辽宁省锦州市2020届高三4月质量检测数学(理)试题(含答案)

2020年高三质量检测

数学（理科）

本试卷共23题，共6页。全卷满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合2|650,|3AxxxBxyx„，ABI（ ）

A.[1,) B.1,3 C.3,5 D.3,5

2.若复数z满足(-1)2zii（i为虚数单位），则z为（ ）

A.1i B.1i C.1i D.1i

3.已知平面向量(2,3),(,4)abxrr，若()aabrrr，则x（ ）

A.12 B.1 C.2 D.3

4.数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为（ ）

A.中位数为7，标准差为2 B.中位数为7，标准差为4

C.中位数为7.5，标准差为4 D.中位数为7.5，标准差为2

5.设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件是（ ）

A.,mm B.,,mnmn

C.,m∥ D.,,mnmn∥

6.已知2020202011log,ab，12020c，则（ ）

A.cab B.abc C.bac D.acb

7.已知等比数列na中，若578aa，则4683112aaaaa的值为（ ）

A. 8 B.16 C.64 D.128

8.在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2),(1,0)MN，动点P满足||||PMONPNuuuuruuuruuur，则动点P的轨迹方程是（ ）

A.24yx B.24xy C.24yx D.24xy

9.函数2()1sin1xfxxe图象的大致形状是（ ）

A. B. C. D.

10.已知函数()2(|cos|cos)sinfxxxx给出下列四个命题：（ ）

①fx的最小正周期为 ②fx的图象关于直线4x对称

③fx在区间,44上单调递增 ④fx的值域为2,2

其中所有正确的编号是（ ）

A.②④ B.③④ C.①③④ D.②③

11.圆22:10160Cxyx上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)yxabab的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.55,42 B.(2,5) C.552,22 D.(5,21)

12.已知fx是定义在(0)上的增函数，且恒有[()ln]1ffxx，若0x，()1fxax„，则a的最小值为（ ）

A.0 B.1e C.1 D.e

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.

13.某校期末考试后，随机抽取200名高三学生某科的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：50,6060,7070,8080,9090,0[10，，，，.据此绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为____________（60分以上为及格），这200名学生中成绩在

80,90中的学生有____________名.

14.若11()22fxfxxx对任意非零实数x恒成立，则曲线yfx在点1,1f处的切线方程为___________.

15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为____________.

16.如图，在长方体1111ABCDABCD中，12,4ABAABC，E为AD中点，则三棱锥1ACDE外接球的表面积为____________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知在ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，且sinsinsinsinCAbBAac.

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若3c，求ab的取值范围.

18.某学校开设了射击选修课，规定向AB、两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为45，向B靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.

（Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）求小明同学获得总分X的分布列及数学期望EX.

19.已知直三棱柱111-ABCABC中，1120,2,3BACABACAA，E是BC的中点，F是1AE上一点，且13AFFE.

（Ⅰ）证明：AF平面1ABC；

（Ⅱ）求二面角11BAEB余弦值的大小.

20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2，过点21,2.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）设椭圆的右焦点为F，定点2,0P，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于AB，两点，以线段AP为直径的圆与直线x=2的另一个交点为Q，试探究在x轴上是否存在一定点M使直线BQ恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. 已知函数2()(ln),()xfxxaxgxxe.

（Ⅰ）讨论fx在1,上的单调性；

（Ⅱ）设()()()hxfxgx，若fx的最大值为0，求a的值；

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为32cos22sinxy（为参数），直线1C的方程为33yx，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线1C的极坐标方程

（Ⅱ）若直线2C与曲线1C交于PQ，两点，求||||OPOQ的值.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|||2 2 |(0)fxxmxmm.

（Ⅰ）当1m时，求不等式1fx的解集；

（Ⅱ）若,xtRR使得()|1||1|fxtt，求实数m的取值范围.

2020年高三质量检测

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.

1~12. DBADC BCACB AD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.95%，40 14.20xy 15.53 16.44

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（Ⅰ）由sinsinsinsinCAbBAac

则cabbaac

222abcab

所以2221cos222abcabCabab

而(0,)C，故3C

（Ⅱ）由222abcab，且23()29cababab

22()9332ababab

2()36ab，所以6ab

当且仅当ab时等号成立，此时AB则sinsinAB，不符合题意6ab

又3abc

所以ab的取值范围是3,6

18. 解：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击A靶命中”为事件D，“该射手第一次射击B靶命中”为事件E，“该射手第二次射击B靶命中”为事件F，

由题意可知43(),()()54PDPEPF，

由于CDEFDEFDEF

1()()8PCPDEFDEFDEF

（Ⅱ）0,1,2,3,4,5X

2111(0)5480PX，2411(1)5420PX，121133(2)54440PXC，

124133(3)54410PXC，2139(4)5480PX，2439(5)5420PX

X

0

1

2 3 4 5

P 180 120 340 310

980 920

11339919()0123458020401080205EX.

20.证明：（Ⅰ）连接AEAF，，在ABC△中，11sin12022ABACBCAE

故1AE.

由于三棱柱111ABCABC是直三棱柱，故1AA平面1ABCAAAE，

直角三角形1AAE中，因为13,1AAAE，所以12AE，所以12EF，

又因1AEAEAFEEFAE为直角，即1AEAF.

再由E为BC中点并且ABC△为等腰三角形可知AEBC，

结合11,AABCAAAEAI，得BC平面1,AAEBCAF.

综合11,,AEAFBCAFBCAEEI，

得到AF平面1ABC

（Ⅱ）由于EEBC，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系，

3tan60AEBE，故11(3,0,0),(0,1,3),(0,0,0),(3,0,3)BAEB，

11(3,0,0),(0,1,3),(3,0,3)EBEAEBuuuruuuruuur，

设面1BAE法向量为1111,,nxyzuur，面11BAE法向量为2222,,nxyzuur，

111111030030nEBxnEAyzuuruuuruuruuur，取11z，得1(0,3,1)nuur，

212221220330030nEBxznEAyzuuruuuruuruuur，取21z，得2(1,3,1)nuur，

则二面角11BAEB的余弦值1212425cos545nnnnuuruuruuruur.

20.解：（Ⅰ）有题知2211112cab，