2019年湖南省常德市中考数学试卷及答案解析

2019年初中毕业升学考试（湖南常德卷）数学【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．± D．±2二、选择题2. 下面实数比较大小正确的是（）A．3＞7 B． C．0＜﹣2 D．22＜33. 如图，已知直线a∥b，∠1=100°，则∠2等于（）A．80° B．60° C．100° D．70°4. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A． B． C．D．5. 下列说法正确的是（）A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上6. 若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5三、单选题7. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④＞0，其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个四、选择题8. 某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（）A．9天 B．11天 C．13天 D．22天五、填空题9. 使代数式有意义的x的取值范围是．10. 计算：a2•a3= ．11. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为__________.12. 已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式．13. 张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是．14. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是．15. 如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= ．16. 平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B （﹣1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是．六、计算题17. 计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（）0．七、解答题18. 解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来．．19. 先化简，再求值：（），其中x=2．20. 如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．21. 某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？22. 南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732， =1.732， =1.414）23. 今年元月，国内一家网络诈骗举报平台发布了《2015年网络诈骗趋势研究报告》，根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图：（1）该平台2015年共收到网络诈骗举报多少例？（2）2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是多少亿元？（保留三个有效数字）（3）2015年每例诈骗的损失年增长率是多少？（4）为提高学生的防患意识，现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对象，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少？24. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．25. 已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．八、判断题26. 如图,已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，-2）．（1）求抛物线的解析式；（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

湖南省常德市2019年初中毕业会考､高级中等学校招生考试 数学答案解析第Ⅰ卷1．【答案】B【解析】根据中心对称的性质，得点12（-，）关于原点的对称点的坐标为12（，-） 【考点】关于原点对称的点的坐标.故选：B2．【答案】A 【解析】∵4>，34∴选项中比3大比4故选：A【考点】无理数的定义3．【答案】D 【解析】A 、原式2，所以A 选项错误；B 、原式＝＝B 选项错误；C 、原式2＝，所以C 选项错误；D、原式=，所以D 选项正确 【考点】二次根式的混合运算4．【答案】A【解析】∵数据的极差为16 800，较大，∴平均数不能反映数据的集中趋势，∴普通员工最关注的数据是中位数及众数，故选：A【考点】统计量的选择的知识5．【答案】C【解析】如图所示，该几何体的左视图是：．故选：C【考点】几何体的三视图6．【答案】B 【解析】根据题意可得：151210x x x ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，可得：1215x ≤≤，∴1215x <<，故选：B【考点】一元一次不等式组的应用7．【答案】D【解析】如图，，根据题意得AFH ADE △∽△，∴2239===416AEF ADE S FH S DE ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△设9AFH S x △＝，则16ADE S x △＝，∴1697x x ﹣＝，解得1x ＝，∴16ADE S △＝，∴四边形D B C E 的面积421626-＝＝．故选：D【考点】相似三角形的判定8．【答案】A【解析】∵ 071＝，177＝，2749＝，37343＝，472401＝，5716807＝，…，∴个位数4个数一循环，∴201914505+÷（）＝，∴179320+++＝，∴01220197777+++⋯+的结果的个位数字是：0．故选：A【考点】尾数特征第Ⅱ卷9．【答案】3【解析】在数轴上表示3-的点与原点的距离是|33|-＝【考点】实数与数轴10．【答案】7x >【解析】3124x x （）+>+， 3128x x +>+，7x >【考点】解一元一次不等式的基本能力11．【答案】乙【解析】2 2.83S 甲＝∵，2 1.71S 乙＝，2 3.52S 丙＝，而1.71 2.83 3.52<<，∴乙的成绩最稳定，∴派乙去参赛更好【考点】方差的意义12．【答案】9710-⨯【解析】970.000 000 007710-⨯纳米＝米＝米【考点】用科学记数法表示较小的数13．【答案】15x y =⎧⎨=⎩【解析】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②-①得1x ＝③，将③代入①得5y ＝， 15x y =⎧⎨=⎩∴ 【考点】二元一次方程组的基本解法14．【答案】22.5︒【解析】∵将ABD △绕点A 逆时针旋转45︒得到ACD '△， '45BAC CAD ∠∠︒∴＝＝，'AD AD ＝， '67.5AD D ∠︒＝∴，'90D AB ∠︒＝， 22.5ABD ∠︒＝∴【考点】旋转的性质15．【答案】4【解析】21x x +∵＝， 432222333133133131314x x x x x x x x x x x +++++++++++＝（）＝＝（）＝＝∴【考点】因式分解的应用16．【答案】①②③【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点214P m m （，），则1Q m （，-），2114MP m +∴＝，2114PQ m +＝，∵点P 在第一象限， 0m >∴， 2114MP m +＝∴， MP PQ ∴＝，又MN PQ ∵∥，∴四边形PMNQ 是广义菱形，④正确；故答案为①②③【考点】新定义，二次函数的性质17．【解析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值.26227812原式＝＝【考点】实数的运算18．【答案】1317x ，2317x【解析】证明：∵1a ＝，3b ＝-，2c ＝-； 22434129817b ac ﹣＝（-）（-）＝＝∴； 24b b ac x ∴＝ 317 1317x ∴，2317x【考点】了解一元二次方程的解法19．【答案】19【解析】22221321()()11x x x x x x x x x-- 221321=1111x x x x x x x x x x x x ， 21131=1121x x x x x x x x x x x 22221311(1)x x x x x x 2111(1)x x x 21(1)x 当时2x ＝，原式211(21)9【考点】分式的化简求值20．【答案】(1)2y x(2)P 的坐标为20（-，）或80（，） 【解析】(1)把点1A a （，）代入3y x ＝-，得2a ＝， 12A ∴（，）把12A （，）代入反比例函数k y x， 122k ∴＝＝；∴反比例函数的表达式为2y x； (2)∵一次函数3y x ＝-的图象与x 轴交于点C ，30C ∴（，）， 设0P x （，）， ||3PC x ＝∴，|1|3252APC S x △∴＝＝， 2x ∴＝-或8x ＝，P ∴的坐标为20（-，）或80（，）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题五、21．【答案】(1)20y x 甲＝10100y x 乙＝(2)选择乙消费卡比较合算【解析】(1)设1y k x 甲＝，根据题意得15100k ＝，解得120k ＝， 20y x 甲∴＝； 设2100y k x 乙＝，根据题意得：220100300k ＝，解得210k ＝， 10100y x 乙＝∴ (2)①y y 乙甲，即2010100x x ，解得10x ，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算； ②y y 乙甲，即20=10100x x ，解得x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样； ③y y 乙甲，即2010100x x ，解得10x ，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算【考点】一次函数的应用22．【答案】(1)AB 是O ⊙的切线(2)6AC 的长为【解析】(1)证明：连接OD 、CD ，CE ∵是O ⊙的直径，90EDC ∴＝，DE OA ∵∥，OA CD ∴，OA ∴垂直平分CD ，OD OC ∴＝，OD OE ∴＝，OED ODE ∴＝，DE OA ∵∥，ODE AOD ∴＝，DEO AOC ＝，AOD AOC ∴＝，AC ∵是切线，90ACB ∴＝，在AOD △和AOC △中OD OCAOD AOC OA OAAOD AOC SAS ∴≌（△△）， 90ADO ACB ∴＝＝，OD ∵是半径，AB ∴是O ⊙的切线(2) BD ∵是O ⊙切线，2•BD BE BC ∴＝，设BE x ＝， 4BD ∵＝，6EC ＝，246x x ∴＝（）， 解得2x ＝或x ＝-8（舍去），2BE ∴＝，8BC BE EC ∴＝＝，AD ∵、AC 是O ⊙的切线，AD AC ∴＝，设AD AC y ＝＝，在Rt ABC △中，222AB AC BC ＝，22248y y ∴（）＝， 解得6y ＝，6AC ∴＝，故AC 的长为6．【考点】切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质23．【答案】(1)500户(2)120户(3)5 200户(4)由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，所以恰好选中甲和丁的概率为21126【解析】(1)本次抽样调查的总户数为26052%500＝（户）(2)抽查C类贫困户为50024%120＝（户），补全图形如下：(3)估计至少得到4项帮扶措施的大约有1300024%16%5200（）＝（户）(4)画树状图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，所以恰好选中甲和丁的概率为21 126【考点】扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点24．【答案】安装师傅应将支架固定在离地面160 cm的位置【解析】过点B作BG D D于点G，延长EC、GB交于点F，25AB∵＝，50DE＝，sin37GB AB∴，cos37GA AB，250.6015GB∴＝，250.8020GA＝，501535BF∴＝＝，72ABC∵＝，37D AB＝，53GBA∴＝，55CBF∴＝，35BCF∴＝，tan35BF CF∵，35500.70CF ∴，50130180FE ∴＝＝，180GD FE ∴＝＝，18020160AD ∴＝＝，∴安装师傅应将支架固定在离地面160 cm 的位置．【考点】解直角三角形25．【答案】(1)223y x x ＝-(2)C 有最大值，最大值为10(3)315,24或332362,或332362,【解析】(1)二次函数表达式为：214y a x ＝（），将点B 的坐标代入上式得：044a ＝，解得：1a ＝-，故函数表达式为：223y x x ＝-…①(2)设点M 的坐标为223x x x （，-），则点2223N x x x （，-），则222M N x x x ＝﹣＝﹣，223GM x x ＝﹣，矩形MNHG 的周长2222222223282C MN GM x x x x x ＝＝（）（-）＝-， 20∵，故当22bx a ，C 有最大值，最大值为10，此时2x ＝，点03N （，）与点D 重合 (3)PNC △的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC MN G S M △， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH ＝过点P 作PK CD ∥于点K ，将30C （，）、03D （，）坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x ＝-，OC OD ＝， 45OCD ODC PHK ∴＝＝＝，32CD ，设点223P x x x （，-），则点3H x x （，-）， 2711sin 4532822PNC S PK CD PH △，解得：94PH HG ， 则292334PH x x x ， 解得：32x， 故点315,24P ， 直线n 的表达式为：93344yx x …②， 联立①②并解得：3322x ， 即点'P 、"P 的坐标分别为332362,、332362,24； 故点P 坐标为：315,24或332362,24或332362,24 【考点】二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力26．【答案】证明：(1)AB AC ∵＝，ABC ACB ∴＝，CM AB ∵，BN AC ，90BMC CNB ∴＝＝，在BMC △和CNB △中，MBC NCBBMC CNB BC CB，BMC CNB ∴△≌△AAS （）(2) BMC CNB ∵△≌△，BM NC ∴＝，PE AB ∵∥，CEP CMB ∴∽△△，PE CP BM CB∴， PF AC ∵∥，BFP BNC ∴∽△△，PF BP NC BC ∴ 1PE PF CP BP BM BM CB CB ∴， PE PF BM ∴＝(3)同(2)的方法得到，PE PF BM ＝，BMC CNB ∵△≌△，MC BN ∴＝，90ANB ∵＝，90MAC ABN ∴＝，90OMB ∵＝，90MOB ABN ∴＝，MAC MOB ∴＝，又90AMC OMB ＝＝， AMC OMB ∴∽△△，AMOM MC MB∴， ••AM MB OM MC ∴＝，•AM PE PF OM BN ∴（﹣）＝，•••AM PF OM BN AM PE ∴＝【考点】相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质。

2019年湖南省常德市中考数学试卷（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共8小题）1.点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）2.下列各数中比3大比4小的无理数是（）A ．B ．C．3.1 D ．3.下列运算正确的是（）A ．+＝B ．＝3C ．＝﹣2D ．＝4.某公司全体职工的月工资如下：18000120008000600040002500200015001200月工资（元）人数1（总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（）A．中位数和众数B．平均数和众数C．平均数和中位数D．平均数和极差5.如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．6.小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜147.如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20 B．22 C．24 D．268.观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8二、填空题（共8小题）9.数轴上表示﹣3的点到原点的距离是．10.不等式3x+1＞2（x+4）的解为．11.从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，你认为适合参加决赛的选手是．12.国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为﹣米．13.二元一次方程组的解为．14.如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是．15.若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为．16.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）三、解答题（共10小题）17.计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．18.解方程：x2﹣3x﹣2＝0．19.先化简，再选一个合适的数代入求值：（﹣）÷（﹣1）．20.如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．21.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．22.如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．23.为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．24.图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．25.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG 面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．26.在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．2019年湖南省常德市中考数学试卷（解析版）参考答案一、单选题（共8小题）1.【分析】坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）．故选：B．【知识点】关于原点对称的点的坐标2.【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．【解答】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4∴选项中比3大比4小的无理数只有．故选：A．【知识点】实数大小比较、算术平方根、无理数3.【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．【解答】解：A、原式＝+2，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项错误；C、原式＝2，所以C选项错误；D、原式＝＝，所以D选项正确．故选：D．【知识点】二次根式的混合运算4.【分析】根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项．【解答】解：∵数据的极差为16800，较大，∴平均数不能反映数据的集中趋势，∴普通员工最关注的数据是中位数及众数，故选：A．【知识点】统计量的选择5.【分析】根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案．【解答】解：如图所示，该几何体的左视图是：．故选：C．【知识点】简单组合体的三视图6.【分析】根据题意得出不等式组解答即可．【解答】解：根据题意可得：，可得：12＜x＜15，∴12＜x＜15故选：B．【知识点】一元一次不等式组的应用7.【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【解答】解：如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．故选：D．【知识点】等腰三角形的性质、相似三角形的判定8.【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．【知识点】规律型：数字的变化类、尾数特征二、填空题（共8小题）9.【分析】表示﹣3的点与原点的距离是﹣3的绝对值．【解答】解：在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|＝3．故答案为：3．【知识点】数轴10.【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：3x+1＞2（x+4），3x+1＞2x+8，x＞7．故答案为：x＞7．【知识点】解一元一次不等式11.【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．【解答】解：∵S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，而1.71＜2.83＜3.52，∴乙的成绩最稳定，∴派乙去参赛更好，故答案为乙．【知识点】方差12.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：7纳米＝0.000 000 007米＝7×10﹣9米．故答案为：7×10﹣9．【知识点】科学记数法—表示较小的数13.【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【解答】解：②﹣①得x＝1 ③将③代入①得y＝5∴故答案为：【知识点】解二元一次方程组14.【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度数．【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°∴∠ABD＝22.5°故答案为：22.5°【知识点】等腰三角形的性质、旋转的性质15.【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．【解答】解：∵x2+x＝1，∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4；故答案为：4．【知识点】因式分解的应用16.【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），由股沟定理可得PQ＝MP＝+1，MP＝PQ和MN∥PQ，所以四边形PMNQ是广义菱形．④正确；【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①④；【知识点】菱形的判定与性质、平行四边形的性质、二次函数的性质、正方形的性质、二次函数图象上点的坐标特征三、解答题（共10小题）17.【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝6×﹣2+7﹣8+1＝．【知识点】负整数指数幂、实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数幂18.【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x＝．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【知识点】解一元二次方程-公式法19.【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（﹣）÷（﹣1）＝[]÷[]＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝．【知识点】分式的化简求值20.【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题21.【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．【解答】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+100，根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，∴y乙＝10x+100；（2）①y甲＜y乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲＝y乙，即20x＝10x+100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲＞y乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．【知识点】一次函数的应用22.【分析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出∠EDC＝90°，根据平行线的性质得出OA⊥CD，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出OD＝OC＝OE，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；（2）根据切割线定理求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可．【解答】（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BD是⊙O切线，∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．【知识点】切线的判定与性质23.【分析】（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；（2）总数量乘以C对应百分比可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户）；（2）抽查C类贫困户为500×24%＝120（户），补全图形如下：（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）＝5200（户）；（4）画树状图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，所以恰好选中甲和丁的概率为＝．【知识点】条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图、列表法与树状图法、全面调查与抽样调查24.【分析】过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB＝25，DE＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，∴BF＝50﹣15＝35，∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．【知识点】解直角三角形的应用25.【分析】（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，即可求解；（3）S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，即可求解．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，∵﹣2＜0，故当x＝﹣＝2，C有最大值，最大值为10，此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK∥⊥CD于点K，将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，解得：x＝，故点P（，），直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，）；故点P坐标为：（，）或（，）或（，）．【知识点】二次函数综合题26.【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到BM＝NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；（3）根据△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，证明△AMC∽△OMB，得到＝，根据比例的性质证明即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴＝，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴＝，∴+＝+＝1，∴PE+PF＝BM；（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴＝，∴AM•MB＝OM•MC，∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．【知识点】相似形综合题。

湖南省常德市2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1．4的倒数为（ ）A．B．2C．1D．﹣4答案解析：4的倒数为．故选：A．2．下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）A．B．C．D．答案解析：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70°B．65°C．35°D．5°答案解析：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．4．下列计算正确的是（ ）A．a2+b2＝（a+b）2B．a2+a4＝a6C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a5答案解析：A、a2+2ab+b2＝（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a2与a4不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．下列说法正确的是（ ）A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式D．一组数据的众数一定只有一个答案解析：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；故选：C．6．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．100πB．200πC．100πD．200π答案解析：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1答案解析：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故③正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A．C、E B．E、FC．G、C、E D．E、C、F答案解析：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k （k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．二、填空题9．分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．答案解析：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x＞3　．答案解析：由题意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．11．计算：﹣+＝　3　．答案解析：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．12．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB 的面积为6，则k＝　﹣12　．答案解析：∵AB⊥OB，∴S△AOB＝＝6，∴k＝±12，∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12，故答案为﹣12．13．4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：阅读时间（x小时）x≤3.5 3.5＜x≤55＜x≤6.5x＞6.5人数12864若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为　400人　．答案解析：1200×＝400（人），答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．14．今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是　4　次．答案解析：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：，整理得：，解得：．故答案为：4．15．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF 向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG ＝6，则DG的长为　12　．答案解析：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG＝DA＝DC＝x，∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．∴DG＝12．故答案为：12．16．阅读理答案解析：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x ﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣　．答案解析：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、计算题17．计算：20+（）﹣1•﹣4tan45°．答案解析：原式＝1+3×2﹣4×1＝1+6﹣4＝3．18．解不等式组．答案解析：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣1，不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．四、解答题19．先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣）÷．答案解析：（x+1﹣）÷＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝﹣．20．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？答案解析：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x 兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．答案解析：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x+12；（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点，∴只有一组解，即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，∴m＝﹣18．把m＝﹣18代入求得该方程的解为：x＝﹣3，把x＝﹣3代入y＝2x+12得：y＝6，即所求的交点坐标为（﹣3，6）．22．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）方法一：答案解析：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：答案解析：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cosC＝cos70°＝，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sinC＝sin70°＝，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．23．今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）轻症患者的人数是多少？（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．答案解析：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；（4）列表得：A B C D EA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．24．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE ⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．答案解析：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝＝．25．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．答案解析：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，得到＝9a，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2．（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，得到y＝，∴C（0，），由，解得或，∴B（1，），如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．26．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP ＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．答案解析：证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE＝PC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°．。

2019年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）2．（3分）下列各数中比3大比4小的无理数是（）A．B．C．3.1D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝B．＝3C．＝﹣2D．＝4．（3分）某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（）A．中位数和众数B．平均数和众数C．平均数和中位数D．平均数和极差5．（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．6．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A．10＜x＜12B．12＜x＜15C．10＜x＜15D．11＜x＜14 7．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．268．（3分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）数轴上表示﹣3的点到原点的距离是．10．（3分）不等式3x+1＞2（x+4）的解为．11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，你认为适合参加决赛的选手是．12．（3分）国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为米．13．（3分）二元一次方程组的解为．14．（3分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是．15．（3分）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为．16．（3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N 的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（﹣）÷（﹣1）．20．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．22．（7分）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE ∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．24．（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC 于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．。

湖南省常德市2019年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2019•佛山）|﹣2|等于（）A．2B．﹣2 C．D．分析：根据绝对值的性质可直接求出答案．解答：解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．故选：A ．点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（2019•常德）如图的几何体的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：主视图是分别从物体正面看，所得到的图形．解答：解：从几何体的正面看可得，故选：B．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．（3分）（2019•常德）下列各数：，π，，cos60°，0，，其中无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：据无理数定义得有，π和是无理数．故选：B．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4．（3分）（2019•常德）下列各式与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．考点：同类二次根式．分析：利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可．解答：解：A、=2，故不与是同类二次根式，故此选项错误；B、=2，故不与是同类二次根式，故此选项错误；C、=5，故不与是同类二次根式，故此选项错误；D、=2，故，与是同类二次根式，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．5．（3分）（2019•常德）如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，则∠AEB等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平行线的性质．分析：过E作EF∥AC，然后根据平行线的传递性可得EF∥BD，再根据平行线的性质可得∠B=∠2=45°，∠1=∠A=30°，进而可得∠AEB的度数．解答：解：过E作EF∥AC，∵AC∥BD，∴EF∥BD，∴∠B=∠2=45°，∵AC∥EF，∴∠1=∠A=30°，∴∠AEB=30°+45°=75°，故选：D．点评：此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．6．（3分）（2019•常德）某班体育委员记录了7位女生1分钟仰卧起坐的个数分别为28，38，38，35，35，38，48，这组数据的中位数和众数分别是（）A．35，38 B．38，35 C．38，38 D．35，35考点：众数；中位数．分析：出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．解答：解：38出现的次数最多，38是众数．排序后位于中间位置的数是38，所以中位数为38．故选C．点评：本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．7．（3分）（2019•常德）下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．a x+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．分析：直接利用因式分解法的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．解答：解：A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故此选项错误；B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故此选项错误；C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故此选项正确；D、m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2，故此选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式等知识，正确把握因式分解的方法是解题关键．8．（3分）（2019•常德）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m 确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）考点：正多边形和圆；坐标确定位置．专题：新定义．分析：设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．解答：解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=2，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×2=4，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．故选A．点评：本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2019•常德）要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，2x﹣1≥0，解得x≥．故答案为：x≥．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．10．（3分）（2019•常德）古生物学家发现350 000 000年前，地球上每年大约是400天，用科学记数法表示350 000 000= 3.5×108．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将350 000 000用科学记数法表示为：3.5×108．故答案为：3.5×108．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（3分）（2019•常德）下列关于反比例函数y=的三个结论：①它的图象经过点（7，3）；②它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；③它的图象在二、四象限内．其中正确的是①②．考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点可得①正确；根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得②正确，③错误．解答：解：①∵7×3=21，∴它的图象经过点（7，3），故①正确；②∵k=21＞0，∴它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，故②正确；③它的图象应在第一三象限，故③错误；故答案为：①②．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标特征：横纵坐标之积=k．12．（3分）（2019•常德）计算：﹣=．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣==．故答案为：．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）（2019•常德）一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，解得k＜．故答案为k＜．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．（3分）（2019•常德）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为3．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可．解答：解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB=10，∴OC=5，∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=4，∴OE===3．故答案为：3．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．（3分）（2019•常德）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为60°．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°解答：解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB，∴∠D=∠CBO，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°，故答案为60°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键．16．（3分）（2019•常德）已知：=；=；计算：=；猜想：=．规律型：数字的变化类．考点：分析：由=；=；=；…由此看出分子是从n个1相加，结果等于n；分母是（4n+3）+（4n﹣1）+…+11+7+3==n（2n+3），故猜想=．解答：解：已=；=；=；…分子为n个1相加，结果等于n；分母为n项相加：（4n+3）+（4n﹣1）+…+11+7+3==n（2n+3）∴猜想= =．故答案为：；．此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．点评：三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）（2019•常德）计算：（﹣2）2﹣2﹣1+（sin30°﹣1）0﹣．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负指数幂等四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=4﹣+1﹣4=．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟悉乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负指数幂等考点的运算．18．（5分）（2019•常德）解方程：=．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x+2=2，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）（2019•常德）求不等式组的解集．考点：解一元一次不等式组．分析：要求不等式组的解，只需要求出这两个不等式得解，然后根据不等式的解的公共部分确定不等式组的解．解答：解：由（1）得：，（3分）由（2）得：x≤1，（3分）所以原不等式组的解集为﹣＜x≤1．（4分）点评：本题考查了解一元一次不等式组，要求学生熟练一元一次不等式组的解集确定的方法．同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．20．（6分）（2019•常德）小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入；②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值5元小兔玩具，否则应付费3元．（1）问小美得到小兔玩具的机会有多大？（2）假设有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）根据五个出入口的兔笼中一个出口得奖，确定出所求概率即可；（2）求出获奖概率与没有获奖概率，确定出100人次玩此游戏，游戏设计者可赚的钱即可．解答：解：（1）根据题意得：小美得到小兔玩具的机会是；（2）根据题意得：一个人玩此游戏，游戏设计者可赚的钱为﹣×5+×3=（元），则有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚100×=140（元）．点评：此题考查了列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）（2019•常德）2019年5月12日，国家统计局公布了《2019年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图解答下列问题：（1）2019年农民工人均月收入的增长率是多少？（2）2011年农民工人均月收入是多少？（3）小明看了统计图后说：“农民工2019年的人均月收入比2011年的少了．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．考点：折线统计图；条形统计图．分析：（1）直接利用折线统计图得出答案即可；（2）直接利用条形统计图得出答案即可；（3）利用2019年农民工人均月收入增长率进而求出2019年的月平均收入，进而得出答案．解答：解：（1）由折线统计图可得出：2019年农民工人均月收入的增长率是：10%；（2）由条形统计图可得出：2011年农民工人均月收入是：2205元；（3）不正确，理由：∵2019年农民工人均月收入是：2205×（1+20%）=2646（元）＞2205元，∴农民工2019年的人均月收入比2011年的少了，是错误的．点评：此题主要考查了条形统计图以及折线统计图的应用，利用图形获取正确信息是解题关键．22．（7分）（2019•常德）如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．（结果精确到1米）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：先根据题意得到BD，CB2的长，在Rt△ABD中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．解答：解：BD=400﹣160=240米，CB2=1000﹣400=600米，在Rt△ABD中，AB==480米，在Rt△BCB2中，BC==600米，AB+BC=480+600≈1328米．答：钢缆AB和BC的总长度大约是1328米．点评：考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）（2019•常德）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．考点：切线的判定．分析：（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可．解答：（1）证明：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；（2）解：如图，在△OAE中，∠OAE=90°，OA=3，AE=4，∴由勾股定理易求OE=5．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO=∠DEO，又∵AE=DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴==．BC=2OE=10，即BC的长度是10．点评：本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．24．（8分）（2019•常德）在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案（设购票张数为x，购票总价为y）：方案一：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元；方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定．（1）若购买120张票时，按方案一和方案二分别应付的购票款是多少？（2）求方案二中y与x的函数关系式；（3）至少买多少张票时选择方案一比较合算？考点：一次函数的应用．分析：（1）方案一中，总费用y=8000+50x，代入x=120求得答案；由图可知方案二中，当x=120时，对应的购票总价为13200元；（2）分段考虑当x≤100时，当x≥100时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得相应的函数解析式；（3）由（1）（2）的解析式建立不等式，求得答案即可．解答：解：（1）若购买120张票时，方案一购票总价：y=8000+50x=14000元，方案二购票总价：y=13200元．（2）当0＜x≤100时，设y=kx，代入（100，12000）得12000=100k，解得k=120，∴y=120x；当x＞100时，设y=kx+b，代入（100，12000）、（120，13200）得，解得，∴y=60x+6000．（3）由（1）可知，要选择方案一比较合算，必须超过120张，由此得8000+50x≤60x+6000，解得x≥200，所以至少买200张票时选择方案一比较合算．点评：此题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的运用；根据自变量不同的取值分情况进行探讨是解决本题的关键．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）（2019•常德）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，﹣），M是OA的中点．（1）求此二次函数的解析式；（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM 是菱形，求P点的坐标；（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D．若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）由四边形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x轴，因此点P、Q关于对称轴x=2对称，可得点P横坐标为1，从而求出点P的坐标；（3）假设存在满足条件的点C．由△CDA的面积是△MDA面积的2倍，可得点C 纵坐标是点D纵坐标的3倍，由此列方程求出点C的坐标．解答：解：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y=ax2+bx．∵抛物线经过点A（4，0），B（2，﹣），∴，解得，∴二次函数解析式为：y=x2﹣x．（2）∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴抛物线对称轴为直线：x=2．∵四边形PQAM是菱形，∴PQ=MA=2，PQ∥x轴．∴点P、Q关于对称轴x=2对称，∴点P横坐标为1．当x=1时，y=﹣=﹣．∴P（1，﹣）．（3）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：y=﹣x2+x．假设存在这样的点C，∵△CDA的面积是△MDA面积的2倍，∴CD=2MD，∴CM=3MD．如答图所示，分别过点D、C作x轴的垂线，垂足分别为点E、点F，则有DE∥CF．∴，∴CF=3DE，MF=3ME．设C（x，x2﹣x），则MF=x﹣2，ME=MF=（x﹣2），OE=ME+OM=x+∴D（x+，﹣（x+）2+（x+））．∵CF=3DE，∴x2﹣x=3[﹣（x+）2+（x+）]，整理得：x2﹣4x﹣8=0，解得：x1=2+2，x2=2﹣2．∴y1=，y2=，∴存在满足条件的点C，点C的坐标为（2+2，）或（2﹣2，）．点评：本题为二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、解方程、相似三角形、菱形、翻折变换等知识点．第（2）问中，解题关键是紧扣菱形的定义及二次函数的对称性；第（3）问是存在型问题，解题关键得到点C纵坐标是点D的3倍．26．（10分）（2019•常德）如图1、2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，AP=x，求y关于x的函数表达式；（2）结论：GB⊥EF对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．考点：四边形综合题．分析：（1）根据题意得出S=4﹣ED×DF﹣BC×FC进而得出答案；四边形ABFE（2）首先利用正方形的性质进而证明△FPE≌△BHP（SAS），即可得出△FPG∽△BPH，求出即可；（3）首先得出△DPC≌△BPC（SAS），进而利用相似三角形的判定得出△FGC∽△PFB．解答：（1）解：∵PE⊥AD，PF⊥DC，∴四边形EPFD是矩形，∵AP=x，∴AE=EP=DF=x，DE=PF=FC=2﹣，∴S四边形ABFE=4﹣ED•DF﹣BC•FC=4﹣×x（2﹣x）﹣×2×（2﹣x）=x2+2；（2）证明：如图1，延长FP交AB于H，∵PF⊥DC，PE⊥AD，∴PF⊥PE，PH⊥HB，即∠BHP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠DAB，∴可得PF=FC=HB，EP=PH，在△FPE与△BHP中，∴△FPE≌△BHP（SAS），∴∠PFE=∠PBH，又∵∠FPG=∠BPH，∴△FPG∽△BPH，∴∠FGP=∠BHP=90°，即GB⊥EF；（3）证明：如图2，连接PD，∵GB⊥EF，∴∠BPF=∠CFG①，在△DPC和△BPC中，∴△DPC≌△BPC（SAS），∴PD=PB，而PD=EF，∴EF=PB，又∵GB⊥EF，∴PF2=FG•EF，∴PF2=FG•PB，而PF=FC，∴PF•FC=FG•PB，∴=②，∴由①②得△FGC∽△PFB．点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用正方形的性质得出对应角以及对应边的关系是解题关键．。

10 173 4 12 (−2)232019 年湖南省常德市中考数学真题复习（含答案）副标题题号 一二三四总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）1. 点（-1，2）关于原点的对称点坐标是（ ）A. (−1,−2)B. (1,−2)C. (1,2)D. (2,−1)2. 下列各数中比3 大比4 小的无理数是（ ）A. B. C. 3.13. 下列运算正确的是（）D. 10A. + =B. = 3C. = −2D.=21 34. 月工资（元） 18000 120008000 6000 4000 2500 2000 1500 1200人数1（总经理） 2（副总经理）3 4102022126该公司月工资数据的众数为 2000，中位数为 2250，平均数为 3115，极差为 16800，公司的普通员工最关注的数据是（ ） A. 中位数和众数 B. 平均数和众数 C. 平均数和中位数 D. 平均数和极差5. 如图是由 4 个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）A. B. C. D.6. 小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15 元．”乙说：“至多 12 元．”丙说：“至多 10 元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格 x （元）所在的范围为（ ） A. 10 < x < 12 B. 12 < x < 15 C. 10 < x < 15 D. 11 < x < 14 7. 如图，在等腰三角形△ABC 中，AB =AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为 1，△ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的面积是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 268. 观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得 70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是（ ） A. 0 B. 1 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）9. 数轴上表示-3 的点到原点的距离是． 10. 不等式3x +1＞2（x +4）的解为 ． 7214 62x + y = 7 （2） x 11. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是 89.7，方差分别是 S 甲2=2.83，S 乙2=1.71，S 丙2=3.52，你认为适合参加决赛的选手是 ． 12. 国产手机芯片麒麟 980 是全球首个 7 纳米制程芯片，已知 1 纳米=0.000 000 001 米， 将 7 纳米用科学记数法表示为 米． 13. 二元一次方程组{x + y = 6的解为．14. 如图，已知△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，∠BAC =45°，点 D 在 AC 边上，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 45°得到△ACD ′， 且点 D ′D 、B 、三点在同一条直线上，则∠ABD 的度数是 ． 15. 若x 2+x =1，则 3x 4+3x 3+3x +1 的值为 ． 16. 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若 M 、N 的坐标分别为（0，1），（0，-1），P 是二次函数 1y =4x的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y =-1 于点 Q ，则四边形 PMNQ是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号） 三、计算题（本大题共 3 小题，共 16.0 分）17. 计算：6sin45°+|2 2-7|- 1-3+（2019- 2019）0．18. 解方程：x 2-3x -2=0．x−1 x−32x 2 + x + 1 19. 先化简，再选一个合适的数代入求值：（ 2 + x -x 2−1）÷（ x 2−x-1）．四、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分）2k20.如图，一次函数y=-x+3 的图象与反比例函数y=x（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B 两点，与x 轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且△APC 的面积为5，求点P的坐标．21.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x 时所需费用为y 元，选择这两种卡消费时，y 与x 的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于x 的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．22.如图，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C，与AB、BC 边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD=4，EC=6，求AC 的长．23.为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2 到5 种帮扶措施，现把享受了2 种、3 种、4 种和5 种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D 类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户C 类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000 户贫困户，请估计至少得到4 项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D 类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．24.图1 是一种淋浴喷头，图2 是图1 的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长AB=25cm，AB 与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC 与AB 形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．25.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D 三点，且B 点的坐标为（-1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M、N，且点N 在点M 的左侧，过M、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC9？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明的面积是矩形MNHG 面积的16理由．26.在等腰三角形△ABC 中，AB=AC，作CM⊥AB 交AB 于点M，BN⊥AC 交AC 于点N．（1）在图1 中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2 中的线段CB 上取一动点P，过P 作PE∥AB 交CM 于点E，作PF∥AC 交BN 于点F，求证：PE+PF=BM；（3）在图3 中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作PE∥AB 交CM 的延长线于点E，作PF∥AC 交NB 的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN=AM•PE．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据中心对称的性质，得点（-1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，-2）．故选：B．坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．2.【答案】A【解析】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4∴选项中比3 大比4 小的无理数只有．故选：A．由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．3.【答案】D【解析】解：A、原式= +2，所以A 选项错误；B、原式=2 ，所以B 选项错误；C、原式=2，所以C 选项错误；D、原式= = ，所以D 选项正确．故选：D．根据二次根式的加减法对A 进行判断；根据二次根式的性质对B、C 进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D 进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4.【答案】A【解析】解：∵数据的极差为16800，较大，∴平均数不能反映数据的集中趋势，∴普通员工最关注的数据是中位数及众数，故选：A．根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项．本题考查了统计量的选择的知识，解题的关键是了解有关统计量的意义，难度不大．5.【答案】C【解析】解：如图所示，该几何体的左视图是：．故选：C．根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案．此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据题意可得：，可得：12≤x≤15，∴12＜x＜15故选：B．根据题意得出不等式组解答即可．此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．7.【答案】D【解析】解：如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴ =（）2=（）2=设S△AFH=9x，则S△ADE=16x，∴16x-9x=7，解得x=1，∴S△ADE=16，∴四边形DBCE 的面积=42-16=26．故选：D．利用△AFH∽△ADE 得到 =（）2= ，所以S△AFH=9x，S△ADE=16x，则16x-9x=7，解得x=1，从而得到S△ADE=16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．8.【答案】A【解析】解：∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4 个数一循环，∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是：0．故选：A．首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019 的结果的个位数字．此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．9.【答案】3【解析】y = 5解：在数轴上表示-3 的点与原点的距离是|-3|=3． 故答案为：3．表示-3 的点与原点的距离是-3 的绝对值．本题考查了实数与数轴，熟记数轴的特点以及绝对值的几何意义是解题的关 键．10. 【答案】x ＞7 【解析】解：3x+1＞2（x+4）， 3x+1＞2x+8， x ＞7．故答案为：x ＞7．根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．11. 【答案】乙 【解析】解：∵S 甲 2=2.83，S 乙 2=1.71，S 丙 2=3.52，而 1.71＜2.83＜3.52， ∴乙的成绩最稳定， ∴派乙去参赛更好， 故答案为乙．根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大， 表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小， 表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越 稳定．12.【答案】7×10-9【解析】解：7 纳米=0.000 000 007 米=7×10-9 米．故答案为：7×10-9．绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10-n ，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 13.【答案】{x = 1【解析】解：②-①得 x=1 ③将③代入①得y=5∴故答案为：由加减消元法或代入消元法都可求解．本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．14.【答案】22.5°【解析】解：∵将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'∴∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°∴∠ABD=22.5°故答案为：22.5°由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD 的度数．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．15.【答案】4【解析】解：∵x2+x=1，∴3x4+3x3+3x+1=3x2（x2+x）+3x+1=3x2+3x+1=3（x2+x）+1=3+1=4；故答案为：4．把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．16.【答案】①②④【解析】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m， m2），则Q（m，-1），∴MP= = ，PQ= +1，∵点P 在第一象限，∴m＞0，∴MP= +1，∴MP=PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ 是广义菱形．④正确；故答案为①②③；①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；x − ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P （m ， m 2），则Q （m ，-1），由股沟定理可得PQ=MP= +1，MP=PQ 和 MN ∥PQ ，所以四边形 PMNQ 是广义菱形．④正确；本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形， 菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的 关键． 17. 【答案】解：原式 2 -2 2+7-8+1= 2．【解析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数 幂法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：∵a =1，b =-3，c =-2；∴b 2-4ac =（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17；∴x ==3 ± 172 ，∴x =3 + 17 x =3− 171 2 ， 2 2 ．【解析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出 a ，b ，c ；③求 b 2-4ac ；④代入公式 x= ．本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程．x−1 x−3 2x 2 + x + 1 19.【答案】解：（ 2 + x -x 2−1）÷（ x 2−x -1） x−1 x−3 2x 2 + x + 1−x 2 + x =[]÷[ ] x (x + 1) (x + 1)(x−1) x (x−1) =(x−1)(x−1)−(x−3) ⋅ x ⋅ x (x−1) x (x + 1)(x−1) x 2 + 2x + 1 =x 2−2x + 1−x 2 + 3x ⋅ 1 x + 1=x + 1⋅ 1 (x + 1)2 x + 1 (x + 1)2 1=(x + 1)2，1 1 当 x =2 时，原式=(2 + 1)2=9．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有 −b ± b 2−4a c意义的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】解：（1）把点A（1，a）代入y=-x+3，得a=2，∴A（1，2）k，把A（1，2）代入反比例函数y=x∴k=1×2=2；2∴反比例函数的表达式为y=；x（2）∵一次函数y=-x+3 的图象与x 轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC=|3-x|，1∴S△APC=|3-x|×2=5，2∴x=-2 或x=8，∴P 的坐标为（-2，0）或（8，0）．【解析】（1）利用点A 在y=-x+3 上求a，进而代入反比例函数y= （k≠0）求k 即可；（2）设P（x，0），求得C 点的坐标，则PC=|3-x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．21.【答案】解：（1）设y 甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y 甲=20x；设y 乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y 乙=10x+100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，当入园次数小于10 次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲=y 乙，即20x=10x+100，解得x=10，当入园次数等于10 次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，当入园次数大于10 次时，选择乙消费卡比较合算．【解析】（1）运用待定系数法，即可求出y 与x 之间的函数表达式；（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．22.【答案】（1）证明：连接OD、CD，∵CE 是⊙O 的直径，∴∠EDC=90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA 垂直平分CD，∴OD=OC，第12 页，共17 页∴OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，∴∠AOD=∠AOC，∵AC 是切线，∴∠ACB=90°，在△AOD 和△AOC 中{OD = OC∠AOD = ∠AOCOA = OA∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO=∠ACB=90°，∵OD 是半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵BD 是⊙O 切线，∴BD2=BE•BC，设BE=x，∵BD=4，EC=6，∴42=x（x+6），解得x=2 或x=-8（舍去），∴BE=2，∴BC=BE+EC=8，∵AD、AC 是⊙O 的切线，∴AD=AC，设AD=AC=y，在Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2，∴（4+y）2=y2+82，解得y=6，∴AC=6，故AC 的长为6．【解析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出∠EDC=90°，根据平行线的性质得出OA⊥CD，根据垂径定理得出OA 垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出OD=OC=OE，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出∠AOC=∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；（2）根据切割线定理求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y 的方程，解方程即可．本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．23.【答案】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%=500（户）；（2）抽查C 类贫困户为500×24%=120（户），补全图形如下：（3）估计至少得到 4 项帮扶措施的大约有 13000×（24%+16%）=5200（户）；（4）画树状图如下：由树状图知共有 12 种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有 2 种结果， 2 1 所以恰好选中甲和丁的概率为12=6．【解析】（1） 由 A 类别户数及其对应百分比可得答案；（2）总数量乘以 C 对应百分比可得； （3） 利用样本估计总体思想求解可得；（4） 画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．24. 【答案】解：过点 B 作 BG ⊥D ′D 于点 G ，延长 EC 、GB 交于点 F ， ∵AB =25，DE =50，GB GA ∴sin37°=AB ，cos37°=AB ，∴GB ≈25×0.60=15，GA ≈25×0.80=20，∴BF =50-15=35，∵∠ABC =72°，∠D ′AB =37°，∴∠GBA =53°，∴∠CBF =55°，∴∠BCF =35°，BF ∵tan35°=CF ，35 ∴CF ≈0.70=50，∴FE =50+130=180，∴GD =FE =180，∴AD =180-20=160，2 2a∴安装师傅应将支架固定在离地面 160cm 的位置．【解析】过B 作BG ⊥D′D 于点G ，延长 EC 、GB 交于点F ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．25. 【答案】解：（1）二次函数表达式为：y =a （x -1）2+4，将点 B 的坐标代入上式得：0=4a +4，解得：a =-1，故函数表达式为：y =-x 2+2x +3…①；（2）设点 M 的坐标为（x ，-x 2+2x +3），则点 N （2-x ，-x 2+2x +3），则 MN =x -2+x =2x -2，GM =-x 2+2x +3，矩形 MNHG 的周长 C =2MN +2GM =2（2x -2）+2（-x 2+2x +3）=-2x 2+8x +2， b ∵-2＜0，故当 x =- =2，C 有最大值，最大值为 10，此时 x =2，点 N （0，3）与点 D 重合；9 （3）△PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的16，9 9 27 则 S △PNC =16×MN ×GM =16×2×3= 8 ，连接 DC ，在 CD 得上下方等距离处作 CD 的平行线 m 、n ，过点 P 作 y 轴的平行线交 CD 、直线 n 于点 H 、G ，即 PH =GH ，过点 P 作 PK ∥⊥CD 于点 K ，将 C （3，0）、D （0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线 CD 的表达式为：y =-x +3，OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC =45°=∠PHK ，CD =3 2，设点 P （x ，-x 2+2x +3），则点 H （x ，-x +3），27 1 1 S △PNC = 8 =2×PK ×CD =2×PH ×sin45°×3 ， 9 解得：PH =4=HG ，2 9 则 PH =-x +2x +3+x -3=4，3解得：x =2，3 15 故点 P （2，4 ），9 3直线 n 的表达式为：y =-x +3-4=-x +4…②，3 ± 3 2 2 3 + 3 2 2 −3−6 24 3−3 2 2 3 + 3 2 2 −3−6 2 4 3−3 2 2联立①②并解得：x =，P P −3 + 6 2）； 即点 ′、 ″的坐标分别为（ ， ）、（ ，4 故点 P 3 15 −3 +6 2）． 坐标为：（2， 4 ）或（ ， ）或（ ， 4 【解析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+4，将点 B 的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形 MNHG 的周长 C=2MN+2GM=2（2x-2）+2（-x 2+2x+3）=-2x 2+8x+2，即可求解；（3）S △PNC = = ×PK×CD= ×PH×sin45°×3 ，解得：PH= =HG ，即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培 养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．26. 【答案】证明：（1）∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∵CM ⊥AB ，BN ⊥AC ，∴∠BMC =∠CNB =90°，在△BMC 和△CNB 中，∠MBC = ∠NCB ∠B M C = ∠C N B ， BC = CB∴△BMC ≌△CNB （AAS ）；（2） ∵△BMC ≌△CNB ，∴BM =NC ，∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CMB ，PE C P ∴B M =CB ，∵PF ∥AC ，∴△BFP ∽△BNC ，P F B P∴N C =BC ，PE P F C P B P∴B M +B M =CB +CB =1，∴PE +PF =BM ；（3） 同（2）的方法得到，PE -PF =BM ，∵△BMC ≌△CNB ，∴MC =BN ，∵∠ANB =90°，∴∠MAC +∠ABN =90°，∵∠OMB =90°，∴∠MOB +∠ABN =90°，∴∠MAC =∠MOB ，又∠AMC =∠OMB =90°，{∴△AMC ∽△OMB ，A M O M∴M C =M B ，∴AM •MB =OM •MC ，∴AM ×（PE -PF ）=OM •BN ，∴AM •PF +OM •BN =AM •PE ．【解析】（1） 根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ，利用 AAS 定理证明；（2） 根据全等三角形的性质得到BM=NC ，证明△CEP ∽△CMB 、△BFP ∽△BNC ， 根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；（3） 根据△BMC ≌△CNB ，得到MC=BN ，证明△AMC ∽△OMB ，得到 = ， 根据比例的性质证明即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三 角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

2019年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）【答案】B【解析】根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）．故选：B．2．下列各数中比3大比4小的无理数是（）A．B．C．3.1 D．【答案】A【解析】∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4∴选项中比3大比4小的无理数只有．故选：A．3．下列运算正确的是（）A．+＝B．＝3C．＝﹣2 D．＝【答案】D【解析】A.原式＝+2，所以A选项错误；B.原式＝2，所以B选项错误；C.原式＝2，所以C选项错误；D.原式＝＝，所以D选项正确．故选：D．4．某公司全体职工的月工资如下：该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（）A．中位数和众数B．平均数和众数C．平均数和中位数D．平均数和极差【答案】A【解析】∵数据的极差为16800，较大，∴平均数不能反映数据的集中趋势，∴普通员工最关注的数据是中位数及众数，故选：A．5．如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，该几何体的左视图是：故选：C．6．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14【答案】B【解析】根据题意可得：，可得：12≤x≤15，∴12＜x＜15故选：B．7．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D【解析】如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．故选：D．8．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【解析】∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．数轴上表示﹣3的点到原点的距离是3．【解析】在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|＝3．故答案为：3．10．不等式3x+1＞2（x+4）的解为x＞7．【解析】3x+1＞2（x+4），3x+1＞2x+8，x＞7．故答案为：x＞7．11．从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，你认为适合参加决赛的选手是乙．【解析】∵S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，而1.71＜2.83＜3.52，∴乙的成绩最稳定，∴派乙去参赛更好，故答案为乙．12．国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为7×10﹣9米．【解析】7纳米＝0.000 000 007米＝7×10﹣9米．故答案为：7×10﹣9．13．二元一次方程组的解为．【解析】，②﹣①得x＝1 ③将③代入①得y＝5，∴，故答案为：.14．如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD 绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是22.5°．【解析】∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，∴∠ABD＝22.5°，故答案为：22.5°15．若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为4．【解析】∵x2+x＝1，∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4；故答案为：4．16．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是①②④．（填序号）【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①②③；三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．解：原式＝6×﹣2+7﹣8+1＝．18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（﹣）÷（﹣1）．解：（﹣）÷（﹣1）＝[]÷[]＝＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝．20．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+100，根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，∴y乙＝10x+100；（2）①y甲＜y乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲＝y乙，即20x＝10x+100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲＞y乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．22．（7分）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE ∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中，∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BD是⊙O切线，∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户）；（2）抽查C类贫困户为500×24%＝120（户），补全图形如下：（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）＝5200（户）；（4）画树状图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，所以恰好选中甲和丁的概率为＝．24．（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB＝25，DE＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，∴BF＝50﹣15＝35，∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，∵﹣2＜0，故当x＝﹣＝2，C有最大值，最大值为10，此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK∥⊥CD于点K，将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，解得：x＝，故点P（，），直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，）；故点P坐标为：（，）或（，）或（，）．26．（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC 于点N．（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN 于点F，求证：PE+PF＝BM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴＝，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴＝，∴+＝+＝1，∴PE+PF＝BM；（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴＝，∴AM•MB＝OM•MC，∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．。

2019年湖南省常德市中考数学试卷以及逐题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）点(1,2)-关于原点的对称点坐标是( )A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(2,1)-2．（3分）下列各数中比3大比4小的无理数是( )ABC ．3.1D ．1033．（3分）下列运算正确的是( )A=BC2=- D= 4．（3分）某公司全体职工的月工资如下：该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是( )A ．中位数和众数B ．平均数和众数C ．平均数和中位数D ．平均数和极差 5．（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．6．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x （元)所在的范围为( )A ．1012x <<B ．1215x <<C ．1015x <<D ．1114x <<7．（3分）如图，在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC ∆的面积为42，则四边形DBCE 的面积是( )A ．20B ．22C ．24D ．268．（3分）观察下列等式：071=，177=，2749=，37343=，472401=，5716807=，⋯，根据其中的规律可得01220197777+++⋯+的结果的个位数字是( )A ．0B ．1C ．7D ．8二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）在数轴上，表示3-的点与原点的距离是 ．10．（3分）不等式312(4)x x +>+的解为 ．11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是2 2.83S =甲，2 1.71S =乙，2 3.52S =丙，你认为适合参加决赛的选手是 ．12．（3分）国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米0.000= 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为 米．13．（3分）二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为 ． 14．（3分）如图，已知ABC ∆是等腰三角形，AB AC =，45BAC ∠=︒，点D 在AC 边上，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转45︒得到ACD ∆'，且点D '、D 、B 三点在同一条直线上，则ABD ∠的度数是 ．15．（3分）若21x x +=，则433331x x x +++的值为 ．16．（3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1)，(0,1)-，P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：3016sin 45|7|()(20192-︒+-+． 18．（5分）解方程：2320x x --=．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：22221321()(1)1x x x x x x x x x--++-÷-+--． 20．（6分）如图，一次函数3y x =-+的图象与反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限的图象交于(1,)A a 和B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且APC ∆的面积为5，求点P 的坐标．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x 时所需费用为y 元，选择这两种卡消费时，y 与x 的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于x 的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．22．（7分）如图，O 与ABC ∆的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，//DE OA ，CE 是O 的直径．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若4BD =，6EC =，求AC 的长．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A 、B 、C 、D 类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户C 类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D 类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．24．（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长25AB cm =，AB 与墙壁DD '的夹角37D AB ∠'=︒，喷出的水流BC 与AB 形成的夹角72ABC ∠=︒，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使50DE cm =，130CE cm =．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈，sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70)︒≈．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使P N C ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，作CM AB ⊥交AB 于点M ，BN AC ⊥交AC 于点N ．（1）在图1中，求证：BMC CNB ∆≅∆；（2）在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作//PE AB 交CM 于点E ，作//PF AC 交BN 于点F ，求证：PE PF BM +=；（3）在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作//PE AB 交CM 的延长线于点E ，作//PF AC 交NB 的延长线于点F ，求证：AM PF OM BN AM PE +=．2019年湖南省常德市中考数学试卷答案与解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）【分析】坐标系中任意一点(,)--，即关于原点的对称点，P x y，关于原点的对称点是(,)x y横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点(1,2)-．-关于原点的对称点的坐标为(1,2)故选：B．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．2．（3分）【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．【解答】解：4<<>，34∴选项中比3大比4故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．3．（3分）【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．【解答】解：A、原式2=，所以A选项错误；B、原式=B选项错误；=，所以C选项错误；C、原式2D、原式==，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．（3分）【分析】根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项．【解答】解：数据的极差为16800，较大，∴平均数不能反映数据的集中趋势，∴普通员工最关注的数据是中位数及众数，故选：A ．【点评】本题考查了统计量的选择的知识，解题的关键是了解有关统计量的意义，难度不大．5．（3分）【分析】根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案．【解答】解：如图所示，该几何体的左视图是：．故选：C ．【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．6．（3分）【分析】根据题意得出不等式组解答即可．【解答】解：根据题意可得：151210x x x ⎧⎪⎨⎪⎩………， 可得：1215x 剟，1215x ∴<<故选：B ．【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．7．（3分）【分析】利用AFH ADE ∆∆∽得到29()16AEF ADE S FH S DE ∆∆==，所以9AFH S x ∆=，16ADE S x ∆=，则1697x x -=，解得1x =，从而得到16ADE S ∆=，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【解答】解：如图，根据题意得AFH ADE ∆∆∽， ∴2239()()416AEF ADE S FH S DE ∆∆=== 设9AFH S x ∆=，则16ADE S x ∆=，1697x x ∴-=，解得1x =，16ADE S ∆∴=，∴四边形DBCE 的面积421626=-=．故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．8．（3分）【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出01220197777+++⋯+的结果的个位数字．【解答】解：071=，177=，2749=，37343=，472401=，5716807=，⋯， ∴个位数4个数一循环，(20191)4505∴+÷=，179320∴+++=，01220197777∴+++⋯+的结果的个位数字是：0．故选：A ．【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）在数轴上，表示3-的点与原点的距离是 3 ．【分析】表示3-的点与原点的距离是3-的绝对值．【解答】解：在数轴上表示3-的点与原点的距离是|3|3-=．故答案为：3．【点评】本题考查了实数与数轴，熟记数轴的特点以及绝对值的几何意义是解题的关键．10．（3分）不等式312(4)x x +>+的解为 7x > ．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：312(4)x x +>+，3128x x +>+，7x >．故答案为：7x >．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是2 2.83S =甲，2 1.71S =乙，2 3.52S =丙，你认为适合参加决赛的选手是 乙 ．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．【解答】解：2 2.83S =甲，2 1.71S =乙，2 3.52S =丙， 而1.71 2.83 3.52<<，∴乙的成绩最稳定，∴派乙去参赛更好，故答案为乙．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．12．（3分）国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米0.000= 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为 9710-⨯ 米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：7纳米0.000= 000 007米9710-=⨯米．故答案为：9710-⨯．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <…，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．（3分）二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为 15x y =⎧⎨=⎩ ．【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解． 【解答】解：627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②②-①得1x =③ 将③代入①得5y = ∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩【点评】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单． 14．（3分）如图，已知ABC ∆是等腰三角形，AB AC =，45BAC ∠=︒，点D 在AC 边上，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转45︒得到ACD ∆'，且点D '、D 、B 三点在同一条直线上，则ABD ∠的度数是 22.5︒ ．【分析】由旋转的性质可得45BAC CAD '∠=∠=︒，AD AD '=，由等腰三角形的性质可得67.5AD D '∠=︒，90D AB '∠=︒，即可求ABD ∠的度数．【解答】解：将ABD ∆绕点A 逆时针旋转45︒得到ACD ∆'， 45BAC CAD '∴∠=∠=︒，AD AD '= 67.5AD D '∴∠=︒，90D AB '∠=︒ 22.5ABD ∴∠=︒故答案为：22.5︒【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 15．（3分）若21x x +=，则433331x x x +++的值为 4 ． 【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案． 【解答】解：21x x +=，43222233313()313313()1314x x x x x x x x x x x ∴+++=+++=++=++=+=； 故答案为：4．【点评】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键． 16．（3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1)，(0,1)-，P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ①②④ ．（填序号） 【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；④设点21(,)4P m m ，则(,1)Q m -，由股沟定理可得2114PQ MP m ==+，MP PQ =和//MN PQ ，所以四边形PMNQ 是广义菱形．④正确；【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点21(,)4P m m ，则(,1)Q m -，21|1|4MP m ∴=+，2114PQ m =+，点P 在第一象限， 0m ∴>， 2114MP m ∴=+，MP PQ ∴=，又//MN PQ ，∴四边形PMNQ 是广义菱形．④正确； 故答案为①②③；【点评】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键． 三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：3016sin 45|7|()(20192-︒+-+．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式6781=--+ 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（5分）解方程：2320x x --=．【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a ，b ，c ；③求24b ac -；④代入公式x =．【解答】解：1a =，3b =-，2c =-；224(3)41(2)9817b ac ∴-=--⨯⨯-=+=；x ∴==，1x ∴，2x =． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．此法适用于任何一元二次方程．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：22221321()(1)1x x x x x x x x x--++-÷-+--．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：22221321()(1)1x x x x x x x x x--++-÷-+--221321[][](1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x --++-+=-÷++-- 2(1)(1)(3)(1)(1)(1)21x x x x x x x x x x x -----=+-++22221311(1)x x x x x x -+-+=++ 2111(1)x x x +=++21(1)x =+，当2x =时，原式211(21)9==+． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20．（6分）如图，一次函数3y x =-+的图象与反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限的图象交于(1,)A a 和B 两点，与x 轴交于点C ． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且APC ∆的面积为5，求点P 的坐标．【分析】（1）利用点A 在3y x =-+上求a ，进而代入反比例函数(0)ky k x=≠求k 即可；（2）设(,0)P x ，求得C 点的坐标，则|3|PC x =-，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）把点(1,)A a 代入3y x =-+，得2a =， (1,2)A ∴把(1,2)A 代入反比例函数ky x=， 122k ∴=⨯=；∴反比例函数的表达式为2y x=； （2）一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点C ， (3,0)C ∴，设(,0)P x ， |3|PC x ∴=-， 1|3|252APC S x ∆∴=-⨯=， 2x ∴=-或8x =，P ∴的坐标为(2,0)-或(8,0)．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x 时所需费用为y 元，选择这两种卡消费时，y 与x 的函数关系如图所示，解答下列问题 （1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于x 的函数表达式； （2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y 与x 之间的函数表达式； （2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．【解答】解：（1）设1y k x =甲，根据题意得15100k =，解得120k =，20y x ∴=甲； 设2100y k x =+乙，根据题意得：220100300k +=，解得210k =，10100y x ∴=+乙；（2）①y y <乙甲，即2010100x x <+，解得10x <，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y y =乙甲，即2010100x x =+，解得10x =，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y y >乙甲，即2010100x x >+，解得10x >，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．【点评】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．22．（7分）如图，O 与ABC ∆的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，//DE OA ，CE 是O 的直径．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若4BD=，6EC=，求AC的长．【分析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出90∠=︒，根据平行线的性质得出EDC⊥，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出OD OC OE==，OA CD然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出AOC AOD∠=∠，进而证得∆≅∆，得到90()AOD AOC SAS∠=∠=︒，即可证得结论；ADO ACB（2）根据切割线定理求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可．【解答】（1）证明：连接OD、CD，CE是O的直径，∴∠=︒，EDC90DE OA，//OA CD∴⊥，∴垂直平分CD，OA∴=，OD OCOD OE∴=，∴∠=∠，OED ODEDE OA，//∠=∠，∴∠=∠，DEO AOCODE AOD∴∠=∠，AOD AOCAC是切线，90∴∠=︒，ACB在AOD∆中∆和AOCOD OC AOD AOC OA OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOD AOC SAS ∴∆≅∆， 90ADO ACB ∴∠=∠=︒， OD 是半径，AB ∴是O 的切线；（2）解：连接OD ，CD ，BD 是O 切线，90ODB ∴∠=︒， 90BDE ODE ∴∠+∠=︒， CE 是O 的直径， 90CDE ∴∠=︒， 90ODC ODE ∴∠+∠=︒， BDE ODC ∴∠=∠， OC OD =，OCD ODC ∴∠=∠， BDE OCD ∴∠=∠，B B ∠=∠，BDE BCD ∴∆∆∽，∴BD BEBC BD=2BD BE BC ∴=，设BE x =，4BD =，6EC =，24(6)x x ∴=+，解得2x =或8x =-（舍去），2BE ∴=，8BC BE EC ∴=+=，AD 、AC 是O 的切线，AD AC ∴=，设AD AC y ==，在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，222(4)8y y ∴+=+， 解得6y =， 6AC ∴=，故AC 的长为6．【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A 、B 、C 、D 类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题： （1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．【分析】（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；（2）总数量乘以C对应百分比可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为26052%500÷=（户)；（2）抽查C类贫困户为50024%120⨯=（户)，补全图形如下：（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000(24%16%)5200⨯+=（户)；（4）画树状图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，所以恰好选中甲和丁的概率为21 126=．【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．24．（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长25AB cm =，AB 与墙壁DD '的夹角37D AB ∠'=︒，喷出的水流BC 与AB 形成的夹角72ABC ∠=︒，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使50DE cm =，130CE cm =．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈，sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70)︒≈．【分析】过B 作BG D D ⊥'于点G ，延长EC 、GB 交于点F ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点B 作BG D D ⊥'于点G ，延长EC 、GB 交于点F ， 25AB =，50DE =， sin37GB AB ∴︒=，cos37GAAB︒=， 250.6015GB ∴≈⨯=，250.8020GA ≈⨯=， 501535BF ∴=-=，72ABC ∠=︒，37D AB ∠'=︒， 53GBA ∴∠=︒， 55CBF ∴∠=︒， 35BCF ∴∠=︒， tan35BFCF︒=， 35500.70CF ∴≈=， 50130180FE ∴=+=， 180GD FE ∴==， 18020160AD ∴=-=，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm 的位置．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使P N C ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）二次函数表达式为：2(1)4y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG 的周长22222(22)2(23)282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；（3）2711sin 45822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯，解得：94PH HG ==，即可求解．【解答】解：（1）二次函数表达式为：2(1)4y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++⋯①；（2）设点M 的坐标为2(,23)x x x -++，则点2(2,23)N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长22222(22)2(23)282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点(0,3)N 与点D 重合；（3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作//PK CD ⊥于点K ，将(3,0)C 、(0,3)D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，45OCD ODC PHK ∴∠=∠=︒=∠，CD =设点2(,23)P x x x -++，则点(,3)H x x -+，2711sin 45822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=，解得：32x =， 故点3(2P ，15)4， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+⋯②，联立①②并解得：32x ±=，即点P '、P ''的坐标分别为、；故点P 坐标为：3(2，15)4或或． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．26．（10分）在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，作CM AB ⊥交AB 于点M ，BN AC ⊥交AC 于点N ．（1）在图1中，求证：BMC CNB ∆≅∆；（2）在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作//PE AB 交CM 于点E ，作//PF AC 交BN 于点F ，求证：PE PF BM +=；（3）在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作//PE AB 交CM 的延长线于点E ，作//PF AC 交NB 的延长线于点F ，求证：AM PF OM BN AM PE +=．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到ABC ACB ∠=∠，利用AAS 定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到BM NC =，证明CEP CMB ∆∆∽、BFP BNC ∆∆∽，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；（3）根据BMC CNB ∆≅∆，得到MC BN =，证明AMC OMB ∆∆∽，得到AM OM MC MB=，根据比例的性质证明即可．【解答】证明：（1）AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠， CM AB ⊥，BN AC ⊥，90BMC CNB ∴∠=∠=︒，在BMC ∆和CNB ∆中，MBC NCB BMC CNB BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BMC CNB AAS ∴∆≅∆；（2）BMC CNB ∆≅∆，BM NC ∴=，//PE AB ，CEP CMB ∴∆∆∽， ∴PE CP BM CB=， //PF AC ，BFP BNC ∴∆∆∽， ∴PF BP NC BC =， ∴1PE PF CP BP BM BM CB CB+=+=， PE PF BM ∴+=；（3）同（2）的方法得到，PE PF BM -=，BMC CNB ∆≅∆，MC BN ∴=，90ANB ∠=︒，90MAC ABN ∴∠+∠=︒，90OMB ∠=︒，90MOB ABN ∴∠+∠=︒，MAC MOB ∴∠=∠，又90AMC OMB ∠=∠=︒，AMC OMB ∴∆∆∽，∴AM OMMC MB=，AM MB OM MC∴=，()AM PE PF OM BN∴⨯-=，AM PF OM BN AM PE∴+=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。