2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一(下)第一次月考数学试卷
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2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷
试题数：20.满分：160
1.（填空题.5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a.b.c.ab=60.面积S△ABC=15 √3 .△ABC外接圆半径为 √3 .则c=___ ．
2.（填空题.5分）若数列{an}满足an-2an+1+an+2=0（n∈N*）.且a1=2.a2=4.则数列{an}的通项公式为an=___ ．
3.（填空题.5分）在△ABC中.BC= √3 .AC=1.且B= 𝜋6 .则A=___ ．
4.（填空题.5分）在等比数列{an}中.已知a2a5=-32.a3+a4=4.且公比为整数.则a9=___ ．
5.（填空题.5分）若在x.y两数之间插入3个数.使这五个数成等差数列.其公差为d1（d1≠0）.若在x.y两数之间插入4个数.使这6个数也成等差数列.其公差为d2（d2≠0）.那么 𝑑1𝑑2 =___ ．
6.（填空题.5分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1.则a1+a5=___ ．
7.（填空题.5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和.S7=3（a1+a9）.则 𝑎5𝑎4 的值为___ ．
8.（填空题.5分）已知等比数列的前n项和为Sn.若S3：S2=3：2.则公比q=___ ．
9.（填空题.5分）在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对边的长分别为a.b.c．已知a+ √2 c=2b.sinB= √2
sinC.则 𝑠𝑖𝑛𝐶2 =___ ．
10.（填空题.5分）已知{an}.{bn}均为等比数列.其前n项和分别为Sn.Tn.若对任意的n∈N*.总有
𝑆𝑛𝑇𝑛=3𝑛+14 .则 𝑎3𝑏4 =___ ．
11.（填空题.5分）各项均为正数的等比数列{an}中.a2-a1=1．当a3取最小值时.数列{an}的通项公式an=___ ．
12.（填空题.5分）在△ABC中.已知b=1.c=2.AD是∠A的平分线.AD= 2√33 .则∠C=___ ．
13.（填空题.5分）在锐角三角形ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c.且满足b2-a2=ac.则 1𝑡𝑎𝑛𝐴 -
1𝑡𝑎𝑛𝐵 的取值范围为___ ．
14.（填空题.5分）已知等差数列{an}的公差d不为0.等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数．若a1=d.b1=d2.且 𝑎12+𝑎22+𝑎32𝑏1+𝑏2+𝑏3 是正整数.则q等于___ ． 15.（问答题.14分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边.
（1）若A.B.C成等差数列.求cosA+cosC的取值范围；
（2）若a.b.c成等比数列.且cosB= 45 .求
1𝑡𝑎𝑛𝐴 + 1𝑡𝑎𝑛𝐶 的值．
16.（问答题.14分）已知数列{an}是首项为a1= 14 .公比q= 14 的等比数列.设bn+2= 3𝑙𝑜𝑔14 an（n∈N*）.数列{cn}满足cn=an•bn
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn．
17.（问答题.14分）已知数列{an}的首项为2.前n项和为Sn.且 1𝑎𝑛−1𝑎𝑛+1=24𝑆𝑛−1(𝑛∈𝑁∗) ．
（1）求a2的值；
（2）设 𝑏𝑛=𝑎𝑛𝑎𝑛+1−𝑎𝑛 .求数列{bn}的通项公式；
（3）求数列{an}的通项公式；
18.（问答题.16分）如图.半圆O的直径为2.A为直径延长线上的一点.OA=2.B为半圆上任意一点.以AB为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α（0＜α＜π）．
（1）当α为何值时.四边形OACB面积最大.最大值为多少；
（2）当α为何值时.OC长最大.最大值为多少．
19.（问答题.16分）设{an}是公差不为零的等差数列.满足 𝑎6=5，𝑎22+𝑎32=𝑎42+𝑎52 .数列{bn}的通项公式为bn=3n-11
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}.{bn+4}中的公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}.请直接写出数列{cn}的通项公式；
（3）记 𝑑𝑛=𝑏𝑛𝑎𝑛 .是否存在正整数m.n（m≠n≠5）.使得d5.dm.dn成等差数列？若存在.求出m.n的值；若不存在.请说明理由．
20.（问答题.16分）已知n为正整数.数列{an}满足an＞0.4（n+1）an2-nan+12=0.设数列{bn}满足bn= 𝑎𝑛2𝑡𝑛
（1）求证：数列{ 𝑎𝑛√𝑛 }为等比数列；
（2）若数列{bn}是等差数列.求实数t的值：
（3）若数列{bn}是等差数列.前n项和为Sn.对任意的n∈N*.均存在m∈N*.使得8a12Sn-a14n2=16bm成立.求满足条件的所有整数a1的值．
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：20.满分：160
1.（填空题.5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a.b.c.ab=60.面积S△ABC=15 √3 .△ABC外接圆半径为 √3 .则c=___ ．
【正确答案】：[1]3
【解析】：由题意和三角形的面积公式可得sinC.再由正弦定理可得c值．
【解答】：解：∵△ABC中ab=60.面积S△ABC=15 √3 .
∴S= 12 absinC= 12 ×60×sinC=15 √3 .
解得sinC= √32 .
∵△ABC外接圆半径R= √3 .
∴由正弦定理可得c=2RsinC=2 √3 × √32 =3．
故答案为：3．
【点评】：本题考查正弦定理解三角形.涉及三角形的面积公式.属基础题．
2.（填空题.5分）若数列{an}满足an-2an+1+an+2=0（n∈N*）.且a1=2.a2=4.则数列{an}的通项公式为an=___ ．
【正确答案】：[1]2n
【解析】：由题意可知an+an+2=2an+1.则数列{an}是以2为首项.2为公差的等差数列.利用等差数列的通项公式即可求得an．
【解答】：解：由an-2an+1+an+2=0.则an+an+2=2an+1.
∴数列{an}为等差数列.a2-a1=4-2=2.
∴数列{an}是以2为首项.2为公差的等差数列.
∴an=a1+（n-1）d=2n. 故答案为：2n．
【点评】：本题考查等差数列的证明.等差数列的通项公式.考查计算能力.属于基础题．
3.（填空题.5分）在△ABC中.BC= √3 .AC=1.且B= 𝜋6 .则A=___ ．
【正确答案】：[1] 𝜋3 或 2𝜋3 ．
【解析】：利用正弦定理即可得出．
【解答】：解：由正弦定理可得： √3𝑠𝑖𝑛𝐴=1𝑠𝑖𝑛𝜋6 .
可得：sinA= √32 .A∈（0.π）.a＞b.因此A可能为钝角．
∴A= 𝜋3 或 2𝜋3 ．
故答案为： 𝜋3 或 2𝜋3 ．
【点评】：本题考查了正弦定理、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．
4.（填空题.5分）在等比数列{an}中.已知a2a5=-32.a3+a4=4.且公比为整数.则a9=___ ．
【正确答案】：[1]-256
【解析】：根据等比数列的性质可得a3a4=-32.求出q.即可求出a9．
【解答】：解：∵a2a5=-32.a3+a4=4.
∴a3a4=-32.
解得a3=-4.a4=8或a3=8.a4=-4.
∴q= 𝑎4𝑎3 =-2.或q=- 12 （舍去）.
∴a9=-4×26=-256.
故答案为：-256；
【点评】：本题考查了等比数列的性质和通项公式.属于基础题．
5.（填空题.5分）若在x.y两数之间插入3个数.使这五个数成等差数列.其公差为d1（d1≠0）.若在x.y两数之间插入4个数.使这6个数也成等差数列.其公差为d2（d2≠0）.那么 𝑑1𝑑2 =___ ．
【正确答案】：[1] 54
【解析】：根据等差数列的通项公式把x.y的关系建立起来.即可得 𝑑1𝑑2 的值．
【解答】：解：在x.y两数之间插入3个数.使这五个数成等差数列.其公差为d1.
则有：x+4d1=y.… ①
在x.y两数之间插入4个数.使这6个数也成等差数列.其公差为d2.
则有x+5d2=y.… ②
用 ① - ② 可得：4d1=5d2.
那么 𝑑1𝑑2 = 54 ．
故答案为 54 ．
【点评】：本题考查了等差数列的性质.考查了等差数列通项公式的灵活运用.是基础的计算题．
6.（填空题.5分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1.则a1+a5=___ ．
【正确答案】：[1]11
【解析】：由数列的前n项和求出首项.再由a5=S5-S4求得a5.则a1+a5的值可求．
【解答】：解：由 𝑆𝑛=𝑛2+1 .得
𝑎1=12+1=2 .
𝑎5=𝑆5−𝑆4=(52+1)−(42+1)=9 ．
∴a1+a5=2+9=11．
故答案为：11．
【点评】：本题考查了数列递推式.考查了由数列前n项和求通项．
7.（填空题.5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和.S7=3（a1+a9）.则 𝑎5𝑎4 的值为___ ．
【正确答案】：[1] 76
【解析】：由等差数列的通项公式、前n项和公式得到a1=3d.由此能求出 𝑎5𝑎4 的值．
【解答】：解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和.S7=3（a1+a9）.
∴ 7𝑎1+7×62𝑑=3(𝑎1+𝑎1+8𝑑) .
解得a1=3d.∴ 𝑎5𝑎4 = 𝑎1+4𝑑𝑎1+3𝑑 = 7𝑑6𝑑 = 76 ．
故答案为： 76 ．
【点评】：本题考查等差数列中两项的比值的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用．
