选修不等式选讲高考真题训练
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不等式选讲综合测试海南 李传牛一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若||||a c b -<，则下列不等式中正确的是（ ）．A ．a b c <+B ．a c b >-C ．||||||a b c >-D ．||||||a b c <+1．D ||||||||c b a c b c b -<<+≤+．2．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（ ）． A ．A B = B ．A B < C ．A B ≤ D ．A B >2．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B <． 通过放大分母使得分母一样，整个分式值变小3．设命题甲：|1|2x ->，命题乙：3x >，则甲是乙的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． A 命题甲：3x >，或1x <-，甲可推出乙．4．已知,,a b c 为非零实数，则222222111()()a b c a b c++++最小值为( ) ． A ．7 B ．9 C ．12 D ．184．B 22222222111111()()()(111)9a b c a b c a b c a b c ++++≥⋅+⋅+⋅=++=， ∴所求最小值为9．5．正数,,,a b c d 满足a d b c +=+，||||a d b c -<-，则有（ ）．A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定5．C 特殊值：正数2,1,4,3a b c d ====，满足||||a d b c -<-，得ad bc >．或由a d b c +=+得222222a ad d b bc c ++=++，∴2222()()22a d b c bc ad +-+=-，（1）由||||a d b c -<-得222222a ad d b bc c -+<-+，（2）将（1）代入（2）得2222bc ad bc ad -<-+，即44bc ad <，∴ad bc >．6．如果关于x 的不等式250x a -≤的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．4580a ≤<B ．5080a <<C ．80a <D ．45a >6．A 250x a -≤，得≤1,2,3，则34≤<． 7．设,,1a b c >，则log 2log 4log a b c b c a ++的最小值为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．87．C log ,log ,log 0a b c b c a >，log 2log 4log 6a b c b c a ++≥==． 8．已知|23|2x -≤的解集与2{|0}x x ax b ++≤的解集相同，则（ ）．A ．53,4a b ==-B ．53,4a b =-=C ．53,4a b ==D ．174a b += 8．Ｂ 由|23|2x -≤解得1522x ≤≤，因为|23|2x -≤的解集与2{|0}x x ax b ++≤ 的解集相同，那么12x =或52x =为方程20x ax b ++=的解，则分别代入该方程，得11304252550442a ab b a b ⎧=-++=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪++=⎩⎪⎩． 9．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．89．B∵21()()11)a y ax x y a xy x y ++=+++≥，∴21)9≥，∴4a ≥． 10．设222,,0,3a b c a b c ≥++=，则ab bc ca ++的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．3 D．3 10．C 由排序不等式222a b c ab bc ac ++≥++，所以3ab bc ca ++≤．11．已知2()3(1)32x x f x k =-+⋅+，当x R ∈时，()f x 恒为正，则k 的取值范围是（ ）．A ．(,1)-∞- B．(,1)-∞ C．(1,1)- D．(1,1)-11．B 23(1)320x x k -+⋅+>，232(1)3x xk +>+⋅，即23213x x k +>+，得2313xx k +≥>+，即1k <． 12．用数学归纳法证明不等式111113123224n n n n +++⋅⋅⋅+>+++(2,)n n N *≥∈的过程中，由n k =逆推到1n k =+时的不等式左边（ ）． A ． 增加了1项)1(21+k B ．增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” C ．增加了2项)1(21121+++k k D ．增加了)1(21+k ，减少了11+k 12．B 注意分母是连续正整数．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．不等式2||1x x+<的解集为 ． 13．{|1}x x <- ∵0x ≠，∴|2|||x x +<，即22(2)x x +<，∴10x +<，1x <-，∴原不等式的解集为{|1}x x <-．14．已知函数2()1f x x ax =-+，且|(1)|1f <，那么a 的取值范围是 ．14．13a << 2()1f x x ax =-+，(1)2f a =-，而|(1)|1f <，即|2|1a -<．15．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________．15．9 22123312()3922x x f x x x x =+=++≥=． 16．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是 ．16 2222(111(111)()3a b c ≤++++=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）3a b c ++≥． 17．证明：∵2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++， ∴2222()39a b c a b c ++++≥，3a b c ++≥． 18．（本小题满分10分）无论,x y 取任何非零实数，试证明等式111x y x y+=+总不成立． 18．证明：设存在非零实数11,x y ，使得等式1111111x y x y +=+成立， 则11111111()()y x y x x y x y +++=，∴2211110x y x y ++=，即221113()024y x y ++=， 但是10y ≠，即221113()024y x y ++>，从而得出矛盾． 故原命题成立．19．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 为ABC 的三边，求证：2222()a b c ab bc ca ++<++．19．证明：由余弦定理得2222cos bc A b c a =+-，2222cos ac B a c b =+-，2222cos ab C a b c =+-，三式相加得2222cos 2cos 2cos bc A ac B ab C a b c ++=++，而cos 1,cos 1,cos 1A B C ≤≤≤，且三者至多一个可等于1，即2cos 2cos 2cos 222bc A ac B ab C bc ac ab ++<++，所以2222()a b c ab bc ca ++<++．20．（本小题满分12分） 已知,,a b c都是正数，求证：2(3(23a b a b c +++≤． 20．证明：要证2(3(23a b a b c +++≤，只需证a b a b c +-≤++-，即c -≤-移项得c +≥∵,,a b c 都是正数，∴c c +=≥=，∴原不等式成立．21．（本小题满分12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试问：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长21．解：如图，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S xy =，由题意得40245203200x y xy +⨯+=，应用二元均值不等式， 得32002409020x y xy ≥⋅+∴6160S S +≤，即(16)(10)0S S +-≤，∵160S +>，∴100S -≤，∴100S ≤．因此，S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是4090x y =，而100xy =，求得15x =，即铁栅的长应是15米．22．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，对于任意的,0m n >满足()()()f m f n f mn +=，且a ，b (0)a b <<满足|()||()|2|()|2a b f a f b f +==． （1）求(1)f ；（2）若(2)1f =，解不等式()2f x <；（3）求证：322b <<+．22．解：（1）因为任意的,0m n >满足()()()f m f n f mn +=，令1m n ==，则(1)(1)(1)f f f +=，得(1)0f =；（2）()211(2)(2)f x f f <=+=+，而(2)(2)(4)f f f +=， 得()(4)f x f <，而()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，04x <<，得不等式()2f x <的解集为(0,4)；（3）∵(1)0f =，()f x 在(0,)+∞上的单调递增，∴(0,1)x ∈时，()(1)0f x f <=，(1,)x ∈+∞时，()(1)0f x f >=．又|()||()|f a f b =，()()f a f b =或()()f a f b =-，∵0a b <<，则()(),()()f a f b f a f b ≠<，∴()()f a f b =-，∴()()()0(1)f a f b f ab f +===，∴1ab =，得01a b <<<．∵|()|2|()|2a b f b f +=，且1b >，12a b +>=，()0,()02a b f b f +>>， ∴()2()2a b f b f +=，∴2()()()[()]222a b a b a b f b f f f +++=+=， 得2()2a b b +=，∴2242b a ab b =++， 即2242b b a --=，而01a <<，∴20421b b <--<，又1b >，∴32b <<答案与解析：备用题：1．已知a b >，c d >，则下列命题中正确的是（ ）．A ．a c b d ->-B ．a b d c> C ．ac bd > D ．c b d a ->- 1．D 令1,0,1,2a b c d ===-=-，可验证知D 成立，事实上我们有a b b a >⇒->-①，c d >②，①﹢②可得c b d a ->-．2．已知,a b R ∈，0h >．设命题甲：,a b 满足||2a b h -<；命题乙：|1|a h -<且|1|b h -<，那么甲是乙的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件2．B |1|a h -<，|1|b h -<，则|1||1|2a b h -+-<，而|1||1|||a b a b -+-≥-， 即||2a b h -<；命题甲：||2a b h -<不能推出命题乙：|1|a h -<且|1|b h -<．3．证明11111234212n n ++++⋅⋅⋅+>- ()n N *∈ ，假设n k =时成立，当1n k =+时，左端增加的项数是（ ）． A ．1项B ．1k -项C ．k 项D ．2k 项3．D 从12121k k +-→-增加的项数是2k ．4．如果|2||5|x x a -++>恒成立，则a 的取值范围是 ．4．7a < |2||5|7x x -++≥，而|2||5|x x a -++>恒成立，则7a >，即7a <．5．已知函数()log ()m f x m x =-在区间[3,5]上的最大值比最小值大1，则实数m = ．5．36+ 显然0m x ->，而[3,5]x ∈，则5m >，得[3,5]是函数()log ()m f x m x =-的递减区间，max ()log (3)m f x m =-，min ()log (5)m f x m =-，即log (3)log (5)1m m m m ---=，得2630m m -+=， 36m =±，而1m >，则36m =+．6．要制作如图所示的铝合金窗架，当窗户采光面积为一常数S 时（中间横梁面积忽略不计），要使所用的铝合金材料最省，窗户的宽AB 与高AD 的比应为 ．6．2:3 设宽AB 为x ，高AD 为y ，则xy S =，所用的铝合金材料为32x y +，322626x y xy S +≥=，此时32x y =，:2:3x y =．7．若01a b <<<，试比较1m a a =+与1n b b=+的大小． 7．解：1111()()()()b a m n a b a b a b a b a b ab--=+-+=-+-=-+， 即1()(1)m n a b ab -=--，而01a b <<<，则101,1ab ab<<>， 得10,10a b ab -<-<，即0m n ->，所以m n >． 8．已知0c >，设P ：函数x y c =在R 上单调递减，Q ：不等式|2|1x x c +->的解集 为R ．如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．8．解：∵x y c =在R 上单调递减，∴01c <<，又∵22(2)|2|2(2)x c x c x x c cx c -≥⎧+-=⎨<⎩的最小值是2c ，∴21c >，即12c >， 由题设，当P 为真Q 为假时，有01c <<，且102c <≤， ∴102c <≤；当P 为假Q 为真时，有1c ≥且12c >，∴1c ≥．故c 的取值范围是1(0,][1,)2+∞．作 者 李传牛 工作单位 海南省海口市第十四中学 邮政编码 570311 联系手机 QQ 交流。
