高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》基础测试题及答案解析
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数学《数列》试卷含答案
一、选择题
1．已知等比数列na的前n项和为nS，若1220aa，334S，且2naSa，则实数a的取值范围是( )
A．1,0 B．11,2 C．1,12 D．0,1
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得等比数列的首项和公比，得到nS，分析数列的单调性得到nS
的最值，从而列不等式求解即可.
【详解】
由1220,aa 334S，得11211,,1232nnaqS，
当1n时，nS取最大值1，当2n时，nS取最小值12，
所以1221aa，112a，故选B.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.
2．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn，则该数列第2019项是（ ）
A．1019892 B．1020192 C．1119892 D．1120192
【答案】C
【解析】
【分析】
由观察可得22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn项数为21,1,2,4,8,...,2,...k，注意到101110242201922048，第2019项是第12个括号里的第995项.
【详解】
由数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m，
所以第12个括号里的第995项是1119892.
故选：C.
【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
3．已知各项均为正数的等比数列{}na的前n项和为nS，且满足6a，43a，5a成等差数列，则42SS( )
A．3 B．9 C．10 D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
设na的公比为0q，由645,3,aaa成等差数列，可得260,0qqq，解得q，再利用求和公式即可得结果.
【详解】
设各项均为正数的等比数列na的公比为0q，
Q满足645,3,aaa成等差数列，
2465446,6,0aaaaaqqq，
260,0qqq，解得3q，
则4124221313131103131aSSa，故选C.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnaqnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
4．已知数列{}na满足12nnaa，且134,,aaa成等比数列.若{}na的前n项和为nS，则nS的最小值为（ ） A．–10 B．14 C．–18 D．–20
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得nS，再利用二次函数的性质，可得当4n或5时，nS取到最小值.
【详解】
根据题意，可知{}na为等差数列，公差2d，
由134,,aaa成等比数列，可得2314aaa，
∴1112()4(6)aaa，解得18a.
∴22(1)981829()224nnnSnnnn.
根据单调性，可知当4n或5时，nS取到最小值，最小值为20.
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n或5时同时取到最值.
5．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（ ）
A．20 B．30 C．44 D．88
【答案】C
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16，
得810216aqa，得q2＝2.
∴4624aaq，即a6＝b6＝4，
又Sn为等差数列{bn}的前n项和，
∴1111161111442bbSb.
故选：C.
【点睛】 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.
6．已知单调递增的等比数列na中，2616aa，3510aa，则数列na的前n项和nS（ ）
A．2124n B．1122n C．21n D．122n
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比数列的性质，可得到35,aa是方程210160xx的实数根，求得1,aq，再结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，等比数列na中，2616aa，3510aa，
根据等比数列的性质，可得3516aa，3510aa，
所以35,aa是方程210160xx的实数根，解得352,8aa或358,2aa，
又因为等比数列na为单调递增数列，所以352,8aa，
设等比数列na的首项为1a，公比为(1)qq
可得214128aqaq，解得11,22aq，
所以数列na的前n项和11(12)122122nnnS.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.
7．等比数列na的前n项和为nS，若32S，618S，则106SS等于（ ）
A．-3 B．5 C．-31 D．33
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解106SS的值，得到答案.
【详解】
由题意，等比数列na中32S，618S，
可得313366316(1)1121(1)11181aqSqqaqSqqq，解得2q=，
所以101105105516(1)11133(1)11aqSqqqaqSqq.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
8．已知na为等差数列，135105aaa，24699aaa，则20a等于（ ）.
A．1 B．1 C．3 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a．
【详解】
解：{}naQ为等差数列，135105aaa，24699aaa，
13533105aaaa，2464399aaaa，
335a，433a，4333352daa，
13235439aad，
20139391921aad．
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
9．若两个等差数列na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足2131nnAnBn，则371159aaabb的值为（ ）
A．3944 B．58 C．1516 D．1322
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质将371159aaabb化简为7732ab,再利用数列求和公式求解即可.
【详解】
11337117131135971313()3333213115213()22223131162aaaaaaAbbbbbB,
故选:C.
【点睛】
本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
10．已知首项为1的正项等比数列na的前n项和为nS，4a、3a、5a成等差数列，则2020S与2020a的关系是（ ）
A．2020202021Sa B．2020202021Sa
C．2020202041Sa D．2020202043Sa
【答案】B
【解析】
【分析】
求出等比数列na的公比q，然后求出2020S和2020a，由此可得出结论.
【详解】
设等比数列na的公比为q，则0q，
4aQ、3a、5a成等差数列，3542aaa，所以，220qq，
0qQ，解得2q=，20192019202012aaq，20201202020201211aqSq，
因此，2020202021Sa.
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.
