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高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》技巧及练习题含答案

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【高中数学】数学《数列》复习知识点

一、选择题

1．已知等比数列na的前n项和为nS，若1220aa，334S，且2naSa，则实数a的取值范围是( )

A．1,0 B．11,2 C．1,12 D．0,1

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得等比数列的首项和公比，得到nS，分析数列的单调性得到nS

的最值，从而列不等式求解即可.

【详解】

由1220,aa 334S，得11211,,1232nnaqS，

当1n时，nS取最大值1，当2n时，nS取最小值12，

所以1221aa，112a，故选B.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.

2．已知等差数列na中，若311,aa是方程2210xx的两根，单调递减数列*nbnN通项公式为27nbnan.则实数的取值范围是（ ）

A．,3 B．1,3 C．1,3 D．3,

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出71a，再根据nb是递减数列，得到121n对*nN恒成立，即得解.

【详解】

∵311,aa是方程220xx的两根，∴3112aa.

∵na是等差数列，∴311722aaa，∴71a，

∴2nbnn，又∵nb是递减数列， ∴10nnbb+-

则22110nnnn，∴2110n，

∴121n对*nN恒成立，

∴13.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn，则该数列第2019项是（ ）

A．1019892 B．1020192 C．1119892 D．1120192

【答案】C

【解析】

【分析】

由观察可得22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn项数为21,1,2,4,8,...,2,...k，注意到101110242201922048，第2019项是第12个括号里的第995项.

【详解】

由数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn，可发现其项数为

21,1,2,4,8,...,2,...k，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，

故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m，

所以第12个括号里的第995项是1119892.

故选：C.

【点睛】

本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.

4．已知数列na的通项公式是221sin2nnan，则12312aaaa（ ） A．0 B．55 C．66 D．78

【答案】D

【解析】

【分析】

先分n为奇数和偶数两种情况计算出21sin2n的值，可进一步得到数列na的通项公式，然后代入12312aaaa转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

解：由题意得，当n为奇数时，213sinsinsinsin12222nn，

当n为偶数时，21sinsinsin1222nn

所以当n为奇数时，2nan；当n为偶数时，2nan，

所以12312aaaa

22222212341112

222222(21)(43)(1211)

(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)

12341112

121+122（）

78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.

5．已知数列na是正项等比数列，若132a，3432aa，数列2logna的前n项和为nS，则nS>0时n的最大值为 （ ）

A．5 B．6 C．10 D．11

【答案】C

【解析】

2525163412132323222log62nnnnaaaqqqaan

max(56)011102nnnSnn ，故选C.

6．已知椭圆221xymn满足条件：,,mnmn成等差数列，则椭圆离心率为( )

A．32 B．22 C．12 D．55

【答案】B

【解析】

【分析】

根据满足条件,,mnmn成等差数列可得椭圆为2212xymm,求出,ac．再求椭圆的离心率即可.

【详解】

22nmmnnm,

椭圆为2212xymm,

22cmmm,得cm,又2am,

22cea.

则椭圆离心率为22，故选B.

【点睛】

一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,ac，从而求出e;②构造,ac的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．

7．等差数列{}na的前n项和为nS，已知2611203aaaa，则21S的值为（ ）

A．63 B．21 C．63 D．21

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列性质，原式可变为220616113()aaaaa，即可求得21112163Sa.

【详解】

∵261116203aaaaa，

∴220616113()aaaaa，

∴113a，∴21112163Sa，

故选：C． 【点睛】

此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.

8．数列na的通项公式为nancnN．则“2c”是“na为递增数列”的（ ）条件．

A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】

根据递增数列的特点可知10nnaa，解得12cn，由此得到若na是递增数列，则32c，根据推出关系可确定结果.

【详解】

若“na是递增数列”，则110nnaancnc，

即221ncnc，化简得：12cn，

又nN，1322n，32c，

则2c¿na是递增数列，na是递增数列2c，

“2c”是“na为递增数列”的必要不充分条件．

故选：A.

【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.

9．已知na为等差数列，135105aaa，24699aaa，则20a等于（ ）.

A．1 B．1 C．3 D．7

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a．

【详解】

解：{}naQ为等差数列，135105aaa，24699aaa，

13533105aaaa，2464399aaaa，

335a，433a，4333352daa， 13235439aad，

20139391921aad．

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

10．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771，lg20.3010）

A．16 B．17 C．24 D．25

【答案】D

【解析】

【分析】

由折线长度变化规律可知“n次构造”后的折线长度为43na，由此得到410003n，利用运算法则可知32lg2lg3n，由此计算得到结果.

【详解】

记初始线段长度为a，则“一次构造”后的折线长度为43a，“二次构造”后的折线长度为243a，以此类推，“n次构造”后的折线长度为43na，

若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003naa，即410003n，

44lglglg4lg32lg2lg3lg1000333nnnn，

即324.0220.30100.4771n，至少需要25次构造.

故选：D.

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高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》难题汇编及答案解析

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高中数学《数列》复习知识点

一、选择题

1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（ ）

A．20 B．30 C．44 D．88

【答案】C

【解析】

【分析】

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11.

【详解】

设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16，

得810216aqa，得q2＝2.

∴4624aaq，即a6＝b6＝4，

又Sn为等差数列{bn}的前n项和，

∴1111161111442bbSb.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.

2．已知等差数列na中，若311,aa是方程2210xx的两根，单调递减数列*nbnN通项公式为27nbnan.则实数的取值范围是（ ）

A．,3 B．1,3 C．1,3 D．3,

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出71a，再根据nb是递减数列，得到121n对*nN恒成立，即得解.

【详解】

∵311,aa是方程220xx的两根，∴3112aa.

∵na是等差数列，∴311722aaa，∴71a，

∴2nbnn，又∵nb是递减数列， ∴10nnbb+-

则22110nnnn，∴2110n，

∴121n对*nN恒成立，

∴13.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120，210，45三种，其中45是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45为20的最佳分解.当pq（pq且*,pqN）是正整数n的最佳分解时我们定义函数()fnqp，则数列5nf*nN的前2020项的和为（ ）

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》专项训练解析附答案

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【最新】数学《矩阵与变换》专题解析

一、15

1．关于x的不等式201xax的解集为1,b．

1求实数a，b的值；

2若1zabi，2zcosisin，且12zz为纯虚数，求tan的值．

【答案】（1）1a，2b（2）12

【解析】

【分析】

(1)由题意可得:1,b是方程220xax的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;

(2)利用(1)的结果得1222zzcossincossini为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．

【详解】

解：(1)不等式201xax即20xxa的解集为1,b．

1,b是方程220xax的两个实数根,由1ba，2b，

解得1a,2b．

(2)由(1)知1,2ab,121222zzicosisincossincossini为纯虚数，

20cossin,20cossin,

解得12tan.

【点睛】

本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

2．a，b满足什么条件时，关于x，y，z的方程组4424axyzxbyzxbyz有唯一解.

【答案】当0b≠且1a时

【解析】

【分析】 计算对应行列式为111110121aDbbab，计算得到答案.

【详解】

4424axyzxbyzxbyz有唯一解，则1111212110121aDbabbbabbab

所以当0b≠且1a时有唯一解

【点睛】

本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.

3．解方程组sincos2cos0coscos2sinxyxy.

数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

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1 数列小题大做

一、单选题

1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列na的前n项和为nS，若73a，4516aa，则10S（ ）

A．60 B．80 C．90 D．100

【答案】A

【分析】

由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,ad的关系式，计算1,ad，然后代入等差数列前n项和公式计算.

【详解】

由题意，数列na为等差数列，所以7163aad，4512716aaad，联立得,1a15d2，所以101091015(2)602S.

故选：A

2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记nS为等比数列na的前n项和.若24S，46S，则6S（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】

根据题目条件可得2S，42SS，64SS成等比数列，从而求出641SS，进一步求出答案.

【详解】

∵nS为等比数列na的前n项和，

∴2S，42SS，64SS成等比数列

∴24S，42642SS

∴641SS，

∴641167SS.

故选：A. 试卷第2页，共12页 3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（ ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】

当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．

【详解】

由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，

但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)

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一、单选题

1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（ ）（1.002512≈1.03）

A．833 B．858 C．883 D．902

2．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ）

A．5111a万元 B．55111a万元

C．54111a万元 D．51a万元

3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ）

A．20% B．32% C．40% D．50%

4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数）

（参考数据：21.051.1025，31.051.1576，41.051.2155）

A．36 B．37 C．38 D．39

5．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（ ）

A．2022年12月 B．2023年2月 C．2023年4月 D．2023年6月

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