数学-(安徽卷)2021年中考考前最后一卷(全解全析)

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2021年中考考前最后一卷【安徽卷】

数学·全解全析

一、选择题（本大题包括10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D C B B A D C C D A

1．【分析】主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算、零指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【解答】解：A、原式=2，2是正数，故此选项不合题意；

B、原式=1，1是正数，故此选项不合题意；

C、原式=4，4是正数，故此选项不符合题意；

D、原式=−2，−2是负数，故此选项合题意；

故选：D．

2．【分析】考查了合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和积的乘方运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

【解答】解：A、𝑥2+𝑥3不能合并，错误；

B、𝑥2⋅𝑥3=𝑥5，错误；

C、𝑥3÷𝑥2=𝑥，正确；

D、(2𝑥2)3=8𝑥6，错误；

故选：C．

3．【分析】考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10−7．

故选：B．

4．【分析】主要考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．

【解答】解：从上面看，是一个有圆心的圆，

故选：B．

5．【分析】考查图形中平行线、角平分线的画法，90°的圆周角所对的弦是直径，圆的切线的性质等知识．此题综合性较强，有一定的灵活性．

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【解答】解：①根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；

②可以画出∠𝐴𝑂𝐵的平分线OP，可知正确；

③根据90°的圆周角所对的弦是直径，可知正确；

④此作法正确．

∴正确的有4个．

故选A．

6．【分析】考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．

【解答】解：由题意可知，

铁块露出水面以前，𝐹拉+𝐹浮=𝐺，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，

当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，

当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，

故选：D．

7．【分析】考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、加权平均数和方差的定义．

【解答】解：这组数据中出现次数最多的是14，出现5次，

所以这组数据的众数是14，故A选项错误；

中位数是14+142=14(个)，故B选项错误；

平均数为13×3+14×5+15+163+5+1+1=14(个)，故C选项正确；

方差为110×[3×(13−14)2+5×(14−14)2+(15−14)2+(16−14)2]=0.8，故D选项错误；

故选：C．

8．【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为𝑎(1±𝑥)2=𝑏．

【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，

由题意得：5000(1+𝑥)2=7500，

故选：C．

9．【分析】考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．

【解答】解：如图，设⊙𝑂与AC相切于点D，连接OD，过点O作𝑂𝑃⊥𝐵𝐶垂足为P交⊙𝑂于F，

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此时垂线段OP最短，PF最小值为𝑂𝑃−𝑂𝐹，

∵𝐴𝐶=12，𝐵𝐶=9，

∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√122+92=15，

∵∠𝑂𝑃𝐵=90°，

∴𝑂𝑃//𝐴𝐶，

∵点O是AB的三等分点，

∴𝑂𝐵=23×15=10，𝑂𝑃𝐴𝐶=𝑂𝐵𝐴𝐵=23，

∴𝑂𝑃=8，

∵⊙𝑂与AC相切于点D，

∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐶，

∴𝑂𝐷//𝐵𝐶，

∴𝑂𝐷𝐵𝐶=𝑂𝐴𝐴𝐵=13，

∴𝑂𝐷=3，

∴𝑀𝑁最小值为𝑂𝑃−𝑂𝐹=8−3=5，

如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，

MN最大值=𝑂𝐵+𝑂𝐸=10+3=13，

∴𝑀𝑁长的最大值与最小值的差是13−5=8．

故选：D．

10．【分析】考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当𝑎>0时，抛物线向上开口，当𝑎<0时，抛物线向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即𝑎𝑏>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即𝑎𝑏<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．

【解答】解：∵直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=𝑐𝑥的图象在第二象限内有一个交点的横坐标为−1，

∴𝑐=−𝑎+𝑏，

∴𝑎−𝑏−𝑐=0，

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∵一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=𝑐𝑥的图象在第二象限内有两个交点，

∴𝑎>0，

∴二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑐的图象开口向上，

当𝑥=−1时，𝑦=𝑎−𝑏−𝑐=0，

∴抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−𝑐过(−1,0)点，

故选：A．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．【分析】此题实质是解一元一次不等式组．解答时要遵循以下原则：同大取教大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

【解答】解：解这个不等式组为𝑥<𝑎−4，

则3𝑎+2≥𝑎−4，

解这个不等式得𝑎≥−3

故答案𝑎≥−3．

12．【分析】考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

原式变形后，提取公因式即可．

【解答】解：原式=𝑥(𝑥−3)−(𝑥−3)=(𝑥−1)(𝑥−3)，

故答案为：(𝑥−1)(𝑥−3)．

13．【分析】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．

【解答】解：∵在扇形AOB中∠𝐴𝑂𝐵=90°，且𝐴𝐶⏜=𝐵𝐶⏜，

∴∠𝐶𝑂𝐷=45°，

∴𝑂𝐶=4√2×√2=8，

∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积−三角形ODC的面积

=45𝜋×82360−12×(4√2)2

=8𝜋−16．

故答案为：8𝜋−16．

14．【分析】考查等边三角形及二次函数的综合知识，解题关键是证明由△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹，用x的代数式表示△𝐸𝐶𝐹的面积

【解答】解：过F作𝐹𝐷⊥𝐵𝐶于D，如图：

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∵等边△𝐴𝐵𝐶，等边△𝐴𝐸𝐹，

∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐹，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐴𝐸𝐹=60°，

∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐹，

∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐹，

∴𝐵𝐸=𝐶𝐹，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐶𝐹=60°，

而𝐵𝐸=𝑥，

∴𝐶𝐹=𝑥，∠𝐹𝐶𝐷=180°∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐹=60°，

∴𝐹𝐷=𝐶𝐹⋅𝑐𝑜𝑠60°=√32𝑥，

设等边△𝐴𝐵𝐶边长是a，则𝐶𝐸=𝐵𝐶−𝐵𝐸=𝑎−𝑥，

∴𝑆△𝐸𝐶𝐹=12𝐶𝐸⋅𝐹𝐷=12(𝑎−𝑥)⋅√32𝑥=−√34𝑥2+√34𝑎𝑥，

当𝑥=−√34𝑎2×(−√34)=12𝑎时，𝑆△𝐸𝐶𝐹有最大值为0−(√34𝑎)24×(−√34)=√316𝑎2，

(1)△𝐸𝐶𝐹的面积最大时，𝐵𝐸=12𝑎，即E是BC的中点，

∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐴𝐸𝐵=90°，

∵∠𝐴𝐸𝐹=60°，

∴∠𝐹𝐸𝐶=180°−∠𝐴𝐸𝐵−∠𝐴𝐸𝐹=30°，

故答案为：30°；

(2)当𝑥=12𝑎时，𝑆△𝐸𝐶𝐹有最大值为√316𝑎2，

由图可知𝑆△𝐸𝐶𝐹的最大值是2√3，

∴√316𝑎2=2√3，解得𝑎=4√2或𝑎=−4√2(边长𝑎>0，舍去)，

∴等边△𝐴𝐵𝐶的边长为𝑎=4√2，

故答案为：4√2．

三．解答题（共2小题，满分16分）

15．【分析】主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则、熟记特殊锐角函数值．

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【解答】解：原式=(2𝑥+2𝑥+1−𝑥−1𝑥+1)÷(𝑥+3)2(𝑥+1)(𝑥−1)

=𝑥+3𝑥+1⋅(𝑥+1)(𝑥−1)(𝑥+3)2

=𝑥−1𝑥+3，

∵𝑥=(−12)−1−√83+(√5−2)0+2𝑠𝑖𝑛30°

=−2−2+1+2×12

=−2−2+1+1

=−2，

∴原式=−2−1−2+3=−3．

16．【分析】本题为规律型题目，分析并找出题中的规律是解题的关键．

【解答】解：(1)由题意可以推导出：第6个等式为：3600−54×66=36；

故答案为：3600−54×66=36．

(2)猜想第n个等式为：(10𝑛)2−9𝑛×11𝑛=𝑛2；

证明：左边=100𝑛2−99𝑛2=𝑛2=右边，

所以原等式成立．

故答案为：(10𝑛)2−9𝑛×11𝑛=𝑛2．

四．（共2小题，满分16分）

17．【分析】考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【解答】解：(1)观察图象可知，旋转中心的坐标是𝑂(0,0)，旋转角为90°．

故答案为：𝑂(0,0)，90°．

(2)如图，△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求作．𝐴2(1,−3)，𝐵2(3,1)，𝐶2(3,−3)．

(1)对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心．