高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-1函数及其表示学案理

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-1函数及其表示学案理

考纲展示► 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．

考点1 函数的概念

1.函数与映射的概念

函数 映射

定义 建立在两个________A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的________一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应 建立在两个________A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有________的元素y与之对应

记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B

答案：非空数集 任意 唯一确定 非空集合 任意一个 唯一确定

2．函数由定义域、________和值域三个要素构成．

答案：对应关系

3．相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

答案：定义域 对应关系

[教材习题改编]以下属于函数的有________．

①y＝±x； 2019年

②y2＝x＋1；

③y＝＋；

④y＝x2－2(x∈N)．

答案：④

解析：①②中，对于定义域内任意一个数x，可能有两个不同的y值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．

函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．

如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________是映射，________是函数．

答案：①②④ ①②

解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A，B不是数集，所以不是函数．

[典题1] (1)下列四个图象中，是函数图象是( )

A．① B．①③④

C．①②③ D．③④

[答案] B

[解析] ②中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；①③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.

(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( )

A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2

B．f(x)＝，g(x)＝()2 2019年

C．f(x)＝，g(x)＝x＋1

D．f(x)＝·，g(x)＝x2－1

[答案] A

[解析] A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)；

B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)，

∴两函数的定义域不同；

C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，

∴两函数的定义域不同；

D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；

g(x)＝(x2－1≥0)，

g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．

∴两函数的定义域不同．故选A.

(3)下列集合A到集合B的对应f中：

①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；

②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；

③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；

④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值．

是从集合A到集合B的函数的为________．

[答案] ①

[解析] ②中，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；③中，A中的元素0在B中没有对应元素；④中，A中的元素0在B中没有对应元素．

[点石成金] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定．因此当且仅当定义域和对应法则都相同时，函数才是同一函数．特别值得说明的是，2019年

对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．

考点2 函数的定义域

对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．

(1)[教材习题改编]函数f(x)＝＋的定义域为( )

A．[0,2)

B．(2，＋∞)

C．[0,2)∪(2，＋∞)

D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

答案：C

(2)[教材习题改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

A B

C D

答案：B

定义域问题的两个易错点：忽略定义域；化简后求定义域．

(1)已知长方形的周长为12，设一边长为x，则其面积y关于x的函数解析式为________．

答案：y＝x(6－x)(0＜x＜6) 2019年

解析：因为长方形一边长为x，则另一边长为＝6－x，所以y＝x(6－x)．又x＞0,6－x＞0，所以0＜x＜6.如果不考虑x的范围，会扩大x的范围，这样会使实际问题失去意义．

(2)函数y＝的定义域为________．

答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)

解析：要使函数有意义，应使x－1≠0，即x≠1，所以函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．本题如果对解析式化简会有y＝＝＝x＋2，从而得函数定义域为R，所以在求解定义域时，不能对函数变形、化简，以免定义域发生变化．

[考情聚焦] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．

主要有以下几个命题角度：

角度一

求给定函数解析式的定义域

[典题2] (1)[2017·山东淄博月考]函数f(x)＝的定义域是( )

A．(0,2) B．(0,1)∪(1,2)

C．(0,2] D．(0,1)∪(1,2]

[答案] D

[解析] 要使函数有意义，则有 即所以0

所以函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]，故选D.

(2)[2017·山东青州高三模拟]函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为( ) 2019年

A．(1,2) B．[1,2)

C．(1,2] D．[1,2]

[答案] A

[解析] 函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为⇒1

角度二

求抽象函数的定义域

[典题3] (1)若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )

A．[－1,1] B．[1,2]

C．[10,100] D．[0，lg 2]

[答案] C

[解析] 因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.

因为f(x2＋1)与f(lg x)是同一个对应法则，

所以1≤lg x≤2，即10≤x≤100，

所以函数f(lg x)的定义域为[10,100]．

(2)[2017·河北唐山模拟]已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是________．

[答案] 12，32

[解析] 因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f＋f中的自变量x需要满足 0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，

解得≤x≤，

所以函数g(x)的定义域是. 2019年

角度三

已知定义域确定参数问题

[典题4] [2017·安徽合肥模拟]若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．

[答案] [－1,0]

[解析] 函数f(x)的定义域为R，

所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，

因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，

解得－1≤a≤0.

[点石成金] 求函数定义域的两种方法

方法 解读 适合题型

直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域

续表

方法 解读 适合题型

转移法 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a

若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域 已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域

考点3 求函数的解析式

函数的表示法

表示函数的常用方法有：________、________、

________.

答案：解析法 图象法 列表法

[典题5] (1)已知f＝lg x，则f(x)＝________. 2019年

[答案] lg (x>1)

[解析] 令t＝＋1(t＞1)，则x＝，

∴f(t)＝lg ，

即f(x)＝lg (x＞1)．

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.

[答案] 2x＋7

[解析] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，

即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，

∴解得 a＝2，b＝7，

∴f(x)＝2x＋7.

(3)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.

[答案] 2x－(x≠0)

[解析] ∵2f(x)＋f＝3x，①

以代替①式中的x(x≠0)，得

2f＋f(x)＝.②

①×2－②，得3f(x)＝6x－，

∴f(x)＝2x－(x≠0)．

(4)[2017·山东青岛一中检测]奇函数f(x)在(0，＋∞)上的表达式为f(x)＝x＋，则在(－∞，0)上f(x)的表达式为f(x)＝________.

[答案] x－－x

[解析] 设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝－x＋.又f(x)为奇函数，