2013年高考试题分类汇编(不等式选讲)

即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2．(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ；
【答案】解析：证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
(2)若 成立，证明： 或 ．
【答案】【答案】(1) ；(2)见详解．
【官方解析】(1)由于
故由已知得 ，当且仅当 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
(2)由于
故由已知得 ，当且仅当 时等号成立．
因此 的最小值为
由题设知 ，解得 或 ．
【解法2】柯西不等式法
(1) ，
故 ，当且仅当 时等号成立．
所以 的最小值为 ．
(2)若 ，求a的取值范围．
【答案】(1)图像见解析；(2)
解析：(1)可得 ，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
(2) ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 (舍去)，
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 ．
(2) (当且仅当 时取等号)，
，解得： 或 ，
的取值范围为 ．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法

. AE D CBO第15题图2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1. (2013北京理)如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.答案 954解析 由PD ∶DB ＝9∶16.设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA 2＝PD·PB ，即9＝ 9a ×25a ，∴a ＝15，所以PD ＝95.在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.2．(2013广东文) 如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠=，21DE ==【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.3. (2013广东理) 如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB=,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.4、(2013湖北理) 如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。

若3AB AD =，则CEEO的值为 。

【解析与答案】由射影定理知()()2222812AD AB AD CE CD AD BDEO OD OA AD AB AD -====-⎛⎫- ⎪⎝⎭【相关知识点】射影定理，圆幂定理图3OD EBA第15题图C5. (2013湖南理) 如图2的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点 1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】23 【解析】 ，由相交弦定理得5,4==⇒⋅=⋅DC PC PC DP PB AP23)2(22=-=PC r d CD 的距离圆心到6． (2013陕西文) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = . B 【答案】.6 【解析】 ..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 7．(2013陕西理) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则 .【解析】.//BAD BCD PED BCD PE BC ⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 8． (2013天津文) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 . 【答案】152【解析】连结AC,则EAB ACB ADB ABD DCA ∠=∠=∠=∠=∠，所以梯形ABCD 为等腰梯形，所以5BC AD ==，所以24936AE BE CE =⋅=⨯=，所以6AE =,所以2222226543cos 22654AE AB BE EAB AE AB ++-===⋅⨯⨯.又2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅,即222355254BD BD =+-⨯⋅⨯，整理得21502BD BD -=，解得152BD =。

江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编16：不等式选讲 一、解答题 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）选修4-5(不等式选讲)已知x,y均为正数,且x>y,求证:. 【答案】选修4-5(不等式选讲)已知x,y均为正数,且x>y,求证:. 解:因为x>0,y>0,x-y>0,=, 所以 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知为正数,且满足,求证:. 【答案】D.由柯西不等式,得 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）D.(选修4—5:不等式选讲) 已知均为正数,求证:. 【答案】D. 证明:由柯西不等式得 则,即 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）D.选修4—5:不等式选讲设都是正数, 且, 求证:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤. 【答案】解:因为是正数,所以 同理,将上述不等式两边相乘, 得, 因为,所以 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数(). (Ⅰ)当时,已知,求的取值范围;(Ⅱ)若的解集为或,求的值.【答案】 ．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）D.(不等式选讲) 已知x,y,z均为正数.求证:. 【答案】D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.证明:因为x,y,z均为正数,所以, 同理得(当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立),将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得. ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）(不等式选做题) 设x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3. 【答案】证明:由题设x>0,y>0,x>y,可得x-y>0 因为2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+ . 又(x-y)+(x-y) +,等号成立条件是x-y=1 . 所以,2x+-2y≥3,即2x+≥2y+3 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=+-1==因边a+b=2,所以左边-右边=因为a,b都是正实数,所以ab≤=1 所以,左边-右边≥0,即+≥1 方法二:由柯西不等式,得(+)[(2+()2]≥(a+b)2 因为a+b=2,所以上式即为(+)×4≥4.即+≥1 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）D．选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分） 设f(x)=|x-a|,a∈R. ①当-1≤x≤3时，f(x)≤3，求a的取值范围； ②若对任意x∈R，f(x-a)+f(x+a)≥1-2a恒成立，求实数a的最小值． 【答案】 ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）D、(不等式选做题) 设a,b,c,d∈R,求证:+≥,等号当且仅当ad=bc时成立.【答案】D、(不等式选做题)证明 由柯西不等式(a+b)(c+d)≥(ac+bd),得≥| ac+bd |≥ac+bd.将上式两边同时乘以2,再将两边同时加上a+b+c+d,有(a+b)+2+(c+d)≥(a+c)+(b+d), 即 (+)≥(), 所以,+≥ 由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知,原不等式中等号当且仅当ad=bc时成立 ．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）选修4—5 不等式证明选讲证明:对任意正数a≠b的算术平均A=有B<。

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数x, y, z满足x23xy 4 y2xy 21 2z, 则当 z取得最大值时 ,xyz的最大值为（）9A ． 0B ． 1C ．4D ． 3【答案】 B2 ．（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 设[ x ] 表示不大于 x 的最大整数 , 则对任意实数 x , y , 有 （）A ． [- x ] = -[ x ]B ． [2 x ] = 2[x ]C ． [ x +y ] ≤[x ]+[y ] D ． [ x - y ] ≤[x ]-[ y ]【答案】 Dy 2x3 ．（ 2013 年高考湖南卷（理） ） 若变量 x, y 满足约束条件xy 1, 则x 2y 的最大值是y1A ． -5B ． 0C ．5D ．5232【答案】 C4 ．（ 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含 答 案 ）） 已知 函数（ ）f ( x) x(1 a | x |) . 设关于 x 的不等式 则实数 a 的取值范围是A ．1 5,0 B ．1 3,022【答案】 A5 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标f ( x a) f ( x) 的解集为A , 若1 , 1 A ,2 2C ．1 5,0 0,1 322Ⅱ 卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ） 已知（）D ．,1 52x 1a 0 , x, y 满足约束条件 xy3, 若 z 2x y 的最小值为 1, 则 a（）y a( x3)A ．1B ．1C ． 1D ． 242【答案】 B6 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）） 设变量 x , y 满足约3xy 60,束条件x y 2 0,则目标函数z =-2 x 的最小值为（）yy 3 0,第 1 页 共 5 页A ． -7B ． -4C ． 1D ． 2【答案】 A7 ．（ 2013 年高考湖北卷（理） ） 一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车 , 以速度 v t7 3t25( t 的单位 : s , v 的单位 : m / s ) 行驶至停止 . 在此期间汽车继续1 t行驶的距离 ( 单位 ; m ) 是（）A ． 1 25ln5B ．811 C ． 4 25ln5D ． 4 50ln 225ln【答案】 C38 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 x |x<-1或 x>1, 则 f (10x )>0 的解集为（）2A ． x|x<-1或 x>lg2B ． x|-1<x<lg2C ． x |x>-lg2D ． x|x<-lg2【答案】 D9 ．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ） 如果 a b 0 , 那么下列不等式成立的是（）A ．1 1B ． ab b 2C ． aba 2D ． 11 ab ab【答案】 D10．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy2x y 2 0,x2y1 0,中 , M为不等式组3x y80,所表示的区域上一动点 , 则直线OM斜率的最小值为（）11A ． 2B ． 1C ．3D ．2【答案】 C11 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ） 设a log 3 6,b log 5 10, clog 7 14 , 则（）A ． c b aB ． b c aC ． a c bD ． a b c【答案】2x y 1 0,12．（ 2013 年高考北京卷（理） ）设关于 x , y 的不等式组x m 0, 表示的平面区域内存y m 0在点 P ( x 0, y 0), 满足 x 0-2 y 0=2, 求得 m 的取值范围是（ ）第 2 页 共 5 页A ． 4B ．1C ． 2D ． 5,,,,3333【答案】 C二、填空题13．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ） 记不等式x 0,组 x 3y4, 所表示的平面区域为 D , 若直线 yax 1 与 D 公共点 , 则 a 的取值3x y4,范围是 ______.【答案】 [1, 4]214．（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 若点 ( x , y ) 位于曲线 y | x 1| 与 y =2 所围成的封闭区域 , 则2x - y 的最小值为 ___-4_____.【答案】 - 415 ．（ 2013 年 高 考 四 川 卷 （ 理 ）） 已 知 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 , 当 x ≥ 0时, f ( x)x 2 4x , 那么 , 不等式 f ( x 2) 5 的解集是 ____________.【答案】 (7,3)16 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 给定区域x 4 y 4x y4D : x 0, 令点集T{ x 0 , y 0 D | x 0 , y 0Z, x 0, y0 ,是 zx y在 D 上取得最大值或最小值的点}, 则 T中的点共确定 ______条不同的直线 .【答案】617．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设zkx y , 其xy 2 0中实数 x, y 满足 x2y4 0 , 若 z 的最大值为 12, 则实数 k ________.2x y 4 0【答案】 218．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）） 设 a + b = 2, b >0, 则当 a = ______ 时 ,1| a | 2 | a |b 取得最小值 .【答案】 219．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））不等式 x 2x 2 0第 3 页 共 5 页的解集为 ___________.【答案】2,120．（2013年 高考 湖南 卷（理 ） ）已知a,b,c ,23c 229ca 2则 b6的最,小值a 为4b .【答案】 12三、解答题21．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）如图 , 某校有一块形如直角三角形ABC 的空地 , 其中B 为直角 , AB 长 40 米 , BC 长 50 米 , 现欲在此空地上建造一间健身房, 其占地形状为矩形 , 且 B 为矩形的一个顶点, 求该健身房的最大占地面积 .ABC【答案】 [ 解 ] 如图 , 设矩形为 EBFP , FP 长为 x 米, 其中 0x40 ,AEPBFC健身房占地面积为 y 平方米 . 因为 CFP ∽ CBA ,以 FPCF , x 50BF , 求得 BF505x ,BACB 40 504从而 yBF FP(505x) x5 x 2 50x5( x 20) 2500500 ,444当且仅当 x20 时 , 等号成立 .答 : 该健身房的最大占地面积为 500 平方米 .22．（ 2013 年高考上海卷（理） ） (6 分 +8 分 ) 甲厂以 x 千克 / 小时的速度运输生产某种产品( 生产条件要求 1x 10 ), 每小时可获得利润是 100(5 x 13) 元.x(1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元, 求 x 的取值范围 ;(2) 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大 , 问: 甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润 .【答案】 (1) 根据题意 , 200(5 x1 3)30005x 143 0又 1 x 10 , 可解得 3 x 10xx(2) 设利润为 y 元 , 则 y900 100(5x 1 3) 9 104[ 3( 11)261]xxx 6 12第 4 页 共 5 页故 x 6 时,y max 457500元.第 5页共5页。

全国高考数学试题分类汇编：不等式选讲( 文科)【2013年高考试题】1．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________【答案】(],8-∞2．（2013年高考陕西卷) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______【答案】2 【解析】利用柯西不等式求解，212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2 3．（2013年高考江西卷)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.【答案】5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学）已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】6．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学）设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为37．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223bb a aba ())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--= 又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a ,∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-8．（2013年高考新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43].【2012年高考试题】1.【2012高考真题新课标】已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.2.【2012高考真题陕西】若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .3.【2012高考真题辽宁】已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1 ．（ 2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数x 的不等式 x 5 x 3 a 无解,则实数 a 的取值范围是_________【答案】,82 ．（ 2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数 ,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)( bm+an) 的最小值为 _______.【答案】 23 ．（ 2013年高考江西卷（理））(不等式选做题) 在实数范围内 , 不等式x 2 1 1 的解集为_________【答案】0,44 ．（ 2013年高考湖北卷（理））设 x, y, z R ,且满足:x2y2z21, x 2 y 3z 14 ,则 x y z _______.【答案】二、解答题314 75 （．2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—5;不等式选讲设 a,b,c 均为正数,且a b c1,证明:1a2b2c2(Ⅰ)ab bc ca; ( Ⅱ)c 1.3b a 【答案】6 ．（ 2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-5:不等式选讲已知函数 f x x a ,其中a1.(I)当 a=2 时,求不等式 f x4x 4 的解集;(II)已知关于x 的不等式f2x a 2 f x2的解集为x |1 x 2 ,求 a 的值.【答案】7 ．（ 2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））不等式选讲 :设不等式 x2a(a N * ) 的解集为A,且3 A ,1 A .(1)求 a 的值;22(2)求函数 f ( x)x a x 2的最小值 .【答案】解:( Ⅰ) 因为3A ,且1 A ,所以32 a ,且12a 2222解得1a 3 ,又因为 a N *,所以 a 1 22( Ⅱ) 因为| x 1| | x 2 | |( x 1) ( x 2) | 3当且仅当 ( x1)(x 2)0 ,即1x 2 时取得等号,所以 f ( x)的最小值为 38 ．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）） D.[ 选修 4-5: 不定式选讲 ] 本小题满分10 分 .已知 a b>0,求证: 2a3b32ab 2 a 2 b[ 必做题 ] 第 22、23 题 , 每题 10分, 共 20 分. 请在相应的答题区域内作答, 若多做 , 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D证明: ∵2a3b32ab 2a2 b2a32ab2( a2 b b3 ) 2a a2b2b(a2b2 )a 2b 2 ( 2a b)(a b)( a b)(2a b)又∵ a b>0,∴ a b >0,a b0 2a b 0 ,∴ (a b)(a b)( 2a b)0∴ 2a3b32ab 2a2 b0∴2a3b3ab 2a2 b29．（ 2013 年高考新课标 1（理））选修4—5:不等式选讲已知函数 f ( x) =| 2x1| | 2x a | , g (x) =x 3 .( Ⅰ ) 当a =2 时 , 求不等式f (x) < g( x) 的解集;( Ⅱ ) 设 a >-1, 且当 x ∈ [a , 1) 时, f ( x) ≤ g( x) , 求 a 的取值范围 .2 2【答案】 当 a =-2时, 不等式 f (x) < g (x) 化为 | 2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ,5x, x121设函数 y = | 2x1| | 2x2 | x3 , y = x2,x 1 ,23x 6,x 1其图像如图所示从图像可知 , 当且仅当 x (0,2) 时 , y <0, ∴原不等式解集是 { x | 0 x2} .( Ⅱ ) 当 x ∈ [a , 1 ) 时, f ( x) =1 a , 不等式 f (x) ≤ g( x) 化为 1 ax 3 ,2 2∴ x a 2对 x ∈ [a , 1) 都成立 , 故 aa 2 , 即 a ≤ 4 ,2 2 23∴ a 的取值范围为 (-1,4].310．（ 2013 年高考湖南卷（理） ）在平面直角坐标系 xOy 中 , 将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径” . 如图 6 所示的路径MM 1M 2 M 3 N 与路径 MN 1N 都是 M 到 N 的“L 路径” . 某地有三个新建的居民区 , 分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20), B( 10,0), C (14,0) 处 . 现计划在 x 轴上方区域 ( 包含 x 轴 )内的某一点 P 处修建一个文化中心 .(I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式 ( 不要求证明 );(II)若以原点 O为圆心 , 半径为 1 的圆的内部是保护区 , “L路径”不能进入保护区 , 请确定点 P 的位置 , 使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小 .【答案】解 :设点P(x, y),且y0.( Ⅰ)点P到点A(3,20)的“ L路径”的最短距离d,等于水平距离垂直距离，即 d| x - 3 | + | y - 20 | ,其中y 0, x R.( Ⅱ) 本问考查分析解决应用问题的能力, 以及绝对值的基本知识 .点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值 d = 水平距离之和的最小值h +垂直距离之和的最小值 v. 且h 和 v 互不影响 .显然当 y=1时 ,v=20+1=21; 显然当x [ 10,14]时 , 水平距离之和 h=x – (-10)+ 14 – x + |x-3|24 ,且当 x=3 时 , h=24.因此 , 当 P(3,1) 时 ,d=21+24=45.所以 , 当点 P(x,y)满足 P(3,1) 时 , 点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和 d 的最小值为 45.。

2013年高考真题理科数学解析分类汇编8 不等式一、选择题1.[湖南]4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C2.陕西9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30] (D) [20,30] 【答案】C【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得:,30040,40,0,0,404040≤<<>>-=xy y x y x y x ，且利用线性规划知识解得]30,10[∈x ，选C 3.重庆3()63a -≤≤的最大值为（ ）A 、9B 、92 C、3 D【答案】：B5.浙江136.湖北1314.新课标II 8、设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ） （A ） a b c >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）C b a >> 【答案】D解析 错误！未找到引用源。

， 10log 5=b =错误！未找到引用源。

，14log 7=c =错误！未找到引用源。

所以a >b>c15.新课标II 9、已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ， 若23z x y =-＋y 的最小值是1，则a ＝（ ） （A ）41 （B ）21（C ）1 （D ）2 【答案】B解析 过A 错误！未找到引用源。

取最小z=2-2a=1 ⟹a=2116.天津(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y+2x 的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2答案：A解析：过点错误！未找到引用源。

高一升高二7.30晚上六点半一对一两份2013高考数学—不等式一：选择题1.（2013北京卷文2）设R c b a ∈,,，且b a >，则 .A bc ac > .B ba 11< 22.b a C > 33.b a D >2.（2013安徽卷理6）已知一元二次不等式0)(<x f 的解集}211|{>-<x x x 或，则0)10(>x f 的解集为.A }2lg 1{->-<x x x 或 .B }2lg 1{-<<-x x .C }2lg {->x x .D }2lg {-<x x3.（2013新课标2卷12）若存在正数x 使1)(2<-a x x 成立，则a 的取值范围是 .A ),(+∞-∞ .B ),2(+∞- .C ),0(+∞ .D ),1(+∞-4.（2013江西卷文6）下列选项中，不等式21x xx<<成立的x 的取值范围.A )1,(--∞ .B )0,1(- .C )1,0( .D ),1(+∞ 5.（2013大纲卷文4）不等式222<-x 的解集是.A )1,1(- .B )2,2(- .C )1,0()0,1( - .D )2,0()0,2( -.6（2013山东卷理6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x 所表示的平面区域上一动点，则OM 斜率的最小值为 .A 2 .B 1 .C 31-.D 21-7（2013新课标2卷理5）已知0>a ，y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=a .A 41 .B 21.C 1 .D 2 8.（2013北京卷理8）设关于y x ,的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+≥+-0012m y m x y x 表示的平面区域内存在点),(00y x P ，满足2200=-y x ，求m 的取值范围是.A )34,(--∞ .B )31,(-∞ .C )32,(--∞ .D )35,(--∞ 9.（2013四川卷文8）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5zy x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）16 10（2013福建卷文7）若221,x y x y +=+则的取值范围是A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[]2,-+∞D ．[],2-∞-填空题1.（2013广东卷理9）不等式022<-+x x 的解集为 ．2.（2013浙江卷理13）设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。

考点26 不等关系与不等式一、选择题1.(2013·浙江高考文科·T10)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则( )A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2【解题指南】充分理解新定义的运算,根据它的运算性质求解.【解析】选C.因为a∧b=min{a,b},a∨b=max{a,b},又ab≥4,所以a,b中至少有一个大于等于2,所以a∨b≥2,排除A,B;因为c+d≤4,所以c,d中至少有一个小于等于2,所以c∧d≤2,故选C.2.（2013·北京高考文科·Ｔ2）设a,b,c∈R,且a>b,则( )A.ac>bcB.11a bC.a2>b2D.a3>b3【解题指南】利用不等式的性质求解.【解析】选D.y=x3在(-∞,+∞)上为增函数,所以a3>b3.二、填空题3.(2013·浙江高考文科·T16)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .【解题指南】由不等式恒成立可取特殊值得到a,b的关系,再由不等式恒成立求得ab.【解析】因为x≥0时,0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2恒成立,所以当x=1时,0≤a+b≤0成立,所以a+b=0,a=-b,当x=0时,0≤b ≤1,所以-1≤a ≤0,所以原不等式为0≤x 4-x 3+ax-a≤(x 2-1)2,ax-a ≤x 3-2x 2+1,所以a(x-1)≤(x 2-x-1)(x-1),当x>1时, a ≤x 2-x-1=21524⎛⎫-- ⎪⎝⎭x (x ≥1)恒成立,得a ≤-1;所以a=-1.当x<1时,同理可得a=-1,所以ab=-a 2=-1.【答案】-1。

江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编16：不等式选讲一、解答题1 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）选修4-5(不等式选讲)已知x ,y 均为正数,且x >y ,求证:2212232x y x xy y ++-+≥. 【答案】选修4-5(不等式选讲) 已知x ,y 均为正数,且x >y ,求证:2212232x y x xy y ++-+≥.解:因为x >0,y >0,x -y >0,22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-=21()()()x y x y x y -+-+-3≥,所以2212232x y x xy y ++-+≥2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知,,a b c 为正数,且满足22cos sin a b c θθ+<,求证22θθ【答案】D.由柯西不等式,得22θθ+11222222))](cos sin )θθθθ++≤ 1222(cos sin )a b θθ=+<3 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）D.(选修4—5:不等式选讲)已知x y z 、、均为正数,求证:111()3x y z ++≤. 【答案】D. 证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++111x y z ≥++,111()x y z ++≤ 4 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）D.选修4—5:不等式选讲设n a a a ,,,21 都是正数, 且121=⋅n a a a , 求证:()()()n n a a a 211121≥+++ . 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤.【答案】解:因为1a 是正数,所以111a a +≥2同理1(2,3,)j j a a j n +=≥2,将上述不等式两边相乘,得1212(1)(1)(1)n n na a a a a a +++⋅⋅⋅⋅≥2,因为121n a a a ⋅⋅⋅=,所以12(1)(1)(1)n n a a a +++≥25 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数()|3|||f x x x a =++- (0a >).(Ⅰ)当4a =时,已知()7f x =,求x 的取值范围;(Ⅱ)若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥,求a 的值.【答案】6 ．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）D.(不等式选讲)已知x ,y ,z 均为正数.求证:111yx z yz zx xy x y z++++≥.【答案】D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.证明:因为x ,y ,z 均为正数,所以()12yx y x y x yz zx z z++=≥,同理得22yz z x zx xy x xy yz y++≥，≥(当且仅当x =y =z 时,以上三式等号都成立),将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111yx z yz zx xy x y z++++≥.7 ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）(不等式选做题)设x ,y 均为正数,且x >y ,求证:2x +1x 2－2xy ＋y2≥2y +3.【答案】证明:由题设x >0,y >0,x >y ,可得x -y >0 因为2x +1x 2－2xy ＋y 2-2y =2(x -y )+1 (x －y )2=(x -y )+(x -y )+1(x －y )2.又(x -y )+(x -y ) +1 (x －y )223213()3()x y x y -=-≥,等号成立条件是x -y =1.所以,2x +1x 2－2xy ＋y 2-2y ≥3,即2x +1x 2－2xy ＋y2≥2y +38 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a ,b 都是正实数,且a +b =2,求证:a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=a 2a ＋1+b 2b ＋1-1=a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)=a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)因边a +b =2,所以左边-右边=1－ab(a ＋1)(b ＋1)因为a ,b 都是正实数,所以ab ≤(a ＋b )24=1所以,左边-右边≥0,即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1方法二:由柯西不等式,得 (a 2a ＋1+b 2b ＋1)[(a ＋1)2+ (b ＋1)2]≥(a +b )2因为a +b =2,所以上式即为(a 2a ＋1+b 2b ＋1)×4≥4.即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥19 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设f (x )=|x -a |,a ∈R .①当-1≤x ≤3时，f (x )≤3，求a 的取值范围；②若对任意x ∈R ，f (x -a )+f (x +a )≥1-2a 恒成立，求实数a 的最小值． 【答案】略10．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）D 、(不等式选做题)设a ,b ,c ,d ∈R,求证:a 2＋b 2+c 2＋d 2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2,等号当且仅当ad =bc时成立.【答案】D 、(不等式选做题)证明 由柯西不等式 (a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,得(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥| ac +bd|≥ac +bd .将上式两边同时乘以2,再将两边同时加上a 2+b 2+c 2+d 2,有 (a 2+b 2)+2(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)+(c 2+d 2)≥(a +c )2+(b +d )2, 即 (a 2＋b 2+c 2＋d 2)2≥((a ＋c )2＋(b ＋d )2)2,所以,a 2＋b 2+c 2＋d 2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知,原不等式中等号当且仅当ad =bc 时成立11．（2013年江苏省高考数学押题试卷 ）选修4—5 不等式证明选讲证明:对任意正数a ≠b 的算术平均A =a +b 2与几何平均B =ab 有B <(a －b )28(A －B )<A .【答案】选修4—5 不等式证明选讲证明 因为B <A ,所以B <A +B2<A ,而(a －b )28(A －B )=(a 2－b 2)24(a －b 2)=(a +b )24=A +B 2,所以 B <A +B 2<A .。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：不等式一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数,,x y z满足22340x xy y z-+-=,则当xyz取得最大值时,212x y z+-的最大值为（）A．0 B．1 C．94D．3【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）A．[-x] = -[x] B．[2x] = 2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x-y]≤[x]-[y]【答案】D3 ．（2013年高考湖南卷（理））若变量,x y满足约束条件211y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y+则的最大值是（）A．5-2B．0C．53D．52【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数()(1||)f x x a x=+. 设关于x的不等式()()f x a f x+<的解集为A, 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛⋃⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭D．⎛-⎝⎭∞【答案】A5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知a>,,x y满足约束条件13(3)xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y=+的最小值为1,则a=（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y -2x 的最小值为（ ）A ．-7B ．-4C ．1D ．2【答案】A7 ．（2013年高考湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是（ ）A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x【答案】D9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 【答案】D10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy 中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．13-D ．12-【答案】C11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>【答案】12．（2013年高考北京卷（理））设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是（ ） A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 的取值范围是______.【答案】1[,4]214．（2013年高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为___-4_____.【答案】- 415．（2013年高考四川卷（理））已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________.【答案】(7,3)-16．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.【答案】617．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________【答案】218．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设a + b = 2, b >0,则当a = ______时,1||2||a a b+取得最小值. 【答案】2-19．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））不等式220x x +-<的解集为___________.【答案】()2,1-20．（2013年高考湖南卷（理））已知222,,,236,49a b c a b ca b c ∈++=++则的最小值为______.【答案】12 三、解答题21．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,某校有一块形如直角三角形ABC 的空地,其中B ∠为直角,AB 长40米, BC 长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B 为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.【答案】[解]如图,设矩形为EBFP , FP 长为x 米,其中040x <<,ABC健身房占地面积为y 平方米.因为CFP ∆∽CBA ∆,以FP CF BA CB =,504050x BF -=,求得5504BF x =-, 从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-=-+25(20)5005004x =--+≤,当且仅当20x =时,等号成立.答:该健身房的最大占地面积为500平方米. 22．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.【答案】(1)根据题意,33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤,可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元,则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时,max 457500y =元.ABC FP E。

2013年全国各省市理科数学—概率1、2013大纲理T20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望。

2、2013新课标I 理T19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果3=n ，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4=n ，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为21，且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。

3、2013新课标Ⅱ理T19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元。

根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。

经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品。

以X （单位：t ，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[)110,100∈x ，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[)110,100的T 的数学期望。

考点 基本不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ363)a -≤≤的最大值为 ( )A.9 B .29 C.3 D. 2232. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ）A.0B.98C.2D.943. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数,,x y z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C.94D.34.(2013·福建高考文科·T7)若221x y +=,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-二、填空题5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。

6.（2013·天津高考文科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .7. （2013·天津高考理科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b +取得最小值.8.（2013·上海高考文科·T13）设常数a ＞0.若291a x a x +≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 .9. （2013·陕西高考文科·Ｔ14）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).。

2013年高考数学（文）解析分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（2013年高考四川卷（文8））若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值是 （ ） A ．48 B ．30 C ．24 D ．16【答案】C【解析】条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域，检验四顶点可知，当4=x ，4=y 时，16445max =-⨯==z a ，当8=x ，0=y 时，8805min -=-⨯==b ，所以24=-b a ，选C.2 ．（2013年高考福建卷（文））若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 【答案】B【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文3）） 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。

作出可行域如图,平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4 ．（2013年高考福建卷（文））若122=+y x,则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x222221⋅≥+=，即222-+≤y x ，所以2-≤+y x ，当且仅当y x 22=，即y x =时取等号．5 ．（2013年高考江西卷（文6））下列选项中,使不等式x<1x<2x 成立的x 的取值范围是 （ ）A ．(,-1)B ．(-1,0)C ．0,1)D ．(1,+)【答案】A【解析】本题考查不等式的解法。

7.2不等式的解法
考点不等式的解法
1.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )
A. B. C. D.
答案 A
2.(2013江西,6,5分)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
答案 A
3.(2013安徽,20,13分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.
(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);
(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.
解析(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=,故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2},因此区间I=,区间长度为.
(2)设d(a)=,则d'(a)=,令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故
当1-k≤a<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;
当1<a≤1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.
因此当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.
而==<1,故d(1-k)<d(1+k).
因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值.。

考点55 不等式选讲一、选择题1。

（2013·安徽高考理科·Ｔ4）“a ≤0”“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增"的 （ ）A 。

充分不必要条件B 。

必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】 画出函数()=(-1)f x ax x 的简图，数形结合判断。

【解析】选C.由函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增可得其图象如图所示，,由图象可知选项C 正确。

二、填空题2. （2013·陕西高考理科·Ｔ15）已知a ， b ， m ， n 均为正数， 且a ＋b ＝1， mn ＝2， 则（am ＋bn ）（bm ＋an ）的最小值为 . 【解题指南】利用柯西不等式求解。

【解析】212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （，且仅当n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2。

【答案】 2。

3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）设a ， b ∈R ， ｜a －b ｜〉2， 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 。

【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识||||b x a x -+-表示数轴上某点到a ，b 的距离之和即可得解. 【解析】函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为：xa-b+∞fR因此，当.2bx∀a时，(||∈).)-[|>≥|,所以,不等式2|-bxax的解集为R。

-|+||>【答案】R。

4.（2013·江西高考理科·Ｔ15）在实数范围内，不等式||x2|1|1--≤的解集为___________。

【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解。

【解析】由绝对值的意义，||x2|1|1--≤等价于0|x2|2≤-≤，即≤≤。

第三节 不等式选讲高考试题考点一 含绝对值不等式的解法1.(2013年重庆卷,理16)若关于实数x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数a 的取值范围是 .解析:法一 ∵|x-5|+|x+3|=22,5,8,35,22,5,x x x x x -⎧⎪-⎨⎪-+-⎩＞＜＜＜ ∴|x-5|+|x+3|≥8,当a ≤8时不等式无解.法二 ∵|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,∴当a ≤8时,不等式无解.答案:(-∞,8]2.(2013年陕西卷,理15A)(不等式选做题)已知a,b,m,n 均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 .解析:(am+bn)(bm+an)=ab(m 2+n 2)+(a 2+b 2)mn=ab(m 2+n 2)+2[(a+b)2-2ab]≥2mnab+2(1-2ab)=2,当且仅当.答案:23.(2011年陕西卷,理15)若关于x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a 的取值范围是 . 解析:因为|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,所以|a|≥|x+1|+|x-2|有解时,|a|≥3,解得a ≤-3或a ≥3.答案:(-∞,-3]∪[3,+∞)4.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x ∈[-2a ,12）时,f(x)≤g(x),求a 的取值范围. 解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪--⎨⎪⎪-⎪⎩＜≤≤＞ 其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x ∈[-2a ,12）时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a ≤x+3.所以x ≥a-2对x ∈[-2a ,12）都成立. 故-2a ≥a-2, 即a ≤43. 从而a 的取值范围是（-1,43]. 5.(2012年辽宁卷,理24)已知f(x)=|ax+1|(a ∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x ≤1}.(1)求a 的值;(2)若|f(x)-2f 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭|≤k 恒成立,求k 的取值范围. 解:(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax ≤2.又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x ≤1},所以当a ≤0时不合题意,当a>0时,-4a ≤x ≤2a, 所以a=2. (2)记h(x)=f(x)-2f 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则h(x)=1,1143,1,211,.2x x x x ⎧⎪-⎪⎪----⎨⎪⎪--⎪⎩≤＜＜≥ 所以|h(x)|≤1,因此k ≥1.6.(2012年新课标全国卷,理24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.解:(1)当a=-3时,f(x)=25,2,1,23,25, 3.x x x x x x -+⎧⎪⎨⎪-⎩≤＜＜≥当x ≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x ≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x ≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x ≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x ≤1或x ≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x ∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a ≤x ≤2-a.由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].7.(2011年新课标全国卷,理24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤-1},求a 的值.解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤-1.故当a=1时,不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x ≤0,此不等式可化为不等式组,30x a x a x ⎧⎨-+⎩≥≤或,30,x a a x x ⎧⎨-+⎩＜≤即,4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或,,2x a a x ⎧⎪⎨-⎪⎩＜≤因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x ≤-2a }, 由题设可得-2a =-1,故a=2. 考点二 不等式的证明1.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理24)(选修45:不等式选讲)设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac ≤13; (2)2a b + 2b c +2c a≥1. 证明:(1)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca, 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca ≤13. (2)因为2a b +b ≥2a,2b c +c ≥2b, 2c a+a ≥2c, 故2a b +2b c +2c a+(a+b+c)≥2(a+b+c), 即2a b +2b c +2c a≥a+b+c. 所以2a b +2b c +2c a≥1. 2.(2012年江苏卷,21D)已知实数x,y 满足|x+y|<13,|2x-y|<16,求证|y|<518. 证明:因为x,y 为实数,所以3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|,由题设知|x+y|<13,|2x-y|<16,从而3|y|<23+16=56,所以|y|<5 18.3.(2011年安徽卷,理19)(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+1xy≤1x+1y+xy;(2)设1<a≤b≤c,证明log a b+log b c+log c a≤log b a+log c b+log a c.证明:(1)由于x≥1,y≥1,所以x+y+1xy≤1x+1y+xy⇔xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.将上式中的右式减左式,得[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=( xy-1)(x-1)(y-1).由于x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0.从而所要证明的不等式成立.(2)设log a b=x,log b c=y.由对数的换底公式得log c a=1xy,log b a=1x,log c b=1y,log a c=xy,于是所要证明的不等式为x+y+1xy≤1x+1y+xy.又由于1<a≤b≤c,所以x=log a b≥1,y=log b c≥1.故由(1)知所要证明的不等式成立.模拟试题考点一含绝对值不等式的解法1.(2013山东省实验中学测试)不等式3≤|5-2x|<9的解集是( )(A)(-∞,-2)∪(7,+∞)(B)[1,4](C)[-2,1]∪[4,7](D) (-2,1]∪[4,7)解析:由3≤|5-2x|<9得3≤2x-5<9,或-9<2x-5≤-3,即4≤x<7或-2<x≤1,所以不等式的解集为(-2,1]∪[4,7),故选D.答案:D2.(2013山东省实验中学测试)已知函数f(x)=|2x-a|+a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},则实数a的值为.解析:因为不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x ≤3},即-2,3是方程f(x)=6的两个根,即|6-a|+a=6,|a+4|+a=6,所以|6-a|=6-a,|a+4|=6-a,即|6-a|=|a+4|,解得a=1.答案:13.(2011福州模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果关于x 的不等式f(x)≥2恒成立,求a 的取值范围.解:(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|.由f(x)≥3,得|x-1|+|x+1|≥3.①当x ≤-1时,不等式化为1-x-1-x ≥3,即x ≤-32. 所以,原不等式的解集为{x|x ≤-32}. ②当-1<x<1时,不等式化为1-x+1+x ≥3,即2≥3.所以,原不等式无解.③当x ≥1时,不等式化为-1+x+1+x ≥3,即x ≥32. 所以,原不等式的解集为{x|x ≥32}. 综上,原不等式的解集为(-∞,-32]∪[32,+∞). (2)因为关于x 的不等式f(x)≥2恒成立,所以,f(x)min ≥2.因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a 两点的距离之和,所以,f(x)min =|a-1|.∴|a-1|≥2,解得a ≤-1或a ≥3,所以,a 的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).考点二 不等式的证明1.(2011湖南十二校联考)若a,b,c 均为正数,且a 2+ab+ac+bc=4,则2a+b+c 的最小值为 .解析:a 2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)=4,由a,b,c 均为正数,可得2a+b+c=a+b+a+c ≥=4,当且仅当b=c 时取等号.答案:42.(2011福州模拟)已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1..解2≤7+2(4a+1)+2(4b+1)+2(4c+1)=7+8(a+b+c)+6=21.当且仅当a=b=c=13时等号成立.综合检测1.(2012宝鸡质检)若不等式|2a-1|≤|x+1x|对一切非零实数x恒成立,则实数a的取值范围是.解析:∵x与1x同号,∴|x+1x|=|x|+|1x|≥2,当且仅当|x|=|1x|时取等号,若原不等式对任意非零实数x恒成立,则|2a-1|≤2,∴-2≤2a-1≤2,解得-12≤a≤32.答案:[-12,32]2.(2011泉州模拟)已知关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤11a bb a⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意正实数a、b恒成立,求实数x的取值范围.解:∵a>0,b>0,∴11a bb a⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭=2+ab+1ab≥4,当且仅当ab=1时取等号,∴11a bb a⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4,∴|x+1|+|x-2|≤4.当x≤-1时,-x-1+2-x≤4,x≥-3 2 ,∴-32≤x≤-1.当-1<x<2时,x+1+2-x≤4,3≤4,∴-1<x<2.当x≥2时,x+1+x-2≤4,x≤5 2 ,∴2≤x≤5 2 ,综上,x的取值范围是[-32,52].3.(2011福建模拟)已知a,b为正实数.(1)求证:2ab+2ba≥a+b;(2)利用(1)的结论求函数y=()21xx-+21xx-(0<x<1)的最小值.(1)证明:∵a>0,b>0,∴(a+b)(2ab+2ba)=a2+b2+3ab+3ba≥a2+b2+2ab=(a+b)2.∴2ab+2ba≥a+b,当且仅当a=b时等号成立.(2)解:∵0<x<1,∴1-x>0,由(1)的结论,函数y=()21xx-+21xx-≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x即x=12时等号成立.∴函数y=()21xx-+21xx-(0<x<1)的最小值为1.。