辽宁省沈阳市2019届高三第四次模拟考试数学(理)试题
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- 1 - 辽宁省沈阳市2019届高三第四次模拟考试
数学（理）试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
1．设集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2－x＜0}，则下列关系中正确的是( )
A．M∪N＝R B．M∪(∁RN)＝R C．N∪(∁RM)＝R D．M∩N＝M
2．已知i为虚数单位，实数x，y满足(x＋2i)i＝y－i，则|x－yi|＝( )
A．1 B.2 C.3 D.5
3．命题“0x，1ln1xx”的否定是( )
A．00x，01ln1xx B．00x，01ln1xx
C．00x，01ln1xx D．00x，01ln1xx
4．函数f(x)＝12x2－xsin x的大致图象可能是 (
)
A
B
C D
5．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互
- 2 - 相垂直，则该双曲线的方程为( )
A.x28－y28＝1 B.x216－y216＝1 C.y28－x28＝1 D.x28－y28＝1或y28－x28＝1
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
)
A．8π＋6 B．6π＋6 C．8π＋12 D．6π＋12
7．定义在R上的偶函数()fx在[0，＋∞)单调递增，且f(－2)＝1，则f(x－2)≤1的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．[0,4]
8．已知数列{an}的首项a1＝3，对任意m，n∈N*，都有am·an＝am＋n，则当n≥1时，log3 a1＋log3 a3＋…＋log3 a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
9．已知实数x，y满足 y≥1y≤2x－1x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( )
A．3 B．4 C．5 D．7
10．已知椭圆222210xyabab，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得120APB，则该椭圆的离心率的最小值为( )
A．22 B．32 C．63 D．34
11．已知菱形ABCD的边长为23，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角ABDC的余弦值为－13，则该四面体ABCD外接球的体积为( )
A.2873π B．86π C.2053π D．36π
- 3 - 12．设函数e2122xfxxaxa，其中1a，若存在唯一的整数0x，使得00fx，则a的取值范围是( )
A．31,4e2 B．33,2e4 C．31,4e2 D．3,12e
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2－x)(x－1)4的展开式中，x2的系数是__________．
14．将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．
15．设等差数列na的前n项和nS，44a，515S，若数列11nnaa的前m项和为1011，则m________．
16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)，则实数t的取值范围为________．
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC＝3(acosB＋bcosA)．
(1)求角C；
(2)若c＝23，求△ABC面积的最大值．
18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°.
(1)证明：平面ABCD⊥平面EDCF；
(2)求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．
19．(本小题满分12分)
如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0 )的左、右焦点分别为F1，F2，MF2⊥x轴，直线MF1交y
- 4 - 轴于H点，OH＝24，Q为椭圆E上的动点，△F1F2Q的面积的最大值为1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A，B，C，D，且使AD⊥x轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
20．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标 课外体育达标 合计
男 60
女 110
合计
(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8
- 5 - 名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.
P(K2≥k0) 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879
10.828
21．已知函数f(x)＝2lnx＋x2－2ax(a>0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1
【选考题】
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝1＋tcos αy＝1＋tsin α(t为参数，0≤α＜π)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4cos θ.
(1)当α＝π4时，求C与l的交点的极坐标；
(2)直线l与曲线C交于A，B两点，且两点对应的参数t1，t2互为相反数，求|AB|的值．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知f(x)＝|mx＋3|－|2x＋n|.
(1)当m＝2，n＝－1时，求不等式f(x)＜2的解集；
(2)当m＝1，n＜0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．
- 6 -
数学（理）答案
1．【答案】B
【解析】N＝{x|0＜x＜1}，所以M∪N＝{x|x＜2}，∁RN＝{x|x≤0，或x≥1}，M∪(∁RN)＝R.
2．【答案】D
【解析】因为(x＋2i)i＝y－i，所以－2＋xi＝y－i，所以 x＝－1y＝－2，则|x－yi|＝|－1＋2i|＝5.
3．【答案】B
【解析】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0x，1ln1xx”的否定是“00x，01ln1xx”．
4．【答案】C
由f(－x)＝f(x)，x∈R，得函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．又fπ6＝12×π62－
- 7 - π6×12＝π6×12×π6－1＜0，因此结合各选项知C正确.
5．【答案】A
【解析】因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a＝b，又双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一个焦点坐标为(4,0)，所以2a2＝16，即a2＝b2＝8，即该双曲线的方程为x28－y28＝1.
6．【答案】B
【解析】由三视图可得该几何体是由圆柱的一半(沿轴截面截得，底面半径为1，母线长为3)和一个半径为1的半球组合而成(部分底面重合)，则该几何体的表面积为S＝2π＋π＋2π×3×12＋2×3＝6π＋6.
7．【答案】D
【解析】由题意得f(x－2)≤f(－2)，由于函数f(x)是偶函数，所以x－2到原点的距离小于等于－2到原点的距离，所以|x－2|≤|－2|＝2，所以－2≤x－2≤2，解之得0≤x≤4。
8．C
【解析】由题意得an·a1＝an＋1，即an＋1＝3an，所以数列{an}为首项和公比都为3的等比数列，则an＝3n，所以log3 a1＋log3 a3＋…＋log3 a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n×1＋n－2＝n2.
9．【答案】C
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，
由目标函数z＝x－y的最小值是－1，得y＝x－z，即当z＝－1时，函数为y＝x＋1，此时对应的平面区域在直线y＝x＋1的下方，由 y＝x＋1y＝2x－1，解得 x＝2y＝3，即A(2,3)，同时A也在直线x＋y＝m上，即m＝2＋3＝5.
10．【答案】C
【解析】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMBAPB，即60AMO，因为tanaOMAb，所以tan603ab，3ab，2223aac，2223ac，223e，63e．
