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可．【答案】解：（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=；（2）()()AB MB BO OM AB MB BO OM AB MO MO AB +++=+++=+-=；（3）()()0OA OC BO CO OA OB OC OC BA BA +++=-+-=+=；（4）()()0AB AC BD CD AB AC BD DC CB BC -+-=-++=+=；（5）()0OA OD AD OA OD AD DA AD DA DA -+=-+=+=-=；（6）()--=--=-=；AB AD DC AB AD DC DB DC CB（7）()()0 ++-=++-=+=．NQ QP MN MP NQ QP MN MP NP PN【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，是基础题目．【考点2 利用向量的加减法法则作图】【例2】对下图中各组向量a、b，求作a b+．【分析】将两向量首尾相接，则a b+表示从起点到指向终点的向量．【答案】解：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了平面向量加法的集合意义．属于基础题．【变式2-1】对图中各组向量a、b，求作a b-【分析】将两向量的起点平移到一起，则a b-表示由b的终点指向a的终点的向量．【答案】解：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了利用平面向量的三角形法则作图，属于基础题．【变式2-2】根据已知向量a、b，求作a b-．+、a b(1(2(3【分析】利用向量加减运算的三角形法则作图．【答案】解：（1）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：（2）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：（3）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：【点睛】本题考查了平面向量加减运算的几何意义，属于基础题．【变式2-3】已知（1）（2）（3）（1）求作：a十b；（2）求作：a十b；（3）求作：a十b十c．【分析】利用向量的平行四边形法则即可作出．【答案】解：如图所示，（1）先把向量a平移到OB，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC a b=+．（2）同理可得：OB a b=+；（3）OA a b=，=+，BO c则BA a b c=++．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【考点3 用已知向量表示相关向量】【例3】（2019春•东城区期末）如图，向量AB a=，AC b=，则向量BD可以表示为()=，CD cA．a b c-+D．b a c--+-B．a b c-+C．b a c【分析】通过向量的加法减法的运算法则，表示出结果即可．【答案】解：如图，向量AB a=+，=，则向量BD BA AD=，CD c=，AC b+=++=-++．BA AD BA AC CD a b c故选：C．【点睛】本题考查向量的基本运算，考查计算能力．【变式3-1】如图所示，在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，对角线AC 与BD 交于点O ，设O A a =，OB b =，用a 和b 表示AB 和AD ．【分析】由题意得AB AO OB OA OB b a =+=-+=-，由AC AB AD =+可得四边形ABCD 是平行四边形，从而求得()AD AO OD b a =+=-+． 【答案】解：OA a =，OB b =，∴AB AO OB OA OB b a =+=-+=-，AC AB AD =+，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD b =-=，∴()AD AO OD b a =+=-+．【点睛】本题考查了平面向量的加法及其几何意义的应用．【变式3-2】如图所示，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f 表示下列向量．（1）AC ；（2）AD ；（3）AD AB -；（4）AB CF +；（5）BF BD -．【分析】利用平面向量线性运算的三角形法则进行表示．【答案】解：（1）AC OC OA c a=-=-；（2）AD OD OA d a=-=-；（3）AD AB BD OD OB d b-==-=-；（4）AB CF OB OA OF OC b a f c+=-+-=-+-；（5）BF BD DF OF OD f d-==-=-．【点睛】本题考查了平面向量线性运算的三角形法则，属于基础题．【变式3-3】向量a，b，c，d，e如图所示，解答下列各题：（1）用a，d，e表示DB；（2）用b，c表示DB；（3）用a，b，e表示EC；（4）用d，c表示EC．【分析】利用平面向量加法的三角形法则及相反向量求解即可．【答案】解：（1）DB DE EA AB d e a=++=++；（2）DB DC CB c b=+=--；（3）EC EA AB BC e a b=++=++；（4）EC ED DC d c =+=--．【点睛】本题考查了平面向量加法的三角形法则及相反向量，加法比减法更简单一些．【考点4 向量的加减法的几何意义】【例4】（2019春•水富县校级期中）已知O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，//||||AB CD OA OB OC OD -=-且则四边形ABCD 一定为( )A ．菱形B ．任意四边形C ．平行四边形D ．矩形 【分析】根据OA OB OC OD -=-和//AB CD 可得//AB CD 且AB CD =即可判断该四边形．【答案】解：由OA OB OC OD -=-得||||AB CD =，又//AB CD 所以//AB CD 且AB CD =，∴四边形ABCD 为平行四边形．故选：C ．【点睛】本题考查了平面向量的运算性质和向量的平行，属基础题．【变式4-1】（2019秋•沧州期末）O 为四边形ABCD 所在平面内任意一点，若OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【分析】根据OA OC OB OD +=+即可得出BA CD =，从而得出四边形ABCD 为平行四边形．【答案】解：OA OC OB OD +=+；∴OA OB OD OC -=-；∴BA CD =；//BA CD ∴，且BA CD =；∴四边形ABCD 为平行四边形．故选：A ．【点睛】考查向量减法的几何意义，相等向量的概念，以及平行四边形的定义．【变式4-2】（2019•海淀区一模）在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则( )A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上 【分析】据条件，容易得出AD AB CB =+，可作出图形，并作BD CB '=，并连接AD '，这样便可说明点D 和点D '重合，从而得出点D 在CB 的延长线上．【答案】解：2AD AB AC =-AB AB AC =+-AB CB =+；如图，作BD CB '=，连接AD '，则：AB CB AB BD AD AD +=+'='=；D ∴'和D 重合；∴点D 在CB 的延长线上．故选：D ．【点睛】考查向量减法的几何意义，向量的几何意义，相等向量的概念，以及向量加法的三角形法则．【变式4-3】（2019秋•昌平区期末）在平行四边形ABCD 中，若||||AB AD AB AD -=+，则平行四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形【分析】根据向量的基本运算，利用平方法进行判断即可．【答案】解：由||||AB AD AB AD -=+，平方得222222AB AB AD AD AB AB AD AD -+=++，得得0AB AD =，即得AB AD ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形，故选：A ．【点睛】本题主要考查平行四边形的形状的判断，根据向量的基本运算，是解决本题的关键．【考点5 利用向量的加减法证明几何问题】【例5】P ，Q 是三角形ABC 边BC 上两点，且BP QC =，求证：AB AC AP AQ +=+．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法与减法的几何意义，即可得出结论．【答案】证明：P ，Q 是三角形ABC 边BC 上两点，且BP QC =，如图所示；=-，∴BP AP AB=-；QC AC AQ又BP QC=，-=-，∴AP AB AC AQ+=+；∴AP AQ AC AB即AB AC AP AQ+=+．【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义的应用问题，是基础题目．【变式5-1】（2019•广东模拟）如右图，已知点D、E、F分别是ABC∆三边AB、BC、CA的中点，求证：0++=．EA FB DC【分析】由题意先证明ADEF为平行四边形，再由向量加法的平行四边形法则得ED EF EA+=，同理求出FB，DC再把三个式子加起来，重新组合利用向量加法的首尾相连法则求解．【答案】证明：连接DE、EF、FD，如图，D、E、F分别是ABC∆三边的中点，DE AF，∴，////EF AD∴四边形ADEF为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则，得ED EF EA+=①，同理在平行四边形BEFD中，FD FE FB+=②，在平行四边形CFDE在中，DF DE DC+=③，将①②③相加，得(EA FB DC ED EF FD FE DE DF++=+++++=+++++()()()EF FE ED DE FD DF=【点睛】本题的考点是向量的加法及其几何意义，根据图中的中点构成的中位线证明四边形是平行四边形，利用四边形法则，把所要证明的向量和转化为其他向量的和，由加法的首尾相连法则证出．【变式5-2】O是平行四边形ABCD外一点，求证：OA OC OB OD+=+．【分析】将OA OC和表达，找关系即可．和放在三角形中，由向量加法的三角形法则用OB OD【答案】解：OA OC OB BA OD DC+=+++因为ABCD是平行四边形，所以0+=BA DC所以OA OC OB OD+=+【点睛】本题考查向量加法的几何意义，向量的三角形法则．【变式5-3】点D，E，F分别是ABC∆三边AB，BC，CA的中点，求证：（1）AB BE AC CE+=+．（2）0++=．EA FB DC【分析】（1）利用图形和向量加法的三角形法则，证明左边等于右边；（2）利用图形和向量加法的三角形法则，分别求出EA、FB和DC，再把它们加在一起，由中点和向量相等证明出左边等于0．【答案】证明：（1）由向量加法的三角形法则得，AB BE AE +=，同理可得，AC CE AE +=，∴AB BE AC CE +=+，（2）由向量加法的三角形法则得，EA EB BA =+，同理可得，FB FC CB =+，DC DB BC =+，∴左边EA FB DC EB BA FC CB DB BC EB BA FC DB =++=+++++=+++①，点D ，E ，F 分别是ABC ∆三边AB ，BC ，CA 的中点，∴FC AF =，代入①得，左边EB BF DB EF DB =++=+， 又EF BD =，∴左边0==右边，故等式成立．【点睛】本题的考点是向量加法以及几何意义，主要考查了三角形法则以及向量相等的应用，注意利用图形进行化简和证明．【考点6 用向量解决实际问题】【例6】在水流速度为10/km h 的河中，如果要使船以/h 的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．【分析】由题意，画出示意图，然后利用向量的加法运算解答．【答案】解：如图，OA 表示水流方向，OB 表示垂直于对岸横渡的方向，OC 表示船航行的方向，有OB OC OA =+可知BC OA =，所以||||10BC OA ==，||OB =||20OC =，且120AOC ∠=︒． 所以船行驶速度的大小20/km h ，与水流方向成120︒角行驶．【点睛】本题考查了向量加法的实际应用，关键是明确水流方向与船的航行方向的合成为船实际航行方向．【变式6-1】已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5/km h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在诲面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25/km h ，若艇要沿着与桥平行的方问由南向北航行，则艇的航向如何确定？【分析】根据题意分别用向量表示船速、水流速度，由向量加法的四边形法则画出图形，根据条件在直角三角形中求出船航行的角度．【答案】解：如图，设渡船速度为OB ，水流速度为OA ，则船实际垂直过江的速度为OD ，由题意知，||12.5OA =，||25OB =，四边形OADB 为平行四边形，||||BD OA ∴=，又OD BD ⊥，∴在Rt OBD ∆中，30BOD ∠=︒，则航向为北偏西30︒．【点睛】本题考查了向量的加法几何意义的实际应用，即用向量来表示题中的矢量，根据向量的知识进行求解．【变式6-2】一艘轮船从码头出发驶向河对岸，已知轮船的速度为6/km h ，河水的流速为2/km h ，轮船的实际航行路线与对岸的岸边垂直．（1）试用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度；（2）求轮船航行的实际速度的大小（精确到0.01 1.414)≈．【分析】（1）设河水速度为0v 、轮渡速度为1v ，轮渡实际航行的速度为v ，由题意能用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度．（2）由16/v km h =，0/v km h =，0v v ⊥，利用勾股定理能求出轮船航行的实际速度．【答案】解：（1）设河水速度为0v 、轮渡速度为1v ，轮渡实际航行的速度为v ，由题意用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度如下图：（2）16/v km h =，0/v km h =，0v v ⊥，∴轮船航行的实际速度262 5.656(/)v km h =-==．【点睛】本题考查向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度，考查轮船航行的实际速度的大小的求法，是基础题，解题时要注意向量三角形法则的合理运用．【变式6-3】为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5/km h ．（1）试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水的速度方向间的夹角表示）．【分析】（1）根据方向和速度大小作图；（2）利用向量加法的平行四边形法则求出矩形的对角线和DAC ∠． 【答案】解：（1）作出向量如图所示：其中AC 表示江水速度，AB 表示船速，AD 表示船实际航行速度．（2）AB AC ⊥，AD AB AC =+，∴四边形ABDC 是矩形，2||510AD ∴=．tan DAC ∠==60DAC ∴∠=︒． ∴船实际航行的速度为10/km h ，实际航行方向与江水速度方向夹角为60︒．【点睛】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．。

平面向量的加法与减法平面向量是数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域中广泛应用。

在平面上，向量的加法和减法是基本操作，通过它们可以计算出两个或多个向量的合成向量或差向量。

本文将详细介绍平面向量的加法和减法。

一、向量的表示和基本概念在平面几何中，向量通常用带箭头的有向线段表示。

向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对(x, y)来表示，其中x和y分别代表向量在x轴和y轴上的分量。

例如，向量a可以表示为a = (a₁, a₂)，其中a₁为x轴分量，a₂为y轴分量。

二、向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加得到一个新的向量。

对于平面上的向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，它们的加法可以表示为：a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

根据加法的定义，我们可以得出以下结论：1. 加法满足交换律，即a + b = b + a。

2. 加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。

3. 存在零向量，它与任何向量相加都不改变该向量的值，即a + 0 = a。

三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

对于平面上的向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，它们的减法可以表示为：a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。

根据减法的定义，我们可以得出以下结论：1. 减法不满足交换律，即a - b ≠ b - a。

2. 减法满足结合律，即(a - b) - c = a - (b + c)。

3. 任何向量减去自身等于零向量，即a - a = 0。

四、向量的几何意义向量的加法和减法可以通过向量的几何意义来理解。

具体而言，向量的加法可以解释为将一个向量沿着另一个向量的方向进行平移得到一个新的向量。

而向量的减法可以解释为从一个向量指向另一个向量的位置，得到一个连接两个位置的向量。

五、向量的图形运算法则在进行向量的加法和减法计算时，我们可以借助平移和三角形等图形运算法则来简化计算过程。

向量的加减运算向量的加减运算是向量运算中的基本运算之一，其实现的基本思想是将相应位置的分量进行加减运算，从而得到一个新的向量。

本文将对向量的加减运算进行详细的阐述，以便读者更好地理解向量运算的基本概念和应用。

一、定义向量的加减运算是指两个向量分别按照相应位置的分量进行加减运算，得到一个新的向量的过程。

设向量A=(a1,a2,…,an)和向量B=(b1,b2,…,bn)，则这两个向量的和定义为：A+B=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)向量的差定义为：A-B=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)其中，n表示向量的维数，a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn分别表示向量A和向量B的相应位置的分量。

二、性质1、交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。

2、结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B+C)。

3、向量的加法具有可减性质：A+B=C，则A=C-B。

三、几何意义向量的加减运算在几何上也有很重要的意义。

在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量表示为从原点指向平面上某一点的箭头。

对于两个向量A和B，它们的加法A+B 表示从原点出发分别沿着A和B的方向行进，得到的结果向量。

对于向量的减法A-B，则其几何意义为：先将向量B 沿着原向量A的方向平移，使起始点与A的起始点重合，然后以B的终点为终点，从起始点向后连接箭头，得到的结果向量。

四、应用向量的加减运算在许多科学领域都有着广泛的应用。

以下列举几个例子：1、物理学中，向量的加减运算可以用来求解质点的轨迹、速度、加速度等物理量。

2、计算机图形学中，向量的加减运算可以用来实现三维变换、光线跟踪、模拟物理等功能。

3、信号处理中，向量的加减运算可以用来计算信号的平均值、方差等统计量。

4、工程学中，向量的加减运算可以用来求解矩阵运算、拟合数据等问题。

五、总结向量的加减运算是向量运算中的基本运算之一，其实现的基本思想是将相应位置的分量进行加减运算，从而得到一个新的向量。

向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。

向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。

二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。

向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。

2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。

向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。

2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。

设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。

则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。

3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。

设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。

则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。

4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。

将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。

总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。

它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。

向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。

向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。

向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。

二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。

向量的运算和几何意义向量是几何学中的重要概念，它不仅可以进行运算，还具有重要的几何意义。

本文将对向量的运算和几何意义进行探讨，并分析其在实际应用中的重要性。

一、向量的定义和表示在数学中，向量可以定义为具有大小和方向的量。

向量可以用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

一个向量通常用它的起点和终点来表示，也可以用坐标表示。

二、向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。

1. 向量的加法向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则它们的和向量c=(a1+b1, a2+b2)。

2. 向量的减法向量的减法即将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，则它们的差向量c=(a1-b1, a2-b2)。

三、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量的两种重要运算。

1. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号“·”表示。

设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，它们的数量积为a·b = a1*b1 + a2*b2。

在几何上，向量的数量积表示两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的模。

2. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号“×”表示。

设有向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，它们的向量积为c=(0, 0, a1*b2 - a2*b1)。

向量的向量积表示两个向量所在平面的法向量，其模为两个向量构成的平行四边形的面积。

四、向量的几何意义向量在几何中具有重要的意义，可以表示平移、旋转、拉伸等几何变换。

1. 平移向量的几何意义之一是表示平移。

当一个向量作用在一个点上时，该点将按照向量的方向和大小发生平移。

2. 旋转向量的几何意义之二是表示旋转。

当一个向量作用在一个平面上时，该平面将按照向量的方向和大小发生旋转。