空间角

空间角总结

什么是空间角？

空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。

空间角的特征

空间角具有以下几个重要特征：

1. 空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。

2. 空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。

3. 水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。

4. 空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。

空间角的计算方法

余弦定理

余弦定理是计算空间角的常用方法之一。设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：

cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)

其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。

向量的点积

另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：

A·B = |A| * |B| * cos(θ)

其中，θ表示向量A和向量B的夹角。通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。 球面角与立体角

除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。

球面角

球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。球面角可以通过球面面积和球半径来计算。

立体角

立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。立体角可以通过空间角和距离来计算。

补上一课 ,空间角的大小比较及最值(范围)问题)

1．空间角的大小比较是每年高考的常考题型，以选择题的形式考查，主要类型有

线线角间的大小比较、线面角间的大小比较、面面角间的大小比较及线线角、线

面角、面面角间的大小比较，主要方法有计算法、元素比较法、三角函数值比较

法及利用最小角定理(线面角是最小的线线角，二面角是最大的线面角)等方法．

2．立体几何动态问题中空间角的最值及范围也是常见到的题型，常与图形翻折、

点线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法，不等式法

等．

题型一　空间角的大小比较

角度1　同类角间的大小比较

【例1－1】 (1)(2021·嘉兴测试)已知长方体ABCD－A

1B

1C

1D

1的底面ABCD为正

方形，AA

1＝a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC

1上一点E满足CC

1＝3CE，设异面直

线A

1B与AD

1，A

1B与D

1B

1，AE与D

1B

1的所成角分别为α，β，γ，则( )

A．α＜β＜γ B．γ＜β＜α

C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β

(2)(2017·浙江卷)如图，已知正四面体D－ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，

Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，BQ

QC＝CR

RA＝2，分别记二面角D－PR

－Q，D－PQ－R，D－QR－P的平面角为α，β，γ，则( )

A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β

C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD

1

所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵长方体ABCD－A

1B

1C

1D

1的底面为正方形，AA

1＝

a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC

1上一点E满足CC

1＝3CE，∴A

1(b，0，a)，B(b，

b，0)，A(b，0，0)，D

1(0，0，a)，B

1(b，b，a)，E(

0，

b，a

3)

，

A1B→

＝(0，b，－a)，

AD1→

＝(－b，0，a)，

D1B1→

＝(b，b，0)，

空间角的求法

一、异面直线所成角的求法

平移法

常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点）；补形平移法。“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

（1）直接平移法

例1 如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的正切值。（524）

（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

例2 设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。（510）

（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。

例3在正方体1111DCBAABCD中，E是1CC的中点，求直线AC与ED1所成角的余弦值。（510）

B

M

A N

C S

二、线面角的三种求法

1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1四面体ABCS中，SA，SB，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（60°） （2）SC与平面ABC所成的角。（77）

（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线。作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）

2.利用公式lhsin：其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

高三数学知识点：空间角问题知识点总结

下面整理了高三数学知识点：空间角问题，希望大家能把觉得有用的知识点摘抄下来，在空余时间进行复习。

一、直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

二、直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三计算。

在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

三、解题技巧

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息

(1)斜线上一点到面的垂线;

(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角